cours infographie 2

InfographieTransformations Géométriques

Nassima Ben YounesLamloumi Naima

PlanPlan

1. Fondements mathématiques

2. Représentations de transformations

3. Compositions de transformations

2

1. Fondements mathématiques1. Fondements mathématiques

• Scalaires et leurs propriétés

• Vecteurs et leurs propriétés

Produit vectoriel

Addition de vecteurs

Normalisation

• Matrices

Multiplication Matrice - vecteur

Multiplication Matrice - Matrice

3

1. Fondements mathématiques1. Fondements mathématiques

Scalaire

• Un scalaire est une grandeur totalement définie par un nombre et une unité.

• Il a une valeur numérique mais pas d'orientation.

• Exemples :

Masse

Distance

Température

Volume

Densité

Etc.

• Les scalaires obéissent aux lois de l'algèbre ordinaire.

4

1. Fondements mathématiques1. Fondements mathématiques

Scalaires

Opérations élémentaires

• Addition et multiplication

• Propriétés

o Commutativité

o Associativité

o Distributivité

• Identité

o Addition : 0

o Multiplication : 1

5

1. Fondements mathématiques1. Fondements mathématiquesVecteurs

Un vecteur est une entité mathématique définie par n valeurs numériques extraites du même ensemble E.

Ces valeurs numériques décrivent le module et l'orientation du vecteur.

n est appelé la dimension du vecteur.

On dit que le vecteur est défini dans En avec En est un espace de dimension n.

Exemple : dans Z2 . (x, y)Z2, dans R3 , (x, y, z)R3

6

1. Fondements mathématiques1. Fondements mathématiques

Vecteurs

Dans un repère les vecteurs sont décrits dans une base (unités de l’ensemble).

Généralement unitaire.

Le vecteur est représenté par l’addition des vecteurs unitaires à chaque axe de coordonnées, en multipliant chacun par la projection (composante) respective du vecteur.

7

1. Fondements mathématiques1. Fondements mathématiques

Vecteurs

Les vecteurs obéissent aux lois de l'algèbre vectorielle

Opérations élémentaires

Produit scalaire

Produit vectoriel

Addition de vecteurs

Produit vecteur-scalaire

Normalisation

8

1. Fondements mathématiques1. Fondements mathématiques

Vecteurs : Produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs est le produit du module du premier par la composante du second dans la direction du premier.

Soient deux vecteurs            = et     =         de R2,

le produit scalaire     . = x1x2 + y1y2.

Soient deux vecteurs    =         et     =         de R3,

le produit scalaire   .     = x1x2 + y1y2 + z1z2.

Si q est l’angle entre et    ,   .     =    .  cos(q).

9

1. Fondements mathématiques1. Fondements mathématiques

Vecteurs : Produit scalairePropriétés :

• Commutativité u . v = v. u

• Distributivité par l’addition (u + v) . w = u . w + v . W

• Distributivité par un scalaire u . ( k * v) = k * (u . v)

• Le produit scalaire de deux vecteurs est égal à 0 si ces deux vecteurs sont orthogonaux.

• Si on inverse l’un des deux vecteurs, le résultat de leur produit scalaire est inversé.

• Si les deux vecteurs sont normés, leur produit scalaire est égal au cosinus de l'angle qu'ils forment.

10

Exercice

Démontrer que dans un parallélogramme, la sommedes carrés des diagonales est égale à la somme descarrés de ses 4 cotés.

11

Réponse12

1. Fondements mathématiques1. Fondements mathématiques

Vecteurs : Produit scalaire

Champs d’applications

Projection d’un vecteur sur un autre.

Élimination des faces cachées.

Calcul d’angle entre deux vecteurs.

Calcul de la quantité de lumière perçue par une face.

Ombrage, …

13

1. Fondements mathématiques1. Fondements mathématiquesVecteurs : Produit vectoriel

Le produit vectoriel est un vecteur perpendiculaire à A et à B dont le sens est donné par la règle de la main droite.

Soient deux vecteurs    =         et     =        de R3,

le produit vectoriel   ^     est le vecteur                       .

14

11. Fondements mathématiques. Fondements mathématiques

Si θ est l’angle entre les vecteurs    et    ,

             =          abs(sin(θ)).

