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Les divers types de problèmes que l’on se poseDistribution d’échantillonnage de certaines statistiques
EstimationTests
Cours 5: Inférences: Estimation,Echantillonnage et Tests
Clément RauLaboratoire de Mathématiques de ToulouseUniversité Paul Sabatier-IUT GEA Ponsan
Module: Stat inférentielles
Clément Rau Cours 5: Inférences: Estimation, Echantillonnage et Tests
Les divers types de problèmes que l’on se poseDistribution d’échantillonnage de certaines statistiques
EstimationTests
1 Les divers types de problèmes que l’on se poseEchantillonnageEstimationTestsIdée générale pour la résolution de ces 3 problématiques
2 Distribution d’échantillonnage de certaines statistiquesLa moyenne empirique XnLa variance empirique S2
nCas généralCas des échantillons Gaussiens
Clément Rau Cours 5: Inférences: Estimation, Echantillonnage et Tests
Les divers types de problèmes que l’on se poseDistribution d’échantillonnage de certaines statistiques
EstimationTests
3 EstimationdécorEstimation par intervalles de confiance
Estimation d’une moyenneComplément : estimation d’une variance
4 TestsTests paramétriques
Test d’une moyenne, σ connuTest d’une moyenne, σ inconnu mais échantillon GaussienTest d’une variance, µ connu mais échantillon GaussienTest d’une variance, µ inconnu échantillon Gaussien
Clément Rau Cours 5: Inférences: Estimation, Echantillonnage et Tests
Les divers types de problèmes que l’on se poseDistribution d’échantillonnage de certaines statistiques
EstimationTests
Tests de comparaisonCas d’échantillons GaussiensCas d’échantillons non GaussiensComparaison d’échantillons Gaussiens appariés
Clément Rau Cours 5: Inférences: Estimation, Echantillonnage et Tests
Les divers types de problèmes que l’on se poseDistribution d’échantillonnage de certaines statistiques
EstimationTests
EchantillonnageEstimationTestsIdée générale pour la résolution de ces 3 problématiques
1 Les divers types de problèmes que l’on se poseEchantillonnageEstimationTestsIdée générale pour la résolution de ces 3 problématiques
2 Distribution d’échantillonnage de certaines statistiques
3 Estimation
4 Tests
Clément Rau Cours 5: Inférences: Estimation, Echantillonnage et Tests
Les divers types de problèmes que l’on se poseDistribution d’échantillonnage de certaines statistiques
EstimationTests
EchantillonnageEstimationTestsIdée générale pour la résolution de ces 3 problématiques
Introduction : les 3 grandes lignes
Les statistiques peuvent permettre :d’estimer un paramètre inconnu,de donner une zone dans laquelle un paramètre, a degrande chance de se trouverde prendre des décisions.
Chacune de ses questions correspond à une thématique enstatistiques.
Clément Rau Cours 5: Inférences: Estimation, Echantillonnage et Tests
Les divers types de problèmes que l’on se poseDistribution d’échantillonnage de certaines statistiques
EstimationTests
EchantillonnageEstimationTestsIdée générale pour la résolution de ces 3 problématiques
Introduction : les 3 grandes lignes
Les statistiques peuvent permettre :d’estimer un paramètre inconnu,de donner une zone dans laquelle un paramètre, a degrande chance de se trouverde prendre des décisions.
Chacune de ses questions correspond à une thématique enstatistiques.
Clément Rau Cours 5: Inférences: Estimation, Echantillonnage et Tests
Les divers types de problèmes que l’on se poseDistribution d’échantillonnage de certaines statistiques
EstimationTests
EchantillonnageEstimationTestsIdée générale pour la résolution de ces 3 problématiques
Introduction : les 3 grandes lignes
Les statistiques peuvent permettre :d’estimer un paramètre inconnu,de donner une zone dans laquelle un paramètre, a degrande chance de se trouverde prendre des décisions.
Chacune de ses questions correspond à une thématique enstatistiques.
Clément Rau Cours 5: Inférences: Estimation, Echantillonnage et Tests
Les divers types de problèmes que l’on se poseDistribution d’échantillonnage de certaines statistiques
EstimationTests
EchantillonnageEstimationTestsIdée générale pour la résolution de ces 3 problématiques
Introduction : les 3 grandes lignes
Les statistiques peuvent permettre :d’estimer un paramètre inconnu,de donner une zone dans laquelle un paramètre, a degrande chance de se trouverde prendre des décisions.
Chacune de ses questions correspond à une thématique enstatistiques.
Clément Rau Cours 5: Inférences: Estimation, Echantillonnage et Tests
Les divers types de problèmes que l’on se poseDistribution d’échantillonnage de certaines statistiques
EstimationTests
EchantillonnageEstimationTestsIdée générale pour la résolution de ces 3 problématiques
Introduction : les 3 grandes lignes
Les statistiques peuvent permettre :d’estimer un paramètre inconnu,de donner une zone dans laquelle un paramètre, a degrande chance de se trouverde prendre des décisions.
Chacune de ses questions correspond à une thématique enstatistiques.
Clément Rau Cours 5: Inférences: Estimation, Echantillonnage et Tests
Les divers types de problèmes que l’on se poseDistribution d’échantillonnage de certaines statistiques
EstimationTests
EchantillonnageEstimationTestsIdée générale pour la résolution de ces 3 problématiques
Echantillonage
L’échantillonnage permet de passer (de la loi connue d’unparamètre θ dans une population de taille N ) à une estiméed’une quantité θn fabriquée à partir seulement d’une populationde taille n plus petite (échantillon).
Population mère, effectif N
Echantillon, effectif n
θ θ n inconnu connu
FIGURE: Principe de l’échantillonnage.Clément Rau Cours 5: Inférences: Estimation, Echantillonnage et Tests
Les divers types de problèmes que l’on se poseDistribution d’échantillonnage de certaines statistiques
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EchantillonnageEstimationTestsIdée générale pour la résolution de ces 3 problématiques
Echantillonage
L’échantillonnage permet de passer (de la loi connue d’unparamètre θ dans une population de taille N ) à une estiméed’une quantité θn fabriquée à partir seulement d’une populationde taille n plus petite (échantillon).
Population mère, effectif N
Echantillon, effectif n
θ θ n inconnu connu
FIGURE: Principe de l’échantillonnage.Clément Rau Cours 5: Inférences: Estimation, Echantillonnage et Tests
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EchantillonnageEstimationTestsIdée générale pour la résolution de ces 3 problématiques
Exemple : échantillonnage
Dans une entreprise qui comptent 659 employés, on sait que0,03% des employés sont mécontents. On pioche unéchantillon de 15 employés. Quel est l’ordre de grandeur desemployés mécontents dans cet échantillon ?
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EchantillonnageEstimationTestsIdée générale pour la résolution de ces 3 problématiques
Estimation
L’estimation permet d’induire, à partir des résulats observés surun échantillon, des informations sur la population totale.
Population mère, effectif N
Echantillon, effectif n
θ θ n inconnuconnu
FIGURE: Principe de l’estimation.
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EstimationTests
EchantillonnageEstimationTestsIdée générale pour la résolution de ces 3 problématiques
Estimation
L’estimation permet d’induire, à partir des résulats observés surun échantillon, des informations sur la population totale.
Population mère, effectif N
Echantillon, effectif n
θ θ n inconnuconnu
FIGURE: Principe de l’estimation.
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EchantillonnageEstimationTestsIdée générale pour la résolution de ces 3 problématiques
Exemple : estimation
Dans un échantillon de 15 employés d’une entreprise, 7%s’estiment sous pression. Quel est l’ordre de grandeur desemployés sous pression parmi tout le personnel del’entreprise ?
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Les divers types de problèmes que l’on se poseDistribution d’échantillonnage de certaines statistiques
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EchantillonnageEstimationTestsIdée générale pour la résolution de ces 3 problématiques
Test statistiques
Tests de validité d’une hypothèse, prise de décision, contrôlequalité.
Test sur un paramètre. Est ce qu’une moyenne µ estinférieure à une valeur µ0 ?Test de comparaison. Peut on considérer que la moyennedu chiffre d’affaire d’entreprises issues d’un réseau A, estla même que celle d’un réseau B ?
Etant donné, une marge d’erreur α, on rejettera ou ne rejetterapas une hypothèse au risque α% de se tromper.
RemarqueOn ne dira pas "qu’on valide une hypothèse" mais on dira"qu’on ne rejette pas une hypothèse". En effet, les théoriesprobabilistes permettent de dire que sous une certainehypothèse, il n’y a pas de contradictions...
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EchantillonnageEstimationTestsIdée générale pour la résolution de ces 3 problématiques
Test statistiques
Tests de validité d’une hypothèse, prise de décision, contrôlequalité.
Test sur un paramètre. Est ce qu’une moyenne µ estinférieure à une valeur µ0 ?Test de comparaison. Peut on considérer que la moyennedu chiffre d’affaire d’entreprises issues d’un réseau A, estla même que celle d’un réseau B ?
Etant donné, une marge d’erreur α, on rejettera ou ne rejetterapas une hypothèse au risque α% de se tromper.
RemarqueOn ne dira pas "qu’on valide une hypothèse" mais on dira"qu’on ne rejette pas une hypothèse". En effet, les théoriesprobabilistes permettent de dire que sous une certainehypothèse, il n’y a pas de contradictions...
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EchantillonnageEstimationTestsIdée générale pour la résolution de ces 3 problématiques
Test statistiques
Tests de validité d’une hypothèse, prise de décision, contrôlequalité.
Test sur un paramètre. Est ce qu’une moyenne µ estinférieure à une valeur µ0 ?Test de comparaison. Peut on considérer que la moyennedu chiffre d’affaire d’entreprises issues d’un réseau A, estla même que celle d’un réseau B ?
Etant donné, une marge d’erreur α, on rejettera ou ne rejetterapas une hypothèse au risque α% de se tromper.
RemarqueOn ne dira pas "qu’on valide une hypothèse" mais on dira"qu’on ne rejette pas une hypothèse". En effet, les théoriesprobabilistes permettent de dire que sous une certainehypothèse, il n’y a pas de contradictions...
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EchantillonnageEstimationTestsIdée générale pour la résolution de ces 3 problématiques
Test statistiques
Tests de validité d’une hypothèse, prise de décision, contrôlequalité.
Test sur un paramètre. Est ce qu’une moyenne µ estinférieure à une valeur µ0 ?Test de comparaison. Peut on considérer que la moyennedu chiffre d’affaire d’entreprises issues d’un réseau A, estla même que celle d’un réseau B ?
Etant donné, une marge d’erreur α, on rejettera ou ne rejetterapas une hypothèse au risque α% de se tromper.
RemarqueOn ne dira pas "qu’on valide une hypothèse" mais on dira"qu’on ne rejette pas une hypothèse". En effet, les théoriesprobabilistes permettent de dire que sous une certainehypothèse, il n’y a pas de contradictions...
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Test statistiques
Tests de validité d’une hypothèse, prise de décision, contrôlequalité.
Test sur un paramètre. Est ce qu’une moyenne µ estinférieure à une valeur µ0 ?Test de comparaison. Peut on considérer que la moyennedu chiffre d’affaire d’entreprises issues d’un réseau A, estla même que celle d’un réseau B ?
Etant donné, une marge d’erreur α, on rejettera ou ne rejetterapas une hypothèse au risque α% de se tromper.
RemarqueOn ne dira pas "qu’on valide une hypothèse" mais on dira"qu’on ne rejette pas une hypothèse". En effet, les théoriesprobabilistes permettent de dire que sous une certainehypothèse, il n’y a pas de contradictions...
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Test statistiques
Tests de validité d’une hypothèse, prise de décision, contrôlequalité.
Test sur un paramètre. Est ce qu’une moyenne µ estinférieure à une valeur µ0 ?Test de comparaison. Peut on considérer que la moyennedu chiffre d’affaire d’entreprises issues d’un réseau A, estla même que celle d’un réseau B ?
Etant donné, une marge d’erreur α, on rejettera ou ne rejetterapas une hypothèse au risque α% de se tromper.
RemarqueOn ne dira pas "qu’on valide une hypothèse" mais on dira"qu’on ne rejette pas une hypothèse". En effet, les théoriesprobabilistes permettent de dire que sous une certainehypothèse, il n’y a pas de contradictions...
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EchantillonnageEstimationTestsIdée générale pour la résolution de ces 3 problématiques
Exemple : test d’un paramètre
En vue d’aménager les heures de travail du personneld’une entreprise, une étude s’est interessée au temps desommeil d’un échantillon des employés de l’ entreprise.L’étude donne une moyenne du temps de sommeil de 6,56h et un écart-type de 1,35h.Peut on considérer que le temps de sommeil des employésde cette entreprise est significativement inférieur au tempsde sommeil moyen des individus qui est de 7h30 ?
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EchantillonnageEstimationTestsIdée générale pour la résolution de ces 3 problématiques
Exemple : test d’un paramètre
En vue d’aménager les heures de travail du personneld’une entreprise, une étude s’est interessée au temps desommeil d’un échantillon des employés de l’ entreprise.L’étude donne une moyenne du temps de sommeil de 6,56h et un écart-type de 1,35h.Peut on considérer que le temps de sommeil des employésde cette entreprise est significativement inférieur au tempsde sommeil moyen des individus qui est de 7h30 ?
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EchantillonnageEstimationTestsIdée générale pour la résolution de ces 3 problématiques
Exemple : test d’un paramètre
En vue d’aménager les heures de travail du personneld’une entreprise, une étude s’est interessée au temps desommeil d’un échantillon des employés de l’ entreprise.L’étude donne une moyenne du temps de sommeil de 6,56h et un écart-type de 1,35h.Peut on considérer que le temps de sommeil des employésde cette entreprise est significativement inférieur au tempsde sommeil moyen des individus qui est de 7h30 ?
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EchantillonnageEstimationTestsIdée générale pour la résolution de ces 3 problématiques
Principe général commun
Dans chacun des cas, par les théorèmes probabilistes, on saitque :
une quantité θn converge en loi vers une loi connue (loinormale, loi du χ2, loi de Student, loi de Fisher, etc...enfonction des situations)Par l’allure des densités de chacune de ces lois, on saitdonc où la variable θn doit de trouver avec grosseprobabilité...
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Principe général commun
Dans chacun des cas, par les théorèmes probabilistes, on saitque :
une quantité θn converge en loi vers une loi connue (loinormale, loi du χ2, loi de Student, loi de Fisher, etc...enfonction des situations)Par l’allure des densités de chacune de ces lois, on saitdonc où la variable θn doit de trouver avec grosseprobabilité...
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EchantillonnageEstimationTestsIdée générale pour la résolution de ces 3 problématiques
Prérequis : lois classiques et convergence en loi
Lois limites classiques (que l’on obtiendra).Connaître et savoir lire dans les tables les lois suivante :
Loi normale N (0; 1) et passage à N (µ;σ),Loi du χ2,Loi de Student,Loi de Fischer.
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EchantillonnageEstimationTestsIdée générale pour la résolution de ces 3 problématiques
Prérequis : lois classiques et convergence en loi
Rappel : convergence en loi.On dit que la suite de v.a (θn)n converge en loi vers la loi d’unev.a θ si,
pour tout intervalle [a; b], on a :
limn→+∞
P(θn ∈ [a; b]) = P(θ ∈ [a; b]).
