experimental comparison of quadrature formulas convergence
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Comparaison expérimentale de la convergence des formules de quadrature
PROJET ANALYSE NUMÉRIQUEMATLAB
INTRODUCTION• Calcul de
Approximation
• Méthode de Newton-Cotes
• Méthode de Gauss-Legendre
• Méthode de Clenshaw-Curtis
• Outils de comparaison
Polynômes de Lagrange
Transformée de Fourrier discrète
Degré d’exactitude Complexité
Vitesse de convergence Précision
PLAN DE PRÉSENTATIONI. Présentation et implémentation des formules de quadrature
A. Newton-Cotes
B. Gauss-Legendre
C. Clenshaw-Curtis
II. Etude numérique de convergence
A. Répartition des noeuds
B. Newton-Cotes : convergence en fonction de l’intégrand
C. Gauss-Legendre vs Clenshaw-Curtis : complexité, précision et vitesse de convergence
D. Une première conclusion
E. Comparaison avec l’erreur d’interpolation du polynôme de meilleur approximation
A.NEWTON-COTES• Nœuds équirépartis sur l’intervalle
• Poids : remplacement de f par son polynôme d’interpolation de Lagrange
𝛱n ( x )=∑i=0
n
y i li(x ) avec li(x)= ∏j=0 , j ≠i
n x− x jx i−x j
A. NEWTON-COTES
• Changement de variable :
• Symétrie :
Les poids sont calculables à priori
A. NEWTON-COTES
Vectorisation
Symétrie
B.GAUSS-LEGENDRE• Produit scalaire :
• Résultat de Jacobi :
Degré d’exactitude maximum
Polynômes de Legendre
• Nœuds : racines du polynôme • Poids :
=1
Trop coûteux !!
!
B.GAUSS-LEGENDRE
• Matrice de Jacobi :
• Théorème 1
• valeurs propres de
• dépendent des vecteurs propres normalisés associés
B.GAUSS-LEGENDRE
Vectorisation
C.CLENSHAW-CURTIS
• Changement de variable :
• Formule de quadrature :
où coefficients transformée en cosinus discrète type 1
• Remarque de Gentleman
• Relations de symétrie
• Extrema de Tchebyshev :
Difficile
Transformée de Fourrier discrète
C.CLENSHAW-CURTIS
Vectorisation
COMPARAISON DES CRITERES THEORIQUES
NCO()
n/n+1
GLO()
2n+1
CCO(
n
PLAN DE PRÉSENTATIONI. Présentation et implémentation des formules de quadrature
A. Newton-Cotes
B. Gauss-Legendre
C. Clenshaw-Curtis
II. Etude numérique de convergence
A. Répartition des noeuds
B. Newton-Cotes : convergence en fonction de l’intégrand
C. Gauss-Legendre vs Clenshaw-Curtis : complexité, précision et vitesse de convergence
D. Une première conclusion
E. Comparaison avec l’erreur d’interpolation du polynôme de meilleur approximation
A.RÉPARTITION DES NOEUDS
• Gauss-Legendre / Clenshaw-Curtis : même comportement aux « bords » -1 et 1 pour
A.RÉPARTITION DES NOEUDS
B.NEWTON-COTES - CONVERGENCE EN FONCTION DE L’INTÉGRAND F
Continuité ?
analytique dans un intervalle
suffisamment grand sur ℂ
B.NEWTON-COTES: CONVERGENCE EN FONCTION DE L’INTEGRAND F
B.NEWTON-COTES - CONVERGENCE EN FONCTION DE L’INTÉGRAND F
Continuité ?
analytique dans un intervalle
suffisamment grand sur ℂ
B.NEWTON-COTES: CONVERGENCE EN FONCTION DE L’INTEGRAND F
• Newton-Cotes ne convergent pas en général pour tout intégrand f continu
• Newton-Cotes converge f analytique dans un voisinnage de l’intervalle de l’intégration assez grand.
Pas d’erreurs d’arrondi
Formules composites, Gauss-Legendre, Clenshaw Curtis…
• Pour n grand
C.GAUSS-LEGENDRE VS CLENSHAW-CURTIS
• « Valeur exacte »
C.GAUSS-LEGENDRE VS CLENSHAW-CURTIS
analytique sur ℂ
Facteur relatif de 2
C.GAUSS-LEGENDRE VS CLENSHAW-CURTIS
• « Valeur exacte »
C.GAUSS-LEGENDRE VS CLENSHAW-CURTIS
Gauss-Legendre
Clenshaw-Curtis
C. GAUSS-LEGENDRE VS CLENSHAW-CURTISCAS DE LA FONCTION 7
• Gauss-Legendre inutilisable pour
• Clenshaw – Curtis plus précise
C.GAUSS-LEGENDRE VS CLENSHAW-CURTIS
Gauss-Legendre
Clenshaw-Curtis
C.GAUSS-LEGENDRE VS CLENSHAW-CURTIS
• « Valeur exacte »
D.PREMIERE CONCLUSION
f analytique
GL : vitesse de
convergence
Précision
CC : vitesse de
convergence
f non analytique
Vitesse de convergence
GL : précision
CC : précision
D.ERREUR D’INTERPOLATION,
POLYNOME DE MEILLEUR
APPROXIMATION
Gauss-Legendre E∗
2n+1Clenshaw -
Curtis E∗nClenshaw-
Curtis E∗2n+1
PLAN DE PRÉSENTATIONI. Présentation et implémentation des formules de quadrature
A. Newton-Cotes
B. Gauss-Legendre
C. Clenshaw-Curtis
II. Etude numérique de convergence
A. Répartition des noeuds
B. Newton-Cotes : convergence en fonction de l’intégrand
C. Gauss-Legendre vs Clenshaw-Curtis : complexité, précision et vitesse de convergence
D. Une première conclusion
E. Comparaison avec l’erreur d’interpolation du polynôme de meilleur approximation
CONCLUSION
f analytique
GL : vitesse de
convergence
Précision
CC : vitesse de
convergence
f non analytique
Vitesse de convergence
GL : précision
CC : précision
QUESTIONS ?
I. Présentation et implémentation des formules de quadrature
A. Newton-Cotes
B. Gauss-Legendre
C. Clenshaw-Curtis
II. Etude numérique de convergence
A. Répartition des noeuds
B. Newton-Cotes : convergence en fonction de l’intégrand
C. Gauss-Legendre vs Clenshaw-Curtis : complexité, précision et vitesse de convergence
D. Une première conclusion
E. Comparaison avec l’erreur d’interpolation du polynôme de meilleur approximation
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