Si on inverse l’un des deux vecteurs, le vecteur résultat du produit vectoriel est inversé.

^ =

^ est orthogonal à    et à

Vecteurs : Produit vectoriel

Remarque : Le produit vectoriel est nul si les deux vecteurs sont parallèles et maximal s’ils sont perpendiculaires.

15

1. Fondements mathématiques1. Fondements mathématiques

Propriétés

• Anti-commutativité (u×v) = − (v×u)

• Distributivité sur l'addition (u + v)×w=u×w+ v×w

• Distributivité par un scalaire (u + v).k =u.k + v.k

• Non-associativité (u×v)×w≠u×(v ×w)

Application : Calcul de la normale à un plan

Vecteurs16

Exercice

Démontrer que l’aire d’un parallélogramme de coté A et B est égale au produit vectoriel du vecteur A et du vecteur B

17

Solution18

1. Fondements mathématiques1. Fondements mathématiques

L’addition de deux vecteurs obéit à la règle du parallélogramme.

Vecteurs : Addition de deux vecteurs

Algébriquement cela se met en œuvre en additionnant les composantes individuellement

19

1. Fondements mathématiques1. Fondements mathématiques

Norme d’un vecteur

La norme d’un vecteur est sa taille. Cette taille est calculée par le théorème de Pythagore,

puisque les composantes d’un vecteur forment toujours des triangles rectangles deux à deux.

Pour la dimension n on applique le même principe, en faisant que les deux côtés du triangle rectangle soient les projections du vecteur dans un sous-espace de dimension (n–1) et dans l’axe de la dimension manquante.

La norme d'un vecteur AB est la distance de A à B

20

1. Fondements mathématiques1. Fondements mathématiques

La normalisation fait qu’un vecteur devienne unitaire, c’est-à-dire, avec la norme 1.

Pour normaliser un vecteur il suffit de diviser toutes ses composantes par sa norme.

Normalisation d’un vecteur

21

1. Fondements mathématiques1. Fondements mathématiques

On appelle matrice M un tableau à deux indices de n*m valeurs numériques extraites du même ensemble E.

Exemple :

Matrice

Usuellement n et m sont le nombre de lignes et le nombre de colonnes de la matrice.

Remarque : Si n = m la matrice est dite carrée.

22

1. Fondements mathématiques1. Fondements mathématiques

Matrice : Produit Matrice - Vecteur

n) j 1 n, i 1 ,(m avecn n x dimension de M carrée matrice uneet

n) i 1 ,(v avecn dimension de V un vecteurSoient

ij

i

≤≤≤≤

≤≤

V M West   Vpar M deproduit vecteur Le

∗=

ni1 ,1

≤≤∗= ∑=

n

kkikij vmw

23

1. Fondements mathématiques1. Fondements mathématiques

On calcule le produit de chaque ligne de la matrice par le vecteur colonne.

Exemple : l

= *

24

1. Fondements mathématiques1. Fondements mathématiques

Matrice : Produit Matrice – Matrice Soient deux matrices M1 et M2 de dimensions

respectives : n x m et m x p.

La matrice M produit de M1 par M2 est de dimension n x p, et elle est calculée par la formule suivante:

p)j1 n,i(1 ,211

≤≤≤≤∗= ∑=

m

kkjikij mmm

25

1. Fondements mathématiques1. Fondements mathématiques

Exemple :

Remarque : Si M1 et M2 sont deux matrices carrées de dimension n x n, le produit de M1 par M2 est une matrice carrée de dimension n x n

* =

26

2. Transformations2. Transformations

Un espace vectoriel : espace où vivent les vecteurs (déplacements ou directions).

Ses principales propriétés

l’existence d’un vecteur nul, la stabilité de l’espace pour toute combinaison

linéaire de vecteurs.

27

2. Transformations2. Transformations

Un espace affine : espace dans lequel vivent les points à partir desquels on définit les objets géométriques usuels (droites, ...).

Il est construit : d’un point de référence (l’origine),d’un espace vectoriel (déplacements autorisés à

partir de ce point

28

Déplacement d'un objet dans une scène.

Déplacement d'un observateur par rapport à une scène.

Réplication d'un motif ou d'un objet.

Déformation d'un objet.

Projection.

etc.