Notation : On écrit θnL→ θ
Exemple :Dans le Théorème central limite, on a vu que si les (Xi)i étaientiid et d’espérance finie µ et d’écart-type σ, alors la variable√
nσ (Xn − µ) convergeait en loi vers une loi N (0; 1).
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EchantillonnageEstimationTestsIdée générale pour la résolution de ces 3 problématiques
Prérequis : lois classiques et convergence en loi
Rappel : convergence en loi.On dit que la suite de v.a (θn)n converge en loi vers la loi d’unev.a θ si,
pour tout intervalle [a; b], on a :
limn→+∞
P(θn ∈ [a; b]) = P(θ ∈ [a; b]).
Notation : On écrit θnL→ θ
Exemple :Dans le Théorème central limite, on a vu que si les (Xi)i étaientiid et d’espérance finie µ et d’écart-type σ, alors la variable√
nσ (Xn − µ) convergeait en loi vers une loi N (0; 1).
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EchantillonnageEstimationTestsIdée générale pour la résolution de ces 3 problématiques
Prérequis : lois classiques et convergence en loi
Rappel : convergence en loi.On dit que la suite de v.a (θn)n converge en loi vers la loi d’unev.a θ si,
pour tout intervalle [a; b], on a :
limn→+∞
P(θn ∈ [a; b]) = P(θ ∈ [a; b]).
Notation : On écrit θnL→ θ
Exemple :Dans le Théorème central limite, on a vu que si les (Xi)i étaientiid et d’espérance finie µ et d’écart-type σ, alors la variable√
nσ (Xn − µ) convergeait en loi vers une loi N (0; 1).
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Les divers types de problèmes que l’on se poseDistribution d’échantillonnage de certaines statistiques
EstimationTests
La moyenne empirique XnLa variance empirique S2
n
1 Les divers types de problèmes que l’on se pose
2 Distribution d’échantillonnage de certaines statistiquesLa moyenne empirique XnLa variance empirique S2
n
3 Estimation
4 Tests
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EstimationTests
La moyenne empirique XnLa variance empirique S2
n
Décor, notations valables pour toute la suite du cours
Soit un échantillon de taille n.Pour 1 ≤ i ≤ n, notons Xi les valeurs d’un paramètre queprennent les n individus de l’échantillon.Les Xi sont donc des v.a supposées iid, de moyenne µ etd’écart-type σ (connus ou pas).
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La moyenne empirique XnLa variance empirique S2
n
2 Distribution d’échantillonnage de certaines statistiquesLa moyenne empirique XnLa variance empirique S2
nCas généralCas des échantillons Gaussiens
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La moyenne empirique XnLa variance empirique S2
n
La moyenne empirique Xn
On pose,
Xn =
∑i=1...n Xi
n.
Moyenne empirique des Xi
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La moyenne empirique XnLa variance empirique S2
n
La moyenne empirique Xn
On pose,
Xn =
∑i=1...n Xi
n.
Moyenne empirique des Xi
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La moyenne empirique XnLa variance empirique S2
n
La moyenne empirique Xn
On pose,
Xn =
∑i=1...n Xi
n.
Moyenne empirique des Xi
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EstimationTests
La moyenne empirique XnLa variance empirique S2
n
Propriétés de Xn
1
E(Xn) = µ et Var(Xn) =σ2
n.
(conséquences des propriétés de linéarité de l’espéranceet de pseudo linéarité de la variance)
2
limn
Xn = µ p.s
(Loi des grands nombres)3 √
nσ
(Xn − µ)L→ N (0; 1).
(Théorème central limite)
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EstimationTests
La moyenne empirique XnLa variance empirique S2
n
Propriétés de Xn
1
E(Xn) = µ et Var(Xn) =σ2
n.
(conséquences des propriétés de linéarité de l’espéranceet de pseudo linéarité de la variance)
2
limn
Xn = µ p.s
(Loi des grands nombres)3 √
nσ
(Xn − µ)L→ N (0; 1).
(Théorème central limite)
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La moyenne empirique XnLa variance empirique S2
n
Propriétés de Xn
1
E(Xn) = µ et Var(Xn) =σ2
n.
(conséquences des propriétés de linéarité de l’espéranceet de pseudo linéarité de la variance)
2
limn
Xn = µ p.s
(Loi des grands nombres)3 √
nσ
(Xn − µ)L→ N (0; 1).
(Théorème central limite)
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La moyenne empirique XnLa variance empirique S2
n
Propriétés de Xn
1
E(Xn) = µ et Var(Xn) =σ2
n.
(conséquences des propriétés de linéarité de l’espéranceet de pseudo linéarité de la variance)
2
limn
Xn = µ p.s
(Loi des grands nombres)3 √
nσ
(Xn − µ)L→ N (0; 1).
(Théorème central limite)
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La moyenne empirique XnLa variance empirique S2
n
Propriétés de Xn
1
E(Xn) = µ et Var(Xn) =σ2
n.
(conséquences des propriétés de linéarité de l’espéranceet de pseudo linéarité de la variance)
2
limn
Xn = µ p.s
(Loi des grands nombres)3 √
nσ
(Xn − µ)L→ N (0; 1).
(Théorème central limite)
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EstimationTests
La moyenne empirique XnLa variance empirique S2
n
Justification de l’intérêt de la quantité Xn
Ainsi, la statistique Xn converge (en un certain sens)quand n tend vers l’infini vers µ = E(Xi). On dit que c’estun estimateur de µ.On dit qu’il est sans biais car, E(Xn) = µ (l’espérance del’estimateur est égale à la valeur que l’on cherche àestimer).
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La moyenne empirique XnLa variance empirique S2
n
Justification de l’intérêt de la quantité Xn
Ainsi, la statistique Xn converge (en un certain sens)quand n tend vers l’infini vers µ = E(Xi). On dit que c’estun estimateur de µ.On dit qu’il est sans biais car, E(Xn) = µ (l’espérance del’estimateur est égale à la valeur que l’on cherche àestimer).
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La moyenne empirique XnLa variance empirique S2
n
Exemples d’application
Parmi le personnel d’une entreprise, il y a 300 femmes et600 hommes. On réalise une enquête sur un échantillonde 55 personnes. Donnez une fourchette du nombresd’hommes et de femmes de l’échantillon, avec proba 0,95.Marcheur aléatoire (cf cours précédent)
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La moyenne empirique XnLa variance empirique S2
n
2 Distribution d’échantillonnage de certaines statistiquesLa moyenne empirique XnLa variance empirique S2
nCas généralCas des échantillons Gaussiens
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La moyenne empirique XnLa variance empirique S2
n
Variance empirique
Au regard de la définition de la variance et de la loi des grandsnombres, il est naturel d’introduire :
S2n =
1n
∑i=1...n
(Xi − Xn)2 =1n
[∑
i=1...n
X 2i ]− Xn
2.
variance empirique des Xi
Avantage de cet estimateur, on n’a pas besoin de connaîtrel’espérance µ.
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La moyenne empirique XnLa variance empirique S2
n
Variance empirique
Au regard de la définition de la variance et de la loi des grandsnombres, il est naturel d’introduire :
S2n =
1n
∑i=1...n
(Xi − Xn)2 =1n
[∑
i=1...n
X 2i ]− Xn
2.
variance empirique des Xi
Avantage de cet estimateur, on n’a pas besoin de connaîtrel’espérance µ.
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EstimationTests
La moyenne empirique XnLa variance empirique S2
n
Propriétés
1
limn
S2n = E(X 2
i )− E(Xi)2 = σ2
(loi des grands nombres aux X 2i et Xi )
2
E(S2n) =
n − 1n
σ2
(petit calcul) On dit que S2n a un biais, E(S2
n) 6= σ2.3 On admet que,
S2n − n−1
n σ2
Var(S2n)
L→ N (0; 1).
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La moyenne empirique XnLa variance empirique S2
n
Propriétés
1
limn
S2n = E(X 2
i )− E(Xi)2 = σ2
(loi des grands nombres aux X 2i et Xi )
2
E(S2n) =
n − 1n
σ2
(petit calcul) On dit que S2n a un biais, E(S2
n) 6= σ2.3 On admet que,
S2n − n−1
n σ2
Var(S2n)
L→ N (0; 1).
Clément Rau Cours 5: Inférences: Estimation, Echantillonnage et Tests
Les divers types de problèmes que l’on se poseDistribution d’échantillonnage de certaines statistiques
EstimationTests
La moyenne empirique XnLa variance empirique S2
n
Propriétés
1
limn
S2n = E(X 2
i )− E(Xi)2 = σ2
(loi des grands nombres aux X 2i et Xi )
2
E(S2n) =
n − 1n
σ2
(petit calcul) On dit que S2n a un biais, E(S2
n) 6= σ2.3 On admet que,
S2n − n−1
n σ2
Var(S2n)
L→ N (0; 1).
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La moyenne empirique XnLa variance empirique S2
n
Propriétés
1
limn
S2n = E(X 2
i )− E(Xi)2 = σ2
(loi des grands nombres aux X 2i et Xi )
2
E(S2n) =
n − 1n
σ2
(petit calcul) On dit que S2n a un biais, E(S2
n) 6= σ2.3 On admet que,
S2n − n−1
n σ2
Var(S2n)
L→ N (0; 1).
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La moyenne empirique XnLa variance empirique S2
n
Une remarque
Si l’on connaît la valeur de µ, on peut remplacer l’estimateur S2n
par l’estimateur :
Sn2
=1n
∑i=1...n
(Xi − µ)2 =1n
[∑
i=1...n
X 2i ]− µ2
Avantage : Sn2
est sans biais, puisque E(Sn2) = σ2
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n
Une remarque
Si l’on connaît la valeur de µ, on peut remplacer l’estimateur S2n
par l’estimateur :
Sn2
=1n
∑i=1...n
(Xi − µ)2 =1n
[∑
i=1...n
X 2i ]− µ2
Avantage : Sn2
est sans biais, puisque E(Sn2) = σ2
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La moyenne empirique XnLa variance empirique S2
n
Cas particulier des échantillons Gaussiens
Si les Xi suivent une loi Normale N (µ;σ), on a :
Xn ∼ N (µ;σ2
n)
nS2n
σ2 ∼ χ2(n − 1)
ie :
∑i=1...n(Xi − Xn)2
σ2 ∼ χ2(n − 1)
Xn et S2n sont indépendants.
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La moyenne empirique XnLa variance empirique S2
n
Cas particulier des échantillons Gaussiens
Si les Xi suivent une loi Normale N (µ;σ), on a :
Xn ∼ N (µ;σ2
n)
nS2n
σ2 ∼ χ2(n − 1)
ie :
∑i=1...n(Xi − Xn)2
σ2 ∼ χ2(n − 1)
Xn et S2n sont indépendants.
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n
Cas particulier des échantillons Gaussiens
Si les Xi suivent une loi Normale N (µ;σ), on a :
Xn ∼ N (µ;σ2
n)
nS2n
σ2 ∼ χ2(n − 1)
ie :
∑i=1...n(Xi − Xn)2
σ2 ∼ χ2(n − 1)
Xn et S2n sont indépendants.
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n
Cas particulier des échantillons Gaussiens
Si les Xi suivent une loi Normale N (µ;σ), on a :
Xn ∼ N (µ;σ2
n)
nS2n
σ2 ∼ χ2(n − 1)
ie :
∑i=1...n(Xi − Xn)2
σ2 ∼ χ2(n − 1)
Xn et S2n sont indépendants.
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n
Cas particulier des échantillons Gaussiens
Si les Xi suivent une loi Normale N (µ;σ), on a :
Xn ∼ N (µ;σ2
n)
nS2n
σ2 ∼ χ2(n − 1)
ie :
∑i=1...n(Xi − Xn)2
σ2 ∼ χ2(n − 1)
Xn et S2n sont indépendants.
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n
Cas particulier des échantillons Gaussiens
Si les Xi suivent une loi Normale N (µ;σ), on a :
Xn ∼ N (µ;σ2
n)
nS2n
σ2 ∼ χ2(n − 1)
ie :
∑i=1...n(Xi − Xn)2
σ2 ∼ χ2(n − 1)
Xn et S2n sont indépendants.
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La moyenne empirique XnLa variance empirique S2
n
Cas particulier des échantillons Gaussiens
Et donc, en posant :
Tn−1 :=
√nσ (Xn − µ)√
nS2n
(n−1)σ2
=
√n − 1Sn
(Xn − µ)
suit une loi de Student à n − 1 degrès de liberté
Ce résultat est extrêmement utile car il ne dépend pas de σ etservira donc dès que ce paramètre est inconnu.
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n
Cas particulier des échantillons Gaussiens
Et donc, en posant :
Tn−1 :=
√nσ (Xn − µ)√
nS2n
(n−1)σ2
=
√n − 1Sn
(Xn − µ)
suit une loi de Student à n − 1 degrès de liberté
Ce résultat est extrêmement utile car il ne dépend pas de σ etservira donc dès que ce paramètre est inconnu.
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La moyenne empirique XnLa variance empirique S2
n
Cas particulier des échantillons Gaussiens
De même pour l’estimateur Sn2, on peut prouver :
nSn2
σ2 ∼ χ2(n)
ie :
∑i=1...n(Xi − µ)2
σ2 ∼ χ2(n)
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Cas particulier des échantillons Gaussiens
De même pour l’estimateur Sn2, on peut prouver :
nSn2
σ2 ∼ χ2(n)
ie :
∑i=1...n(Xi − µ)2
σ2 ∼ χ2(n)
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La moyenne empirique XnLa variance empirique S2
n
Cas particulier des échantillons Gaussiens
Retenir
nS2n
σ2 ∼ χ2(n − 1)
nSn2
σ2 ∼ χ2(n)
et√
n − 1Sn
(Xn − µ) ∼ Student(n − 1)
Utilité de ces résultats pour les tests et intervalles de confiance.
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Cas particulier des échantillons Gaussiens
Retenir
nS2n
σ2 ∼ χ2(n − 1)
nSn2
σ2 ∼ χ2(n)
et√
n − 1Sn
(Xn − µ) ∼ Student(n − 1)
Utilité de ces résultats pour les tests et intervalles de confiance.
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n
Rappel : Loi de Student
Definition
Soient X ∼ N (0,1) et Y ∼ χ2(n). Posons T = X√Y/n
. Alors T
suit une loi de Student à n degré de liberté et on la noteStudent(n)
La loi de Student est une loi à densité, qui a la "même" allureque la loi normale centrée réduite.
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Rappel : Loi de Student
Definition
Soient X ∼ N (0,1) et Y ∼ χ2(n). Posons T = X√Y/n
. Alors T
suit une loi de Student à n degré de liberté et on la noteStudent(n)
La loi de Student est une loi à densité, qui a la "même" allureque la loi normale centrée réduite.
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n
Une application
Exemple :Les durées de vie moyenne des écrans d’ordinateurs d’unesociété sont de 3000h avec un écart-type de 70h. On supposeque les durées de vie de chaque machines, suivent des loisnormales et sont indépendantes. On prend au hasard 10écrans.Trouver probabilité que l’écart-type de l’échantillon obtenu soitcompris entre 60h et 80h.
