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Année 2016-2017 PCSI (Baggio)

Nombres réels et suites numériques

I. Ensembles usuels de nombres. 1. EnsemblesN= {0 ;1 ;2 ;…} est l’ensemble des entiers naturels. cet ensemble est à la base du dénombrement. Cependant, on ne trouve pas dans cet ensemble d’éléments dont la somme avec un autre élément vaut zéro.

On introduit donc un nouvel ensemble Z=N∪ {−n , si n∈N ¿ } des entiers relatifs. Cependant, on ne trouve pas dans cet ensemble d’éléments dont le produit avec un autre élément vaut 1.

On introduit donc un nouvel ensemble Q={pq avec p∈Z ;q∈N ¿} des nombres rationnels.

Cependant, certains nombres manquent encore comme √2la longueur de la diagonale d’un carré de côté 1.

On introduit donc un nouvel ensemble R des nombres réels. R est constitué des nombres rationnels et des nombres irrationnels comme π et e .

2. Partie entière d’un réelDéf : Soit x∈ R. La partie entière de x que l’on note ⌊ x ⌋ ou E(x ) ou Ent (x ) est le plus grand entier inférieur ou égal àx.

Exemple : ⌊1,25 ⌋=⌊−2.05 ⌋=¿

Propriétés : Soit x∈ R. Soit n∈Z⌊ x ⌋ ≤x<⌊ x ⌋+1x−1<⌊ x ⌋ ≤x⌊ x+n ⌋=⌊ x ⌋+n

3. Approximations décimales

Déf : Un nombre décimal est un nombre rationnel de la forme a10n

avec a∈Z et n∈N .

D’après une propriété de la partie entière :

∀ x∈R , ∀n∈N : ⌊x ×10n ⌋ ≤x×10n<⌊ x×10n ⌋+1

⌊ x ×10n ⌋10n

≤x< ⌊x ×10n ⌋+1

10n

On dit que ⌊ x ×10n ⌋

10n est un nombre décimal approchant x à 10−nprès par défaut alors que

⌊ x ×10n ⌋+110n

est un nombre décimal approchant x à 10−nprès par excès.

4. DensitéThéorème : Soit a ;b deux réels distincts.L’intervalle ¿a ;b¿ contient au moins un rationnel. On dit que Q est dense dans R.L’intervalle ¿a ;b¿ contient au moins un irrationnel. On dit que R∖Q est dense dans R.

5. Borne supérieure et borne inférieureSoit Aune partie deR.Rappel : x est le plus grand élément de A (que l’on note x=max (A) ) si

x est le plus petit élément de A (que l’on note x=min (A ) ) si

Déf : On dit que x est la borne supérieure de A ( que l’on note x=(A ) ) si x est le plus petit des majorants de A. On dit que x est la borne inférieure de A ( que l’on note x=inf (A) ) si x est le plus grand des minorants de A.

Théorème admis : Toute partie non vide et majorée de R admet une borne supérieure.Toute partie non vide et minorée de R admet une borne inférieure.

Remarque : Contrairement au plus grand élément de A et au plus petit élément de A, la borne supérieure de A et la borne inférieure de de A n’appartiennent pas forcément à A.La borne supérieure de A et la borne inférieure de A n’existent pas forcèment ( d’où l’intérêt du théorème précédent ).Par contre si A admet un plus grand élément et une borne supérieure alors ces nombres sont égaux.

Exemple : SiA=¿ alors A est une partie de R non vide et bornée. Donc A admet une borne supérieure et une borne inférieure.0 est le plus petit élément de A (car 0∈ A et 0 est un minorant de ).Alors 0=min (A )=inf (A)Par contre 1 n’est pas le plus grand élément de A (car 1∉ A ). Montrons que1=( A) ¿.

II. Généralités sur les suites 1. DéfinitionUne suite réelle est une application de N dansR.On note une suite sous la forme(un)n∈N ; (un ) ; (un )n; (un )n≥0.un est le terme d’indice n de la suite(un)n∈N .

Certaines suites ne sont pas forcément définies pour toutn∈N .

Par exemple, la suite définie par un=1n+3 existe pourn>0.

On note dans ce cas la suite (un)n>0 ; (un )n≥ 1; (un )n∈ N¿ .

2. Mode de définition d’une suiteOn peut définir de 3 façons différentes une suite.

Définition explicite : On donne chaque terme de la suite en fonction den.

Par exemple : (un)n≥0 définie parun=ln (n2+1 ). On est alors capable de calculer u100 directement.

Définition par récurrence : On donne le 1er terme de la suite et une relation liant un+1 à un (Voir à un−1 ; à un−2 ...).

