csi2520, hiver 2007 arbres en prolog un arbre binaire est une structure pouvant contenir des...

CSI2520, Hiver 2007

Arbres en Prolog

• Un arbre binaire est une structure pouvant contenir des données. Chaque élément de l'arbre contient une donnée et a au plus un 'parent' et deux 'enfants'.

1 / \ 2 3

/ \ / \ 4 5 6 7

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Arbres en Prolog

On peut representer les arbres avec une structure t(elem, gauche, droit)

ou 'elem' est la valeur de la racine, et gauche et droit sont les sous-arbres à gauche/droite de la racine. Un arbre vide sera represente par 'nil'. Ainsi, un arbre à un seul élément 1: t(1,nil,nil):

1 / \ 2 3 t(1,t(2,nil,nil),t(3,nil,nil)).

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Un arbre binaire

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Parcours inordre

printInfo(nul).printInfo(t(RootInfo,LeftSubtr,RightSubtr)) :- printInfo(LeftSubtr), write(RootInfo), write(' '), printInfo(RightSubtr).

?- printInfo(t(73, t(31, t(5, nul, nul), nul), t(101, t(83, nul, t(97, nul, nul)), nul))).5 31 73 83 97 101Yes

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Recherche dans un arbre

search(Info, t(Info, _, _)).search(Info, t(RootInfo, Left, _Right)) :-

precedes(Info, RootInfo),search(Info, Left).

search(Info, t(RootInfo, _Left, Right)) :-precedes(RootInfo, Info),search(Info, Right).

precedes(Info1, Info2) :- Info1 < Info2 .

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Insertion dans un arbre

insert(Info, nul, t(Info, nul, nul)).insert(Info, t(RootInfo, Left, Right), t(RootInfo, LeftPlus, Right)) :- precedes(Info, RootInfo), insert(Info, Left, LeftPlus).insert(Info, t(RootInfo, Left, Right), t(RootInfo, Left, RightPlus)) :- precedes(RootInfo, Info), insert(Info, Right, RightPlus).

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Retrait à la racine d’un arbre

delete(Info, t(Info, nul, Right), Right).delete(Info, t(Info, Left, nul), Left).delete(Info, t(Info, Left, Right), t(NewRoot, NewLeft, Right)) :- removeMax(Left, NewLeft, NewRoot).

% removeMax(Tree,NewTree,Max)

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Retrait dans un arbre

delete(Info, t(RootInfo, Left, Right), t(RootInfo, LeftSmaller, Right)) :- precedes(Info, RootInfo), delete(Info, Left, LeftSmaller).delete(Info, t(RootInfo, Left, Right), t(RootInfo, Left, RightSmaller)) :- precedes(RootInfo, Info), delete(Info, Right, RightSmaller).

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Retrait du max élément

removeMax(t(Max, Left, nul), Left, Max).removeMax(t(Root, Left, Right), t(Root, Left, RightSmaller), Max) :- removeMax(Right, RightSmaller, Max).

Recherche en profondeur

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resoudre(N,[N]) :- but(N).resoudre(N,[N | Solution]) :- successeur(N,Nsuivant), resoudre(Nsuivant,Solution).

Il faut donc définir le but et définir les noeuds successeurs.

Les tours de Hanoi

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État initial: [A,B,C] = [[1,2,3],[],[]]

but([[],[],_]).

Les tours de Hanoi (mouvements)

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legal(_,[]).legal(D1,[D2|_]):- D1<D2.successeur([[T|L1],L2,L3],[L1,[T|L2],L3]) :- legal(T,L2). successeur([[T|L1],L2,L3],[L1,L2,[T|L3]]) :- legal(T,L3). successeur([L1,[T|L2],L3],[[T|L1],L2,L3]) :- legal(T,L1). successeur([L1,[T|L2],L3],[L1,L2,[T|L3]]) :- legal(T,L3).successeur([L1,L2,[T|L3]],[[T|L1],L2,L3]) :- legal(T,L1). successeur([L1,L2,[T|L3]],[L1,[T|L2],L3]) :- legal(T,L2).

Les tours de Hanoi (version 1)

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but([[],[],_]).resoudre(E,[E]) :- but(E). resoudre(E,[E|Solution]) :- successeur(E,Esuivant), resoudre(Esuivant,Solution).

?!

Les tours de Hanoi (version 2)

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resoudre(Noeud,Solution) :- profondeur([], Noeud,Solution).profondeur(Chemin, Noeud,[Noeud | Chemin]) :- but(Noeud).profondeur(Chemin, Noeud,Sol) :- successeur(Chemin, Noeud1), \+member(Chemin1,Path), profondeur([Chemin | Path], Chemin1, Sol).

