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CHAPITRE 01 RAPPELS SUR LES CALCULS VECTORIELS
LET54/Chap. 1. /2016-2017 ©Pr. Ahmed GHERBI Page 1.1 Département d’Electrotechnique- Faculté de Technologie - U.F.A. Sétif-1
Chapitre 01
RAPPELS SUR LES CALCULS VECTORIELS
1.1. Introduction
L’électromagnétisme s’intéresse à l’étude des champs électrique et magnétique. Ces champs sont des quantités vectorielles et leur comportement est décrit par un ensemble de lois connu par les équations de MAXWELL. La notation vectorielle donne aux lois une forme simple et claire mettant en relief leur contenu physique indépendamment du système de référence.
Ce chapitre présente un aperçu bref mais suffisant des notions de calcul vectoriel qui sont utilisées dans la présentation de la théorie de l'électromagnétisme.
1.2. Algèbre vectorielle
1.2.1. Scalaires - Vecteurs
On définit alors deux types de grandeurs :
Scalaire : est une grandeur physique complètement déterminée par un nombre; exemple : la masse, la température, la charge, l'énergie, le temps, le volume... etc.
Vecteur : est une grandeur physique caractérisée par une grandeur (ou module), une direction et un sens ; exemple: vitesse, accélération, force, déplacement, champ électrique, champ magnétique ... etc.
Soit un vecteur A
représentant une grandeur physique quelconque, sa grandeur est dénotée par A ou
A
. Par définition, le vecteur unitaire a, porté par A
est le vecteur unitaire de même sens que A
et de longueur
(ou module) unité.
A
A
A
Aa
(1.1)
Figure 1.1. Représentation graphique d’un vecteur
donc aAA.
Même si la notation vectorielle est indépendante du système de référence, il est souvent utile de
décomposer les vecteurs sur les axes Ox, Oy et Oz du système cartésien. Si l'on désigne par : zyx a,a,a
les vecteurs
unitaires portés par les axes Ox, Oy et Oz respectivement ; Les projections d'un vecteur A
sur ces axes sont trois
vecteurs yx A,A
et zA
dont la somme donne A
:
zyx AAAA
avec
; ;x x x y y y z z zA A a A A a A A a
(1.2)
Donc, le vecteur A
peut s’écrire en fonction de ses composantes dans le système de coordonnées cartésiennes, comme suit :
x x y y z zA A a A a A a
(1.3)
CHAPITRE 01 RAPPELS SUR LES CALCULS VECTORIELS
LET54/Chap. 1. /2016-2017 ©Pr. Ahmed GHERBI Page 1.2 Département d’Electrotechnique- Faculté de Technologie - U.F.A. Sétif-1
Figure 1.2. Décomposition d’un vecteur dans le système de coordonnées cartésiennes
1.2.2. Opérations sur les vecteurs
1.2.2.1. Addition et soustraction de vecteurs
Soient A
et B
deux vecteurs quelconques (Figure 1.3)
x x y y z z x x y y z z
x x x y y y z z z
A B A .a A a A a B a B a B a
A B a A B a A B a
(1.4)
Figure 1.3. Addition et soustraction de vecteurs
1.2.2.2. Multiplication et division par un scalaire
Soient et des scalaires :
x x y y z z x x y y z zmA m A a A a A a mA a mA a mA a
(1.5)
1 yx zx y z
BB BBB a a a
n n n n n
(1.6)
1.2.2.3. Distributivité
Soit m et n des scalaires, A
et B
deux vecteurs
m A B m A m B
(1.7)
m n A mA nA
(1.8)
1.2.2.4. Associativité
CBACBA
(1.9)
1.2.2.5. Commutativité
ABBA
(1.10)
1.2.2.6. Module d’un vecteur (longueur ou amplitude ou norme) 2 2 2
x x y y z z x y zA A A a A a A a A A A (1.11)
z
y
x
CHAPITRE 01 RAPPELS SUR LES CALCULS VECTORIELS
LET54/Chap. 1. /2016-2017 ©Pr. Ahmed GHERBI Page 1.3 Département d’Electrotechnique- Faculté de Technologie - U.F.A. Sétif-1
1.2.2.7. Vecteur unitaire le long d’un vecteur A
Un vecteur unitaire porté par un vecteur A
est un vecteur de module égal à l’unité, mais de même direction que
A
. Il est donné par :
yx zA x y z
AA AAa a a a
A A AA
(1.12)
1.2.2.8. Produit scalaire de deux vecteurs
Le produit scalaire est une quantité scalaire égale au produit des modules de A
et B
et le cosinus du petit angle entre A
et B
(avec0 ).Erreur ! Source du renvoi introuvable.
cos.B.AB.A
(1.13)
B.A
se lit "A scalaire B" ou "A point B".