Par exemple : (un)n≥0 définie par{ u0=6∀ n∈ N ,un+1=e

un−un.

Pour calculeru5, il faut d’abord avoir les valeurs de u1 ;u2;u3 etu4.

Définition implicite : On connaît l’existence de chacun des termes de la suite mais on ne sait pas les calculer par une formule ou une relation.

Par exemple : Soit l’équation ln ( x )+x=n avec n∈N et la fonction f définie par f ( x )=ln ( x )+x pourx>0. On montre facilement avec le théorème de la bijection que l’équation ln ( x )+x=n admet une unique solution dans ¿0 ;+∞¿ et on note cette solutionun.

3. PropriétésDéf : La suite (un)n∈N est

constante si ∀ n∈N ,un+1=un croissante si ∀n∈N ,un+1≥un

décroissante si ∀ n∈N ,un+1≤un strictement croissante si ∀ n∈N ,un+1>un strictement décroissante si ∀n∈N ,un+1<un monotone si (un)n∈N est croissante ou décroissante.

Exemple : Etudier la monotonie de la suite (5+ 12n )n≥ 0

Déf : La suite (un)n∈N est

majorée si ∃M ∈R ∀ n∈ N ,un≤ M . On dit que M est un majorant de (un)n∈N minorée si ∃m∈R ∀ n∈N ,un≥m . On dit que m est un minorant de (un)n∈N bornée si elle est majorée et minorée ce qui équivaut à dire que la suite (|un|)n∈ N est

majorée. stationnaire si elle est constante à partir d’un certain rang.

III. Limite d’une suite 1. Limite d’une suite

Déf : On dit qu’une suite (un)n∈N converge vers l∈R si

On note :

limn→+∞

un=l ouunn→+∞→

l

Cela signifie que ε étant donné strictement positif, il existe un rang N à partir duquel l−ε≤un≤l+ε

On peut choisir ε aussi petit que l’on veut.Interprétation graphique :

Bien sûr plus ε est petit, plus N est grand.

Définition :

On dit qu’une suite (un)n∈N diverge si elle ne converge pas vers un réel l.

Cela peut s’écrire sous la forme :

On dit qu’une suite (un)n∈N diverge vers +∞ si

On note limn→+∞

un=+∞

On dit qu’une suite (un)n∈N diverge vers −∞ si

On note limn→+∞

un=−∞

On dit qu’une suite est divergente si sa limite est +∞ ou −∞ ou si elle n’admet pas de limite.

2. Premières propriétésProp 1 : Si une suite converge alors sa limite est unique Démonstration par l’absurde :

Prop 2 : Soit (un)n∈N une suite et l∈Rlimn→+∞

un=l⟺ limn→+∞

|un−l|=0

Prop 3 : Toute suite convergente est bornée.Démonstration :

3. Opérations sur les limitesCas de la limite nulle

si (un)n∈N et (vn )n∈N convergent vers 0 alors la suite (λun+vn )n∈ N converge vers 0 pour tout réelλ.

si (un)n∈N converge vers 0 et (vn )n∈N est bornée alors la suite (un×vn )n∈N converge vers 0.

Démonstration du second point :

Cas des suites convergentesSoit les suites (un)n∈N et (vn )n∈N , soient l∈R ;l '∈R et λ∈R

Si limn→+∞

un=l et limn→+∞

vn=l ' alors limn→+∞

¿

Si limn→+∞

un=l et limn→+∞

vn=l ' alors limn→+∞

¿

Si limn→+∞

vn=l ' ; ∀ n∈N vn≠0et l ' ≠0 alors limn→+∞ ( 1vn )= 1l '

Si limn→+∞

un=l ; limn→+∞

vn=l ' ; ∀ n∈N vn≠0et l ' ≠0 alors

limn→+∞ ( unvn )= ll '

Démonstration du second point :

4. Stabilité des inégalités par passage à la limite

Proposition : Si (un)n∈N et (vn )n∈N sont deux suites convergentes vers l et l ‘ telles que :∃N∈N , ∀n≥N :un≤vn

Alors on a : l ≤l 'ATTENTION : Il faut donc avoir prouvé précédemment que les deux suites étaient convergentes.

Corollaire : Soit (un)n∈N est une suite convergente vers l , soient a et b deux réels.

Si ∃N∈N , ∀n≥N :un≤a alors l ≤a

Si ∃N∈N , ∀n≥N :b≤un alors b≤ l

ATTENTION : dans la proposition et le corollaire, les inégalités sur les suites peuvent être strictes par contre celles sur les limites sont TOUJOURS larges.

