formules de dérivation (suite)
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Formules de dérivation (suite)
Jacques ParadisProfesseur
2Département de mathématiques
Plan de la rencontre
Rappel : composition de fonctions
Dérivée de fonctions composées
Dérivation en chaîne
Dérivées successives Application
3Département de mathématiques
Volet historique (1 de 3)
Origine de l’intérêt porté au calcul différentiel La période de la Révolution scientifique (1500-1700)
Copernic (1473-1543) place le Soleil au centre de l’univers Galilée (1564-1642) étudie les lois de la chute des corps
L’époque des grands explorateurs est engagé Les bateaux européens sillonnent les océans Mise au point des canons qui révolutionne l’art de la guerre
L’étude du mouvement devient central Mouvement des corps, des astres Mouvements des bateaux Mouvements des boulets de canons
4
Département de mathématiques
Volet historique (2 de 3)
Émergence de trois grands types de problèmes concernant directement le calcul différentiel : 1. Connaissant la distance parcourue à tout
moment, est-il possible de connaître la vitesse et l’accélération à chaque instant?
2. La direction du déplacement d’un objet en mouvement étant donné par la tangente à la trajectoire de l’objet, est-il possible de déterminer précisément les tangentes à certaines courbes? Problème sous-jacent : celui de l’optique (la fabrication
des miroirs paraboliques et des lentilles lunettes pour la navigation, l’observation astronomique ou pour la vue)
5Département de mathématiques
Volet historique (3 de 3)
Émergence de trois grands types de problèmes concernant directement le calcul différentiel : (suite) 3. Le mouvement impliquant des distances, est-il
possible de déterminer des valeurs qui rendent maximales ou minimales ces distances? Problèmes sous-jacent :
En balistique, quel angle donné au canon permettant d’atteindre une cible la plus éloignée possible?
En astronomie, quelles sont les distances maximale et minimale d’une planète par rapport au Soleil?
En optique, le trajet de la lumière dans un corps transparent peut-il être analysé sous l’angle du plus court chemin entre deux points?
6Département de mathématiques
Composition de fonctions (1 de 3)
Soit f(x) et g(x) deux fonctions La fonction composée, notée f ◦ g, est définie par
(f ◦ g)(x) = f[g(x)]g
x g(x)
f
f[g(x)]
f ◦ g
7Département de mathématiques
Composition de fonctions (2 de 3)
Exemple : Soit f(x) = x2 – 4x et g(x) = x2 -3x +2
Alors (f ◦ g)(x) = f[g(x)] = ? De plus (g ◦ f)(x) = g[f(x)] = ?
Exercice : Soit f(x) = x2 – 4x et
Alors (f ◦ g)(x) = f[g(x)] = ? De plus (g ◦ f)(x) = g[f(x)] = ?
g(x) = x +7
8Département de mathématiques
Composition de fonctions (3 de 3)
Exemple : Soit H(x) = (x2 -3x +2)3
Si H(x) = f[g(x)], définir f(x) et g(x).
Exercice : Soit H(x) =
Si H(x) = f[g(x)], définir f(x) et g(x).
3 23 4x 6x 1
9Département de mathématiques
Dérivée de fonctions composées
nSi H(x) = [f(x)] ,où n IN et f(x) dérivablen-1 n-1 df(x)Alors H'(x) = n[f(x)] f '(x) = n[f(x)]
dx
Généralisation : Si H(x) = [f(x)]r, où rIR, alors H’(x) = r [f(x)] r-1 f’(x)
Exemple : Si H(x) = (x3 – x2 + 4)5, alors H’(x) = 5(x3 – x2 + 4)4 (3x2 – 2x)
Exercice : Si f(x) = , trouver f’(x).24 x + x
10
Département de mathématiques
Soit
Dérivation en chaîne
Si y = f[g(x)] et u g(x), {y f(u)} dy dy duAlors = (notation de Leibniz)dx du dx
Δx 0
dy Δy= limdx Δx
Δx 0
Δy Δu= limΔu Δx
Δu 0 Δx 0
Δy Δu= lim limΔu Δx
dy du=du dx
x x+x
u
x
u=g(x)Si x 0, alors u0
11Département de mathématiques
Soit f(x) une fonction continue, la fonction dérivée de f(x) est définie par :
f’(x) = =
y
Définition
x 0lim
f(x+ x) - f(x)x
x 0
ylimx
x
y
P
Q1
x x+x
dydx x 0
ylimx
12Département de mathématiques
Dérivation en chaîne (Exemples)
Ex. 1 : Soit y = u3 + u et u = 4x2 – x +16, trouver dy/dx au point d’abscisse x = 1.