2. Transformations 2. Transformations 29

2. Transformations 2. Transformations

Un objet est décrit par un ensemble de sommets.

Appliquer une transformation à un objet revient à l’appliquer à tous ses sommets.

30

TranslationOn note On note tt(a, b)(a, b) la translation qui applique un déplacement de : la translation qui applique un déplacement de :

aa unités horizontalement unités horizontalementbb unités verticalement unités verticalement

Donc pour chaque point P (x, y) , l’image devient P’ (x + Donc pour chaque point P (x, y) , l’image devient P’ (x + aa, y + , y + bb) pour ) pour une translation une translation tt(a, b)(a, b) . .

t t (a, b)(a, b) :: P (x, y) P (x, y) P’ (x P’ (x + a+ a, y, y + b + b) )

2. Transformations 2. Transformations 31

+ 2+ 2 11

11

Exemple #1 :Exemple #1 : tt(2. 5)(2. 5)

22 unités horizontalement unités horizontalement (vers la droite)(vers la droite)

55 unités verticalement unités verticalement (vers le haut)(vers le haut)

A (-5, -2)A (-5, -2)

+ 5+ 5

A’ (-3, 3)A’ (-3, 3)

+ 2+ 2

O (0, 0)O (0, 0)

+ 5+ 5

O’ (2, 5)O’ (2, 5)

O’ est l’image de O.O’ est l’image de O. O (0, 0) O (0, 0) O’ (0 O’ (0 + 2+ 2, 0, 0 + 5 + 5) ) O’ (2, 5) O’ (2, 5) A’ est l’image de A.A’ est l’image de A. A (-5, -2) A (-5, -2) A’ (-5 A’ (-5 + 2+ 2, -2, -2 + 5 + 5) ) A’ (-3, 3) A’ (-3, 3)

32

11

11

Exemple #2 :Exemple #2 : Où se retrouve le triangle ABC suite à la translation Où se retrouve le triangle ABC suite à la translation tt(-3, 2)(-3, 2) ? ?

A (-2, 4) A (-2, 4) A’ (-2 A’ (-2 – 3– 3, 4, 4 + 2 + 2) ) A’ (-5, 6) A’ (-5, 6) t t (-3, 2)(-3, 2) ::

A (-2, 4)A (-2, 4)

B (-2, -2)B (-2, -2) C (3, -2)C (3, -2)

B (-2, -2) B (-2, -2) B’ (-2 B’ (-2 – 3– 3, -2, -2 + 2 + 2) ) B’ (-5, 0) B’ (-5, 0) C (3, -2) C (3, -2) C’ (3 C’ (3 – 3– 3, -2, -2 + 2 + 2) ) C’ (0, 0) C’ (0, 0)

- 3- 3+ 2+ 2

A’ (-5, 6)A’ (-5, 6)

- 3- 3+ 2+ 2

B’ (-5, 0)B’ (-5, 0)

- 3- 3

+ 2+ 2

C’ (0, 0)C’ (0, 0)

33

Exemple #3 :Exemple #3 : Trouver l’image du quadrilatère ABCD si on lui applique une Trouver l’image du quadrilatère ABCD si on lui applique une translation translation tt(7, -5)(7, -5) . .

A (3, 5) A (3, 5) A’ (3 A’ (3 + 7+ 7, 5, 5 – 5 – 5) ) A’ (10, 0) A’ (10, 0) t t (7, -5)(7, -5) ::

A (3, 5)A (3, 5)

D (-2, -2)D (-2, -2)

C (3, -4)C (3, -4)

B (4, 2) B (4, 2) B’ (4 B’ (4 + 7+ 7, 2, 2 – 5 – 5) ) B’ (11, -3)B’ (11, -3)C (3, -4) C (3, -4) C’ (3 C’ (3 + 7+ 7, 4, 4 – 5 – 5) ) C’ (10, -9) C’ (10, -9)

+ 7+ 7

- 5- 5

A’ (10, 0)A’ (10, 0)

B’ (11, -3)B’ (11, -3)

C’ (10, -9)C’ (10, -9)

B (4, 2)B (4, 2)

D (-2, -2) D (-2, -2) D’ (-2 D’ (-2 + 7+ 7, -2, -2 – 5 – 5) ) D’ (5, -7) D’ (5, -7)

11

11

+ 7+ 7

- 5- 5

+ 7+ 7

- 5- 5

+ 7+ 7

- 5- 5

D’ (5, -7)D’ (5, -7)

34

11

11

Exemple #4 :Exemple #4 : Le triangle A’B’C’ a subi une translation Le triangle A’B’C’ a subi une translation tt(-3, -2)(-3, -2). Quelles . Quelles étaient les coordonnées du triangle ABC ?étaient les coordonnées du triangle ABC ?