Figure 1.4. Produit scalaire de 2 vecteurs
. . .cosA B A B
= A fois la projection de B
sur A
)cos.A.(B = B fois la projection de A
sur B
si 2/ (C-à-d BA
) alors . 0A B
Le produit scalaire est commutatif:
A.BB.A
(1.14) Il est également distributif par rapport à l'addition ou la soustraction de vecteurs
. . .A B C A B A C
(1.15)
On peut montrer, en utilisant les composantes cartésiennes des vecteurs que :
zzyyxx B.AB.AB.AB.A
(1.16)
et en particulier :
2222zyx AAAAA.A
(1.17)
1.2.2.9. Produit vectoriel
Le produit vectoriel de deux vecteurs A
et B
, noté BA
, est une vecteur dont le module est égal au produit des modules de A
et B
et le sinus du plus petit angle entre A
et B
et dont la direction est normale au plan formé par A
et B
et de sens obtenu par la règles de « la main droite » ou du «tire-bouchon»).
sin nA B AB a
(1.18)
On lit "A vectoriel B" ou "A croix B"
CHAPITRE 01 RAPPELS SUR LES CALCULS VECTORIELS
LET54/Chap. 1. /2016-2017 ©Pr. Ahmed GHERBI Page 1.4 Département d’Electrotechnique- Faculté de Technologie - U.F.A. Sétif-1
Figure 1.5. Produit vectoriel
Le produit vectoriel n’est pas commutatif :
ABBA
(1.19) Le produit vectoriel est distributif :
A B C A B A C
(1.20)
Si 2
, le produit vectoriel est maximal
Si 0 , le produit vectoriel est nul (cas de deux vecteurs parallèles ou anti-parallèles).
yxzxzyzyx
zzyyxx
aaa;aaa;aaa
aaaaaa
0 (1.21)
Si on exprime le produit vectoriel en fonction des composantes cartésiennes :
x x y y z z x x y y z zA B A a A a A a B a B a B a
y z z y x z x z y y x y y x zA .B A .B a A .B A .B a A .B A .B a
(1.22)
et peut s’écrire sous forme d'un déterminant de troisième ordre comme suit :
zyx
zyx
zyx
BBB
AAA
aaa
BA
(1.23)
Le vecteur unitaire est donné par :
. .sinn
A B A Ba
A B A B
(1.24)
Le double produit vectoriel est donné par:
. .A B C A C B A B C
(1.25)
a. Remarque :
Il est important de noter que, en général, on a:
A B C A B C
(1.26)
1.2.3. Systèmes de coordonnées usuels
En électromagnétisme, on fait appel souvent, en plus du système de coordonnées cartésiennes, à d'autres systèmes de référence dont les plus fréquemment utilisés sont les systèmes de coordonnées cylindriques et sphériques.
CHAPITRE 01 RAPPELS SUR LES CALCULS VECTORIELS
LET54/Chap. 1. /2016-2017 ©Pr. Ahmed GHERBI Page 1.5 Département d’Electrotechnique- Faculté de Technologie - U.F.A. Sétif-1
1.2.3.1. Le système de coordonnées cartésiennes
Le système de coordonnées cartésiennes comprend trois axes mutuellement perpendiculaires : les axes Ox, Oy et Oz. Un point P de l'espace est repéré par ses coordonnées(x,y,z) comprises entre et . Ce point est l'intersection de trois plans , et .
