contribution à l'étude numérique du comportement du béton...
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N° d’ordre 00 ISAL0084 Année 2000
THESE
Présentée devant
L’institut national des sciences appliquées de Lyon
Pour obtenir
LE GRADE DE DOCTEUR
Génie Civil: Sols, Matériaux, Structures, Physique du bâtimentÉcole doctorale MEGA
(Mécanique, Energétique, Génie Civil et Acoustique)
Par
Wahid NECHNECH
(Ingénieur d’Etat des Travaux Publics)(DEA de GénieCivil)
Contribution à l’étude numérique du comportement du béton
et des structures en béton armé soumises à des sollicitations
thermiques et mécaniques couplées :
Une approche thermo-élasto-plastique endommageable
Soutenue le 14 Décembre 2000 devant la commission d’examen
Jury MM.
A. Millard RapporteurG. Pijaudier-Cabot RapporteurS. Andrieux ExaminateurG. Heinfling ExaminateurB. Schrefler ExaminateurF. Sidoroff ExaminateurF. Meftah Directeur de thèseJ.M. Reynouard Directeur de thèse
-2-
FEVRIER 2000
INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON
Directeur : J. ROCHAT
Professeurs :AUDISIO S. PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLEBABOUX J.C. GEMPPM*BALLAND B. PHYSIQUE DE LA MATIEREBARBIER D. PHYSIQUE DE LA MATIEREBASTIDE J.P. THERMODYNAMIQUE APPLIQUEEBAYADA G. MODELISATION MATHEMATIQUE ET CALCUL SCIENTIFIQUEBERGER C. (Melle) PHYSIQUE DE LA MATIEREBETEMPS M. AUTOMATIQUE INDUSTRIELLEBLANCHARD J.M. LAEPSI***BOISSON C. VIBRATIONS-ACOUSTIQUEBOIVIN M. MECANIQUE DES SOLIDESBOTTA H. Equipe DEVELOPPEMENT URBAINBOTTA-ZIMMERMANN M. (Mme) Equipe DEVELOPPEMENT URBAINBOULAYE G. (Prof. émérite) INFORMATIQUEBRAU J. CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Thermique du bâtimentBRISSAU M. GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITEBRUNET M. MECANIQUE DES SOLIDESBRUNIE L. INGENIERIE DES SYSTEMES D’INFORMATIONBUREAU J.C. THERMODYNAMIQUE APPLIQUEECAVAILLE J.Y. GEMPPM*CHANTE J.P. CEGELY**** - Composants de puissance et applicationsCHOCAT B. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Hydrologie urbaineCOUSIN M. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - StructuresDOUTHEAU A. CHIMIE ORGANIQUEDUFOUR R. MECANIQUE DES STRUCTURESDUPUY J.C. PHYSIQUE DE LA MATIEREEMPTOZ H. RECONNAISSANCE DES FORMES ET VISIONESNOUF C. GEMPPM*EYRAUD L. (Prof. émérite) GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITEFANTOZZI G. GEMPPM*FAVREL J. PRISMa - PRoductique et Informatique des Systèmes ManufacturiersFAYARD J.M. BIOLOGIE APPLIQUEEFAYET M. MECANIQUE DES SOLIDESFERRARIS-BESSO G. MECANIQUE DES STRUCTURESFLAMAND L. MECANIQUE DES CONTACTSFLEISCHMANN P. GEMPPM*FLORY A. INGENIERIE DES SYSTEMES D’INFORMATIONFOUGERES R. GEMPPM*FOUQUET F. GEMPPM*FRECON L. INFORMATIQUEGERARD J.F. MATERIAUX MACROMOLECULAIRESGIMENEZ G. CREATIS**GONNARD P. GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITEGONTRAND M. CEGELY**** - Composants de puissance et applicationsGOUTTE R. (Prof. émérite) CREATIS**GRANGE G. GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITEGUENIN G. GEMPPM*GUICHARDANT M. BIOCHIMIE ET PHARMACOLOGIEGUILLOT G. PHYSIQUE DE LA MATIEREGUINET A. PRISMa - PRoductique et Informatique des Systèmes ManufacturiersGUYADER J.L. VIBRATIONS-ACOUSTIQUEGUYOMAR D. GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITEJACQUET RICHARDET G. MECANIQUE DES STRUCTURESJOLION J.M. RECONNAISSANCE DES FORMES ET VISIONJULLIEN J.F. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - StructuresJUTARD A. AUTOMATIQUE INDUSTRIELLEKASTNER R. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - GéotechniqueKOULOUMDJIAN J. INGENIERIE DES SYSTEMES D’INFORMATIONLAGARDE M. BIOCHIMIE ET PHARMACOLOGIELALANNE M. (Prof. émérite) MECANIQUE DES STRUCTURESLALLEMAND A. CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Energétique et thermiqueLALLEMAND M. (Mme) CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Energétique et thermiqueLAREAL P. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - GéotechniqueLAUGIER A. PHYSIQUE DE LA MATIERELAUGIER C. BIOCHIMIE ET PHARMACOLOGIE
-3-
FEVRIER 2000
LEJEUNE P. GENETIQUE MOLECULAIRE DES MICROORGANISMESLUBRECHT A. MECANIQUE DES CONTACTSMARTINEZ Y. INGENIERIE INFORMATIQUE INDUSTRIELLEMAZILLE H. PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLEMERLE P. GEMPPM*MERLIN J. GEMPPM*MILLET J.P. PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLEMIRAMOND M. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Hydrologie urbaineMOREL R. MECANIQUE DES FLUIDESMOSZKOWICZ P. LAEPSI***NARDON P. (Prof. émérite) BIOLOGIE APPLIQUEENAVARRO A. LAEPSI***NOURI A. (Mme) MODELISATION MATHEMATIQUE ET CALCUL SCIENTIFIQUEODET C. CREATIS**OTTERBEIN M. (Prof. émérite) LAEPSI***PASCAULT J.P. MATERIAUX MACROMOLECULAIRESPAVIC G. VIBRATIONS-ACOUSTIQUEPELLETIER J.M. GEMPPM*PERA J. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - MatériauxPERACHON G. THERMODYNAMIQUE APPLIQUEEPERRIAT P. GEMPPM*J. PERRIN J. ESCHIL – Equipe SCiences Humaines de l’Insa de LyonPINARD P. (Prof. émérite) PHYSIQUE DE LA MATIEREPINON J.M. INGENIERIE DES SYSTEMES D’INFORMATIONPLAY D. CONCEPTION ET ANALYSE DES SYSTEMES MECANIQUESPOUSIN J. MODELISATION MATHEMATIQUE ET CALCUL SCIENTIFIQUEPREVOT P. GRACIMP – Groupe de Recherche en Apprentissage, Coopération et Interfaces
Multimodales pour la ProductiquePROST R. CREATIS**RAYNAUD M. CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Transferts Interfaces et MatériauxREDARCE H. AUTOMATIQUE INDUSTRIELLEREYNOUARD J.M. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - StructuresRIGAL J.F. CONCEPTION ET ANALYSE DES SYSTEMES MECANIQUESRIEUTORD E. (Prof. émérite) MECANIQUE DES FLUIDESROBERT-BAUDOUY J. (Mme) (Prof. émérite) GENETIQUE MOLECULAIRE DES MICROORGANISMESROUBY D. GEMPPM*ROUX J.J. CENTRE DE THERMIQUE DE LYONRUBEL P. INGENIERIE DES SYSTEMES D’INFORMATIONRUMELHART C. MECANIQUE DES SOLIDESSACADURA J.F. CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Transferts Interfaces et MatériauxSAUTEREAU H. MATERIAUX MACROMOLECULAIRESSCAVARDA S. AUTOMATIQUE INDUSTRIELLETHOMASSET D. AUTOMATIQUE INDUSTRIELLETROCCAZ M. GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITEUNTERREINER R. CREATIS**VELEX P. MECANIQUE DES CONTACTSVIGIER G. GEMPPM*VINCENT A. GEMPPM*VUILLERMOZ P.L. (Prof. émérite) PHYSIQUE DE LA MATIERE
Directeurs de recherche C.N.R.S. :Y. BERTHIER MECANIQUE DES CONTACTSN. COTTE-PATAT (Mme) UNITE MICROBIOLOGIE ET GENETIQUEP. FRANCIOSI GEMPPM*M.A. MANDRAND (Mme) UNITE MICROBIOLOGIE ET GENETIQUEJ.F. QUINSON GEMPPM*A. ROCHE MATERIAUX MACROMOLECULAIRESA. SEGUELA GEMPPM*
Directeurs de recherche I.N.R.A. :G. FEBVAY BIOLOGIE APPLIQUEES. GRENIER BIOLOGIE APPLIQUEE
Directeurs de recherche I.N.S.E.R.M. :A-F. PRIGENT (Mme) BIOLOGIE ET PHARMACOLOGIEI. MAGNIN (Mme) CREATIS**
* GEMPPM GROUPE D'ETUDE METALLURGIE PHYSIQUE ET PHYSIQUE DES MATERIAUX** CREATIS CENTRE DE RECHERCHE ET D’APPLICATIONS EN TRAITEMENT DE L’IMAGE ET DU SIGNAL*** LAEPSI LABORATOIRE D’ANALYSE ENVIRONNEMENTALE DES PROCEDES ET SYSTEMES INDUSTRIELS**** CEGELY CENTRE DE GENIE ELECTRIQUE DE LYON
INSA DE LYONDPARTEMENT DES ETUDES DOCTORALESSEPTEMBRE 2000
ECOLES DOCTORALES ET DIPLOMES D’ETUDES APPROFONDIES HABILITES POUR LA PERIODE 1999-2003
ECOLES DOCTORALESN° code national
RESPONSABLEPRINCIPAL
CORRESPONDANTINSA
DEA INSAN° code national
RESPONSABLEDEA INSA
CHIMIE DE LYON(Chimie, Procédés, Environnement)
EDA206
M.D. SINOUUCBL104.72.44.62.63sec. 04.72.44.62.64Fax 04.72.44.81.60
M.P. MOSZKOWICZ83.45Sec. 84.30Fax. 87.17
Chimie Inorganique 910643Sciences et Stratégies Analytiques 910634Sciences et Techniques du Déchet 910675
M.J.F.QUINSONTél 83.51 Fax 85.28
M. P.MOSZKOWICZTél. 83.45 Fax 87.17
ECONOMIE ESPACE ET MODELISATION DESCOMPORTEMENTS
(E2MC)
EDA417
M A.BONNAFOUSLYON 204.72.72.64.38Sec 04.72.72.64.03Fax 04.72.72.64.48
Mme M.ZIMMERMANN84.71Fax 87.96
Ville et Sociétés 911218
Dimensions Cognitives et Modélisation 992678
Mme M.ZIMMERMANNTél. 84.71 Fax 87.96
M. L.FRECONTél. 82.39 Fax 85.18
ELECTRONIQUE,ELECTROTECHNIQUE,
AUTOMATIQUE
(E.E.A.)
EDA160
M. G.GIMENEZINSA de LYON83.32Fax 85.26.
Automatique Industrielle 910676Dispositifs de l’Electronique Intégrée 910696Génie Electrique de Lyon 910065Images et Systèmes 992254
M. M. BETEMPSTél. 85.59 Fax 85.35M. D.BARBIERTél. 85.47 Fax 60.81M. J.P.CHANTETél. 87.26 Fax 85.30Mme I.MAGNINTél. 85.63 Fax 85.26
EVOLUTION, ECOSYSTEME,MICROBIOLOGIE, MODELISATION
(E2M2)
EDA403
M. J.P.FLANDROISUCBL104.78.86.31.50Sec 04.78.86.31.52Fax 04.78.86.31.49
M. S.GRENIER79.88Fax 85.34
Analyse et Modélisation des SystèmesBiologiques 910509
M. S.GRENIERTél. 79.88 Fax 85.34
INFORMATIQUE ET INFORMATIONPOUR LA SOCIETE
EDA 407
M. J.M.JOLIONINSA de LYON87.59Fax 80.97
Documents Multimédia, Images et SystèmesD’Information Communicants 910509Extraction des Connaissances à partir desDonnées 992099Informatique et Systèmes coopératifs pourl’Entreprise 950131
M. A.FLORYTél. 84.66 Fax 85.97
M. J.F.BOULICAUTTél. 89.05 Fax 87.13
M. A.GUINETTél. 85.94 Fax 85.38
INTERDISCIPLINAIRE SCIENCES-SANTE
(EDISS)
EDA205
M. A.J.COZZONEUCBL104.72.72.26.72Sec 04.72.72.26.75Fax 04.72.72.26.01
M. M.LAGARDE82.40Fax 85.24
Biochimie 930032
M. M.LAGARDETél. 82.40 Fax 85.24
MATERIAUX DE LYON
UNIVERSITE LYON 1
EDA 034
M. J.JOSEPHECL04.72.18.62.44Sec 04.72.18.62.51Fax 04.72.18.60.90
M. J.M.PELLETIER83.18Fax 85.28
Génie des Matériaux : Microstructure,Comportement Mécanique, Durabilité 910527Matériaux Polymères et Composites 910607Matière Condensée, Surfaces et Interfaces 910577
M. J.M.PELLETIERTél. 83.18 Fax 85.28
M. H.SAUTEREAUTél. 81.78 Fax 85.27M. G.GUILLOTTél. 81.61 Fax 85.31
MATHEMATIQUES ETINFORMATION FONDAMENTALE
(Math IF)
EDA 409
M. NICOLASUCBL104.72.44.83.11Fax 04.72.43.00.35
M. J.POUSIN88.36Fax 85.29
Analyse Numérique, Equations aux dérivéespartielles et Calcul Scientifique 910281
M. G.BAYADATél. 83.12 Fax 85.29
MECANIQUE, ENERGETIQUE, GENIE CIVIL,ACOUSTIQUE
(MEGA)
EDA162
M. J.BATAILLEECL04.72.18.61.56Sec 04.72.18.61.60Fax 04.78.64.71.45
M. M.MIRAMOND82.16Fax 87.10
Acoustique 910016Génie Civil 992610Génie Mécanique 992111
Thermique et Energétique 910018
M. J.L.GUYADERTél. 80.80 Fax 87.12M. M.MIRAMONDTél. 82.16 Fax 87.10M. G.DALMAZTél. 83.03Fax 04.78.89.09.80Mme M.LALLEMANDTél. 81.54 Fax 60.10
En grisé : Les Ecoles doctorales et DEA dont l’INSA est établissement principal
-5-
à mes parentsà mes sœurs et frères
à tous ceux qui me sont chers
-6-
AVANT PROPOS
Arrivé au bout de ce travail, effectué au sein du laboratoire URGC-Structures de l’InstitutNational des Sciences Appliquées de Lyon, je tiens à exprimer ma sincère reconnaissance àl’ensemble des personnes qui m’ont permis de le mener à terme.
Je tiens à remercie tout d’abord, Jean-Marie Reynouard, Professeur à l’INSA de Lyon et FekriMeftah, Maître de conférence à l’Université de Marne La Vallée de m’avoir encadréconjointement et d’avoir pu bénéficier aussi bien de leurs conseils et compétencesscientifiques que leurs qualités humaines. Je tiens d’autre part à remercier de nouveauProfesseur Jean Marie Reynouard, pour son soutien incessant aussi bien moral que matériel.
Messieurs les professeurs Alain Millard et Gilles Pijaudier-Cabot ont accepté la lourde tâched’être rapporteurs de ce travail. Leurs conseils et remarques intéressants m’ont permisd’améliorer significativement ce mémoire. Je souhaite qu’ils trouvent ici l’assurance de magratitude.
Je suis très sensible à la confiance que m’a accordé Monsieur François Sidoroff, Professeur àl’Ecole Centrale de Lyon en acceptant de faire parti de mon jury. Je lui dois, en effet, mespremiers pas dans le domaine de la modélisation de l’endommagement, qu’il en soitsincèrement remercie.
J’adresse également mes remerciements à Stéphane Andrieux, Docteur d’Université et adjointau chef du département Modélisation Mathématique et Numérique d’E.D.F., à GrégoryHeinfling, Docteur de l’INSA de Lyon et Ingénieur au Service Mécanique et Technologie desComposants d’E.D.F. et à Bernard Schrefler, Professeur à l’université Deglistudi Di Padova,d’avoir consacré leur temps précieux à examiner mon travail.
Mes remerciements s’adressent également à tous les membres et collègues du laboratoire pourles discutions fructueuses et particulièrement au Dr. Ali Limam, au Dr. Jean-François Georginet au Dr. Omar Merabet, Maîtres de Conférences à l’INSA de Lyon.
Que mes collègues de bureau trouvent ici toute ma reconnaissance pour ces trois annéespassées en leurs compagnies. Que l’avenir leur permette de réaliser leurs projets.
Je remercie enfin toutes les personnes qui ont contribué de manière directe ou indirecte à cetravail. Mes sincères remerciements à Madame Nicole Bouaouni, secrétaire de la formationdoctorale et à Madame Bernadette Escalier pour leur efficacité et leur patience. Je souhaiteenfin exprimer ma gratitude envers l’ensemble de mes collègues enseignants, chercheurs, ettechniciens du laboratoire et du département Génie Civil et Urbanisme de l’INSA de Lyon.
-7-
RESUME
Le but de cette recherche consiste en l’élaboration d’un modèle Eléments Finis pour l’analyse
des structures en béton armé sous sollicitations thermiques et mécaniques combinées.
Une synthèse des résultats disponibles sur le comportement du béton sous sollicitations
thermiques et mécaniques est exposée. Les différents comportements du béton qui peuvent
être rencontrés et notamment en analyse thermo-mécanique sont soulignés (Endommagement,
phénomène unilatéral, interaction thermo-mécanique,…). Les diverses familles de
modélisation sont par la suite analysées en soulignant les aspects importants du comportement
que chacune peut reproduire.
Un nouveau modèle thermo-plastique endommageable est alors développé, permettant de
rendre compte des divers phénomènes recensés lors de la synthèse. Ce modèle est construit
dans le cadre de la thermodynamique des processus irréversibles et plus particulièrement sur
la thermo-plasticité couplée à l’endommagement. Un couplage entre le niveau d’écrouissage
atteint et l’endommagement est proposé. Deux variables d’endommagement scalaires y sont
introduites. Une première variable permet la modélisation des effets du chargement
mécanique et la seconde sert à représenter les effets du chargement thermique. Les relations
constitutives de la réponse thermo-élasto-plastique sont découplées de celles de la réponse
endommagée en utilisant le concept de la contrainte effective. Cette méthode confère une
souplesse dans l’implémentation numérique. En complément à ces développements, un
procédé simple est mis en place pour la gestion de la refermeture des fissures lors d’un
chargement cyclique. Un critère de plasticité, adapté à la description des surfaces de rupture
du béton sous hautes température, est alors repris et enrichi pour une meilleure modélisation
du béton.
Ce modèle est mis en œuvre dans l’analyse du comportement de spécimens en béton et de
structures en béton armé soumis à des sollicitations thermo-mécaniques cycliques à hautes
températures.
-8-
ABSTRACT
The aim of this research is the development of an Finite Element model for the analysis of
reinforced concrete structures under thermal, mechanical loadings or any combination of
them.
An available synthesis of results on the concrete behavior under thermal solicitation is
exposed. The different behavior of concrete that can be founded notably in thermo-
mechanical analysis (Damage, unilateral phenomenon, thermo-mechanical interaction,…) are
underlined. The various families of modeling are analyzed thereafter while underlining the
important aspects of the behavior that each one can retranscribe.
A new thermo-plastic damage model for plain concrete subjected to combined thermal and
cyclic loading is developed using the concept of plastic-work-hardening and stiffness
degradation in continuum damage mechanics. Two damage variables are used: the first one
for mechanical action and the second one for thermal action. Further, thermo-mechanical
interaction strains have been introduced to describe the influence of mechanical loading on
the physical process of thermal expansion of concrete. The constitutive relations for
elastoplastic responses are decoupled from the degradation damage responses by using the
effective stress concept. This method provides advantages in the numerical implementation.
A simple and thermodynamically consistent scalar degradation model is introduced to
simulate the effect of damage on elastic stiffness and its recovery during crack opening and
closing. Efficient computational algorithms for the proposed model are subsequently explored
and performance of this model is demonstrated with numerical examples.
Sommaire
-9-
TABLE DES MATIERES
INTRODUCTION GENERALE.......................................................................................................... .............. 12
I. ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE
I-1 INTRODUCTION...................................................................................................................................... 17
I-2 COMPOSITION DU BETON................................................................................................................... 18
I-3 COMPORTEMENT MECANIQUE DU BETON A TEMPERATURE AMBIANTE........................ 20
I-3.1 COMPORTEMENT EN COMPRESSION.................................................................................................... 20
I-3.2 COMPORTEMENT EN TRACTION........................................................................................................... 23
I-3.3 COMPORTEMENT CYCLIQUE TRACTION-COMPRESSION........................................................................ 25
I-3.4 CONCLUSION DE LA PARTIE MECANIQUE............................................................................................. 26
I-4 REVUE DES TRAVAUX EXPERIMENTAUX REALISES SUR LA TENUE AU FEU DES
BETONS............................................................................................................................................................... 26
I-4.1 EFFETS DES HAUTES TEMPERATURES SUR LA MICROSTRUCTURE DU BETON........................................ 27
I-4.1.1 Déshydratation et modifications physico-chimiques du béton....................................................... 27
I-4.1.2 Micro-fissuration et dégradation de l'interface pâte-granulats..................................................... 28
I-4.1.3 Evolution de la porosité................................................................................................................. 28
I-4.1.4 Modification de l'état hydrique...................................................................................................... 29
I-4.2 EVOLUTION DES PROPRIETES THERMIQUES DU BETON AVEC LA TEMPERATURE.................................. 30
I-4.2.1 Conductivité thermique.................................................................................................................. 30
I-4.2.2 Chaleur spécifique......................................................................................................................... 31
I-4.2.3 Diffusivité thermique ..................................................................................................................... 32
I-4.3 EVOLUTION DES PROPRIETES MECANIQUES DU BETON AVEC LA TEMPERATURE.................................. 33
I-4.3.1 Module d'élasticité à hautes températures .................................................................................... 33
I-4.3.2 Résistance en compression à hautes températures ........................................................................ 34
I-4.3.3 Résistance en traction à hautes températures ............................................................................... 35
I-4.3.4 Effets des hautes températures sur l’énergie de fissuration du béton ........................................... 36
I-4.4 COMPORTEMENT MECANIQUE DU BETON A HAUTES TEMPERATURES.................................................. 36
I-4.4.1 Comportement du béton en compression à hautes températures................................................... 37
I-4.4.2 Comportement du béton en traction à hautes températures .......................................................... 39
I-4.5 DEFORMATION THERMIQUE DU BETON A HAUTES TEMPERATURES...................................................... 39
Sommaire
-10-
I-4.5.1 Déformation thermique libre ......................................................................................................... 40
I-4.5.2 Déformation du fluage thermique transitoire ................................................................................ 40
I-4.5.3 Influence des chemins de sollicitations.......................................................................................... 42
I-4.6 CONCLUSION DE LA PATRIE THERMIQUE............................................................................................. 43
I-5 CADRE THEORIQUE DE LA MODELISATION DU BETON .......................................................... 44
I-5.1 MODELES ELASTOPLASTIQUES POUR LE BETON................................................................................... 44
I-5.1.1 Formulation générale – lois d’états............................................................................................... 45
I-5.1.2 Critère de plasticité et règle d’écoulement.................................................................................... 46
I-5.2 MODELES D’ENDOMMAGEMENT POUR LE BETON................................................................................ 49
I-5.2.1 Formulation des modèles d’endommagement ............................................................................... 50
I-5.2.2 Effet de fermeture des microfissures : Comportement unilatéral .................................................. 52
I-5.3 COUPLAGE ENDOMMAGEMENT ET PLASTICITE.................................................................................... 55
I-5.4 EXTENSION POUR LA THERMIQUE........................................................................................................ 58
I-5.4.1 Approche par la théorie de la plasticité ........................................................................................ 58
I-5.4.2 Approche par la théorie de l’endommagement..............................................................................59
I-5.4.3 Modélisation de la déformation d’interaction thermo-mécanique ................................................ 60
I-5.5 PROBLEME DE LOCALISATION DES DEFORMATIONS............................................................................. 63
I-5.6 CONCLUSION DE LA PARTIE MODELISATION........................................................................................ 67
I-7 CONCLUSION .......................................................................................................................................... 69
II. FORMULATION DU MODELE
II-1 INTRODUCTION......................................................................................................................................71
II-2 ELABORATION D’UN MODELE D’ENDOMMAGEMENT-PLASTICITE COUPLES ................72
II-2.1 FORMULATION DU MODELE.................................................................................................................73
II-2.2 EVOLUTION DE L’ENDOMMAGEMENT..................................................................................................75
II-2.2.1 Variable d’endommagement mécanique...................................................................................76
II-2.2.2 Variable d’endommagement thermique ....................................................................................78
II-2.3 COUPLAGE ENTRE PLASTICITE ET ENDOMMAGEMENT.........................................................................79
II-2.4 CRITERE DE PLASTICITE – POTENTIEL PLASTIQUE...............................................................................80
II-2.5 LOIS DE COMPORTEMENT DU BETON A HAUTES TEMPERATURES.........................................................84
II-2.5.1 Identification des paramètres du modèle ..................................................................................86
II-2.5.2 Influence des paramètres du modèle.........................................................................................95
II-2.5.3 Bilans ........................................................................................................................................97
II-3 INTEGRATION DU MODELE DANS UN CODE DE CALCUL ELEMENT FINIS......................103
II-3.1 DESCRIPTION DU PROBLEME THERMO-MECANIQUE...........................................................................103
II-3.2 RESOLUTIONS NUMERIQUES DU PROBLEME THERMIQUE...................................................................105
Sommaire
-11-
II-3.3 RESOLUTION NUMERIQUE DU PROBLEME MECANIQUE.......................................................................108
II-3.4 INTEGRATION DES EQUATIONS CONSTITUTIVES DU MODELE.............................................................110
II-3.4.1 Algorithme de retour radial ....................................................................................................114
II-3.4.2 Schéma itératifs de résolution utilisés.....................................................................................123
II-3.4.3 Construction de l’opérateur tangent pour le modèle proposé ................................................127
II-3.4.4 Tableaux récapitulatifs ...........................................................................................................130
II-4 CONCLUSION ........................................................................................................................................134
III. VALIDATIONS ET SIMULATIONS NUMERIQUES
III-1 INTRODUCTION.................................................................................................................................... 137
III-2 APPLICATIONS A L’ANALYSE DU COMPORTEMENT DE SPECIMENS EN BETON........... 138
III-2.1 SIMULATION DES ESSAIS SOUS CHARGEMENTS MONOTONES............................................................. 138
III-2.2 SIMULATION DES ESSAIS SOUS CHARGEMENTS CYCLIQUES............................................................... 142
III-2.3 SIMULATION DES ESSAIS MONOTONES A HAUTES TEMPERATURES..................................................... 146
III-2.4 SIMULATION DES ESSAIS THERMO-MECANIQUES (EFFET DE L’ INTERACTION).................................... 151
III-3 APPLICATIONS A L’ANALYSE DE STRUCTURES EN BETON ET BETON ARME................ 156
III-3.1 SIMULATION D ’UN ESSAI DE FLEXION 4 POINTS................................................................................. 156
III-3.2 SIMULATION DE LA BOITE DE CISAILLEMENT..................................................................................... 161
III-3.2.1 Trajet 1 ........................................................................................................................................ 162
III-3.2.2 Trajet 2 ........................................................................................................................................ 162
III-3.3 SIMULATION D ’UN ESSAI DE RÉSISTANCE AU FEU.............................................................................. 164
III-4 CONCLUSION ........................................................................................................................................ 174
CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES .......................................................................................................... 176
REFERENCES ................................................................................................................................................. 181
ANNEXES
A : ANNOTATIONS ......................................................................................................................................... 193
B : METHODE DE REGULARISATION (HILLERBORG 1976) .............................................................. 195
C : FORMULATION THERMODYNAMIQUE............................................................................................ 200
D : EXTENSION AU VISCO-ENDOMMAGEMENT .................................................................................. 204
Introduction
-12-
INTRODUCTION GENERALE
Les installations à risque (centrales nucléaires, usines pétrochimiques et tunnel) peuvent être
le siège de sollicitations variées tant mécaniques (charge d’exploitation, séisme) que
thermiques (incendie). La rupture accidentelle de ces constructions engendre des désordres
majeurs sur des aspects aussi divers que les pertes humaines, l’environnement et l’économie
d’une région. Il est donc primordial de pouvoir estimer et prédire la tenue de ces installations.
Les outils développés à cet effet se doivent d’être les plus prédictifs possibles. La
modélisation doit intégrer un maximum d’informations tant sur la structure que sur le
comportement des matériaux. Ainsi, il est nécessaire dans le cas de ces installations, d’être
capable de rendre compte d’une part des effets de dégradations thermiques causés par le
processus du chauffage (endommagement et décohésion thermique) et d’autre part, des effets
de la dégradation mécanique au cours des cycles de chargement. En effet, la perte de la
capacité portante dans le cas des structures en béton armé peut être attribuée aux effets
mécaniques (déformation imposée, charge variable appliquée et effets de fatigue) ou encore
aux effets thermiques et leurs interactions avec la mécanique (déformation thermique, fluage
transitoire).
Dans ce contexte, ce travail a pour objectif le développement d’un outil numérique permettant
l’évaluation de la capacité portante ainsi que l’endommagement macroscopique de structures
en béton armé soumises à des sollicitations thermiques et mécaniques couplées.
Ce mémoire s’articule sur trois chapitres. La première partie se veut générale et introductive,
elle a pour but principal de situer les étapes des travaux dans leur environnement. Cependant,
elle n’est en rien un recensement exhaustif de la bibliographie. Nous pourrons à cet effet,
retrouver tout au long du mémoire des paragraphes restituant de manière spécifique, dans leur
contexte scientifique et chronologique, les développements réalisés. Ainsi, dans un premier
temps, nous nous proposons de décrire la réponse non linéaire du béton sous différentes
sollicitations thermiques et mécaniques. L’étude bibliographique des résultats expérimentaux
Introduction
-13-
sur éprouvettes permettra de mettre en évidence les différents comportements du béton qui
peuvent être rencontrés et notamment en analyse thermo-mécanique (Endommagement,
phénomène unilatéral, interaction thermo-mécanique,…). Les diverses familles de
modélisation des matériaux fragiles tels que le béton sont ensuite analysées en soulignant les
aspects importants du comportement que chacune peut retranscrire. Par la suite, nous nous
intéressons plus particulièrement à deux classes de modélisation : l’approche par la théorie de
la plasticité et celle par la théorie de l’endommagement. Ainsi, il se dégagera le besoin
d’adopter une approche élasto-plastique endommageable dans laquelle les deux types de
modélisations seront couplés pour mieux intégrer les différentes observations expérimentales
liées au comportement du béton depuis la température ambiante jusqu’à de hautes
températures.
Le développement d’un nouveau modèle de comportement de structures en béton et béton
armé sous sollicitations thermo-mécaniques est alors présenté dans le deuxième chapitre.
Celui-ci est construit dans le cadre de la thermodynamique des processus irréversibles et plus
particulièrement sur la thermo-plasticité couplée à l’endommagement, outil efficace dans la
représentation continue des phénomènes de ruptures cohésives et frottantes.
Un couplage entre le niveau d’écrouissage atteint et l’endommagement est proposé. Deux
variables d’endommagements scalaires y sont introduites. Une première variable permet la
modélisation des effets de dégradation du matériau dus au chargement mécanique. La seconde
sert à représenter les effets du chargement thermique. Pour tenir compte de la dissymétrie du
comportement du matériau béton en traction et en compression, la variable
d’endommagement mécanique est subdivisée en deux parties ; une première partie pour
modéliser les chargements de traction et la seconde partie pour ceux de compression. Les
relations constitutives de la réponse thermo-elasto-plastique sont découplées de celles de la
réponse endommagée en utilisant le concept de la contrainte effective. Cette méthode confère
une souplesse dans l’implémentation numérique.
Le modèle élaboré prend en compte les variations irréversibles des caractéristiques
thermiques et ainsi que l’influence du chargement mécanique sur le processus de déformation
thermique. Ce phénomène a été bien étudié par Anderberg & Thelandersson (1976) et
Schneider (1985). Il est décrit sous le terme d’interaction thermo-mécanique ou fluage
thermique transitoire et se traduit par une forte dépendance de la réponse du béton à
Introduction
-14-
l’histoire des chargements thermiques et mécaniques combinés. Sa description ne peut être
réalisée de façon classique par une déformation thermique volumique uniquement fonction de
la température. Parmi les approches proposées pour la modélisation de ces déformations, nous
orientons notre choix vers la formulation proposée par Thelandersson (1987) qui permet de
représenter de façon correcte la phénoménologie de la déformation thermique du béton sous
chargements thermiques et mécaniques combinés avec un nombre limité de paramètres
identifiables expérimentalement. Un nouveau schéma d’intégration implicite est alors
formulé intégrant le terme de fluage thermique transitoire.
De plus, lors de chargements cycliques, il est nécessaire de prendre en considération l’effet
unilatéral. Ce phénomène s’observe lors du passage d’une sollicitation de traction à une
sollicitation de compression par une augmentation de la raideur dû à la fermeture de fissures.
Dans notre modélisation, la fermeture de fissures se manifeste au changement de signe de
contrainte par la modification de l’endommagement de traction ; ce dernier est multiplie par
un terme prenant en compte cet effet.
L’utilisation d’un modèle multi-critères de plasticité à écrouissage isotrope, adapté aux
matériaux dilatants sous chargements thermo-mécaniques, permet de gérer convenablement
les évolutions des déformations plastiques ainsi que l’endommagement résultant. En ce qui
concerne les écoulements plastiques, une loi associée d’écoulement est utilisée en traction,
par contre une loi non-associée est utilisée en compression pour tenir compte du
comportement dilatant du matériau béton (Chen 1982).
Le problème de la localisation des déformations n’est que partiellement traité en utilisant une
énergie de fissuration dépendante d’une longueur caractéristique, liée à la taille des éléments
(concept de Hillerborg 1976). Cette formulation prend également en compte la dépendance
des caractéristiques de la mécanique de la rupture du béton vis à vis de la température.
En l’absence de données expérimentales précises sur l’effet du processus de déformation et
d’endommagement sur la propagation de la chaleur dans le béton, une approche thermo-
mécanique découplée est généralement adoptée. Ce type d’approche, envisagée par différents
auteurs, a montré son efficacité pour l’analyse de structure en situation d’incendie. Les
paramètres majeurs identifiés dans ce cadre sont alors la dégradation irréversible des
caractéristiques thermiques et mécaniques du béton avec la température, et l’influence du
Introduction
-15-
chargement mécanique sur le processus de déformation thermique de ce matériau. Cette
approche est utilisée ici pour la résolution numérique du problème thermo-mécanique.
Dans le troisième et dernier chapitre, le modèle de comportement est testé et validé par
différentes simulations numériques. Les premières simulations se rapportent aux essais qui
ont permis de caler les paramètres du modèle ; ceci afin de tester l’implémentation numérique
et le domaine de validité du modèle. Une autre série de calcul est entamée par la suite, pour
vérifier la bonne prise en compte de divers phénomènes modélisés lors de l’élaboration du
modèle (Endommagement mécanique, endommagement thermique, décohesion thermique,
comportement unilatéral et phénomène d’interaction thermo-mécanique). Enfin, une dernière
série de calculs permettra de vérifier, dans le cas de structures plus complexes la validité du
modèle de comportement. Nous simulerons pour cela un essai de flexion quatre points, l’essai
de la boîte de cisaillement de Nooru-Mohamed (1992). Un essai de résistance au feu complète
ces validations.
Enfin, nous terminons ce manuscrit par une conclusion générale pour faire le point sur les
performances de ce modèle et définir les axes de développements permettant son amélioration
et son extension.
Chapitre I Etude bibliographique
-16-
CHAPITRE I
ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE
I-1 INTRODUCTION........................................................................................................................................ 1
I-2 COMPOSITION DU BETON................................................................................................................... 18
I-3 COMPORTEMENT MECANIQUE DU BETON A TEMPERATURE AMBIANTE........................ 19
I-3.1 COMPORTEMENT EN COMPRESSION.................................................................................................... 19
I-3.2 COMPORTEMENT EN TRACTION........................................................................................................... 23
I-3.3 COMPORTEMENT CYCLIQUE TRACTION-COMPRESSION........................................................................ 24
I-3.4 CONCLUSION DE LA PARTIE MECANIQUE............................................................................................. 25
I-4 REVUE DES TRAVAUX EXPERIMENTAUX REALISES SUR LA TENUE AU FEU DES
BETONS............................................................................................................................................................... 26
I-4.1 EFFETS DES HAUTES TEMPERATURES SUR LA MICROSTRUCTURE DU BETON........................................ 26
I-4.2 EVOLUTION DES PROPRIETES THERMIQUES DU BETON AVEC LA TEMPERATURE.................................. 29
I-4.3 EVOLUTION DES PROPRIETES MECANIQUES DU BETON AVEC LA TEMPERATURE.................................. 32
I-4.4 COMPORTEMENT MECANIQUE DU BETON A HAUTES TEMPERATURES.................................................. 36
I-4.5 DÉFORMATION THERMIQUE DU BETON A HAUTES TEMPERATURES...................................................... 39
I-4.6 CONCLUSION DE LA PARTIE THERMIQUE............................................................................................. 43
I-5 CADRE THEORIQUE DE LA MODELISATION DU BETON .......................................................... 44
I-5.1 MODELES ELASTOPLASTIQUES POUR LE BETON................................................................................... 44
I-5.2 MODELES D’ENDOMMAGEMENT POUR LE BETON................................................................................ 49
I-5.3 COUPLAGE ENDOMMAGEMENT ET PLASTICITE.................................................................................... 55
I-5.4 EXTENSION POUR LA THERMIQUE........................................................................................................ 58
I-5.5 PROBLEME DE LOCALISATION DES DEFORMATIONS............................................................................. 63
I-5.6 CONCLUSION DE LA PARTIE MODÉLISATION........................................................................................ 67
I-7 CONCLUSION .......................................................................................................................................... 69
Chapitre I Etude bibliographique
-17-
I-1 INTRODUCTION
La complexité de la microstructure du matériau béton est une des causes des particularités de
son comportement mécanique. Le comportement très complexe et les mécanismes qui
conduisent à sa modification peuvent être bien définis, seulement en étudiant le béton au
niveau microscopique, et en prenant en considération ses modifications physico-chimiques et
les réactions qui ont lieu lors de chargement. Et leurs conséquences sur le comportement
macroscopiques.