A’ (-5, 2) A’ (-5, 2) A (-5 A (-5 + 3+ 3, 2, 2 + 2 + 2) ) A (-2, 4) A (-2, 4) tt-1-1(3, 2) (3, 2) ::

A’ (-5, 2)A’ (-5, 2)

B’ (-5, -4)B’ (-5, -4) C’ (0, -4)C’ (0, -4)

B’ (-5, -4) B’ (-5, -4) B (-5 B (-5 + 3+ 3, -4, -4 + 2 + 2) ) B (-2, -2) B (-2, -2) C’ (0, -4) C’ (0, -4) C (0 C (0 + 3+ 3, -4, -4 + 2 + 2) ) C (3, -2) C (3, -2)

+ 3+ 3+ 2+ 2

A (-2, 4)A (-2, 4)

+ 3+ 3 + 2+ 2B (-2, -2)B (-2, -2)

+ 3+ 3 + 2+ 2C (3, -2)C (3, -2)

35

2. Transformations 2. Transformations

),( yxP

),( yyxxP ∆+∆+′

x∆

y∆

PTPyx

yx

yx

+=′

+

∆∆

=

′′T

36

2. Transformations 2. Transformations

Réflexion (ou symétrie)On note On note ssxx la réflexion par rapport à l’axe des la réflexion par rapport à l’axe des abscissesabscisses (ou «  (ou « xx »). »).

Pour chaque point P (x, y) , l’image par Pour chaque point P (x, y) , l’image par ssxx devient P’ (x, - y). devient P’ (x, - y).

ssxx :: P (x, y) P (x, y) P’ (x, - y) P’ (x, - y)

37

11

11

Exemple :Exemple : ssxx

A (2, 3) A (2, 3) A’ (2, -3) A’ (2, -3) ssxx ::

A (2, 3)A (2, 3)

A’ (2, -3)A’ (2, -3)

38

On note On note ssyy la réflexion par rapport à l’axe des la réflexion par rapport à l’axe des ordonnéesordonnées (ou «  (ou « yy »). »).

Pour chaque point P (x, y) , l’image par Pour chaque point P (x, y) , l’image par ssyy devient P’ (- x, y). devient P’ (- x, y).

ssyy :: P (x, y) P (x, y) P’ (- x, y) P’ (- x, y)

11

11

Exemple :Exemple : ssyy

A (2, 3) A (2, 3) A’ (-2, 3) A’ (-2, 3) ssyy ::

A (2, 3)A (2, 3)A’ (-2, 3)A’ (-2, 3)

39

Exemple :Exemple : Trouver l’image du quadrilatère ABCD si on lui applique une Trouver l’image du quadrilatère ABCD si on lui applique une réflexion réflexion ssyy . .

11

11

A (-2, 6) A (-2, 6) A’ (2, 6) A’ (2, 6) ssyy ::

AA

B’B’

DD

CC

BB

B (2, 9) B (2, 9) B’ (-2, 9) B’ (-2, 9) C (6, 4) C (6, 4) C’ (-6, 4) C’ (-6, 4) D (5, 1) D (5, 1) D’ (-5, 1) D’ (-5, 1)

A’A’

C’C’

D’D’

40

2. 2. TransformationsTransformations

−=

′′

yx

yx

1001),( yxP ),( yxP ′′′

−

=

′′

yx

yx

1001),( yxP

),( yxP ′′′

),( yxP

),( yxP ′′′

=

′′

yx

yx

0110

41

2. Transformations 2. Transformations

HomothétieOn note On note hh(O, k)(O, k) l’homothétie centrée à l’origine l’homothétie centrée à l’origine OO et de rapport et de rapport kk..

