dÉrivation - maths et tiques · yvan monka – académie de strasbourg – 2 on veut déterminer...
Post on 12-Nov-2018
252 Views
Preview:
TRANSCRIPT
YvanMonka–AcadémiedeStrasbourg–www.maths-et-tiques.fr
1
DÉRIVATION I. Rappels
Vidéos https://www.youtube.com/playlist?list=PLVUDmbpupCaoY7qihLa2dHc9-rBgVrgWJ 1) Fonction dérivable Définition : On dit que la fonction f est dérivable en a s'il existe un nombre réel L, tel
que : limh→0
f (a + h) − f (a)h
= L .
L est appelé le nombre dérivé de f en a.
2) Tangente à une courbe Soit une fonction f définie sur un intervalle I et dérivable en un nombre réel a appartenant à I. L est le nombre dérivé de f en a. A est un point d'abscisse a appartenant à la courbe représentative
C f de f. Définition : La tangente à la courbe
C f au point A est la droite passant par A de coefficient directeur le nombre dérivé L. Propriété : Une équation de la tangente à la courbe
C f en A est :
y = f ' a( ) x − a( ) + f a( ) Exemple : On considère la fonction trinôme f définie sur ! par f (x) = x2 + 3x −1.
YvanMonka–AcadémiedeStrasbourg–www.maths-et-tiques.fr
2
On veut déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point A de la courbe d'abscisse 2.
limh→0
f (2 + h) − f (2)h
= limh→0
2 + h( )2+ 3 2 + h( ) −1− 9
h= lim
h→0
h2 + 7hh
= limh→0
h + 7( ) = 7
Le coefficient directeur de la tangente est égal à 7. Donc son équation est de la forme :
y = 7 x − 2( ) + f (2) , soit :
y = 7 x − 2( ) + 9
y = 7x − 5
Une équation de tangente à la courbe représentative de f au point A de la courbe d'abscisse 2 est y = 7x − 5 .
3) Formules de dérivation des fonctions usuelles :
Fonction f Ensemble de définition de f
Dérivée f ' Ensemble de définition de f '
f (x) = a , a ∈! ! f '(x) = 0 ! f (x) = ax , a ∈! ! f '(x) = a !
f (x) = x2 ! f '(x) = 2x !
f (x) = xn n ≥ 1 entier ! f '(x) = nxn−1 !
f (x) =
1x
! \{0} f '(x) = −
1x2 ! \{0}
f (x) =
1xn
n ≥ 1 entier ! \{0}
f '(x) = −
nxn+1 ! \{0}
f (x) = x 0;+∞⎡⎣ ⎡⎣
f '(x) =
12 x
0;+∞⎤⎦ ⎡⎣
Exemples : a) Soit la fonction f définie sur ! par f (x) = x6 alors f est dérivable sur ! et on a pour tout x de ! , f '(x) = 6x5 .
b) Soit la fonction f définie sur ! \{0} par f (x) =
1x4 alors f est dérivable sur
−∞;0⎤⎦ ⎡⎣
et sur
0;+∞⎤⎦ ⎡⎣ et on a pour tout x de ! \{0}, f '(x) = −
4x5 .
4) Formules d'opération sur les fonctions dérivées : u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
YvanMonka–AcadémiedeStrasbourg–www.maths-et-tiques.fr
3
Exemples : a)
f (x) = 2x2 − 5x( ) 3x − 2( )
On pose f (x) = u(x)v(x) avec u(x) = 2x2 − 5x → u '(x) = 4x − 5 v(x) = 3x − 2 → v '(x) = 3 Donc :
f '(x) = u '(x)v(x) + u(x)v '(x) = 4x − 5( ) 3x − 2( ) + 2x2 − 5x( ) × 3
= 12x2 − 8x −15x +10 + 6x2 −15x
= 18x2 − 38x +10
b) g(x) =
6x − 5x3 − 2x2 −1
On pose g(x) =
u(x)v(x)
avec u(x) = 6x − 5 → u '(x) = 6
v(x) = x3 − 2x2 −1→ v '(x) = 3x2 − 4x Donc :
g(x) =u '(x)v(x) − u(x)v '(x)
v(x)( )2
=6 x3 − 2x2 −1( ) − 6x − 5( ) 3x2 − 4x( )
x3 − 2x2 −1( )2
=6x3 −12x2 − 6 −18x3 + 24x2 +15x2 − 20x
x3 − 2x2 −1( )2
=−12x3 + 27x2 − 20x − 6
x3 − 2x2 −1( )2
Un logiciel de calcul formel permet de vérifier les résultats :
u + v est dérivable sur I u + v( ) ' = u '+ v '
ku est dérivable sur I, où k est une constante
ku( ) ' = ku '
uv est dérivable sur I uv( ) ' = u 'v + uv '
1u
est dérivable sur I, où u ne s'annule pas sur I
1u
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
'
= −u 'u2
uv
est dérivable sur I, où v ne s'annule pas sur I
uv
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
'
=u 'v − uv '
v2
YvanMonka–AcadémiedeStrasbourg–www.maths-et-tiques.fr
4
5) Application à l'étude des variations d'une fonction Théorème : Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I. - Si f '(x) ≤ 0 , alors f est décroissante sur I. - Si f '(x) ≥ 0 , alors f est croissante sur I. - Admis - Exemple : Soit la fonction f définie sur ! par f (x) = x2 − 4x . Pour tout x réel, on a : f '(x) = 2x − 4 . Résolvons l'équation f '(x) ≤ 0
2x − 4 ≤ 02x ≤ 4x ≤ 2
La fonction f est donc décroissante sur l'intervalle −∞;2⎤⎦ ⎤⎦ .