IV. Suites extraites Déf : On appelle suite extraite de la suite (un)n∈N toute suite de la forme (uφ(n))n∈N où φ est

une application croissante strictement de N dans N .Les deux suites extraites les plus simples et les plus rencontrées sont les suites (u2n )n∈N et

(u2n+1 )n∈N .

(u2n )n∈ N est la suite composée de u0 ;u2 ;u4 ;…

(u2n+1 )n∈N est la suite composée de u1 ;u3;u5;…

Théorème : Si (un)n∈N est une suite convergente vers l∈R alors toute suite extraite de

(un)n∈N converge aussi vers l.

Remarque : On utilise souvent ce théorème par contraposée c'est-à-dire :

Exemple : on choisit la suite (un)n∈N définie par un=(−1 )n

V. Théorème d’existence de limite 1. Théorème d’encadrement ( ou théorème des gendarmes )

Soient (un)n∈N ; (vn )n∈Net (wn )n∈ N 3 suites telles que

∃N∈N , ∀n≥N :un≤vn≤wn (un)n∈N et (wn )n∈N sont deux suites convergentes vers l

Alors (vn )n∈N est une suite convergente ET sa limite vautl.

Démonstration :

Exemple : Soit un=∑k=1

n nn2+k

, pour n∈N ¿. Montrer que la suite (un)n>0 converge vers 1.

2. Théorème de comparaison

Si ∃N∈N , ∀n≥N :un≤vn et limn→+∞

un=+∞ alors limn→+∞

vn=+∞

Si ∃N∈N , ∀n≥N :un≤vn et limn→+∞

vn=−∞ alors limn→+∞

un=−∞

3. Théorème de la limite monotoneThéorème :Soit (un)n∈N une suite croissante,

Si (un)n∈N est de plus majorée alors (un)n∈N est convergente

Si (un)n∈N n’est pas majorée alors (un)n∈N diverge vers +∞Soit (un)n∈N une suite décroissante,

Si (un)n∈N est de plus minorée alors (un)n∈N est convergente

Si (un)n∈N n’est pas minorée alors (un)n∈N diverge vers −∞

Démonstration de toute suite (un)n∈N croissante et majorée est convergente.

Exemple : Montrer que la suite (un)n>0 définie par : un=∑k=1

n 1n+k

est convergente.

3. Suites adjacentes

Déf : On dit que les suites (un)n∈N et (vn )n∈N sont adjacentes si

(un)n∈N est croissante

(vn )n∈N est décroissante et

limn→+∞

(un−vn )=0

Théorème : Si les suites (un)n∈N et (vn )n∈N sont adjacentes alors elles sont convergentes et ont la même limite.Si on note l la limite des deux suites alors :

∀n∈N ,un≤un+1≤ l≤ vn+1≤vn

VI. Brève extension des notions aux suites complexes Déf : Une suite complexe est une application de N dans C.ATTENTION : Certaines notions ne peuvent pas s’étendre aux suites complexes car il n’y a pas de notion d’ordre dans C. On ne peut donc pas parler de suite complexe croissante, majorée, décroissante ou minorée.

Cependant, on peut quand même définir la notion de suite complexe bornée.

Déf : La suite complexe ( zn )n∈ N est dite bornée si ∃M ∈R+¿∀n∈N : |zn|⏟

moduledu complexez n

≤M¿

Déf : Une suite complexe ( zn )n∈ N est convergente vers le nombre complexe l si

∀ ε>0∃N∈N ∀n≥N|zn−l|⏟module

≤ε

Caractérisation de la convergence d’une suite complexeSoit une suite complexe ( zn )n∈ N. On peut écrire sous forme algébrique le terme zn.∀n∈N zn=xn+ i yn On définit alors les deux suites réelles (xn )n=( ℜ ( zn ))n et ( yn )n=(ℑ ( zn) )nOn peut donc étudier ces deux suites réelles avec tous les résultats sur les suites réelles.Théorème : La suite (zn )n∈ N est convergente vers le nombre complexe l si les suites réelles

(xn )n et ( yn )n convergent vers ℜ(l) et ℑ(l).