Pour chaque point P (x, y) , l’image par Pour chaque point P (x, y) , l’image par hh(O, k)(O, k) devient P’ devient P’ ((kkx, x, kky).y).

hh(O, k)(O, k) :: P (x, y) P (x, y) P’ (P’ (kkx, x, kky) y)

42

11

11

Exemple #1 :Exemple #1 :

A (2, 1) A (2, 1) A’ (A’ (22 xx 2, 2, 22 xx 1) 1) A’ (4, 2) A’ (4, 2) hh(O, 2)(O, 2) ::

B (2, 5) B (2, 5) B’ (B’ (2 x2 x 2, 2, 2 x2 x 5) 5) B’ (4, 10) B’ (4, 10) C (4, 1) C (4, 1) C’ (C’ (2 x2 x 4, 4, 2 x2 x 1) 1) C’ (8, 2) C’ (8, 2)

Trouver l’image du triangle ABC si on lui applique une Trouver l’image du triangle ABC si on lui applique une homothétie homothétie hh(O, 2)(O, 2) . .

AA

BB

CCA’A’

B’B’

C’C’

43

11

11

Exemple #2 :Exemple #2 :

A (-8, -2) A (-8, -2) A’ (A’ (½½ xx -8, -8, ½½ xx -2) -2) A’ (-4, -1) A’ (-4, -1) hh(O, ½)(O, ½) ::

B (-2, 10) B (-2, 10) B’ (B’ (½ x½ x -2, -2, ½ x½ x 10) 10) B’ (-1, 5) B’ (-1, 5) C (6, -6) C (6, -6) C’ (C’ (½ x½ x 6, 6, ½ x½ x -6) -6) C’ (3, -3) C’ (3, -3)

Trouver l’image du triangle ABC si on lui applique une Trouver l’image du triangle ABC si on lui applique une homothétie homothétie hh(O, ½)(O, ½) . .

AA

BB

CC

A’A’

B’B’

C’C’

44

2. Transformations 2. Transformations

Compositions de transformationsOn utilise le symbole On utilise le symbole οο , qui se lit «  , qui se lit « rondrond », pour lier une série de  », pour lier une série de transformations consécutives.transformations consécutives.

On lit les transformations de DROITE à GAUCHE.On lit les transformations de DROITE à GAUCHE.

Ex. :Ex. : ssxx οο h h(O, 2)(O, 2) οο t t(2, -5)(2, -5)

À l’objet initial, on applique :À l’objet initial, on applique : tt(2, -5)(2, -5)

hh(O, 2)(O, 2) ssxx

45

22

22

AA

CC

Exemple :Exemple : Trouver l’image du triangle ABC suite à la composition de Trouver l’image du triangle ABC suite à la composition de transformations suivante :transformations suivante :

BB

hh(O, (O, ⅓⅓)) οο s syy οο t t(4, -7)(4, -7)

A (-10, 16) A (-10, 16) A’ (-10 A’ (-10 + 4+ 4, 16, 16 – 7 – 7) ) A’ (-6, 9) A’ (-6, 9)

t t (4, -7)(4, -7) ::

B (-7, 22) B (-7, 22) B’ (-7 B’ (-7 + 4+ 4, 22, 22 – 7 – 7) ) B’ (-3, 15)B’ (-3, 15)C (-4, 19) C (-4, 19) C’ (-4 C’ (-4 + 4+ 4, 19, 19 – 7 – 7) ) C’ (0, 12) C’ (0, 12)

A’ (-6, 9) A’ (-6, 9) A’’ (6, 9) A’’ (6, 9)

ssyy ::

B’ (-3, 15) B’ (-3, 15) B’’ (3, 15) B’’ (3, 15) C’ (0, 12) C’ (0, 12) C’’ (0, 12) C’’ (0, 12)

A’’ (6, 9) A’’ (6, 9) A’’’(A’’’(⅓⅓ xx 6, 6, ⅓⅓ xx 9) 9) A’’’ (2, 3) A’’’ (2, 3)

hh(O, (O, ⅓⅓)) ::

B’’ (3, 15) B’’ (3, 15) B’’’ (B’’’ (⅓ x⅓ x 3, 3, ⅓ x⅓ x 15) 15) B’’’ (1, 5) B’’’ (1, 5) C’’ (0, 12) C’’ (0, 12) C’’’ (C’’’ (⅓ x⅓ x 0, 0, ⅓ x⅓ x 12) 12) C’’’ (0, 4) C’’’ (0, 4)

A’A’

C’C’

B’B’

A’’’A’’’C’’’C’’’

B’’’B’’’ A’’A’’

C’’C’’

B’’B’’

46

2. Transformations 2. Transformations

Dilatation ou contractionDilatationDilatation : Figure : Figure étiréeétirée horizontalement ou verticalement. horizontalement ou verticalement.