Ainsi, dans un première partie, nous nous proposons de décrire la réponse non linéaire du
béton sous différentes sollicitations thermiques et mécaniques. L’étude bibliographique des
résultats expérimentaux sur éprouvettes permettra de mettre en évidence les différents
comportements du béton qui peuvent être rencontrés notamment, en analyse thermo-
mécanique (Endommagement, phénomène unilatéral, interaction thermo-mécanique,…).
Nous présentons dans un deuxième partie, une bibliographie de quelques modèles de
comportement du béton prenant en compte les divers résultats expérimentaux présentés en
première partie. Cette liste n’est pas exhaustive, mais elle permet de présenter les différentes
approches et les différents concepts développés. Nous nous intéressons plus particulièrement
à deux classes de modélisation des structures en béton armé : l’approche par la théorie de la
plasticité et l’approche par la théorie de l’endommagement en essayant de présenter les
phénomènes pris en compte dans chacune des modélisations et leurs limites.
Ainsi, il se dégagera de besoins d’adopter une approche thermo-plastique endommageable
dans laquelle les deux types de modélisations seront couplés pour mieux intégrer les différents
observations expérimentales liées au comportement du béton de la température ambiante
jusqu’aux hautes températures.
Une troisième partie présente une étude bibliographique des travaux effectués sur les
méthodes de régularisation de la localisation. En effet, l’utilisation de modèles présentant une
phase adoucissante entraîne une certaine dépendance des résultats numériques vis à vis de la
finesse du maillage. Ce problème peut être en partie résolu par différentes méthodes dites de
régularisation.
Chapitre I Etude bibliographique
-18-
I-2 COMPOSITION DU BETON
Le béton est un composé multiphasique constitué d’un mélange de granulats et de pâte, elle-
même constituée de ciment et d’eau. La pâte de ciment représente 25 à 40 % du volume total
du béton. Chaque constituant a un rôle bien défini, celui de liant pour la pâte de ciment, celui
de remplissage atténuateur de variations volumiques (retrait) et source de résistance pour les
granulats.
Les mécanismes d’hydratation du ciment créent au sein du béton un espace poreux. On
distingue traditionnellement la porosité ouverte (dont les pores communiquent entre eux) de la
porosité fermée (dont les vides se trouvent isolés les uns des autres). Le schéma présenté à la
figure I.1 illustre la répartition des dimensions des différentes phases solides et poreuses que
l’on rencontre au sein de la matrice cimentaire du béton.
Figure I.1: Dimensions des pores et phases solides
présentes dans la pâte de ciment (Mehta 1986).
Il est à noter que la structure des pores a une grande influence sur les propriétés mécaniques
du béton (Rostasy & al. 1980, Perreira & al. 1989, Noumowe 1995). De nombreux essais ont
permis de mettre en évidence l'influence de la porosité sur les propriétés mécaniques du béton
et plusieurs auteurs ont mêmes proposé des relations théoriques permettant de lier la porosité
totale à diverses caractéristiques (Rossler & Older 1985, Perreira & al. 1989). La figure I.2
présente à titre indicatif les relations d'évolution de la résistance en compression en fonction
de la porosité ( )totp VV=φ , proposées par différents auteurs.
Chapitre I Etude bibliographique
-19-
Sous hautes températures, la porosité évolue de façon significative du fait des pressions de
pores. Ceci provoque une altération des propriétés mécaniques comme il sera présenté au
paragraphe I.4.
Figure I.2: Evolution de la résistance en compression du béton
en fonction de sa porosité. (Rossler & Older 1985).
I-3 COMPORTEMENT MECANIQUE DU BETON A TEMPERATURE
AMBIANTE
Dans ce qui suit, on présente un aperçu du comportement mécanique du béton à température
ambiante sous divers types de sollicitations, en passant en revue son comportement sous
sollicitation de compression simple et cyclique, traction simple et cyclique. Cette partie a pour
but de mettre en évidence le lien entre la fissuration et l’endommagement. L’essai de traction-
compression cyclique, par contre, a pour but de mettre en évidence l’effet de la refermeture de
fissures (effet unilatéral).
I-3.1 Comportement en compression
L'essai de compression uniaxiale est un essai qui a largement été étudié afin de connaître la
résistance en compression. L'allure générale de la courbe contrainte-déformation est donnée
par la figure I.3. On observe principalement que la réponse est presque linéaire jusqu'à %30
de la limite en compression simple cf . En dépassant ce point, on observe que la courbe
Chapitre I Etude bibliographique
-20-
devient de plus en plus non linéaire jusqu'à %75 de la limite en compression simple. Au-delà,
la courbe présente un pic suivi d'une branche post-pic correspondant à un comportement
adoucissant (figure I.3-a). Cette branche post-pic est associée à une forte dilatance (expansion
latérale) (figure I.3-b), qui donne la variation de la contrainte appliquée en fonction de la
variation de volume de l’éprouvette.
(a) (b)
Figure I.3: Comportement du béton en compression simple
(Extrait de Chen 1982)
L'interprétation micro-mécanique de ce comportement a fait l'objet de nombreux travaux
(Lorrain 1974, Mazars 1984, Berthaud 1988) et il est maintenant bien admis que la
dégradation est essentiellement liée au développement de micro-fissures. Le développement
des micro-fissures est lié selon plusieurs auteurs, (Lorrain 1974, Mazas 1984) à l'effet des
extensions ( ,0>ε déformation positive). Des observations au microscope optique sur des
tranches de matériaux présollicités ont montré que l'orientation privilégiée des micro-fissures
est perpendiculaire aux directions d'extensions, créant dans un premier stade une anisotropie
du comportement du béton, et dans un stade ultime des surfaces de rupture de même sens
(figure I.4). De plus, il a été montré (Torrenti 1994) que les déformations se localisent dans
l'éprouvette au pic d'effort, ce qui montre que le comportement post-pic observé est celui
d'une structure dans laquelle le matériau ne répond pas d'une manière homogène.
Chapitre I Etude bibliographique
-21-
L'essai cyclique en compression simple présenté à la figure I.5, permet d'obtenir d'autres
renseignements sur le comportement du béton. D'une part, il permet de confirmer le rôle
prépondérant du développement de la micro-fissuration qui provoque une dégradation des
caractéristiques élastiques du matériau, et d'autre part, de mettre en évidence le
développement de déformations permanentes. Celles-ci sont le plus souvent expliquées par
l'effet de frottement entre surfaces des micro-fissures et la non refermeture complète des
micro-fissures après déchargement.
Un autre renseignement peut être tiré de cette figure, il concerne le développement de boucles
d'hystérésis. Ce phénomène peut être lié à deux aspects: d'une part, au frottement entre lèvres
de micro-fissures en cours de refermeture ou réouverture de celles-ci, et d'autres part, au
mouvement de l'eau dans la structure micro-poreuse de la pâte de ciment hydratée (Rossi
1986, Acker 1987).
Figure I.4: Résultats de l’observationaux rayons X d’une éprouvette encompression (Robinson 1965).
Chapitre I Etude bibliographique
-22-
Figure I.5: Comportement cyclique du béton
en compression simple (Karsan 1969)
De ce qu'on a vu précédemment, on peut s'attendre à une sensibilité du matériau béton à
l'application de contrainte de confinement. C'est effectivement ce qui a été démontré par
plusieurs auteurs (Richart & al. 1928, Balmer 1949, Jamet & al. 1984). On peut constater sur
la figure I.6 que la réponse du béton est d'autant moins fragile que le confinement est
important et que l'on obtient un comportement ductile pour les très grands confinements. Ce
gain de rigidité est lié à l'augmentation des contacts au sein de la micro-structure du matériau
béton qui est une conséquence de la destruction des pores (Chen 1982, Ramtani 1990).
Figure I.6: Essais de compression triaxiale
(Jamet & al. 1984)
En ce qui concerne le comportement du béton sous chargements hydrostatiques, le béton
présente un comportement non linéaire. La figure I.7, présente le comportement expérimental
dans le cas d'une compression hydrostatique (Chen 1982). On remarque sur cette figure trois
phases de comportement: une phase élastique linéaire, une deuxième phase d'assouplissement
correspondant à l'effondrement progressif de la structure micro-poreuse de la pâte de ciment
hydraté et une dernière phase de raidissement liée à l'augmentation des contacts au sein de la
matière qui est une conséquence de la destruction des pores.
Chapitre I Etude bibliographique
-23-
Figure I.7: Essai de compression hydrostatique
du béton (Extrait de Chen 1982)
I-3.2 Comportement en traction
Bien que le béton soit principalement conçu pour résister à la compression, la connaissance de
ses propriétés en traction est importante pour une description complète de son comportement
matériel. On peut faire la remarque ici sur la difficulté de la réalisation de ce type d’essais,
c’est pourquoi on fait souvent appel à des essais indirects pour déterminer ce comportement.
La figure I.8, présente la courbe contrainte-déformation pour le béton en traction simple (essai
de traction directe). Dans cette figure, on peut distinguer deux phases importantes du
comportement du béton: dans une première phase, le comportement est quasiment élastique
linéaire avec une légère perte de raideur juste avant d'atteindre le pic. Une deuxième phase
(phase adoucissante), après le pic, est caractérisée par une chute presque brutale de la
contrainte. Durant cette phase, les micro-fissures bifurquent dans la pâte de ciment et se
propagent en mode I essentiellement pour constituer une fissure continue perpendiculaire à
l'extension principale.
Les cycles charge-décharge permettent de constater une chute importante de la raideur en fin
d'essai ( )20EE ≅ et l'apparition de déformation résiduelle. Dans son état ultime, l'essai de
traction directe conduit à une fissure unique, localisée et perpendiculaire à la direction
d'extension.
Chapitre I Etude bibliographique
Figure I.8: Comportement du béton en traction directe (Terrin 1980).
L'essai de traction cyclique présenté à la figure I.9, permet de confirmer le rôle prépondérant
du développement de la micro-fissuration qui provoque une dégradation des caractéristiques
élastiques du matériau. On note sur la figure I.9 que les boucles d'hystérésis sont très faibles.
Ceci paraît logique si l'on admet qu'elles sont principalement dues à des phénomènes de
frottement entre lèvres de micro-fissures ; phénomènes peu importants dans ce type de
sollicitation.
I-3.3 Comportement
Les essais cycliques d
importante du compor
en une restauration de
-24-
Figure I.9: Comportement cyclique du béton en
traction (Reinhardt & Corneilessen 1984)
cyclique traction-compression
e traction-compression permettent de mettre en évidence une propriété
tement du béton, c'est le caractère unilatéral. Ce phénomène consiste
la raideur lors du passage d’un chargement en traction, où cette raideur
m/s0.4/ µ=
Chapitre I Etude bibliographique
-25-
est initialement endommagée du fait de la fissuration, à un chargement en compression (figure
I.10).
Figure I.10: Essai P.I.E.D Comportement uniaxial du béton sous chargement
Cyclique (Ramtani 1990)
Ce comportement est lié au fait que sous contrainte de compression les fissures de traction se
referment faisant en sorte qu’il n’y ait aucune interaction avec celles qui vont se créer en
compression dans une direction perpendiculaire. Le béton retrouve alors un comportement de
matériau sain.
I-3.4 Conclusion de la partie mécanique
Au vu des constatations expérimentales, il est important que le modèle de comportement
élaboré puisse reproduire les éléments les plus importants qui s’en dégagent. Pour notre part,
on retient les éléments suivants :
- Apparition d’une déformation irréversible en traction et en compression
- Apparition d’un comportement adoucissant après le pic de contrainte
- Dégradation de la raideur du matériau mise en évidence lors de la décharge
- Restauration de la raideur lors de l’inversion du signe de la contrainte.
Chapitre I Etude bibliographique
-26-
I-4 REVUE DES TRAVAUX EXPERIMENTAUX REALISES SUR LA
TENUE AU FEU DES BETONS
Lorsque le béton est exposé à de hautes températures, sa microstructure subit des
modifications physico-chimiques tout au long du chauffage entraînant une déshydratation du
gel de ciment (CSH ). Cette déshydratation induit une évolution de la microstructure du
matériau, donc une évolution des propriétés mécaniques, thermiques et de transport. Elle
induit aussi la création d’eau libre à l’intérieur du matériau et donc une augmentation de
pression interstitielle.
Dans ce premier paragraphe, nous parlons des effets connus des hautes températures sur les
éléments constitutifs du béton, puis nous attachons la plus grande attention sur ce que peuvent
engendrer ces modifications sur le béton. A la fin de ce paragraphe, nous présentons quelques
constatations expérimentales sur le comportement mécanique du béton à hautes températures.
I-4.1 Effets des hautes températures sur la microstructure du béton
Les modifications subies simultanément par la matrice cimentaire et les granulats engendrent
une forte dégradation de la micro-structure du béton. Outre les effets directs des modifications
de ces deux composants élémentaires, les incompatibilités de comportement de ceux-ci
engendrent des dégradations spécifiques au matériau béton. Nous décrivons ici les principaux
phénomènes observés expérimentalement.
I-4.1.1Déshydratation et modifications physico-chimiques du béton
L'étude des résultats d'analyses thermiques différentielles et d'analyse thermo-gravimétriques
permet de détecter l'apparition de transformations chimiques se produisant au sein du béton
porté à des températures élevées, et de suivre leurs progressions. Plusieurs auteurs ont
présenté les résultats de ce type d'analyses réalisées sous diverses conditions (Philleo 1958,
Campbell-Allen & Desai 1967, Harmathy 1973, Schneider 1982). La synthèse de ces résultats
nous permet d’identifier les principales modifications subies par la micro-structure du béton
au cours du chauffage, et montre les évolutions suivantes :
Chapitre I Etude bibliographique
-27-
1. Entre 30 et 120°C, l'eau libre et une partie de l'eau adsorbée s'échappent du béton. Si la
vitesse de chauffage est suffisamment lente, l'eau non liée est complètement éliminée à
120°C, sinon le processus d'évaporation peut se prolonger au-delà de 200°C.
2. La déshydratation du gel de ciment (CSH ) s'amorce à 180°C et se poursuit jusqu'à 300°C.
L'eau liée chimiquement commence alors à s'échapper du béton.
3. Entre 450°C et 550°C, la portlandite se décompose en eau et en chaux libre selon la
réaction suivante :
( ) OHCaOOHCa 22 +→ .
4. Autour de 570°C se produit la transformation du quartzα− en quartz β− dans les
agrégats quartzitiques et basaltiques. Il est à noter que cette réaction est expansive.
5. Entre 600°C et 700°C se produit la décomposition du .CSH C'est la seconde étape de
déshydratation des hydrates de calcium au sein du béton. On a donc une nouvelle phase
d'évacuation de l'eau liée chimiquement.
6. Entre 700°C et 900°C, le carbonate de calcium, composant principal des granulats
calcaires se décompose suivant la réaction: 23 COCaOCaCO +→ .
7. La fusion de la pâte et des agrégats s'amorce à partir de 1100°C.
I-4.1.2Micro-fissuration et dégradation de l'interface pâte-granulats
La matrice cimentaire et les granulats subissent généralement, au cours du chauffage des
modifications dimensionnelles opposées. Au-delà de 105°C, la matrice cimentaire subit
généralement un retrait lors du premier chauffage, tandis que les granulats subissent
essentiellement une expansion. Ce comportement opposé des deux composants du béton
engendre alors une micro-fissuration importante au sein de sa micro-structure (Blundell & al.
1976). L'initiation de cette micro-fissuration apparaît clairement sur les courbes présentant la
distribution de la porosité du béton à différentes températures (figure I.11).
En effet, les hautes températures provoquent comme nous l'avons vu, le départ de l'eau libre
contenue dans les pores ainsi que l'eau liée chimiquement. Dans la zone inter-faciale dite
auréole de transition, moins riche en CSH , cette déshydratation engendre une détérioration
rapide de la liaison entre le mortier et les granulats. De plus, la dégradation chimique des
constituants contribue à cette détérioration (Riley 1991).
Chapitre I Etude bibliographique
-28-
Par ailleurs, des études expliquent les micro-fissures engendrées lors de chauffage du béton
par l'effet de l'incompatibilité du comportement des composants du béton (Venecanin 1978,
Baluch & al. 1989). Cet effet, qui à été nommé "Incompatibilité Thermique des Constituants
du Béton ou ITCB", trouve son explication dans la création de contraintes internes dans le
béton pendant la variation de température causée par l'incompatibilité des caractéristiques
thermiques des constituants du béton, et plus spécialement le coefficient d'expansion
thermique (Venecanin 1983, 1984).
I-4.1.3Evolution de la porosité
Comme nous l'avons vu précédemment, la structure de la porosité du béton possède une
grande influence sur les propriétés mécaniques du béton. Il apparaît clairement à l'heure
actuelle que la manière dont le volume poreux est distribué en terme de taille des pores est
une information plus importante que la simple mesure de la porosité totale. La figure I.11
présente les distributions des pores obtenues à différentes températures par Noumowe (1995)
au sein d'un béton ordinaire chauffé jusqu'à 600°C. La synthèse des résultats obtenus par
différents auteurs indique que dans le cas du béton ordinaire, la température engendre une
augmentation du volume total ainsi que de la dimension des pores. Elle peut être due à la
rupture des cloisons capillaires sous l'effet de la vaporisation de l'eau durant le chauffage,
ainsi qu'à la micro-fissuration engendrée par les dilatations différentielles de la matrice
cimentaire et des granulats (Noumowe 1995).
En travaillant sur la pression de pores et leur évolution pendant le chauffage, Bazant signale
que la perméabilité du béton subit un accroissement significatif quand la température dépasse
100°C (Bazant & al. 1978, 1979). Ce phénomène peut être expliqué par le fait que le transfert
d'humidité pour les températures ambiantes est contrôlé par de très minces tuyaux de
dimensions celles des pores, qui permettent l'évacuation de l'eau dans son état adsorbé et
empêchent le passage de l'eau à l'état liquide ou vapeur. L'augmentation de la perméabilité
après 100°C est liée à l'augmentation des dimensions de ces tuyaux pendant le chauffage, due
probablement à la rupture des cloisons capillaires sous l'effet de la pression de pores.
Chapitre I Etude bibliographique
-29-
Figure I.11: Distribution des pores d'un béton ordinaire après exposition à différentes
Températures (Noumowe 1995)
I-4.1.4Modification de l'état hydrique
L'état hydrique au sein du béton à un instant donné est affecté par de nombreux facteurs tels
que la taille et la forme du spécimen de béton étudié, la vitesse de chauffage et les conditions
environnementales. Des valeurs expérimentales du taux d'humidité à l'équilibre hydrique au
sein du béton (l'équilibre hydrique est obtenu quand il n’y a aucun mouvement d'humidité
entre le béton et le milieu extérieur), pour des températures supérieures à 105°C ont été
données par de nombreux auteurs (Philleo 1958, Harmathy & Allen 1973). En revanche très
peu de données sont disponibles sur le temps nécessaire pour atteindre cet équilibre hydrique,
en particulier pour des températures supérieures à 105°C.
Enfin, de nombreux auteurs expliquent les phénomènes d'éclatements observés sous certaines
conditions sur des spécimens ou des structures en béton par le développement de pressions de
pores dont les valeurs, combinées aux contraintes thermiques, peuvent dépasser la résistance
en traction du béton (Nekrasov & al. 1963, Zhukov 1980, Noumowe 1995).
I-4.2 Evolution des propriétés thermiques du béton avec la température
L'évolution de la distribution des températures au sein des structures est gouvernée par les
propriétés thermiques du matériau, en particulier par la capacité calorifique et la conductivité
thermique. Dans le cas du béton, il est difficile de déterminer ces propriétés avec exactitude à
tous les niveaux de température en raison des nombreux phénomènes qui, comme nous
l'avons vus se produisent simultanément au sein de la micro-structure du béton et qui ne
Chapitre I Etude bibliographique
-30-
peuvent être séparés facilement. Ces effets incluent en particulier l'évolution de la porosité,
les changements dans la composition chimique et la consommation de chaleurs latentes
engendrée par certains phénomènes chimiques (Harmathy 1968). Dans la mesure où ces
modifications physiques et chimiques se produisent à une certaine vitesse, les variations de
propriétés thermiques dépendent également de la vitesse et de l'historique du chauffage. Il
résulte de ces effets que les variations des propriétés thermiques du béton avec la température
ne peuvent pas en toute rigueur être décrites par des relations uniques valables en toutes
situations (Harmathy 1970). Différents protocoles et techniques de mesures expérimentales
peuvent conduire à des résultats contradictoires. Lors de l'analyse et la comparaison des
résultats obtenus par différents expérimentateurs, il est absolument nécessaire d'examiner
attentivement les procédures expérimentales employées. Cependant, les besoins de la
modélisation font que des relations décrivant ces évolutions doivent être spécifiées. Elles
seront adoptées de sorte à restituer les tendances générales qui se dégagent des observations
expérimentales.
I-4.2.1Conductivité thermique
La conductivité thermique mesure l'aptitude d'un matériau à conduire la chaleur. Pour les
bétons courant, la conductivité thermique diminue lorsque la température augmente. Les
principaux paramètres de cette variation sont: la teneur en eau, le type de granulat et la
formulation du béton. Le degré de saturation est le facteur principal puisque la conductivité de
l'air (la conductivité thermique de l'air à 20°C est de 100034.0 −CWm -1 ) est inférieure à celle
de l'eau (la conductivité thermique de l'eau à 20°C est de 100 −CWm .515 -1 ). Ainsi la
diminution de conductivité thermique en fonction de la température est assez marquée pour un
béton de granulat silico-calcaire, faible pour un béton de granulats calcaires, et peu
significative pour le béton léger (Collet 1977) (figure I.12). Enfin il est à signaler que la
conductivité thermique d'un béton pré-endommagé est plus faible que celle d'un béton sain, du
fait de la faible conductivité de l'air.
Chapitre I Etude bibliographique
-31-
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 150 300 450 600
Température (°C)
Con
duct
ivité
(W
/m°K
) Gravier
Calcaire
Granu, léger
Figure I.12: Evolution de la conductivité
thermique mesurée sur différents types de
béton en fonction de la température
(Collet 1977)
I-4.2.2Chaleur spécifique
La chaleur spécifique mesure la quantité d'énergie nécessaire pour faire monter de 1°C la
température d'un kilogramme de matériau. Comparativement à la conductivité thermique, les
variations de cette propriété avec la température sont moins maîtrisées (Neville 1990). Une
estimation de la variation de la chaleur spécifique avec la température pour une pâte de ciment
est donnée par Harmathy (1970). Le résultat est reporté sur la figure I.13. On peut remarquer
qu'entre 100°C et 800°C, il y a une forte augmentation de la chaleur spécifique due à la
contribution de la chaleur latente causée par la déshydratation du ciment. Le pic observé à
500°C est associé à la déshydratation de l'hydroxide de calcium CH . D'après Franssen
(1987), les bétons humides présentent une capacité calorifique apparente qui est presque deux
fois plus élevée que celle des bétons secs.
Figure I.13: Variation de la chaleur
spécifique d'une pâte de ciment (Harmathy
1970).
Chapitre I Etude bibliographique
-32-
I-4.2.3Diffusivité thermique
La diffusivité thermique représente la vitesse à laquelle la chaleur se propage à l'intérieur d'un
matériau. Elle est directement proportionnelle à la conductivité thermique et elle est
inversement proportionnelle à la chaleur spécifique et à la masse volumique. La diffusivité
thermique dépend fortement de la teneur en eau du béton. Schneider (1988) a souligné
l'importante dispersion observée sur les résultats de mesures expérimentales rapportés dans la
littérature. L’auteur explique cette dispersion par la difficulté des mesures directes devant être
réalisées en régime transitoire, et qui sont très sensibles aux conditions d'essais et au
traitement thermique subi par les spécimens testés avant les mesures. On peut toutefois
indiquer que la diffusivité thermique décroît progressivement avec la température. La figure
I.14 présente les variations de cette propriété avec la température, obtenues par différents
auteurs sur des bétons formulés avec différents types de granulats.
Température (°C)
Diff
usi
vité
th
erm
iqu
e (
10
-6 m
2 /s)
(a) Béton siliceux (Harada et al 1972)(b) Béton calcaire (Chu 1978)(c) Béton calcaire (Hildenbrand et al. 1978)(d) Béton siliceux (Hildenbrand et al. 1978)(e) Béton siliceux (Pogorzelski 1980)(f) Béton basaltique (Schneider 1982)(g) Béton léger (Schneider 1982)
Figure I.14: Variations de la diffusivité
thermique de différents types de béton avec la
température, d’après plusieurs auteurs (Bazant
& Kaplan 1996)
I-4.3 Evolution des propriétés mécaniques du béton avec la température
Exposée à de hautes températures, la microstructure du béton subit d’importantes
modifications physico-chimiques qui influencent son comportement mécanique. Il apparaît
que ces modifications ont un comportement irréversible en raison du caractère irrémédiable
des réactions chimiques (déshydratation) et micro-structurelles (rupture de cohésion) qui se
produisent. L’objectif de ce paragraphe est d’analyser l’évolution des propriétés mécaniques
du béton avec la température.
Chapitre I Etude bibliographique
-33-
I-4.3.1Module d'élasticité à hautes températures
La rupture des liaisons internes de la micro-structure de la pâte de ciment due à l'élévation de
température engendre une diminution du module d'élasticité du béton. En même temps,
l'élévation de température produit une accélération du processus de fluage à court terme, et
qui a pour conséquence la diminution du module d'élasticité (Franssen 1987, Schneider 1988).
Ces évolutions sont influencées par le module élastique initial, la teneur en eau du béton, la
nature des granulats et la vitesse de chauffage (Harada & al. 1972, Schneider 1988). La figure
I.15 présente à titre d'exemple les variations du module d'élasticité obtenues par Dias et al.
(Dias & al. 1990).
Figure 15: Rapport du module d’élasticité sur le module initial (Dias & al. 1990)
Il est à noter que le processus de séchage du béton accompagnant l'augmentation de la
température, provoque lui aussi une réduction du module d'élasticité. Cette baisse est d'autant
plus forte que le séchage est élevé. Ceci peut être expliqué par la destruction de la micro-
structure du béton causé par le mouvement d'humidité et la pression de pore au cours du
séchage et l'effet des contraintes thermiques et des contraintes de retrait sur l'évolution de
l'endommagement de la micro-structure du béton (Gross 1973, Labani & Sullivan 1974). En
outre, Lankard (1971) signale une augmentation de la dégradation du module d'élasticité avec
les cycles thermiques.
I-4.3.2Résistance en compression à hautes températures
Tous les auteurs s'accordent sur le fait que la résistance en compression du béton varie en
fonction de la température à laquelle il est exposé ou a été exposé. Des comportements
Chapitre I Etude bibliographique
-34-
différents peuvent être observés selon que les essais sont effectués par "la méthode d'état
régulier" (le spécimen testé est chauffé à une température donnée, ensuite la contrainte est
appliquée en contrôlant la vitesse de chargement) où "la méthode d'état transitoire" (le
spécimen testé est chargé au début, la charge est maintenue fixe puis il est chauffé en
contrôlant la vitesse de chauffage) où selon que les essais sont effectués au cours de chauffage
ou après refroidissement. L'évolution de la résistance en compression du béton avec la
température est affectée par de nombreux paramètres (nature du liant et des granulats, vitesse
du chauffage…).
On peut noter que pour des températures inférieures à 90°C la réduction de la résistance en
compression du béton est faible, entre 80°C et 90°C la réduction de la résistance en
compression varie entre 10 et 35% (Blundell 1969), en dépassant la température de 90°C, on
observe une augmentation de la résistance en compression, ceci peut être expliqué par
l'augmentation du processus de séchage. Ce départ provoque un accroissement des forces de
surface entre les particules de gel de CSH qui assurent la résistance de la pâte de ciment.
Pihlajavaara (1972) rapporte que la résistance d'un béton complètement sec est d'environ 50%
plus grande que celle d'un béton saturé. En dépassant les 200°C, le béton est complètement
sec, la résistance en compression du béton diminue progressivement avec la température. Ceci
peut être expliqué par les transformations chimiques et minéralogiques qui s'opèrent dans la
pâte de ciment (figure I.16).
Figure I.16: Rapport de la résistance en
compression sur la résistance initiale
(Schneider, 1982)
Chapitre I Etude bibliographique
-35-
I-4.3.3Résistance en traction à hautes températures
Peu de recherches sont faites dans cet axe, néanmoins comme pour la résistance en
compression, la résistance en traction chute avec l’élévation de température. Des études
récentes ont indiquées une forte sensibilité de la résistance de traction à la température qui
dépasse même celle de la résistance en compression (Schneider 1982, Morley & Royles 1983,
Noumowe 1995, Felicetti & Gambarova 1999). L'évolution de la résistance en traction du
béton avec la température est affectée par les mêmes paramètres que pour la résistance en
compression (nature du liant et des granulats, teneur en eau, vitesse de chauffage…). La
figure I.17 présente à titre d'exemple les variations de la résistance en traction du béton avec
la température pour différents types de granulats obtenues par Blundell & al. (1976).
Figure I.17: Evolution de la résistance en
traction du béton avec la température
d’après (Blundell & al. 1976).
I-4.3.4Effets des hautes températures sur l’énergie de fissuration du béton
Comme nous l'avant vu auparavant, les hautes températures ont de grandes influences sur les
propriétés mécaniques du béton (module d'élasticité, résistance en compression et en traction).
Il est clair que cela induira une évolution de l'énergie de fissuration en fonction de la
température. L’analyse des résultats obtenus par différents auteurs (Baker 1996, Bazant &
Kaplan 1996, Heinfling 1997) indiquent que la variation de l’énergie de fissuration du béton
avec la température est un paramètre important influençant la fiabilité et la précision des
simulations de spécimens ou de structures en béton armé à hautes températures (Heinfling
1997). La figure I.18 présente l’évolution de la valeur moyenne de l’énergie de fissuration
avec la température. On peut noter la dispersion des résultats pour cette caractéristique et une
forte dépendance de l’énergie de fissuration aux paramètres énoncés pour la résistance (nature
du liant et des granulats, teneur en eau, vitesse du chauffage…).
Chapitre I Etude bibliographique
-36-
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
0 100 200 300 400 500 600
Température (°C)
Gf /
Gfo
Baker (1996), refroidissement rapide
Bazant (1988), Béton sec,
Bazant (1988), Béton humide
Heinfling & Baker (1997)
Figure I.18: Variations relatives de l’énergie de
fissuration du béton avec la température (Heinfling
1998)
I-4.4 Comportement mécanique du béton à hautes températures
Les modifications subies par les propriétés mécaniques lors de l’élévation de température ont
un grand effet sur la réponse du béton lors des essais mécaniques en terme de diagramme
contrainte-déformation. Dans ce qui suit on verra la réponse du béton sous divers types de
sollicitations (essai de traction simple, essai de compression simple et biaxiale,…). Il est à
noter que le béton est très fortement sensible à l’histoire du chargement thermo-mécanique
qui se manifeste par l’apparition d’un nouveau mécanisme appelé fluage thermique
transitoire. Cet aspect sera traité au paragraphe I.4.5.
I-4.4.1Comportement du béton en compression à hautes températures
La courbe contrainte-déformation en compression uniaxiale est affectée par la température.
Outre les modifications de la pente, on peut noter une augmentation de la ductilité du béton et
une extension de son domaine plastique (Schneider 1988). La figure I.19 présente les courbes
contrainte-déformation obtenues en compression uniaxiale à différentes températures. Ces
essais ont été réalisés à chaud, ces courbes mettent bien en évidence deux aspects:
1. une perte irréversible de la rigidité (endommagement thermique)
2. une chute irréversible de la résistance en compression du béton (décohésion thermique)
De nombreux facteurs influencent l'évolution de cette courbe avec la température. En
particulier, le type de granulat et la teneur en eau initiale du béton sont les deux paramètres
principaux (Schneider 1988). Il est à noter que ces courbes mettent bien en évidence une
importante augmentation de la ductilité du béton au-delà de 450°C.
Chapitre I Etude bibliographique
-37-
Figure I.19: Courbes contrainte-déformation
obtenues en compression uniaxiale à différentes
températures (Schneider 1988)
Enfin, l'évolution de la déformation ultime en compression est affectée quelque soit le type de
béton par la présence d'une charge de compression appliquée pendant le chauffage (Schneider
1988). La figure I.20 présente l'évolution de la déformation ultime en compression uniaxiale
en fonction de la température et pour différents niveaux de charge appliquée pendant le
chauffage sans confinement hydrique. Sur cette courbe, α représente le niveau de charge
défini par le rapport de la contrainte appliquée sur la résistance initiale en compression
uniaxiale à 20°C.
Figure I.20: Déformation ultime en compression
uniaxiale en fonction de la température pour
différents niveaux de charge appliquée pendant
le chauffage (Schneider 1988)
L'analyse des résultats d'essais biaxiaux (Kordina & al. 1985, Schneider 1988) indique que la
résistance en compression biaxiale du béton diminue moins rapidement que la résistance en
compression uniaxiale. La figure I.21 présente à titre d'exemple les enveloppes de rupture en
Chapitre I Etude bibliographique
-38-
compression biaxiale obtenues à différentes températures par Ehm & Schneider (1985). On
peut observer sur ces courbes le changement de forme des enveloppes de rupture. Cette
évolution met en évidence une augmentation de la sensibilité au confinement du béton avec la
température. Le rôle consolidateur de la compression biaxiale est accentué. Ceci s'explique
par la dégradation de la micro-structure du béton et par l'augmentation de sa porosité avec la
température.
Figure I.21: Enveloppes de rupture en
compression biaxiale à différentes températures
(Ehm & Schneider 1985)
Kordina & al. (1985) ont noté dans ces expériences que la résistance en compression est plus
faible à 150°C qu'à 300°C. Cette augmentation est expliquée par le départ de l'eau adsorbée
(Kordina & al. 1985). Ce départ provoque un accroissement des forces de surface entre les
particules de gel de CSH qui assurent la résistance de la pâte de ciment. Il est en effet admis
que la présence d'eau entre deux parois de gel atténue les forces de surface (Van Der Waals)
entre les particules de gel et ainsi réduit la résistance du béton. Il est à noter que les forces de
Van Der Waals sont inférieures aux forces de liaison chimiques, mais, dans cette gamme de
température, la structure chimique de la pâte n'est pas encore affectée.
I-4.4.2Comportement du béton en traction à hautes températures
La figure I.22 présente des courbes contrainte-déformation en traction simple à différentes
températures réalisées par Felicetti & Gambarova (1999). On peut remarquer sur ces courbes
une forte sensibilité à l’élévation de la température avec les mêmes tendances signalées dans
le cas de la compression (baisse du module d’élasticité et de la résistance ultime).
Chapitre I Etude bibliographique
-39-
Par ailleurs Harada & al. (1972) affirment que, par rapport à la résistance en compression du
béton, la diminution de la résistance en traction est très marquée. Cela donnera des courbes
contraintes-deformations, plus sensible en traction à la température qu’en compression.
0
1
2
3
4
5
6
0 0,04 0,08 0,12 0,16 0,2
W (mm)
σ (M
Pa)
20°C105°C250°C400°C
Figure I.22: Courbes contrainte-déformation
obtenues en traction uniaxiale à différentes
températures (Felicetti & Gambarova 1999)
I-4.5 Déformation thermique du béton à hautes températures
Comme la plupart des matériaux, lorsqu'il est soumis à un changement de température, le
béton subit une déformation thermique. Cette déformation joue un rôle très important dans le
comportement des structures en béton soumises à de hautes températures. En raison des
gradients thermiques se développant durant les phases transitoires de propagation de la
chaleur, les déformations thermiques ne sont pas uniformes au sein de la structure. Cette non-
uniformité de température engendre des contraintes internes qui peuvent elles mêmes
engendrer un endommagement pouvant conduire à la ruine des structures en question. La
déformation thermique du béton à hautes températures est un élément très important à étudier.
En outre, l’application simultanée de contraintes mécaniques au processus de chauffage
affecte de façon significative le processus de déformation thermique du fait du phénomène de
fluage.
I-4.5.1Déformation thermique libre
Les déformations thermiques différentielles entre la pâte de ciment et les granulats engendrent
au-delà de 150°C une micro-fissuration au sein du béton (Blundell & al. 1976). Selon certains
auteurs cette micro-fissuration participe par effet de dilatance à la déformation thermique
mesurée sur des spécimens en béton non chargés (Weigler & Fischer 1972, Sullivan 1979,
Khoury & al. 1985).
Chapitre I Etude bibliographique
-40-
La synthèse de ces résultats indique que la déformation thermique totale d'une éprouvette non
chargée soumise à une élévation de température très lente est due aux effets composés
suivants :
1. Expansion thermique des granulats,
2. Retrait de la matrice cimentaire,
3. Micro-fissuration engendrée par l'incompatibilité entre ces deux premiers effets,
4. Transformations et décompositions chimiques des constituants du béton s'accompagnant
de variations dimensionnelles.
Figure I.23: Déformation thermique libre de
différents types de béton (Schneider 1982)
I-4.5.2Déformation du fluage thermique transitoire
La déformation thermique du béton est fortement influencée par la présence d'une charge
pendant le chauffage. La figure I.24 présente la déformation totale de spécimens en béton
chargés en compression à différents niveaux puis chauffés sous charge constante. Sur cette
figure, le coefficient £ représente le niveau de chargement défini par le rapport de la
contrainte appliquée sur la résistance initiale en compression uniaxiale du béton à 20°C.
Les résultats d'essais indiquent, comme on peut le constater sur la figure I.24, une forte
diminution de la déformation thermique sous l'effet de la charge, présente pendant le
chauffage. Cette contraction à été nommée "Fluage Transitoire" ou "Interaction Thermo-
Mécanique" (Khoury & al. 1985). La synthèse des travaux expérimentaux concernant cet effet
indique qu'il apparaît uniquement en compression (Khoury & al. 1985) et qu'il est fortement
influencé par la teneur en eau, les conditions d’essais et de la vitesse du chauffage.
(a): Béton quartzique(b): Béton calcaire(c): Béton calcaire(d): Béton basaltique(e): Béton léger
Chapitre I Etude bibliographique
-41-
Figure I.24: Déformation totale de différents
bétons chauffés sous charge constante
(Schneider 1988)
Dans le cas de cycles chauffage-refroidissement sous charge, les données expérimentales
disponibles indiquent que cet effet n'apparaît pas durant les phases de refroidissement du
matériau et qu'il est très fortement réduit durant les cycles thermiques (Khoury & al. 1985).
