equilibre e e r r r e e r u r u r u ( , , , , ) ( , , , , ) 1,0 2,0 ,012 i i ... - … · 2012. 5....
Post on 29-Sep-2020
4 Views
Preview:
TRANSCRIPT
1 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
4) Les vibrations du réseau
4.4 L’approximation harmonique pour un potentiel interatomique
1,0 2,0 ,01 2( , , , , )i iE E R u R u R u
0iR
0jR
iu
ju
2
0
1
2i i j
i ii i jeqj eq
E EE E u u u
R R R
1,0 2,0 ,00 ( , , , , )iE E R R R
• Equilibre
• Ecart à l’équilibre
• Développement au second ordre
iM
, ,x y z
4.4.1 Développement autour de l’équilibre
2 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
2
,
,
à l'équilibreconstantes de force
,0
i j
ji i i jeq eq
i j
E E EF u
u R R R
C
4) Les vibrations du réseau
2
2
ii
d RF M
dt
,i i i j j
j
M u C u
Solutions de la forme: ( ) i t
i iu t u e
2
,i i i j j
j
M u C u
Système linéaire
4.4.2 Equations dynamiques
Equations du mouvement:
Force agissant sur un atome
3 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
,
,
i j
i j
i j
CD
M M
Matrice dynamique
Changement de variable ,,
, ,
,,
i i xi x
i y i i y
i zi i z
M uv
v M u
v M u
( 3 3 ) ( 3 )
2
N N N
D V V
Equation Dynamique
(aux valeurs propres)
4) Les vibrations du réseau
4 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
4) Les vibrations du réseau
•système périodique 1 atome/maille: .
0ik R
iu u e
2
(3 3) (3)
( ) ( ) ( ) ( )D k V k k V k
•système périodique p atome/maille:
2
(3 3 ) (3 )
( ) ( ) ( ) ( )
p p p
D k V k k V k
.
0 ,( ) jik R
j
j
D k e D .( ) jik R
j
j
V k e V
4.4.3 Cas périodique
2( ) 1,2,3s k s
2( ) 1,2,...3s k s p
(Th. de Bloch):
., 0,
ik Riu u e
5 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
4) Les vibrations du réseau
•Valeurs propres de D(k)
3 branches acoustiques (en dimension 3)
3p-3 branches optiques (en dimension 3)
0( ) ( , )s skk v k k k
ka
3 branches
acoustiques
3p-3 branches optiques ( )k
0
6 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
Valeurs propres négatives de D ?
2 0 i
Fréquence imaginaire = instabilité
( ) t
i iu t u e
R
E Mode stable
Mode instable
2 0
2 0
4) Les vibrations du réseau
7 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
4) Les vibrations du réseau
Instabilité sous pression du quartz
8 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
4) Les vibrations du réseau
Passage d’un col et loi d’Arhenius
Etat stable
Etat instable
Etat métastable
2 0
2 0 2 0
0B
E
k T
a b e
E
a b
E
Coordonnée de réaction
Cas général (formule de Vineyard)
3
,min
10 3 1
,col
1
N
i
i
N
i
i
a
b
9 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
4.5 Traitement quantique
4) Les vibrations du réseau
21 1
2
1
0 02 2
N Nn
cl n n
n n
p KH u u
m
1
0
1j
j
Nik na
k n
n
u e uN
2
2 2
clk kcl k k k k
k PZB k PZB k PZB
p p mH u u h
m
2 sin2
k
k aK
m
Décomposition en modes propres
2 0,1, , 1jk j j N
Na
1
0
1j
j
Nik na
k n
n
p e pN
BVK
n N nu u
(Transformée de Fourier discrète)
Hamiltonien classique
*
*k k
k k
p pu u
1
j
j
j
ik na
n k
k PZB
u e uN
1
j
j
j
ik na
n k
k PZB
p e pN
2i
Naw e
1
0
1 Nnj
j n
n
u w uN
1
0
1 Nnj
n j
n
u w uN
Hamiltonien classique « diagonalisé »
10 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
21
2 2
ququ k k k k k k
k k
mH P P Q Q h
m
† 12
( )qu k k k
k
H a a
Du classique au quantique
4) Les vibrations du réseau
2
2 2
clk kcl k k k k
k k k
p p mH u u h
m
Hamiltonien classique
Hamiltonien quantique
1 1
2 22
kk k k
k
ma Q i P
mOpérateur « création » †
k k kn a aOpérateur nombre de particules
11 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
,
12,
( ) ( )k s
sk snn k
4) Les vibrations du réseau
dimension 3
,0,1,
k sn
•Quantum d’énergie de vibration du réseau ( )s k Quasi-particule=phonon