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Une application
Exemple :Les durées de vie moyenne des écrans d’ordinateurs d’unesociété sont de 3000h avec un écart-type de 70h. On supposeque les durées de vie de chaque machines, suivent des loisnormales et sont indépendantes. On prend au hasard 10écrans.Trouver probabilité que l’écart-type de l’échantillon obtenu soitcompris entre 60h et 80h.
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La moyenne empirique XnLa variance empirique S2
n
Un exemple
1 Pour 1 ≤ i ≤ 10, notons Xi les durées de vie des 10 écransde l’échantillon. Par hypothèse, on a
Xi ∼ N (3000; 70).
2 La variance de l’échantillon est donnée par
S102
=110
∑i=1...10
(Xi − 3000)2
3 Or, on sait que la v.a Z = 10S102
702 suit une loi du χ2(10).Il ne reste plus qu’à traduire l’événement demandé avec lav.a Z .
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n
Un exemple
1 Pour 1 ≤ i ≤ 10, notons Xi les durées de vie des 10 écransde l’échantillon. Par hypothèse, on a
Xi ∼ N (3000; 70).
2 La variance de l’échantillon est donnée par
S102
=110
∑i=1...10
(Xi − 3000)2
3 Or, on sait que la v.a Z = 10S102
702 suit une loi du χ2(10).Il ne reste plus qu’à traduire l’événement demandé avec lav.a Z .
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Un exemple
1 Pour 1 ≤ i ≤ 10, notons Xi les durées de vie des 10 écransde l’échantillon. Par hypothèse, on a
Xi ∼ N (3000; 70).
2 La variance de l’échantillon est donnée par
S102
=110
∑i=1...10
(Xi − 3000)2
3 Or, on sait que la v.a Z = 10S102
702 suit une loi du χ2(10).Il ne reste plus qu’à traduire l’événement demandé avec lav.a Z .
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Un exemple
1 Pour 1 ≤ i ≤ 10, notons Xi les durées de vie des 10 écransde l’échantillon. Par hypothèse, on a
Xi ∼ N (3000; 70).
2 La variance de l’échantillon est donnée par
S102
=110
∑i=1...10
(Xi − 3000)2
3 Or, on sait que la v.a Z = 10S102
702 suit une loi du χ2(10).Il ne reste plus qu’à traduire l’événement demandé avec lav.a Z .
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n
Un exemple
1 Pour 1 ≤ i ≤ 10, notons Xi les durées de vie des 10 écransde l’échantillon. Par hypothèse, on a
Xi ∼ N (3000; 70).
2 La variance de l’échantillon est donnée par
S102
=110
∑i=1...10
(Xi − 3000)2
3 Or, on sait que la v.a Z = 10S102
702 suit une loi du χ2(10).Il ne reste plus qu’à traduire l’événement demandé avec lav.a Z .
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La moyenne empirique XnLa variance empirique S2
n
Un exemple
Donc, on a :
P(60 ≤ S10 ≤ 80) = P(10× 602
702 ≤ 10S102
702 ≤ 10× 802
702 )
= P(10× 602
702 ≤ Z ≤ 10× 802
702 )
= P(7,34 ≤ Z ≤ 13,06)
= P(Z ≤ 13,06)− P(Z ≤ 7,34)
= 0,473 à l’aide de la table du χ2(10),ou calculatrice, logiciel.
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Un exemple
Donc, on a :
P(60 ≤ S10 ≤ 80) = P(10× 602
702 ≤ 10S102
702 ≤ 10× 802
702 )
= P(10× 602
702 ≤ Z ≤ 10× 802
702 )
= P(7,34 ≤ Z ≤ 13,06)
= P(Z ≤ 13,06)− P(Z ≤ 7,34)
= 0,473 à l’aide de la table du χ2(10),ou calculatrice, logiciel.
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EstimationTests
décorEstimation par intervalles de confiance
1 Les divers types de problèmes que l’on se pose
2 Distribution d’échantillonnage de certaines statistiques
3 EstimationdécorEstimation par intervalles de confiance
4 Tests
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EstimationTests
décorEstimation par intervalles de confiance
Outil : estimateur
Pour estimer une quantité, on fabrique une fonction desobservations, (une statistique/une v.a) qui tend vers laquantité souhaitée, à l’aide des théorémes limites ( typeLoi des grands nombres). On préférera une statistiquesans biaisOn essaye de connaître la loi limite de cette statistique.On est alors capable, de donner les fluctuations les plusprobables de la statistique, et de donner par exemple unintervalle de confiance.
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décorEstimation par intervalles de confiance
Outil : estimateur
Pour estimer une quantité, on fabrique une fonction desobservations, (une statistique/une v.a) qui tend vers laquantité souhaitée, à l’aide des théorémes limites ( typeLoi des grands nombres). On préférera une statistiquesans biaisOn essaye de connaître la loi limite de cette statistique.On est alors capable, de donner les fluctuations les plusprobables de la statistique, et de donner par exemple unintervalle de confiance.
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Outil : estimateur
Pour estimer une quantité, on fabrique une fonction desobservations, (une statistique/une v.a) qui tend vers laquantité souhaitée, à l’aide des théorémes limites ( typeLoi des grands nombres). On préférera une statistiquesans biaisOn essaye de connaître la loi limite de cette statistique.On est alors capable, de donner les fluctuations les plusprobables de la statistique, et de donner par exemple unintervalle de confiance.
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Outil : estimateur
Pour estimer une quantité, on fabrique une fonction desobservations, (une statistique/une v.a) qui tend vers laquantité souhaitée, à l’aide des théorémes limites ( typeLoi des grands nombres). On préférera une statistiquesans biaisOn essaye de connaître la loi limite de cette statistique.On est alors capable, de donner les fluctuations les plusprobables de la statistique, et de donner par exemple unintervalle de confiance.
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décorEstimation par intervalles de confiance
3 EstimationdécorEstimation par intervalles de confiance
Estimation d’une moyenneComplément : estimation d’une variance
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décorEstimation par intervalles de confiance
Estimation d’une moyenne,lorsque σ connu
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décorEstimation par intervalles de confiance
Estimation d’une moyenne, dans le cas où la varianceσ2 est connue
On estime la moyenne µ par Xn.Par le TCL, on sait que
√nσ (Xn − µ)
L→ N (0; 1).Etant donné une marge d’erreur α, (par ex 5%), ondétermine alors un certain uα à l’aide de la table de laN (0; 1), tel que
P(|Z | ≤ uα) ≥ 1− α, où Z ∼ N (0; 1).
Ainsi avec proba ≥ 1− α, on a :|√
nσ (Xn − µ)| ≤ uα.
ie :Xn − uα
σ√n≤ µ ≤ Xn + uα
σ√n
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décorEstimation par intervalles de confiance
Estimation d’une moyenne, dans le cas où la varianceσ2 est connue
On estime la moyenne µ par Xn.Par le TCL, on sait que
√nσ (Xn − µ)
L→ N (0; 1).Etant donné une marge d’erreur α, (par ex 5%), ondétermine alors un certain uα à l’aide de la table de laN (0; 1), tel que
P(|Z | ≤ uα) ≥ 1− α, où Z ∼ N (0; 1).
Ainsi avec proba ≥ 1− α, on a :|√
nσ (Xn − µ)| ≤ uα.
ie :Xn − uα
σ√n≤ µ ≤ Xn + uα
σ√n
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Estimation d’une moyenne, dans le cas où la varianceσ2 est connue
On estime la moyenne µ par Xn.Par le TCL, on sait que
√nσ (Xn − µ)
L→ N (0; 1).Etant donné une marge d’erreur α, (par ex 5%), ondétermine alors un certain uα à l’aide de la table de laN (0; 1), tel que
P(|Z | ≤ uα) ≥ 1− α, où Z ∼ N (0; 1).
Ainsi avec proba ≥ 1− α, on a :|√
nσ (Xn − µ)| ≤ uα.
ie :Xn − uα
σ√n≤ µ ≤ Xn + uα
σ√n
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Estimation d’une moyenne, dans le cas où la varianceσ2 est connue
On estime la moyenne µ par Xn.Par le TCL, on sait que
√nσ (Xn − µ)
L→ N (0; 1).Etant donné une marge d’erreur α, (par ex 5%), ondétermine alors un certain uα à l’aide de la table de laN (0; 1), tel que
P(|Z | ≤ uα) ≥ 1− α, où Z ∼ N (0; 1).
Ainsi avec proba ≥ 1− α, on a :|√
nσ (Xn − µ)| ≤ uα.
ie :Xn − uα
σ√n≤ µ ≤ Xn + uα
σ√n
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Estimation d’une moyenne, dans le cas où la varianceσ2 est connue
On estime la moyenne µ par Xn.Par le TCL, on sait que
√nσ (Xn − µ)
L→ N (0; 1).Etant donné une marge d’erreur α, (par ex 5%), ondétermine alors un certain uα à l’aide de la table de laN (0; 1), tel que
P(|Z | ≤ uα) ≥ 1− α, où Z ∼ N (0; 1).
Ainsi avec proba ≥ 1− α, on a :|√
nσ (Xn − µ)| ≤ uα.
ie :Xn − uα
σ√n≤ µ ≤ Xn + uα
σ√n
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décorEstimation par intervalles de confiance
Exemple 1
Une machine produit en grande série des objets de massethéorique 180g. On admet que la variable aléatoire qui associeà un objet sa masse a pour ecart-type 0,92g. On préléve unéchantillon de 100 objets et on mesure la masse de chacun, onobtient une moyenne de 179,93g. Déterminer un intervalle deconfiance au seuil de risque de 1%, de la masse µ d’un objet.
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décorEstimation par intervalles de confiance
Exemple 1
Soit Xi , la v.a qui renvoit la masse de l’objet i del’échantillon. On cherche un intervalle de confiance deµ = E(Xi)On sait qu’avec proba 1− α,
Xn − uασ√n≤ µ ≤ Xn + uα
σ√n
α = 0,01 donne un uα = 2,58. (table 2 de la loi normalecentrée réduite)D’où,
179,93− 2,58× 0,92√100
≤ µ ≤ 179,93 + 2,58× 0,92√100
ie :
Avec proba 0,99 on a, µ ∈ [179,69; 180,17].
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Exemple 1
Soit Xi , la v.a qui renvoit la masse de l’objet i del’échantillon. On cherche un intervalle de confiance deµ = E(Xi)On sait qu’avec proba 1− α,
Xn − uασ√n≤ µ ≤ Xn + uα
σ√n
α = 0,01 donne un uα = 2,58. (table 2 de la loi normalecentrée réduite)D’où,
179,93− 2,58× 0,92√100
≤ µ ≤ 179,93 + 2,58× 0,92√100
ie :
Avec proba 0,99 on a, µ ∈ [179,69; 180,17].
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Exemple 1
Soit Xi , la v.a qui renvoit la masse de l’objet i del’échantillon. On cherche un intervalle de confiance deµ = E(Xi)On sait qu’avec proba 1− α,
Xn − uασ√n≤ µ ≤ Xn + uα
σ√n
α = 0,01 donne un uα = 2,58. (table 2 de la loi normalecentrée réduite)D’où,
179,93− 2,58× 0,92√100
≤ µ ≤ 179,93 + 2,58× 0,92√100
ie :
Avec proba 0,99 on a, µ ∈ [179,69; 180,17].
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décorEstimation par intervalles de confiance
Exemple 2 : intervalle de confiance d’une proportion
Intervalle de confiance d’une proportion lors d’une élection, voirexemple détaillé en cours 3.Rappel des grandes lignes :
Dans ce cas, les Xi ∼ Bernoulli(p) avec p inconnu. Lavariance p(1− p), est donc également inconnue !On a donc avec proba 1− α,
Xn − uα
√p(1− p)
n≤ µ ≤ Xn + uα
√p(1− p)
n
L’estimée précédente est à priori sans intérêt, puisquep(1− p) est inconnu.La clef consiste à remarquer que pourtout p ∈ [0; 1], on a p(1−p) ≤ 1/4. Ainsi, avec proba 1−α,
Xn −uα
2√
n≤ µ ≤ Xn +
uα2√
n.
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Les divers types de problèmes que l’on se poseDistribution d’échantillonnage de certaines statistiques
EstimationTests
décorEstimation par intervalles de confiance
Exemple 2 : intervalle de confiance d’une proportion
Intervalle de confiance d’une proportion lors d’une élection, voirexemple détaillé en cours 3.Rappel des grandes lignes :
Dans ce cas, les Xi ∼ Bernoulli(p) avec p inconnu. Lavariance p(1− p), est donc également inconnue !On a donc avec proba 1− α,
Xn − uα
√p(1− p)
n≤ µ ≤ Xn + uα
√p(1− p)
n
L’estimée précédente est à priori sans intérêt, puisquep(1− p) est inconnu.La clef consiste à remarquer que pourtout p ∈ [0; 1], on a p(1−p) ≤ 1/4. Ainsi, avec proba 1−α,
Xn −uα
2√
n≤ µ ≤ Xn +
uα2√
n.
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EstimationTests
décorEstimation par intervalles de confiance
Exemple 2 : intervalle de confiance d’une proportion
Intervalle de confiance d’une proportion lors d’une élection, voirexemple détaillé en cours 3.Rappel des grandes lignes :
Dans ce cas, les Xi ∼ Bernoulli(p) avec p inconnu. Lavariance p(1− p), est donc également inconnue !On a donc avec proba 1− α,
Xn − uα
√p(1− p)
n≤ µ ≤ Xn + uα
√p(1− p)
n
L’estimée précédente est à priori sans intérêt, puisquep(1− p) est inconnu.La clef consiste à remarquer que pourtout p ∈ [0; 1], on a p(1−p) ≤ 1/4. Ainsi, avec proba 1−α,
Xn −uα
2√
n≤ µ ≤ Xn +
uα2√
n.
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décorEstimation par intervalles de confiance
Exemple 2 : intervalle de confiance d’une proportion
Intervalle de confiance d’une proportion lors d’une élection, voirexemple détaillé en cours 3.Rappel des grandes lignes :
Dans ce cas, les Xi ∼ Bernoulli(p) avec p inconnu. Lavariance p(1− p), est donc également inconnue !On a donc avec proba 1− α,
Xn − uα
√p(1− p)
n≤ µ ≤ Xn + uα
√p(1− p)
n
L’estimée précédente est à priori sans intérêt, puisquep(1− p) est inconnu.La clef consiste à remarquer que pourtout p ∈ [0; 1], on a p(1−p) ≤ 1/4. Ainsi, avec proba 1−α,
Xn −uα
2√
n≤ µ ≤ Xn +
uα2√
n.
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décorEstimation par intervalles de confiance
Exemple 2 : intervalle de confiance d’une proportion
Intervalle de confiance d’une proportion lors d’une élection, voirexemple détaillé en cours 3.Rappel des grandes lignes :
Dans ce cas, les Xi ∼ Bernoulli(p) avec p inconnu. Lavariance p(1− p), est donc également inconnue !On a donc avec proba 1− α,
Xn − uα
√p(1− p)
n≤ µ ≤ Xn + uα
√p(1− p)
n
L’estimée précédente est à priori sans intérêt, puisquep(1− p) est inconnu.La clef consiste à remarquer que pourtout p ∈ [0; 1], on a p(1−p) ≤ 1/4. Ainsi, avec proba 1−α,
Xn −uα
2√
n≤ µ ≤ Xn +
uα2√
n.