De même, on obtient que la fonction f est croissante sur l'intervalle
2;+∞⎡⎣ ⎡⎣ .
II. Dérivées de fonctions composées
Vidéo https://youtu.be/kE32Ek8BXvs 1) Dérivée de la fonction x! u(x) Propriété : u est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I. Alors la fonction f définie sur I par f (x) = u(x) est dérivable sur I et on a :
f '(x) =
u '(x)2 u(x)
.
YvanMonka–AcadémiedeStrasbourg–www.maths-et-tiques.fr
5
Démonstration : Soit a ∈ I et un réel h tel que a + h ∈ I . On calcule le taux d'accroissement de f entre a et a+h :
f (a + h) − f (a)h
=u(a + h) − u(a)
h
=u(a + h) − u(a)( ) u(a + h) + u(a)( )
h u(a + h) + u(a)( )=
u(a + h) − u(a)h
×1
u(a + h) + u(a)
Or, la fonction u est dérivable sur I, donc limh→0
u(a + h) − u(a)h
= u '(a) .
Et donc, limh→0
f (a + h) − f (a)h
= u '(a) ×1
2 u(a).
Exemple :
f (x) = 3x2 + 4x −1
On pose f (x) = u(x) avec u(x) = 3x2 + 4x −1 → u '(x) = 6x + 4 Donc :
f '(x) =u '(x)
2 u(x)
=6x + 4
2 3x2 + 4x −1
=3x + 2
3x2 + 4x −1
2) Dérivée de la fonction
x! u(x)( )n
Propriété : n est un entier relatif non nul. u est une fonction dérivable sur un intervalle I ne s'annulant pas sur I dans le cas où n est négatif. Alors la fonction f définie sur I par
f (x) = u(x)( )n
est dérivable sur I et on a :
f '(x) = nu '(x) u(x)( )n−1
.
Démonstration par récurrence : • Initialisation :
f '(x) = u '(x) = 1× u '(x) × u(x)( )1−1
La propriété est donc vraie pour n = 1. • Hérédité : - Hypothèse de récurrence :
YvanMonka–AcadémiedeStrasbourg–www.maths-et-tiques.fr
6
Supposons qu'il existe un entier k tel que la propriété soit vraie :
(uk ) ' = k u 'uk−1 .
- Démontrons que : La propriété est vraie au rang k+1 : (uk+1) ' = k +1( )u 'uk .
(uk+1) ' = (uku) '
= (uk ) 'u + uku '= ku 'uk−1u + uku '= ku 'uk + uku '= k +1( )u 'uk
• Conclusion : La propriété est vraie pour n = 1 et héréditaire à partir de ce rang. D'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel n non nul. Exemple :
f (x) = 2x2 + 3x − 3( )4
On pose f (x) = u(x)( )4
avec u(x) = 2x2 + 3x − 3 → u '(x) = 4x + 3 Donc :
f '(x) = 4u '(x) u(x)( )3
= 4 4x + 3( ) 2x2 + 3x − 3( )3
3) Dérivée de la fonction x! f (ax + b) Propriété : a et b sont deux nombres réels. f est une fonction dérivable sur un intervalle I. Alors la fonction g définie sur I par g(x) = f (ax + b) est dérivable sur tout intervalle J tel que pour tout x ∈J , ax + b∈ I et on a : g '(x) = af '(ax + b) . Démonstration : Soit t ∈J et un réel h tel que t + h ∈J . On calcule le taux d'accroissement de g entre t et t+h :
g(t + h) − g(t)h
=f a(t + h) + b( ) − f at + b( )
h
=f at + ah + b( ) − f at + b( )
h
On pose T = at + b et H = ah .
Donc
g(t + h) − g(t)h
= a ×f T + H( ) − f T( )
H.
Lorsque h→ 0 , on a ah→ 0 donc H → 0 .
YvanMonka–AcadémiedeStrasbourg–www.maths-et-tiques.fr
7
Ainsi limh→0
g(t + h) − g(t)h
= limH→0
a ×f (T + H ) − f (T )
H= a × f '(T ) = af '(at + b) .