L'explication de ce phénomène se trouve dans l'interaction du processus de dilatation des
phases du béton avec le processus de retrait de dessiccation de la matrice. Ainsi, selon Khoury
& al. (1985), il semblerait que le fluage transitoire adapte les incompatibilités thermiques
entre la pâte de ciment et les granulats, spécialement au-delà de 100°C quand la pâte de
ciment rétrécit alors que les granulats se dilatent. De ce fait le fluage transitoire provient de la
pâte de ciment et il est restreint par le granulat. Il est principalement dû aux changements de
phase moléculaire et de microstructure qui ont lieu dans la pâte de ciment pendant le
chauffage. Bazant & Kaplan (1996), donnent une autre explication au fluage transitoire dans
laquelle cet l’effet est entièrement lié au fluage de dessiccation. Selon Schneider (1982) ce
phénomène s'explique par l'activation du processus de fluage du béton par la température du
fait du départ de l’eau inter-folière. Certains auteurs attribuent également une partie de cet
effet à la micro-fissuration se développant au sein du béton durant le chauffage (Hansen &
Eriksson 1966, Parrot 1979).
I-4.5.3Influence des chemins de sollicitations
Le phénomène de la dépendance de la réponse du béton aux chemins de sollicitations
s'observe de façon particulièrement claire sur les expériences menées par Anderberg &
Thelandersson (1973). Dans ces essais, deux spécimens en béton sont exposés au chargement
thermique dont l'évolution est donnée par la figure I.25. La figure I.26 présente les
Chapitre I Etude bibliographique
-42-
déformations uniaxiales mesurées sur ces spécimens durant l'essai. Dans le premier cas (cas
n°1 de la figure I.26), une contrainte de compression uniaxiale est appliquée au spécimen une
fois que le chauffage a atteint son régime permanent (CstT = , au sein de l'éprouvette). Dans
le second cas (cas n°2 de la figure I.26), la même contrainte est appliquée au spécimen dès le
début du chauffage et est maintenue constante pendant toute la durée de l'essai.
0
50
100150
200
250
300350
400
450
0 1 2 3 4 5 6 7
Temps (h)
Tem
péra
ture
(°C
)
Régime transitoire
Régime permanent Figure I.25: Température au centre
des éprouvettes en fonction du
temps de chauffage (Thelandersson
1987)
Les points A et B repérés sur les courbes (Figure I.26), représentent les déformations
correspondant à la même combinaison de contrainte et de température appliquée aux deux
spécimens. Ceux-ci présentent toutefois une déformation complètement différente, de signe
opposé. Dans le cas n°2, la dilatation thermique axiale du spécimen est fortement réduite par
la présence de la contrainte mécanique durant la phase de chauffage. Ceci peut être interprété
comme une dépendance de la déformation thermique vis-à-vis du chemin emprunté dans
l'espace contrainte-température (Thelandresson 1987). Outre cette dépendance à l'histoire des
deux chargements combinés, ce phénomène engendre également une anisotropie de la
déformation thermique. Le concept d'interaction thermo-mécanique a été alors introduit par
Thelandersson (1987) pour modéliser ce phénomène. Suivant cette approche, la déformation
thermique n'est plus considérée comme une simple fonction de la température mais dépend
également de l'état de contrainte appliquée pendant le chauffage.
Chapitre I Etude bibliographique
-43-
-2.E-03
-1.E-03
0.E+00
1.E-03
2.E-03
3.E-03
4.E-03
5.E-03
0 1 2 3 4 5 6 7
Temps (h)
Déf
orm
atio
n ax
iale
A
B
Cas n° 1 - Eprouvette n°1chauffée puis chargée
Cas n° 2 - Eprouvette n°2chargée puis chaufféesous charge constante
Application de la chargeà l'eprouvette n°1
Application de la chargeà l'eprouvette n°2
Figure I.26: Déformation totale mesurée
sur des éprouvettes en béton chauffées
(Contrainte mécanique appliquée = 0,45
°20cf )
I-4.6 Conclusion de la partie thermique
Au vu des constatations expérimentales, il est important que le modèle de comportement
élaboré puisse reproduire les éléments les plus importants qui s’en dégagent. Pour notre part,
on retient les éléments suivants :
- Evolutions des propriétés thermiques et mécaniques du béton pendant le chauffage.
- Interaction thermo-mécanique et dépendance de la déformation thermique du chemin
emprunté dans l'espace température-contrainte (Déformation d’interaction thermo-
mécanique).
Chapitre I Etude bibliographique
-44-
I-5 CADRE THEORIQUE DE LA MODELISATION DU BETON
Dans cette partie nous allons donner le cadre théorique des deux grandes familles d’approches
pour la modélisation du comportement du béton à température ambiante : la théorie de la
plasticité et la théorie de l’endommagement. Nous mettons, notamment, l’accent sur les
caractéristiques de chaque approche quant à reproduire le comportement. Par la suite le
couplage de ces deux types de modélisations est abordé pour tirer profit de chacune d’entre
elles. Enfin, l’extension de ces modélisations au comportement du béton soumis à des
sollicitations mécaniques et à de hautes températures concomitantes est passée en revue. Il
s’agit notamment de la prise en compte de l’influence de la température sur les
caractéristiques mécaniques dans les modèles initiaux, ainsi que l’introduction du terme de
fluage transitoire.
I-5.1 Modèles élastoplastiques pour le béton
Dans cette étude, on se place dans le cadre général de la mécanique des milieux continus.
L’hypothèse des petites déformations est adoptée. Ainsi, le tenseur de déformation ε est
obtenu à partir du premier gradient du champ de déplacement ( )zyx , u, uu=u tel que
( )[ ]Tuu ⊗∇+⊗∇=2
1ε (I.1)
où ⊗ est le produit tensoriel et ∇ représente l’opérateur Nabla.
Les tenseurs symétriques de déformation ε et de contrainte σ peuvent se mettre sous la
forme vectorielle
( )( )Tyzxzxyzzyyxx
Tyzxzxyzzyyxx
σσσσσσ
εεεεεε
, , , , ,
, , , , ,
=
=
σ
ε(I.2)
Dans l’écriture tridimensionnelle des lois de comportement, l’hypothèse d’isotropie conduit à
utiliser les invariants des tenseurs de contraintes σ et de son déviateur s défini par :
( )1 σσ Tr3
1−=s (I.3)
où 1 est le tenseur unité et ( )σTr définit la trace du tenseur de contrainte donnée par :
Chapitre I Etude bibliographique
-45-
( ) ∑=
=3
1iiiTr σσ (I.4)
En plasticité on fait souvent intervenir le premier invariant du tenseur de contrainte 1I , ainsi
que le deuxième invariant du tenseur de déviateur de contrainte définis par :
( )ss:
2
12
1
=
=
J
TrI σ(I.5)
où ( ): représente le produit tensoriel deux fois contracté.
I-5.1.1Formulation générale – lois d’étatsAfin de clairement définir et séparer les différents couplages entre les variables d'état, il est
intéressant d'utiliser le cadre théorique de la thermodynamique des milieux continus.
Rappelons tout d'abord l'expression de la dissipation totale du système (Lemaitre & Chaboche
1985):
0≥−= ψϕ εσ (I.6)
où ψ est l'énergie libre du système, fonction des différentes variables d'état
thermodynamique. Pour un matériau élasto-plastique à écrouissage, l’énergie libre est
classiquement définie comme une fonction des variables suivantes : la déformation totale ε ,
la déformation plastique pε et les variables internes iκ qui modélisent les évolutions
irréversibles que l’on peut associer, dans le cas du béton, à la micro-fissuration.
Dans le cas des petites déformations, la déformation plastique pε est associée à la
configuration relâchée. Elle résulte de la déformation totale par décharge élastique conduisant
à la partition des déformations
pe εεε += (I.7)
En élastoplasticité, les déformations n’interviennent que sous la forme de leur partition, soit :
( )ie κψψ ,ε= (I.8)
En dérivant par rapport au temps l’expression de l’énergie libre (équation I.8) et en substituant
dans l’équation I.6 , on obtient :
Chapitre I Etude bibliographique
-46-
0≥∂∂−+
∂∂− i
i
pe
eκ
κψρψρ ε σε
εσ :: (I.9)
Cette inéquation devant être vérifiée même lorsque le matériau est élastique ( 0=pε et
0=iκ ), on déduit de cette expression que :
pe εεσ
∂∂−=
∂∂= ψρψρ et
iiA
κψρ
∂∂= (I.10)
qui définissent le tenseur de contrainte σ , et les variables, forces d'écrouissage iκ .
I-5.1.2Critère de plasticité et règle d’écoulementA tout modèle élasto-plastique est associé un critère de plasticité qui définit le domaine
d’élasticité EC , dans lequel le comportement du matériau reste réversible. Il définit également
le domaine plastique et permet ainsi de spécifier quand a lieu l’écoulement plastique. Cette
fonction, appelée fonction de charge (critère de charge), est donnée sous la forme suivante :
( ) 0, <⇔∈ iE AFC σσ (I.11)
Plusieurs critères ont vu le jour depuis le début de l’utilisation de cette théorie. Pour la
simulation du comportement non-linéaire de matériaux ductiles tels que les aciers, la plupart
des modèles se basent sur un critère du second invariant du déviateur des contraintes 2J .
L’utilisation de critères isotropes du type Von Mises s’est avérée bien adaptée à la description
du mode de rupture (dit mode II de rupture) dans ce type de matériaux, correspondant à des
phénomènes de glissement des plans de dislocations.
En ce qui concerne le béton, les mécanismes microscopiques mis en jeux sont plus
complexes, les propriétés cohésives jouent un rôle du moins aussi important que les propriétés
frottantes. Le mode de rupture correspond donc plus à une apparition de surfaces de
discontinuité avec décohésion du matériau qu’à un glissement frottant de celles-ci.
L’utilisation directe de ces modélisations s’avère donc inadaptée car elles se basent sur le
principe d’incompressibilité plastique ( 0][ =pTr ε correspondant à un mécanisme de
cisaillement), conséquence d’un écoulement normal à un critère fonction d’un seul paramètre
(second invariant du déviateur des contraintes). Ceci n’est pas le cas des géomatériaux
(roches, bétons,…). Il faut donc introduire dans le critère un terme prenant en compte les
Chapitre I Etude bibliographique
-47-
effets de la composante hydrostatique des contraintes. L’introduction du premier invariant du
tenseur des contraintes (1I ) permet de prendre en compte les effets de confinement sous
pression triaxiale. La combinaison des deux précédents invariants conduit au critère de
Drucker-Prager (Drucker & Prager 1952).
Il est à noter que l’inconvénient du critère de Drucker-Prager réside dans l’impossibilité de
franchir le seuil de plasticité sous chargements hydrostatiques. Une solution consisté à fermer
le critère en compression triaxiale, c’est l’objet des "cap models" (Di Maggio & Sandler 1971,
Hofstetter & Simo 1993). Une autre solution consiste à adopter une surface analytiquement
fermée en tri-compression évitant ainsi la gestion des coins de raccordement (Gurson 1977,
Ulm 1994, Burlion 1997, Sercombe 1997).
Afin de mieux représenter la réponse du matériau béton sous différents trajets de
chargements, ce qui peut solliciter multiples mécanismes engendrant les non-linéarites du
matériau, le principe de plasticité multi-surfaces peut être appliqué, dans lequel chaque
mécanisme est géré par sa propre surface de charge (Yang et al. 1985).
Figure I.27: Représentation du critère multi-surfaces couplé dans l’espace
des contraintes principales (Feenstra 1993)
Cette plasticité multi-critères permet de coupler aisément fissuration et plasticité. Le
comportement fragile peut ainsi être géré par un critère en contrainte maximale (Rankine) et
la phase ductile (compression) par de la plasticité du type Drucker-Prager, tenant compte de la
pression hydrostatique (Feenstra 1993, Georgin 1998) (figure I.27).
Critère de Rankine
Critère deDrücker-Prager
Chapitre I Etude bibliographique
-48-
L’écoulement plastique est régi par la règle d’écoulement définie à partir d’une fonction
convexe ( )iAG ,σ , appelée potentiel plastique. L’évolution des déformations plastiques est
supposée vérifier les relations suivantes (dites de Kuhn-Tucker) :
σε
∂∂= Gp λ avec
0et 0ou 0 si 0
0et 0 si 0
<=<≥
==≥FFF
FF
λλ
(I.12)
où λ est le multiplicateur plastique que l’on détermine à partir de la condition de
consistance :
0=∂∂+
∂∂= i
i
AA
FFF σ
σ(I.13)
On suppose ainsi dans la théorie de la plasticité qu’il n’y a des évolutions plastiques que si le
point de charge est sur la surface de charge (0=F ) et y reste ( 0=F ).
Si ( ) ( )ii AFAG , , σσ = , l’écoulement est dit associé, et la direction des incréments de
déformations plastiques est normale à la frontière du domaine d’élasticité EC . Dans le cas
contraire, l’écoulement est dit non-associé. Il est important de noter que dans le cadre de la
modélisation des géomatériaux, la plasticité est en général considérée comme non associée
afin de mieux représenter le comportement dilatant de ces matériaux (Chen 1994).
Dans le cas particulier des multi-critères l’écoulement plastique est donné conformément aux
propositions de Koiter (1953) et Maier (1969) en considérant la contribution individuelle de
chaque potentiel plastique. L’incrément de déformation plastique s’écrit donc :
∑= ∂
∂=
n
i
ii
p G
1 σε λ (I.14)
où iλ représente le paramètre multiplicateur plastique correspondant au potentiel plastique iG .
Les variables internes iκ de nature scalaire ou tensorielles représentent l’état actuel de la
matière, c’est à dire ici l’état d’écrouissage ; on utilise classiquement une variable scalaire
(variable d’écrouissage isotrope) :
- soit la déformation plastique cumulée qui s’exprime par :
Chapitre I Etude bibliographique
-49-
( ) ppi εε 32 : =κ (I.15)
- soit le travail plastique dissipé :
pii εσ :=κτ (I.16)
Une variable cinématique souvent utilisée est la déformation plastique elle même (pii εκ = )
comme dans les modèles d’écrouissage de Prager (écrouissage cinématique linéaire).
I-5.2 Modèles d’endommagement pour le béton
Le principe de la mécanique de l’endommagement correspond à la modélisation des effets des
micro-fissures et micro-cavités d’un matériau sur le comportement de ce même matériau.
Cette modélisation est bien adaptée à la description des non-linéarités survenant dans le béton
ou dans les matériaux fragiles du même type, car il postule l’existence de décohésion au sein
du volume élémentaire représentatif.
Tout d’abord proposée par Kachanov (1958) afin de décrire le fluage des matériaux
métalliques, la mécanique de l’endommagement introduit la notion de variable interne de
dégradation d (tensorielle ou scalaire), qui peut être définit dans le cas scalaire de la manière
suivante :
0
1E
Ed −= , (I.17)
où E et 0E sont respectivement le module d’élasticité du matériau sain et du matériau
endommagé.
L’écriture de la loi d’élasticité dans le cadre uniaxial nous conduit à la relation suivante :
( ) εσ 1 0Ed−= (I.18)
L’endommagement d est donc perçu comme le facteur influençant la rigidité sécante du
matériau, 0=d pour un matériau vierge et 1=d pour un matériau complètement rompu.
La distinction entre un état du matériau sain et endommagé, à la base de cette théorie a
conduit au principe de contrainte effective, stipulant que la contrainte réelle s’appliquant sur
la partie de matière encore résistante est supérieure à la contrainte macroscopique. Cette
notion s’exprime souvent par le biais du principe d’équivalence en déformation (figure I.28).
Chapitre I Etude bibliographique
-50-
Dans ce principe, la contrainte effective (Lemaitre 1971, 1992) est celle qui produit dans une
direction donnée la même déformation sur le matériau vierge que la contrainte macroscopique
sur le matériau endommagé, soit dans le cas d’un endommagement scalaire :
d−=
1~ σσ (I.19)
où σ~ représente la contrainte effective.
( ) 11 −-d
L εε L εε
σσ~σσ
Espace Physique Espace Effectif
Figure I.28 : Représentation schématique du principe de l’équivalence
en déformation
L’approximation de la rigidité élastique peut se faire par plusieurs biais selon la cinématique
adoptée pour la variable d’endommagement. En effet, elle peut être scalaire introduisant un
état de micro-fissuration homogène dans toutes les directions de l’espace (Mazars 1984), ou
bien tensorielle pouvant ainsi prendre en compte l’anisotropie induite par la fissuration
(Benouniche 1979, Pijaudier-Cabot 1985, Ramtani1990, Bary 1996, Raguneau 1999).
I-5.2.1Formulation des modèles d’endommagement
Ainsi, la micro-fissuration du matériau responsable de la non-linéarité du comportement est
associée, dans la théorie de l’endommagement à une quantité surfacique, définissant l’état du
matériau à un instant donné. Comme pour les modèles élasto-plastiques, l’écriture des
modèles d’endommagement peut être conduite dans un cadre thermodynamique. La non-
négativité de la puissance intrinsèque dissipée en chaleur ϕ , obtenue d’après l’inégalité
fondamentale de Clausius-Duhem (équation I.6).
ψ est fonction des variables d’état thermodynamique comme suit :
Chapitre I Etude bibliographique
-51-
( ) nid ii ,...,1 , , == κψψ ε (I.20)
où id sont les variables d’endommagement et iκ les variables d’écrouissage. Suivant un
formalisme identique à celui présenté dans le cadre des modèles élastoplastiques. Les forces
thermodynamiques associées aux variables d’endommagement et aux variables d’écrouissage
sont respectivement les taux de restitution d’énergie iY et les forces d’écrouissage iA définis
par :
εσ
∂∂= ψ
, i
i dY
∂∂−= ψ
, i
iAκψ
∂∂−= (I.21)
Les différents modèles d’endommagement varient alors en fonction du nombre de variables
utilisées, du critère d’endommagement définissant le domaine d’élasticité initial, de la loi
d’évolution de l’endommagement et de la loi d’écrouissage choisie. Certains modèles utilisent
ainsi des variables d’endommagement distinctes pour la traction et la compression (Mazars
1984, La Borderie 1991, Frémond & Nedjar 1993) et une fonction linéaire de ces 2 variables
pour des chargements plus complexes (Mazars 1984). Le critère d’endommagement est
généralement donné dans l’espace des déformations par l’intermédiaire d’une fonction seuil
d’endommagement, fonction du taux du restitution d’énergie ( )εiY et des forces
d’écrouissages iA , que l’on peut définir par :
( )( ) 0 , <⇔∈ iiE AYFC εε (I.22)
L’évolution de l’endommagement peut alors être donnée comme pour l’élastoplasticité par
une loi qui n’induit des évolutions que si le point de charge est et reste sur la surface. Enfin, la
loi d’écrouissage définit l’évolution des variables d’écrouissage qui modifient le seuil
d’endommagement dans l’espace des déformations ou des contraintes (La Borderie 1991).
Nous nous intéressons ci-après au modèle scalaire d’endommagement prenant en compte la
dissymétrie entre la traction et la compression (Mazars 1984). Dans ce modèle, le type
d’endommagement traité étant directement lié à l’existence d’extensions, la traduction de ce
phénomène dans le modèle intervient à deux niveaux :
- Seuils d’endommagement
La notion de déformation équivalente, introduite par Mazars (1984), traduit l’état et l’intensité
d’extension locale. L’expression d’une déformation équivalente fonction des déformations
principales positives est donnée ci-dessous, +
x désigne la partie positive de x :
Chapitre I Etude bibliographique
-52-
∑=
+=
3
1
2~
iiεε (I.23)
Ainsi pour un état d’endommagement donné d , le seuil d’évolution est donné par :
( ) ( ) 0~, =−= dkdF εε (I.24)
où ( )dk représente la variable histoire liée à l’endommagement et ( ) 00 kdk == est le seuil
initial d’endommagement.
- Couplage de deux endommagements
Deux formes de lois d’évolutions ont été proposées pur caractériser la dissymétrie de
comportement de ce type de matériau.
( )( )
==
0
0
~ ~
, k, ba,0fD
, k, ba,0fD
cccc
tttt (I.25)
où ( )tt , ba et ( )cc, ba représentent respectivement les paramètres du modèle en traction et en
compression.
I-5.2.2Effet de fermeture des microfissures : Comportement unilatéralDans le cas de chargements cycliques des structures en béton armé, la gestion des ouvertures
et refermetures de fissures est capitale. Dans le cadre d’une modélisation scalaire de
l’endommagement, une solution pour décrire ce phénomène est d’introduire plusieurs
variables d’endommagement susceptibles de traduire des états d’endommagement
anisotropes. Le minimum requis est de deux variables afin de séparer les effets mécaniques
d’ouverture et de fermeture des microfissures (La Borderie 1991).
Dans le modèle développé par La Borderie (1991), l’énergie libre (énergie libre de Gibbs)
exprimée en fonction des contraintes est donnée par :
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )221120
22
10
112
02010
1
121212
κκβ
βνχ
RRTrdE
d
TrfdE
dTr
EdEdE
++−
+−
+−+−
+−
= −−++
σ
σσσσσσσσ
:::
(I.26)
Une séparation du tenseur des contraintes est introduite où +
σ et −
σ sont les parties
positive et négative du tenseur des contraintes. La variable 1d représente l’effet mécanique
Chapitre I Etude bibliographique
-53-
des micro-fissures quand le matériau est soumis à une sollicitation de traction et 2d représente
l’effet mécanique des micro-fissures quand le matériau est soumis à une sollicitation de
compression.
l’expression de la loi d’état permettant de calculer la déformation peut ainsi être obtenue :
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
−+
∂∂
−=
−+−
+−
=
+=∂∂=
−+
1
1
20
22
10
11
02010
11
11
dE
df
dE
d
TrEdEdE
an
e
ane
ββ
ν
χ
σε
σσσσ
ε
εεσ
ε
(I.27)
où :
- 1β et 2β sont des paramètres matériaux à identifier permettant de décrire l’évolution des
déformations anélastiques.
- ( )11 κR et ( )22 κR les fonctions d’écrouissage.
L’évolution de l’endommagement est conditionnée par le respect d’une surface seuil dans
l’espace des contraintes :
iii AYF −= (I.28)
iY est la variable associée à l’endommagement id et iA la variable associée à la variable
d’écrouissage iκ .
Les lois d’évolution de l’endommagement s’expriment comme suit :
( )[ ] iCiii
iYYB
d0 1
11
−+−= (I.29)
où iB et iC sont des paramètres matériaux gérant la loi d’évolution de l’endommagement.
( )σf est la fonction de refermeture de fissures, qui annule les déformations anélastiques de
traction lors de la reprise de raideur, elle s’exprime en fonction de la trace du tenseur des
contraintes :
Chapitre I Etude bibliographique
-54-
( ) [ [ ( )
( ) [ ] ( ) ( )
( ) ] ] ( )
=∂
∂→−∞−∈
+=
∂∂→−∈
=∂
∂→∞+∈
1
1 1
1
.0 ,
0 ,
, 0
σσσ
σσσσ
σσσ
fTr
TrfTr
fTr
f
ff
σ
σσ (I.30)
fσ est la contrainte de refermeture de fissure.
La réponse de ce modèle soumis à un cycle de chargement du type : traction – compression –
traction est présentée en figure I.29.
Figure I.29: Réponse uniaxiale du modèle avec endommagement
unilatéral (La Borderie 1991)
La difficulté de ce modèle réside dans sa formulation en contrainte rendant très lourde son
implémentation dans un code éléments finis en déplacement. La loi de comportement doit être
inversée à chaque itération.
Dragon & Halm (1998), proposent une modélisation anisotrope de l’endommagement dans
laquelle l’endommagement est le seul phénomène dissipatif considéré ; il consiste en la
création et la propagation de méso-surfaces de décohésion au sein d’un volume représentatif.
Le modèle utilise une variable interne tensorielle d’ordre 2 d’endommagement d décrivant
l’orientation et l’étendue des méso-fissures.
( ) ii
i
i n nsd ⊗= ∑d (I.31)
Chapitre I Etude bibliographique
-55-
où in représente la normale unitaire au système ( )i de méso-fissures parallèles, (s)di est une
fonction scalaire adimensionnelle traduisant la densité de méso-fissures du système ( )i .
pour la description du phénomène unilatéral, une variable tensorielle d’ordre 4 est utilisée
pour traduire que seuls des déplacements tangentiels au niveau des lèvres des méso-fissures
sont autorisés.
L’expression (I.31) est donc étendue :
( ) iiii
i
i nnn nsd ⊗⊗⊗= ∑d (I.32)
Il est montré que la quasi totalité de théories exposées ci-dessus ont des défauts inacceptables
lorsqu’elles prennent en compte à la fois l’anisotropie induite par endommagement et l’effet
unilatéral de fermeture des fissures (Chaboche 1992, Pijaudier-Cabot 1994). Ces défauts
apparaissent sous la forme de discontinuités dans la réponse contrainte-déformation dues à la
condition unilatérale.
Quelques approches permettent de résoudre ces difficultés. On peut les classer en deux
catégories. La première catégorie utilise des variables différentes par caractériser
l’endommagement en traction et en compression. Ramtani (1990) propose une décomposition
du tenseur de déformations en partie positive et négative. Deux tenseurs d’endommagement
sont introduits, agissant l’un sur la partie positive des déformations, l’autre sur la partie
négative. Ainsi en fonction du signe des déformations et l’histoire du chargement, les valeurs
respectives des tenseurs d’endommagement produisent des raideurs différentes en traction et
en compression, ce qui permet de reproduire le caractère unilatéral. La seconde catégorie vise
à traduire un comportement du type endommagement fragile (Ju 1989) en utilisant un tenseur
d’ordre 4 d’endommagement fonction des extensions dans les directions principales. Cette
modélisation a l’avantage de n’utiliser qu’une seule variable d’endommagement pour
reproduire ce phénomène. Par contre, on peut regretter que cette variable d’endommagement
soit un tenseur d’ordre 4, par conséquent difficile à identifier.
I-5.3 Couplage endommagement et plasticité
Afin d’allier les avantages de la théorie de l’endommagement (modélisation des effets de la
micro-fissuration sur la rigidité du matériau au niveau macroscopique) et de la théorie de la
plasticité (modélisation des déformations irréversibles ou permanentes) (figure I.30), un
Chapitre I Etude bibliographique
-56-
certain nombre de modèles couplés (plasticité-endommagement) ont été développés, tantôt sur
la plasticité en incluant une variable d’endommagement, tantôt basés sur l’endommagement
en incluant des déformations irréversibles. C’est par exemple le cas du modèle de La Borderie
(1991), celui de Dragon & Halm (1998) (déjà présentés ci-dessus), qui intègrent dans leurs
formulation un terme de déformation permanente lié aux variables d’endommagement, sans
pour autant introduire de variables supplémentaires.
σ
ε
(a) σ
ε
(b) σ
ε
(c)
Figure I.30: Exemples de modélisations : (a) : Elasto-plastique,
(b) : Elasto-Endommageable, (c) : Couplée.
Le couplage entre plasticité et endommagement peut être qualifié de fort au sens où le
comportement plastique et endommageable du matériau sont définis par des variables d’état
distincte (Ju 1989, Luccioni & al. 1996): le tenseur de déformation plastique et la variable
d’écrouissage pour le comportement irréversible du matériau ; la variable d’endommagement
d pour le comportement réversible. Leur formulation peut conduire à la définition de deux
seuils différents limitant les domaines d’élasticité. Les évolutions des deux variables peuvent
être dès lors pilotées dans des espaces différents et par des quantités distinctes (contraintes
pour les évolutions plastiques, déformations pour les évolutions de la variable
d’endommagement), ce qui laisse une grande liberté dans la modélisation mais introduit un
nombre de paramètres relativement important. L’identification de ces derniers est alors plus
difficile.
Un autre type de couplage peut être retenu. Dans ce cas le comportement non-linéaire du
matériau est uniquement défini par des variables d’état plastiques prenant en compte, au
niveau macroscopique des phénomènes physiques sous-jacents, l’effet de la micro-fissuration
sur les caractéristiques mécaniques du matériau est introduit en faisant dépendre directement
ces dernières des variables plastiques. Par conséquent, à un seul phénomène microscopique
(la micro-fissuration) correspond un seul type de variable macroscopique permettant de
Chapitre I Etude bibliographique
-57-
modéliser les différents aspects du comportement du béton au niveau macroscopique :
apparition de déformations permanentes, évolution du module d’élasticité, écrouissage ou
adoucissement (Frantziskonis & Desai 1987, Ulm 1996, Sercombe 1997). Dans la suite de ce
paragraphe, on s’intéresse surtout aux modèles du deuxième type, étant donné leur
formulation plus simple et leur nombre de paramètres réduit.
Il est à noter que dans cette deuxième approche, on garde généralement le formalisme de la
théorie de l’endommagement en utilisant une variable d’endommagement spécifique dont
l’évolution est néanmoins définie non plus à partir d’un seuil ou potentiel d’endommagement
spécifique mais à partir des variables plastiques. C’est le cas par exemple du modèle de
Frantziskonis & Desai (1987) où l’évolution de l’endommagement est pilotée par la distorsion
plastique équivalente.
( )peqdd γ= (I.33)
( ) 1 :
−==
32
avec 21
pp
pppp
eq Trεεγγγγ (I.34)
Lubliner & al. (1989) proposent un modèle dans lequel l’endommagement est fonction du
taux d’énergie de fissuration élémentaire.
( )ζdd = (I.35)
( )
( )∫
∫∞=
0
0
pp
pp
d
d
p
εεσ
εεσζ
ε
(I.36)
L’avantage de cette formulation provient de la définition conjointe des évolutions plastiques
et de l’endommagement qui n’interviennent que lorsque l’état de contrainte se trouve sur la
surface de charge plastique ( 0=F ) et y reste ( 0=F ). Pour compléter cette formulation et
introduire en contrepartie un effet de l’endommagement sur l’évolution des déformations
plastiques, le critère de plasticité et la règle d’écoulement sont formulées à partir des quantités
effectives (telles que le tenseur de contraintes effectives), supposant qu’une fois les micro-
fissures initiées, les contraintes locales dues à la micro-fissuration sont redistribuées dans un
domaine "effectif". Ces redistributions provoquent un état de contraintes dans ce domaine
plus important que celui qui est lié par l'équilibre mécanique à un effort extérieur. En
Chapitre I Etude bibliographique
-58-
conséquence l'écoulement plastique est supposé dû aux "quantités effectives" (Ju 1989,
Chaboche 1992).
On peut alors réécrire le critère de plasticité (équation I.10) et la condition d’écoulement
(équation I.11) sous la forme suivante :
( ) 0 ,~ ~ FFCE ≤=⇔∈ ùσσ (I.37)
σε ~∂
∂= i
ip G
λ avec 0et 0ou 0 si 0
0et 0 si 0
<=<≥
==≥FFF
FF
λλ
(I.38)
Ulm (1996) propose d’exprimer directement les caractéristiques élastiques en fonction des
variables plastiques sans faire appel au concept de contrainte effective tels que :
( )( )κκ
GG
KK
==
(I.39)
où K est le module de compressibilité,G le module de cisaillement et κ la variable
plastique.
Il est à noter que l’emploi de modèle d’endommagement plastique (deuxième approche) ne
diminue pas le nombre de variables d’états du modèle. Il s’agit en effet d’une diminution de
variables d’évolutions, bien que la variable d’écrouissage associée à l’endommagement
disparaisse.
I-5.4 Extension pour la thermique
En thermique, la théorie de la plasticité comme celle de l’endommagement sont généralement
modifiées pour prendre en compte dans la modélisation les déformations d’origine thermique,
les déformations d’interaction thermo-mécaniques et la dépendance des caractéristiques
mécaniques à la température.
I-5.4.1Approche par la théorie de la plasticitéEn plasticité, des modifications sont apportées à la surface de charge et à la loi d’évolution du
paramètre d’écrouissage qui dépend alors de la température. La dégradation des
caractéristiques mécaniques est introduite en les faisant dépendre ces dernières de la
température T . La définition (I.10) du domaine d’élasticité devient alors :
Chapitre I Etude bibliographique
-59-
( ) 0 , , <⇔∈ TAFC iE σσ (I.40)
Plusieurs modèles sont proposées pour l’étude du matériau béton en situation d’incendie.
Ahmad & Hamoush (1988) proposent un modèle formulé en élasticité non-linéaire pour la
modélisation du comportement en compression du béton en situation isotherme à hautes
températures. Ce modèle ne restitue pas l’accroissement de sensibilité au confinement de la
résistance en compression mutiaxiale du béton observée par différents auteurs (Ehm &
Schneider 1985, Kordina & al. 1985, Thienel & Rostasy 1993). Khennane (Khennane &
Baker 1992a, 1992b, 1993) se sont également intéressés spécifiquement au comportement du
béton sous sollicitation de compression biaxiale. Ils proposent un modèle formulé dans le
cadre de la théorie de la thermo-plasticité et limité au cas de contraintes planes de
compression. Les auteurs ne se sont intéressés qu’au comportement pré-pic du béton en
compression. Par ailleurs, Heinfling (1998) s’est intéressé au développement d’un modèle
béton sous sollicitation biaxiales prenant en compte l’aspect de la restitution de l’effet de
l’accroissement de sensibilité au confinement ainsi que la déformation d’interaction thermo-
mécanique, néanmoins ce modèle ne permet pas de gérer l’endommagement mécanique ainsi
que la fermeture de fissures lors de chargements cycliques.
I-5.4.2Approche par la théorie de l’endommagementEn théorie de l’endommagement les modifications apportées pour tenir compte des effets de
la température se rapprochent dans la forme de celles des modèles thermo-plastiques. Les
modifications sont apportées à la surface de charge et à la loi d’évolution de
l’endommagement pour prendre en compte les effets de la température.
Par ailleurs on peut noter que peu de modèles sont proposés dans la littérature pour la
prédiction du comportement mécanique du béton et des structures en béton armé à hautes
températures prenant à la fois l’endommagement mécanique et thermique.
Baker & Stabler (1998), en adaptant en thermique le modèle de Mazars (1984), introduisent
une dépendance du seuil initial d’endommagement à la température. L’expression de
l’endommagement est modifiée elle aussi par un terme correctif fonction de la température.
Ainsi la fonction de charge présentée au paragraphe I-6.2.1, est écrite sous sa nouvelle forme :
( ) ( ) 0 ,~ , =−= TdkdF εε (I.41)
Chapitre I Etude bibliographique
-60-
Baker & de Borst (1995) proposent un modèle d’endommagement anisotrope, basé sur une
extension des modèles de Ortiz (1985) et Yazdani & Schreyer (1988) à des situations de
hautes températures. Cette extension est fondée sur la thermodynamique des processus
irréversibles dans laquelle la loi d’évolution du taux d’endommagement s’exprime comme
fonction de la contrainte σ , de l’endommagement d et de la température T .
( )Tddd , ,σ= (I.42)
Il est à noter que les surfaces de rupture et d’endommagement prédites par ce modèle ne
prennent pas en compte l’accroissement de sensibilité au confinement du béton en
compression avec la température.
Une nouvelle gamme de modèles qualifiés de chimo-plastique (Ulm & Acker 1997),
analogues par leurs formes aux modèles thermo-plastiques sont également proposées. Ils
différent entre eux par la formulation de la loi d’évolution de la surface de charge et le calage
du ou des paramètres associés au comportement. De manière générale, on peut définir pour
ces modèles la loi d’évolution par :
( )( ) 0, <⇔∈ ξiE AFC σσ (I.43)
où ξ représente le degré déshydratation, fonction de la température. C’est à travers cette
variable qu’on tient compte de l’endommagement thermo-chimique du matériau.
Il est à noter que ce modèle ne permet pas de prendre en compte l’endommagement
mécanique ainsi que l’effet unilatéral remarqué lors des essais cycliques. L’interaction
thermo-mécanique n’y est pas prise en compte.
I-5.4.3Modélisation de la déformation d’interaction thermo-mécanique
Intéressons nous maintenant plus spécifiquement au calcul de la déformation d’interaction
thermo-mécanique. On sait que dans le cas général, le taux de déformation totale ε est
décomposé en un taux de déformation élastique eε , un taux de déformation plastique pε (dans
le cas de plasticité), un taux de déformation de dilatation thermique θε et un taux de
déformation d’interaction thermo-mécanique tmε :
tmpe εεεεε +++= θ (I.44)
Chapitre I Etude bibliographique
-61-
le calcul de la déformation plastique se fait comme dans le cas de la plasticité classique en
utilisant la loi d’écoulement :
( )σ
σε
∂∂
=TAG ip ,,λ (I.45)
La déformation thermique peut être calculée soit en faisant intervenir le coefficient de
dilatation thermique α , fonction de la température T (De Borst & Peeters 1989, Khennane &
Baker 1992), donnée par la formule suivante :
( ) 1 TT αθ =ε (I.46)
Soit en utilisant des formules empiriques exprimées par une fonction directe de la température
( )TΦ (Franssen 1987, Schneider 1988).
( )1 TΦ=θε (I.47)
En ce qui concerne la déformation d’interaction thermo-mécanique, deux approches ont été
proposées pour le calcul de cette composante :
La première approche (Bazant & Kaplan 1996, Schneider 1988) considère celle-ci comme une
déformation de fluage et utilise donc un formalisme de fluage dans lequel la déformation
d’interaction thermo-mécanique s’exprime dans le cas uniaxial par :
( )1ttTJ0tm , , ′= (I.48)
où ( )ttTJ ′ , , est la fonction complaisance de fluage qui représente la déformation engendrée à
l’instant t par une contrainte unitaire appliquée à l’instant t ′ .
Plusieurs auteurs (Khoury & al. 1985, Thelandersson 1987) pensent que l’introduction du
temps dans cette formulation ne se justifie pas dans la mesure où la déformation d’interaction
thermo-mécanique est quasi instantanée et pratiquement indépendante du temps. De plus,
cette formulation ne prend pas en compte l’accentuation de l’effet de la contrainte appliquée
sur le module d’Young qui joue un rôle important dans le développement de ces
déformations. La fonction complaisance de fluage J étant indépendante du niveau de
contrainte.
Schneider (1988), propose une nouvelle formule toujours dans le cadre de l’approche du
fluage basée sur une étude expérimentale dans laquelle la déformation d’interaction thermo-
mécanique est liée à différents mécanismes de fluage et s’écrit dans le cas uniaxial :
Chapitre I Etude bibliographique
-62-
1
E0
tm φ= (I.49)
où E est le module de Young du béton, φ est une fonction de fluage transitoire. Cette
dernière dépend de la température et de l’histoire de chargement. Elle traduit l’évolution du
module de Young en fonction du niveau de chargement activé par la température.