•Energie totale d’un ensemble de phonons
12, ,
1,2,3
( ) ( )tot sk s k sk PZBs
E n n k
,k sn
1
2( ) ( )
kkn
n k•Spectre énergétique dimension 1
Interaction possible avec
Électrons (couplage électrons-phonons)
photons
1,2,3
k PZB
s
12 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
4) Les vibrations du réseau
4.6 Propriétés thermiques
4.6.1 Rappels expérimentaux: chaleur spécifique
C
T
3 B
dUC Nk
dT
Loi de
Dulong Petit
Dépend des éléments
4.6.2 traitement classique
3T
•Equipartition de l’énergie
2 2( , )clh q p ap bq
2 2
2 2
2 ( )
2
( )
( ) 1
2
ap bq
Bap bqcl
ap e dpdqap k T
e dpdq
3 oscillateursN
2 2
2 2
2 ( )
2
( )
( ) 1
2
ap bq
Bap bqcl
bq e dpdqbq k T
e dpdq
3 3B BU Nk T C Nk
13 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
4.6.3 Modèle d’Einstein
4) Les vibrations du réseau
On suppose que le cristal est formé d’oscillateurs harmoniques indépendants
caractérisés par une fréquence unique: la fréquence d’Einstein
1 1 12 2 2, ,
( ) ( ) ( )x y z
i i i i
x y z En n nn n n
NZ z
( )i i
i
B
i
n
k T
n
Z e
33 1
( ) ( )2 2
, , 0 0
1
12sinh
2
x y z E E
x y z
E
n n n n
n n n n
z e e
3
1
2sinh( / 2)
N
E
Z
Fonction de partition
( )tot i i
i
E n
14 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
Energie libre
4) Les vibrations du réseau
ln lnB BF k T Z Nk T z
FS
T
Entropie
Energie moyenne
F U TS
lnU Z
12
13 3 coth
2 21E
E E
B
EU N Nk Te
2
2
13
2sinh
2
EV B
EB
B
UC Nk
T k T
k T
3 BNk
2
3E
E
T
BT
TNk
Te
Capacité calorifique ET T
ET T
B E Ek T Température d’Einstein
Modèle d’Einstein
15 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
ET
Te
C3 B
dUC Nk
dT Dulong Petit
4) Les vibrations du réseau
•Succès et échec du modèle d’Einstein
Le comportement en T3 ne peut-être reproduit que si le spectre
est pratiquement continu au voisinage du niveau fondamental
16 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
4.6.4 Calcul « exact »
4) Les vibrations du réseau
,
12,
( ) ( )k s
sk snn k
,
,
( )
,,
tot k s
B
k s
E n
k T
k sk sn
Z e z
12, ,
,
( ) ( )tot sk s k sk s
E n n k
12,
,
( ) ( )
,0
1
2sinh ( ) / 2
sk s
k s
n k
k sn s
z ek
,,
ln lnB B k sk s
F k T Z k T z
12,
,( )
,
1ln n ( )
1l
ssk s
k sk
k s
U Z z ke
17 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
4) Les vibrations du réseau
12,
,
( )sk sk s
U n k
Les phonons sont des bosons!
, ( )
1
1sk s k
ne
Statistique de Bose-Einstein E
( )
1
1En
e
0
Phonons= photons (dans la matière)
0( ) ( , )s skk v k k k
Bosons de potentiel chimique nul: le nombre de phonons n’est pas fixe
Relation linéaire comme les photons
dans la direction ( , )k k
18 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
4) Les vibrations du réseau
3
,
( ( )) ( ( ))2
s sdsNk PZB s PZB
f k f k d kDu discret au continu : volume
: dimensionalités : polarisationd
Densité d’état:
max
0,
( ( )) ( () )s
k s
f k dDf
Nombre de modes par unité de volume
max
0,
1
3 1( ( )) ( )s
k s
Nf k D d
( )D d Nombre d’états par unité de volume entre et d
4.6.5 Un détour vers la densité d’état
19 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
Densité d’état aux basses fréquences
0( ) ( , )s skk v k k k
0( )s kk v k
Valeur moyenne
4) Les vibrations du réseau
( )D d
Nombre d’états entre et d
( )k v k
: sphèrecte k k cte
2
3
2
32
2
2
( ) (3)4(2 )
3 3( )
2 2
D d k dk
kD
d vdk
Densité d’état parabolique
(modèle de Debye justifié à basse T cf 4.6.7 )
20 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
4) Les vibrations du réseau
La limite haute température
max
00
1
3
( ) 31
B B
N
U U k T D d Nk Te
0T
max0 0 B
B
k Tk T
La structure quantique disparait à température « élevée »..