On définit les vecteurs unitaires xa
, ya
et za
portés par les trois axes , et définis par l'équation (1.21):
Figure 1.6. Vecteur de position
A tout point , , , est associé un vecteur de position R
dont la grandeur est la distance OP et le sens celui de O vers P. Ce vecteur est représenté par Figure 1.6a:
zyx a.za.ya.xR
(1.27)
Considérons deux points P1 et P2 et leurs vecteurs de position associés 1R
et 2R
, comme montrés dans la Figure 1.6b, et donnés par :
zyx a.za.ya.xOPR
11111 (1.28)
zyx a.za.ya.xOPR
22222 (1.29)
Le vecteur joignant les points et , orienté de vers donne la position relative de par rapport à , est donné par :
12 1 2 2 1
2 1 2 1 2 1. . .x y z
R P P OP OP
x x a y y a z z a
(1.30)
1.2.3.2. Le système de coordonnées cylindriques
Dans ce système, tout point peut être défini comme l'intersection de trois surfaces mutuellement perpendiculaires ; une surface cylindrique (r=Const.), un plan ( .) et un autre plan ( .). Donc, le point est défini par ses coordonnées: ,et (Figure 1.7) telles que: r0 , 0 2 ,
z r est la distance du point à l'axe z dans un plan perpendiculaire à l'axe z.
x
y
z
O
y
, ,
z
y
z
O
z
(a) (b) x x
, ,
, ,
CHAPITRE 01 RAPPELS SUR LES CALCULS VECTORIELS
LET54/Chap. 1. /2016-2017 ©Pr. Ahmed GHERBI Page 1.6 Département d’Electrotechnique- Faculté de Technologie - U.F.A. Sétif-1
Figure 1.7. Coordonnées cylindriques
Au point ,, , on définit les vecteurs unitaires ra ,a
et za tels que:
soit normal à la surface cylindrique r = const.
soit normal au plan = const.
soit normal au plan z = const.
Le sens de ces trois vecteurs unitaires est celui des coordonnées croissantes. Il en résulte que a
est tangent
à la surface cylindrique.
0
zzrr
rzzzzr
aaaaaa
aaa,aaa,aaa
(1.31)
1.2.3.3. Le système de coordonnées sphériques
Dans ce système, tout point peut être défini comme l'intersection de trois surfaces mutuellement perpendiculaires: une surface sphérique (r = constante); une surface conique ( .) et un plan ( .) (Figure 1.8). Donc, le point est défini par ses coordonnées: , , ; telles que:
0 r , 0 et 0 2
Au point P(r,,z), on définit les vecteurs unitaires ra , a
et a tels que:
0
aaaaaa
aaaaaa,aaa
rr
rrr
(1.32)
Figure 1.8. Système de coordonnées sphériques
x
y
, ,
r
z
z
CHAPITRE 01 RAPPELS SUR LES CALCULS VECTORIELS
LET54/Chap. 1. /2016-2017 ©Pr. Ahmed GHERBI Page 1.7 Département d’Electrotechnique- Faculté de Technologie - U.F.A. Sétif-1
REMARQUE
1. L’ordre de coordonnées est important et doit être soigneusement respecté. L’angle représentant le même angle à la fois dans le système cylindrique et dans le système sphérique.
2. Tout vecteur A
peut être décomposé en trois vecteurs, respectivement parallèles aux trois vecteurs unitaires, dans chacun de ces trois systèmes de coordonnées :
Cartésien : x x y y z zA A a A a A a
Cylindrique : r r z zA A a A a A a
Sphérique : r rA A a A a A a
1.2.3.4. Changement de coordonnées
La conversion des coordonnées cylindriques ou sphériques d'un point est en coordonnées cartésiennes peut se faire par projection dans chaque cas du vecteur de position R
sur les trois axes Ox, Oy et Oz.
a. Cartésiennes en cylindriques
La conversion des coordonnées cylindriques ou sphériques d'un point est en coordonnées cartésiennes peut se faire par projection dans chaque cas du vecteur de position R
sur les trois axes Ox, Oy et Oz
b. Cartésiennes en cylindriques
D'après la Figure 1.7(voir TD) :
cos
sin
x r
y r
z z
(1.33)
c. Cartésiennes en sphériques
D'après la Figure 1.8(voir TD)
sin cos
sin sin
cos
x r
y r
z r
(1.34)
1.3. Analyse vectorielle
1.3.1. Champ scalaire
On appelle ainsi toute fonction scalaire z,y,xf associée à tout point de l'espace repéré par ses coordonnées
, , . La valeur de ce champ dépend évidemment des variables ( , , ).
EXEMPLE : la température, la pression ou la masse volumique de l'air dans l'atmosphère. le potentiel électrique...