Une seconde approche, Anderberg & Thelandersson (1973) considère la composante de
déformation d’interaction thermo-mécanique de façon plus globale en considérant qu’elle
représente l’effet de la contrainte appliqué sur la déformation thermique du béton et introduit
donc le concept d’interaction thermo-mécanique. Elle est donnée empiriquement dans le cas
uniaxial selon par :
20
0
c
tm0
f
1
0
β= (I.50)
où 20cf est la résistance en compression uniaxiale à 20°C, 0β est un paramètre matériau qui
varie entre 1,8 et 2,35 d’après Thelandersson (1987) et Schnieder (1988). σ représente la
contrainte uniaxiale appliquée. En supposant que le taux de déformation d’interaction thermo-
mécanique tm0 dépend linéairement de l’état de contrainte multiaxial appliqué et que le
processus physique de ce phénomène n’engendre pas d’anisotropie, une généralisation de
cette relation empirique à un état de contrainte multiaxial à été proposée et mis en œuvre par
de Borst & Peeters (1989) puis Khennane & Baker (1992) et enfin Heinfling (1998) :
σε :Q Ttm
= (I.51)
où Q est un tenseur du quatrième ordre s’exprimant par :
( )( )
+++−= jkiljlikklij
cijkl
f
Q δδδδγδγδ
βα1
2
1
0
0 (I.52)
où γ est un paramètre supplémentaire du matériau et ijδ est le symbole de Kronecker.
Thelandersson (1987) propose une autre façon de généraliser la loi uniaxiale (équation I.50),
dans laquelle le taux de déformation thermo-mécanique tmε est décomposé en une partie
déviatorique tmdε et une partie volumique tmvε tel que :
=
=
sT
pT
dtmd
vtmv
γ
γ
ε
ε 1(I.53)
Chapitre I Etude bibliographique
-63-
où p est la pression hydrostatique, s est le vecteur contrainte déviatorique, vγ et dγ sont des
paramètres matériaux. Ces derniers peuvent être reliés à 0β et γ utilisés dans la formulation
précédente. Cette dernière formulation induit une anisotropie de la déformation d’interaction
thermo-mécanique. Le processus global de déformation thermique du béton (dilatation
thermique et interaction thermo-mecanique) devient alors anisotrope et des déformations de
cisaillement sont ainsi engendrées ce qui coïncide bien avec les observations de Thienel & al.
(1993).
Il est également à noter que l’effet du chargement mécanique sur l’évolution du module de
Young avec la température, introduit explicitement dans la formulation proposée par
Schneider (1988), peut être pris en compte par la définition d’une variable adéquate
d’endommagement thermique fonction de la température, comme il sera le cas de notre
modélisation. L’écriture de la déformation proposée par Thelandersson (1987), possède
l’avantage d’être identifiée avec un nombre limité de paramètres tout en décrivant les
phénomènes essentiels. Nous utilisons donc cette approche dans la suite de notre travail.
I-5.5 Problème de localisation des déformations
La localisation de la déformation et de l’endommagement est un phénomène fréquemment
observé pour une large classe de matériaux et notamment dans les matériaux "fragiles" tels
que les bétons, les roches et les sols. Lors d'essais de laboratoire (compression uniaxiale ou
triaxiales par exemple), on constate ainsi qu'à partir d'un certain état de chargement, les
déformations se concentrent puis croissent rapidement dans des bandes d'épaisseur faible mais
non nulle.
D'un point de vue mécanique, l'apparition d'une bande de localisation est donc associée à celle
d'une surface de discontinuité des déformations. En effet, théoriquement, les équations aux
dérivées partielles gouvernant l'équilibre changent de nature. En statique, le problème
d'équilibre est caractérisé par une perte d'ellipticité conduisant à l'existence d'une infinité de
solutions, dont certaines présentent des discontinuités du champ de déplacement (Benallal &
de Borst 1988). En dynamique, le problème décrivant le mouvement passe d’un problème
hyperbolique (avant adoucissement) à un problème parabolique ou elliptique (en phase
d’adoucissement). Dans tous ces cas de figures, il s’ensuit que le problème décrivant
Chapitre I Etude bibliographique
-64-
l’équilibre devient mal posé. D’une manière plus générale on peut trouver dans (Benallal &
al. 1997) une discussion sur les conditions qu’il est nécessaire de vérifier pour que le
problème mécanique reste bien posé. Dans le cadre de la mécanique de l’endommagement.,
de tels critères permettent de prédire l’amorçage d’une macro-fissure ainsi que son
orientation, au moment ou le problème devient mal posé.
Différentes approches, dites méthodes de régularisation, ont été suggérées pour préserver la
nature des équations. Ceci se traduit le plus souvent par l'introduction d’un paramètre
longueur caractéristique ou longueur interne dans le modèle jouant le rôle de limiteur de
localisation et rendant compte du caractère fini de la zone localisé. Cela signifie que deux
échelles distinctes sont présentes : une échelle associée au comportement macroscopique de la
structure et une échelle microscopique associée à la zone de localisation et gouvernée par la
longueur interne. Cette amélioration de la description mécanique du milieu continu traduit sur
le plan physique le caractère non local du modèle. En effet, l’histoire du point dépend aussi de
la contribution d’un certain voisinage défini par la longueur interne et reflétant l’interaction de
la microstructure.
D’autres méthodes ont été développées afin d’introduire directement une longueur interne
dans la loi de comportement. Il est à noter que cette technique nécessite des conditions aux
limites supplémentaires, correspond à la modélisation non-locale. En ce qui concerne la
variable non-locale, plusieurs formulations utilisant une variable d’état (déformation,
déformation inélastique, mesure d’endommagement) non locale (Saouridis 1988, Pijaudier-
Cabot & Bodé 1992, Meftah 1997). Une variable non locale Y est définie en chaque point x
du milieu continu :
- par une moyenne pondérée en espace, centrée en ce point, de la variable locale Y dans le
cas d’une approche intégrale.
( ) ( ) ( ) Ω+Ω
= ∫Ω
d 1
ssxx
gYYr
(I.54)
où Ω est le volume de la structure, ( )xrΩ le volume représentatif autour de x .
( ) ( )∫Ω
Ω=Ω d sx gr (I.55)
et g(s) la fonction de pondération.
Chapitre I Etude bibliographique
-65-
- par la prise en compte des gradients d’ordre pair (isotrope) dans le cas d’une approche
différentielle
( ) ( ) ( ) ⋅⋅⋅+∇+∇+= xxx YLYLYY 42
21 (I.56)
où les iL sont des constantes phénoménologiques définissant la contribution du voisinage au
travers des termes d’ordre supérieurs.
Toujours dans le cadre des modèles aux gradients, une approche différente est proposée par
Andrieux, Joussemet & al. (1996). Elle consiste à prendre en compte les gradients des
variables internes et la répartition spatiale des hétérogénéités. La construction d’une technique
d’homogénéisation permet de généraliser le potentiel d’énergie libre pour prendre en compte
le gradient d’endommagement.
Une autre approche est celle de la formulation micro-polaire basée sur les travaux de Cosserat
(1909). Il introduis des couples de contraintes comme résultat de la rotation locale de la
microstructure. La réciprocité des contraintes tangentielles n’est plus satisfaite, et des degrés
de liberté supplémentaires, i.e. des micromoments µ et des microrotations ω (figure I.31),
apparaissent dans les relations de comportement.
zyµ
xyσ
xxσ
yxσ
σyy
σyx
σxxσxy
σyy
zxµ
Figure I.31: tenseur de contrainte en milieu classique (gauche) et en
milieu de Cosserat (droite).
Il est à noter que l’utilisation de telles approches (non locales intégrales ou différentielles,
cosserat) nécessite généralement des développements numériques délicats. Une proposition
intermédiaire semblable à la première approche, consiste à choisir pour le milieu un pseudo-
comportement qui dépend de la finesse du maillage (Hillerborg 1976). Ceci consiste à faire
dépendre la pente post-pic de la relation contrainte-déformation de la taille de l’élément de
Chapitre I Etude bibliographique
-66-
manière à dissiper à la rupture une énergie de fissuration constante (Bazant & Oh 1983,
Pietruszak & Mroz 1981).
Cette approche constitue un pas vers une description non locale du milieu continu. Elle est
basée sur une loi issue de la mécanique de la rupture (Hillerborg 1976) selon laquelle
l’énergie de fissuration en mode I est définie par :
∫=ru
f duG0
σ (I.56)
où u est le déplacement d’ouverture de fissure (figure I.32)
σ σ
u
σ σ
w
ε p
Figure I.32: Représentation d’une fissure discrète par
une fissuration répartie (Meftah 1997)
Dans une approche par fissuration répartie, la fissure est représentée par une zone de
localisation de taille w dans laquelle la déformation plastique pε est uniformément répartie.
En adoptant l’hypothèse du travail plastique cumulé proposée à l’équation (I.15) pour
l’évaluation du paramètre d’écrouissage, l’expression de l’énergie de fissuration peut être
exprimée dans ce cas:
f
0
g wdwGu
f == ∫κ
κτ (I.57)
où fg est l’énergie locale de fissuration représentée par l’aire sous le diagramme
d’écrouissage (figure I.33).
Cette approche considère l’énergie de fissuration fG comme un paramètre caractéristique du
matériau. En effet, il est suggéré par Bazant & Oh (1983) de conserver une énergie dissipée
constante afin d’éviter la sensibilité de la solution à la taille du maillage. Pour cela, la taille de
la zone de localisation w est reliée à la taille de l’élément fini cw (Bazant & Oh 1983, Rots
Chapitre I Etude bibliographique
-67-
1988). Le paramètre d’écrouissage ultime u (figure I.33) est calculée de manière à ce que le
paramètre local fg dissipe l’énergie de fissuration fG sur l’élément.
κ
gf
κu
1h
ττ0 = f t
Figure I.33: Diagramme d’adoucissement linéaire du béton
en traction
Dans le cas du comportement adoucissant linéaire de la figure I.33, l’expression de la
déformation plastique ultime est établie en fonction de la taille de l’élément (Bazant & Oh
1983) telle que :
ct
f
w
G
f2
f
g2
t
fu ′
=′
= (I.58)
où tf ′ est la résistance en traction uniaxiale du béton.
Cette approche est très efficace pour les problèmes de fissuration en mode I à une seule
fissure et lorsque le maillage présente une orientation fixe durant les calculs. Cependant, la
perte d’ellipticité se pose toujours localement même si l’énergie dissipée reste constante en
adaptant le module d’écrouissage en fonction de la taille de l’élément. Ainsi, la déformation
continue à localiser dans une zone de taille réduite. Etant donnée la simplicité de sa mise en
œuvre et malgré ses lacunes, c’est cette technique que nous utilisons dans la construction de
notre modèle.
I-5.6 Conclusion de la partie modélisation
Dans cette partie de l’étude bibliographique, nous avons fait une revue de modèles de
comportement qui serviront de base à la modélisation que nous présentons dans le chapitre
qui suit. Les points suivants sont à retenir et nous seront utiles pour la suite :
Chapitre I Etude bibliographique
-68-
- Les modèles de plasticité permettent d’avoir une description des déformations
irréversibles. Les modèles d’endommagement sont quant à eux appropriés aux
descriptions du phénomène de perte de rigidité observée expérimentalement, ainsi que le
phénomène de refermeture des fissures lors des chargements cycliques (phénomène
unilatéral). Le couplage entre plasticité et endommagement semble être la meilleure façon
d’allier les avantages des deux théories. Notre choix s’est porté sur une formulation
couplée avec l’approche endommagement plastique. Le comportement non-linéaire du
matériau est uniquement défini par des variables d’état plastiques dont l’avantage provient
de la définition conjointe des évolutions plastiques et de l’endommagement ; ce qui réduit
considérablement le nombre de variables d’évolution.
- Le choix du critère de charge pose un problème relativement difficile pour le béton du fait
de la variété des comportements observés en fonction du chargement. Une première
solution consiste à formuler un critère unique, ce qui conduit d’une part, à des expressions
souvent compliquées du critère (Ottosen, Willam-Warnke à 5 paramètres), et d’autre part,
à des difficultés dans le choix des variables d’écrouissage et des lois d’évolution. La
deuxième approche offre plus de souplesse dans la gestion des variables d’écrouissage.
Elle consiste à utiliser un critère multi-surfaces. L’inconvénient de cette approche reste
dans le traitement des couplages entre les critères élémentaires, ainsi que la mise en œuvre
numérique. C’est cette approche qui sera utilisée par la suite.
- Afin de modéliser de façon précise le comportement à hautes températures dans le cadre
d’une analyse thermo-mécanique, il est nécessaire de prendre en compte le développement
des déformations d’interaction thermo-mécanique. Parmi les approches proposées pour la
modélisation de ces déformations, nous orientons notre choix vers la formulation proposée
par Thelandersson (1987) qui permet de représenter de façon correcte la phénoménologie
de la déformation thermique du béton sous chargements thermiques et mécaniques
combinés avec un nombre limité de paramètres identifiables expérimentalement.
- Dans le cas où l’on a une description du comportement qui fait intervenir un écrouissage
négatif, il se pose un problème lié à la localisation des déformations. Plusieurs techniques
de régularisation ont été rappelées, en retenant le concept de Hillerborg (1976), comme
technique de régularisation.
Chapitre I Etude bibliographique
-69-
I-7 CONCLUSION
L’étude bibliographique du comportement thermo-mécanique du béton nous a permis de
mettre en évidence certains phénomènes physiques qui peuvent apparaître notamment lors de
la dégradation du matériau.
Certains de ces phénomènes nous ont apparu primordiaux pour une bonne analyse de la
réponse sous chargement thermo-mécanique de structures en béton armé (endommagement,
caractère unilatéral, déformation plastique, décohésion thermique et interaction thermo-
mécanique).
L’analyse des différents modèles que nous avons pu relever dans la littérature montre que la
modélisation du comportement thermo-mécanique du béton reste un sujet relativement
nouveau.
Par ailleurs, cette étude a suscite notre attention à l’intérêt porté par l’utilisation d’une
modélisation thermo-plastique endommageable couplée avec l’approche endommagement
plastique.
Les choix entrepris en matière de la modélisation de la déformation d’interaction thermo-
mécanique ; le type de critère de charge et la méthode de la régularisation, nous ont parus les
plus adéquats pour notre étude. Ces choix seront utilisés par la suite pour le développement
d’un nouveau modèle.
Chapitre II Formulation du modèle
-70-
CHAPITRE II
FORMULATION DU MODELE
II-1 INTRODUCTION................................................................................................................................. 71
II-2 ELABORATION D’UN MODELE D’ENDOMMAGEMENT-PLASTICITE COUPLES............ 72
II-2.1 FORMULATION DU MODÈLE................................................................................................................. 73
II-2.2 EVOLUTION DE L’ENDOMMAGEMENT.................................................................................................. 75
II-2.3 COUPLAGE ENTRE PLASTICITÉ ET ENDOMMAGEMENT......................................................................... 79
II-2.4 CRITÈRE DE PLASTICITÉ – POTENTIEL PLASTIQUE............................................................................... 80
II-2.5 LOIS DE COMPORTEMENT DU BÉTON À HAUTES TEMPÉRATURES......................................................... 84
II-3 INTEGRATION DU MODELE DANS UN CODE DE CALCUL ELEMENT FINIS................. 103
II-3.1 DESCRIPTION DU PROBLÈME THERMO-MÉCANIQUE........................................................................... 103
II-3.2 RÉSOLUTIONS NUMÉRIQUES DU PROBLÈME THERMIQUE................................................................... 105
II-3.3 RÉSOLUTION NUMÉRIQUE DU PROBLÈME MÉCANIQUE...................................................................... 108
II-3.4 INTÉGRATION DES ÉQUATIONS CONSTITUTIVES DU MODÈLE............................................................. 110
II-4 CONCLUSION.................................................................................................................................... 134
Chapitre II Formulation du modèle
-71-
II-1 INTRODUCTION
Le but de ce chapitre consiste en l’élaboration d’un modèle de comportement pour le béton
permettant de prendre en compte l’endommagement mécanique et l’effet unilatéral lors des
chargements cycliques d’une part, ainsi que l’endommagement thermique et l’influence du
chargement mécanique sur le processus de déformation thermique (fluage thermique
transitoire) lors des chargements combinés. L’objectif final de ce travail est de pouvoir
intégrer ces différents phénomènes dans un calcul de structure afin d’améliorer et de rendre
plus prédictive la modélisation thermo-mecanique du béton.
Dans ce but, un modèle couplant le niveau d’écrouissage atteint en traction/compression avec
l’endommagement est proposé. Ce couplage endommagement-plasticité est assuré en utilisant
le principe de la contrainte effective. Sans pour autant perdre de vue la physique des
phénomènes, cette modélisation du matériau est effectuée de manière phénoménologique dans
le cadre de la thermodynamique des processus irréversibles.
Chapitre II Formulation du modèle
-72-
II-2 ELABORATION D’UN MODELE D’ENDOMMAGEMENT-
PLASTICITE COUPLES
Ainsi qu'il est apparu à travers l'analyse des résultats expérimentaux, donnés dans la partie
bibliographique, le comportement thermo-mécanique du béton en traction ou en compression
ne diffère du comportement à température ambiante que :
- par une résistance en compression /en traction et un module d'élasticité plus faibles,
fonction de la température
- par l'apparition d'une déformation d'interaction thermo-mécanique.
La modélisation du comportement micro-fissuré du béton sous chargement thermo-mécanique
peut être conduite de la même façon que sous chargement mécanique à température ambiante,
pourvu que les effets de température soient introduits dans la formulation du modèle.
S’intéressant maintenant à la modélisation non-linéaire du béton, pour des chargements
mécaniques à température ambiante, la connaissance de la variation de la déformation
plastique joue un rôle très important en ce qui concerne la description macroscopique non-
linéaire du béton (Frantziskonis & Desai 1987, Lubliner & al. 1989, Ulm 1996, Sercombe
1997). En effet, les déformations plastiques étant très fortement liées au développement de la
micro-fissuration. L'utilisation de cette variable pour piloter l'endommagement et
l'écrouissage semble adéquate pour la bonne représentation du couplage endommagement-
plasticité.
Le problème majeur est maintenant de savoir quel type de variable d’endommagement nous
allons choisir (endommagement anisotrope ou isotrope). On sait d’après l’analyse
expérimentale que les fissures se développent dans un plan perpendiculaire aux extensions,
créant dans un premier stade une anisotropie du comportement du béton, et dans un stade
ultime des surfaces de rupture de même sens. Une approche serait alors de considérer que
l’augmentation de l’endommagement induit une anisotropie et de choisir alors un
endommagement anisotrope.
Des résultats récents obtenus par Fichant & al. (1998) en statique montrent que dans des
situations où la fissuration du matériau est essentiellement pilotée par une extension
Chapitre II Formulation du modèle
-73-
unidimensionnelle, un endommagement scalaire donne des résultats numériques, au niveau de
la structure, similaires à ceux issus par des modèles d’endommagement orthotrope. Nous
ferons l’hypothèse que cela reste vrai dans le cas ou la fissuration du matériau est contrôlée
par une variable de nature déformation plastique.
En fait, l’anisotropie induite par l’endommagement n’est importante que lorsque le matériau
est soumis à des extensions multiaxiales ou quand l’histoire le chargement appliqué au
matériau est fortement non radiale.
Etant donné la complexité des modèles d’endommagement anisotrope, comparés aux modèles
isotropes (à la fois du point de vue de la calibration du modèle et de son implémentation
numérique) nous considérons que l’endommagement est une variable scalaire. Il est
important de noter que ce choix ne compromet pas la prise en compte de la dissymétrie entre
les comportements de traction et la compression.
II-2.1 Formulation du modèle
Dans le but d’effectuer une modélisation isotrope des phénomènes thermo-plastiques couplés
à l’endommagement dans le cadre général de la thermodynamique des processus irréversibles,
nous postulons l’existence d’un potentiel thermodynamique (dans notre cas, nous avons choisi
l’énergie libre Helmhotz) s’exprimant comme une fonction à valeur scalaire et convexe par
rapport aux variables d’états.
( ) ( )Λ+Λ= ,, , , , , DD pe
e θψθψψ κε (II.1)
Dans cette équation eψ désigne le potentiel thermo-élastique endommageable donnée par :
( )0
2
2
1
2
1 , , ,
TCD eeee
e
θθθψ −−=Λ εεεεε ::: mE (II.2)
dans lequel C représente la chaleur spécifique et 0T la température de référence du système.
Le tenseur de rigidité du matériau E et le tenseur du deuxième ordre de couplage thermo-
mécanique m sont donnés par :
( ) 1mEEE ⋅=Λ= αKD 3 ; , , 0 (II.3)
Chapitre II Formulation du modèle
-74-
où 0E est le tenseur de rigidité du matériau non endommagé. α,K désignent respectivement
le module de compressibilité volumique et le coefficient de dilatation thermique fonctions de
la température, 1 représente le tenseur unité.
Les variables d’états sont alors, le tenseur de déformation élastique eε , la température relative
0TT −=θ , la variable d’endommagement mécanique D et la variable d’endommagement
thermique Λ .
En outre, pψ désigne le potentiel thermo-plastique endommageable et κκ représente le
vecteur paramètre d’écrouissage qui contrôle le processus de plasticité. L’hypothèse du
découplage entre les effets de plasticité et les autres phénomènes est utilisée. La déformation
totale ε est alors décomposée en une part réversible, une part irréversible pε et une part
thermique θε comme suit :
θεεεε ++= pe (II.4)
L’influence du chargement mécanique sur le processus de déformation thermique, décrit sous
le terme d’interaction thermo-mécanique, est introduite en utilisant le concept de déformation
d’interaction thermo-mécanique développé par Anderberg & Thelandersson (1973).
La déformation d’interaction thermo-mécanique est donnée par :
( )( )
+++−=
=
jkiljlikklijc
ijkl
tm
Q
T
δδδδγδγδβα
12
1
f
0
0
σε :Q
(II.5)
où Q est un tenseur du quatrième ordre d’interaction thermo-mécanique, 0cf est la résistance
en compression uniaxiale à 20°C, 0β et γ sont les paramètres matériau (Schneider 1988,
Thelandersson 1976).
L’équation II.4 est alors réécrite sous la forme :
tmpe εεεεε ++= + θ (II.6)
Nous pouvons noter que lors de la prise en compte du fluage transitoire, l’énergie libre du
système n’est plus donnée par l’équation (II.2). La définition d’une nouvelle forme de
l’énergie libre se heurte à des problèmes liés à la définition de la déformation d’interaction
Chapitre II Formulation du modèle
-75-
thermo-mécanique qui est obtenue par une approche phénoménologiquement (Baker &
Stabler 1998).
II-2.2 Evolution de l’endommagement
On a vu au premier chapitre que la variable d’endommagement associée au processus de
dégradation mécanique (i.e. thermique) peut être interprétée comme la densité de surfaces des
défauts affectant la matière (Kachanov 1958, Ju 1989) et peut alors être définie, comme la
proportion de la surface occupée par les micro-fissures ramenée à la surface totale. Cette
définition signifie que le paramètre d’endommagement ne peut pas être décroissant.
Vierge Endommagement mécanique Endommagement total
S~
S~
S~
SS =~ ( )DSS −= 1~ ( )( )Λ−−= 1 1
~DSS
Figure. II.1 : Représentation schématique de l’effet de l’endommagement
sur la surface résistante.
L'effet de la dégradation thermique sur le matériau béton se traduit par une baisse
supplémentaire de la surface résistante endommagée mécaniquement. La variable
d’endommagement total d, peut alors être définie à partir d’une combinaison des deux
endommagements mécanique et thermique, considérés comme complètement indépendants,
comme suit :
( )( )Λ−−−= 111 Dd (II.7)
où D est la variable d’endommagement mécanique fonction de la variable d’écrouissage κκ et
Λ représente la variable d’endommagement thermique fonction de la température T .
Chapitre II Formulation du modèle
-76-
On peut noter que la forme de l’équation (II.7) est similaire à celle proposé par Gerard,
Pijaudier-Cabot & Laborderie (1998) lors de l’étude du couplage mécanique-diffusion
chimique.
La relation contrainte-déformation s’écrit alors comme pour le cas de comportement elasto-
endommageable sous la forme:
( ) ed εσ :01 E−= (II.8)
où σ est le tenseur de contraintes apparentes.
En remplaçant l’équation (II.6) dans l’équation (II.8), on obtient :
( ) ( )tmpd εεεεσ −−−−= θ:01 E (II.9)
L’utilisation du principe de la contrainte effective conduit à une relation liant la contrainte
réelle à la contrainte effective donnée par :
d−=
1~ σσ (II.10)
où σ~ est la contrainte effective.
Une nouvelle relation peut être écrite en utilisant l’équation (II.8) et l’équation (II.10), liant le
tenseur de contrainte effective au tenseur de déformation élastique:
eεσ :0~ E= (II.11)
II-2.2.1 Variable d’endommagement mécanique
Comme on a ennoncé auparavant, notre choix s’est porté sur un modèle d’endommagement
scalaire. Le degré de dégradation du matériau sous un chargement externe est représenté par
une variable scalaire unique d’endommagement D affectant le module d’Young.
( ) 01 E E D−= (II.12)
Plusieurs auteurs (La Borderie 1991, Lee 1998) ont noté dans leurs études la forme
exponentielle de la variation de la variable d’endommagement en fonction de la déformation
Chapitre II Formulation du modèle
-77-
plastique. Notre choix s’est porté donc, sur une loi exponentielle fonction de la variable
d’écrouissage xκ (déformation plastique cumulée).
( )xxx cD κ exp1 −=− (II.13)
où xc est un paramètre du matériau ( tx = pour la traction et cx = pour la compression).
Cela signifie qu’en traction comme en compression nous considérons que le mécanisme
d’endommagement est lié au développement des micro-fissures contrôlé par la variable
déformation plastique cumulée. Il est à noter que cette formulation a l’avantage de la
définition conjointe des évolutions plastiques et de l’endommagement qui n’interviennent
qu’en même temps. Cette approche permet de s’affranchir de la définition d’une surface seuil
pour l’endommagement.
Pour décrire au mieux le comportement diffèrent du béton en traction et en compression,
l’endommagement total est ainsi subdivisé en deux parties (Mazars 1984, Lee 1998,
Ragueneau 1999). Une première partie pour décrire le comportement de traction et une
deuxième part pour décrire celui de compression.
( ) ( )( ) Ttcttcc DDD κκκκκ ,et )()( 111 =−−−= κκ (II.14)
Les essais de traction-compression cycliques permettent de mettre en évidence une propriété
importante du comportement du béton, c'est le caractère unilatéral. Ce phénomène consiste
en une restauration de la raideur lors du passage d’un chargement de traction, où apparaît de
l’endommagement (fissuration), à un chargement de compression.
Le phénomène unilatéral observé lors d’un chargement cyclique est introduit en modifiant
l’endommagement de traction en le multipliant par un paramètre p fonction de l’état de
contrainte (Lee 1998, Nechnech & al. 2000), tels que 10≤≤ p .
L’équation (II.14) devient alors :
( ) ( ) ( )( ))()( ~111~ , ttcc DpDD κκ σσ −−−=κκ (II.15)
Chapitre II Formulation du modèle
-78-
Le paramètre p est choisi de telle manière à bien représenter la fermeture de fissure. Dans le
cas d’un chargement tridimensionnel, ce paramètre peut s’écrire en fonction du tenseur de
contrainte effective de la manière suivante :
( ) ( ) ( )σσ ~ 1~00 rppp −+= (II.16)
Dans cette équation, 10 0 ≤≤ p est un paramètre matériau et ( )σ~r une fonction poids scalaire
(cette fonction sert à quantifier le pourcentage des contraintes de traction par rapport aux
contraintes de compression dans le cas tridimensionnel) qui s’écrit :
( )
=
=
∑
∑
=
= +sinon
~
~
0~ si 0
~
3
1
3
1
ii
iir
σ
σ
σ
σ (II.17)
où i
σ~ représente la i ième composante du tenseur de contrainte effective principale, et
( ) 2xxx +=+
, désigne la partie positive de x .
La définition (II.15) signifie que la prise en compte du phénomène unilatéral, lors du passage
d’une sollicitation de traction à une sollicitation de compression, se fait par une diminution de
l’endommagement de traction affecté par la fonction ( )σ~p qui pilote la fermeture de fissure.
II-2.2.2 Variable d’endommagement thermique
La haute température produit une dégradation irréversible du module d'élasticité. Dans une
description macroscopique des phénomènes, ce comportement est généralement décrit par une
dépendance du module d'élasticité à la température ( )TEE = . L'endommagement thermique
peut être défini à partir de la relation liant la variation du module d'élasticité à la température
( )TE , d'une manière analogue à celle qui a été utilisée pour définir l'endommagement
mécanique, de telle sorte que :
( ) ( )0
1E
TET −=Λ avec
0 si 0
0 si 0
≤=Λ
>>Λ
θθ
(II.18)
Chapitre II Formulation du modèle
-79-
La définition (II.18), est une hypothèse simplificatrice car le module d’élasticité du béton ne
dépend pas seulement du seuil de température mais aussi de la vitesse du chauffage, de la
teneur en eau, etc.…
II-2.3 Couplage entre plasticité et endommagement
Une fois les micro-fissures initiées, les contraintes locales dues à cette micro-fissuration, sont
redistribuées dans un domaine "effectif". Ces redistributions provoquent un état de contraintes
dans ce domaine plus important que celui qui est lié par l'équilibre mécanique à un effort
extérieur. En conséquence, l'écoulement plastique est supposé dû aux "quantités effectives".
(Ju 1989).
En effet, si on utilise la théorie de la plasticité pour décrire d’une manière phénoménologique
le comportement du béton, la surface de charge peut être définie à partir de la connaissance de
la contrainte nominale en traction tτ , contrainte nominale en compression cτ et la
température T , comme suit :
( ) 0 , , , T22F ct ≤σ (II.19)
où la contrainte nominale de traction t2 , respectivement de compression c2 , est exprimée en
fonction de la déformation plastique équivalente de traction tκ et de la température,
respectivement la déformation plastique cumulée de compression cκ et de la température.
( ) ( )TT cccttt , ; , κττκττ == (II.20)
En effet, dans cette approche, les contraintes nominales ( )ct ττ , pilotent l’état de fissuration
du matériau. On suppose que ces dernières sont factorisées dans l’espace des contraintes
effectives de la même façon que le module d’élasticité (équation II.12), comme suit :
( )( ) ( ) ( )( ) ( )TT cccccttttt DD ,~ )(1 1 ; ,~ )(1 1 κτκτκτκτ −Λ−=−Λ−= (II.21)
où ct ττ ~et ~ représentent respectivement la contrainte nominale effective de traction et la
contrainte nominale effective de compression, quantités ne pouvant être déterminée
expérimentalement, mais déduites de II.21.
Chapitre II Formulation du modèle
-80-
En combinant les équations (II.10, II.19 et II.21), la surface de charge peut s’écrire sous sa
nouvelle forme :
( ) 0 ~ ,~ ,~ 22F ct ≤σ (II.22)
Il est à noter que du fait que les courbes uniaxiales dépendent explicitement de la température,
cela entraîne un couplage entre la variable d'écrouissage plastique κ et la température. Ce
couplage se traduit par un adoucissement de nature thermique (non-plastique).
Une différence fondamentale existe cependant entre les deux types d'écrouissage:
l'écrouissage plastique (instantané) n'apparaît que lorsque le point de charge se trouve sur la
surface de charge (c'est-à-dire lorsque 0=F ) et y reste (c'est-à-dire lorsque 0=F ), alors que
l'écrouissage thermique apparaît indépendamment de la position du point de charge, qu'il soit
dans le domaine élastique ou dans le domaine plastique. Cet adoucissement thermique
conduit à une évolution non-instantanée de la surface de charge qui permet ainsi de modéliser
la diminution de la résistance du béton en fonction de la température.
II-2.4 Critère de plasticité – Potentiel plastique
Nous nous intéressons dans ce paragraphe au choix du critère de charge. Un grand nombre de
propositions existent dans la littérature. Cependant le choix du critère pose un problème
relativement difficile pour le béton du fait de la variété des comportements observés selon le
chargement, le niveau de température et le confinement. Une première solution consiste à
formuler un critère unique, ce qui conduit d’une part, à des expressions souvent compliquées
du critère (Ottosen, Willam-Warnke à 5 paramètres), et d’autre part, à des difficultés dans le
choix des variables d’écrouissage et des lois d’évolutions. La deuxième approche, offrant plus
de souplesse dans la gestions des variables d’écrouissage. Elle consiste à utiliser une surface
multi-critères. L’inconvénient de cette approche reste dans le traitement des couplages entre
les critères élémentaires ainsi que dans mise en œuvre numérique.
Vu les avantages offerts par les surfaces multicritères en terme de la gestion distincte de
l’écrouissage (i.e. de l’endommagement car dans notre cas l’endommagement est relié
directement à la variable d’écrouissage) notre choix s’est porté sur l’utilisation d’un critère
multi-surface de plasticité (Feenstra 1993, Georgin 1998, Heinfling 1998). Il est formé d’un
critère de Rankine en traction
Chapitre II Formulation du modèle
-81-
( ) ( )TTF ttItt ,~~ , ,~ κτσκ −=σ (II.23)
et d’un critère de Drucker-Prager en compression
( ) ( ) ( ) ( )TIJTF ccfcc ,~ ~ ~ , ,~12 κτβακ −+= σσσ s (II.24)
où Iσ~ est la contrainte effective principale majeure, ( )σ~1I est le premier invariant du tenseur
de contrainte effective, ( )s~2J est le deuxième invariant du tenseur déviateur de contrainte
effective s~ , ( βα ,f ) sont deux paramètres du critère de compression déterminés à partir des
caractéristiques mécaniques du matériau: la résistance en compression simple cf et la
résistance en compression biaxiale bf .
( ) ( )( )
=−
=−−
=
TfTf cbc
c
c
c
cf
ββββ
ββα
12 ;
21
1
(II.25)
En utilisant des considérations d’équilibre du milieu continu (cercle de Mohr), entre la
contrainte principale majeure et les contraintes exprimées dans un repère quelconque, on
obtient :
( ) ( ) 22 ~~~4
1~~2
1~xyyxyxI σσσσσσ ++++= . (II.26)
Les deux critères peuvent se mettre sous la forme (Feenstra 1993) :
( ) ( ) ( )TfTF xxxx ,~~ , ,~ κτκ −= σσσ (II.27)
où ( )σ~f est une fonction du tenseur de contrainte effective.
La figure II.2, montre une représentation schématique de la surface seuil dans le plan de
contrainte principales en 2D.
Chapitre II Formulation du modèle
-82-
Adoucissement
Critère de Rankine
Ecrouissage
CritèreDrucker-Prager
σ1
σ2
fc0fc ft
Adoucissement thermique
Température Croissante
Adoucissement
Figure II.2 : Tracé du critère de rupture dans le plan des
contraintes principales
Pour prendre en compte l’augmentation de la sensibilité au confinement du béton en
compression avec la température il est nécessaire d’introduire la variation du paramètre cβ
avec la température (Heinfling 1998). La figure II.3 présente les surfaces de rupture
comparées aux surfaces expérimentales relevées par (Kordina & al. 1985). La figure II.4
présente la loi de variation de cβ avec la température (Heinfling 1998)
σ1/fc
Critère défini
Surface de rupture expérimentales
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.40 1.20 1.00 0.80 0.60 0.40 0.20 0.00
βc = cste
750°C
600°C
450°C
300°C
20°C
σ 2/f
c
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.40 1.20 1.00 0.80 0.60 0.40 0.20 0.00
Critère défini
Surface de rupture expérimentales
750°C
600°C
450°C
300°C20°C
βc = f(T)
σ1/fc
σ 2/f c
(a) (b)
Figure II.3 : Surfaces de rupture obtenues comparées aux surfaces de rupture Expérimentales
(Kordina & al. 1985) : (a) cβ constante ; (b) cβ variable
Chapitre II Formulation du modèle
-83-
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
0 100 200 300 400 500 600 700 800
Température [°C]
βc
Figure II.4 : Loi de variation de cβ avec la température (Heinfling 1998)
En ce qui concerne les écoulements plastiques, une loi associée d’écoulement est utilisée en
traction, par contre une loi non-associée est utilisée en compression pour tenir compte du
comportement dilatant du matériau béton (Chen 1982). Un potentiel plastique est alors
introduit pour pouvoir reproduire la dilatance du matériau observée en compression.
( ) ( ) ( )TIJG ccgc ,~ ~ ~12 κτβα −+= σσs (II.28)
Le paramètre gα est un paramètre matériau choisi d’une manière à bien restituer la
déformation volumique en compression.
Ainsi la loi d'évolution de la déformation plastique est donnée conformément à la proposition
de Koiter (1953) par :
σσε ~~ ∂
∂+
∂∂
= cc
tt
p GF λλ (II.29)
où tλ et cλ représentent respectivement le multiplicateur plastique en traction et en
compression,
où la loi de normalité est adoptée dans le cas de la traction. Sur le plan numérique, cette
expression nécessitera un traitement particulier pour la gestion de l’activation des deux
critères plastiques. Cet aspect sera traité ultérieurement.
Chapitre II Formulation du modèle
-84-
σ1
σ2
fc ft
Fc = 0
Gc (αg = 0.1)
Gc (αg = 0.2)
Ft = Gt
Figure II.5 : Tracé du potentiel plastique dans le plan des
contraintes principales
II-2.5 Lois de comportement du béton à hautes températures
Dans le cadre de la théorie de la plasticité couplée à l’endommagement, le comportement du
matériau est géré par la connaissance de la courbe uniaxiale (ou des courbes uniaxiales) liant
à chaque pas de temps la contrainte nominale à la variable d'écrouissage. De ce fait, il est
important de définir correctement cette courbe afin de décrire au mieux le comportement du
béton aussi bien en traction qu'en compression. Les relations contrainte-déformation du béton
présentées ici ont été établies a priori afin d'être les plus représentatives possibles du
comportement du béton à hautes températures tout en assurant une mise en œuvre numérique
simple.
En ce qui concerne les lois uniaxiales, une relation exponentielle appropriée est utilisée. Elle
s’exprime d’une manière unique pour la traction et la compression sous la forme:
( ) ( ) ( )[ ]xxxxxxxx babaf κκτ 2exp exp10 −−−+= (II.30)
où 0xf est la contrainte limite d’élasticité fonction de la température ( tt ff =0 pour la traction
et cc ff 3.00 = pour la compression), ( ) ( )( )TbTa xx , sont les paramètres du modèle déterminés
à partir des essais uniaxiaux, la constante xa détermine si oui ou non on a un écrouissage
positif après avoir atteint la limite d’élasticité.
