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ELECTRONIQUEDE
PUISSANCE
Chapitre 1
Description des phénomènes de commutation
M. Correvon
-
T A B L E D E S M A T I E R E S
PAGE
1. ELEMENTS ET PHENOMENES DE COMMUTATION...................................................................................1
1.1 GÉNÉRALITÉS...........................................................................................................................................................11.1.1 Nécessité de la commutation.........................................................................................................................1
1.2 FONCTION ÉLÉMENTAIRE DU TRAVAIL EN COMMUTATION ......................................................................................11.2.1 Définition.......................................................................................................................................................11.2.2 Interrupteur idéal sous charge résistive .......................................................................................................21.2.3 Interrupteur avec résistance interne sous charge résistive ..........................................................................31.2.4 Interrupteur avec résistance interne et résistance de fuite sous charge résistive ........................................41.2.5 Interrupteur avec capacité parasite sous charge résistive ...........................................................................61.2.6 Interrupteur avec résistance interne et résistance de fuite sous charge inductive.................................... 101.2.7 Interrupteur avec résistance interne et résistance de fuite sous charge capacitive.................................. 131.2.8 Diagramme de fonctionnement, cas réel ................................................................................................... 15
ANNEXE ............................................................................................................................................................................ 18
A.1 ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE LINÉAIRE DU PREMIER ORDRE................................................................................... 18A.1.1 EXEMPLE THÉORIQUE....................................................................................................................................... 18A.1.2 EXEMPLE : CIRCUIT RL.................................................................................................................................... 19A.2 ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE LINÉAIRE DU DEUXIÈME ORDRE................................................................................ 20A.2.1 EXEMPLE THÉORIQUE....................................................................................................................................... 20A.2.1.1 LES TERMES K1 ET K2 SONT RÉELS ET IDENTIQUES ...................................................................................... 22A.2.1.2 LES TERMES K1 ET K2 SONT RÉELS ET DISTINCTS ......................................................................................... 22A.2.1.3 LES TERMES K1 ET K2 SONT RÉELS ET DISTINCTS ......................................................................................... 23A.2.2 EXEMPLE : CIRCUIT RLC................................................................................................................................. 24
A.2.2.1 PREMIER CAS : CLR
LCLR 401
2
2
==−���
�...................................................................... 25
A.2.2.2 DEUXIÈME CAS : 012
2
>−���
�
LCLR
....................................................................................................... 26
A.2.2.3 TROISIÈME CAS : 012
2
-
DESCRIPTION DES PHENOMENES DE COMMUTATION Page 1
1. DESCRIPTION DES PHENOMENES DE COMMUTATION.
1.1 GÉNÉRALITÉS
1.1.1 Nécessité de la commutationL'électronique de puissance a pour ambition la conversion des ondes électriques (de continu encontinu, de continu en alternatif et inversement, d'alternatif en alternatif) et la commande de lapuissance électrique ainsi convertie au moyen de composants électroniques, c'est-à-dired'éléments de petites dimensions devant les systèmes alimentées.Lorsque ces opérations s'effectuent à forte puissance (par rapport à celles facilementcommandées en électronique linéaire) elles doivent obligatoirement l'être à très faibles pertesrelatives, non seulement pour des raisons de rendement mais surtout parce qu'il est alors excluque les composants électroniques utilisés puissent dissiper sans risque un pourcentage nonnégligeable de la puissance mise en jeu.Autrement dit, pour les puissances (par exemple au-delà d'un kilowatt) nécessitant des tensionset des intensités élevées, un élément de convertisseur parcouru par une portion importante ducourant nominal ne pourra provoquer qu'une chute de tension très faible pour que ses pertessoient compatibles avec ses dimensions et sa température maximale de travail, inversement, s'ilsupporte tout ou partie de la tension nominale il ne pourra être traversé que par un courantd'intensité négligeable.En définitive, les composants électroniques ne pourront travailler que dans deux types d'états
- courant de l'ordre de grandeur du courant nominal, très faible tension,- tension de l'ordre de grandeur de la tension nominale, très faible courant.
Pour réaliser les conversions recherchées il faudra de plus que les composants passent d'un typed'états à l'autre au cours de transitions rapides et peu dissipatrices (c'est-à-dire respectant leurscontraintes thermiques) ; on dira alors qu'ils commutent.Ce mode de fonctionnement des composants électroniques ressemble à celui des interrupteursmécaniques.En conclusion, l'électronique de puissance est nécessairement une électronique de commutationet on peut l'analyser intégralement en remplaçant les composants électroniques par desinterrupteurs électroniques (ou interrupteurs statiques) dont on définira plus loin lescaractéristiques.On adoptera désormais le vocabulaire relatif aux interrupteurs : état ouvert, état fermé,ouverture, fermeture.