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Estimation d’une moyenne,lorsque σ inconnu
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décorEstimation par intervalles de confiance
Estimation de la moyenne, dans le cas où la varianceσ2 est inconnue.
On suppose dans ce cas que les Xi suivent des loisnormales N (µ, σ).
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décorEstimation par intervalles de confiance
On utilise le fait que T =√
n−1Sn
(Xn − µ) suit une loi deStudent(n − 1).Etant donné une marge d’erreur α, on détermine alors uncertain tα à l’aide de la table de la loi de student, tel que
P(|T | ≤ tα) ≥ 1− α, où T ∼ Student(n − 1).
On conclut, qu’avec proba au moins 1− α, on a :
|√
n − 1Sn
(Xn − µ)| ≤ tα.
Ainsi,
Xn − tαSn√n − 1
≤ µ ≤ Xn + tαSn√n − 1
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On utilise le fait que T =√
n−1Sn
(Xn − µ) suit une loi deStudent(n − 1).Etant donné une marge d’erreur α, on détermine alors uncertain tα à l’aide de la table de la loi de student, tel que
P(|T | ≤ tα) ≥ 1− α, où T ∼ Student(n − 1).
On conclut, qu’avec proba au moins 1− α, on a :
|√
n − 1Sn
(Xn − µ)| ≤ tα.
Ainsi,
Xn − tαSn√n − 1
≤ µ ≤ Xn + tαSn√n − 1
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On utilise le fait que T =√
n−1Sn
(Xn − µ) suit une loi deStudent(n − 1).Etant donné une marge d’erreur α, on détermine alors uncertain tα à l’aide de la table de la loi de student, tel que
P(|T | ≤ tα) ≥ 1− α, où T ∼ Student(n − 1).
On conclut, qu’avec proba au moins 1− α, on a :
|√
n − 1Sn
(Xn − µ)| ≤ tα.
Ainsi,
Xn − tαSn√n − 1
≤ µ ≤ Xn + tαSn√n − 1
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On utilise le fait que T =√
n−1Sn
(Xn − µ) suit une loi deStudent(n − 1).Etant donné une marge d’erreur α, on détermine alors uncertain tα à l’aide de la table de la loi de student, tel que
P(|T | ≤ tα) ≥ 1− α, où T ∼ Student(n − 1).
On conclut, qu’avec proba au moins 1− α, on a :
|√
n − 1Sn
(Xn − µ)| ≤ tα.
Ainsi,
Xn − tαSn√n − 1
≤ µ ≤ Xn + tαSn√n − 1
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décorEstimation par intervalles de confiance
Exemple
Le chiffre d’affaire mensuel d’une entreprise suit une loinormale de moyenne µ et d’écart-type σ inconnus. Sur les 12derniers mois, on a observé une moyenne des chiffresd’affaires égale à 10 000 euros avec un écart-type de 2000euros.Donner une estimation de µ par intervalle de confiance auniveau 0,98.
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Exemple
Le chiffre d’affaire mensuel d’une entreprise suit une loinormale de moyenne µ et d’écart-type σ inconnus. Sur les 12derniers mois, on a observé une moyenne des chiffresd’affaires égale à 10 000 euros avec un écart-type de 2000euros.Donner une estimation de µ par intervalle de confiance auniveau 0,98.
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Exemple
Soit Xi le chiffre d’affaire de l’entreprise le mois i .
On sait que T =√
11S12
(X12 − µ) suit une loi de Student(11)
A l’aide de la table de la loi de Student, on trouvetα = t0,02 ' 2,718 tel que P(|T | ≤ 2,718) ≥ 0,98
Donc, |√
11S12
(X12 − µ)| ≤ 2,718 avec proba ≥ 0,98.
ie : µ ∈ [X12 − 2,718× S12√11
; X12 − 2,718× S12√11
].
Avec X12 = 10000 et S12 = 2000, on obtient
µ ∈ [8360,9; 11639,02], avec proba 0,98.
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Exemple
Soit Xi le chiffre d’affaire de l’entreprise le mois i .
On sait que T =√
11S12
(X12 − µ) suit une loi de Student(11)
A l’aide de la table de la loi de Student, on trouvetα = t0,02 ' 2,718 tel que P(|T | ≤ 2,718) ≥ 0,98
Donc, |√
11S12
(X12 − µ)| ≤ 2,718 avec proba ≥ 0,98.
ie : µ ∈ [X12 − 2,718× S12√11
; X12 − 2,718× S12√11
].
Avec X12 = 10000 et S12 = 2000, on obtient
µ ∈ [8360,9; 11639,02], avec proba 0,98.
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Exemple
Soit Xi le chiffre d’affaire de l’entreprise le mois i .
On sait que T =√
11S12
(X12 − µ) suit une loi de Student(11)
A l’aide de la table de la loi de Student, on trouvetα = t0,02 ' 2,718 tel que P(|T | ≤ 2,718) ≥ 0,98
Donc, |√
11S12
(X12 − µ)| ≤ 2,718 avec proba ≥ 0,98.
ie : µ ∈ [X12 − 2,718× S12√11
; X12 − 2,718× S12√11
].
Avec X12 = 10000 et S12 = 2000, on obtient
µ ∈ [8360,9; 11639,02], avec proba 0,98.
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Exemple
Soit Xi le chiffre d’affaire de l’entreprise le mois i .
On sait que T =√
11S12
(X12 − µ) suit une loi de Student(11)
A l’aide de la table de la loi de Student, on trouvetα = t0,02 ' 2,718 tel que P(|T | ≤ 2,718) ≥ 0,98
Donc, |√
11S12
(X12 − µ)| ≤ 2,718 avec proba ≥ 0,98.
ie : µ ∈ [X12 − 2,718× S12√11
; X12 − 2,718× S12√11
].
Avec X12 = 10000 et S12 = 2000, on obtient
µ ∈ [8360,9; 11639,02], avec proba 0,98.
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Exemple
Soit Xi le chiffre d’affaire de l’entreprise le mois i .
On sait que T =√
11S12
(X12 − µ) suit une loi de Student(11)
A l’aide de la table de la loi de Student, on trouvetα = t0,02 ' 2,718 tel que P(|T | ≤ 2,718) ≥ 0,98
Donc, |√
11S12
(X12 − µ)| ≤ 2,718 avec proba ≥ 0,98.
ie : µ ∈ [X12 − 2,718× S12√11
; X12 − 2,718× S12√11
].
Avec X12 = 10000 et S12 = 2000, on obtient
µ ∈ [8360,9; 11639,02], avec proba 0,98.
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Exemple
Soit Xi le chiffre d’affaire de l’entreprise le mois i .
On sait que T =√
11S12
(X12 − µ) suit une loi de Student(11)
A l’aide de la table de la loi de Student, on trouvetα = t0,02 ' 2,718 tel que P(|T | ≤ 2,718) ≥ 0,98
Donc, |√
11S12
(X12 − µ)| ≤ 2,718 avec proba ≥ 0,98.
ie : µ ∈ [X12 − 2,718× S12√11
; X12 − 2,718× S12√11
].
Avec X12 = 10000 et S12 = 2000, on obtient
µ ∈ [8360,9; 11639,02], avec proba 0,98.
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décorEstimation par intervalles de confiance
3 EstimationdécorEstimation par intervalles de confiance
Estimation d’une moyenneComplément : estimation d’une variance
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décorEstimation par intervalles de confiance
Complément : estimation d’unevariance, lorsque µ connue et
échantillon Gaussien
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décorEstimation par intervalles de confiance
Etimation de la variance, on ne traitera que le casGAUSSIEN !
On suppose dans ce cas que les Xi suivent des loisnormales N (µ, σ).
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Cas où la moyenne µ est connue.
On utilise l’estimateur Sn2
= 1n∑
i=1...n(Xi − µ)2
On sait que Z = nSn2
σ2 ∼ χ2(n)
Etant donné, un taux d’erreur α, à l’aide de la table de la loidu χ2, on détermine deux nombres mα et Mα tels que :
P(mα ≤ Z ≤ Mα) ≥ 1− α, où Z ∼ χ2(n).
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Cas où la moyenne µ est connue.
On utilise l’estimateur Sn2
= 1n∑
i=1...n(Xi − µ)2
On sait que Z = nSn2
σ2 ∼ χ2(n)
Etant donné, un taux d’erreur α, à l’aide de la table de la loidu χ2, on détermine deux nombres mα et Mα tels que :
P(mα ≤ Z ≤ Mα) ≥ 1− α, où Z ∼ χ2(n).
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Cas où la moyenne µ est connue.
On utilise l’estimateur Sn2
= 1n∑
i=1...n(Xi − µ)2
On sait que Z = nSn2
σ2 ∼ χ2(n)
Etant donné, un taux d’erreur α, à l’aide de la table de la loidu χ2, on détermine deux nombres mα et Mα tels que :
P(mα ≤ Z ≤ Mα) ≥ 1− α, où Z ∼ χ2(n).
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Cas où la moyenne µ est connue.
On utilise l’estimateur Sn2
= 1n∑
i=1...n(Xi − µ)2
On sait que Z = nSn2
σ2 ∼ χ2(n)
Etant donné, un taux d’erreur α, à l’aide de la table de la loidu χ2, on détermine deux nombres mα et Mα tels que :
P(mα ≤ Z ≤ Mα) ≥ 1− α, où Z ∼ χ2(n).
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décorEstimation par intervalles de confiance
Détermination des nombres mα et Mα : uneméthode...
Une manière possible de procéder est de trouver mα et Mα telsque
P(Z ≥ Mα) = α/2 et P(Z ≤ mα) = α/2
FIGURE: Allure de la densité d’un χ2.
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Détermination des nombres mα et Mα : uneméthode...
Une manière possible de procéder est de trouver mα et Mα telsque
P(Z ≥ Mα) = α/2 et P(Z ≤ mα) = α/2
FIGURE: Allure de la densité d’un χ2.
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Détermination des nombres mα et Mα : uneméthode...
Une manière possible de procéder est de trouver mα et Mα telsque
P(Z ≥ Mα) = α/2 et P(Z ≤ mα) = α/2
FIGURE: Allure de la densité d’un χ2.
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décorEstimation par intervalles de confiance
Cas où la moyenne µ est connue.
On déduit donc,
P(mα ≤nSn
2
σ2 ≤ Mα) ≥ 1− α.
Ainsi,
P(nSn
2
Mα≤ σ2 ≤ nSn
2
mα) ≥ 1− α.
ie : σ ∈ [Sn
√n
Mα; Sn
√n
mα] avec proba 1− α.
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Cas où la moyenne µ est connue.
On déduit donc,
P(mα ≤nSn
2
σ2 ≤ Mα) ≥ 1− α.
Ainsi,
P(nSn
2
Mα≤ σ2 ≤ nSn
2
mα) ≥ 1− α.
ie : σ ∈ [Sn
√n
Mα; Sn
√n
mα] avec proba 1− α.
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Cas où la moyenne µ est connue.
On déduit donc,
P(mα ≤nSn
2
σ2 ≤ Mα) ≥ 1− α.
Ainsi,
P(nSn
2
Mα≤ σ2 ≤ nSn
2
mα) ≥ 1− α.
ie : σ ∈ [Sn
√n
Mα; Sn
√n
mα] avec proba 1− α.
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Complément : estimation d’unevariance, lorsque µ inconnu et
échantillon Gaussien
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décorEstimation par intervalles de confiance
Cas où la moyenne µ est inconnue.
On utilise même démarche en remplaçant Sn2, par l’estimateur
S2n =
1n
∑i=1...n
(Xi − Xn)2
On sait alors que Z = nS2n
σ2 ∼ χ2(n − 1)
A l’aide de la table du χ2, pour le taux α, on déterminedeux nombres mα et Mα tels que :
P(mα ≤ Z ≤ Mα) ≥ 1− α, où Z ∼ χ2(n − 1).
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Cas où la moyenne µ est inconnue.
On utilise même démarche en remplaçant Sn2, par l’estimateur
S2n =
1n
∑i=1...n
(Xi − Xn)2
On sait alors que Z = nS2n
σ2 ∼ χ2(n − 1)
A l’aide de la table du χ2, pour le taux α, on déterminedeux nombres mα et Mα tels que :
P(mα ≤ Z ≤ Mα) ≥ 1− α, où Z ∼ χ2(n − 1).
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Cas où la moyenne µ est inconnue.
On utilise même démarche en remplaçant Sn2, par l’estimateur
S2n =
1n
∑i=1...n
(Xi − Xn)2
On sait alors que Z = nS2n
σ2 ∼ χ2(n − 1)
A l’aide de la table du χ2, pour le taux α, on déterminedeux nombres mα et Mα tels que :
P(mα ≤ Z ≤ Mα) ≥ 1− α, où Z ∼ χ2(n − 1).
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Cas où la moyenne µ est inconnue.
On utilise même démarche en remplaçant Sn2, par l’estimateur
S2n =
1n
∑i=1...n
(Xi − Xn)2
On sait alors que Z = nS2n
σ2 ∼ χ2(n − 1)
A l’aide de la table du χ2, pour le taux α, on déterminedeux nombres mα et Mα tels que :
P(mα ≤ Z ≤ Mα) ≥ 1− α, où Z ∼ χ2(n − 1).
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Cas où la moyenne µ est inconnue.
On déduit donc,
P(mα ≤nS2
nσ2 ≤ Mα) ≥ 1− α.
Ainsi,
P(nS2
nMα≤ σ2 ≤ nS2
nmα
) ≥ 1− α.
ie : σ ∈ [Sn
√n
Mα; Sn
√n
mα] avec proba 1− α.
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Cas où la moyenne µ est inconnue.
On déduit donc,
P(mα ≤nS2
nσ2 ≤ Mα) ≥ 1− α.
Ainsi,
P(nS2
nMα≤ σ2 ≤ nS2
nmα
) ≥ 1− α.
ie : σ ∈ [Sn
√n
Mα; Sn
√n
mα] avec proba 1− α.
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Cas où la moyenne µ est inconnue.
On déduit donc,
P(mα ≤nS2
nσ2 ≤ Mα) ≥ 1− α.
Ainsi,
P(nS2
nMα≤ σ2 ≤ nS2
nmα
) ≥ 1− α.
ie : σ ∈ [Sn
√n
Mα; Sn
√n
mα] avec proba 1− α.
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décorEstimation par intervalles de confiance
Exemple
Une entreprise comporte un grand nombre d’employés avec unsystème de pointage des heures d’arrivée. Chaque employédoit arriver à 8h. On a relevé le retard d’un échantillon de 25employés. On a obtenu un retard moyen de 6,47 min pour unécart-type moyen 1,12 min. A partir de ces informations,donner un intervalle de confiance au seuil de 0,9 pourl’écart-type du temps de retard.
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Exemple
Soit Xi le temps de retard de l’employé i . On a X25 = 6,47et S25 = 1,12 On cherche une estimée de σ2 = Var(Xi).