- ( )1<ta correspond à un comportement de traction.
Chapitre II Formulation du modèle
-85-
- ( )1>ca correspond à un comportement de compression.
La combinaison des équations (II.21, II.30), nous donne l’expression de la contrainte effective
nécessaire pour exprimer le critère de plasticité dans l’espace effectives.
( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]
−−−+
Λ−=
−
−
x
x
x
x
b
c
xxxb
c
xxxx
x babaf 210 exp exp1
1~ κκτ (II.31)
Pour maintenir l’objectivité des résultats au niveau structurel, on utilise l’approche de
régularisation par l’énergie de fissuration (Hillerborg 1976) selon laquelle la densité de
l’énergie de fissuration ( )Tgx est liée à l’énergie de fissuration ( )TGx par :
( )c
xx l
TGg = (II.32)
où cl est la longueur caractéristique liée à la taille de zone localisée.
la densité d’énergie de fissuration est donnée par :
∫∞
=0
κτ dg xx (II.33)
t0f
W t
tN
ftg
cf
Wc
cN
fcg
c0f
Figure II.6 : Comportement non-linéaire local : (a) en traction,
(b) en compression
(a) (b)
Chapitre II Formulation du modèle
-86-
II-2.5.1 Identification des paramètres du modèle
La détermination des paramètres du modèle est relativement aisée. Une description de la
méthode pour déterminer les différents paramètres est explicitée ci-après pour le cas d’un
chargement mécanique et thermique.
i. Cas de la traction
Le comportement du béton en traction est supposé élastique jusqu’à sa résistance en traction
0tf . Le comportement post-pic est défini par la connaissance de deux paramètres (tt ba , ).
L’expression mathématique de cette courbe est donnée par l’équation (II.30) qui s’écrit dans
le cas uniaxial sous la forme :
( ) ( ) ( )[ ]tttttttt babaf κκτ 2expexp10 −−−+= (II.34)
Les paramètres tt ba et sont déterminés de sorte que cette courbe reproduise la réponse du
matériau lors de la traction.
L'endommagement de traction étant défini par :
( )ttt cD κ−=− exp1 (II.35)
l’expression de la contrainte effective est alors donnée par l’équation (II.31), comme suit :
( ) ( )( ) ( )( )
−−−+=
−
−
t
t
t
t
b
c
tttb
c
ttttt babaf 210 expexp1 ~ κκτ (II.36)
La densité d’énergie de fissuration est donnée par :
+== ∫
∞
21 0
0
t
t
ttt
a
b
fdg κτ (II.37)
Le paramètre ta pilote le comportement avant le pic (écrouissage positif), en traction ce
paramètre ne représente pas une caractéristique physique car le comportement du béton en
traction est supposé linéaire jusqu'au pic. De ce fait, on peut choisir une valeur fixe pour ce
paramètre (une valeur de 5.0−=ta donne une bonne représentation de la courbe uniaxiale)
et chercher la valeur de tb en se servant de l’équation (II.32) de l'énergie de rupture. En
combinant les équations (II.36, II.37), on obtient :
Chapitre II Formulation du modèle
-87-
+=
210
t
t
ctt
a
G
lfb (II.38)
La détermination du paramètre tc pilotant la loi d’endommagement de traction est réalisée en
spécifiant la valeur d’endommagement dans le cas uniaxial pour une certaine valeur de
contrainte, ceci permet de calibrer ce paramètre en fonction des données expérimentales.
Cette technique d’identification du paramètre tc à partir d’un point expérimental s’avère,
comme il sera montré lors des simulations d’essais uniaxiaux, très efficace pour reproduire
l’endommagement du module sur l’ensemble du processus de fissuration.
Supposons que l’on connaisse la valeur d'endommagement (notée tD ) pour une contrainte
égale à 20tf , et cherchons à déterminer la valeur de la déformation plastique pour cet état de
contrainte (figure II. 7):
σ
ε
0tf
20tf
0E ( ) 01 EDt−Figure II.7 : Comportement uniaxial en traction
La résolution de l’équation (II.34) pour 2
0tt
f=τ permet d’obtenir la valeur de la déformation
plastique correspondante.
( )
+−+−=
t
tt
t
p
a
aa
b 2
11ln
12
ε (II.39)
En combinant les équations (II.35, II.39), on obtient :
[ ]( )
+−+
−=
t
tt
t
t
t
a
aa
D
b
c
2
11ln
1ln2
(II.40)
Chapitre II Formulation du modèle
-88-
Ainsi, une identification de la valeur de l'endommagement tD (correspondant à 2
0tf=σ ), a
été réalisée en utilisant l’essai de traction cyclique figure (II.8) de Gopalaratnam & Shah
(1985) donne.
25.0=tD (II.41)
Cette valeur injectée dans la relation (II.40) permet de calculer la valeur du paramètre tc après
identification des paramètres tt ba et comme déjà spécifié.
0
1
2
3
4
0 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004 0,0005
Déformations (-)
Con
trai
nte
(MP
a)
Figure II.8 : Essai de traction cyclique
(Gopalaratnam & Shah 1985)
ii. Cas de la compression
Le comportement du béton en compression est supposé élastique jusqu’à sa limite d'élasticité
0cf . Après cette limite, le béton présente un comportement écrouissable jusqu'à sa résistance
en compression cf , qui se termine par une branche adoucissante (figure II.5).
L'expression mathématique de la courbe uniaxiale est donnée de façon similaire à celle de la
traction :
( ) ( ) ( )[ ]pcc
pcccc babaf εετ 2expexp10 −−−+= (II.42)
L'endommagement quand à lui est défini par :
( )pcc dD ε−=− exp1 (II.43)
En utilisant l’équation (II.9), la relation contrainte-déformation s’écrit :
( ) ec ED εσ 1 0−= (II.44)
Chapitre II Formulation du modèle
-89-
Par transformations algébriques de l’équation (II.42), le paramètre ca peut être exprimé en
fonction de la résistance en compression cf du béton et sa limite d’élasticité 0cf de la
manière suivante :
( )[ ] ( ) ( )02
00 21 2 ccccccc ffffffa −+−= (II.45)
Par exemple, pour une valeur de cc ff 3.00 = , 2444.11=ca .
En ce qui concerne la détermination du paramètre cb , nous avons recours au même procédé
que celui évoqué précédemment dans le cas de la traction (équation II.38), dans ce cas
l’énergie de rupture en compression est utilisée. Le paramètre cb s’exprime alors sous la
forme :
+=
210
c
c
ccc
a
G
lfb (II.46)
La détermination du paramètre cc pilotant la loi d’endommagement de compression est
réalisée en spécifiant la valeur d’endommagement cD dans le cas uniaxial de compression au
pic (figure II.9) et dans une démarche similaire au cas de la traction.
σ
ε
cf
0cf
( ) 01 EDc−mε
Figure II.9 : Comportement uniaxial en compression
La résolution de l’équation (II.42) pour cc f=τ permet d’obtenir la valeur de la déformation
plastique correspondante.
+−=
c
c
c
p
a
a
b 2
1ln
1ε (II.47)
Chapitre II Formulation du modèle
-90-
le paramètre cc pilotant la loi d’endommagement de compression peut être lié au paramètre
cb de la courbe uniaxiale en utilisant l’équation (II.43), comme suit :
[ ]
+−
=
c
c
c
c
c
a
a
D
b
c
2
1ln
1ln(II.48)
Il est à noter qu’en combinant les équations (II.43, II.44 et II.47), nous pouvons obtenir une
nouvelle relation liant le paramètre cb à la déformation au pic mε .
( )
−
−
+
=m
c
c
c
c
c
ED
f
a
a
b
ε0 1
2
1ln
(II.49)
Vu la forme particulière de la courbe uniaxiale, il est impossible de caler le paramètre cb en
fonction de l’énergie de rupture en compression cG et de la déformation au pic mε
simultanément. Nous utilisons donc la relation (II.46) pour identifier le paramètre cb (sauf
dans le cas où le paramètre énergie de rupture n’est pas mentionné).
En ce qui concerne l’identification de la valeur de l'endommagement cD au pic, l’essai de
compression cyclique (figure II.10) de Karsan & Jirsa (1969) donne une valeur,
18.0=cD (II.50)
0
5
10
15
20
25
30
0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005
Déformations (-)
Con
trai
nte
(MP
a)
Figure II.10 : Essai de traction cyclique
(Karsan & Jirsa 1969)
Chapitre II Formulation du modèle
-91-
En utilisant les paramètres précédemment établis, la réponse du modèle en traction simple est
représentée à titre d’illustration par la figure (II.11), nous pouvons remarquer que l’évolution
de l’endommagement est étroitement lié au développement de la plasticité dans le régime
adoucissant.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008 0,001
Déformations
Con
trai
nte
/ Rés
ista
nce Contrainte réelle
Contrainte effective
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008 0,001
Déformations
End
omm
agem
en
Figure II.11 : Réponse du modèle en traction et évolution
de l’endommagement correspondant
La réponse du modèle en compression simple est représentée par la figure (II.12). Nous
pouvons faire les mêmes remarques que dans le cas de la traction. La réponse montre
cependant un endommagement pré-pic à partir de 3cf=σ .
Chapitre II Formulation du modèle
-92-
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01
Déformations
Con
trai
nte
/ Rés
ista
nce Contrainte réelle
Contrainte effective
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01
Déformations
End
omm
agem
en
Figure II.12 : Réponse du modèle en compression et évolution
de l’endommagement correspondant
iii. Cas d’un chargement thermique
Dans le cas de la thermique, les paramètres du modèle sont détermines de la même manière
que dans le cas d’un chargement mécanique. A la différence que cette fois-ci, on introduit la
variation des différentes caractéristiques mécaniques avec la température.
- En ce qui concerne la traction à haute température, le comportement du béton à la
température T est considéré élastique jusqu’à sa résistance en traction ( )Tft0 . Le
comportement post-pic est défini par la connaissance de deux paramètres (( ) ( )TbTa tt , ).
Le paramètre ta , comme on l’a vu précédemment, ne représente pas une caractéristique
physique du comportement. Ce paramètre est considéré indépendant de la température. Le
paramètre tb quant à lui, est donné par l’équation (II.32), dans laquelle l’énergie de
fissuration tG et la résistance en traction sont fonction de la température, comme suit :
Chapitre II Formulation du modèle
-93-
( ) ( ) ( )
+=
210
t
t
ctt
a
TG
lTfTb (II.51)
Peu d’auteurs se sont intéressés à l’étude de la variation de la longueur caractéristique cl avec
la température. Di Prisco & al. (1997) se sont récemment intéressés à l’évaluation de cette
dimension à partir d’essais réalisés à hautes températures sur des spécimens de béton à hautes
performances. Il s’agit à notre connaissance de la seule étude réalisée sur cet aspect du
comportement du béton. Du fait de la rareté des études experimentales présentées, nous ne
disposons pas d’information sur la sensibilité de l’evolution de ce paramètre aux conditions
thermiques, hydriques et mécaniques des essais. De ce fait, la longueur caractéristique est
supposée indépendante de la température.
La détermination du paramètre tc se fait de la même manière qu’en (II.48). Le paramètre cD
dans cette équation représentant la mesure de l’endommagement au pic de contrainte et
supposé indépendant de la température.
La détermination de ce paramètre se fait à partir de la connaissance de la courbe de
compression cyclique à 20°C. Cela signifie qu’on suppose que l’endommagement
supplémentaire observé à haute température est dû à l’endommagement thermique TΛ ,
comme dans le cas de la traction.
σ
ε
( )Tft0
( )2
0 Tft
0E
( )( ) 011 ED Tt Λ−−
Courbes à :20°CT
Figure II.13 : Comportement uniaxial en traction
à différents températures.
- En ce qui concerne la compression à haute température, le comportement du béton est
supposé élastique jusqu’à sa limite d’élasticité ( )Tfc0 . Après cette limite, le béton présente un
Chapitre II Formulation du modèle
-94-
comportement écrouissable jusqu’à sa résistance en compression ( )Tfc , qui se termine par
une branche adoucissante.
Le paramètre ca est donné par l’équation (II.45) comme dans le cas du béton à température
ambiante. Le paramètre cb quant à lui, est donné par la connaissance de la variation de
l’énergie de rupture (équation II.46) sous la forme :
( ) ( ) ( )
+=
210
c
c
ccc
a
TG
lTfTb (II.52)
Une autre relation peut être obtenue en utilisant l’équation (II.8) comme suit :
( ) ( )( )( ) ( )
−
Λ−
+
=T
ED
Tf
a
a
Tbm
Tc
c
c
c
c
ε0 -11
2
1ln
(II.53)
Dans cette relation le paramètre cb est lié à l’endommagement thermique TΛ atteint à la
température T .
La détermination du paramètre tc se fait de la même manière qu’en (II.40). Le paramètre tD
dans cette équation représentant la mesure de l’endommagement pour une contrainte égale à
20tf est supposé indépendant de la température et est déterminé à partir de la connaissance
de la courbe de traction cyclique à 20°C. Cela signifie qu’on suppose que l’endommagement
supplémentaire observé à haute température est due à l’endommagement thermique TΛ .
σ
ε
( )Tfc
( )Tfc0 ( )( ) 01 1 ED Tc Λ−−mε
Courbes à :20°CT
Figure II.14 : Comportement uniaxial en traction
à différentes températures.
Chapitre II Formulation du modèle
-95-
II-2.5.2 Influence des paramètres du modèle
Nous allons mettre en évidence dans ce paragraphe l’influence des divers paramètres du
modèle sur la réponse contrainte-déformation ; notamment en terme d’évolution de
l’endommagement et de représentation de l’effet unilatéral. La connaissance du rôle de
chaque paramètre doit permettre une identification plus précise de la réponse du modèle et de
la sensibilité de celle-ci à ce paramètre.
i. Paramètres d’endommagement
Nous allons nous intéresser ici aux paramètres d’endommagement du modèle, pour la
simulation d’essais de traction directe et d’essais de compression directe. Ce type de
chargement permet en effet de comprendre directement l’effet de chacun des paramètres sur la
réponse en contrainte-déformation.
La figure (II.15-a) montre la réponse en compression pour 3 valeurs différentes du paramètre
d’endommagement cD rentrant dans la définition du coefficient cc , gérant la loi d’évolution
de l’endommagement de compression. La figure (II.15-b) quant a elle montre la réponse en
traction pour 3 valeurs différentes du paramètre d’endommagement tD rentrant dans la
définition du paramètre tc , gérant la loi d’évolution de l’endommagement de traction.
(a) (b)
0
5
10
15
20
25
30
35
0 0,001 0,002 0,003
Déformations
Con
trai
nte
(MP
a)
0,18
0,3
0,05
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 0,0001 0,0002 0,0003
Déformations
Con
trai
nte
(MP
a)
0,1
0,25
0,4
Figure II.15 : Influence du paramètre cD en compression (a) et
du paramètre tD en traction (b)
Chapitre II Formulation du modèle
-96-
Des figures précédentes, on remarque qu’une augmentation du paramètre d’endommagement
de compression cD ou du paramètre d’endommagement de traction tD donnera une réponse
plus fragile sur les courbes contraintes-déformation correspondantes. Cependant la variation
est moins sensible dans le cas de la traction. Nous allons maintenant regarder l’influence du
paramètre lié à la refermeture de fissures.
ii. Paramètre lié à la fermeture de fissure
La figure (II.16) présente la réponse contrainte-déformation lors du passage de la traction à la
compression pour différentes valeurs du paramètre 0p .
-8
-6
-4
-2
0
2
4
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025 0,0003 0,00035
Déformations
Con
trai
nte
(MP
a)
Valeur de P00
0,10,40,81
Figure II.16 : Influence du paramètre 0p sur le passage
Traction-compression
Nous pouvons remarquer que selon la valeur prise par le paramètre 0p , le phénomène de
restitution de la raideur est différent. Une valeur zéro du paramètre de fermeture de fissure 0p
a pour conséquence une restitution complète de la raideur, alors qu’une valeur unitaire de
celui-ci a pour conséquence une non restitution de la raideur, le modèle conservera la raideur
endommagée acquise en traction lors du passage à la compression. Ce paramètre représente
en quelque sorte le pourcentage des micro-fissures restreint à rester ouvertes.
La figure II.17, présente une simulation du comportement du béton avec un cycle complet de
traction-compression. La valeur adoptée du paramètre de refermeture est 1.00 =p
Chapitre II Formulation du modèle
-97-
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
-0,0016 -0,0012 -0,0008 -0,0004 0 0,0004
Déformation
Con
trai
nte
(MP
a)
O
AB
C
D
E
F
G
FigureII.17 : Simulation d’un essai traction-compression
Le résultat obtenu par le modèle et présenté à la figure III.17 valide la capacité du modèle à
décrire ce phénomène unilatéral. Lors de la décharge en traction (chemin B-C) et du passage à
la compression (chemin C-D). L’effet unilatéral se manifeste par une augmentation de la
raideur.
II-2.5.3 Bilans
Afin de conclure quant à la description du modèle précédemment développé, nous allons
dresser un bilan récapitulatif des paramètres introduits. Nous parlons de leur identification
dans le cas général d’un chargement thermo-mécanique.
Le modèle thermo-plastique endommageable proposé offre l’avantage de ne faire intervenir
que 15 paramètres, dont la plupart sont facilement identifiables (par des procédures
classiques) et leurs évolutions respectives avec la température.
Paramètres
ν ,E , c ,, βtc ff caractéristiques matériau
gα comportement dilatant
ct DD , endommagement
0p phénomène unilatéral
α thermique
γβ ,0 interaction thermo-mécanique
ct GG , cl régularisation (Hillerborg 1976)
Chapitre II Formulation du modèle
-98-
A l’exception de la longueur caractéristique uniquement liée aux caractéristiques
géométriques des éléments du maillage du fait de la régularisation adoptée, ces paramètres
sont tous identifiables à partir d’essais expérimentaux. L’identification expérimentale des
variations de ces paramètres avec la température est délicate. Les résultats des essais de
caractérisation sont en effet très fortement dépendant des conditions thermiques, hydriques et
mécaniques appliquées (vitesse de chauffage, confinement hydrique ou non, charge appliquée
pendant le chauffage ...). Les procédures d’essai utilisées doivent reproduire le plus
précisément possible les conditions dans lesquelles se trouve le béton au sein d’une structure.
L’identification expérimentale des lois de variations de certains paramètres font l’objet de
recommandations générales proposées par le comité TC129 MHT de la RILEM (RILEM
1997).
Dans ces recommandations différentes conditions d’essais à appliquer, selon le type de
structure à étudier sont proposées, afin de se rapprocher le plus possible des caractéristiques
réelles du matériau. Nous donnons ici quelques indications permettant d’évaluer les valeurs
initiales de ces paramètres et les lois de variations pour des bétons courants.
- Module d’élasticité ( )θE
Les variations de ce paramètre avec la température peuvent être identifiées par la réalisation
d’essais classiques de compression à différentes températures. Les règles de calcul P92-701
(1993) ainsi que l’EUROCODE4 (1994) proposent des lois de variations de ce paramètre avec
la température pour des bétons courants.
- Coefficient de poisson ( )θν
Les variations de ce paramètre avec la température ne sont pas parfaitement connues à l’heure
actuelle. Khennane & Baker (1992) ont testé différentes lois de variations de ce coefficient
avec la température lors de la simulation d’essais biaxiaux à hautes températures (Ehm &
Schneider 1985, Kordina & al. 1985). Les résultats obtenus ne mettent pas en évidence un
apport significatif de l’utilisation d’un coefficient de Poisson variable avec la température sur
la précision des résultats obtenus. Nous utilisons donc un coefficient de Poisson constant dont
la valeur est généralement comprise entre 0,1 et 0,2.
Chapitre II Formulation du modèle
-99-
- Résistance en compression uniaxiale ( )θcf
Les variations de ce paramètre avec la température peuvent être identifiées par des essais
classiques de compression uniaxiale sur des spécimens en béton à différentes températures.
Les règles de calcul P92-701 (1993) ainsi que l’EUROCODE4 (1994) proposent des lois
générales de variations de ce paramètre avec la température pour des bétons courants.
- Rapport de la résistance en compression biaxiale à la résistance en compression
uniaxiale ( )θβ c
La loi de variation de ce paramètre avec la température peut être obtenue à partir d’une série
d’essais biaxiaux isothermes à haute température tels que ceux réalisés par Ehm & Schneider
(1985) ou Kordina & al (1985).
- Résistance en traction uniaxiale ( )θtf
Les variations de ce paramètre avec la température peuvent être identifiées par des essais
classiques de flexion ou de traction directe sur des spécimens en béton à différentes
températures. Les règles de calcul P92-701 (1993) ainsi que l’EUROCODE4 (1994)
proposent des lois générales de variations de ce paramètre avec la température pour des
bétons courants.
- Energie de fissuration ( )θtG
Les variations de ce paramètre avec la température ne sont pas parfaitement connues à l’heure
actuelle. Quelques études (Bazant & Prat 1988, Baker 1996, Heinfling & al. 1997) semblent
indiquer une diminution significative de ce paramètre avec la température au delà de 300°C.
En l’absence de données expérimentales précises, nous utilisons une valeur constante de ce
paramètre sauf dans le cas où il est donné.
L’identification de celle-ci à température ambiante fait l’objet d’une recommandation par la
RILEM (RILEM TC 50-FMC, 1985). Le comité Européen du béton propose une règle
empirique (CEB-FIP model code 1990):
7.03 10 cft faG −= (II.54)
où fa est un coefficient fonction de la taille du plus gros granulat maxd .
Chapitre II Formulation du modèle
-100-
maxd :(mm) fa
8 4
16 6
32 10
Tableau II.1: Coefficient fa pour l’estimation de fG
Pour des bétons courants, l’application de cette formule conduit à des valeurs de fG
comprises entre 0,05 et 0,2 Nmm/mm2.
- Energie de rupture en compression ( )θcG
Les variations de ce paramètre avec la température ne sont pas parfaitement connues à l’heure
actuelle. En l’absence de données expérimentales précises, nous utilisons une valeur constante
de celui-ci. Les résultats obtenus par Vonk (1992) indiquent des valeurs comprises entre 10 et
25 Nmm/mm2, ce qui correspond à 50 à 100 fois la valeur de l’énergie de fissuration du
béton.
- Coefficient de dilatation thermique ( )θα
L’identification objective de ce paramètre est réalisée par l’intermédiaire d’un essai de
dilatation libre d’un spécimen en béton. Les conditions optimales d’essais pour différentes
applications font l’objet de la recommandation RILEM TC 129 MHT, Part 6: "Thermal strain,
for service and accident conditions", Draft n°11, May 1997. Une loi couramment adoptée (De
Borst & Peeters 1989, Khennane & Baker 1992) consiste en une valeur constante entre 0 et
400°C, puis une valeur constante égale au double de la valeur initiale entre 400°C et 800°C.
- Coefficient d’interaction thermo-mécanique γβ ,0
L'identification de ces paramètres peut être réalisée à partir d’essais expérimentaux durant
lesquels un spécimen en béton est chauffé sous charge constante. Les conditions optimales
d’essais pour différentes applications font l’objet de la recommandation RILEM TC 129
MHT: Part 7: Transient Creep, for service and accident conditions, Draft n°9, March 1997. Ici
ces paramètres sont considérés comme constants avec la température. Nous rappelons que le
phénomène d’interaction thermo-mécanique se produit uniquement durant le premier
Chapitre II Formulation du modèle
-101-
chauffage. Il ne se produit pas pendant le refroidissement ni lors d’une seconde phase
immédiate de chauffage jusqu’à la température maximale atteinte durant le premier cycle. Ce
coefficient est donc mis à zéro durant ces phases.
- Longueur caractéristique cl
Une estimation très simple a été proposée par Rots (1988) pour les cas bidimensionnels:
ec Arl = (II.55)
où eA est l’aire de l’élément considéré et r est un facteur correcteur égal à 1 pour les
éléments quadratiques et à 2 pour les éléments linéaires. En pratique cette estimation
convient pour des éléments de forme régulière mais peut s’avérer insuffisante pour des
éléments de forme quelconque, de plus en plus répandus dans les maillages non-structurés.
Millard (1996) propose une méthode permettant de corriger cette estimation en fonction de la
forme de l’élément.
- Endommagement en traction tD
L’identification de ce paramètre est réalisée par l’intermédiaire d’un essai de traction cyclique
(Gopalaratnam & Shah 1985). Les données expérimentales concernant le comportement
cyclique en traction du béton sont rares. On considère que ce paramètre ne varie pas avec la
température. Une valeur de 25,0=tD est choisie pour effectuer la plupart des validations.
- Endommagement en compression cD
L’identification de ce paramètre est réalisée par l’intermédiaire d’un essai de compression
cyclique (Karsan & Jirsa 1969). Comme pour le cas de la traction, ce paramètre ne varie pas
avec la température. Une valeur de 18,0=cD est choisie pour effectuer la plupart des
validations.
- Paramètre de refermeture de fissure 0p
L’identification de ce paramètre est réalisée par l’intermédiaire d’un essai de traction-
compression cyclique (Ramtani 1990, Reinhardt & Corneilessen 1984). Comme pour les deux
paramètres d’endommagement, il est très difficile de réaliser des essais de traction-
Chapitre II Formulation du modèle
-102-
compression cycliques à haute température. On considère que ce paramètre ne varie pas avec
la température.
- Paramètre du potentiel plastique gα
Ce paramètre peut être calibré à partir d’un essai de compression biaxiale. Il est à noter que
celui-ci peut s’exprimer en fonction du taux de la déformation plastique volumique pvε
comme suit :
ppv αλε 3 = (III.56)
Ce paramètre est choisi pour mieux représenter la dilatance. Dans le cas de variation de
température, on considère que la forme globale du potentiel plastique reste fixe, elle subit
juste une contraction isotrope par rapport au potentiel plastique initial. Ce choix nous permet
de considérer que ce paramètre n’est pas dépendant de la température. Une valeur 2.0=pα
identifiée numériquement à partir des essais de Kupfer & al. (1969) sera utilisée dans le reste
de cette étude.
Chapitre II Formulation du modèle
-103-
II-3 INTEGRATION DU MODELE DANS UN CODE DE CALCUL
ELEMENT FINIS
Dans ce paragraphe, les équations différentielles non-linéaires pour le modèle thermo-élasto-
plastique endommageable présentées au paragraphe précédent sont résolus numériquement en
utilisant la méthode des Eléments Finis. Dans le cadre de cette méthode, fondée sur une
approche en déplacements, la structure est discrétisée en éléments pour lesquels une relation
entre les forces et les déplacements nodaux est établie. L’assemblage des éléments conduit à
un système d’équations traduisant l’équilibre de la structure. La réponse de celle-ci est
calculée suivant un processus incrémental dans lequel le chargement total est appliqué en
plusieurs pas reproduisant son historique. Supposons la structure en équilibre au temps nt , les
équations d’équilibre doivent être résolues au temps 1+nt . Celles-ci sont en général non-
linéaires et leur résolution passe par un processus itératif.
L’objectif principal de ce paragraphe est donc de décrire les méthodes de résolution des
équations non-linéaires d’équilibre pour la mécanique et les équations de thermique
transitoire utilisées dans le code de calcul CAST3M du C.E.A. (Millard 1993) et de donner les
grandes lignes de l'algorithme général d’intégration des lois constitutives données par le
modèle.
II-3.1 Description du problème thermo-mécanique
Dans le cadre de la thermodynamique des milieux continus, notre problème est gouverné par
l’ensemble des équations d’équilibre et de conservation d’énergie :
( )( ) q
0
)(
)(
bdive
adiv
−=⋅
=
ε:σ
σρ
(II.57)
où σσ est le tenseur de contraintes, ε le tenseur de vitesses de déformation, e le taux
d’énergie interne, ρ la masse volumique du matériau et q le vecteur flux de chaleur donné
par la loi de Fourier,
gradTc λ−=q (II.58)
où cλ représente le coefficient de conductivité thermique.
Chapitre II Formulation du modèle
-104-
Il est à noter qu’en général, l’ensemble des variables thermiques et mécaniques intervenant
dans ce système d’équations sont couplées. La conductivité thermique par exemple dépend
fortement de la porosité. On peut donc penser, introduire une conductivité thermique
dépendant de la variable d’endommagement totale définie précédemment.
( )dcc λλ = (II.59)
Néanmoins, peu de données expérimentales sont disponibles pour quantifier l’effet du
chargement thermo-mécanique sur la conductivité. Cela peut s’expliquer par la complexité et
la simultanéité des phénomènes physiques et chimiques se produisant au sein du béton lors
d’un chargement thermo-mécanique combiné (Bazant & Kaplan 1996).
Nous nous orientons donc vers un traitement découplé du système d’équations (II.57). Ce
problème thermo-mécanique est donc séparé en deux étapes : la première consiste à résoudre
l’équation de la chaleur au sein de la structure. Cette étape, dans le cas du béton soumis à
haute températures, prend en compte les variations des caractéristiques thermiques de ce
matériau avec la température. Ensuite, un second calcul est mené dans lequel les distributions
de température sont des données du problème à chaque pas(figure II.18).
nnnn
n
D
T
, , , Λεεσσ nnnn
n
D
T
, , , 1
1
+
+
Λεεσσ 1111
1
, , , ++++
+
Λ nnnn
n
D
T
εεσσ
Calcul
Thermique
Calcul
Mécanique
Figure II.18 : Représentation schématique du traitement
découplée des équations (II.54)
où l’indice n correspond au numéro du pas de temps. Dans la plupart des situations de
structures en béton soumises à de hautes températures, cette approche adoptée par de
nombreux auteurs apparaît satisfaisante (Franssen 1987, De Borst & Peeters 1989, Khennane
& Baker 1992, Heinfling 1998). On peut signaler qu’il est nécessaire de rester attentif au
choix du maillage ainsi que la discrétisation temporelle qui peuvent ne pas être identiques
pour les deux calculs, thermique et mécanique, compte tenu des conditions aux limites de
chargement et des algorithmes de résolution différents employés dans les deux cas (Bliard &
Chapitre II Formulation du modèle
-105-
al. 1995, Heinfling 1998). Ce choix peut engendrer une perte de précision ou d’informations
ou des dispersions numériques. Dans cette étude, nous nous sommes efforcés de limiter les
pertes de précisions occasionnées dans les différents cas d’applications réalisés.
L’analyse complète du problème thermo-mécanique à résoudre passe, comme nous l’avons vu
dans un premier temps, par la résolutions d’un problème thermique transitoire prenant en
compte les variations des caractéristiques thermiques du béton avec la température puis la
résolution du problème mécanique. Dans ce qui suit, on verra avec plus de détails ces deux
algorithmes.
II-3.2 Résolutions numériques du problème thermique
Soit un volume Ω de masse volumique ρ soumis à chaque instant t de l’intervalle total de
temps [ ]1 ,0 t à un flux de chaleur q sur une partie de sa frontière, à une source volumique de
chaleur notée r (par effet de Joule ou réaction chimique) ainsi qu’à un champ de température
T sur la partie complémentaire de sa frontière (voir figure II.19).
q
cq
rq
TT1Ω∂
T2Ω∂
T3Ω∂
T4Ω∂
Ω
r
Ω∂=Ω∂∪Ω∂∪Ω∂∪Ω∂ TTTT4321
et
∅=Ω∂∩Ω∂∩Ω∂∩Ω∂ TTTT4321
Figure II.19 : Problème thermique de référence
Dans le code de calcul aux élément finis CASTEM2000 (Jeanvoine & De Gayffier 1995), le
problème thermique transitoire non-linéaire est gouverné par la loi de diffusion de la chaleur
suivante :
rt
H =∇+∂
∂q. (II.60)
Chapitre II Formulation du modèle
-106-
où H représente l’enthalpie volumique du système. Comme nous l’avons décrit dans le
chapitre précédent, ces propriétés dépendent de la température. On peut donc écrire :
TcTcTT
H
t
Hp
==∂∂=
∂∂ ρ (II.61)
où pc est la chaleur massique du béton et c représente sa capacité calorifique. En remplaçant
l’équation (II.61) dans l’équation (II.60), on obtient :
rTc =∇+ q. (II.62)
L’équation (II.62) est résolue par une méthode de Galerkin. Les conditions aux limites dans
un problème de diffusion de la chaleur sont de quatre types :
9 Une condition au limite de type Dirichlet (température imposée T ) sur la surface T1Ω∂ .
9 Trois conditions aux limites de type Newmann représentant respectivement :
i. Une condition de convection sur T2Ω∂ , tel que le flux de chaleur sur cette zone est
régit par l’équation : ( )ec TThq −= ,
ii. Une condition de rayonnement sur T3Ω∂ , tel que le flux de chaleur d’origine radiative
émis par cette zone est donné par la loi de Stephane-Boltzmann :
( )44 er TTq −−= ξϕ ,
iii. Une condition de flux de chaleur imposé sur T4Ω∂ ( qq = ).
où h et eT représentent respectivement le coefficient d’échange convectif et la température
extérieure correspondant à la surface T2Ω∂ .
ξ et ϕ représentent le facteur d’émission et la constante de Stephan.
La formulation variationnelle faible de l’équation de la chaleur s’exprime sous la forme :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ∫∫∫
∫∫∫∫
ΩΩ∂Ω∂
Ω∂Ω∂ΩΩ
Ω=+−
+−++Ω∇∇+Ω
drTdSTdSTTT
dSTThTdSTdTTdTcT
TTe
T
eT
fTT
cT
TT
TT
..
43
21
44 δδξϕδ
δδλδδ
q
q
(II.63)
où Tδ représente une fonction virtuelle du champ de température et fq , le flux de chaleur
(inconnu) correspondant au champ de température (connu) sur la frontière T1Ω∂ , donné
conformément à la loi de Fourier :
Chapitre II Formulation du modèle
-107-
Tgradcf λ−=q (II.64)
La densité de flux de chaleur d’origine radiative émise par la surface 3Γ , peut être ramenée à
une condition aux limites de type convection en effectuant l’approximation suivante :
( ) ( )( )323344 eeee TTTTTTTT ++−=− ∗∗ (II.65)
Cette approximation n’est évidemment valable qu’au voisinage de ∗T .
La discrétisation du champ de température sur un élément fini de type C0, nous donne :
TT δδ NN == TT δ ; (II.66)
TT BN =∇=∇ T (II.67)
où N est la matrice des fonction de forme. T T δδet représentent respectivement le vecteur
variables nodales du champ de température et le vecteur variable nodales du champ virtuel de
température Tδ .
En remplaçant cette discretisation dans l’équation (II.63), on obtient :
( ) ( ) fK =+ T TCT T (II.68)
où
( )
Ω−−−=
Ω=
++Ω=
∫∫∫∫
∫
∫∫∫
ΩΩ∂Ω∂Ω∂
Ω
Ω∂
∗
Ω∂Ω
drdSqdSqdSTh
dc
dSTdShd
TTT
TT
fe
T
TTTc
412
32
NNNN f
NN
NN NN BB K3
C
ξϕλ
(II.69)
Deux types d’algorithmes sont disponibles dans CAST3M du C.E.A. (Millard 1993) pour la
résolution numérique du système (II.69).
- Un schéma d’intégration classique à un pas de temps non itératif est proposé (Theta-
méthode). Celui-ci s’avère être inconditionnellement stable.
- Un schéma à deux pas de temps est également disponible (Dupont). Celui-ci offre des
propriétés de stabilité et de précision intéressantes pour la résolution de ce type de
problème. De plus, Hogge (1981) a constaté sur différents exemples, une très bonne
Chapitre II Formulation du modèle
-108-
précision des résultats obtenus et très peu d’oscillations. Ces observations sont
valables pour de grands pas de temps et pour des variations rapides des
caractéristiques thermiques du matériau avec la température, telles que celles
engendrée par un changement de phase sur la chaleur massique.
Comme nous l’avons vu dans le chapitre I, la modélisation du comportement thermique du
béton à hautes températures peut nécessiter la prise en compte d’une variation rapide de la
chaleur de ce matériau à certaines températures. Ce type d’algorithme est donc
particulièrement adapté à notre problème.
II-3.3 Résolution numérique du problème mécanique
Considérons maintenant le même volume Ω en équilibre au temps 1+nt , soumis à des forces
de volume df ainsi qu’à des efforts surfaciques dF sur une partie de sa frontière notée M2Ω∂
et à des déplacements imposés du sur la partie complémentaire M1Ω∂ (voir figure II.17).
Ω
dF
df
du
M1Ω∂
M2Ω∂
Ω∂=Ω∂∪Ω∂ MM21
et
∅=Ω∂∩Ω∂ MM21
Figure II.20 : Problème mécanique de référence
La formulation variationnelle faible du principe des déplacements virtuels s’exprime, par
l’intermédiaire du résidu (Bathe & Wilson 1976) :
( ) ( )11int
++ −=Φ next
n tFF u (II.70)
où u est le vecteur des déplacements. intF et ( )1+next tF correspondent respectivement au
vecteur des forces internes et à celui des forces externes, qui s'expriment par:
Chapitre II Formulation du modèle
-109-
Ω= +Ω∫ d n
T1
int σBF (II.71)
Ω+= ∫∫ΩΩ∂
df dSF dT
dText
M
NN2
F (II.72)
où B est la matrice opérateur différentiel liant le tenseur de déformation 1+nε au vecteur
déplacement 1+nu , tel que:
11 ++ = nn u Bε (II.73)
La contrainte au temps 1+nt est donnée par:
( )1111 , , ++++ += nnnnn Tf σσσ u Bσ (II.74)
La fonction σf , est une fonction fortement non-linéaire fonction de l'état du point de charge
dans l'espace contrainte-déformation.
L'équilibre du volume Ω est défini à partir de:
0=Φ (II.75)
La résolution de ce problème est réalisés par une méthode itérative de type Newton-Raphson.
A chaque itération (i), le problème linéarisé suivant est résolu:
( )( )i
i
nd
d Φ−=δ
Φ
+
uu 1
(II.76)
où la dérivée du résidu est donnée par l'expression suivante:
Ω=
Ω=Φ
+
+
Ω
+
+
+
+
Ω+
∫
∫
dd
d
dd
d
d
d
d
d
n
nT
n
n
n
nT
n
BB
uB
u
1
1
1
1
1
1
1
εσ
εεσ
(II.77)
jusqu’à ce que Φ devienne nul à une précision près. Dans la double notation employée,
l’indice 1+n correspond à l’incrément du temps et l’exposant (i ) correspond à l’itération
dans l’incrément.