Ex. 2 : Une particule se déplace le long d’une courbe y = x2 + x – 4. Son abscisse est donnée par la fonction x(t) = 2t2 – t +2. Trouver dy/dt pour t = 2.
13Département de mathématiques
Dérivation en chaîne (généralisation)
Si z = f(y), y = g(u) et u = h(x)
Alors
Exemple : Trouver dz/dx pour x = 2 si z = 3y2 + 1, y = 1 – 4u5 et u = 2x - 5.
dzdx
dz dy dudy du dx
14Département de mathématiques
Dérivées successives Soit y = f(x), une fonction dérivable, Sa dérivée f’(x) est aussi une fonction qui peut donc être
dérivable, et ainsi de suite. D’où
Dérivée première : y’ f ’(x)
Dérivée seconde : y’’ f ’’(x)
Dérivée troisième : y’’’ y(3) f’’’(x) f(3)(x)
Dérivée ne : y(n) f(n)(x)
dydx2
2d ydx
3
3d ydx
n
nd ydx
15Département de mathématiques
Exemple Soit f(x) = x4 – x3 – 7x2 + x + 6
Alors f’(x) = 4x3 – 3x2 – 14x+ 1
De plus, f’’(x) = 12x2 – 6x – 14
Mais encore, f’’’(x) = 24x - 6
On continue, f(4)(x) = 24
Pour finir, f(5)(x) = 0
16Département de mathématiques
Application (rappel)
Soit x(t) la position d’un objet à l’instant t,
La vitesse moyenne de cet objet sur un intervalle de temps [ti , tf] est définie par :
La vitesse instantanée de cet objet au temps t est définie par :
, i ft tv
x x( ) - ( )f i
f i
t tt t
dis tan ce parcouruetemps écloulé
xt
Δ 0
+ΔlimΔ
t
x t t x tt
( ) - ( )v(t)0
Δlim
=t
xt
= x'(t)
17Département de mathématiques
Application Soit x(t) la position d’un objet à l’instant t,
La vitesse instantanée de cet objet au temps t est définie par : v(t) = x’(t)
L’accélération instantanée de cet objet au temps t est définie par la variation instantanée de la vitesse en fonction du temps :
a(t) = = v’(t) = x’’(t) d v(t)dt
18Département de mathématiques
Application (Exemple)
La fonction x(t) décrit la position d’une particule qui se déplace le long d’un axe gradué, où x est en mètres et t, en secondes.
a) Écrire la fonction vitesse et la fonction accélération.b) Donner la position, la vitesse et l’accélération à t = 1.c) À quel moment la particule est-elle immobile?.d) Déterminer la distance totale parcourue par la particule entre les instants t = 0 et t = 5.
2( )= +4tx t
t
19
Département de mathématiques
Devoir
Exercices 4.3, page 155, nos 1, 2, 3, 4a, 4b, 5, 6 (Trouver uniquement f’, f’’ et f’’’), 7a, 7b et 7c.
Exercices 5.1, page 189, nos 1 à 3. Exercices récapitulatifs, page 164, nos
1(sauf l), 3 (facultatif), 4a, 4b, 4c, 8 et 9
Réponses pour les exercices récapitulatifs :2 3 61c)21x (x 1)
215x 4x1e)2 3x 1
2
5(4x 5)1h)2 2x 5x 7
2 2112x1i) (x 4)
2 3 3 2 31k)2x(x 3) (2x 5) (17x 27x 20)
20Département de mathématiques
Réponses
2 32
z 1
dx 1 dx8c) 9u ( 4t ) et 0dz z dz
2 32
z 0,5
dy 1 1 dy8d) 10x 9u 4t et est non définiedz z dz2 x
2
x 4
dy dy9a) 24x et 384dt dt
24t 1
dy 6 dy 29b) 4 5t etdt x dt 27
21
Réponses au numéro 3, page 164
22Département de mathématiques
Une lentille convergente élémentaire composée d'une seule surface sphérique de réfraction
Département de mathématiques 23
Épicicle et déférent :
Département de mathématiques 23
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