max Bk qq centaines de K
4.6.6 retour au calcul de l’énergie
max
00
( )1
U U D de
1
0 2
,
( )s
k s
U k (énergie de point zéro)
Energie moyenne à température finie
21 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
La limite basse température
0T
4) Les vibrations du réseau
max
00
( )1
U U D de
changement de variable
x
max
0
1
1x
x x dxD
e
2
0
( ) 1
1
0
B
x
k T xxD dx
e
Les hautes fréquences
ne contribuent pas
4
34
0 2 3 3 0
15
3( )
2 1B x
xU U k T dx
v e
2
2 3
3
2x
xD
v
Densité d’état aux basses fréquences
22 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
3232
5
V BV B
C k Tc k T
v
4) Les vibrations du réseau
•Le bon comportement de la chaleur spécifique à basse température
Conséquence du comportement linéaire des relations de dispersion et de la dimensionnalité
2
Vc T Vc T
Dimension 2 Dimension 1
(électrons)Vc T
23 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
4) Les vibrations du réseau
4.6.7 Modèle de Debye
Rappels sur le modèle d’Einstein
( )D
E
3( ) ( )E
at
D d
ET
TC e
à basse température
FAUX car on néglige le caractère continu à basse fréquence
E N oscillateurs indépendants de même pulsation
max
00
( ) 31 1E
EU U D d Ne e
24 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
Le modèle de Debye
23 3 2 3
0
3 3 63 ( ) 6
D
D
at at
Nn D d v nv
2 3
23( )
2D
v
4) Les vibrations du réseau
D Relié à la vitesse du son
Kv a
M
vk
On remplace toutes les branches du spectre
(y compris les branches optique si il y’en a)
par des branches ayant la même dispersion
D Dvk
25 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
•Température de Debye D B Dk
C
T
3T
D
Température caractéristique au delà de laquelle les phonons de plus
haute énergie commencent à être excités
(~ Température de Fermi pour les électrons)
Sépare le régime quantique du régime classique
centaine de degrés KD qqs
4) Les vibrations du réseau
34
312
5
VV B
D
C Tc nk T
26 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
4) Les vibrations du réseau
Température de Debye de quelques éléments
27 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
4.6.8 Déplacement quadratique moyen
4) Les vibrations du réseau
•Energie et déplacement quadratique moyen d’un oscillateur harmonique
2 2 2
2
EE M u u
M
12
1
1E
e
2 12
1
1u
e M
max2 120
( ) 1
1at
Du d
M e
Oscillateur unique
Cristal d’oscillateurs
28 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
4) Les vibrations du réseau
2 3
23( )
2D
v2
3 36D
at
v
2
3
9( )
at D
D
D B Dk
22
2 2 20
9( ) 9DB Bat
D B D
k T k TD Tu d
M M Mk
•Limite haute température
max2
20
( )Bat
k T Du d
M
Modèle de Debye
29 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
4) Les vibrations du réseau
•Critère de Lindemann pour la fusion
Il y’a fusion si 2 , distance interatomique
10
du d
22
2
9
10 900
B D
D B
k T MdT d
M k
2/3 2/322 3 2
26
900 900
Dmelting
B at B
M d MvT d
k k
23 36D
at
v
Remarque sur les dimensions 1 et 2
On montre (sans difficulté) qu’en dimension 1 et 2 2 !!!!u
Il s’agit d’un exemple particulier du théorème de Mermin-Wigner qui
stipule l’instabilité d’un cristal mono ou bi-dimensionnel
30 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
4) Les vibrations du réseau
4.6.9 Effets anharmoniques
•Croissance de la chaleur spécifique à haute température
C
T
Cu
K Sn
•Dilatation thermique
V(x)
x
0 0x x Approximation harmonique
x0x
top related