1.3.2. Champ vectoriel
On définit ainsi toute fonction vectorielle , ,A x y z
associée à tout de point z,y,xP et définie par la donnée
de trois champs scalaires:
x x y y z zA x , y ,z A x , y ,z a A x , y ,z a A x , y ,z a
(1.35)
CHAPITRE 01 RAPPELS SUR LES CALCULS VECTORIELS
LET54/Chap. 1. /2016-2017 ©Pr. Ahmed GHERBI Page 1.8 Département d’Electrotechnique- Faculté de Technologie - U.F.A. Sétif-1
EXEMPLE : le champ électrique et champ magnétique sont des champs vectoriels.
1.3.3. Les intégrales vectorielles
1.3.3.1. La circulation d’un vecteur le long d’une ligne
Considérons un champ vectoriel A
et une ligne représentant un parcours quelconque dans l'espace le long d'une courbe , et limitée aux points et (Figure 1.9).
Figure 1.9. Circulation d’un vecteur le long d’une ligne
Le vecteur dl infiniment petit, tangent à C et dont la grandeur est un élément de longueur de . on définit la
circulation du vecteur A
(ou Curl A
) le long de la courbe par :
C
dl.AAdencirculatio
( 1.36)
Si la courbe est fermée, on écrit :
C
dl.AAdencirculatio
( 1.37)
Si la circulation de A
sur une courbe fermée est nulle, on dit que le champ vectoriel A
est conservatif.
1.3.3.2. Le flux d'un vecteur à travers une surface
Considérons un champ vectoriel A
et une surface quelconque. Soient un élément infinitésimal de surface
et na
le vecteur normal à . On définit le flux du champ vectoriel A
à travers la surface par :
n
S S
A a dS A dS
(puisque dSadS n
) (1.38)
Si la surface est fermée, c'est-à-dire si elle délimite un volume finie, on écrit :
S
dSA
(1.39)
1.3.4. Différentielles vectorielles
1.3.4.1. Divergence
La divergence en point du champ de vecteurs , ,A x y z
est définie par :
lim∆ →
∮ ∙
∆ (1.40)
Cette grandeur est une quantité scalaire. L’intégration se fait ici sur la surface d’un volume infinitésimale
qui entoure le point et tend vers zéro. L’intégration C
Sd.A
est appelée circulation de A quand la divergence
d’un champ de vecteurs n’est pas nulle.
Si 0div A
: la région contient des points singuliers
Si 0div A
: la région contient des points sources
C
CHAPITRE 01 RAPPELS SUR LES CALCULS VECTORIELS
LET54/Chap. 1. /2016-2017 ©Pr. Ahmed GHERBI Page 1.9 Département d’Electrotechnique- Faculté de Technologie - U.F.A. Sétif-1
Si 0div A
: la région contient des points de convergence.
a. Divergence en coordonnées cartésiennes
Considérons le parallélépipède (cube) de cotés x, y et z, parallèles aux axes , et respectivement
(Figure 1.10). Le champ de vecteurs x x y y z zA A a A a A a
est alors pris au point P, sommet du cube
correspondant aux plus petites valeurs des coordonnées x, y et z.
Figure 1.10. Divergence en coordonnées cartésiennes
Pour calculer Sd.A
pour le cube, il faut intégrer sur les six faces. Sur chacune de ces faces, Sd
est dirigé
vers l'extérieur ; puisque les faces sont perpendiculaires aux axes, une seule composante de A
intervient dans le calcul relatif à deux faces parallèles.