On sait que Z =25S2
25σ2 ∼ χ2(24)
A l’aide de la table de la loi d’un χ2, on déterminemα ' 13,848 et Mα ' 36,415 tels que
P(Z ≥ Mα) = 0,05 et P(Z ≤ mα) = 0,05.
on obtient σ2 ∈ [25S2
2536,415 ;
25S225
13,848 ] avec proba 0,9.
ie : σ ∈ [0,927; 1,505] avec proba 0,9.
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décorEstimation par intervalles de confiance
Exemple
Soit Xi le temps de retard de l’employé i . On a X25 = 6,47et S25 = 1,12 On cherche une estimée de σ2 = Var(Xi).
On sait que Z =25S2
25σ2 ∼ χ2(24)
A l’aide de la table de la loi d’un χ2, on déterminemα ' 13,848 et Mα ' 36,415 tels que
P(Z ≥ Mα) = 0,05 et P(Z ≤ mα) = 0,05.
on obtient σ2 ∈ [25S2
2536,415 ;
25S225
13,848 ] avec proba 0,9.
ie : σ ∈ [0,927; 1,505] avec proba 0,9.
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Les divers types de problèmes que l’on se poseDistribution d’échantillonnage de certaines statistiques
EstimationTests
décorEstimation par intervalles de confiance
Exemple
Soit Xi le temps de retard de l’employé i . On a X25 = 6,47et S25 = 1,12 On cherche une estimée de σ2 = Var(Xi).
On sait que Z =25S2
25σ2 ∼ χ2(24)
A l’aide de la table de la loi d’un χ2, on déterminemα ' 13,848 et Mα ' 36,415 tels que
P(Z ≥ Mα) = 0,05 et P(Z ≤ mα) = 0,05.
on obtient σ2 ∈ [25S2
2536,415 ;
25S225
13,848 ] avec proba 0,9.
ie : σ ∈ [0,927; 1,505] avec proba 0,9.
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décorEstimation par intervalles de confiance
Exemple
Soit Xi le temps de retard de l’employé i . On a X25 = 6,47et S25 = 1,12 On cherche une estimée de σ2 = Var(Xi).
On sait que Z =25S2
25σ2 ∼ χ2(24)
A l’aide de la table de la loi d’un χ2, on déterminemα ' 13,848 et Mα ' 36,415 tels que
P(Z ≥ Mα) = 0,05 et P(Z ≤ mα) = 0,05.
on obtient σ2 ∈ [25S2
2536,415 ;
25S225
13,848 ] avec proba 0,9.
ie : σ ∈ [0,927; 1,505] avec proba 0,9.
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Soit Xi le temps de retard de l’employé i . On a X25 = 6,47et S25 = 1,12 On cherche une estimée de σ2 = Var(Xi).
On sait que Z =25S2
25σ2 ∼ χ2(24)
A l’aide de la table de la loi d’un χ2, on déterminemα ' 13,848 et Mα ' 36,415 tels que
P(Z ≥ Mα) = 0,05 et P(Z ≤ mα) = 0,05.
on obtient σ2 ∈ [25S2
2536,415 ;
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13,848 ] avec proba 0,9.
ie : σ ∈ [0,927; 1,505] avec proba 0,9.
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Exemple
Soit Xi le temps de retard de l’employé i . On a X25 = 6,47et S25 = 1,12 On cherche une estimée de σ2 = Var(Xi).
On sait que Z =25S2
25σ2 ∼ χ2(24)
A l’aide de la table de la loi d’un χ2, on déterminemα ' 13,848 et Mα ' 36,415 tels que
P(Z ≥ Mα) = 0,05 et P(Z ≤ mα) = 0,05.
on obtient σ2 ∈ [25S2
2536,415 ;
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13,848 ] avec proba 0,9.
ie : σ ∈ [0,927; 1,505] avec proba 0,9.
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EstimationTests
Tests paramétriquesTests de comparaison
1 Les divers types de problèmes que l’on se pose
2 Distribution d’échantillonnage de certaines statistiques
3 Estimation
4 TestsTests paramétriquesTests de comparaison
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Les divers types de problèmes que l’on se poseDistribution d’échantillonnage de certaines statistiques
EstimationTests
Tests paramétriquesTests de comparaison
4 TestsTests paramétriques
Test d’une moyenne, σ connuTest d’une moyenne, σ inconnu mais échantillon GaussienTest d’une variance, µ connu mais échantillon GaussienTest d’une variance, µ inconnu échantillon Gaussien
Tests de comparaisonCas d’échantillons GaussiensCas d’échantillons non GaussiensComparaison d’échantillons Gaussiens appariés
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Les divers types de problèmes que l’on se poseDistribution d’échantillonnage de certaines statistiques
EstimationTests
Tests paramétriquesTests de comparaison
Point de vue global
C’est une stratégie analogue à celles des estimations. Onutilise la même technologie.On fait une hypothèse sur un paramètre. On sait alors que,sous cette hypothèse, une certaine v.a (une statistique)doit être distribuée suivant une certaine loi (Théorèmelimites, distribution d’échantillonage)On vérifie alors, avec un taux α, "l’adéquation" des 2 lois.(Il existe des tests unilatéraux et bilatéraux.)
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EstimationTests
Tests paramétriquesTests de comparaison
Point de vue global
C’est une stratégie analogue à celles des estimations. Onutilise la même technologie.On fait une hypothèse sur un paramètre. On sait alors que,sous cette hypothèse, une certaine v.a (une statistique)doit être distribuée suivant une certaine loi (Théorèmelimites, distribution d’échantillonage)On vérifie alors, avec un taux α, "l’adéquation" des 2 lois.(Il existe des tests unilatéraux et bilatéraux.)
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Tests paramétriquesTests de comparaison
Point de vue global
C’est une stratégie analogue à celles des estimations. Onutilise la même technologie.On fait une hypothèse sur un paramètre. On sait alors que,sous cette hypothèse, une certaine v.a (une statistique)doit être distribuée suivant une certaine loi (Théorèmelimites, distribution d’échantillonage)On vérifie alors, avec un taux α, "l’adéquation" des 2 lois.(Il existe des tests unilatéraux et bilatéraux.)
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Tests paramétriquesTests de comparaison
Test d’une moyenne, σ connu
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EstimationTests
Tests paramétriquesTests de comparaison
Test moyenne, cas où σ connu
On veut tester l’hypothèse H0 : µ = µ0 contre H1 : µ 6= µ0.Sous H0, on sait que pour n grand, la v.a
√nσ
(Xn − µ0) doit suivre une N (0; 1).
Etant donné une marge d’erreur α, on détermine alors uncertain uα à l’aide de la table de la N (0; 1), tel que
P(|Z | ≤ uα) ≥ 1− α, où Z ∼ N (0; 1).
La position du nombre√
nσ (Xn − µ0) par rapport à
[−uα; uα], permet de rejetter ou de ne pas rejetter H0.
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Tests paramétriquesTests de comparaison
Test moyenne, cas où σ connu
On veut tester l’hypothèse H0 : µ = µ0 contre H1 : µ 6= µ0.Sous H0, on sait que pour n grand, la v.a
√nσ
(Xn − µ0) doit suivre une N (0; 1).
Etant donné une marge d’erreur α, on détermine alors uncertain uα à l’aide de la table de la N (0; 1), tel que
P(|Z | ≤ uα) ≥ 1− α, où Z ∼ N (0; 1).
La position du nombre√
nσ (Xn − µ0) par rapport à
[−uα; uα], permet de rejetter ou de ne pas rejetter H0.
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Tests paramétriquesTests de comparaison
Test moyenne, cas où σ connu
On veut tester l’hypothèse H0 : µ = µ0 contre H1 : µ 6= µ0.Sous H0, on sait que pour n grand, la v.a
√nσ
(Xn − µ0) doit suivre une N (0; 1).
Etant donné une marge d’erreur α, on détermine alors uncertain uα à l’aide de la table de la N (0; 1), tel que
P(|Z | ≤ uα) ≥ 1− α, où Z ∼ N (0; 1).
La position du nombre√
nσ (Xn − µ0) par rapport à
[−uα; uα], permet de rejetter ou de ne pas rejetter H0.
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Tests paramétriquesTests de comparaison
Test moyenne, cas où σ connu
On veut tester l’hypothèse H0 : µ = µ0 contre H1 : µ 6= µ0.Sous H0, on sait que pour n grand, la v.a
√nσ
(Xn − µ0) doit suivre une N (0; 1).
Etant donné une marge d’erreur α, on détermine alors uncertain uα à l’aide de la table de la N (0; 1), tel que
P(|Z | ≤ uα) ≥ 1− α, où Z ∼ N (0; 1).
La position du nombre√
nσ (Xn − µ0) par rapport à
[−uα; uα], permet de rejetter ou de ne pas rejetter H0.
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Tests paramétriquesTests de comparaison
Test moyenne, cas où σ connu
Ainsi,Si√
nσ (Xn − µ0) ∈ [−uα; uα], on ne rejette pas H0.
Sinon on rejette H0.
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Tests paramétriquesTests de comparaison
Test moyenne, cas où σ connu
Ainsi,Si√
nσ (Xn − µ0) ∈ [−uα; uα], on ne rejette pas H0.
Sinon on rejette H0.
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Tests paramétriquesTests de comparaison
Test moyenne, cas où σ connu
FIGURE: Zones rejet et non rejet de H0.
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Tests paramétriquesTests de comparaison
Test d’une moyenne, σ inconnumais échantillon Gaussien
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Tests paramétriquesTests de comparaison
Test moyenne, cas d’un échantillon Gaussien et σinconnu
Dans le cas où σ est inconnu, c’est le même principe mais onraisonne cette fois avec la variable de décision Tn−1 et onsuppose que les Xi suivent une loi Normale N (µ;σ).
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Tests paramétriquesTests de comparaison
Test moyenne, cas d’un échantillon Gaussien et σinconnu
On veut tester l’hypothèse H0 : µ = µ0 contre H1 : µ 6= µ0.Sous H0, on sait que la v.a,
Tn−1 =
√n − 1Sn
(Xn−µ0) doit suit une loi de Student(n−1)
Etant donné une marge d’erreur α, on détermine alors uncertain tα à l’aide de la table de Student(n − 1), tel que
P(|Tn−1| ≤ tα) ≥ 1− α.
Etude de la position de√
n−1Sn
(Xn − µ0) par rapport à[−tα; tα].
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Test moyenne, cas d’un échantillon Gaussien et σinconnu
On veut tester l’hypothèse H0 : µ = µ0 contre H1 : µ 6= µ0.Sous H0, on sait que la v.a,
Tn−1 =
√n − 1Sn
(Xn−µ0) doit suit une loi de Student(n−1)
Etant donné une marge d’erreur α, on détermine alors uncertain tα à l’aide de la table de Student(n − 1), tel que
P(|Tn−1| ≤ tα) ≥ 1− α.
Etude de la position de√
n−1Sn
(Xn − µ0) par rapport à[−tα; tα].
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Test moyenne, cas d’un échantillon Gaussien et σinconnu
On veut tester l’hypothèse H0 : µ = µ0 contre H1 : µ 6= µ0.Sous H0, on sait que la v.a,
Tn−1 =
√n − 1Sn
(Xn−µ0) doit suit une loi de Student(n−1)
Etant donné une marge d’erreur α, on détermine alors uncertain tα à l’aide de la table de Student(n − 1), tel que
P(|Tn−1| ≤ tα) ≥ 1− α.
Etude de la position de√
n−1Sn
(Xn − µ0) par rapport à[−tα; tα].
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On veut tester l’hypothèse H0 : µ = µ0 contre H1 : µ 6= µ0.Sous H0, on sait que la v.a,
Tn−1 =
√n − 1Sn
(Xn−µ0) doit suit une loi de Student(n−1)
Etant donné une marge d’erreur α, on détermine alors uncertain tα à l’aide de la table de Student(n − 1), tel que
P(|Tn−1| ≤ tα) ≥ 1− α.
Etude de la position de√
n−1Sn
(Xn − µ0) par rapport à[−tα; tα].
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Test moyenne, cas d’un échantillon Gaussien et σinconnu
Ainsi, on a la même discussion,Si Tn−1 ∈ [−tα; tα], on ne rejette pas H0.Sinon on rejette H0.
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Test moyenne, cas d’un échantillon Gaussien et σinconnu
Ainsi, on a la même discussion,Si Tn−1 ∈ [−tα; tα], on ne rejette pas H0.Sinon on rejette H0.
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FIGURE: Zones rejet et non rejet de H0.
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Tests paramétriquesTests de comparaison
Exemples : Effet sur le temps de sommeil desaménagements d’ horaire dans une entreprise
En vue d’aménager les heures de travail du personneld’une entreprise, une étude s’est interessée au temps desommeil d’un échantillon de 30 employés de l’ entreprise.L’étude donne une moyenne du temps de sommeil de 6,56h et un écart-type de 1,35h.En supposant que le temps de sommeil d’un employé suitune loi normale, peut on considérer que le temps desommeil des employés de cette entreprise est inférieur autemps de sommeil moyen des individus qui est de 7h30 auseuil 5% ?
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Tests paramétriquesTests de comparaison
Exemples : Effet sur le temps de sommeil desaménagements d’ horaire dans une entreprise
En vue d’aménager les heures de travail du personneld’une entreprise, une étude s’est interessée au temps desommeil d’un échantillon de 30 employés de l’ entreprise.L’étude donne une moyenne du temps de sommeil de 6,56h et un écart-type de 1,35h.En supposant que le temps de sommeil d’un employé suitune loi normale, peut on considérer que le temps desommeil des employés de cette entreprise est inférieur autemps de sommeil moyen des individus qui est de 7h30 auseuil 5% ?
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En vue d’aménager les heures de travail du personneld’une entreprise, une étude s’est interessée au temps desommeil d’un échantillon de 30 employés de l’ entreprise.L’étude donne une moyenne du temps de sommeil de 6,56h et un écart-type de 1,35h.En supposant que le temps de sommeil d’un employé suitune loi normale, peut on considérer que le temps desommeil des employés de cette entreprise est inférieur autemps de sommeil moyen des individus qui est de 7h30 auseuil 5% ?
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Tests paramétriquesTests de comparaison
Exemples : Effet sur le temps de sommeil desaménagements d’ horaire dans une entreprise
Soit Xi le temps de sommeil de la personne i del’échantillon, on suppose que Xi ∼ N (µ, σ).Soit H0 : µ = 7,5.
Sous H0, on a T29 =√
29S30
(X30 − 7,5) ∼ Student(29)
La table de Student donne P(|T | ≤ 2,045) ≥ 0,95
Ici T29 =√
291,35 (6,56− 7,5) = −3,74
Donc T29 /∈ [−2,045 : 2,045], et on rejette H0
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Soit Xi le temps de sommeil de la personne i del’échantillon, on suppose que Xi ∼ N (µ, σ).Soit H0 : µ = 7,5.
Sous H0, on a T29 =√
29S30
(X30 − 7,5) ∼ Student(29)
La table de Student donne P(|T | ≤ 2,045) ≥ 0,95
Ici T29 =√
291,35 (6,56− 7,5) = −3,74
Donc T29 /∈ [−2,045 : 2,045], et on rejette H0
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Soit Xi le temps de sommeil de la personne i del’échantillon, on suppose que Xi ∼ N (µ, σ).Soit H0 : µ = 7,5.