L'algorithme de résolution de l'équation non-linéaire (II.77), pour 1+nu peut alors être décrit
par le tableau suivant:
Chapitre II Formulation du modèle
-110-
0. ( )nn uu =+
01
1. ( ) ( ) extn
extn
ext tt FFF ∆+=+1
2. ( )inn 11 ++ = u Bε
3. Evaluation de l'état de contrainte 1+nσ4. Ω= +
Ω∫ d n
T1
int σBF
5. ( ) ( ) ( )11int
++ −=Φ next
ni tFF u
6. Test de convergence:
Si ( ) ≤Φ i Tolérance, alors l'équilibre global est satisfait. Sinon
7. Evaluation de:( )
( )ii
nd
d Φ−=δ
Φ
+
uu 1
pour uδ
8. ( ) ( ) uuu δ+= +++
in
in 1
11
9. Pas suivant:1+= ii , aller à (2)
Tableau II.2 : Algorithme de résolution du système non linéaire global
Il est à noter qu'à l'étape (3), un nouveau processus d'itération peut être nécessaire pour
obtenir l'état admissible de contrainte, ce processus est appelé processus d'itérations internes
et fait l’objet de notre travail décrit dans le paragraphe suivant.
II-3.4 Intégration des équations constitutives du modèle
Quelque soit l’algorithme de résolution du système non-linéaire global, l’étape locale
d’intégration de la loi de comportement demeure un point clé du calcul. Dans un code
éléments finis classique basé sur une approche en déplacement, elle permet de calculer en
chaque point de Gauss les efforts internes à partir du champ de déplacement prédit à chaque
itération. Il est à noter que la précision de cette intégration conditionne d’une manière
significative la qualité ainsi que l’efficacité de la résolution globale.
En se plaçant dans le cadre général de la plasticité couplée à l’endommagement, les équations
à résoudre se résument à calculer toutes les variables internes de la loi de comportement au
Chapitre II Formulation du modèle
-111-
temps 1+nt connaissant l’état du matériau au temps nt . On intègre à 1+nε fixe et on cherche
1+nσ :
( )1111111 , , , , , +++++++ = nnntmn
pnnn TDf κκεεεσ (II.78)
Dans ce qui suit, on présentera l’application de l’algorithme du type retour radial (ou return
mapping) à notre modèle (voir la figure II.21). Cet algorithme est basé sur le principe d’une
prédiction élastique de la contrainte puis une correction plastique. Les corrections plastiques
sont apportées en utilisant les propriétés de la surface seuil, dont principalement la loi de
normalité (Ortiz & Simo 1986).
001 >+nF
nσσ01
1 =++i
nF
11
++
inσσ
01+nσσ
nσσ
01+nσσ
11
++
inσσ
>
>
+
+
0
00
1 ,2
01 ,1
n
n
F
F
=
=+
+
++
0
01
1 ,2
11 ,1
in
in
F
F
(a) (b)
Figure II.21 : Algorithme de retour radial : (a) cas d’une seule surface de charge,
(b) cas d’une surface multicritère
Commençons tout d’abord par faire un récapitulatif des choix effectués en matière de critère
de charge, de potentiel plastique et de la loi d’écrouissage.
Comme on a vu précédemment, le critère de charge dans notre cas est une surface multicritère
formée de deux surfaces, un critère de Rankine noté 1F pour représenter la zone de traction et
un critère de Drucker-Prager noté 2F , pour la zone de compression.
Dans le cas où il s'agit d'un problème de contrainte plane, la condition 0=zσ est obtenue sur
les conditions d'équilibre en imposant la condition de contrainte plane dans l'algorithme
Chapitre II Formulation du modèle
-112-
présenté par de Borst (1991). Les composantes des tenseurs de contraintes et de déformation
sous forme vectorielle sont respectivement:
xyzyxT σσσσ ,,,=σ (II.79)
xyzyxT εεεε ,,,=ε (II.80)
Les deux critères précédemment définis peuvent s’écrie sous forme vectorielle de la façon
suivante :
( ) ( )( )[ ] ( )
−+==
−+==
TFF
TFFT
fT
c
TTt
,~~ ~~21
,~~21~~21
222
21
22
111
21
11
κτβα
κτ
σπσσ
σπσσ
P
P(II.81)
où 1P et 2P représentent les matrices de projections données par:
−
−
=
2000
0000
002121
002121
1
P (II.82)
et
−−−−−−
=
6000
0211
0121
0112
2
P (II.83)
T1π et T
2π représentent quand à eux les vecteurs de projections données par :
0 ,0 ,1 ,11 =Tπ (II.84)
0,1,1,12 T =π (II.85)
1~τ et 2
~τ représentent respectivement la contrainte effective équivalente en traction simple,
fonction du paramètre d'écrouissage 1κ et de la température T et la contrainte équivalente en
compression simple fonction du paramètre d'écrouissage 2κ et de la température T .
Chapitre II Formulation du modèle
-113-
Les deux paramètres du critère ( )βα ,f sont alors, déterminés à partir des caractéristiques
mécaniques du matériau: résistance en compression simple cf , résistance en traction simple
tf et la résistance en compression biaxiale bf .
c
cf β
βα
21
1
−−
= (II.86)
12 −=
c
c
ββ
β (II.87)
( )cbc ff=β (II.88)
En ce qui concerne la loi d'évolution de la déformation plastique, celle-ci est donnée par la
connaissance des fonctions potentielle plastique (21 ,GG ) et est donnée conformément à la
proposition de Koiter (1953) par :
∑= ∂
∂=
2
1~
i
ii
p G
σε λ (II.89)
où iλ est le multiplicateur plastique. Ainsi les conditions de Kuhn-Tucker doivent être
satisfaits.
0 et 0 ,0 =≤≥ iiii FF λλ (II.90)
Les fonctions potentielles plastiques, quant à elles, s’écrivent sous la forme suivante:
( )[ ] ( )
−+==
==
TGG
FGGT
gT
c
t
,~~ ~~21 222
21
22
11
κτβα σπσσ P(II.91)
où gα représente un paramètre matériau choisi de manière à bien représenter la dilatance du
matériau.
De plus, le paramètre d’écrouissage κ est égal à l’intégration dans le temps durant le
chargement de la déformation plastique cumulée κ donnée par :
( ) pTp ε:ε
3
2=κ (II.92)
Chapitre II Formulation du modèle
-114-
∫= dt κκ (II.93)
Dans le cas où deux critères sont actifs, la loi d’écrouissage peut être exprimée sous la forme
générale :
λλ
Lq =
=2
1
κκ
(II.94)
avec
=
2221
1211
LL
LLL et
=2
1
λλ
λλ (II.95)
En faisant l’hypothèse de découplage ( 02112 == LL ) des écrouissages en traction et en
compression, la loi d'écrouissage précédemment définie s'écrit :
=
2
1
22
11
2
1
0
0
λλ
κκ
L
L(II.96)
avec
( )
+=
=
21
121
22
11
gL
L
α(II.97)
obtenus pour les deux potentiels plastique iG adoptés par le biais du terme σ~∂
∂ iG.
Il est important de noter que l’utilisation de l’hypothèse de la déformation plastique cumulée
trouve sa justification dans la simplicité de la relation paramètre d’écrouissage-multiplicateur
plastique. Dans notre cas (écoulement non-associée en compression), l’utilisation de
l'hypothèse du travail plastique nous aurait conduit à une expression plus complexe de la
relation paramètre d’écrouissage-multiplicateur-plastique ( )
( ) ,~ 1 1
2222
−+= I
TL fg
κταα
.
II-3.4.1 Algorithme de retour radial
Nous présentons dans cette partie les développements numériques correspondant à
l’application de l’algorithme de type retour radial à notre modèle. Nous posons les équations
Chapitre II Formulation du modèle
-115-
de remise à jour de l’état de contrainte dans les différents cas selon le nombre de critères
actifs puis nous décrivons pour chacun la méthode de résolution employée.
Connaissant l’état du matériau ( nnn q , ,σε ) au temps nt , on peut écrire la contrainte, la
déformation et la variable l’écrouissage au temps 1+nt sous la forme :
∑=
++
+
+
∆+=
∆+=∆+=
2
11,1
1
1
jijninn
nn
nn
L qq λ
εεεσσσ
(II.98)
L’équation (II.10), liant le tenseur de contrainte réelle au tenseur de contrainte effective,
s’exprime sous la forme :
( ) 111~1 +++ −= nnn d σσ (II.99)
( )( )111 111 +++ −Λ−=− nnn Dd (II.100)
où 111 , , +++ Λ nnn Dd représentent respectivement la variable d’endommagement total (thermo-
mécanique), celle d’endommagement thermique et celle d’endommagement mécanique.
En utilisant l’équation (II.11), le tenseur de contrainte effective s’exprime sous la forme :
( ) ( )( ) tm
npn
trn
tmnnn
pnnn T
1101
101101101
~
~
+++
++++++
∆+∆−=
−∆−−=
εεσ
εεεσ
:
::
E
EmE(II.101)
avec
( ) Im 101011 3 ; ++++ =−=∆ nnnnn KTTT α (II.102)
où α , ,0 IK représentent le module de compressibilité initial, la matrice unitaire et le
coefficient d'expansion thermique.
trn 1
~+σ représente le prédicteur élastique du tenseur contrainte effective donné par:
( ) ( ) 110101 ~++++ ∆−−−= nn
tmn
pnn
trn TmE εεεσ : (II.103)
L'incrément de déformation d'interaction thermo-mécanique peut s’écrire dans l’espace des
contraintes effectives d’une manière analogue qu’en (II.5) :
1111~ ++++ ∆=∆ nnn
tmn T σε :Q (II.104)
Chapitre II Formulation du modèle
-116-
où 1+nQ est un tenseur du couplage thermo-mécanique donnée par l’équation (II.5).
Il est à noter que l’on considère que le fluage thermique transitoire n’a lieu que dans la partie
saine du matériau, donc piloté par la contrainte effective.
En remplaçant l’équation (II.104) dans l’équation (II.101), on obtient :
pnn
tmn
pn
trnn
111
1011
~
~~
+++
++++
∆−=
∆−=
εσ
εσσ
:
:
D
EH -11n (II.105)
avec
( )
=
∆+=
++
+++
0
101
EHD
EIH1-
1n1n
1n
:
Q: nnT(II.106)
et
( )
∆−
∆−−=
=
++=
++
+++
∑ 1100
1
11
~
~
nn
n
innn
pnn
trn
tmn
TT mHD
H
1-1n
-11n
::Q:
:
σεε
σσ(II.107)
Les équations (II.99) à (II.107) peuvent être interprétées comme une nouvelle façon d’utiliser
la méthode prédicteur-correcteur intégrant un terme de fluage :
9 tmn 1
~+σ représente le prédicteur thermo-élastique de la contrainte effective corrigé par effet
du fluage transitoire.
9 ( )pnn 11 ++ ∆εε:D représente le correcteur plastique corrigé par effet du fluage transitoire.
9 11~
++ nnd σ représente le correcteur d'endommagement.
Il est intéressant de signaler que l’utilisation du concept de la contrainte effective nous permet
de découpler la réponse thermo-elasto-plastique de celle de la réponse endommagée (figure
II.22). Cette méthode confère une souplesse dans l’implémentation numérique du modèle , car
les développements sont faits comme en plasticité classique avec des caractéristiques initiales
(non endommagés), sauf que cette fois-ci c’est dans l’espace des contraintes effectives.
tmn 1
~+σ est un terme en contrainte faisant intervenir des quantités au pas précédent plus la
variation de la température au pas 1+n . Ces quantités sont toutes connues à ce stade du
Chapitre II Formulation du modèle
-117-
calcul. La seule inconnue reste donc l’incrément de déformation plastique pn 1+∆εε . Une fois la
déformation plastique est estimée, on passe à la détermination de la contrainte réelle.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
0 0,002 0,004 0,006 0,008
Déformations
Co
ntr
ain
te/R
ési
sta
nce
Réelle
Effective
Figure II.22 : Réponse du modèle en compression en contraintes
réelles et effectives
Le calcul de la contrainte se fait alors en deux temps : tout d’abord nous pouvons nous
occuper de la plasticité puis, dans un second temps, de l’endommagement (figure II.23).
( )TfD i ,κ=
iT
Bloc 1:THERMIQUE
Bloc 2:MECANIQUE
ijε ijσ
iij κσ ,~
( ) ( ) fK =+ T TCT T
( )( )i
i
nd
d Φ−=δ
Φ
+
uu 1
( ) 0,,~ ≤TF itr
i κσ
Module 1: Plasticité Module 2: Endommagement
0
1
2
3
Figure II.23 : Schéma représentatif de l’organigramme
de calcul du tenseur des contraintes
Chapitre II Formulation du modèle
-118-
En utilisant les expressions des potentiels plastiques définies précédemment (l’équation II.91),
l'incrément de déformation plastique, dans le cas de deux critères actifs, s’exprime par :
( )( ) 21
1211 ,2
21
1111 ,1
21 ,2
121,21
1 ,1
111,11
~~21
~~21
2
~21
2
~
+++
+++
+
++
+
+++
=Ψ
=Ψ
+
Ψ∆+
+
Ψ∆=∆
nTnn
nTnn
gn
nn
n
nn
pn
σσ
σσ
πσ
πσ
ε
P
P
PP αλλ
(II.108)
En remplaçant l’expression de l’incrément de déformation plastique (équation II.108) dans
l’équation (II.105), on obtient une nouvelle expression de l’équation de remise à jour :
+
Ψ∆+
+
Ψ∆−=
+
++
+
+++++ 2
1 ,2
121,21
1 ,1
111,1111 2
~21
2
~~~ π
σπ
σσσ g
n
nn
n
nnn
tmnn αλλ PP
D : (II.109)
Cette dernière expression peut se mettre sous la forme :
Ψ
∆+
Ψ∆
+=
∆−∆−=
++
++
+
++
+++++++
211 ,2
1,211
1 ,1
1,11
211,2111,111
22
21~~
P DP DIA
D DA 1-1n
nn
nn
n
nn
nngnntmnn
λλ
λαλ ππσσ
(II.110)
On remarque que les expressions (II.110), présentent un inconvénient lié au fait que le schéma
d’intégration des équations constitutives est alors implicite. En effet, par la forme de cette
expression, le vecteur de contrainte effective actualisé donné en (II.109) n’est pas lié de façon
linéaire à l’état de contrainte de test. D’une manière analogue à celle proposée par Feenstra
(1993), nous proposons d’utiliser la technique suivante pour s'affranchir de cette difficulté. La
condition de consistance doit être satisfaite à la fin du pas du temps 1+n , 021 == FF . Par
conséquent les expressions de 1 ,1 +Ψ n et 1 ,2 +Ψ n , peuvent s'écrire sous la forme :
( )( )
−=Ψ
−=Ψ
++++
++++
1211,221 ,2
1111,111 ,1
~ ,~
~21,~
nT
fnnn
nT
nnn
T
T
σπ
σπ
ακτβ
κτ(II.111)
En multipliant l’équation (II.110) par AT2π , on obtient la relation suivante :
2121,21121,112112 21~~ ππππσπσπ D DA +++++++ ∆−∆−= nT
ngnT
ntmn
Tnn
T λαλ (II.112)
or
Chapitre II Formulation du modèle
-119-
( )( )
=
=
+=
+=
+
+
+++
+++
T
T
0
0
2
1
PD
PD
D
D
12
12
12,1
11,1212
12,1
11,1112
23
22
nT
nT
nnn
T
nnn
T
DD
DD
π
π
ππ
ππ
(II.113)
donc,
21212112111212112 21~~ ππππσπσπσπ ++++++++ ∆−∆−== nT
,ngnT
,ntrn
Tn
Tnn
T DDA λαλ (II.114)
On peut donc finalement exprimer 1,2 +Ψ n sous la forme :
( ) ( )
∆
+∆+−
−=Ψ ++
++++++ 1211
12,1
11,11211,221 ,2 323~ ,~
,ng
,nnntm
nTf
nnn DDT λβ
αλ
βα
κτ σπ (II.115)
La méthode décrite ci-dessus n’est pas directement applicable dans le cas de 1Ψ car la
simplification alors obtenue n'est plus possible. Cependant en multipliant l'équation (II.110)
par AT1π , on obtient :
2112111111111 21~~ ππππσπσπ D DA T,ng
T,n
tmn
Tnn
T+++++ ∆−∆−= λαλ (II.116)
Les propriétés vérifiées sont désormais les suivantes :
( )( )
( )
−=
=
+=
+=
++
++
++
0 ,2 ,1 ,1
22
2
12,1
11,11
01
12,1
11,121
12,1
11,111
nnT
T
nnT
nnT
DD
DD
DD
2
1
P D
PE
D
D
π
π
ππ
ππ
T0(II.117)
Enfin, la relation (II.110) peut se mettre sous la forme :
( ) ( )
( ) ( ) 1z
1 ,2
12,1
11,11,21
2,11
1,112
12,1
11,1111111
1 ,2
12,1
11,11,2
~ 2 2
~~2
+
+
+++++
+
+++++
+
+++
Ψ
−∆++∆
−
+∆−=
Ψ
−∆+
n
n
nnnnn
,ng
nn,n
tmn
Tn
T
n
nnn
DDDD
DDDD
σβ
λλ
βα
λβ
λσπσπ1
(II.118)
Afin d’exprimer le tenseur des contraintes 1~
+nσ seulement en fonction des multiplicateurs
plastiques ( 11 +∆ ,nλ , 12 +∆ ,nλ ) comme inconnues, il est nécessaire de connaître l’expression de
1~ +nzσ rentrant dans la définition de l’équation (II.118). Cette dernière est obtenue à l'aide de
l'équation (II.105) :
Chapitre II Formulation du modèle
-120-
( )
( )12,1
11,11,2
11 ,2
12,1
11,11,21
2,1111,1
2
~0 ,2 ,1- ,1-2
~
+++
++
++++
+++
+∆
−
Ψ−∆
−∆−=
nnn
g
nn
nnnn
,ntr
nznz
DD
DDD 1
λβ
α
βλ
λσ σ(II.119)
cette dernière équation (II.119), peut se mettre sous la forme :
( )( )
( )
+∆
−
Ψ−∆
+
∆−
−∆+Ψ
Ψ=
+++
+
+++
+++
++++
++
12,1
11,112
112
12,1
11,11,2
12,1111,
12,1
11,1121 ,2
1 ,21
2
~2
~
~
nn,n
g
nT
nnn
n,n
trnz
nn,nn
nnz
DD
DD
D
DD
λβ
αβ
λ
λσ
λββ
σ σπ (II.120)
En substituant l'expression de 1~ +nzσ dans l’équation (II.118), on obtient l'expression finale de
11~
+nT σπ .
( )( )( )
( )( )
( )( ) ( )
+∆
−
∆−
−∆+Ψ
−∆+
+∆
−
+∆−
−∆+Ψ
−∆+Ψ=
+++
+++
++++
+++
+++
++++
++++
++++
+
12,1
11,11n2,
12,11n1,1 ,
12,1
11,11,21 ,2
12,1
11,11,2
12,1
11,11n2,
12,1
11,11n1,11
12,1
11,11,21 ,2
12,1
11,11,21 ,2
11
2
~
3 2
2
2 2
~
3 2
2~
nng
ntrnz
nnnn
nnn
nng
nntmn
T
nnnn
nnnn
nT
DD
D
DD
DD
DD
DD
DD
DD
λβ
α
λσ
λβλ
λβ
α
λ
λλ
σπσπ
(II.121)
Enfin, en substituant l’expression de 11~
+nT σπ dans la l’équation (II.114), on obtient
l’expression de 1 ,1 +Ψ n .
Dans le cas où les deux surfaces de charge sont actives, deux possibilités peuvent conduire à
des indéterminations mathématiques dans le calcul de l’expression de 1+nA (équation II.110) :
- Lorsque 1Ψ devient égal à zéro, on suppose que l’apex du double critère est
complètement géré par la fonction de charge de Rankine. On utilise alors la méthode
décrite au paragraphe précédent qui correspond au critère de Rankine seul actif.
Chapitre II Formulation du modèle
-121-
- Lorsque le critère de Drucker-Prager est réduit à un point, on a ( 02 =Ψ ) ou ( 01 =Ψ
et 02 =Ψ ). On peut montrer que 1−A reste définie dans ces deux cas si une
décomposition spectrale est utilisée.
La matrice thermo-élastique transitoireD , la matrice de projection 1P et la matrice de
projection 2P possèdent le même sous espace de vecteurs propres. On peut donc exprimer la
matrice A dans sa base propre où elle est diagonale. Nous la notons alors AΛ :
22
1,21
1
1,1
22 PDn
PDn
IA Ψ
∆+
Ψ∆
+= ++ λλ(II.122)
Avec,
122
111
1
−
−
−
=
=
=
QQP
QQP
QQD
P
P
D
(II.123)
Et les matrices suivantes :
[ ]
3,33
2,11,12
2,11,11
3211
2
, , ,
D
DD
DD
diagD
=Ω+=Ω−=Ω
ΩΩΩΩ=
(II.124)
[ ]2,0,1,01 diagP = (II.125)
[ ]6,0,3,32 diagP = (II.126)
Connaissant AΛ ,on peut facilement exprimer son inverse 1−A puis sa limite lorsque 1Ψ et 2Ψ
tendent vers 0. On détermine la matrice 1−A à l’aide de la relation:
11 −−= QQA-1A (II.127)
avec,
−
−
=
1000
031062
0312161
0312161
Q (II.128)
Chapitre II Formulation du modèle
-122-
et,
=
−
−
−
−
−
144
133
122
111
1
000
000
000
000
A
A
A
A
A
Λ (II.129)
On obtient finalement l’expression de 1−A quand Ψ1 et Ψ2 tendent vers 0:
=−
0000
0313131
0313131
0313131
1A (II.130)
Dans le cas où une seule surface est activée on obtient :
- critère de traction seul actif
la relation de mise à jour de la contrainte effective s'écrit :
+
Ψ∆−= +
+++ 11
111n1,11 21
2
~ ~~ πσσσ ntm
nn
PD λ: (II.131)
( ) ( ) 2,11,11n1,1111,111 ~ 2
1,~ DDT tm
nT
nn +∆−
−=Ψ ++++ λκτ σπ (II.132)
Dans le cas ou 01 =Ψ . On peut montrer que 1−A reste défini dans ce cas si une
décomposition spectrale est utilisée comme précédemment.
11
1,1
2 PDn
IA Ψ
∆+= +λ
(II.133)
Connaissant AΛ ,on peut facilement exprimer son inverse 1−A puis sa limite lorsque 1Ψ tend
vers 0. La matrice 1−A est déterminée à l’aide de la relation (II.127), quand Ψ1 tend vers 0 :
=−
0000
0100
002121
002121
1A (II.134)
Chapitre II Formulation du modèle
-123-
- critère de compression seul actif
la relation de mise à jour de la contrainte effective s'écrit :
+
Ψ∆−=
+
+++++ 2
1 ,2
121n2,111 2
~ ~~ π
σσσ g
n
nn
tmnn αλ P
D : (II.135)
( ) ( )
+∆
−
−=Ψ ++
+++++1
2,11
1,11n2,1211,221 ,2 2 3~,~ nngtmn
Tfnnn DDT λ
βα
βα
κτ σπ (II.136)
Dans le cas ou 02 =Ψ . On peut montrer que 1−A reste défini dans ces deux cas si une
décomposition spectrale est utilisée comme précédemment.
22
1,2
2 PDn
IA Ψ
∆+= +λ
(II.137)
Connaissant AΛ ,on peut facilement exprimer son inverse 1−A puis sa limite lorsque 1Ψ tend
vers 0. La matrice 1−A est déterminée à l’aide de la relation (II.127), quand Ψ1 tend vers 0:
=
−
−
−
−
−
144
133
122
111
1
000
000
000
000
A
A
A
A
A
Λ (II.138)
On obtient finalement l’expression de 1−A quand Ψ1 tend vers 0:
=−
0000
0313131
0313131
0313131
1A (II.139)
II-3.4.2 Schéma itératifs de résolution utilisés
Dans le paragraphe précédent nous avons développé les équations de remise à jour de l’état de
contrainte dans le cas des critères de Rankine et de Drucker-Prager. Le problème réside
maintenant dans l’évaluation de l’incrément de multiplicateur plastique vérifiant la condition
de consistance. Nous avons vu au paragraphe précédente que dans le cas général où deux
critères sont actifs, le système à résoudre est le suivant:
Chapitre II Formulation du modèle
-124-
=∆∆=∆∆
+++
+++
0),,(
0),,(
11,21,12
11,21,11
nnn
nnn
TF
TF
λλλλ
(II.140)
La mise à jour de l’écoulement est effectuée par une méthode de Newton-Raphson. La
relation vectorielle correspondant à l’application de cette méthode pour le calcul de
l’incrément de multiplicateur plastique s’écrit :
( ) ( )
( )
( )i
nnn
nnn-i
i
n
n
i
n
n
TF
TF
∆∆∆∆
−
∆∆
=
∆∆
+++
+++
+
++
+
+
),,(
),,(.
11,21,12
11,21,111
1,2
1,1
1
1,2
1,1
λλλλ
λλ
λλ
J (II.141)
où l’indice ( )i correspond à l’itération interne effectuée dans l’incrément 1+n .
L’actualisation du Jacobien à chaque itération est réalisée par une méthode de Broyden (Roux
1987). Cette méthode correspond à celle de la sécante en dimension supérieure. Nous avons
ainsi la relation:
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )11111
111111 ,
,
−−
−−−
−−−−− −+= ii
iii
iTiiii
i-i ssyJs
JsyJsJJ (II.142)
où ( )ba, représente le produit scalaire baT
( )( ) ( )
( )( )( ) ( )( )1
11111
1111
, , +−+++−
−++−
∆−∆=
∆−∆=
ni
nni
ni
in
ini
TFTF λλ
λλ
y
s(II.143)
avec:
( )i
n
nin
∆∆
=∆+
++
1,2
1,1
1 λλ
λ (II.144)
et,
( )( ) ( )( )
( )i
nnn
nnnin TF
TFF
∆∆∆∆
=∆+++
++++
11,21,12
11,21,111 , ,
, ,
λλλλ
λ (II.145)
Ce processus itératif nécessite la connaissance des valeurs initiales d’indice (0) du Jacobien.
Une estimation de celui-ci est possible par linéarisation des critères au voisinage du prédicteur
élastique. On exprime le Jacobien du système à l’itération (i) sous la forme:
Chapitre II Formulation du modèle
-125-
( )
( )i
i
FF
FF
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
2
2
1
2
2
1
1
1
λλ
λλJ (II.146)
La décomposition du critère de traction en série de Taylor au premier ordre au voisinage du
prédicteur élastique corrigé par le fluage transitoire tmn 1
~+σ , conduit à la relation:
( ) ( ) ( )nn
t
nn
t
tmnn
t
tn
FFFFF ,21,2
2
1,11,1
1
111
111,1
~~~ κκ
κκκ
κ−
∂∂
+−∂∂
+−∂∂
+≈ +++++ σσσ
(II.147)
D’après la loi d’écrouissage (II.98) et l’équation de remise à jour du vecteur des contraintes
(II.101), nous pouvons exprimer ce critère linéarisé sous la forme :
1,22
11,1
1
111
1111 ~ +++++ ∆
∂∂
+∆∂∂
+∆∂∂
−≈ n
t
n
t
pnn
t
t,n
FFFFF λ
κλ
κε
σ:D (II.148)
En utilisant la loi d’écoulement défini par l’équation (II.89), l’équation (II.148) peut se mettre
sous la forme :
1,22
11,1
1
1
211,2
111,1
111,1
~~~
++
+++++
∆∂∂
+∆∂∂
+
∂∂
∆+∂∂
∆∂∂
−≈
n
t
n
t
t
nn
t
nn
t
tn
FF
GGFFF
λκ
λκ
λλσσσ
:: DD
(II.149)
que l’on peut réorganiser :
~~~~ 1,22
1211,1
1
11111,1 +++++ ∆
∂∂
+∂
∂∂∂
−+∆
∂∂
+∂∂
∂∂
−+≈ n
ttt
n
ttt
tn
FGFFGFFF λ
κλ
κ σσσσ 1n1n DD(II.150)
Pour le critère de compression, on obtient de la même façon :
~~~~ 1,22
2221,1
1
21221,2 +++++ ∆
∂∂
+∂
∂∂∂
−+∆
∂∂
+∂∂
∂∂
−+≈ n
ttt
n
ttt
tn
FGFFGFFF λ
κλ
κ σσσσ 1n1n DD(II.151)
Les équations (II.150, II.151) peuvent se mettre sous la forme :
Chapitre II Formulation du modèle
-126-
−
−=
∆∆
×
∂∂+
∂∂
∂∂−
∂∂+
∂∂
∂∂−
∂∂+
∂∂
∂∂−
∂∂+
∂∂
∂∂−
+
+
+
+
++
++
tn
tn
n
n
tt
n
ttt
n
t
tt
n
ttt
n
t
FF
FF
FGFFGF
FGFFGF
21,2
11,1
1,2
1,1
2
221
2
1
211
2
2
121
1
1
111
1
~~~~
~~~~
λλ
κκ
κκ
σσσσ
σσσσ
DD
DD
(II.152)
L'équation (II.152) s’écrit alors sous une forme plus condencée de la manière suivante :
−
−=
∆∆
×
+−−
−+−
+
+
+
+
++
++t
n
tn
n
n
nT
nT
nT
nT
FF
FF
h
h
21,2
11,1
1,2
1,1
2212112
2111111
λλ
mD nm D n
m D nm D n(II.153)
Finalement, on obtient l’estimation du Jacobien au prédicteur élastique:
( )
+−−
−+−=
++
++
2212112
21111110
h
h
nT
nT
nT
nT
mD nm D n
m D nm D nJ (II.154)
Dans le cas particulier où un seul critère est actif, le problème à résoudre se ramène à:
( ) 0, 11 =∆ ++ nn TF λ (II.155)
La relation correspondant à l’application de la méthode de Newton s’écrit dans ce cas:
( ) ( )( )
( ) ),(.J 111
111 ++
−+
++ ∆−∆=∆ n
ini
in
in TF λλλ (II.156)
Le Jacobien du système non linéaire (un scalaire dans ce cas) est actualisé suivant la relation:
( )( )( ) ( )( )
( ) ( )in
in
ni
nni
ni TFTF
111
11111 ,,
J+
−+
+++−+
∆−∆∆−∆
=λλ
λλ(II.157)
Cette méthode de résolution correspond exactement à la méthode dite de la sécante dont la
figure (II.24) fournit une représentation géométrique. La décomposition du critère au
voisinage du prédicteur élastique en série de Taylor au premier ordre s’exprime donc dans ce
cas:
( ) ( )nn
ttmnn
tt
n
FFFF κκ
κ−
∂∂+−
∂∂+≈ ++++ 1111
~~~ σσσ
(II.158)
expression équivalente à :
111,1 ~~ +++ ∆
∂∂+
∂∂
∂∂−≈− n
tttt
n
FGFFF λ
κσσ 1nD (II.159)
d'où une estimation du Jacobien initial :
Chapitre II Formulation du modèle
-127-
( )( ) ( )
h
FGFFF
T
ttt
+−=
∂∂+
∂∂
∂∂−=
∆∆≅
∂∂=
+
+
m D n
D
1n
1n
~~J00
0
κλλ σσ (II.160)
)0(λ∆ )1(λ∆ )2(λ∆ )( iλ∆
F
λ∆
Figure II.24 : Représentation schématique du
processus itératif de résolution de l’équation (II.155)
par la méthode sécante
II-3.4.3 Construction de l’opérateur tangent pour le modèle proposé
Dans le cadre de la méthode de Newton-Raphson utilisée pour la résolution des équations
d’équilibre, la linéarisation de celles-ci se traduit par l’utilisation d’une matrice de raideur
tangente. La construction de celle-ci joue un rôle important dans la stabilité, la rapidité et la
précision. Simo & Taylor (1986) ont mis en évidence que, pour conserver ces propriétés, la
matrice de raideur tangente doit être construite à partir d’un opérateur liant l’incrément de
contrainte à l’incrément de déformation linéarisé de façon précise à la fin du processus de
retour sur les surfaces de charge. Cet opérateur appelé opérateur tangent consistant doit être
construit à la fin de l’itération ( )1+i dans l’incrément concerné. A la fin de l’itération ( )1+i ,
le vecteur de contrainte actualisé, dans le cas général où les deux critères sont actifs, peut être
exprimé sous la forme:
( ) 111~1 +++ −= nnn d σσ (II.161)
La dérivée totale du vecteur de contraintes (équation II.158) s’écrit sous la forme :
( ) ( )
( ) ( )1
1
111
11111
~~
~ 1
~~ 1
++
+++
+++++
−−=
−−=
nn
nnn
nnnnn
dd
ddd
ddddd
σσ
σ
σσσ(II.162)
Calculons tout d’abord 1~
+ndσ , on sait que la contrainte effective peut s’exprimer comme suit:
pn
tmnn
pnnnn 11111
~+++++ ∆−−−−= εεεεεεσ θ:D (II.163)
Chapitre II Formulation du modèle
-128-
soit :
∂∂
∆−−−−= ∑= +
+++++
2
1 11,1111 ~
~i n
ini
tmnn
pnnnn
G
σεεεεσ λθ:D (II.164)
La dérivée totale du vecteur de contraintes effective peut donc être obtenue. Elle s’exprime
sous la forme:
∂∂
∂∆+
∂∂
−= ∑=
+++
++
+++
2
11
11
2
1,1
111~
~~~~
in
nn
ini
n
iinnn d
GGddd σ
σσσεσ λλ:D (II.165)
En utilisant la formulation générale proposée par Riggs & Powel (1990), on exprime cette
relation sous la forme:
λεσ ddd nnn U: −= +++ 111~ (II.166)
où
∂∂
=2~
1~
G
G
σ
σU (II.167)
et
=2
1
λλ
d
ddλ (II.168)
et la matrice Π est donnée par:
[ ] 111
1
11
22
1,211
12
1,111 ~~~~
−++
−
+++
+++++
=
∂∂
∂∆+∂∂
∂∆+=
nn
nnn
nnnnn
GG
DC
Cσσσσ
Π λλ(II.169)
La condition de consistance appliquée aux deux surfaces fournit les relations:
=∂+∂
=∂+∂
+
+
0 ~
0 ~
2212~
1111~
2
1
κ
κ
κσ
κσ
dFdF
dFdF
nT
nT
σ
σ(II.170)
compte tenu de la loi d’écrouissage (II.98) adoptée, on peut exprimer les relations (II.170),
sous la forme :
σλ ~1 dd TVE −= (II.171)
Chapitre II Formulation du modèle
-129-
avec :
∂−
∂−=
2
1
2
1
0
0
F
F
κ
κE (II.172)
et
∂∂
=T
T
F
F
2~
1~
σ
σV (II.173)
En substituant la relation (II.171) dans l’équation (II.166) on obtient:
[ ] ( ) ( )11
11
111
~ ++
++
−−+ =+ i
ni
nT
n dd εσΠ VUE (II.174)
L’application de la formule de Shermann-Morrison-Woodbury nous permet finalement
d’aboutir à l’expression:
( ) ( )[ ] ( )111
1
11111 ~ +
++−
+++++ +−= i
nnT
nT
nni
n dd εΠΠΠΠσ VUV EU (II.175)
D’où la formulation de l’opérateur tangent cohérent:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]1
1
1111
111
11, ~
~ 1 +−
++++
+++
++ +−
−−= nT
nT
nnn
nnn
int d
ddd ΠΠΠΠ
σσ VUV EUE (II.176)
Dans le cas où un seul critère est actif, à la fin de l’itération ( )1+i , le vecteur de contrainte
actualisé peut être exprimé sous la forme:
pn
tmnn
pnnn 111
~+++ ∆−−−−= εεεεεεσ θ:D (II.177)
En suivant le même raisonnement que précédemment et en posant cette fois ci,
1
11
2
111 ~~
−
+++++
∂∂
∂∆+=nn
nnn
G
σσΠ λC (II.178)
on obtient l’expression de l’opérateur tangent cohérent dans le cas où un seul critère est actif:
( ) ( ) ( )
11
11
111
1
111
11, ~
~ 1
++
++
+++
+
+++
++
∂∂=
−
−
−−=
nn
nnT
nT
nn
n
nnn
int
Fh
hd
ddd
κ
mn
n mE
ΠΠΠ
Πσ
σ(II.179)
où :
Chapitre II Formulation du modèle
-130-
( )
( )
∂∂
+
∂∂
=
∂∂
+
∂∂
=
+
+
+
+
+
+
+
+
++
++
+
++
1
1
1
1
1
1
1
1
11
11
1
11
~~~
~~
n
n
n
n
T
n
n
n
n
nn
nn
T
n
nn
d
d
dd
d
dd
dd
dd
dd
σσσ
σσ
κκκκ
κκκκ
(II.180)
le paramètre d’endommagement ne dépend pas d’une manière directe de la contrainte, on a
alors:
( )
∂∂
=⇒=∂∂
+
+
+
+
+
+
+
+
1
1
1
1
1
1
1
1~~0~
n
n
T
n
n
n
n
n
n
d
dd
d
ddd
σσσκκ
κκ(II.181)
d’après la condition de consistance on peut écrire:
=∂
∂+
∂∂
=∂
∂+
∂∂
⇔
=
=
++
++
++
++
0~~
0~~
0
0
1,21,2
21
1
2
1,11,1
11
1
1
2
1
nn
n
T
n
nn
n
T
n
dF
dF
dF
dF
F
F
κκ
κκ
σσ
σσ
(II.182)
ce qui donne,
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂∂
−=
=
++
++
+
+
+
+
+
+
1,2
2
1
2
1,1
1
1
1
1,2
1
1
1,1
1
1
~
~
~
~
~
n
T
n
n
T
n
n
n
n
n
n
n
FF
FF
d
d
d
d
d
d
κ
κ
κ
κ
σ
σ
σσ
σκκ
(II.183)
Il est à noter que dans le cas d’utilisation d’un écoulement non-associé (gf αα ≠ ) l’opérateur
tangent n’est pas symétrique.
II-3.4.4 Tableaux récapitulatifsLes tableaux II.3, II.4, II.5 et II.6 résument les différents étapes de l’algorithme d’intégration
des équations constitutives proposées. Le tableau II.3 présente le calcul du prédicteur
élastique et la première estimation du nombre de critères actifs. Les tableaux II.4 et II.5
proposent ensuite le principe de l’algorithme utilisé respectivement dans le cas ou un critère
est actif et le cas où les deux critères sont actifs. Le tableau II.6 présente la dernière étape de
l'algorithme, qui consiste en la mise à jour de la contrainte et le calcul de l’opérateur tangent.