1.2 FONCTION ÉLÉMENTAIRE DU TRAVAIL EN COMMUTATION
1.2.1 DéfinitionLes dispositifs qui vont servir d'interrupteur en électronique de puissance doivent travailler dansl'un des états stables suivant :
- état ouvert (ou bloqué) noté OFF- état fermé (ou conducteur) noté ON
-
DESCRIPTION DES PHENOMENES DE COMMUTATION Page 2
Soit Q un dipôle –interrupteur, uQ la différence de potentiel et iQ l'intensité du courant direct, cesétats sont décrits, lorsque Q est alimenté par une source de tension en série avec une résistancepar les relations
Etat ouvert OFF :0≅
≅
Q
sQ
iUu Etat fermé ON :
0≅
≅
Q
s
sQ
uRUi
Il faut ajouter aux états statiques une caractéristique dynamique, c'est à dire la trajectoiresuivie par le point de fonctionnement de l'interrupteur lors d'une commutation.
1.2.2 Interrupteur idéal sous charge résistiveLa Figure 1-1 (b) présente la caractéristique d'un interrupteur idéal. A l'état bloqué (OFF), larésistance d'isolation est infinie et à l'état fermé (ON), la résistance de passage est nulle.
QUs
Rsis
uQ
iQiQ
uQ
(a) (b)
iQuQ
t
uOFFiON
ONOFF
iQ
uQ
UsRs
Us
ON
OFF
(c) (d)
Figure 1-1 : Représentation schématique d'un interrupteur idéal
s
Q
s
sQ R
uRUi −= 1.1
Dans le cas de l'interrupteur idéal, la trajectoire suivie par le point de fonctionnement est telleque la commutation n'induit aucune perte.
-
DESCRIPTION DES PHENOMENES DE COMMUTATION Page 3
1.2.3 Interrupteur avec résistance interne sous charge résistiveLa Figure 1-2 (b) présente la caractéristique d'un interrupteur. A l'état bloqué (OFF), la résistanced'isolation est infinie et à l'état fermé (ON), la résistance de passage est égale à rON.
rON
Rs
uQUs
is iQ
Q
iQ
uQ
pente : 1/rON
(a) (b)iQuQ
t
iON
uON
uOFF
OFF ON
iQ
uQUs
ON
OFF
uQ(ON)
iQ(ON)
UsRs
(c) (d)
Figure 1-2 : Représentation schématique d'un interrupteur avec résistance de passage en conduction
22)()()(
)(
)(
)( sONsON
ONQONQONQ
sONs
ONONQ
ONs
sONQ
UrR
ruip
UrR
ru
rRUi
⋅+
=⋅=
⋅+
=
+=
1.2
Cet interrupteur, comme le précédent, ne possède pas de perte de commutation. Par contre, il estle siège de pertes de conduction
-
DESCRIPTION DES PHENOMENES DE COMMUTATION Page 4
1.2.4 Interrupteur avec résistance interne et résistance de fuite sous charge résistiveLa Figure 1-3 (b) présente la caractéristique d'un interrupteur. A l'état bloqué (OFF), la résistanced'isolation prend la valeur ROFF et à l'état fermé (ON), la résistance de passage est égale àRON =rON//ROFF.
Rs iQ
uQUs
rON
ROFFQ
is
uQ
iQ
pente : 1/RON
pente : 1/ROFF
(a) (b)iQuQ
t
uOFFiON
uONiOFF
OFF ON
iQ
uQ
ON
OFF
iQ(ON)
uQ(ON) uQ(OFF)iQ(OFF)
UsRs
(c) (d)
Figure 1-3 : Représentation schématique d'un interrupteur avec résistance de passage en conduction etrésistance d'isolation non infinie
Interrupteur ouvert
22)()()(
)(
)(
)( sOFFsOFF
OFFQOFFQOFFQ
sOFFs
OFFOFFQ
OFFs
sOFFQ
URR
Ruip
URR
Ru
RRUi
⋅+
=⋅=
⋅+
=
+=
1.3
-
DESCRIPTION DES PHENOMENES DE COMMUTATION Page 5
Interrupteur fermé
22)()()(
)(
)(
)( sONsON
ONQONQONQ
sONs
ONONQ
ONs
sONQ
URR
Ruip
URR
Ru
RRUi
⋅+
=⋅=
⋅+
=
+=
1.4
Cet interrupteur, comme les précédents, ne possède pas de pertes de commutation. Par contre, ilest le siège de pertes de conduction à l'état bloqué comme à l'état conducteur.
