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EXERCICE 1 Détermination du pgcd par la méthode de décomposition en facteurs premiers (par exemple)
1053 3 325 5 351 3 65 5 117 3 13 13 39 3 1 13 13 1
1. Calculer le pgcd des nombres 1053 et
325. Les différentes étapes figureront sur la copie.
1053 = 34 x 13 ; 325 = 5² x 13, le pgcd est donc 13.
325 = 13 x 25 et 1053 = 13 x 81, donc 3251 053=
!"!"
2. En déduire la forme irréductible de la
fraction 3251 053.
x² = 3251 053 𝑥!=
!"!"
𝑥 = !! ou 𝑥 = − !
! 3. Résoudre l’équation : x² = 325
1 053
A = 1053 – 3 325 + 2 52.
= 81 ×13 – 3 25×13 +2 4×13
= (9 − 3×5 + 2×2) 13 = - 2 𝟏𝟑
4. Calculer A = 1053 – 3 325 + 2 52.
EXERCICE 2 E =(x – 3)² – (x – 1) (x – 2).
= x² -‐ 6x + 9 –(x²-‐2x-‐x+2) E = -‐3x + 7
On considère l’expression : 1. E =(x – 3)² – (x – 1) (x – 2). a) Développer et réduire E.
Ici on applique le résultat de E à x = 100 000 Donc E = -‐300 000+7 = -‐299 993
b) Comment peut-on en déduire, sans calculatrice, le résultat de
99 997² – 99 999 × 99 998 ? F = (4x + 1)² – (4x + 1) (7x – 6). = (4x + 1 )( 4x + 1-‐7x + 6) = (4x + 1 )( -‐3x + 7)
2. a) Factoriser l’expression : F = (4x + 1)² – (4x + 1) (7x – 6).
(4x + 1) (7 – 3x) = 0 (4x + 1)= 0 ou (7 – 3x) = 0
x = - ! !
ou x = -! !
b) Résoudre l’équation : (4x + 1) (7 – 3x) = 0
EXERCICE 3
Soit x le nombre de chaises à 37 € pièce, Soit y le nombre de chaises à 60 € pièce
a) x+ y =150 37x + 60y = 7459 b) y=150-‐x 37x + 9000-‐60x = 7459
23x = 1541 y=150-‐x
x=67 y=83 67 chaises à 37 €, 83 chaises à 60 €
Une entreprise de menuiserie fabrique 150 chaises par jour ; elle produit deux sortes de chaises, les unes vendues à 37 € pièce, les autres 60 € pièce. Elle a réalisé un chiffre d’affaires de 7459 €. a. Traduire cette situation par un système de deux équations à deux inconnues. b. Quelle est sa production de chaque type de chaises.
EXERCICE 4
Si le coefficient d’agrandissement des longueurs est k, celui des aires est k². a) Donc l’aire réelle est : 8,32 : (4650²) ≈ 3,84 x 10 -‐7 cm² b) Le rayon r vu au microscope est tel que
π r² = 8,32 cm² donc r =!,!"!
et le rayon réel est : !,!"! : 4650 ≈ 3,5 x 10 -‐4 cm
le diamètre est environ 7 x 10 -‐4 cm
1. Dans cette question, les réponses seront données en notation scientifique. Des globules rouges vus au microscope électronique à balayage (× 4 650) ont la forme de disques d’environ 8,32 cm² d’aire. Ceci signifie que les distances apparaissent multipliées par 4 650. a) Calculer, en cm², l’aire réelle d’un globule rouge. b) Calculer, en cm, le diamètre réel d’un globule rouge.
ab = !!! ; !
! = !
!× !!
! = !!
! b² = !
!" 2. Calculer successivement ab,
abb, ² dans
chacun des cas suivants :
a) a et b= = −13
35
. On donnera chacun des résultats
sous la forme d’une fraction simplifiée.
ab = 3×104 x 103= 3×107 ; !! = 3×104 x 10-3= 3×10 ; b² = 103x2 = 106
b) a = 3×104 et b = 103. On donnera chacun des résultats en écriture scientifique.
ab = 366)33(122 −=−× = -‐6 x 6 = -‐36
!! =! !×!!! !
=!×!!!
= !!! b² = ( 33− )( 33− ) =9x3 = 27
c) a = 33122 −=bet . Montrer que les résultats s’écrivent sans racine carrée.
EXERCICE 5 1) a) d2 b) d1 c) d4 2) a) l'une est linéaire, laquelle ? h
b) Quelles sont les droites qui représentent une fonction affine ? d2, d1, d4
c) d3 est-‐elle la représentation graphique d’une fonction ? Justifier. Non, car il existe des points différents sur d3 qui ont une même abscisse.
EXERCICE 6
f(x) = !!
x + 1
g(x) = 3
h(x) = = !!!
x – 2
d4 passe par les points B(0 ;4) et G(4 ;-2) d5 passe par les points L(0 ;-2) et H(3 ;4) 1. Lire graphiquement (sans justification) les
expressions des fonctions f, g, h représentées respectivement par les droites d1, d2, d3 sur le graphique ci-‐contre.
2. Sur ce même graphique, tracer les représentations graphiques d4, d5 des fonctions j et k telles que :
𝑗 𝑥 =−32𝑥 + 4
𝑘 𝑥 =53𝑥 − 1
Problème Partie A : Construction de la figure
Partie B : Etude de la figure
1. a) Tracer un cercle (C ) de centre O et de
rayon 3 cm. Tracer un diamètre [AB] de ce cercle.
b) La médiatrice du segment [OA] coupe le cercle
(C ) aux points C et D. Placer les points C et D.
c) La droite (CD) coupe le segment [OA] au point I. Placer le point I.