Chapitre II Formulation du modèle
-131-
1. Initialisation :
11 ; ++ Λ nnε( ) ( ) ( ) ( )
nnpn
pnnnnn D D ==== ++++
01
01,2
01,2,1
01,1 ; ; ; εεκκκκ
2. Prédicteur thermo-élastique transitoire effectif :
( ) ( ) 11n0101
1 ~+++
−+ ∆−−−= n
trn
pnn
tmn TmEH εεεσ ::
3. Estimation du nombre de critères actifs:
( ) ( )( ) ( )
≤
≤
+++
+++
II ? 0,,~I ? 0,,~
11,212
11,111
nntmn
nntmn
TF
TFIf
κ
κ
σ
σ
9 Si oui ( )I et oui ( )II :
Va à l'étape (13) [Tableau II.6]
9 Si non ( )I et oui ( )II , ou oui ( )I et non ( )II :
Va à l'étape (4) [Tableau II.4]
9 Si non ( )I et non ( )II :
Va à l’étape (8) [Tableau II.5]
Tableau II.3 : Première étape - Estimation du nombre de critères actifs
4. Initialisation du processus, 0=i :
( )
∂∂+
∂∂
∂∂−=
tttFGF
Jκσσ ~~ 0
0 D
( )( ) ),,~(.J 111
11 +++
−+ −=∆ nn
tmni
in TF κλ σ
5. Mise à jour de la contrainte effective et du paramètre d'écrouissage :( ) ( ) ( )( ) i
ni
ni
n 111~~
+++ ∆= σσσ( ) ( ) ( )i
ni
ni
n 1111 +
−++ ∆+=
6. Vérification du convergence :
( ) ? ,,~ 111 TolTFIf nntmn ≤+++ κσ
9 Si oui Va à l’étape (13)9 Sinon Va à l'étape (7)
7. Nouvelle estimation du jacobien et du multiplicateur plastique :
( )( )( ) ( )( )
( ) ( )in
in
ni
nni
ni TFTF
111
11111 ,,
J+
−+
+++−+
∆−∆∆−∆
=λλ
λλ
( ) ( )( )
( ) ),(.J 111
111 ++
−+
++ ∆−∆=∆ n
ini
in
in TF λλλ
Va à l'étape (7)
Tableau II.4 : Principe de résolution numérique
Cas d’un seul critère actif
Chapitre II Formulation du modèle
-132-
8. Initialisation du processus, 0=i :
( )
+−−
−+−=
++
++
22212
211110
h
hTT
TT
mD nm D n
m D nm D n
1n1n
1n1nJ
( )
( )
−−=
∆∆
+++
+++−
+
+
),,~(
),,~(.J
11,212
11,11110
1,2
1,1
nntmn
nntmn
i
n
n
TF
TF
κ
κλλ
σ
σ
9. Si ( 01,1 ≤∆ +nλ et 01,2 >∆ +nλ ) ou ( 01,1 >∆ +nλ et 01,2 ≤∆ +nλ ) Va à l'étape (4)
Si 01,1 ≤∆ +nλ et 01,2 ≤∆ +nλ Va à l'étape (13)
10. Mise à jour de la contrainte effective et du paramètre d'écrouissage :( ) ( ) ( ) ( )( )i
nin
in
in , 1,21,111
~~++++ ∆∆= σσσ
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )in
in
in
in
in
in
11
1,21,2
111,11,1
+−
++
+−++
∆+=
∆+=
κκ
κκ
11. Vérification du convergence :
( )( ) )( ? ,,~
)( ? ,,~
11,21
11,11
IVTolTFIf
IIITolTFIf
nntrn
nntrn
≤
≤
+++
+++
κ
κ
σ
σ
9 Si oui ( )III et oui ( )IV :
Va à l'étape (13)
Si non ( )III et oui ( )IV , ou oui ( )III et non ( )IV :
Va à l'étape (12)
9 Si non ( )III et non ( )IV :
Va à l'étape (12)12. Nouvelle estimation du jacobien :
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )11111
111111 ,
, −−−−−
−−−−− −+= ii
iii
iTiiii
i-i
ss
yJs
JsyJsJJ
( ) ( )
( )
( )i
nnn
nnn-i
i
n
n
i
n
n
TF
TF
∆∆∆∆
−
∆∆
=
∆∆
+++
+++
+
++
+
+
),,(
),,(.
11,21,12
11,21,111
1,2
1,1
1
1,2
1,1
λλλλ
λλ
λλ
J
Va à l'étape (10)
Tableau II.5 : Principe de résolution numérique
Cas de deux critères actifs
Chapitre II Formulation du modèle
-133-
13. Calcul de l’opérateur tangent dans l’espace des contraintes effectives :9 Un seul critère actif :
−
−=
++
+++
+
+ 11
111
1
1
~
nnT
nT
nn
i
n hd
d
mn
n m
ΠΠΠ
Πεσ
9 Deux critères actifs :
( )[ ] ~1
1
111
1
1+
−+++
+
+
+−=
nT
nT
nn
i
nd
d ΠΠΠΠεσ
VUV EU
14. Mise à jour de la contrainte et de la variable d'endommagement :
( )111 , +++ Λ= nnn dd κ
( ) 111~1 +++ −= nnn d σσ
15. Calcul de l’opérateur tangent :
( ) ( ) ( ) 1
11
111
1
1
11,
~
~~ 1
+
++
+++
+
+
++
−−=
=
i
nn
nnn
i
n
int d
d
d
ddd
d
d
εσ
σσ
εσ
E
1+= nn Va à l’étape (1)
Tableau II.6 : Dernière étape de l'algorithme thermo-élasto-plastique-endommageable
Mise à jour de la contrainte et calcul de l’opérateur tangent
Chapitre II Formulation du modèle
-134-
II-4 CONCLUSION
Ce chapitre a permis de présenter le plus clairement possible un nouveau modèle de
comportement du béton depuis son élaboration jusqu’à son implantation dans un code E. F. en
spécifiant les hypothèses et les choix adoptés.
Le modèle formulé dans le cadre de la théorie de l’endommagement couplé à la plasticité est
proposé pour la description du comportement non-linéaire du béton sous chargement thermo-
mécanique. Les variations irréversibles des caractéristiques thermiques et mécaniques sont
prises en compte ainsi que le développement de déformation d’interaction thermo-mecanique
et la fermeture des fissures lors du chargement cyclique. Un critère multisurfaces de plasticité
permettant de décrire le comportement spécifique de ce matériau a été construit. Le problème
de la sensibilité pathologique de la solution numérique à la finesse et à l’orientation du
maillage, engendrée par l’introduction d’un comportement adoucissant du béton en traction et
en compression, est partiellement résolu en introduisant l’énergie de fissuration dépendant
d’une longueur caractéristique liée à la taille des éléments. Un schéma d’intégration implicite
a été formulé intégrant le terme de fluage thermique transitoire. L’utilisation du principe de la
contrainte effective, nous a permis de découpler la réponse thermo-élasto-plastique de la
réponse endommagée, cela offre l’avantage de conserver la méthode de résolution numérique
de type plasticité pour le calcul de l’incrément plastique.
Ce modèle offre un traitement complet du comportement du béton sous chargements
mécanique et thermique aussi bien dans le domaine de la compression que dans celui de la
traction. L’ensemble des paramètres du modèle est identifiable expérimentalement par des
essais simples et réalistes.
Toutefois des limites au modèle proposé existent. La première concerne le choix de la
variable endommagement, un endommagement isotrope ne décrit pas l’anisotropie liée à la
fissuration. Cette lacune peut conduire à une réponse erronée du modèle dans le cas de
chargements non-radiaux.
Le problème de la localisation des déformations n’est que partiellement traité. En particulier,
les effets spécifiques liés aux hautes températures doivent être étudiés. En effet le couplage
thermo-mécanique nécessitant l’enchaînement des analyses thermique et mécanique peut
Chapitre II Formulation du modèle
-135-
accentuer par cumul l’effet de sensibilité au maillage. De plus, les effets de l’introduction de
caractéristiques du béton décroissantes avec la température sur la nature des équations du
problème mécanique doivent être analysés. Ces aspects font partie des perspectives que nous
dégageons à la suite de ce travail.
Chapitre III Validations et simulations
-136-
CHAPITRE III
VALIDATIONS ET SIMULATIONS NUMERIQUES
III-1 INTRODUCTION.............................................................................................................. ................. 137
III-2 APPLICATIONS À L’ANALYSE DU COMPORTEMENT DE SPECIMENS EN BETON...... 138
III-2.1 SIMULATION DES ESSAIS SOUS CHARGEMENTS MONOTONES............................................................. 138
III-2.2 SIMULATION DES ESSAIS SOUS CHARGEMENTS CYCLIQUES............................................................... 142
III-2.3 SIMULATION DES ESSAIS MONOTONES À HAUTES TEMPÉRATURES..................................................... 146
III-2.4 SIMULATION DES ESSAIS THERMO-MÉCANIQUES (EFFET DE L’ INTERACTION).................................... 151
III-3 APPLICATIONS A L’ANALYSE DE STRUCTURES EN BETON ET BETON ARME........... 156
III-3.1 SIMULATION D ’UN ESSAI DE FLEXION 4 POINTS................................................................................. 156
III-3.2 SIMULATION DE LA BOITE DE CISAILLEMENT .................................................................................... 161
III-3.3 SIMULATION D ’UN ESSAI DE RÉSISTANCE AU FEU.............................................................................. 164
III-4 CONCLUSION.................................................................................................................................... 174
Chapitre III Validations et simulations
-137-
III-1 INTRODUCTION
Nous avons développé, au chapitre précédent, un modèle numérique permettant d’étudier le
comportement des structures planes en béton et béton armé sous chargement mécanique et
thermique.
Afin de vérifier la capacité du modèle à reproduire le comportement du béton, celui-ci est mis
en œuvre dans l’analyse du comportement de spécimen en béton soumis à des sollicitations
thermo-mécaniques. Les résultats des simulations sont comparés avec l’expérience.
Les premiers calculs consistent à simuler les essais qui ont permis de caler les paramètres du
modèle, ceci afin de tester l’implantation numérique et définir le domaine de validité du
modèle.
Une autre série de validation d’essais cycliques de traction et de compression est effectuée
afin de montrer la bonne prise en compte de l’endommagement lors des cycles
charge/décharge. Cette deuxième série se termine par une simulation d’un essai traction-
compression cyclique avec refermeture de fissures.
Nous présentons ensuite l’analyse de différentes structures en béton et béton armé soumises à
des essais impliquant des chargements mécanique et thermique. Ces études permettent de
valider la capacité de notre modèle à fournir une prédiction fiable du comportement de
structures en béton armé. Ces simulations apportent également une contribution à la
compréhension des mécanismes de ruines des différents types de structures.
Chapitre III Validations et simulations
-138-
III-2 APPLICATIONS A L’ANALYSE DU COMPORTEMENT DE
SPECIMENS EN BETON
Nous présentons ici les résultats de simulation d’essais élémentaires réalisés sur des
éprouvettes sous chargements mécaniques monotones et cycliques ainsi que dans le cas de
chargements thermo-mécaniques en situation isothermes et anisothermes.
En premier lieu le modèle est mis en œuvre dans la simulation des essais de traction et
compression monotones. Ces essais permettent de vérifier que le modèle restitue parfaitement
le comportement attendu à partir des paramètres introduits. Les essais de traction et de
compression cycliques sont aussi simulés dans un but de vérifier que le modèle traduit bien le
caractère d’endommagement observé lors de cycles charge/décharge, ainsi que la refermeture
de fissures lors du passage d’une sollicitation de traction à une sollicitation de compression.
En deuxième lieu une série d’essais sur des éprouvettes en compression et en traction sous
chargement thermique permet d’évaluer l’importance de différentes hypothèses introduites
dans le modèle pour ce type de sollicitation. Nous présentons ensuite un essai permettant de
mettre en évidence la nécessité de la prise en compte des déformations d’interactions thermo-
mécaniques pour une description correcte du comportement de spécimens en béton sous
compression à hautes températures.
III-2.1 Simulation des essais sous chargements monotones
Ces essais permettent de vérifier, que le modèle restitue parfaitement les paramètres
introduits. Les résultats expérimentaux utilisés sont ceux obtenus par Kupfer & al. (1969)
pour la compression et Gopalaratnam & Shah (1985) pour la traction. Les données
géométriques des éprouvettes sont données par la figure (III.1). Ces essais sont simulés en
contraintes planes, seul un quart de l’éprouvette est représentée pour tenir compte des
conditions de symétrie. De plus, bien que certains travaux mettent en évidence une
hétérogénéité se développant à l’approche du pic (Van Mier 1984), nous supposons l’état de
contrainte homogène dans le spécimen sur l’ensemble du test. Le maillage adopté est réalisé
avec deux éléments TRI3 de membrane et l’analyse est menée en contraintes planes.
Chapitre III Validations et simulations
-139-
200 m m
200 m m 50 m m σ 1
σ 1
σ 2
σ 2
σ 1
σ 2
Figure III.1: Géométrie, dimensions, maillage et conditions
aux limites de l’essai.
Les propriétés matérielles des tests sont données dans le tableau suivant :
Caractéristiques Essai de compression Essai de traction
Module d’élasticité E (N/mm2) 31034× 1031 3×
Coefficient de poisson ν 2.0 2.0
Résistance en compression cf (N/mm2) 8.32 8.34
Résistance en traction tf (N/mm2) ct ff 1.0= ct ff 1.0=
Rapport cbc ff=β 16.1 16.1
Energie de fissuration (Nmm/mm2)056.0=tG
GG tc 001=
040.0=tG
GG tc 001=
Paramètres du modèle18.0=cD
2.0=gα
25.0=tD
fg αα =
Tableau III.1: Propriétés matérielles utilisées pour les essais monotones.
Les résultats de calculs reproduits sur les figures III.2 et III.3 pour la compression simple et la
traction simple indiquent un accord satisfaisant avec les résultats expérimentaux. La
détermination du module d’Young et la résistance en compression suffisent à donner une
prédiction acceptable comme le montre la figure III.2.
Nous pouvons remarquer que la réponse transversale est correctement représentée, cela est dû
au caractère non-associé du critère de compression.
Chapitre III Validations et simulations
-140-
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
-0,004 -0,002 0 0,002 0,004
ε
σ/f c
− Modèle---o--- Expérience
Figure III.2: Essai de compression simple : déformation longitudinale
et transversale (Kupfer & al. 1969).
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,0001 0,0002 0,0003
Modèle
Expérience
ε
σ/f t
Figure III.3: Essai de traction simple : comparaison entre
expérience (Gopalaratnam & Shah 1985) et calcul.
La figure III.3 montre une courbe expérimentale très fragile en post-pic, due à la méthode de
mesure. La réponse du modèle numérique ne peut pas simuler une rigidité négative si
importante car les courbes uniaxiales introduites dans le modèle sont construites en tant que
différences de deux fonctions exponentielles donnée par :
( ) ( ) ( )[ ]ptt
ptttt babaf εετ 2expexp10 −−−+=
Chapitre III Validations et simulations
-141-
La simulation de l’essai de bi-compression prédit un niveau correct de ruine (figure III.4).
Cependant, on peut observer une sous estimation de la déformation au pic.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,001 0,002 0,003 0,004
Simulation
Expérience
ε
σ/f c
Figure III.4: Test de bi-compression : comparaison entre
expérience (Kupfer & al. 1969) et calcul.
Une nouvelle simulation est menée, dans laquelle le paramètre cb n’est plus calculé à partir de
l’équation (II.46) ; ce paramètre étant relié à l’énergie de fissuration cG .
Equation II.46 :
+=
210
c
c
ccc
a
G
lfb
Désormais, on utilise l’équation (II.49) dans laquelle la déformation au pic mε est spécifiée
explicitement dans la formule ci-dessous :
Equation II.49 :
( )
−
−
+
=m
c
c
c
c
c
ED
f
a
a
b
ε0 1
2
1ln
Dans cette simulation, on a modifié le paramètre cD . Une valeur de 10.0=cD est choisie au
lieu de la valeur 18.0=cD utilisée précédemment. Ce choix se justifie par une évolution
moins rapide de l’endommagement en bi-compression que dans le cas de la compression
uniaxiale.
La figure III.5 présente la confrontation entre la réponse du modèle et celle obtenue par
l’expérience. On peut observer que l’utilisation de l’équation (II.49) dans la détermination du
Chapitre III Validations et simulations
-142-
paramètre du modèle cb améliore sensiblement la prédiction. La déformation au pic est bien
prédite dans ce cas.
Néanmoins, on ne peut pas utiliser la relation de l’équation II.46 dans le reste des tests de
validations sur structures car elle ne fait pas apparaître l’énergie de rupture. Ce paramètre est
essentiel pour l’utilisation de la méthode de Hillerborg (1976).
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,001 0,002 0,003 0,004
ε
σ/f c
Expérience
Eq. (II.49)
Eq. (II.46)
Figure III.5: Test de bi-compression : comparaison entre expérience
(Kupfer & al. 1969) et calcul pour les deux valeurs du paramètre cb .
III-2.2 Simulation des essais sous chargements cycliques
L’analyse des données expérimentales nous a conduit à identifier deux phénomènes majeurs
du comportement du béton lors de chargement cyclique. Le premier phénomène est le
comportement endommagé, observé lors de cycles charge/décharge. Le deuxième
phénomène concerne la restitution de la raideur lors du passage d’un chargement de traction à
un chargement de compression : l’effet unilatéral . Nous présentons donc ici les résultats de
simulation d’essais cycliques dans lesquels nous mettons en évidence clairement ces
phénomènes. Les trois essais sont :
- Essai de traction cyclique
- Essai de compression cyclique
- Essai de traction-compression cyclique
Chapitre III Validations et simulations
-143-
Le but des deux premiers essais est montrer la capacité du modèle à reproduire la diminution
de la raideur du béton sous sollicitations cycliques. Le troisième essai a pour but de montrer la
capacité du modèle à reproduire non seulement les effets d’endommagements (déjà clarifiés
par les deux précédents exemples) mais aussi la prise en compte par le modèle du phénomène
de refermeture de fissures.
Dans ces essais, le maillage est réalisé avec deux éléments TRI3 de membrane comme dans le
cas de la première validation (figure III.1).
Les propriétés matérielles pour l’essai de traction cyclique sont celles énoncées
précédemment pour l’essai de traction simple (tableau III.1). En ce qui concerne le deuxième
et le troisième essai, les données matérielles sont reportées dans le tableau suivant :
Caractéristiques Compression cyclique Traction-compression
Module d’élasticité E (N/mm2) 107.31 3× 104.16 3×
Coefficient de poisson ν 2.0 2.0
Résistance en compression cf (N/mm2) 6.27 1.17
Résistance en traction tf (N/mm2) ct ff 1.0= 14.1
Rapport cbc ff=β 16.1 16.1
Energie de fissuration (Nmm/mm2)06.0=tG
GG tc 001=
045.0=tG
GG tc 001=
Paramètres du modèle18.0=cD
2.0=gα
6.0=tD , 3.0=cD
1.00 =p , 2.0=gα
Tableau III.2: Propriétés matérielles utilisées pour les essais cycliques.
Les figures III.6, III.7 et III.8 présentent la confrontation entre la réponse du modèle et celle
obtenue par l’expérience respectivement, en traction cyclique (Gopalaratnam & Shah 1985),
en compression cyclique (Karsan & Jirsa 1969) et en traction-compression cyclique (Ramtani
1990).
Chapitre III Validations et simulations
-144-
0
1
2
3
4
0 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004
ε
σ (M
Pa)
Modèle
Expérience
Figure III.6: Test de traction cyclique : comparaison entre
expérience (Gopalaratnam & Shah 1985) et calcul.
0
5
10
15
20
25
30
35
0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005
ε
σ (M
Pa)
Expérience
Modèle
Figure III.7: Test de compression cyclique : comparaison entre
expérience (Karsan & Jirsa 1969) et calcul.
On observe, sur les figures précédentes, une bonne concordance entre les simulations et les
résultats expérimentaux. L’augmentation de l’endommagement mécanique au cours des
cycles charge/décharge est bien représentée. Les boucles d’hystérésis dues à des phénomènes
de frottement ne sont pas modélisées mais par contre l’allure des autres phénomènes
(déformation plastique, endommagement, comportement adoucissant) sont bien restituées.
L’effet unilatéral se manifeste, conformément à notre modélisation, au changement de signe
des contraintes. Ceci est illustré sur la figure III.8 sur laquelle est reporté le résultat de la
Chapitre III Validations et simulations
-145-
simulation comparée à l’expérience pour deux valeurs du paramètre de refermeture de fissures
0p .
Dans le cas où l’on considère que 10% des fissures restent ouvertes (ce qui correspond à
1.00 =p ), le résultat obtenu par le modèle, présenté à la figure III.8, valide la capacité du
modèle à décrire ce phénomène. Lors de la décharge en traction (chemin C-D) et du passage à
la compression (chemin D-E), l’effet unilatéral se manifeste par une augmentation de la
raideur.
Dans le cas où on néglige l’effet unilatéral (ce qui correspond à considérer que 100% des
fissures restent ouvertes, (dans notre modélisation cela correspond à 10 =p ), le modèle donne
une mauvaise prédiction et s’éloigne trop des résultats expérimentaux.
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
-0,0003 -0,0002 -0,0001 0 0,0001 0,0002 0,0003
Déformations
Con
trai
ntes
(M
Pa)
Expérience
Simulation P0 = 0.1
Simulation P0 = 1
O
AB
C
D
E
F
Figure III.8: Caractère unilatéral. Comparaison entre essai
(Ramtani 1990) et modèle pour deux valeurs du paramètre 0p .
Ces résultats prouvent la nécessité de la prise en compte de l’effet unilatéral pour une
meilleure prédiction du comportement cyclique du béton.
Dans le modèle de Ramtani (1990), le phénomène unilatéral se manifeste dans la modélisation
au changement de signe des déformations élastiques. La figure III.9 présente la confrontation
Chapitre III Validations et simulations
-146-
entre la réponse de notre modèle, celui de Ramtani (1990) et celle issue de l’expérience. Dans
le cas de la deuxième décharge, notre modèle surestime l’endommagement. De ce fait, la
compression intervient en retard par rapport à la réalité, mais néanmoins, lors du chargement
en compression, il retrouve un comportement très proche de l’expérience.
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
-0,0003 -0,0002 -0,0001 0 0,0001 0,0002 0,0003
Déformations
Co
ntr
ain
tes
(MP
a)
Expérience
Modèle
Ramtani
Figure III.9: Caractère unilatéral. Comparaison entre essai
(Ramtani 1990) et modèle.
III-2.3 Simulation des essais monotones à hautes températures
Nous présentons ici les résultats d’une série d’essais de compression simple réalisés par
Schneider (1988) et de traction simple réalisés par Felicetti & Gambarova (1999) pour un
béton à haute performance. On peut noter que les essais sont réalisés en conditions
isothermes.
La géométrie et les dimensions des spécimens testés sont présentées à la figure III.10.
200 m m
200 m m 50 m m σ 1
σ 1
σ 2
σ 2
σ 1
σ 2
Figure III.10: Géométrie, dimensions, maillage et conditions
aux limites de l’essai.
Chapitre III Validations et simulations
-147-
Pour la série d’essais de compression, les éprouvettes sont amenées à la température d’essai à
une vitesse contrôlée de min/2 C° . Un palier est réalisé à cette température avant l’essai
mécanique. Ces conditions de chauffage assurent une température homogène au sein des
éprouvettes au moment de l’essai. Celles-ci sont simulées en situation de contraintes planes.
Les essais uniaxiaux réalisés par Schneider (1988) nous permettent d’établir les lois de
variations du module d’élasticité E , de la résistance en compression uniaxiale cf et de la
résistance en traction uniaxiale tf , en fonction de la température (figures III.11, III.12). Le
tableau III.3 présente les valeurs de l’ensemble des caractéristiques mécaniques utilisées pour
le calcul.
Caractéristiques Valeur à 20°C Variations avec la température
Module d’élasticité initial 0E (N/mm2) 107.31 3× Loi définie à la figure III.11-a
Coefficient de poisson ν 2.0 Constant
Résistance en compression cf (N/mm2) 6.27 Loi définie à la figure III.11-b
Résistance en traction tf (N/mm2) ct ff 1.0= Loi définie à la figure III.12-a
Rapport cbc ff=β 16.1 Constant
Paramètres du modèle18.0=cD
2.0=gαConstant
Tableau III.3 Propriétés matérielles pour l’essai de compression
à hautes températures.
L’auteur (Schneider 1988) ne spécifie ni la valeur de l’énergie de rupture en compression, ni
la loi de variation de ce paramètre avec la température. Par contre, il donne la loi de variation
de la déformation au pic avec la température (figure III.12-b). Nous avons utilisé ce paramètre
pour la détermination du paramètre du modèle cb (équation II.49).
Chapitre III Validations et simulations
-148-
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 200 400 600 800
T (°C)
E/E
20
° Expérience
Idéalisation
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 200 400 600 800T (°C)
fc/f
c20
°
Expérience
Idéalisation
(a) (b)
Figure III.11: Variation des caractéristiques mécaniques avec la température :
(a) Module d’élasticité; (b) Résistance en compression.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 200 400 600 800
T (°C)
ft/f
t20°
Expérience
Idéalisation
01
234
56
7
0 200 400 600 800
T (°C)
εpic (1
0-3)
Expérience
Idéalisation
(a) (b)
Figure III.12: Variation des caractéristiques mécaniques avec la température :
(a) Résistance en traction; (b) Déformation au pic.
En ce qui concerne la série d’essais de traction, les éprouvettes sont amenées à la température
d’essai à la vitesse contrôlée de min/2 C° . Un palier de 12 heures est réalisé à cette
température avant de refroidir les spécimens à la vitesse contrôlée de min/2 C°− . Ensuite,
l’essai est réalisé juste après refroidissement.
Les essais uniaxiaux réalisés par Felicetti & Gambarova (1999), sur un béton à haute
performance, nous permettent d’établir les lois de variations du module d’élasticité E , de la
résistance en compression uniaxial cf et de l’énergie de fissuration tG en fonction de la
température (figures III.13, III.14).
Chapitre III Validations et simulations
-149-
Le tableau III.4 présente les valeurs de l’ensemble des caractéristiques mécaniques utilisées
pour le calcul.
Caractéristiques Valeur à 20°C Variations avec la température
Module d’élasticité initial 0E (N/mm2) 1050 3×Loi définie à la figure III.13-a
(Endommagement thermique)
Coefficient de poisson ν 2.0 Constant
Résistance en traction tf (N/mm2) 4.5 Loi définie à la figure III.13-b
Energie de rupture tG (Nmm/mm2) 205.0 Loi définie à la figure III.14
Rapport cbc ff=β 16.1 Constant
Paramètres du modèle25.0=tD
2.0=gαConstant
Tableau III.4: Propriétés matérielles de l’essai de traction
à hautes températures.
0
10
20
30
40
50
60
0 100 200 300 400
T (°C)
E (
GP
a)
0
1
2
3
4
5
6
0 100 200 300 400
T(°C)
ft (M
Pa)
(a) (b)
Figure III.13: Variation des caractéristiques mécaniques avec la température :
(a) Module d’élasticité; (b) Résistance en traction.
Chapitre III Validations et simulations
-150-
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0 100 200 300 400
T (°C)G
t (N
mm
/mm2 )
Figure III.14: Variation de l’énergie de rupture en traction
avec la température.
Les courbes contrainte-déformation en compression obtenues avec le présent modèle sont
présentées en figure III.15. Elles sont comparées aux courbes fournies par les essais
expérimentaux de Schneider (1988).
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 2 4 6 8 10
ε (10−3)
σ/fc
20°
20 °C 150 °C 350 °C
450 °C 550 °C 750 °C
Figure III.15: Courbes contrainte-déformation en compression à
différentes températures (Schneider 1988).
A toutes les températures, la contrainte maximale est correctement prédite par le modèle. En
particulier on peut noter que la détermination du paramètre du modèle cb à partir de
l’équation II.49 nous a permis d’estimer correctement la déformation au pic de contrainte à
toutes les températures. Les résultats de calculs reproduits sur la figure III.15 indiquent aussi
un très bon accord concernant l’évolution de la densité de l’énergie de fissuration, bien que le
Chapitre III Validations et simulations
-151-
paramètre cb ne soit pas déterminé à partir de la connaissance de l’énergie de fissuration elle-
même. Ceci indique que le critère de rupture et la courbe d’écrouissage définie en
compression, constituent une représentation correcte du comportement du béton.
Les courbes contraintes-déformations en traction à différentes températures, obtenues avec le
présent modèle sont présentées en figure III.16. Elles sont comparées avec les courbes des
essais expérimentaux rapportées par Felicetti & Gambarova (1998). L'accord est satisfaisant.
Ces résultats montrent que le modèle capture correctement les principales tendances
rapportées dans les données expérimentales (endommagement thermique, decohésion
thermique, évolution de la déformation au pic).
0
1
2
3
4
5
6
0 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008
ε
σ (M
Pa)
20 °C 105 °C
250 °C 400 °C
Figure III.16: Courbes contraintes-déformations en traction à
différentes températures (Felicetti & Gambarova 1998).
III-2.4 Simulation des essais thermo-mécaniques (effet de l’interaction)
Lors de chargements thermo-mécaniques, le phénomène d’interaction joue un rôle très
important dans le comportement du béton à hautes températures. Ce phénomène se traduit, en
particulier, par une déformation totale du béton fortement dépendante de l’histoire du
chargement. Il est important de vérifier que cet effet est correctement décrit par le modèle.
Nous proposons donc ici les résultats de simulations relatif à l’essai réalisé par Anderberg &
Thelandersson (1976) présenté au chapitre I et qui met en évidence de façon claire ce
phénomène.
Chapitre III Validations et simulations
-152-
Dans cet essai deux spécimens axisymétriques sont soumis à un chargement comprenant une
phase transitoire et une phase de régime permanent. Ce chargement thermique est appliqué
par l’intermédiaire d’une température imposée sur toutes les faces des spécimens et évoluant
dans le temps. Une contrainte de compression uniaxiale est ensuite appliquée à l’une des
éprouvettes dès que le chauffage a atteint son régime permanent (température constante au
sein des éprouvettes). La même contrainte est appliquée à la seconde éprouvette dès le début
du chauffage et elle est maintenue constante pendant toute la durée de l’essai. Les éprouvettes
sont simplement posées sur le plancher du four et la charge est appliquée dans les deux cas de
façon quasi-instantanée par l’intermédiaire d’un poids mort. La contrainte appliquée aux deux
spécimens correspond à 45% de la résistance en compression uniaxiale initiale (à 20°C).
La figure III.17 présente la géométrie, les dimensions, le maillage et les conditions aux limites
adoptées pour cet essai.
Plancherdu four
φ = 75mm
150
mm
°= 20 %45.0 cfσ °= 20 %45.0 cfσ
(a) (b) (c)
Figure III.17: (a) : Géométrie, (b) : dimensions, (c) : maillage et conditions
aux limites de l’essai.
Le chauffage est réalisé durant la phase transitoire à la vitesse contrôlée de 5°C/min. Les
petites dimensions des spécimens testés ainsi que cette vitesse de chauffage assurent une
distribution quasi-homogène de la température au sein du béton durant tout l’essai.
Anderberg & Thelandersson (1976) ont réalisé une série d’essais de caractérisation du béton
utilisé à différentes températures. Ces essais permettent d’établir les lois de variation du
module d’élasticité E et la résistance en compression uniaxiale cf en fonction de la
Chapitre III Validations et simulations
-153-
température (figure III.18). Des essais de dilatométrie (dilatation thermique libre) indiquent
que le coefficient de dilatation thermique α du béton utilisé est constant jusqu’à 400°C. Le
tableau III.5 présente les valeurs de l’ensemble des caractéristiques mécaniques utilisées. Les
valeurs des coefficients thermo-mécaniques sont celles données par Anderberg &
Thelandersson (1976).
Caractéristiques Valeur à 20°C Variations avec la température
Module d’élasticité initial 0E (N/mm2) 1032 3× Loi définie à la figure III.16-a
Coefficient de poisson ν 18.0 Constant
Résistance en compression cf (N/mm2) 40 Loi définie à la figure III.16-b
Résistance en traction tf (N/mm2) ct ff 1.0= Loi définie à la figure III.16-b
Rapport cbc ff=β 16.1 Loi définie à la figure II.3
Coefficient de dilatation thermique α 61012 −× Constant
Coefficient d’interaction35.20 =β
20.0=γConstant
Energie de fissuration (Nmm/mm2)205.0=tG
tc GG 100=Constant
Paramètres du modèle
25.0=tD
18.0=cD
2.0=gα
Constant
Tableau III.5: Propriétés matérielles de l’essai de traction
à hautes températures.
Les variations des propriétés mécaniques avec la température sont données par les figures
suivantes :
Chapitre III Validations et simulations
-154-
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 200 400 600 800T (°C)
E/E
20
° Expérience
Idéalisation
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 200 400 600 800T (°C)
f c/f
c20
°
Expérience
Idéalisation
(a) (b)
Figure III.18: Variation des caractéristiques mécaniques avec la température :
(a) Module d’élasticité; (b) Résistance en compression.
La figure III.19 présente, pour les deux spécimens, la déformation axiale obtenue par le
modèle en fonction du temps lorsque les déformations d’interaction thermo-mécaniques sont
prises en compte (cas 1 et 2).
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0 1 2 3
Figure III.19: Réponse du modèle pour d
(Anderberg & Thelander
La comparaison avec les résultats expérimentau
est correctement prédit. Dans le cas ou les dé
sont négligées (cas 3), on observe que la défor
d’essai vis à vis du chemin parcouru dans l’e
Cas 2 : Chargée
ο, : Expérience
: Simulations
Cas 1 : Chauffée puis chargée
Cas 3 : Interaction
Th-M négligée
4 5 6
Temps (h)
eux histoires de chargement
sson 1976).
x indique que le comportement des spécimens
formations d’interactions thermo-mécaniques
mation axiale calculée est indépendante en fin
space contrainte-temperature ; ce qui est en
puis chauffée
Chapitre III Validations et simulations
-155-
contradiction avec les résultats expérimentaux. On peut observer, en particulier, dans ce cas
que la déformation fournie par le modèle est de signe opposé à celle mesurée
expérimentalement. En effet, les cas 2 et 3 sont supposés traduire les mêmes conditions
d’essais.
Une seconde validation relative aux essais d’Anderberg & Thelandersson (1976) est réalisée.
Dans cette simulation, en second lieu, le modèle est utilisé pour simuler la réponse d'un
spécimen de béton soumis à une température variable sous contrainte constante. Durant ces
essais, la déformation dans la direction de la charge est enregistrée en fonction de la
température. Nous présentons ici, les résultats de trois simulations. La contrainte constante
appliquée dans une direction est égale à 22,5%, 45% et 67,5% de la résistance en compression
uniaxiale à 20°C. Les résultats donnés par le modèle sont comparés aux essais de fluage
transitoire d'Anderberg & Thelandersson (1976).
La figure III.20 présente les résultats obtenus dans les trois cas (déformations d’interaction
thermo-mécaniques prises en compte). Le modèle décrit de façon correcte l’évolution de la
déformation. On peut observer sur ces résultats que le rôle de ces déformations est d’autant
plus important que l’état de contrainte de compression appliquée est élevé. L'accord entre la
réponse du modèle et l'expérience est satisfaisant.
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0 200 400 600 800
T (°C)
ε (%
)
22,5% 67,5%
45%
Figure III.20: Déformation dans la direction de la charge en fonction
de la température (Anderberg & Thelandersson 1976).
Chapitre III Validations et simulations
-156-
Ces résultats mettent en évidence la nécessité de la prise en compte des déformations
d’interaction thermo-mécaniques pour une modélisation précise du comportement du béton
sous sollicitations thermiques et mécaniques combinées à hautes températures.
III-3 APPLICATIONS A L’ANALYSE DE STRUCTURES EN BETON
ET BETON ARME
Après la validation du modèle sur des cas d’éprouvettes en béton, nous présentons maintenant
des applications du modèle proposé à l’analyse de structures plus complexes soumises dans
un premier temps à des sollicitations mécaniques seules puis dans un second temps à des
sollicitations thermiques et mécaniques couplées. Ces essais proviennent de la littérature.
La première validation consiste à simuler une structure en béton armé dans laquelle les
chemins de contraintes sont très proches des chemins de sollicitations simples. La poutre
isostatique sous armée expérimentée à l’Université de Claude Bernard- Lyon (Varastehpour
1996). La seconde validation est réalisée sur la boite de cisaillement de Nooru-Mohamed
(1992). L’intérêt réside dans le caractère bi-dimensionel de l’essai. Il s’agit d’une éprouvette
entaillée soumise à un test de fissuration par mode mixte.
La dernière validation consiste en un essai de tenue au feu de dalles de plancher en béton
armé (Minne & Vandamme 1982). Dans ce test, une charge est préalablement appliquée, puis
la structure est chauffée sous charge constante jusqu’à la ruine.
III-3.1 Simulation d’un essai de flexion 4 points
Cet exemple traite le cas statique d’une poutre en béton armé présentant un faible pourcentage
d’acier (1.09 %) soumise à une flexion 4 points (Varastehpour 1996). Les données
géométriques de la poutre et du ferraillage sont indiquées à la figure III.21.
Chapitre III Validations et simulations
-157-
P/2
1000 mm
250 mm
700 mm 300 mm
150 mm
φ 6 2 φ 14
enrobage 20 mm
enrobage 20 mm2 φ 8
@ 80 mm
Figure III.21: Données géométriques de la poutre.
Les caractéristiques du béton et de l’acier sont répertoriées dans le tableau III.6. Par raison de
symétrie, nous analysons uniquement la moitié de la poutre. La modélisation du béton
s’appuie sur des éléments de membrane à 4 nœuds. L’acier est discrétisé par des éléments
linéiques à 2 nœuds. On suppose parfaite la liaison acier-béton.
Caractéristiques Béton
Module d’élasticité E (N/mm2) 3106.37 ×
Coefficient de poisson ν 2.0
Résistance en compression cf (N/mm2) 39
Résistance en traction tf (N/mm2) ct ff 1.0=
Rapport cbc ff=β 16.1
Energie de fissuration (Nmm/mm2) 11.0=tG ; 5.5=cG
Paramètres du modèle 25.0=tD ; 18.0=cD ; fg αα =
Caractéristiques Acier
Module d’élasticité aE (N/mm2) 3109.210 ×
limite d’élasticité conventionnelle Y (N/mm2) 580
Tableau III.6: Propriétés matérielles.