-
DESCRIPTION DES PHENOMENES DE COMMUTATION Page 6
1.2.5 Interrupteur avec capacité parasite sous charge résistiveLa Figure 1-4 (b) présente la caractéristique d'un interrupteur non idéal. A l'état bloqué (OFF), larésistance d'isolation prend la valeur ROFF et à l'état fermé (ON), la résistance de passage estégale àRON=. ROFF//rON. Une capacité parasite aux bornes de l'interrupteur modifie le comportementdynamique de ce dernier (durant les commutations).
Rsis
uQUs
rON
ROFF CpQ
iQ
uQ
iQ
pente : 1/RON
pente : 1/ROFF
(a) (b)
Figure 1-4 : Représentation schématique d'un interrupteur et de sa caractéristique statique
1.2.5.1 Caractéristiques dynamiques (OFF→ON)Lorsque l'interrupteur est à l'état OFF, on peut définir le point de fonctionnement avantcommutation de la manière suivante :
OFFs
sOFFQ
sOFFs
OFFOFFQ
RRUi
URR
Ru
+=
⋅+
=
)(
)(
1.5
Ces deux grandeurs représentent les conditions initiales lors de la commutation. A la fermeturede l'interrupteur, on peut écrire la relation liant les courants au nœud de la borne supérieure del'interrupteur
sOFFs
OFFOFFQc
cp
ON
c
s
cs
CRCrRQ
URR
Ruu
initialeconditionpouravecdt
tduCR
tuR
tuU
titititititipONpONOFF
⋅+
==
⋅+=−
+=++=
)()0(
:
)()()(
)()()()()()(
1.6
la solution générale de cette équation différentielle prend la forme
-
DESCRIPTION DES PHENOMENES DE COMMUTATION Page 7
s
Qs
s
csQ
CRRts
OFFs
OFFCRRts
ONs
ONQc
RtuU
RtuUti
eURR
ReURR
Rtutu pONSpONS
)()()(
)1()()( )///()///(
−=−=
⋅⋅+
+−⋅⋅+
== ⋅−⋅−
1.7
La seconde des relations 1.7 montre que la trajectoire du point de fonctionnement dans la phasedynamique est parfaitement définie. Il s'agit d'une droite. Le paramètre t donne la vitesse dedéplacement de la paire uQ, iQ sur cette droite.Les pertes de commutation correspondent à la décharge du condensateur Cp qui voit à ces bornes
la tension varier de ssOFFS
OFFc UURR
Ru ≅
+=)0( jusqu'à s
s
ONs
ONs
ONc UR
RURR
Ru ⋅≅⋅+
=∞)( .
iQ
uQ
iQON ON
OFF
uQON
s
QsQ R
uUi
−=
(a)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t [ms]
uQ(t), iQ(t), pQ(t) [pu]
uQ(t) iQ(t)
pQ(t)
(b)
Figure 1-5 : Comportement dynamique de l'interrupteur à la fermeture
-
DESCRIPTION DES PHENOMENES DE COMMUTATION Page 8
1.2.5.2 Caractéristiques dynamiques (ON→OFF)Lorsque l'interrupteur est à l'état ON, on peut définir le point de fonctionnement avantcommutation de la manière suivante :
ONs
sONQ
sONs
ONONQ
RRUi
URR
Ru
+=
⋅+
=
)(
)(
1.8
Ces deux grandeurs représentent les conditions initiales lors de la commutation. A l'ouverture del'interrupteur, on peut écrire la relation liant les courants au nœud de la borne supérieure del'interrupteur
sONs
ONONQc
cp
OFF
c
s
cs
CRQ
URR
Ruu
initialeconditionpouravecdt
tduCR
tuR
tuU
tititipOFF
⋅+
==
⋅+=−
+=
)()0(
:
)()()(
)()()(
1.9
la solution générale de cette équation différentielle prend la forme
s
Qs
s
csQ
CRts
ONs
ONCRts
OFFs
OFFQc
RtuU
RtuUti
eURR
ReURR
Rtutu pp
)()()(
)1()()( //
−=−=
⋅⋅+
+−⋅⋅+
== ⋅−⋅−
1.10
Comme pour le cas de la commutation à la fermeture, la trajectoire du point de fonctionnementdans la phase dynamique est une droite. Le paramètre t donne la vitesse de déplacement de lapaire uQ, iQ sur cette droite.