Sous H0, on a T29 =√
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Ici T29 =√
291,35 (6,56− 7,5) = −3,74
Donc T29 /∈ [−2,045 : 2,045], et on rejette H0
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Soit Xi le temps de sommeil de la personne i del’échantillon, on suppose que Xi ∼ N (µ, σ).Soit H0 : µ = 7,5.
Sous H0, on a T29 =√
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Ici T29 =√
291,35 (6,56− 7,5) = −3,74
Donc T29 /∈ [−2,045 : 2,045], et on rejette H0
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Soit Xi le temps de sommeil de la personne i del’échantillon, on suppose que Xi ∼ N (µ, σ).Soit H0 : µ = 7,5.
Sous H0, on a T29 =√
29S30
(X30 − 7,5) ∼ Student(29)
La table de Student donne P(|T | ≤ 2,045) ≥ 0,95
Ici T29 =√
291,35 (6,56− 7,5) = −3,74
Donc T29 /∈ [−2,045 : 2,045], et on rejette H0
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Soit Xi le temps de sommeil de la personne i del’échantillon, on suppose que Xi ∼ N (µ, σ).Soit H0 : µ = 7,5.
Sous H0, on a T29 =√
29S30
(X30 − 7,5) ∼ Student(29)
La table de Student donne P(|T | ≤ 2,045) ≥ 0,95
Ici T29 =√
291,35 (6,56− 7,5) = −3,74
Donc T29 /∈ [−2,045 : 2,045], et on rejette H0
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Tests paramétriquesTests de comparaison
Test d’une variance, µ connumais échantillon Gaussien
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Tests paramétriquesTests de comparaison
Test variance, cas d’un échantillon Gaussien et µconnu
C’est encore la même démarche, avec cette fois avec lavariable de décision
Z =nS2
n
σ2 =1σ2
∑i=1...n
(Xi − µ)2
qui doit suivre un χ2(n), si le σ est correct.
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Tests paramétriquesTests de comparaison
Test variance, cas d’un échantillon Gaussien et µconnu
On veut tester l’hypothèse H0 : σ = σ0 contre H1 : σ 6= σ0.Sous H0, on sait que la v.a,
Zn = nS2n
σ20
doit suit une loi de χ2(n)
Etant donné une marge d’erreur α, on détermine alors uncertain cα à l’aide de la table de χ2(n), tel que
P(Zn ≥ cα) = α où la v.a Zn ∼ χ2(n).
Etude de la position de nS2n
σ20
par rapport à cα.
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Test variance, cas d’un échantillon Gaussien et µconnu
On veut tester l’hypothèse H0 : σ = σ0 contre H1 : σ 6= σ0.Sous H0, on sait que la v.a,
Zn = nS2n
σ20
doit suit une loi de χ2(n)
Etant donné une marge d’erreur α, on détermine alors uncertain cα à l’aide de la table de χ2(n), tel que
P(Zn ≥ cα) = α où la v.a Zn ∼ χ2(n).
Etude de la position de nS2n
σ20
par rapport à cα.
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Test variance, cas d’un échantillon Gaussien et µconnu
On veut tester l’hypothèse H0 : σ = σ0 contre H1 : σ 6= σ0.Sous H0, on sait que la v.a,
Zn = nS2n
σ20
doit suit une loi de χ2(n)
Etant donné une marge d’erreur α, on détermine alors uncertain cα à l’aide de la table de χ2(n), tel que
P(Zn ≥ cα) = α où la v.a Zn ∼ χ2(n).
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σ20
par rapport à cα.
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On veut tester l’hypothèse H0 : σ = σ0 contre H1 : σ 6= σ0.Sous H0, on sait que la v.a,
Zn = nS2n
σ20
doit suit une loi de χ2(n)
Etant donné une marge d’erreur α, on détermine alors uncertain cα à l’aide de la table de χ2(n), tel que
P(Zn ≥ cα) = α où la v.a Zn ∼ χ2(n).
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σ20
par rapport à cα.
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Ainsi, on a la même discussion,Si Zn ≤ cα, on ne rejette pas H0.Sinon on rejette H0.
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EstimationTests
Tests paramétriquesTests de comparaison
Test variance, cas d’un échantillon Gaussien et µconnu
Ainsi, on a la même discussion,Si Zn ≤ cα, on ne rejette pas H0.Sinon on rejette H0.
Clément Rau Cours 5: Inférences: Estimation, Echantillonnage et Tests
Les divers types de problèmes que l’on se poseDistribution d’échantillonnage de certaines statistiques
EstimationTests
Tests paramétriquesTests de comparaison
FIGURE: Zones rejet et non rejet de H0.
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Les divers types de problèmes que l’on se poseDistribution d’échantillonnage de certaines statistiques
EstimationTests
Tests paramétriquesTests de comparaison
Test d’une variance, µ inconnuet échantillon Gaussien
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Les divers types de problèmes que l’on se poseDistribution d’échantillonnage de certaines statistiques
EstimationTests
Tests paramétriquesTests de comparaison
Test variance, cas d’un échantillon Gaussien et µinconnu
Si les Xi suivent une loi Normale N (µ;σ), et lorsque µ estinconnu, on utilise :
nS2n
σ2 qui doit suivre un χ2(n − 1), si le σ est correct.
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Les divers types de problèmes que l’on se poseDistribution d’échantillonnage de certaines statistiques
EstimationTests
Tests paramétriquesTests de comparaison
Test variance, cas d’un échantillon Gaussien et µinconnu
Si les Xi suivent une loi Normale N (µ;σ), et lorsque µ estinconnu, on utilise :
nS2n
σ2 qui doit suivre un χ2(n − 1), si le σ est correct.
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Les divers types de problèmes que l’on se poseDistribution d’échantillonnage de certaines statistiques
EstimationTests
Tests paramétriquesTests de comparaison
Test variance, cas d’un échantillon Gaussien et µinconnu
On veut tester l’hypothèse H0 : σ = σ0 contre H1 : σ 6= σ0.Sous H0, on sait que la v.a,
Zn−1 = nS2n
σ20
doit suivre une loi de χ2(n − 1)
Etant donné une marge d’erreur α, on détermine alors uncertain cα à l’aide de la table de χ2(n − 1), tel que
P(Zn−1 ≥ cα) = α où la v.a Zn ∼ χ2(n − 1).
Etude de la position de nS2n
σ20
par rapport à cα.
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Les divers types de problèmes que l’on se poseDistribution d’échantillonnage de certaines statistiques
EstimationTests
Tests paramétriquesTests de comparaison
Test variance, cas d’un échantillon Gaussien et µinconnu
On veut tester l’hypothèse H0 : σ = σ0 contre H1 : σ 6= σ0.Sous H0, on sait que la v.a,
Zn−1 = nS2n
σ20
doit suivre une loi de χ2(n − 1)
Etant donné une marge d’erreur α, on détermine alors uncertain cα à l’aide de la table de χ2(n − 1), tel que
P(Zn−1 ≥ cα) = α où la v.a Zn ∼ χ2(n − 1).
Etude de la position de nS2n
σ20
par rapport à cα.
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EstimationTests
Tests paramétriquesTests de comparaison
Test variance, cas d’un échantillon Gaussien et µinconnu
On veut tester l’hypothèse H0 : σ = σ0 contre H1 : σ 6= σ0.Sous H0, on sait que la v.a,
Zn−1 = nS2n
σ20
doit suivre une loi de χ2(n − 1)
Etant donné une marge d’erreur α, on détermine alors uncertain cα à l’aide de la table de χ2(n − 1), tel que
P(Zn−1 ≥ cα) = α où la v.a Zn ∼ χ2(n − 1).
Etude de la position de nS2n
σ20
par rapport à cα.
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EstimationTests
Tests paramétriquesTests de comparaison
Test variance, cas d’un échantillon Gaussien et µinconnu
On veut tester l’hypothèse H0 : σ = σ0 contre H1 : σ 6= σ0.Sous H0, on sait que la v.a,
Zn−1 = nS2n
σ20
doit suivre une loi de χ2(n − 1)
Etant donné une marge d’erreur α, on détermine alors uncertain cα à l’aide de la table de χ2(n − 1), tel que
P(Zn−1 ≥ cα) = α où la v.a Zn ∼ χ2(n − 1).
Etude de la position de nS2n
σ20
par rapport à cα.
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EstimationTests
Tests paramétriquesTests de comparaison
Test variance, cas d’un échantillon Gaussien et µinconnu
Ainsi, on a une fois de plus la même discussion,Si Zn−1 ≤ cα, on ne rejette pas H0.Sinon on rejette H0.
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EstimationTests
Tests paramétriquesTests de comparaison
Test variance, cas d’un échantillon Gaussien et µinconnu
Ainsi, on a une fois de plus la même discussion,Si Zn−1 ≤ cα, on ne rejette pas H0.Sinon on rejette H0.
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Tests paramétriquesTests de comparaison
Test variance, cas d’un échantillon Gaussien et µinconnu
FIGURE: Zones rejet et non rejet de H0.
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EstimationTests
Tests paramétriquesTests de comparaison
4 TestsTests paramétriques
Test d’une moyenne, σ connuTest d’une moyenne, σ inconnu mais échantillon GaussienTest d’une variance, µ connu mais échantillon GaussienTest d’une variance, µ inconnu échantillon Gaussien
Tests de comparaisonCas d’échantillons GaussiensCas d’échantillons non GaussiensComparaison d’échantillons Gaussiens appariés
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EstimationTests
Tests paramétriquesTests de comparaison
Problématique :Etant donné deux échantillons de taille nA et nB, peut-onadmettre qu’ils ont été prélevés dans une même population.Ces deux échantillons ayant été prélevés independamment l’unde l’autre.
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Les divers types de problèmes que l’on se poseDistribution d’échantillonnage de certaines statistiques
EstimationTests
Tests paramétriquesTests de comparaison
Test de comparaison
Population A
Moyenne :µAEcart-type : σA
Echantillon
Taille :nA
X AnA
SAnA
Population B
Moyenne :µBEcart-type : σB
Echantillon
Taille :nB
X BnB
SBnB
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Tests paramétriquesTests de comparaison
Test de de comparaison desvariances d’échantillon
Gaussien.
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Les divers types de problèmes que l’on se poseDistribution d’échantillonnage de certaines statistiques
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Tests paramétriquesTests de comparaison
Test de comparaison des variances
Soient deux échantillons A et BPour 1 ≤ i ≤ nA, notons
X Ai les valeurs de la variable étudiée, issue de A,
avec X Ai ∼ N (µA;σA).
De même, pour 1 ≤ i ≤ nB, notons
X Bi les valeurs de la variable étudiée, issue de B,
avec X Bi ∼ N (µB;σB).
On veut tester l’hypothèse H0 : σA = σB.
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Tests paramétriquesTests de comparaison
Test de comparaison des variances
Soient deux échantillons A et BPour 1 ≤ i ≤ nA, notons
X Ai les valeurs de la variable étudiée, issue de A,
avec X Ai ∼ N (µA;σA).
De même, pour 1 ≤ i ≤ nB, notons
X Bi les valeurs de la variable étudiée, issue de B,
avec X Bi ∼ N (µB;σB).
On veut tester l’hypothèse H0 : σA = σB.
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Test de comparaison des variances
Soient deux échantillons A et BPour 1 ≤ i ≤ nA, notons
X Ai les valeurs de la variable étudiée, issue de A,
avec X Ai ∼ N (µA;σA).
De même, pour 1 ≤ i ≤ nB, notons
X Bi les valeurs de la variable étudiée, issue de B,
avec X Bi ∼ N (µB;σB).
On veut tester l’hypothèse H0 : σA = σB.
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Tests paramétriquesTests de comparaison
Test de comparaison des variances
Soient deux échantillons A et BPour 1 ≤ i ≤ nA, notons
X Ai les valeurs de la variable étudiée, issue de A,
avec X Ai ∼ N (µA;σA).
De même, pour 1 ≤ i ≤ nB, notons
X Bi les valeurs de la variable étudiée, issue de B,
avec X Bi ∼ N (µB;σB).
On veut tester l’hypothèse H0 : σA = σB.
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Les divers types de problèmes que l’on se poseDistribution d’échantillonnage de certaines statistiques
EstimationTests
Tests paramétriquesTests de comparaison
Test de comparaison des variances
En appliquant les résultat de la théorie del’échantillonnage, on sait que :
nASAnA
2
σ2A∼ χ2(nA − 1) et
nBSBnB
2
σ2B∼ χ2(nB − 1),
où SAnA
2 et SBnB
2 désignent les estimateurs respectifs de lavariance de l’échantillon A et B.
Ainsi, la v.a Z :=
nASAnA
2
(nA−1)σ2A
nBSBnB
2
(nB−1)σ2B
, rapport de deux χ2 divisés par
les degrés de liberté, suit donc (par définition) une loi deFisher-Snedecor F(nA − 1,nB − 1).
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Test de comparaison des variances
En appliquant les résultat de la théorie del’échantillonnage, on sait que :
nASAnA
2
σ2A∼ χ2(nA − 1) et
nBSBnB
2
σ2B∼ χ2(nB − 1),
où SAnA
2 et SBnB
2 désignent les estimateurs respectifs de lavariance de l’échantillon A et B.
Ainsi, la v.a Z :=
nASAnA
2
(nA−1)σ2A
nBSBnB
2
(nB−1)σ2B
, rapport de deux χ2 divisés par
les degrés de liberté, suit donc (par définition) une loi deFisher-Snedecor F(nA − 1,nB − 1).
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Les divers types de problèmes que l’on se poseDistribution d’échantillonnage de certaines statistiques
EstimationTests
Tests paramétriquesTests de comparaison
Test de comparaison des variances
Sous l’hypothèse H0 : σA = σB, cette expression sesimplifie en :
Z =
nASAnA
2
(nA−1)
nBSBnB
2
(nB−1)
,
Ainsi, sous H0, la variable Z doit suivre une loi deFisher-Snedecor
F(nA − 1,nB − 1).
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Tests paramétriquesTests de comparaison
Test de comparaison des variances
Sous l’hypothèse H0 : σA = σB, cette expression sesimplifie en :
Z =
nASAnA
2
(nA−1)
nBSBnB
2
(nB−1)
,
Ainsi, sous H0, la variable Z doit suivre une loi deFisher-Snedecor
F(nA − 1,nB − 1).
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Tests paramétriquesTests de comparaison
Test de comparaison des variances
Principe du test :On suppose H0 : σA = σB.
Etant donné un seuil α, on détermine un fα à l’aide de latable de la loi de Fisher-Snedecor tel queP(F ≤ fα) = 1− α où F ∼ F(nA − 1,nB − 1).
On compare la valeur Z =
nASAnA
2
(nA−1)
nBSBnB
2
(nB−1)
, à fα.
Si Z < fα alors on ne rejette pas H0,sinon on rejette.
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Tests paramétriquesTests de comparaison
Test de comparaison des variances
Principe du test :On suppose H0 : σA = σB.
Etant donné un seuil α, on détermine un fα à l’aide de latable de la loi de Fisher-Snedecor tel queP(F ≤ fα) = 1− α où F ∼ F(nA − 1,nB − 1).