Comme les faces sont petites, on peut écrire :
z.y.xASd.A x
gaucheface
z.y.xx
AxAz.y.xxASd.A x
xx
doiteface
de sorte qu’au total pour les deux faces, on obtienne :
z.y.xx
ASd.ASd.A x
droiteface
gaucheface
(1.41)
On applique le même procédé aux deux autres paires de faces, et on fait la somme des résultats :
z.y.xz
A
y
A
x
ASd.A zyx
S
(1.42)
avec : z.y.xv
En appliquant la relation (1.40), on obtient, en coordonnées cartésiennes, l’expression de la divergence :
yx zAA A
div Ax y z
(1.43)
On introduit l’opérateur « Nabla
» ou del qui est vecteur défini, en coordonnées cartésiennes, par :
P
Ax(x+t)Ax(x)1
x
CHAPITRE 01 RAPPELS SUR LES CALCULS VECTORIELS
LET54/Chap. 1. /2016-2017 ©Pr. Ahmed GHERBI Page 1.10 Département d’Electrotechnique- Faculté de Technologie - U.F.A. Sétif-1
x y za a a
x y z
(1.44)
appliqué à un vecteur A
s'écrit comme suit :
. . . . .x y z x x y y z z
yx z
A a a a A a A a A ax y z
AA Adiv A
x y z
(1.45)
ainsi la divergence est donnée par :
.div A A
(1.46)
ATTENTION : L’opérateur Nabla
n’est défini qu’en coordonnées cartésiennes
b. Divergence en coordonnées cylindriques :
1 1r zArA A
div Ar r r z
(1.47)
c. Divergence en coordonnées sphériques :
2
2
1 1 1rr A AA sindiv A
r r sin r sinr
(1.48)
1.3.4.2. Gradient d'un champ scalaire
a. Gradient d'un champ scalaire en coordonnées cartésiennes
On considère un champ scalaire représenté par une fonction scalaire z,y,xf . Il s'agit de savoir comment varie
la fonction f lorsque les coordonnées d'un point P quelconque de coordonnées , ,x y z deviennent ,
, (Figure 1.11)
Figure 1.11. Gradient de la fonction scalaire f Le vecteur dl
représentant le déplacement infinitésimal du point est :
x y zdl dx a dy a dz a
(1.49)
La variation de de à ′ est donnée par :
f f fdf dx dy dz
x y z
(1.50)
En introduisant l’opérateur nabla
, on a :
′ , ,
, ,
CHAPITRE 01 RAPPELS SUR LES CALCULS VECTORIELS
LET54/Chap. 1. /2016-2017 ©Pr. Ahmed GHERBI Page 1.11 Département d’Electrotechnique- Faculté de Technologie - U.F.A. Sétif-1
. . .x y z
f f ff a a a
x y z
(1.51)
On en déduit :
dlfdf
(1.52)
Le champ de vecteurs f
, noté grad f
, est appelé le gradient de la fonction scalaire . la direction de f
correspond à un maximum d’accroissement de la fonction .
b. Gradient d'un champ scalaire en en coordonnées cylindriques ,,
1r z
f f ff a a a
r r z
(1.53)
c. Gradient d'un champ scalaire en en coordonnées sphériques , ,
a
f
sinra
f
ra
r
ff r
11
(1.54)
1.3.4.3. Rotationnel d'un champ vectoriel
Le rotationnel d'un champ vectoriel A
est un autre champ de vecteurs. On considère un point sur une surface
S limitée par une ligne fermée C. on choisit un sens d'orientation pour . na
étant perpendiculaire et est orienté
suivant la règle de la main droite (Figure 1.12).
Figure 1.12. Rotationnel d'un champ vectoriel
La composante du rotationnel de A
suivant na
est définie par :
0
lim Cn
S
A dl
rotA aS
(1.55)
a. Arot
dans les systèmes de coordonnées
Déterminons l'expression de rot A
en coordonnées cartésiennes pour cela, considérons une surface rectangulaire
de côtés z,y parallèles aux axes y et z. Si au coin No. 1 de S existe un champ vectoriel A
. On choisit le
sens du parcours le sens inverse des aiguilles d'une montre de sorte que n xa a
0
Cx
y z
A .dl
rotA a limy z
(1.56)
CHAPITRE 01 RAPPELS SUR LES CALCULS VECTORIELS
LET54/Chap. 1. /2016-2017 ©Pr. Ahmed GHERBI Page 1.12 Département d’Electrotechnique- Faculté de Technologie - U.F.A. Sétif-1
2 3 4 1
1 2 3 4C
yzy z y z
yz
A dl A dl A dl A dl A dl
AAA y A y z A z z A z
y z
AAy z
y z
Soit
yzx
AArotA a
y z
De la même manière, on peut déterminer les composantes yaArot et zaArot
. D'où alors, le Arot
en
coordonnées cartésiennes :
zxy
yzx
xyz a
y
A
x
Aa
x
A
z
Aa
z
A
y
AArot
(1.57)
ce qui peut se mettre sous d'un déterminant d'ordre 3 :
x y z
x y z
a a a
rot A x y z
A A A
(1.58)
Les termes de la deuxième ligne sont les composantes de
, donc :
rot A A
(1.59)
b. Arot
en coordonnées cylindriques
1 1z r z rr z
rAAA A A AA a a a
r z z r r r
(1.60)
c. Arot
en coordonnées sphériques
1 1 1 1r rr
A sin rAA ( r A )A AA a a a
r sin r sin r r r
(1.61)
d. Propriétés du rotationnel
La divergence du rotationnel est Nulle pour n'importe quelle fonction vectorielle A
:
0A
(1.62)
Le rotationnel d'un gradient est Nul pour n'importe quelle fonction scalaire f :
0f
(1.63)
2A A A
(1.64)
A B A B
(1.65)
Un champ vectoriel est dit irrotationnel si 0.