Les pertes de commutation sont en fait une accumulation d'énergie dans le condensateur Cp qui
voit la tension à ces bornes passer de sONs
ONc URR
Ru ⋅+
=)0( jusqu'à sOFFs
OFFc URR
Ru ⋅+
=∞)( .
-
DESCRIPTION DES PHENOMENES DE COMMUTATION Page 9
iQ
uQ
iQON ON
OFF
uQOFF
s
QsQ R
uUi
−=
(a)
t [ms]
uQ(t), iQ(t), pQ(t) [pu]
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
iQ(t) uQ(t)
pQ(t)
(b)
Figure 1-6 : Comportement dynamique de l'interrupteur à l'ouverture
-
DESCRIPTION DES PHENOMENES DE COMMUTATION Page 10
1.2.6 Interrupteur avec résistance interne et résistance de fuite sous charge inductiveLa Figure 1-7 (b) présente la caractéristique d'un interrupteur. A l'état bloqué (OFF), la résistanced'isolation prend la valeur ROFF et à l'état fermé (ON), la résistance de passage est égale àRON=ROFF//rON.La charge connectée à cet interrupteur est de type inductif.
Rs iQ
uQUs
rON
ROFFQ
Lsis
uQ
iQ
pente : 1/RON
pente : 1/ROFF
(a) (b)
Figure 1-7 : Représentation schématique d'un interrupteur sur charge inductive
1.2.6.1 Caractéristiques dynamiques (OFF→ON)Lorsque l'interrupteur est à l'état OFF, on peut définir le point de fonctionnement avantcommutation de la manière suivante :
OFFs
sOFFQ
sOFFs
OFFOFFQ
RRUi
URR
Ru
+=
⋅+
=
)(
)(
1.11
Ces deux grandeurs représentent les conditions initiales lors de la commutation. A la fermeturede l'interrupteur, on peut écrire la relation liant les tensions de la maille principale du montage.
OFFs
sQ
sONss
ss
QRLs
RRUi
initialeconditionpouravec
tiRRdt
tdiLU
tututuUss
+=
⋅++⋅=
++=
)0(
:
)()()(
)()()(
1.12
la solution générale de cette équation différentielle prend la forme
-
DESCRIPTION DES PHENOMENES DE COMMUTATION Page 11
)()(
)1()( /)(/)(
tiRtu
eRR
UeRR
Uti
QONQ
LRRt
OFFs
sLRRt
ONs
sQ
ONsONs
⋅=
⋅+
+−⋅+
= +⋅−+⋅−1.13
La seconde expression des relations 1.13 montre que la trajectoire du point de fonctionnementdans la phase dynamique est parfaitement définie. Il s'agit d'une droite confondue avec lacaractéristique "ON" de l'interrupteur. Le paramètre t donne la vitesse de déplacement de la paireuQ, iQ sur cette droite.
iQ
uQ
iQON ON
OFF
uQOFF
Figure 1-8 : Comportement dynamique de l'interrupteur à la fermeture : Diagramme de fonctionnement
Dans le cas de la fermeture de l'interrupteur sous charge inductive, il n'y a pas de perte decommutation pour un interrupteur sans capacité parasite.
1.2.6.2 Caractéristiques dynamiques (ON→OFF)Lorsque l'interrupteur est à l'état ON, on peut définir le point de fonctionnement avantcommutation de la manière suivante :
ONs
sONQ
sONs
ONONQ
RRUi
URR
Ru
+=
⋅+
=
)(
)(
1.14
Ces deux grandeurs représentent les conditions initiales lors de la commutation. A l'ouverture del'interrupteur, on peut écrire la relation liant les courants au nœud d'une des bornes del'interrupteur
-
DESCRIPTION DES PHENOMENES DE COMMUTATION Page 12
ONs
sQ
sOFFss
ss
QRLs
RRUi
initialeconditionpouravec
tiRRdt
tdiLU
tututuUss
+=
⋅++⋅=
++=
)0(
:
)()()(
)()()(
1.15
la solution générale de cette équation différentielle prend la forme
)()(
)1()()( /)(/)(
tiRtu
eRR
UeRR
Utiti
QOFFQ
LRRt
ONs
sLRRt
OFFs
sQs
OFFsOFFs
⋅=
⋅+
+−⋅+
== +⋅−+⋅−1.16
La seconde expression des relations 1.16 montre que la trajectoire du point de fonctionnementdans la phase dynamique est parfaitement définie. Il s'agit d'une droite confondue avec lacaractéristique "OFF" de l'interrupteur. Le paramètre t donne la vitesse de déplacement de lapaire uQ, iQ sur cette droite.