2. Tracer la tangente au cercle (C ) au point B.
La droite (OC) coupe cette tangente au point T
et recoupe le cercle (C ) au point M. Placer
les points T et M.
Le point C appartient à la médiatrice du segment [AO], il est donc situé à équidistance des points A et O.
AC = CO, de plus [AO] est un rayon de (C ), donc AO = OC
donc OCA est équilatéral. De même, D appartient à la médiatrice du segment [AO], donc
AD = DO, de plus [AO] est un rayon de (C ), donc AO = OD
donc ODA est équilatéral.
1. Montrer que les triangles OCA et OAD sont équilatéraux. Justifier la réponse.
(CD) est la médiatrice et coupe [AO] en I donc I est le milieu de de [AO].
2. Que représente le point I pour le segment [OA] ?
Dans le triangle ICO rectangle en I, d’après le théorème de Pythagore, on a : OC² = IO² + IC², d’où : 3² -‐ 1,5² = IC²,
soit : IC = ! !!≈ 2,6 cm.
3. Calculer la longueur IC, arrondie au millimètre près.
La droite (CD) est perpendiculaire à la droite (AO) puisqu’elle est la médiatrice du segment [AO]. La droite (BT) est perpendiculaire à la droite (AB) puisqu’elle est la tangente au cercle (C) au point B. Les points A, O et B sont alignés. Les droites (CD) et (BT) sont perpendiculaires à une même droite, elles sont parallèles entre elles.
4. a) Justifier que les droites (CD) et (BT) sont parallèles.
D’après la question précédente, les droites (CD) et (BT) sont parallèles, les droites (IB) et (CT) sont sécantes en O. D’après
le théorème de Thalès, on a : !"!"= !"
!"= !"
!", soit :
OT = !" × !"!"
= !!,! donc : OT = 6 cm.
b) Calculer la longueur OT.
Le point M appartient au segment [OT] et OM = 3 cm et OT = 6 cm. Le point M est donc le milieu du segment [OT].
c) En déduire que le point M est le milieu du segment [OT]
Partie C : Tangente au cercle au point D
Méthode 1
On a 𝐼𝐶𝑂=𝑀𝐶𝐷 Dans le triangle CIO rectangle en I, on a : 𝑠𝑖𝑛𝐼𝐶𝑂 = !"
!"= !
!, on obtient donc : 𝐼𝐶𝑂 = 30°.
Et donc : 𝑀𝐶𝐷 = 30°.
1. Déterminer la mesure de l’angle 𝑀𝐶𝐷.
Les angles 𝑀𝐶𝐷 et 𝑀𝐴𝐷 sont deux angles inscrits dans le
cercle (C ) qui interceptent le même arc, ils ont donc
même mesure. 𝑀𝐴𝐷 = 30°.
2. Déterminer la mesure de l’angle 𝑀𝐴𝐷.
Dans le triangle équilatéral OAD, OAD = 60° 3. Déduire de la question B1 la mesure de l’angle 𝑂𝐴𝐷.
𝑀𝐴𝐷 = 30°,OAD = 60° donc (MA) est la bissectrice de OAD OAD équilatéral, donc les bissectrices sont confondues avec les médiatrices. Donc (MA) médiatrice de [OD].
4. En déduire que la droite (MA) est la médiatrice du segment [OD].
N le point d’intersection de (OD) et (MA),et (MA) médiatrice de [OD], donc N est le milieu de de [OD], Dans le triangle ODT, N est le milieu de [OD], M est donc le milieu du segment [OT], d’après le th des milieux, (MN)// (TD)
5. Soit N le point d’intersection de (OD) et (MA), Montrer que les droites (MN) et (TD) sont parallèles.
(MN) médiatrice de [OD], donc (MN)┴ (OD) et (MN)// (TD) donc (OD)┴ (TD), [OD] rayon du cercle donc (TD) tangente au cercle en D.
6. En déduire que la droite (TD) est la tangente au cercle (C ) au point D.
Méthode 2 :
Les angles 𝑀𝐶𝐷 et 𝑀𝑂𝐷 sont respectivement des angles inscrits et au centre interceptant le même arc de (C), donc 𝑀𝑂𝐷 = 2 𝑀𝐶𝐷 donc 𝑀𝑂𝐷 = 60°
1. Que dire des angles 𝑀𝐶𝐷 et 𝑀𝑂𝐷 ? En déduire la valeur de l’angle 𝑀𝑂𝐷 .
Dans MOD, [MO] et [ OD] sont deux rayons de (C), donc MO=MD, MOD isocèle en O et 𝑀𝑂𝐷 = 60°, donc MOD équilatéral, donc MO = MD, de plus M milieu de [OT], donc MO=MT, donc MO=MD=MT
2. Montrer que le point M est équidistant des points O, D et T.
Donc le triangle ODT est inscrit dans le cercle de centre M, milieu de [OT], de diamètre [OT], or si 3 points sont cocycliques et que deux d’entre eux forment un diamètre du cercle, alors le triangle est rectangle en le 3° sommet donc ODT est rectangle en D.
3. En déduire la nature du triangle ODT.
donc (OD)┴ (TD), [OD] rayon du cercle donc (TD) tangente au cercle en D.
4. Démontrer que la droite (DT) est la tangente au cercle (C ) au point D.
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