VII. Suites de référence 1. Suite arithmétiqueDéf : Une suite (un)n∈N est arithmétique de raison b∈C si : ∀ n∈N un+1=un+b

Propriété : Soit (un)n∈N une suite arithmétique de raison b alors∀n∈N un=u0+nb ∀n∈N un=u p+ (n−p )b

∀n∈N∑k=0

n

uk=n+12 (u0+un )

2. Suite géométriqueDéf : Une suite (un)n∈N est géométrique de raison a∈C si : ∀ n∈N un+1=aun

Propriété : Soit (un)n∈N une suite géométrique de raison aalors

∀ n∈N un=u0×an ∀n∈N ¿ un=u1×a

n−1

∀n∈N∑k=0

n

uk={u0× 1−an+1

1−asi a≠1

(n+1 )u0 si a=1

(un)n∈N est une suite convergente ssi {|a|<1.Dans ce cas , la suiteconverge vers0.oua=1 .Dans ce cas , la suiteconverge versu0

3. Suite arithmético géométrique

Déf : Une suite (un)n∈N est arithmético géométrique si

∃ ( a; b )∈C2 ∀ n∈N un+1=aun+b

Méthode pour obtenir le terme général d’une telle suite.On suppose que a≠1 et a≠0.On résout l’équation x=ax+bOn pose pour n∈N : vn=un−x . On montrer que cette nouvelle suite est géométrique de raison a.On cherche le terme général vn puis le terme général de un ( sachant que vn+x=un )

Exemple : Déterminer le terme général de la suite (un)n∈N définie par u0=2 et ∀n∈N un+1=λun+3 où λ∈R ¿.

4. Suites récurrentes linéaires d’ordre 2

Déf : Une suite (un)n∈N est récurrente linéaire d’ordre 2 si

∃ (a; b ;c )∈C2avec a≠0et c≠0 ∀n∈N aun+ 2+bun+1+c un=0

Méthode pour obtenir le terme général d’une telle suite.On calcule le discriminant Δ et les solutions de l’équation caractéristiquea X 2+bX+c=0

1) Si on travaille dans C. 2 cas peuvent se produire.

Cas Δ≠0. L’équation admet deux solutions distinctes r1 et r2 et

∃ (α ; β )∈C2∀n∈N :un=α r1n+br2n Cas Δ=0. L’équation admet une unique solution r0 et

∃ (α ; β )∈C2∀n∈N :un=¿ 2) Si on travaille dans R. 3 cas peuvent se produire.

Cas Δ>0. L’équation admet deux solutions réelles distinctes r1 et r2 et

∃ (α ; β )∈R2∀n∈N :un=α r1n+br2n Cas Δ=0. L’équation admet une unique solution réelle r0 et

∃ (α ; β )∈R2∀n∈N :un=¿

Cas Δ<0. L’équation admet 2 racines complexes distinctes r1=r eiθ et

r2=r e−iθ ( r>0 ) et

∃ (α ; β )∈R2∀n∈N :un=rn(α cos (nθ )+β sin (nθ ))

Remarque : Pour trouver α etβ , on utilise les conditions initiales sur u0 etu1.

Exemple : On définit la suite de Fibonacci par F0=0 ; F1=1 et ∀n∈N :Fn+2=Fn+1+FnDonner le terme général de cette suite.

5. Suites récurrentes du type : un+1=f (un )Déf : Soit f une fonction définie sur I .On suppose que f est stable sur I ( cad f ( I )⊂ I⟺∀ x∈ I , f (x )∈ I ¿Soit a∈ I .

On construit alors par récurrence une suite (un)n∈N par { u0=a∀ n∈N ,un+1= f (un)

La fonction f : I →I est appelée la fonction itératrice.

Propriété 1 : Variations de la suite (un)n∈N dans le cas où f est monotone

Soit f : I →I et la (un)n∈N définie par ∀ n∈N ,un+1=f (un) et u0∈ I .1 er cas : Si f est croissante sur I alors (un)n∈N est monotone.

Si u1−u0=f (u0 )−u0≥0 alors (un)n∈N est croissante

Si u1−u0=f (u0 )−u0≤0 alors (un)n∈N est décroissante

2 nd cas : Si f est décroissante sur I alors (u2n )n∈ N et (u2n+1 )n∈N sont des suites monotones et de monotonies contraires.

Interprétation graphique :

Propriété 2 : Calcul de la limite de la suite quand elle existe Soit f : I →I et la (un)n∈N définie par ∀ n∈N ,un+1=f (un) etu0∈ I .Si f est CONTINUE sur I ET si la suite (un)n∈N est CONVERGENTE alors l la limite de (un)n∈N

est une solution de l’équation : f ( x )=x .On dit que l est un point fixe de f .

Remarque : Pour établir l’hypothèse (un)n∈N est CONVERGENTE, on utilise souvent le théorème de la limite monotone.

Exemple : Etude de la suite définie par

{u0∈R+¿¿∀n∈N ,un+1=un3+6un3un

2+2