iQ
uQ
iQON ON
OFF
uQOFF
Figure 1-9 : Comportement dynamique de l'interrupteur à l'ouverture
Dans ce cas les pertes de commutation sont très importantes. En effet l'inductance Ls secomporte comme une source de courant. Lorsque l'on provoque une ouverture du circuit parl'interrupteur, le courant ne peut s'interrompre brusquement. Une surtension dépendant duproduit de la résistance de fuite de l'interrupteur (ROFF) et du courant circulant dans l'inductanceau moment de l'ouverture de l'interrupteur.
-
DESCRIPTION DES PHENOMENES DE COMMUTATION Page 13
1.2.7 Interrupteur avec résistance interne et résistance de fuite sous charge capacitiveEn utilisant le principe de dualité, on peut transformer le schéma de la Figure 1-7 par celui de laFigure 1-10 (a). En effet en remplaçant la source de tension US par une source de courant IS, lesrésistances R par des conductances G, l'inductance L par une capacité C, l'interrupteur avec lesétats inversés (fermé ↔ ouvert) on obtient une parfaite similitude entre les deux structures. Enassignant les valeurs des éléments de la manière suivante
��
==
�=
===
}{}{}{}{
}{}{
}{}{}{}{}{}{
ONOFF
OFFON
SS
SS
SS
rgRG
OFFON
RGLC
UI
1.17
on peut simplement intervertir les valeurs de la tension uQ avec le courant iQ du cas de la chargede type inductive.
Gs
iQ
uQ
gOFF
GON
Q
Cs
Is
uQ
iQ
pente : GON
pente : GOFF
(a) (b)
Figure 1-10 : Représentation schématique d'un interrupteur sur charge capacitive
1.2.7.1 Caractéristiques dynamiques (OFF→ON)Par analogie avec la charge inductive définie au paragraphe précédent, on peut montrer que lediagramme de fonctionnement prendra l'allure de la Figure 1-11. Le soin est laissé au lecteur devérifier la véracité du résultat.
Dans le cas de la fermeture de l'interrupteur sous charge capacitive, il y a de fortes pertes decommutation dues au courant capacitif limité que par la conductance GON.
-
DESCRIPTION DES PHENOMENES DE COMMUTATION Page 14
iQ
uQ
iQON ON
OFF
uQOFF
Figure 1-11 : Comportement dynamique de l'interrupteur à la fermeture : Diagramme de fonctionnement
1.2.7.2 Caractéristiques dynamiques (ON→OFF)Toujours par analogie avec le cas de la charge inductive, on obtient pour le diagramme defonctionnement l'allure de la Figure 1-12.
iQ
uQ
iQON ON
OFF
uQOFF
Figure 1-12 : Comportement dynamique de l'interrupteur à l'ouverture
Dans ce cas les pertes de commutation sont nulles, le courant aux bornes de l'interrupteur étantimmédiatement limité.
-
DESCRIPTION DES PHENOMENES DE COMMUTATION Page 15
1.2.8 Diagramme de fonctionnement, cas réelOn appelle diagramme de fonctionnement la trajectoire de la paire uQ, iQ lors d'un cycle decommutation. Dans les paragraphes précédents, nous avons vu une décomposition de cassimples. Dans la majorité des cas réels, la charge est inductive (moteur, transformateur, filtre,…) et l'interrupteur possède une caractéristique complexe (MOSFET, IGBT, transistor bipolaireBJT, …).En superposant le diagramme de fonctionnement avec les aires de sécurité des composantssemiconducteurs de puissance, on peut s'assurer que le composant choisi est apte à supporter lestransitoires de commutation, notamment la surintensité à la fermeture et la surtension àl'ouverture. Ce point sera développé à la suite du cours.Les diagrammes de fonctionnement pour les trois cas de charge que sont la résistance, lacapacité et l'inductance prendront donc les allures définies aux paragraphes suivants:
1.2.8.1 Perte de commutation sur charge résistive
iQ
uQ
iQON ON
OFF
uQOFFFigure 1-13 : Diagramme de fonctionnement réel pour une charge résistive
t
uQ , iQ , pQuQ(t)
iQ(t)pQ(t)
Figure 1-14 : Perte de commutation pour une charge résistive
Si les caractéristiques dynamiques de l'interrupteur sont identiques à la fermeture et à l'ouverture,les pertes de commutation OFF → ON et ON → OFF sont identiques dans le cas d'une chargerésistive.