CHAPITRE 01 RAPPELS SUR LES CALCULS VECTORIELS
LET54/Chap. 1. /2016-2017 ©Pr. Ahmed GHERBI Page 1.13 Département d’Electrotechnique- Faculté de Technologie - U.F.A. Sétif-1
1.4. Notion d’angle solide
Soit une surface fermée entourant un point O et soit un point sur cette surface repéré par un vecteur de
position par rapport à O’. La quantité∙
est la projection de l’élément de surface sur un plan
perpendiculaire à (Figure 1.13). Appelons ’ cette surface projetée :
nR adS dS
R
(1.66)
On définit l'angle solide l'angle dans l'espace sous lequel le point O "voit" la surface dS'. Il est donné par le rapport :
2
dSd
R
(1.67)
L'angle solide total sous lequel le point voit tout la surface fermée S est :
2 3n
S S S
R adSd dS
R R
(1.68)
Figure 1.13. Angle solide
2 3
n
S S
R adSd dS
R RConsidérons une sphère de centre O et de rayon R' < R (la sphère est située
entièrement à l'intérieur de S). puisque n
Ra
R
et 24S R (surface de la sphère)
Ω ∮∙
∮∙ 4 ( 1.69)
Donc quelle que soit la forme de la surface fermée S, l'angle sous lequel un point O voit cette surface est égale à 4. Si le point O est à l'extérieur de la surface . Celle-ci peut être divisée en deux parties S1 et S2, vue du point O sous le même angle solide.
Cependant dans le cas de S1, le vecteur unitaire na
normal à S pointe vers la moitié de l'espace où se trouve
O. alors que dans le cas de S2, il pointe vers l'autre moitié (Figure 1.14). Le vecteur na
est donc positif dans un cas et négatif dans l'autre de sorte que :
Ω ∮∙ 0 ( 1.70)
l'angle solide sous lequel un point extérieur voit une surface fermée est donc nul 0 .
Figure 1.14. Angle solide cas où le point O est à l'extérieur de la surface .
S1 S2
O
R'O
dS'
Sphère
Surface fermée
dS
CHAPITRE 01 RAPPELS SUR LES CALCULS VECTORIELS
LET54/Chap. 1. /2016-2017 ©Pr. Ahmed GHERBI Page 1.14 Département d’Electrotechnique- Faculté de Technologie - U.F.A. Sétif-1
RELATIONS USUELLES
a- COORDONNEES CARTESIENNES
Divergence :z
A
y
A
x
AA. zyx
Rotationnel :z
xyy
zxx
yz a.y
A
x
Aa.
x
A
z
Aa.
z
A
y
AAx
Gradient : zyx az
Va
y
Va
x
VV
Laplacien :2
2
2
2
2
22
z
V
y
V
x
VV
b- COORDONNEES CYLINDRIQUES
Divergence : 1 1r z
ArA A.A
r r r z
Rotationnel : 1 1z r z r
r z
rAAA A A Ax A .a .a .a
r z z r r r
Gradient : 1r z
V V VV a a a
r r z
Laplacien :2 2
22 2 2
1 1V V VV r
r r r r z
c- COORDONNEES SPHERIQUES
Divergence : 2
2
1 1 1rr A AA sin.A
r r sin r sinr
Rotationnel :
1 1 1 1r rr
A sin rAA ( r A )A AA .a .a .a
r sin r sin r r r
Gradient : 1 1r
V V VV a a a
r r r sin
Laplacien :2
2 22 2 2 2 2
1 1 1V V VV r sin
r rr r sin r sin
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