Exemple : f (x) =
15x − 4
Alors
f '(x) = 5−1
5x − 4( )2 =−5
5x − 4( )2
En effet : (5x − 4)' = 5 et
1x
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
'
=−1x2
4) Formules de dérivation sur les fonctions composées
Fonction Ensemble de définition
Dérivée
u u(x) > 0
u '2 u
un avec n ∈!* Si n < 0 , u(x) ≠ 0 nu 'un−1 f (ax + b) f dérivable af '(ax + b)
Méthode : Etude d'une fonction composée
Vidéos dans la Playlist : https://www.youtube.com/playlist?list=PLVUDmbpupCaolmlZsgQvpuNlXlUQ5D5vS
On considère la fonction f définie par f (x) =
2x3x +1
.
On note C sa courbe représentative dans un repère. 1) Déterminer l'ensemble de définition de f. 2) Etudier les limites de f aux bornes de son ensemble de définition et en déduire les équations des asymptotes à la courbe C. 3) Etudier la dérivabilité de f. 4) Etudier les variations de f. 5) Tracer les asymptotes à C puis la courbe C. 6) Vérifier à l'aide de la calculatrice graphique. 1) La fonction racine carrée est définie sur
0;+∞⎡⎣ ⎡⎣ donc la fonction f est définie pour
2x3x +1
≥ 0 .
On dresse le tableau de signe :
YvanMonka–AcadémiedeStrasbourg–www.maths-et-tiques.fr
8
x −∞ −
13
0 +∞
2x - - 0 + 3x +1 - 0 + +
2x3x +1
+ - 0 +
Donc la fonction f est définie sur −∞;−
13
⎤
⎦⎥
⎡
⎣⎢ ∪ 0;+∞⎡⎣ ⎡⎣ .
2) - Recherche des limites à l'infini : La limite de la fonction rationnelle sous la racine est une forme indéterminée. Levons l'indétermination :
2x3x +1
=2
3+ 1x
.
Or lim
x→+∞3+
1x
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= 3 donc
lim
x→+∞
2x3x +1
=23
.
De plus
limX→
23
X =23
.
On en déduit, comme limite de fonction composée, que lim
x→+∞f (x) =
23
.
On démontre de même que lim
x→−∞f (x) =
23
.
Ainsi la droite d'équation y =
23
est asymptote horizontale à la courbe C en +∞ et
en −∞ .
- Recherche de la limite en −
13
:
limx→−
13
3x +1( ) = 0 et
limx→−
13
2x = −23
donc
limx→−
13
x<−13
2x3x +1
= +∞ .
En effet, pour x < −
13
, 3x +1< 0 .
De plus
lim
X→+∞X = +∞
Donc, comme limite de fonction composée, on a
limx→−
13
x<−13
f (x) = +∞ .
YvanMonka–AcadémiedeStrasbourg–www.maths-et-tiques.fr
9
Ainsi la droite d'équation x = −
13
est asymptote verticale à la courbe C.
3) x!
2x3x +1
est strictement positive et dérivable sur −∞;−
13
⎤
⎦⎥
⎡
⎣⎢ ∪ 0;+∞⎤⎦ ⎡⎣ .
Comme dérivée de fonction composée, f est dérivable sur −∞;−
13
⎤
⎦⎥
⎡
⎣⎢ ∪ 0;+∞⎤⎦ ⎡⎣ .
Etudions la dérivabilité de f en 0 :
limh→0h>0
f (h) − f (0)h
= limh→0h>0
2h3h +1
− 0
h
= limh→0h>0
1h
2h3h +1
= limh→0h>0
1h2 ×
2h3h +1
= limh→0h>0
23h2 + h
= +∞
On en déduit que la fonction f n'est pas dérivable en 0.
4) Pour tout réel x de −∞;−
13
⎤
⎦⎥
⎡
⎣⎢ ∪ 0;+∞⎤⎦ ⎡⎣ , on pose
u(x) =
2x3x +1
.
u '(x) =2 3x +1( ) − 3× 2x
3x +1( )2
=6x + 2 − 6x
3x +1( )2
=2
3x +1( )2
Donc :
f '(x) =2
3x +1( )2 ×1
2 2x3x +1
Et donc f '(x) > 0 .
Par conséquent la fonction f est croissante sur −∞;−
13
⎤
⎦⎥
⎡
⎣⎢ et sur
0;+∞⎤⎦ ⎡⎣ .
On dresse le tableau de variations :
YvanMonka–AcadémiedeStrasbourg–www.maths-et-tiques.fr
10
x −∞ −
13
0 +∞
f '(x) + ///////////////////////////// +
f (x)
+∞
23
/////////////////////////////
23
0 f (0) = 0 5)
6)
Horsducadredelaclasse,aucunereproduction,mêmepartielle,autresquecellesprévuesàl'articleL122-5ducodedelapropriétéintellectuelle,nepeutêtrefaitedecesitesansl'autorisationexpressedel'auteur.
www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales
top related