-
DESCRIPTION DES PHENOMENES DE COMMUTATION Page 16
1.2.8.2 Perte de commutation sur charge inductive
iQ
uQ
iQONON
OFF
uQOFFFigure 1-15 : Diagramme de fonctionnement réel pour une charge inductive
t
uQ , iQ , pQuQ(t)
iQ(t)
pQ(t)
Figure 1-16 : Perte de commutation pour une charge inductive
Dans ce cas, l'inductance se comporte comme une source de courant. Lors de la fermeture del'interrupteur, le courant ne peut croître instantanément, de ce fait les pertes de commutationOFF → ON sont réduites (par rapport au cas d'une charge résistive). Par contre, lors del'ouverture de l'interrupteur, le courant de la charge ne peut diminuer instantanément. Il y auradonc une forte augmentation de la tension aux bornes de l'interrupteur afin de forcer le passagedu courant. Les pertes de commutation ON→OFF seront donc augmentées (par rapport au casd'une charge résistive)
-
DESCRIPTION DES PHENOMENES DE COMMUTATION Page 17
1.2.8.3 Perte de commutation sur charge capacitive
iQ
uQ
iQON ON
OFF
uQOFFFigure 1-17 : Diagramme de fonctionnement réel pour une charge capacitive
t
uQ , iQ , pQuQ(t)
iQ(t)
pQ(t)
Figure 1-18 : Perte de commutation pour une charge capacitive
Dans ce cas, la capacité se comporte comme une source de tension. Lors de la fermeture del'interrupteur, il y a une pointe de courant qui provoque une augmentation des pertes decommutation OFF → ON (par rapport au cas d'une charge résistive). Par contre lors del'ouverture de l'interrupteur, la tension aux bornes de celui-ci ne peut croître instantanément. Dece fait, les pertes de commutation ON→OFF sont réduites (par rapport au cas d'une chargerésistive)
1.2.8.4 ConclusionEn guise de conclusion, on dira que pour minimiser les pertes de commutation dans lessemiconducteurs jouant le rôle d'interrupteur, il serait souhaitable de réaliser une fermeture surcharge à caractère inductif et une ouverture sur charge à caractère capacitif.
-
DESCRIPTION DES PHENOMENES DE COMMUTATION Page 18
ANNEXE
A.1 ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE LINÉAIRE DU PREMIER ORDREAfin de clarifier l'utilisation des relations faisant intervenir les équations différentielles linéairesdu 1er ordre à coefficient constant, des exemples théorique et pratique sont donnés dans cetannexe.
A.1.1 Exemple théoriqueSoit l'équation différentielle suivante :
baydxdy =+ A. 1
où a et b sont des constantes. Cherchons tout d'abord la solution de l'équation généralehomogène
0=+ aydxdy
A. 2
En posant pour solution de l'équation homogène la forme générale
kxg Cey = A. 3
on obtient l'équation caractéristique
0=+ ak A. 4
Par suite la solution de l'équation homogène est
axg Cey
−= A. 5
Cherchons à présent la solution particulière yp de l'équation non homogène sous la forme
By p = A. 6
En substituant dans la relation A. 1, on obtient
abB = A. 7
Et la solution générale de l'équation est
-
DESCRIPTION DES PHENOMENES DE COMMUTATION Page 19
abCeyyy axpg +=+=
− A. 8
La constance C est obtenue par la connaissance de la condition initiale. En effet
abCy +=)0( A. 9
et par conséquent
abe
abyxy ax +⋅��
�
� −= −)0()( A. 10
Dans le cadre de ce cours, on a pour habitude d'écrire cette relation sous une autre forme
( ) axax eyeabxy −− ⋅+−⋅= )0(1)( A. 11
Dans la plupart des cas, 0>a . La signification physique des divers termes est donc la suivante
( ) axinitialeValeur
ax
finaleValeur
eyeabxy −− ⋅+−⋅= )0(1)(
A. 12
A.1.2 Exemple : Circuit RL
R
U
L
i(t)
Inductance réelle soumise à une tension
RLt
initialeValeur
RLt
finaleValeur
eieRUti
−−⋅+
����
�−⋅= )0(1)( A. 13
-
DESCRIPTION DES PHENOMENES DE COMMUTATION Page 20
A.2 ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE LINÉAIRE DU DEUXIÈME ORDREAfin de clarifier l'utilisation des relations faisant intervenir les équations différentielles linéairesdu 2eme ordre à coefficients constants, des exemples théorique et pratique sont donnés dans cetannexe.