Pour chaque point P (x, y) , l’image par une Pour chaque point P (x, y) , l’image par une contraction ou une dilatation devient P’ (contraction ou une dilatation devient P’ (aax, x, bby).y).

P (x, y) P (x, y) P’ (P’ (aax, x, bby) y)

Contraction Contraction : Figure : Figure rétrécierétrécie horizontalement ou verticalement. horizontalement ou verticalement.

où où aa ≠ 0 et ≠ 0 et bb ≠ 0. ≠ 0.Si Si aa = = bb, alors on a une homothétie., alors on a une homothétie.

47

Exemple #1 :Exemple #1 : Trouver l’image du quadrilatère ABCD si on lui applique la Trouver l’image du quadrilatère ABCD si on lui applique la règle de transformation suivante :règle de transformation suivante :

11

11AA

B’B’

DD

CC

BB

A’A’

C’C’

D’D’

(x, y)(x, y) (x, (x, 22y)y)

A (-4, 1) A (-4, 1) A’ (-4, A’ (-4, 22 xx 1) 1) A’ (-4, 2) A’ (-4, 2) B (0, 4) B (0, 4) B’ (0, B’ (0, 2 x2 x 4) 4) B’ (0, 8) B’ (0, 8) C (4, -1) C (4, -1) C’ (4, C’ (4, 2 x2 x -1) -1) C’ (4, -2) C’ (4, -2) D (3, -4) D (3, -4) D’ (3, D’ (3, 2 x2 x -4) -4) D’ (3, -8) D’ (3, -8)

C’est une C’est une dilatationdilatation verticaleverticale ! !

48

11

11

A (-8, -2) A (-8, -2) A’ (A’ (½½ xx -8, -2) -8, -2) A’ (-4, -2) A’ (-4, -2) B (-2, 10) B (-2, 10) B’ (B’ (½ x½ x -2, 10) -2, 10) B’ (-1, 10) B’ (-1, 10) C (6, -6) C (6, -6) C’ (C’ (½ x½ x 6, -6) 6, -6) C’ (3, -6) C’ (3, -6)

AA

CC

A’A’

B’B’

C’C’

Exemple #2 :Exemple #2 : Trouver l’image du triangle ABC si on lui applique la règle Trouver l’image du triangle ABC si on lui applique la règle de transformation suivante :de transformation suivante : (x, y)(x, y) ((½½ x , y) x , y)

BB

C’est une C’est une contraction contraction horizontalehorizontale ! !

49

2. 2. TransformationsTransformations

),( yxP

),( yyxxP ∆∆′

SPPyx

yx

yx

=′

∆

∆=

′′

00

50

2. Transformations 2. Transformations

Rotations (autour de l’origine O)(autour de l’origine O)

Pour chaque point P (x, y) , l’image par Pour chaque point P (x, y) , l’image par rr(O, 90(O, 90oo)) devient P’ (- y, x).devient P’ (- y, x).rr(O, 90(O, 90oo)) :: P (x, y) P (x, y) P’ (- y, x) P’ (- y, x)

Rotation de Rotation de 9090oo

Pour chaque point P (x, y) , l’image par Pour chaque point P (x, y) , l’image par rr(O, 180(O, 180oo)) devient P’ (- x, - y).devient P’ (- x, - y).rr(O, 180(O, 180oo)) :: P (x, y) P (x, y) P’ (- x, - y) P’ (- x, - y)

Rotation de Rotation de 180180oo

Pour chaque point P (x, y) , l’image par Pour chaque point P (x, y) , l’image par rr(O, 270(O, 270oo)) devient P’ (y, - x).devient P’ (y, - x).rr(O, 270(O, 270oo)) :: P (x, y) P (x, y) P’ (y, - x) P’ (y, - x)