On compare la valeur Z =
nASAnA
2
(nA−1)
nBSBnB
2
(nB−1)
, à fα.
Si Z < fα alors on ne rejette pas H0,sinon on rejette.
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Tests paramétriquesTests de comparaison
Test de comparaison des variances
Principe du test :On suppose H0 : σA = σB.
Etant donné un seuil α, on détermine un fα à l’aide de latable de la loi de Fisher-Snedecor tel queP(F ≤ fα) = 1− α où F ∼ F(nA − 1,nB − 1).
On compare la valeur Z =
nASAnA
2
(nA−1)
nBSBnB
2
(nB−1)
, à fα.
Si Z < fα alors on ne rejette pas H0,sinon on rejette.
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Test de comparaison des variances
Principe du test :On suppose H0 : σA = σB.
Etant donné un seuil α, on détermine un fα à l’aide de latable de la loi de Fisher-Snedecor tel queP(F ≤ fα) = 1− α où F ∼ F(nA − 1,nB − 1).
On compare la valeur Z =
nASAnA
2
(nA−1)
nBSBnB
2
(nB−1)
, à fα.
Si Z < fα alors on ne rejette pas H0,sinon on rejette.
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Test de comparaison des variances
Principe du test :On suppose H0 : σA = σB.
Etant donné un seuil α, on détermine un fα à l’aide de latable de la loi de Fisher-Snedecor tel queP(F ≤ fα) = 1− α où F ∼ F(nA − 1,nB − 1).
On compare la valeur Z =
nASAnA
2
(nA−1)
nBSBnB
2
(nB−1)
, à fα.
Si Z < fα alors on ne rejette pas H0,sinon on rejette.
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Tests paramétriquesTests de comparaison
Test variance, cas d’un échantillon Gaussien et µinconnu
FIGURE: Zones rejet et non rejet de H0.
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Tests paramétriquesTests de comparaison
Remarques
Si les deux échantillons ont même taille (nA = nB),l’expression se simplifie en :
SAnA
2
SBnB
2 .
En pratique, on met toujours au numérateur la plus grandedes deux quantités.Possible de faire un test de Fisher-Snedecor bilateral
FIGURE: Test de Fisher-Snedecor bilateral.Clément Rau Cours 5: Inférences: Estimation, Echantillonnage et Tests
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EstimationTests
Tests paramétriquesTests de comparaison
Remarques
Si les deux échantillons ont même taille (nA = nB),l’expression se simplifie en :
SAnA
2
SBnB
2 .
En pratique, on met toujours au numérateur la plus grandedes deux quantités.Possible de faire un test de Fisher-Snedecor bilateral
FIGURE: Test de Fisher-Snedecor bilateral.Clément Rau Cours 5: Inférences: Estimation, Echantillonnage et Tests
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Remarques
Si les deux échantillons ont même taille (nA = nB),l’expression se simplifie en :
SAnA
2
SBnB
2 .
En pratique, on met toujours au numérateur la plus grandedes deux quantités.Possible de faire un test de Fisher-Snedecor bilateral
FIGURE: Test de Fisher-Snedecor bilateral.Clément Rau Cours 5: Inférences: Estimation, Echantillonnage et Tests
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Tests paramétriquesTests de comparaison
Test de de comparaison desmoyennes d’échantillon
Gaussien.
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Les divers types de problèmes que l’on se poseDistribution d’échantillonnage de certaines statistiques
EstimationTests
Tests paramétriquesTests de comparaison
Rappels
Prérequis :Si X et Y sont deux v.a indépendantes, on a :Var(X + Y ) = Var(X ) + Var(Y )
Par ailleurs, la somme de deux Gaussiennesindépendantes est encore une Gaussienne.
Ainsi,si X ∼ N (µ1, σ1) et Y ∼ N (µ2, σ2), on a :
X + Y ∼ N (µ1 + µ2, σ1 + σ2)
Si les Xi ∼ N (µ, σ), alors
Xn ∼ N (µ,σ√n
)
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EstimationTests
Tests paramétriquesTests de comparaison
Rappels
Prérequis :Si X et Y sont deux v.a indépendantes, on a :Var(X + Y ) = Var(X ) + Var(Y )
Par ailleurs, la somme de deux Gaussiennesindépendantes est encore une Gaussienne.
Ainsi,si X ∼ N (µ1, σ1) et Y ∼ N (µ2, σ2), on a :
X + Y ∼ N (µ1 + µ2, σ1 + σ2)
Si les Xi ∼ N (µ, σ), alors
Xn ∼ N (µ,σ√n
)
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Tests paramétriquesTests de comparaison
Rappels
Prérequis :Si X et Y sont deux v.a indépendantes, on a :Var(X + Y ) = Var(X ) + Var(Y )
Par ailleurs, la somme de deux Gaussiennesindépendantes est encore une Gaussienne.
Ainsi,si X ∼ N (µ1, σ1) et Y ∼ N (µ2, σ2), on a :
X + Y ∼ N (µ1 + µ2, σ1 + σ2)
Si les Xi ∼ N (µ, σ), alors
Xn ∼ N (µ,σ√n
)
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Rappels
Prérequis :Si X et Y sont deux v.a indépendantes, on a :Var(X + Y ) = Var(X ) + Var(Y )
Par ailleurs, la somme de deux Gaussiennesindépendantes est encore une Gaussienne.
Ainsi,si X ∼ N (µ1, σ1) et Y ∼ N (µ2, σ2), on a :
X + Y ∼ N (µ1 + µ2, σ1 + σ2)
Si les Xi ∼ N (µ, σ), alors
Xn ∼ N (µ,σ√n
)
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Tests paramétriquesTests de comparaison
Rappels
Prérequis :Si X et Y sont deux v.a indépendantes, on a :Var(X + Y ) = Var(X ) + Var(Y )
Par ailleurs, la somme de deux Gaussiennesindépendantes est encore une Gaussienne.
Ainsi,si X ∼ N (µ1, σ1) et Y ∼ N (µ2, σ2), on a :
X + Y ∼ N (µ1 + µ2, σ1 + σ2)
Si les Xi ∼ N (µ, σ), alors
Xn ∼ N (µ,σ√n
)
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Rappels
Prérequis :Si X et Y sont deux v.a indépendantes, on a :Var(X + Y ) = Var(X ) + Var(Y )
Par ailleurs, la somme de deux Gaussiennesindépendantes est encore une Gaussienne.
Ainsi,si X ∼ N (µ1, σ1) et Y ∼ N (µ2, σ2), on a :
X + Y ∼ N (µ1 + µ2, σ1 + σ2)
Si les Xi ∼ N (µ, σ), alors
Xn ∼ N (µ,σ√n
)
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EstimationTests
Tests paramétriquesTests de comparaison
Test de comparaison des moyennes
On suppose désormais σA = σB := σ, et on veut testerµA = µB. Par les résultats de distribution d’échantillonnage, onsait que :
XA ∼ N (µA,σ√nA
) et XB ∼ N (µB,σ√nB
)
nASAnA
2
σ2 ∼ χ2(nA − 1) etnBSB
nB2
σ2 ∼ χ2(nB − 1)
Donc,
XA − XB ∼ N (µA − µB, σ
√1nA
+1
nB) (1)
etnASA
nA
2+ nBSB
nB
2
σ2 ∼ χ2(nA + nB − 2) (2)
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EstimationTests
Tests paramétriquesTests de comparaison
Test de comparaison des moyennes
On suppose désormais σA = σB := σ, et on veut testerµA = µB. Par les résultats de distribution d’échantillonnage, onsait que :
XA ∼ N (µA,σ√nA
) et XB ∼ N (µB,σ√nB
)
nASAnA
2
σ2 ∼ χ2(nA − 1) etnBSB
nB2
σ2 ∼ χ2(nB − 1)
Donc,
XA − XB ∼ N (µA − µB, σ
√1nA
+1
nB) (1)
etnASA
nA
2+ nBSB
nB
2
σ2 ∼ χ2(nA + nB − 2) (2)
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Tests paramétriquesTests de comparaison
Test de comparaison des moyennes
On suppose désormais σA = σB := σ, et on veut testerµA = µB. Par les résultats de distribution d’échantillonnage, onsait que :
XA ∼ N (µA,σ√nA
) et XB ∼ N (µB,σ√nB
)
nASAnA
2
σ2 ∼ χ2(nA − 1) etnBSB
nB2
σ2 ∼ χ2(nB − 1)
Donc,
XA − XB ∼ N (µA − µB, σ
√1nA
+1
nB) (1)
etnASA
nA
2+ nBSB
nB
2
σ2 ∼ χ2(nA + nB − 2) (2)
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Test de comparaison des moyennes
On suppose désormais σA = σB := σ, et on veut testerµA = µB. Par les résultats de distribution d’échantillonnage, onsait que :
XA ∼ N (µA,σ√nA
) et XB ∼ N (µB,σ√nB
)
nASAnA
2
σ2 ∼ χ2(nA − 1) etnBSB
nB2
σ2 ∼ χ2(nB − 1)
Donc,
XA − XB ∼ N (µA − µB, σ
√1nA
+1
nB) (1)
etnASA
nA
2+ nBSB
nB
2
σ2 ∼ χ2(nA + nB − 2) (2)
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Tests paramétriquesTests de comparaison
Test de comparaison des moyennes
On suppose désormais σA = σB := σ, et on veut testerµA = µB. Par les résultats de distribution d’échantillonnage, onsait que :
XA ∼ N (µA,σ√nA
) et XB ∼ N (µB,σ√nB
)
nASAnA
2
σ2 ∼ χ2(nA − 1) etnBSB
nB2
σ2 ∼ χ2(nB − 1)
Donc,
XA − XB ∼ N (µA − µB, σ
√1nA
+1
nB) (1)
etnASA
nA
2+ nBSB
nB
2
σ2 ∼ χ2(nA + nB − 2) (2)
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Tests paramétriquesTests de comparaison
Test de comparaison des moyennes
Si on a la valeur de σ, on peut directement testerl’adéquation de XA − XB avec une normale centrée par (1).Sinon, on forme le rapport de (1) par (2), puis apréssimplification par σ et par définition de la loi de Student, ona :
T :=XA − XB − (µA − µB)√
(nASAnA
2+ nBSB
nB
2)( 1
nA+ 1
nB)
√nA + nB − 2,
qui suit une loi de Student(nA + nB − 2), comme quotient d’uneloi normale et de la racine d’un χ2 (divisé par son degré deliberté).
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Tests paramétriquesTests de comparaison
Test de comparaison des moyennes
Si on a la valeur de σ, on peut directement testerl’adéquation de XA − XB avec une normale centrée par (1).Sinon, on forme le rapport de (1) par (2), puis apréssimplification par σ et par définition de la loi de Student, ona :
T :=XA − XB − (µA − µB)√
(nASAnA
2+ nBSB
nB
2)( 1
nA+ 1
nB)
√nA + nB − 2,
qui suit une loi de Student(nA + nB − 2), comme quotient d’uneloi normale et de la racine d’un χ2 (divisé par son degré deliberté).
Clément Rau Cours 5: Inférences: Estimation, Echantillonnage et Tests
Les divers types de problèmes que l’on se poseDistribution d’échantillonnage de certaines statistiques
EstimationTests
Tests paramétriquesTests de comparaison
Test de comparaison des moyennes
Si on a la valeur de σ, on peut directement testerl’adéquation de XA − XB avec une normale centrée par (1).Sinon, on forme le rapport de (1) par (2), puis apréssimplification par σ et par définition de la loi de Student, ona :
T :=XA − XB − (µA − µB)√
(nASAnA
2+ nBSB
nB
2)( 1
nA+ 1
nB)
√nA + nB − 2,
qui suit une loi de Student(nA + nB − 2), comme quotient d’uneloi normale et de la racine d’un χ2 (divisé par son degré deliberté).
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Les divers types de problèmes que l’on se poseDistribution d’échantillonnage de certaines statistiques
EstimationTests
Tests paramétriquesTests de comparaison
Test de comparaison des moyennes
Sous l’hypothèse µA = µB, on calcule donc
T =XA − XB√
(nASAnA
2+ nBSB
nB
2)( 1
nA+ 1
nB)
√nA + nB − 2,
que l’on teste (exactement comme pour le test de la moyenneavec σ inconnu), avec une loi Student(nA + nB − 2).
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EstimationTests
Tests paramétriquesTests de comparaison
Cas d’échantillon non Gaussiens
Le test de variance n’est plus valable en général. (nS2n
σ2 nesuit pas forcément un χ2)Parcontre, si nA et nB sont assez grands (≥ 30), on peutquand même tester les moyennes avec la formule deStudent.
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Tests paramétriquesTests de comparaison
Cas d’échantillon non Gaussiens
Le test de variance n’est plus valable en général. (nS2n
σ2 nesuit pas forcément un χ2)Parcontre, si nA et nB sont assez grands (≥ 30), on peutquand même tester les moyennes avec la formule deStudent.
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Tests paramétriquesTests de comparaison
Cas d’échantillon non Gaussiens
Le test de variance n’est plus valable en général. (nS2n
σ2 nesuit pas forcément un χ2)Parcontre, si nA et nB sont assez grands (≥ 30), on peutquand même tester les moyennes avec la formule deStudent.
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EstimationTests
Tests paramétriquesTests de comparaison
Un exemple : comparaison des moyennes du chiffred’affaire de 2 réseaux d’entreprises
Un réseau A d’entreprises constitué de nA = 31 entreprises,possède un chiffre d’affaire moyen annuel de 27 432 eurospour un écart-type moyen de 2349 euros. Un réseau B dumême secteur d’activité que A, est constitué de nB = 41entreprises, a un chiffre d’affaire moyen annuel de 30431 eurosavec un écart-type moyen de 1802 euros.
Peut on considérer que les moyennes du chiffre d’affaire annueldu réseau A et du réseau B sont égales (au seuil 5%) ?
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EstimationTests
Tests paramétriquesTests de comparaison
Un exemple : comparaison des moyennes du chiffred’affaire de 2 réseaux d’entreprises
Les échantillons ne sont pas supposés Gaussiens, maisnA et nB grands (≥ 30), donc on peut tout de même faire letest des moyennes de student.XA = 27423, XB = 30431 et SA
nA= 2349,SB
nB= 2496
On teste d’abord H0 : σA = σB ?
Z =
nASAnA
2
(nA−1)
nBSBnB
2
(nB−1)
=31×23492
3041×24962
40
≈ 0,892
A l’aide de la table de la loi de Fisher-Snedecor, on aP(F ≤ 1,74) = 0,95 où F ∼ F(30,40).0,892 < 1,74 donc on ne rejette pas H0.
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Tests paramétriquesTests de comparaison
Un exemple : comparaison des moyennes du chiffred’affaire de 2 réseaux d’entreprises
Les échantillons ne sont pas supposés Gaussiens, maisnA et nB grands (≥ 30), donc on peut tout de même faire letest des moyennes de student.XA = 27423, XB = 30431 et SA
nA= 2349,SB
nB= 2496
On teste d’abord H0 : σA = σB ?