A.2.1 Exemple théoriqueSoit l'équation différentielle suivante :
ctbydx
tdyadx
yd =++ )()(22
A. 14
où a, b et c sont des constantes. Cherchons tout d'abord la solution de l'équation généralehomogène
0)()(22
=++ tbydx
tdyadx
ydA. 15
En posant pour solution de l'équation homogène la forme générale
xkxkg eCeCy 21 21 += A. 16
on obtient l'équation caractéristique
�
�
�
−���
�−−=
−����
�+−==+⋅+
baak
baakbkak
2
2
2
12
22
220 A. 17
L'intégrale générale est donc de la forme:
�
���
�
�+⋅=
⋅−���
�−⋅−����
�− xb
axbaxa
g eCeCexy22
22
21
2)( A. 18
Cherchons à présent la solution particulière yp de l'équation non homogène sous la forme
Cy p = A. 19
En substituant dans la relation A. 1, on obtient
bcC = A. 20
-
DESCRIPTION DES PHENOMENES DE COMMUTATION Page 21
Et la solution générale de l'équation est
bceCeCexyxyxy
xbaxbaxa
pg +�
���
�
�+⋅=+=
⋅−���
�−⋅−����
�−
22
22
21
2)()()( A. 21
La constance C est obtenue par la connaissance des conditions initiales. En effet
bcCCy ++= 21)0( A. 22
et pour la dérivée
�
���
�
�⋅−⋅⋅−���
�
�+
����
���
�
�⋅+⋅⋅−=
⋅−���
�⋅−����
�−
⋅−��
��
�⋅−��
��
�−
xbaxbaxa
xbaxbaxa
eCeCbae
eCeCeadx
xdy
22
22
22
21
22
22
21
2
2
2)(
A. 23
( ) ( )212
21 22)0( CCbaCCa
dxdy −⋅−��
�
�++⋅−= A. 24
Les coefficients C1 et C2 prennent la forme suivante
dxdy
babcy
ba
baa
C )0(
22
1)0(
22
2222
2
1
−����
�+���
�
� −
−����
�
−����
�+= A. 25
dxdy
babcy
ba
baa
C )0(
22
1)0(
22
2222
2
2
−���
�−���
�
� −
−����
�
−����
�+−= A. 26
et par conséquent
-
DESCRIPTION DES PHENOMENES DE COMMUTATION Page 22
bcee
ba
eeae
dxdy
ba
eee
yee
ba
eeaexy
xbaxbaxbaxba
xa
xbaxba
xa
xbaxbaxbaxba
xa
�
������
�
�
������
�����
�
�
++
−����
�
−⋅−
⋅
������
�����
�
�
−����
�
−+
⋅
������
�����
�
�
++
−����
�
−⋅=
⋅−���
�−⋅−����
�⋅−����
�−⋅−����
�
−
⋅−����
�−⋅−����
�
−
⋅−����
�−⋅−����
�⋅−����
�−⋅−����
�
−
2
22
21
)0(
22
)0(2
22
2)(
2222
22
2222
22
2
222
2
222
22
2
222
A. 27
Les trois cas qui peuvent se présenter sont décrits dans les paragraphes suivants.
