cours continuité et limites
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1
LIMITES Soient P et Q deux fonctions polynôme de degré n et m et du monôme de plus haut degré anxn et bnxm
respectivement alors
=+∞→
)x(Plimx
nn
xxalim
+∞→ ; =
−∞→)x(Plim
x n
nx
xalim−∞→
=+∞→ )x(Q
)x(Plim
x mm
nn
x xb
xalim
+∞→ ; =
−∞→ )x(Q
)x(Plim
x mm
nn
x xb
xalim
−∞→
Exemple : 1x5x
1xx2x2lim
2
43
x −+−+−
−∞→ =
2
4
x x
x2lim
−−∞→
= 2
xx2lim −
−∞→ = −∞
Limites trigonométries
1x
)xsin(lim
0x=
→ ; 1
x
)xtan(lim
0x=
→ ;
2
1
x
)xcos(1lim
20x=−
→ ; 0
x
)xcos(1lim
0x=−
→
ax
)axsin(lim
0x=
→ ; 1
x
)axtan(lim
0x=
→ ;
2
a
x
)axcos(1lim
2
20x=−
→ ; 0
x
)axcos(1lim
0x=−
→
Exemple : )xsin(.x
)xcos(1lim
0x
−→
=
²x
)xsin(.x²x
)xcos(1
lim0x
−
→ =
x
)xsin(²x
)xcos(1
lim0x
−
→ =
2
1
1
2
1
=
Théorème d’encadrement Soit f , g et h trois fonctions telles que :
Si
∈==≤≤
)Rl(lglimflim
xdesinvoixpour)x(g)x(h)x(f
00 xx
0 alors lhlim
0x= ( x0 fini on infini )
Exemple :
+→ x
1sinxlim
0x
On a : 1x
1sin1 ≤
≤− alors pour tout 0x > : xx
1sinxx ≤
≤−
Alors on a :
==−
≤
≤−
++0xlim)x(lim
0desinvoixpourxx
1sin.xx
00
alors
+→ x
1sinxlim
0x=0
Théorème de comparaison Soit f et g deux fonctions telles que :
Si
+∞=≥
glim
xdesinvoixpour)x(g)x(f
0x
0 alors +∞=flim
0x
Si
−∞=≤
glim
xdesinvoixpour)x(g)x(f
0x
0 alors −∞=flim
0x( x0 fini on infini )
Exemple : Soit f(x) = x².(2+cos(x) ). Calculer )x(flimx +∞→
On a : 2 + cosx ≥ 2 + -1 alors 2 + cosx ≥ 1 ainsi f(x) ≥ x²
On a alors
+∞=≥
∞+²xlim
xdesinvoixpourx)x(f 02
alors )x(flimx +∞→
= +∞
Théorème ; fonction composé Soit f et g deux fonctions telles que :
yflim0x
= et zglimy
= alors zfglim0x
=� ( x0 , y et z finis ou infinis )
Exemple :
++∞→ x2
x1sinlim
x
π
On peut écrire h = fg � avec f : xx2
x1 π+֏ et g )xsin(֏ et h(x)
+=x2
x1sin
π
Fiche de cours 4ème Maths
Continuite et limitesContinuite et limitesContinuite et limitesContinuite et limites
Maths au lycee Maths au lycee Maths au lycee Maths au lycee *** Ali AKIRAli AKIRAli AKIRAli AKIR
Site Web : http://maths-akir.midiblogs.com/
2
On a : =+∞→
)x(flimx x2
x1lim
x
π++∞→
= x2
xlim
x
π
+∞→ =
22lim
x
ππ =+∞→
et 1)x(glim
2x
=→ π
alors =+∞→
)x(hlimx
1
ASYMPTOTE
?)x(flimx
=∞→
b)x(flimx
=∞→
∞=∞→
)x(flimx
by:∆ = est un
asymptote
horizontale
?x
)x(flimx
=∞→
a
x
)x(flimx
=∞→
∞=∞→ x
)x(flimx
0x
)x(flimx
=∞→
( ) ?ax)x(flimx
=−∞→
Branche
parabolique
de directeur
(y’y)
Branche
parabolique
de directeur
(x’x)
( ) bax)x(flimx
=−∞→
( ) ∞=−∞→
ax)x(flimx
baxy:∆ += est
un asymptote
oblique
Branche
parabolique de
cœfficient
directeur a.