Z =
nASAnA
2
(nA−1)
nBSBnB
2
(nB−1)
=31×23492
3041×24962
40
≈ 0,892
A l’aide de la table de la loi de Fisher-Snedecor, on aP(F ≤ 1,74) = 0,95 où F ∼ F(30,40).0,892 < 1,74 donc on ne rejette pas H0.
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Les échantillons ne sont pas supposés Gaussiens, maisnA et nB grands (≥ 30), donc on peut tout de même faire letest des moyennes de student.XA = 27423, XB = 30431 et SA
nA= 2349,SB
nB= 2496
On teste d’abord H0 : σA = σB ?
Z =
nASAnA
2
(nA−1)
nBSBnB
2
(nB−1)
=31×23492
3041×24962
40
≈ 0,892
A l’aide de la table de la loi de Fisher-Snedecor, on aP(F ≤ 1,74) = 0,95 où F ∼ F(30,40).0,892 < 1,74 donc on ne rejette pas H0.
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Les échantillons ne sont pas supposés Gaussiens, maisnA et nB grands (≥ 30), donc on peut tout de même faire letest des moyennes de student.XA = 27423, XB = 30431 et SA
nA= 2349,SB
nB= 2496
On teste d’abord H0 : σA = σB ?
Z =
nASAnA
2
(nA−1)
nBSBnB
2
(nB−1)
=31×23492
3041×24962
40
≈ 0,892
A l’aide de la table de la loi de Fisher-Snedecor, on aP(F ≤ 1,74) = 0,95 où F ∼ F(30,40).0,892 < 1,74 donc on ne rejette pas H0.
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Les échantillons ne sont pas supposés Gaussiens, maisnA et nB grands (≥ 30), donc on peut tout de même faire letest des moyennes de student.XA = 27423, XB = 30431 et SA
nA= 2349,SB
nB= 2496
On teste d’abord H0 : σA = σB ?
Z =
nASAnA
2
(nA−1)
nBSBnB
2
(nB−1)
=31×23492
3041×24962
40
≈ 0,892
A l’aide de la table de la loi de Fisher-Snedecor, on aP(F ≤ 1,74) = 0,95 où F ∼ F(30,40).0,892 < 1,74 donc on ne rejette pas H0.
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Les échantillons ne sont pas supposés Gaussiens, maisnA et nB grands (≥ 30), donc on peut tout de même faire letest des moyennes de student.XA = 27423, XB = 30431 et SA
nA= 2349,SB
nB= 2496
On teste d’abord H0 : σA = σB ?
Z =
nASAnA
2
(nA−1)
nBSBnB
2
(nB−1)
=31×23492
3041×24962
40
≈ 0,892
A l’aide de la table de la loi de Fisher-Snedecor, on aP(F ≤ 1,74) = 0,95 où F ∼ F(30,40).0,892 < 1,74 donc on ne rejette pas H0.
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Tests paramétriquesTests de comparaison
Un exemple : comparaison des moyennes du chiffred’affaire de 2 réseaux d’entreprises
On suppose donc l’égalité des variances H0 et on testemaintenant l’hypothèse H ′0 : µA = µB.
On calcule T = XA−XB√(nASA
nA2+nBSB
nB2)( 1
nA+ 1
nB)
√nA + nB − 2,
On trouveT ≈ −0,00024
A l’aide de la table de la loi de Student, on aP(|S| ≤ 1,99) = 0,95 où S ∼ Student(70)(nA + nB − 2 = 70.)−0,00024 ∈ [−1,99; 1,99] donc on ne rejette pas H ′0.
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On suppose donc l’égalité des variances H0 et on testemaintenant l’hypothèse H ′0 : µA = µB.
On calcule T = XA−XB√(nASA
nA2+nBSB
nB2)( 1
nA+ 1
nB)
√nA + nB − 2,
On trouveT ≈ −0,00024
A l’aide de la table de la loi de Student, on aP(|S| ≤ 1,99) = 0,95 où S ∼ Student(70)(nA + nB − 2 = 70.)−0,00024 ∈ [−1,99; 1,99] donc on ne rejette pas H ′0.
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Tests paramétriquesTests de comparaison
Un exemple : comparaison des moyennes du chiffred’affaire de 2 réseaux d’entreprises
On suppose donc l’égalité des variances H0 et on testemaintenant l’hypothèse H ′0 : µA = µB.
On calcule T = XA−XB√(nASA
nA2+nBSB
nB2)( 1
nA+ 1
nB)
√nA + nB − 2,
On trouveT ≈ −0,00024
A l’aide de la table de la loi de Student, on aP(|S| ≤ 1,99) = 0,95 où S ∼ Student(70)(nA + nB − 2 = 70.)−0,00024 ∈ [−1,99; 1,99] donc on ne rejette pas H ′0.
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Un exemple : comparaison des moyennes du chiffred’affaire de 2 réseaux d’entreprises
On suppose donc l’égalité des variances H0 et on testemaintenant l’hypothèse H ′0 : µA = µB.
On calcule T = XA−XB√(nASA
nA2+nBSB
nB2)( 1
nA+ 1
nB)
√nA + nB − 2,
On trouveT ≈ −0,00024
A l’aide de la table de la loi de Student, on aP(|S| ≤ 1,99) = 0,95 où S ∼ Student(70)(nA + nB − 2 = 70.)−0,00024 ∈ [−1,99; 1,99] donc on ne rejette pas H ′0.
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Tests paramétriquesTests de comparaison
Un exemple : comparaison des moyennes du chiffred’affaire de 2 réseaux d’entreprises
On suppose donc l’égalité des variances H0 et on testemaintenant l’hypothèse H ′0 : µA = µB.
On calcule T = XA−XB√(nASA
nA2+nBSB
nB2)( 1
nA+ 1
nB)
√nA + nB − 2,
On trouveT ≈ −0,00024
A l’aide de la table de la loi de Student, on aP(|S| ≤ 1,99) = 0,95 où S ∼ Student(70)(nA + nB − 2 = 70.)−0,00024 ∈ [−1,99; 1,99] donc on ne rejette pas H ′0.
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Tests paramétriquesTests de comparaison
Test de comparaisond’échantillons Gaussiens
appariés.
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Tests paramétriquesTests de comparaison
Appariement
On mesure deux caratères X et Y sur un même individu i .Les échantillons (Xi)i et (Yi)i sont dits appariés et nepeuvent plus être considérés comme indépendants.On veut (par ex) comparer µX et µY .En supposant les échantillons Gaussiens, on a alors la v.aZ := X − Y qui suit une N (µ;σ). (différence de deuxGaussiennes indépendantes)Faire un test de comparaison de µX et µY , revient donc àcomparer µ à 0. On se ramène donc à un test connu...
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Tests paramétriquesTests de comparaison
Appariement
On mesure deux caratères X et Y sur un même individu i .Les échantillons (Xi)i et (Yi)i sont dits appariés et nepeuvent plus être considérés comme indépendants.On veut (par ex) comparer µX et µY .En supposant les échantillons Gaussiens, on a alors la v.aZ := X − Y qui suit une N (µ;σ). (différence de deuxGaussiennes indépendantes)Faire un test de comparaison de µX et µY , revient donc àcomparer µ à 0. On se ramène donc à un test connu...
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Appariement
On mesure deux caratères X et Y sur un même individu i .Les échantillons (Xi)i et (Yi)i sont dits appariés et nepeuvent plus être considérés comme indépendants.On veut (par ex) comparer µX et µY .En supposant les échantillons Gaussiens, on a alors la v.aZ := X − Y qui suit une N (µ;σ). (différence de deuxGaussiennes indépendantes)Faire un test de comparaison de µX et µY , revient donc àcomparer µ à 0. On se ramène donc à un test connu...
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Appariement
On mesure deux caratères X et Y sur un même individu i .Les échantillons (Xi)i et (Yi)i sont dits appariés et nepeuvent plus être considérés comme indépendants.On veut (par ex) comparer µX et µY .En supposant les échantillons Gaussiens, on a alors la v.aZ := X − Y qui suit une N (µ;σ). (différence de deuxGaussiennes indépendantes)Faire un test de comparaison de µX et µY , revient donc àcomparer µ à 0. On se ramène donc à un test connu...
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On mesure deux caratères X et Y sur un même individu i .Les échantillons (Xi)i et (Yi)i sont dits appariés et nepeuvent plus être considérés comme indépendants.On veut (par ex) comparer µX et µY .En supposant les échantillons Gaussiens, on a alors la v.aZ := X − Y qui suit une N (µ;σ). (différence de deuxGaussiennes indépendantes)Faire un test de comparaison de µX et µY , revient donc àcomparer µ à 0. On se ramène donc à un test connu...
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On mesure deux caratères X et Y sur un même individu i .Les échantillons (Xi)i et (Yi)i sont dits appariés et nepeuvent plus être considérés comme indépendants.On veut (par ex) comparer µX et µY .En supposant les échantillons Gaussiens, on a alors la v.aZ := X − Y qui suit une N (µ;σ). (différence de deuxGaussiennes indépendantes)Faire un test de comparaison de µX et µY , revient donc àcomparer µ à 0. On se ramène donc à un test connu...
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Tests paramétriquesTests de comparaison
Exemple
Dans une entreprise, on veut comparer le temps de sommeild’une équipe en période de projet et en période normale. Pourcela, on demandé à 10 individus de l’équipe de donner leurtemps de sommeil durant les deux périodes. Les résultats sontconsignés dans le tableau suivant :
En projet 4,5 7 6 6 6 7 6 6 7 5Normal 6 8 7 7 6 7 8 7 7 7
Peut on considérer que les temps de sommeil sont identiquesdurant les deux périodes, au risque 5% ?On supposera que les temps de sommeil suivent des loisnormales.
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Exemple
Dans une entreprise, on veut comparer le temps de sommeild’une équipe en période de projet et en période normale. Pourcela, on demandé à 10 individus de l’équipe de donner leurtemps de sommeil durant les deux périodes. Les résultats sontconsignés dans le tableau suivant :
En projet 4,5 7 6 6 6 7 6 6 7 5Normal 6 8 7 7 6 7 8 7 7 7
Peut on considérer que les temps de sommeil sont identiquesdurant les deux périodes, au risque 5% ?On supposera que les temps de sommeil suivent des loisnormales.
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Tests paramétriquesTests de comparaison
Exemple
Soit X la v.a temps de sommeil en période de projet et Yen période normale.Soit Z = X − Y , on Z10 = −0,95h et S10 = 0,72hSous H0 := ”µX = µY ”, on sait que la v.a,
Tn−1 =
√n − 1Sn
(Zn) doit suit une loi de Student(n − 1)
(ici n = 10)Etant donné une marge d’erreur α = 5%, on déterminealors un certain tα à l’aide de la table de Student(9), telque P(|T9| ≤ tα) ≥ 0,95,on trouve tα = 2,262On a T9 ≈ −3,94 /∈ [−2,262; 2,262], donc on rejette H0.
Ainsi, on peut conclure que le personnel dortsignificativement moins en période de projet.
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Tests paramétriquesTests de comparaison
Exemple
Soit X la v.a temps de sommeil en période de projet et Yen période normale.Soit Z = X − Y , on Z10 = −0,95h et S10 = 0,72hSous H0 := ”µX = µY ”, on sait que la v.a,
Tn−1 =
√n − 1Sn
(Zn) doit suit une loi de Student(n − 1)
(ici n = 10)Etant donné une marge d’erreur α = 5%, on déterminealors un certain tα à l’aide de la table de Student(9), telque P(|T9| ≤ tα) ≥ 0,95,on trouve tα = 2,262On a T9 ≈ −3,94 /∈ [−2,262; 2,262], donc on rejette H0.
Ainsi, on peut conclure que le personnel dortsignificativement moins en période de projet.
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Exemple
Soit X la v.a temps de sommeil en période de projet et Yen période normale.Soit Z = X − Y , on Z10 = −0,95h et S10 = 0,72hSous H0 := ”µX = µY ”, on sait que la v.a,
Tn−1 =
√n − 1Sn
(Zn) doit suit une loi de Student(n − 1)
(ici n = 10)Etant donné une marge d’erreur α = 5%, on déterminealors un certain tα à l’aide de la table de Student(9), telque P(|T9| ≤ tα) ≥ 0,95,on trouve tα = 2,262On a T9 ≈ −3,94 /∈ [−2,262; 2,262], donc on rejette H0.
Ainsi, on peut conclure que le personnel dortsignificativement moins en période de projet.
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Exemple
Soit X la v.a temps de sommeil en période de projet et Yen période normale.Soit Z = X − Y , on Z10 = −0,95h et S10 = 0,72hSous H0 := ”µX = µY ”, on sait que la v.a,
Tn−1 =
√n − 1Sn
(Zn) doit suit une loi de Student(n − 1)
(ici n = 10)Etant donné une marge d’erreur α = 5%, on déterminealors un certain tα à l’aide de la table de Student(9), telque P(|T9| ≤ tα) ≥ 0,95,on trouve tα = 2,262On a T9 ≈ −3,94 /∈ [−2,262; 2,262], donc on rejette H0.
Ainsi, on peut conclure que le personnel dortsignificativement moins en période de projet.
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Exemple
Soit X la v.a temps de sommeil en période de projet et Yen période normale.Soit Z = X − Y , on Z10 = −0,95h et S10 = 0,72hSous H0 := ”µX = µY ”, on sait que la v.a,
Tn−1 =
√n − 1Sn
(Zn) doit suit une loi de Student(n − 1)
(ici n = 10)Etant donné une marge d’erreur α = 5%, on déterminealors un certain tα à l’aide de la table de Student(9), telque P(|T9| ≤ tα) ≥ 0,95,on trouve tα = 2,262On a T9 ≈ −3,94 /∈ [−2,262; 2,262], donc on rejette H0.
Ainsi, on peut conclure que le personnel dortsignificativement moins en période de projet.
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Exemple
Soit X la v.a temps de sommeil en période de projet et Yen période normale.Soit Z = X − Y , on Z10 = −0,95h et S10 = 0,72hSous H0 := ”µX = µY ”, on sait que la v.a,
Tn−1 =
√n − 1Sn
(Zn) doit suit une loi de Student(n − 1)
(ici n = 10)Etant donné une marge d’erreur α = 5%, on déterminealors un certain tα à l’aide de la table de Student(9), telque P(|T9| ≤ tα) ≥ 0,95,on trouve tα = 2,262On a T9 ≈ −3,94 /∈ [−2,262; 2,262], donc on rejette H0.
Ainsi, on peut conclure que le personnel dortsignificativement moins en période de projet.
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Exemple
Soit X la v.a temps de sommeil en période de projet et Yen période normale.Soit Z = X − Y , on Z10 = −0,95h et S10 = 0,72hSous H0 := ”µX = µY ”, on sait que la v.a,
Tn−1 =
√n − 1Sn
(Zn) doit suit une loi de Student(n − 1)
(ici n = 10)Etant donné une marge d’erreur α = 5%, on déterminealors un certain tα à l’aide de la table de Student(9), telque P(|T9| ≤ tα) ≥ 0,95,on trouve tα = 2,262On a T9 ≈ −3,94 /∈ [−2,262; 2,262], donc on rejette H0.
Ainsi, on peut conclure que le personnel dortsignificativement moins en période de projet.
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