A.2.1.1 Les termes k1 et k2 sont réels et identiques
02
2
=−���
� ba A. 28
sachant que
( ) ( )
( ) xkxeex
kee kxkx
k
kxkx
k=
����
� −⋅=���
���
� − −
→
−
→ 2lim
2lim
00A. 29
on obtient finalement
bcxae
dxdyxeyxaexy
xaxaxa
⋅�
���
���
��
� +⋅−++⋅����
� +⋅=−−−
12
1)0()0(12
)( 222 A. 30
A.2.1.2 Les termes k1 et k2 sont réels et distincts
02
2
>−����
� ba A. 31
-
DESCRIPTION DES PHENOMENES DE COMMUTATION Page 23
bcxbaxba
ba
ae
dxdyxba
bae
yxbaxba
ba
aexy
xa
xa
xa
�
������
�
�
������
�����
�
�
���
��
�
�⋅−���
�
�+���
��
�
�⋅−���
�
�⋅
−����
�−
���
��
�
�⋅−���
�
�⋅
������
�����
�
�
−����
�⋅+
⋅
������
�����
�
�
���
��
�
�⋅−���
�
�+���
��
�
�⋅−���
�
�⋅
−����
�=
−
−
−
22
22
2
22
22
22
2cosh
2sinh
22
1
)0(2
sinh
2
1
)0(2
cosh2
sinh
22
)(
A. 32
A.2.1.3 Les termes k1 et k2 sont réels et distincts
02
2
-
DESCRIPTION DES PHENOMENES DE COMMUTATION Page 24
A.2.2 Exemple : Circuit RLCOn pendra comme exemple un grand classique, soit le circuit RLC
RUE
L
i(t)
CuC(t)
Circuit RLC
Du circuit ci-dessus, on peut écrire l'équation différentielle
)()()( tudt
tdiLtRiU CE ++= A. 35
Le courant circulant dans le condensateur a pour expression
dttduCti C )()( = A. 36
On arrive à une équation différentielle linéaire non homogène du 2ème ordre
)()()(22
tudt
tduRCdt
tudLCU CCCE ++= A. 37
La condition initiale pour la tension aux bornes du condensateur vaut
0)0( =Cu A. 38
La condition initiale pour le courant dans le condensateur vaut
)0(1)0( iCdt
duC = A. 39
En utilisant les résultats du paragraphe A.2.1, on obtient la forme générale suivante :
-
DESCRIPTION DES PHENOMENES DE COMMUTATION Page 25
E
tLCL
RtLCL
RtLCL
RtLCL
R
tL
R
tLCL
RtLCL
Rt
LR
C
tLCL
RtLCL
RtLCL
RtLCL
R
tL
R
C
Uee
LCLR
eeL
Re
i
LCLR
eeC
e
uee
LCLR
eeL
Retu
⋅
�
������
�
�
������
�����
�
�
++
−����
�
−⋅−
⋅
������
�����
�
�
−����
�
−⋅+
⋅
������
�����
�
�
++
−����
�
−⋅=
⋅−���
�−⋅−����
�⋅−����
�−⋅−����
�
−
⋅−����
�−⋅−����
�−
⋅−����
�−⋅−����
�⋅−����
�−⋅−����
�
−
212
22
1
)0(1
22
)0(21
22
2)(
12
12
2
12
12
2
2
12
122
12
12
2
12
12
2
2222
22
2222
A. 40
que l'on peut subdiviser en trois cas distincts
A.2.2.1 Premier cas : CLR
LCLR 401
2
2
==−���
�
E
tL
RtL
R
C
tL
R
C UtLRei
Cetut
LRetu ⋅
����
���
��
� +⋅−+⋅⋅+⋅����
� +⋅=−−−
12
1)0(1)0(12
)( 222 A. 41
uC(t) [V]
t [us]
40.00
-5.00
0
10.00
20.00
30.00
0 100.0 200.0 300.0 400.0
4.00
0
1.00
2.00
3.00
iC(t) [A]
iC(t)
uC(t)
C=1uF, L=1mH, R=63Ω
-
DESCRIPTION DES PHENOMENES DE COMMUTATION Page 26
A.2.2.2 Deuxième cas : 012
2
>−���
�
LCLR
E
tL
R
tL
R
C
tL
R
C
UtLCL
RtLCL
R
LCLRL
Re
itLCL
R
LCLRC
e
utLCL
RtLCL
R
LCLRL
Retu
⋅
�
������
�
�
������
�����
�
�
���
��
�
�⋅−���
�
�+���
��
�
�⋅−���
�
�⋅
−����
�−
⋅
������
�����
�
�
���
��
�
�⋅−���
�
�
−����
�⋅+
⋅
������
�����
�
�
���
��
�
�⋅−���
�
�+���
��
�
�⋅−���
�
�⋅
−����
�=
−
−
−
12
cosh12
sinh1
22
1
)0(12
sinh1
2
1
)0(12
cosh12
sinh1
22
)(
22
22
2
22
22
22
A. 42
uC(t) [V]
t [us]
25.00
0
5.00
10.00
15.00
20.00
0 20.00 40.00 60.00 80.00
iC(t) [A]
25.00
0
5.00
10.00
15.00
20.00
uC(t)
iC(t)
C=1uF, L=1mH, R=150Ω
-
DESCRIPTION DES PHENOMENES DE COMMUTATION Page 27
A.2.2.3 Troisième cas : 012
2
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