Les tours de Hanoi (version 3)

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resoudre(E,[E],Pmax) :- but(E). resoudre(E,[E|Solution],Pmax) :- Pmax>0, successeur(E,Esuivant), Pmax1 is Pmax-1, resoudre(Esuivant,Solution,Pmax1), write(Esuivant), nl.

Recherche en largeur

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resoudre(Racine, Solution):- largeur ([[Racine]],Solution).% largeur(liste de chemin, solution)largeur([[Noeud | Chemin] | _],[Noeud | Chemin]):- but(Noeud).largeur([Chemin | Chemins], Solution):- etendre(Chemin,NChemins), conc(Chemins,NChemins,Chemins1), largeur(Chemins1,Solution).etendre([Noeud | Chemin],NChemins):- bagof([NNoeud,Noeud | Chemin], (successeur(Noeud,NNoeud), \+member(NNoeud,[Noeud | Chemin])), NChemins), !.etendre(Chemin,[]).

Les tours de Hanoi (version 4)

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?- successeur([[1,2,3],[],[]],S).S = [[2, 3], [1], []] ;S = [[2, 3], [], [1]] ;

?- etendre([[[1,2,3],[],[]]],S).S = [[[[2, 3], [1], []], [[1, 2, 3], [], []]], [[[2, 3], [], [1]], [[1, 2, 3], [], []]]].

Les tours de Hanoi (version 4)

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resoudre(Racine, Solution):- largeur([[Racine]],Solution), voir(Solution).voir([]).voir([Noeud|Chemin]) :- voir(Chemin), nl, write(Noeud). .

?- resoudre([[1,2,3],[],[]],S).[[1,2,3],[],[]][[2,3],[],[1]][[3],[2],[1]][[3],[1,2],[]][[],[1,2],[3]][[1],[2],[3]][[1],[],[2,3]][[],[],[1,2,3]]

Les graphes

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Représentation: g([Noeud, ...],[arc(Noeud1,Noeud2,Valeur), ...]).

arc(g(Ns,Arcs),N1,N2,Valeur):- member(arc(N1,N2,Valeur),Arcs).

% pour un graphe non-dirigéarc(g(Ns,Arcs),N1,N2,Valeur):- member(arc(N1,N2,Valeur),Arcs); member(arc(N2,N1,Valeur),Arcs).

Voisins dans un graphe

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voisins(Graphe,Noeud,Voisins):- setof((N,Arc),arc(Graphe,Noeud,N,Arc),Voisins).

?- voisins(g([a,b,c,d,e,f], [arc(a,b,3),arc(a,c,5),arc(a,d,7),arc(e,f,1),arc(d,f,6)]),c,V).V = [ (a, 5)].

?- voisins(g([a,b,c,d,e,f], [arc(a,b,3),arc(a,c,5),arc(a,d,7),arc(e,f,1),arc(d,f,6)]),a,V).V = [ (b, 3), (c, 5), (d, 7)].

Coloriage de graphe

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coloriage(g(Ns,Arcs),Couleurs,Coloriage):- genere(Ns,Couleurs,Coloriage), test(Arcs,Coloriage).genere([],_,[]).genere([N|Ns],Couleurs,[(N,C)|Q]):- member(C,Couleurs), genere(Ns,Couleurs,Q).test([],_).test([arc(N1,N2,_)|Ns],Coloriage):- member((N1,C1),Coloriage), member((N2,C2),Coloriage), C1\=C2, test(Ns,Coloriage).

Coloriage de graphe

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?- coloriage(g([a,b,c,d,e,f], [arc(a,b,3),arc(a,c,5),arc(a,d,7),arc(e,f,1),arc(d,f,6)]), [rouge,bleu,blanc,vert],V).V = [ (a, rouge), (b, bleu), (c, bleu), (d, bleu), (e, rouge), (f, blanc)] ;V = [ (a, rouge), (b, bleu), (c, bleu), (d, bleu), (e, rouge), (f, vert)] ;V = [ (a, rouge), (b, bleu), (c, bleu), (d, bleu), (e, bleu), (f, rouge)];

…

Labyrinthe

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connecte(0,1). % depart = 0connecte(1,2).connecte(2,6).connecte(6,5).connecte(6,7).connecte(5,4).connecte(5,9).connecte(9,8).connecte(8,12).connecte(9,10).connecte(10,11).connecte(9,13).connecte(13,14).connecte(14,15). %fin = 15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15

Labyrinthe

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successeur(A,B):-connecte(A,B).successeur(A,B):-connecte(B,A).but(15).

resoudre([Fin|Chemin],[Fin|Chemin]):-but(Fin).resoudre([Courant|Chemin],Solution):- successeur(Courant,Suivant), \+member(Suivant,Chemin),write(Suivant),nl, resoudre([Suivant,Courant|Chemin],Solution).

Labyrinthe

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?- resoudre([0],S).126598121011131415S = [15, 14, 13, 9, 5, 6, 2, 1, 0] ;74false.