Rotation de Rotation de 270270oo

51

11

11

Exemple :Exemple :

AA

BB

CCA’A’

A (3, 2) A (3, 2) A’ (-2, 3) A’ (-2, 3) B (3, 10) B (3, 10) B’ (-10, 3) B’ (-10, 3) C (7, 2) C (7, 2) C’ (-2, 7) C’ (-2, 7)

rr(O, 90(O, 90oo))

Pour chaque point P (x, y) , l’image par Pour chaque point P (x, y) , l’image par rr(O, 90(O, 90oo)) devient P’ (- y, x).devient P’ (- y, x).rr(O, 90(O, 90oo)) :: P (x, y) P (x, y) P’ (- y, x) P’ (- y, x)

Rotation de Rotation de 9090oo

rr(O, 90(O, 90oo)) ::

B’B’

C’C’

9090oo

52

A’A’

11

11

Exemple :Exemple :

AA

BB

CC

rr(O, 180(O, 180oo))

Pour chaque point P (x, y) , l’image par Pour chaque point P (x, y) , l’image par rr(O, 180(O, 180oo)) devient P’ (- x, - y).devient P’ (- x, - y).rr(O, 180(O, 180oo)) :: P (x, y) P (x, y) P’ (- x, - y) P’ (- x, - y)

Rotation de Rotation de 180180oo

B’B’

C’C’

A (3, 2) A (3, 2) A’ (-3, -2) A’ (-3, -2) B (3, 10) B (3, 10) B’ (-3, -10) B’ (-3, -10) C (7, 2) C (7, 2) C’ (-7, -2) C’ (-7, -2)

rr(O, 180(O, 180oo)) ::

A’A’C’C’

B’B’

180180oo

53

A’A’

11

11

Exemple :Exemple :

AA

BB

CC

rr(O, 270(O, 270oo))

Pour chaque point P (x, y) , l’image par Pour chaque point P (x, y) , l’image par rr(O, 270(O, 270oo)) devient P’ (y, - x).devient P’ (y, - x).rr(O, 270(O, 270oo)) :: P (x, y) P (x, y) P’ (y, - x) P’ (y, - x)

Rotation de Rotation de 270270oo

B’B’

C’C’

A (3, 2) A (3, 2) A’ (2, -3) A’ (2, -3) B (3, 10) B (3, 10) B’ (10, -3) B’ (10, -3) C (7, 2) C (7, 2) C’ (2, -7) C’ (2, -7)

rr(O, 270(O, 270oo)) ::

A’A’C’C’

B’B’

270270oo

A’A’

C’C’

B’B’

54

),( yxP

),( yxP ′′′

RPPyx

yx

=′

−=

′′

θθθθ

cossinsincos

θφ

sens anti-horaireθ

==

φφ

sincos

:ryrx

P

+=+=

+=′−=

−=+=′

′

θθθφθφ

θφθθ

θφθφθφ

cossincossinsincos

)sin(sincos

sinsincoscos)cos(

:

yxrr

ryyx

rrrx

Pr

r

55

2. Transformations 2. Transformations

Isométries et similitudes

ISOMÉTRIESISOMÉTRIESConserve les distances. La figure reste inchangée Conserve les distances. La figure reste inchangée (angles (angles et segments)et segments)..

TranslationsTranslations, , réflexionsréflexions, , rotationsrotations..

SIMILITUDESSIMILITUDESLa figure change de dimension. Seulement les anglesLa figure change de dimension. Seulement les angles et les droites parallèles restent inchangés.restent inchangés.

HomothétiesHomothéties

56

2. Transformations 2. Transformations

Type de transformations

Rigide : ISOMÉTRIESRigide : ISOMÉTRIES

Aucune propriétés de la figure n’est modifiées.Aucune propriétés de la figure n’est modifiées.

TranslationsTranslations, , réflexionsréflexions, , rotationsrotations..

Affine : ISOMÉTRIES + SIMILITUDESAffine : ISOMÉTRIES + SIMILITUDES

Conservation des droites parallèles. Conservation des droites parallèles.

TranslationsTranslations, , réflexionsréflexions, , rotations, homothétiesrotations, homothéties

57