FONCTION CONTINUE Définition 1 :
Une fonction f est continue en un point a si )a(f)x(flimax
=→
Définition 2 :
Une fonction f est continue sur un intervalle I, si elle est définie sur cet intervalle et si : pour tout réel a de I
)a(f)x(flimax
=→
La fonction partie entière
*) La fonction Partie entière qui à tout réel x associe le plus grand entier relatif
inférieur à x , noté E(x) , est représentée ci-dessous.
Pour tout réel x , on a 1)x(Ex)x(E +<≤
par exemple : 2)2,2(E = et 3)2,2(E −=−
E est-elle continue en 2 ?
Pour [ [2,1x ∈ , E(x) = 1donc 1)x(Elim2x
=−→
Pour [ [3,2x ∈ , E(x)=2 donc 2)x(Elim2x
=+→
Ces limites étant différentes, la fonction E n’admet pas de limite en 2.
Donc E n’est pas continue en 2.
*) la fonction Partie entière n’est pas continue sur R. Elle est continue sur
tout intervalle du type [ [1n,n + , où n est un entier relatif quelconque.
3
Théorème
*)L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
*)les fonctions polynômes sont continues sur R .
*)les fonctions rationnelles sont continues sur leur domaine de définition c’est à dire en tout point où le
dénominateur ne s’annule pas.
*)Si f est continue en x0 et g est continue en f(x0), alors fg � est continue en x0
Théorème :
*) Soit f une fonction f définie sur un intervalle de type [ [b,a ( b finie ou infini)
Si la fonction f est croissante et majorée alors f possède une limite finie en b.
Si la fonction f est croissante et non majorée alors f tend vers +∞ en b.
*) Soit f une fonction f définie sur un intervalle de type ] ]b,a (a finie ou infini)
Si la fonction f est décroissante et minorée alors f possède une limite finie en a.
Si la fonction f est décroissante et non minorée alors f tend vers −∞ en a .
Théorème de la valeur intermédiaire
Si f est une fonction continue sur un intervalle [a,b], alors pour tout réel c compris entre f (a) et f (b) , l’équation
f (x) = c admet aux moins une solution α∈ [a,b].
Corollaire 1 de TVI
Si f est continue sur I = [a,b] et telle que f(a) × f(b) < 0 alors il existe au moins un réel x0∈ ]a,b[ tel que f(x0) = 0 .
Et si de plus f est strictement monotone sur I alors il existe un unique réel x0∈ ]a,b[ tel que f(x0) = 0 .
Corollaire 2 de TVI
Si f est continue sur I = [a,b] et ne s’annule pas alors elle garde un signe constante sur I
Exemple : I=[1,2] et f(x) = x3 + x – 3
f est dérivable sur I et on a : f’(x) = 3x² +1 0>
f(1)=-1 et f(2)=7
Alors on a : f est continue sur I , f(1) × f(2) < 0 et f est strictement croissante sur I
Alors il existe un unique réel x0∈]1,2[ tel que f(x0) = 0 .
Illustrations graphiques
f est continue et strictement croissante sur
l’intervalle [ a ; b ].
L’équation f (x) = c admet une solution unique.
f est continue et strictement décroissante sur
l’intervalle [ a ; b ] .
L’équation f (x) = c admet une solution unique .
f est continue mais n’est pas monotone sur
l’intervalle [ a ; b ] .
L’équation f (x) = c peut avoir plusieurs solutions
f n’est pas continue sur l’intervalle [ a ; b ] .
L’équation f (x) = c peut ne pas avoir de solutions.
a b
f ( a)
f ( b)
c y = c
O a α 1 b
f ( a)
f ( b)
c y = c
α 2 α 3 O
a α b
f ( a)
f ( b)
c y = c
O a α b
f ( a)
f ( b)
c y = c
O
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