La figure III.22 souligne la capacité du modèle à simuler les différentes phases du
comportement monotone global d’un tel élément de béton armé en terme de courbe charge-
Chapitre III Validations et simulations
-158-
flèche. La simulation montre une bonne estimation de la charge de ruine de la poutre (8% de
différence par rapport à l’expérience).
0
20
40
60
80
100
120
140
0 3 6 9 12 15
Flèche (mm)
Cha
rge
(kN
)
Expérience
Simulation
Figure III.22: Courbe charge-Flèche (Varastehpour 1996).
L’évolution du faciès de fissuration est donné par les figures III.23-a, III.23-b et III.23-c pour
différents niveaux de charge. Comme on a pu l’observer dans l’expérimentation, on ne trouve
pas de fissures à 45° significatives, ni de rupture due au cisaillement (la poutre est
surdimensionnée vis-à-vis de l’effort tranchant). On peut toutefois remarquer que les
directions des fissures évoluent après apparition de celles-ci. Cet aspect est lié au caractère
"rotating crack" du modèle de fissuration utilisé.
(a)
Chapitre III Validations et simulations
-159-
Figure III.23: Fissuration à différents niveaux de charge :
(a) 55 kN ; (b) 80 kN ; (c) 102 kN.
La figure III.24 présente les isovaleurs de la contrainte principale majeure
apparaître une zone de très forte compression au point d’application de la
rupture de cette poutre est classique c’est-à-dire une rupture de béton pa
comprimée après plastification des aciers.
Figure III.24: Isovaleurs de la contrainte principale majeure.
Les figures III.25 et III.26 montrent les résultats théoriques et expériment
fonction des déformations des aciers (figure III.25) et de la déformation de
du béton (figure III.26) jusqu’à la rupture. La rigidité de la poutre diminue
(b)
(c)
. On voit nettement
charge. Le mode de
r écrasement en zone
aux de la charge en
la fibre supérieure
après fissuration
Chapitre III Validations et simulations
-160-
du béton en zone tendue et les déformations augmentent avec une pente moins significative.
La déformation augmente donc presque linéairement jusqu’à la plastification des armatures
longitudinales et ensuite elle reste quasi constante jusqu’à la rupture.
0
20
40
60
80
100
120
140
0 0,003 0,006 0,009 0,012 0,015
Déformlation des aciers
Cha
rge
(kN
)
Experience
Simulation
Figure III.25: Courbe charge-déformation de traction dans
l’acier (Varastehpour 1996).
En ce qui concerne l’évolution de la déformation de la fibre supérieure du béton (figure
III.26), la courbe s’écarte sensiblement des valeurs expérimentales avec une pente plus raide à
l’origine. Ce résultat n’est pas étonnant puisque nous avons disposé une couche d’éléments
BARRE2 juste à côté de la maille supérieure. Par conséquent, la rigidité de la maille
correspond à la somme de la rigidité de l’acier ajoutée à celle du béton.
0
20
40
60
80
100
120
140
0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025 0,003
Déformation de béton
Cha
rge
(kN
)
Expérience
Simulation
Figure III.26: Courbe charge-Déformation de compression dans
le béton (Varastehpour 1996).
Chapitre III Validations et simulations
-161-
III-3.2 Simulation de la boite de cisaillement
Dans cet essai effectué par Nooru-Mohamed (1992), une éprouvette carrée de longueur
mm 200 et d’épaisseur mm, 50 entaillée de chaque coté, est soumise à un test de fissuration
par mode mixte. L’éprouvette est fixée par collage au dispositif d’application du chargement
(figure III.27-a). Une force de cisaillement sP ainsi qu’une force de tension nP peuvent alors
être appliquées.
La force de tension est appliquée en déplacement imposé en contrôlant le déplacement normal
relatif donnant l’ouverture de la fissurée nδ mesurée entre les points ( MM ′ , ) et ( NN ′ , ).
Le problème est traité en contraintes planes. Les éléments utilisés sont des quadrilatères
isoparamètriques à 4 nœuds (figure III.27-b)
100
100
65
25 25150
P'
P
M'
M N
N'
δδnδδs
Ps
Pn
(a) (b)
Figure III.27: Boîte de cisaillement : (a) Configuration géométrique ; (b) Maillage.
Les caractéristiques matérielles sont rappelées dans le tableau ci dessous.
Caractéristiques Béton
Module d’élasticité E (N/mm2) 31032×
Coefficient de poisson ν 2.0
Résistance en compression cf (N/mm2) 4.38
Chapitre III Validations et simulations
-162-
Résistance en traction tf (N/mm2) 3
Rapport cbc ff=β 16.1
Energie de fissuration (Nmm/mm2) 11.0=tG ; 5.5=cG
Paramètres du modèle 25.0=tD ; 18.0=cD ; fg αα =
Tableau III.7: Propriétés matérielles.
III-3.2.1 Trajet 1Lors de ce trajet, l’éprouvette est initialement soumise à une force de cisaillement de 5 kN.
Cette force étant maintenue constante, l’éprouvette est soumise à un déplacement imposé de
traction.
III-3.2.2 Trajet 2Lors de ce trajet l’éprouvette est initialement soumise à la force maximale de cisaillement.
Cette force est maintenue constante et l’éprouvette est soumise à un déplacement imposé de
traction.
Pour cela, il est nécessaire de connaître la valeur maximale de la force de cisaillement. Ainsi
une simulation en déplacement imposé est initialement effectuée pour déterminer cette charge
( ( ) kN 30maxPs = ).
La comparaison entre les résultats expérimentaux et ceux issus des simulations est effectuée
en terme de courbe force normale nP fonction du déplacement normal nδ . Une confrontation
du faciès de fissuration expérimental avec le profil d’endommagement dans les spécimens est
également menée. Le déplacement normal en question est obtenu de la manière suivante :
( ) 2N'n
Nn
M'n
Mnn δδδδδ −+−= (III.1)
La figure III.28 montre la réponse du modèle en terme de capacité portante résiduelle en
traction après application de la charge de cisaillement pour les deux trajets. Globalement, le
modèle reproduit de façon correcte l’expérience.
Chapitre III Validations et simulations
-163-
-5
0
5
10
15
20
0 0,04 0,08 0,12 0,16
Experiment : Ps (5 kN)
Experiment : Ps (max)
Model : Ps (5 kN)
Model : Ps (max)
Pn (kN)
δn (mm)
Figure III.28: Courbe force normale nP en fonction du déplacement
normal nG (Nooru-Mohamed 1992).
Dans le cas d’un cisaillement de 5 kN, on remarque que la charge limite est surestimée
(d’environ 10%), mais la rigidité initiale et le comportement adoucissant sont bien décrits. La
réponse de la simulation rejoint rapidement celle obtenue expérimentalement. Dans le cas du
cisaillement maximal, on observe, contrairement à l’expérience que l’éprouvette présente une
faible charge résiduelle positive d’une valeur de 0,8 kN. Par la suite, le confinement généré
par la bielle de compression due au cisaillement fait passer l’éprouvette en compression.
L’expérience montre que la charge devient alors négative. Cependant, le pic en charge est
surestimé bien que la phase adoucissante soit bien représentée.
Pour ce qui est de la fissuration, le faciès d’endommagement ( kN 30Ps = ; figure III.29)
montre deux fissures distinctes qui se sont initiées à partir des lèvres de chaque entaille. Lors
du cisaillement, les bords supérieur droit et inférieur gauche sont astreints à rester droit pour
reproduire l’effet du dispositif rigide de mise en charge. Ainsi la fissuration apparaît à ce
niveau, puis disparaît presque totalement du fait des deux fissures localisées en mode mixte. Il
est à noter que cette fissuration a été également observée par Nooru-Mohamed (1992),
conduisant pour certains spécimens testés à une rupture à ce niveau et non pas par des fissures
au niveau des entailles comme c’est le cas ici (figure III.25-b)
Chapitre III Validations et simulations
-164-
(a) (b)
Figure III.29: Faciès de fissuration avec cisaillement de 5 kN :
(a) Modèle ; (b) Expérience.
III-3.3 Simulation d’un essai de résistance au feu
Le dernier type de validation concerne maintenant un essai de structure en béton armé. Il
s’agit d’un essai de résistance au feu de dalles de plancher, rapporté dans le travail de Minne
& Vandamme (1982). Les dalles testées reposent, dans leur largeur, sur des appuis linéiques.
Au début de l’essai, un chargement linéique est appliqué sur la largeur de la face supérieure
en deux sections (flexion circulaire). Ces structures sont chauffées sur leurs faces inférieures ;
le chargement mécanique étant maintenu constant. La figure III.30, présente la géométrie de
ces essais. Les simulations réalisées concernent les dalles G1 et G3 distinguées par un
enrobage différent des aciers, dont les caractéristiques géométriques sont données au tableau
III.8.
2250 mm
2450 mm
150
mm
d
P= cste
1900 mm
Figure III.30: Géométrie des essais.
Chapitre III Validations et simulations
-165-
Dalle G1 Dalle G3
Enrobage des aciers d (mm) 15 35
Section d’acier (mm2) 1178 1414
Charge linéique constante appliquée
sur la largeur P (kN/m)14.5 14.6
Tableau III.8: Caractéristiques géométriques des dalles G1 et G3.
Ces essais sont analysés en contraintes planes. Les dalles sont maillées dans le plan de
l’épaisseur. Les éléments utilisés sont des quadrilatères isoparamètriques à 8 nœuds pour le
béton et des barres à 3 nœuds pour l’acier. La symétrie de l’essai conduit aux conditions aux
limites présentées sur la figure III.31 où seule la moitié de la travée est modélisée. Ce
maillage est utilisé pour le calcul thermique et pour le calcul mécanique.
Figure III.31: Maillage et conditions aux limites.
Une analyse thermique transitoire non-linéaire est réalisée de façon à obtenir le champ de
température dans l’épaisseur des dalles et son évolution tout au long de l’essai. Les conditions
aux limites appliquées pour ce calcul sont données à la figure III.32.
φ = 0φ = 0
T°C imposée en fonction du temps
Figure III.32: Conditions aux limites du calcul thermique.
Les caractéristiques thermiques utilisées sont données dans le tableau III.9. Celles-ci n’étant
pas fournies par les auteurs des essais, nous avons choisi des valeurs moyennes correspondant
à des bétons courants.
Chapitre III Validations et simulations
-166-
Caractéristiques Valeur initiale à 20°C Variations avec la température
Masse volumique 3mKg 2500=ρ Constante
Conductivité thermique CmW 2.2 °=λ Loi définie à la figure III.33-a
Chaleur massique CKgJ 920 °=C Loi définie à la figure III.33-b
Tableau III.9: Caractéristiques thermiques du béton utilisées pour le calcul.
Les variations de la conductivité et de la chaleur massique avec la température, données
respectivement à la figure III.33, correspondent à celles recommandées par l’Eurocode 4
(1994).
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 200 400 600 800 1000
T (°C)
λ/λ2
0°
0
0,25
0,5
0,75
1
1,25
1,5
0 200 400 600 800 1000
T (°C)
C/C
20
°
(a) (b)
Figure III.33: Variation des caractéristiques thermiques avec la température :
(a) Conductivité thermique; (b) Chaleur massique.
La sollicitation thermique appliquée à ces dalles est caractérisée par la courbe donnant la
température imposée sur la face chauffée en fonction du temps représentée à la figure III.34.
Les distributions de température dans l’épaisseur, obtenues à différents instants, sont
présentées à la figure III.35. Les isothermes sont parallèles à la face chauffée. Le gradient
thermique est très important dans le tiers inférieur des dalles et augmente avec la température.
Nous pouvons également observer que les aciers sont rapidement affectés par les températures
élevées.
Chapitre III Validations et simulations
-167-
0
200
400
600
800
1000
1200
0 50 100 150 200 250
Temps (min)
T (
°C)
0
50
100
150
0 200 400 600 800 1000
T (°C)
Hau
teur
(m
m)
Temps (min)510203040506090
Position des aciers
G1
G3
Figure III.34: Température imposée sur
la face chauffée en fonction du temps.
Figure III.35: Distribution de température
dans l’épaisseur à différents instants.
Les caractéristiques mécaniques utilisées pour le béton et l’acier sont recensées dans le
tableau III.10. Les auteurs des essais ne fournissant pas de données concernant leurs
variations avec la température, nous avons utilisé des lois généralement observées pour des
bétons courants. Les variations de la limite élastique de l’acier Y et de son module d’élasticité
aE ont été prises en compte suivant les lois proposées par les règles de calcul de résistance au
feu des matériaux et éléments de construction P92-701 (1993). Enfin, une valeur courante a
également été adoptée pour le coefficient d’interaction thermo-mécanique.
Béton Valeur à 20°C Variations avec la température
Module d’élasticité E (N/mm2) 1042 3× Loi définie à la figure III.36-a
Coefficient de poisson ν 18.0 Constant
Résistance en compression cf (N/mm2) 43 Loi définie à la figure III.36-b
Résistance en traction tf (N/mm2) 6.2=tf Loi définie à la figure III.36-b
Rapport cbc ff=β 16.1 Loi définie à la figure II.3
Coefficient de dilatation thermique α 61010 −× Loi définie à la figure III.37
Coefficient d’interaction35.20 =β
20.0=γ Constant
Energie de fissuration (Nmm/mm2)2.0=tG
tc GG 0 10=Constant
Chapitre III Validations et simulations
-168-
Paramètres du modèle
25.0=tD
18.0=cD
2.0=gα
Constant
Acier Valeur à 20°C Variations avec la température
Module d’élasticité aE (N/mm2) 310215× Loi définie à la figure III.38-a
Limite d’élasticité Y (N/mm2) 504 Loi définie à la figure III.38-b
Tableau III.10: Caractéristiques mécaniques du béton et de l’acier.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 200 400 600 800 1000
T (°C)
E/E
20
°
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 200 400 600 800 1000
T (°C)
fc/f
c20°
(a) (b)
Figure III.36: Variation des caractéristiques mécaniques du béton avec la température : (a) Module
d’élasticité ; (b) Résistance en compression.
0
0,5
1
1,5
2
0 200 400 600 800 1000
T (°C)
α/α
20
°
Figure III.37: Lois de variation du coefficient de
dilatation thermique du béton.
Chapitre III Validations et simulations
-169-
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 200 400 600 800 1000
T (°C)
Ea/E
a2
0°
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 200 400 600 800 1000T (°C)
Y/Y
20°
(a) (b)
Figure III.38: Variation des caractéristiques mécaniques de l’acier avec la température : (a) Module
d’élasticité ; (b) Loi de variation de la limite élastique.
La figure III.39 présente le déplacement vertical à mi-travée en fonction du temps de
chauffage pour les deux dalles.
0
50
100
150
200
250
0 30 60 90 120
Temps (min)
Flè
che
(mm
)
Experience G3
Modèle G3
Modèle G1
Experience G1
Figure III.39: Déplacement vertical à mi-travée en fonction du temps de
chauffage comparé aux résultats expérimentaux (Minne 1982).
Les résultats des calculs obtenus avec prise en compte du phénomène d’interaction thermo-
mécanique sont comparés aux résultats expérimentaux. Ils indiquent pour les deux dalles, une
bonne description du comportement global de la structure lorsque le phénomène d’interaction
Chapitre III Validations et simulations
-170-
thermo-mécanique est pris en compte. La différence dans l’amplitude du déplacement vertical
entre calcul et l’expérience, dans les deux cas, peut être attribuée à plusieurs hypothèses :
- Les hypothèses concernant les caractéristiques thermiques du béton et leurs évolutions qui
peuvent conduire à une sous-estimation du gradient thermique dans l’épaisseur de la dalle.
- Les hypothèses concernant les variations des caractéristiques mécaniques du béton qui
peuvent engendrer une sous-estimation de la dégradation de celles-ci. En particulier,
l’utilisation d’une énergie de fissuration constante avec la température peut ralentir le
développement de la fissuration dans la dalle par rapport à l’utilisation probablement plus
réaliste d’une énergie de fissuration décroissante.
- La non-prise en compte de la dégradation thermique de la liaison acier-béton peut
également expliquer le comportement plus raide décrit par le modèle.
La simulation, menée à la rupture, permet d’identifier le mode de ruine de ces structures. La
charge appliquée initialement provoque une légère fissuration de la dalle. Une importante
fissuration est rapidement développée par le gradient thermique, au tiers inférieur dans
l’épaisseur des dalles (Figure III.42). Les fissures sont perpendiculaires au plan moyen des
dalles.
Le gradient thermique engendre également un état de contrainte de compression parallèle à la
face chauffée sur la partie inférieure des dalles. La fissuration s’étend progressivement dans la
section sous l’effet de l’accroissement du gradient thermique et de la dégradation de la
résistance du béton à la traction (Figure III.43). La rupture se produit par plastification des
aciers dont les caractéristiques sont fortement affaiblies par la température.
Lorsque les déformations d’interaction thermo-mécanique ne sont pas prises en compte, la
rupture est prédite de façon prématurée (Figure III.40). Ainsi on peut observer que le
mécanisme de ruine prédit est identique dans les deux cas. Sous l’effet des contraintes de
compression, les déformations d’interaction thermo-mécaniques limitent les déformations
totales générées dans la partie inférieure des dalles. Ceci conduit à une redistribution des
déformations dans la section qui ralentit le développement de la fissuration et retarde la ruine.
Chapitre III Validations et simulations
-171-
0
50
100
150
200
250
0 30 60 90 120
Temps (min)
Flè
che
(mm)
Modèle: Th-M prise en compte
Modèle: Th-M négligée
Expérience G3
Figure III.40: Effet de la prise en compte de l’interaction thermo-mécanique.
Dalle G3 (Minne 1982).
Par ailleurs, il est également important de s’intéresser à la distribution de la contrainte
normale au centre de la dalle. La figure III.41 présente l’évolution des contraintes normales à
travers l’épaisseur de la dalle G1, pour trois temps du chauffage.
Au début de l’essai à 0=t , au début du chauffage, nous observons que le haut de la dalle est
sollicité en compression, par contre le bas de celle-ci est fissuré. Le renfort est alors sollicité,
dans cette zone, en traction. A 10=t minutes, nous pouvons observer l'impact de la
distribution non-linéaire de la température à travers l'épaisseur. Les fibres les plus basses sont
alors sollicitées en compression du fait de l'effet de dilatation thermique. Finalement à
40=t minutes, nous observons que les deux tiers inférieurs de la dalle sont complètement
fissurés. L’importance de la flèche fait, que les fibres inférieures sont soumises de nouveau à
la traction. La rupture se produit par plastification des aciers dont les caractéristiques sont
fortement affaiblies par la température. Ce mécanisme de ruine est en accord avec les
observations expérimentales.
Chapitre III Validations et simulations
-172-
0
30
60
90
120
150
-20 -15 -10 -5 0 5
Contrainte (N/mm2)
Hau
teur
(m
m )
0 min
40 min
10 min
Figure III.41: Evolution de la contrainte dans le béton à mi-travée
en fonction du temps (Dalle G1).
Les figures III.42 et III.43 présentent des cartes d’isovaleurs de l’endommagement mécanique
et thermique à 100 °C et 800 °C. On peut observer que l’endommagement mécanique est
localisé dans la zone la plus sollicitée en flexion qui est le tiers inférieur de la dalle. En ce qui
concerne les isovaleurs d’endommagement thermique, on observe qu’elles sont parallèles à la
face chauffée et de par sa localisation traduit l’écaillage de cette face.
(a)
Chapitre III Validations et simulations
-173-
Figure III.42: Isovaleurs du paramètre d’endommagement mécanique à
100°C (a), et 800°C (b).
Figure III.43: Isovaleurs du paramètre d’endommagement thermique à
100°C (a), et 800°C (b).
(b)
(a)
(b)
Chapitre III Validations et simulations
-174-
III-4 CONCLUSION
Nous avons présenté dans ce chapitre quelques exemples d’applications du modèle développé.
Les différentes simulations réalisées ont permis de montrer son aptitude à représenter
correctement des chargements mécaniques et thermomécaniques complexes.
Les trois applications cycliques du modèle montrent une bonne gestion de l’évolution de
l’endommagement pendant les cycles charge/décharge. L’utilisation de la déformation
plastique cumulée pour gérer l’endommagement semble être une façon adéquate pour
l’estimation de la dégradation. Les lois adoptées donnent une bonne estimation de
l’endommagement et de la déformation plastique au cours du chargement. Les différentes
applications réalisées en conditions anisothermes mettent clairement en évidence le rôle joué
par les déformations d’interactions thermo-mécanique. La capacité du modèle à restituer
l’effet de dépendance à l’historique des chargements thermiques et mécaniques a été en
particulier vérifiée.
Trois autres applications du modèle sont proposées pour l’analyse de structure en béton et
béton armé sous sollicitations mécanique et thermo-mécaniques. Ces études nous ont permis
de valider la capacité de notre modèle à fournir une prédiction fiable du comportement des
structures d’une part, et à apporter également, une contribution à la compréhension des
mécanismes de ruines des différents types de structures, d’autre part.
Nous avons pu identifier quelques imperfections du modèle. La première est liée à la courbe
d’écrouissage adoptée, qui ne permet pas de restituer à la fois énergie de fissuration et la
déformation au pic. Cet aspect nous a empêché de décrire d’une manière satisfaisante le
comportement post-pic surtout dans le cas de chargement de compression. Le second aspect
est lié au caractère isotrope de l’endommagement. Il ne permet pas en effet de caractériser
d’une manière correcte le profil de fissuration.
On peut aussi noter que dans le cas du phénomène unilatéral, la réalité physique se trouve
entre la réponse donnée par le modèle et celle fournie par celui de Ramtani. Ce sujet doit être
examiné avec plus de finesse.
Chapitre III Validations et simulations
-175-
Une autre faiblesse est liée au caractère local des relations constitutives de notre modèle. Le
passage à une modélisation non-locale est nécessaire dans le but d’avoir une prédiction plus
fiable du comportement du béton au voisinage de la ruine.
Conclusion
-176-
CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES
Dans ce travail, on a cherché à modéliser au niveau macroscopique, les différents aspects du
comportement du béton sous sollicitations thermo-mécaniques. Pour cela, on a essayé de
baser les développements de notre modèle sur quelques résultats expérimentaux permettant
d’identifier les paramètres importants dans le comportement du matériau à haute température
et principalement, dans la gamme de température 20°C-1200°C, couvrant les situations
d’incendies et d’accidents nucléaires.
L’importance de la variation de la déformation plastique (régissant le processus de
fissuration) et de la température en ce qui concerne la description macroscopique non-linéaire
du béton, nous a amené à introduire, dans une modélisation thermo-élasto-plastique
endommageable, deux variables d’états prenant en compte les effets du chargement thermo-
mécanique au niveau macroscopique du matériau.
Un nouveau concept est alors proposé, liant la variable d’écrouissage plastique à la variable
d’endommagement mécanique. La variable d’endommagement thermique quant à elle, est
déterminée d’une façon classique à partir de la variation du module d’élasticité avec la
température. En complément à ces développements, un procédé simple est mis en place pour
la gestion de la refermeture des fissures lors d’un chargement cyclique. Un critère de plasticité
adapté à la description des surfaces de rupture du béton sous hautes température est alors
repris et enrichi pour une meilleure modélisation du béton.
Suite à ces développements, on dispose alors d’un modèle nous permettant de reproduire le
comportement expérimental du béton à hautes températures aussi bien dans le domaine de la
compression que dans celui de la traction en monotone ou en cyclique. L’ensemble de ses
paramètres est identifiable expérimentalement par des essais simples et réalistes. Outre les
aspects de développements, une partie de ce travail a été consacrée pour rendre ce travail
utilisable par l’ingénieur. Ce modèle fut implanté dans le code de calcul par éléments finis
CAST3M développé par le commissariat à l’Energie Atomique C.E.A. (Millard 1993). Ce
Conclusion
-177-
code est adapté à la simulation numérique des structures. L’implémentation de la loi de
comportement thermo-elasto-plastique endommageable a nécessité le développement
d’algorithmes implicites pour l’actualisation des contraintes intégrant le terme fluage
transitoire au niveau des équations constitutives. Ceci permet d’intégrer l’influence du
chargement mécanique sur le processus de déformation thermique du béton.
Le modèle de comportement développé a alors été validé par la simulation d’essais
mécaniques et thermo-mécaniques sur éprouvettes ou sur structures dont les résultats ont été
comparés avec ceux expérimentaux disponibles. Une bonne corrélation avec l’expérience a
été constatée, la reproduction des différents comportements pris en compte lors de
l’élaboration du modèle étant suffisamment précise (Endommagement mécanique,
endommagement thermique, décohésion thermique, comportement unilatéral et phénomène
d’interaction thermo-mécanique). Dès lors, le modèle développé dans l’objectif d’une
utilisation par l’ingénieur, a été appliqué à un problème pratique de résistance au feu. Cette
simulation met clairement en évidence le rôle joué par les déformations d’interaction thermo-
mécanique. La capacité du modèle à restituer l’effet de dépendance à l’histoire des
chargements thermiques et mécaniques a été, en particulier, vérifiée. L’étude nous a permis
aussi de valider la capacité de notre modèle à fournir une prédiction fiable du comportement
des structures d’une part, et d’apporter également, une contribution à la compréhension des
mécanismes de ruine sous sollicitations thermo-mécaniques, d’autre part.
Cependant, au delà de ces performances et malgré ces résultats prometteurs, le modèle
présente quelques limites qui rendent nécessaires des développements ultérieurs. Les quelques
propositions qui suivent constituent un ensemble de sujets de recherche qui semblent
souhaitables pour approfondir les connaissances actuelles sur le comportement du béton sous
sollicitations thermo-mécaniques.
- Une des limites reste le caractère isotrope de l’endommagement. Cette lacune peut
conduire à une réponse erronée du modèle dans le cas ou le chargement appliqué au
matériau est fortement non radial. Elle nous a empêché de caractériser d’une manière
correcte, le profil de fissuration. Une solution prometteuse pour conserver le formalisme
d’endommagement plastique développé dans ce travail est d’utiliser une loi d’écrouissage
anisotrope. Cette voie fera l’objet de notre futur travail de recherche.
Conclusion
-178-
- La modélisation du comportement du béton à haute température ne saurait être complète
sans une compréhension plus fine du couplage mécanique-thermique pour des
sollicitations biaxiales voire triaxiales. Au préalable, il convient naturellement de mener à
bien des campagnes expérimentales dans ces domaines, permettant l’obtention de données
fiables sur l’effet du processus de déformation et d’endommagement sur la propagation de
la chaleur (conductivité thermique, capacité calorifique,…). Cela nous permettra
d’effectuer un calcul couplé du problème thermo-mécanique.
- Les résultats expérimentaux, sur le comportement unilatéral, montre un certain manque de
réalisme dans la description de la refermeture des fissures. Cet aspect doit être approfondi
avec plus de finesse pour une meilleure description des phénomènes. De nouvelles
comparaisons calculs/expériences sur d’autres exemples doivent être menées pour pouvoir
continuer la validation et assurer la réalisation de calculs prédictifs aussi bien du point de
vue mécanique que thermique.
- En complément de ce travail, une modélisation adéquate de l’adhérence acier-béton sous
sollicitations thermo-mécaniques semble nécessaire pour mieux décrire la ruine de
structures armées. En effet, la dégradation de la liaison acier-béton, observée
expérimentalement, n’est pas prise en compte. Une approche, par introduction dans le
système général, de degrés de liberté supplémentaires, traduisant le glissement relatif entre
l’acier et le béton, semble une voie prometteuse pour traiter ce problème (Ulm 1996).
- Il apparaît de plus comme naturel dans les travaux futurs de devoir étendre le modèle de
comportement à une configuration à trois dimensions. Cependant, il faut remarquer que
cela conduit à considérer dans la construction du modèle, le couplage de trois critères, ce
qui peut constituer une difficulté majeure. Une étude doit être menée pour savoir s’il n’est
pas plus avantageux d’utiliser un critère unique (Ottosen, Willam-Warnke à 5 paramètres)
qu’une surface cap.
- Un effort particulier devra être fait dans l’avenir dans le traitement des effets dus à de
hautes températures sur le comportement du béton. En effet, dans cette approche, basée
sur la mécanique des milieux continus, le comportement thermo-mécanique du béton est
modélisé par l’introduction de deux variables d’endommagement, ainsi que l’utilisation de
lois de comportement dépendantes de la température et enfin, l’introduction de lois
Conclusion
-179-
phénoménologiques permettant de lier la déformation thermique à l’état de contrainte
appliqué pendant le chauffage (interaction thermo-mécanique). Ce type de modélisation
permet, comme nous l’avons vu, de traiter de façon satisfaisante un certain nombre de cas
de structures mais se heurte à l’identification des lois d’endommagements avec la
température ainsi que les lois de variation des caractéristiques thermiques, mécaniques et
des paramètres d’interaction thermo-mécaniques du béton avec la température. Les
résultats des essais de caractérisation restent en effet très fortement dépendants des
conditions thermiques, hydriques et mécaniques appliquées (vitesse de chauffage,
confinement hydrique ou non, charge appliquée pendant le chauffage …). Les procédures
d’essai utilisées reproduisent ainsi rarement les conditions dans lesquelles se trouve le
béton au sein d’une structure. Ce type de modélisation peut donc dans certains cas,
conduire à une prédiction erronée du comportement de structures en béton soumises à des
sollicitations thermo-mécaniques sévères.
La mécanique des milieux poreux (Coussy 1985) offre un cadre théorique pertinent pour
l’intégration de ces éléments dans un modèle permettant l’analyse du comportement du
béton sous chargements mécaniques et thermiques et hydriques à hautes températures
combinées. L’utilisation du cadre thermo-poro-plastique endommageable constitue une
perspective intéressante pour prendre en compte les principaux couplages thermo-hydro-
chemo-mécaniques.
- La dernière catégorie de limites du modèle est liée au caractère local des relations
constitutives. En effet, le problème de localisation n’a été que partiellement abordé dans
ce travail. Le passage à une modélisation non-locale est nécessaire dans le but d’avoir une
prédiction plus fiable du comportement du béton au voisinage de la ruine. Dans notre cas,
(écoulement non-associé) l’instabilité peut toutefois survenir avant le pic.
L’utilisation d’une approche non-locale de type intégrale ou au gradient semble poser un
certain nombre de problèmes (détermination du gradient de la variable non-locale), vu la
forme particulière du critère (critère multi-surfaces). Une étude doit être menée pour
savoir si ce n’est pas plus avantageux d’utiliser un critère unique (Ottosen, Willam-
Warnke à 5 paramètres) pour ce type de problème.
Conclusion
-180-
En dynamique, l’introduction d’une dépendance de la réponse du matériau à la vitesse de
déformation introduit une longueur interne qui permet aux équations du mouvement de
demeurer hyperboliques en présence d’adoucissement, le paramètre de viscosité jouant
alors le rôle de longueur interne. Cependant, il a été démontré, que la régularisation
diminue ou perd son effet pour des problèmes quasi-statiques (Sluys 1992).
Dans le cas de notre modèle et pour le cas de dynamique, cette possibilité est facilement
exploitable, l’extension à la viscosité ne pose aucune difficulté. L’utilisation du modèle de
Duvaut-Lions pour introduire la viscosité, permet de conserver les équations du modèle
plastique endommageable. Un développement plus détaillé de cette solution est abordé
dans l’annexe D.
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Annexe A Notations
-193-
ANNEXE A
ANNOTATIONS
L’ensemble des symboles suivants sont utilisés dans ce travail:
cctt b,aba , , : respectivement, paramètres du modèle pour la loi du comportement
uniaxiale en traction et en compression ;
ct cc , : respectivement, paramètres du modèle pour la loi d’endommagement
uniaxiale en traction et en compression ;
C : chaleur spécifique ;
d : variable d’endommagement total ;
ct DDD , , : respectivement, variable d’endommagement mécanique : total, en
traction et en compression ;
e : énergie interne par unité de masse ;
EE ,0: tenseur de rigidité élastique et endommagé du matériau ;
E : module de Young ;
ct FF , : respectivement, fonction de charge en traction et en compression ;
ct GG , : respectivement, potentiel plastique en traction et en compression ;
00 , ct ff : respectivement, limite d’élasticité en traction et en compression ;
ct ff , : respectivement, résistance du béton en traction et en compression ;
bcf : résistance de compression biaxial ;
1I : premier invariant du tenseur des contraintes ;
2J : deuxième invariant du déviateur des contraintes ;
K : module de compressibilité ;
0p : paramètre du module pour l’effet unilatéral ;
q : vecteur flux de chaleur ;
Q : tenseur d’ordre quatre du fluage transitoire ;
r : facteur poids ;
s~ : tenseur déviateur des contraintes ;
Annexe A Notations
-194-
s : entropie du matériau ;
S : section vierge ;
S~ : section résistante ;
T : température ;
0T : température de référence ;
α : coefficient de dilatation thermique ;
γβ ,0: paramètres du modèle pour le fluage transitoire ;
βα ,f: coefficients de la surface de charge en compression ;
gα : coefficient du potentiel plastique;
ct λλ , : respectivement, multiplicateur plastique en traction et en compression ;
tmpe εεεεε , , , , θ : respectivement, le tenseur de déformation total, élastique, plastique,
thermique et celui de l’interaction thermo-mécanique ;
θ : température relative ;
λ : coefficient de conductivité ;
κ : paramètre d’écrouissage ;
Λ : variable d’endommagement thermique ;
ρ : masse volumique du matériau ;
σσ ~ ,, : tenseur de contrainte et tenseur de contrainte effective ;
Iσ~ : contrainte principale ;
cctt ττττ ~ , ,~ , : respectivement, la loi de comportement uniaxiale en traction et celle en
compression dans l’espace des contraintes réelles et celui des contraintes
effectives ;
pe ψψψ , , : respectivement, potentiel thermodynamique endommageable total,
thermoélastique et thermoplastique ;
Annexe B Méthode de régularisation
-195-
ANNEXE B
METHODE DE REGULARISATION
(HILLERBORG 1976)
Comme on a vu au chapitre II le comportement du matériau est modélisé selon une approche
de fissuration répartie "Smeared Crack" formulée dans le cadre de la théorie de la plasticité
couplée à l’endommagement. Le matériau fissuré est toujours considéré comme un milieu
continu pour lequel les notions de contrainte et de déformation restent applicables. Le
matériau réel fissuré est modélisé par un matériau homogène équivalent dans lequel
l’ouverture de fissure est assimilée à une distribution de la déformation plastique.
Ce type de représentation de la fissuration est schématisé à la figure B.1 présentant le milieu
réel fissuré et le milieu homogène équivalent. Sur cette figure, cl désigne la longueur du
volume élémentaire considéré comme représentatif, mesurée perpendiculairement au plan de
fissure.
σ σ
u
σ σ
lc
ε p
Figure B.1 : Représentation d’une fissure discrète par
une fissuration répartie (Meftah 1997)
L’énergie dissipée par unité de surface xG ( tx = pour la traction et cx = pour la
compression) pour ouvrir une fissure dépend de l’amplitude du déplacement des lèvres de la
fissure :
∫=ru
x duG0
σ (B.1)
où u est le déplacement d’ouverture de fissure (figure B.1)
Annexe B Méthode de régularisation
-196-
Dans le milieu homogène équivalent, la densité d’énergie dissipée par unité de volume
s’exprime par :
∫∞
=0
κτ dgx (B.2)
En utilisant l’expression (II.30) de la loi uniaxiale, on trouve :
+=
210 x
x
xx
a
b
fg (B.3)
où 0xf est la contrainte limite d’élasticité fonction de la température ( tt ff =0 pour la traction
et cc ff 3.00 = pour la compression), ( )ba , sont les paramètres du modèle. Par définition, le
milieu homogène équivalent dissipe la même quantité d’énergie que le milieu réel. On peut
donc établir la relation :
xccx gldlG 0
== ∫∞
κτ (B.4)
Que l’on peut également écrire sous la forme:
c
xx l
Gg = (B.5)
Nous sommes maintenant amenés à définir une condition d’applicabilité de cette méthode. En
effet, lorsque la longueur cl dépasse une certaine valeur, le matériau développe un
comportement fragile conduisant à une instabilité du processus d’intégration des équations
constitutives (Rots 1988). Cette instabilité est liée à l’interprétation dans le cas d’un matériau
à écrouissage négatif des critères de charge et de décharge définis en plasticité par les
conditions de Kuhn-Tucker (II.87). Il est alors nécessaire d’imposer une condition sur la pente
de la courbe d’adoucissement ( )θκτ , :
Dans le cas d’une seule surface active, la condition de consistance s’exprime dans l’espace
des contraintes effectives par :
0 ~ =∂∂++= θ
θκ
FhF T σ n (B.6)
où
Annexe B Méthode de régularisation
-197-
κ∂∂=
∂∂= F
hF
;~σn (B.7)
En combinant cette condition avec les relations (B.6, II.11, II29 et II.91), on peut exprimer le
taux de multiplicateur sous la forme:
( )hL
F
T
TtmT
0
00
+∂∂+−−
=mEn
EnEn θθλ
θ
εεε(B.8)
où
λκ ;~ LG =
∂∂=
σm (B.9)
La condition de charge (II.87) peut alors s’écrire:
( )0
0
00
≥+
∂∂+−−
hL
F
T
TtmT
mEn
EnEn θθ
θ εεε(B.10)
Selon la condition (II.87), un point est considéré en décharge élastique lorsque :
0 ~ <∂∂++= θ
θκ
FhF T σ n (B.11)
De plus, on a dans ce cas:
0== κpε (B.12)
En introduisant l’expression de σ~ définie à l’équation (II.11) et la relation (B.12) dans la
relation (B.11), cette condition de décharge s’exprime:
( ) 000 <∂∂+−− θ
θθ
FTtmT EnEn εεε (B.13)
On définit par opposition la condition de charge:
( ) 000 ≥∂∂+−− θ
θθ
FTtmT EnEn εεε (B.14)
La condition (B.10) se ramène alors à la relation:
0 0 ≥+ hLT mEn (B.15)
Dans le cas d’un écoulement associé la relation (B.15) devient :
Annexe B Méthode de régularisation
-198-
h 0 −≥E (B.16)
En utilisant la loi uniaxiale définie par l’équation (II.30). On montre aisément que la valeur de
la pente d’adoucissement xh est donnée par la relation:
( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
−−−−−+
Λ−−=
−
−
x
x
x
x
b
c
xxxxxb
c
xxxxxx
x bcbabcbaf
h 210 exp2 exp11
κκ (B.17)
La pente maximum post-pic à la fin de l’écoulement plastique est donnée lorsque κ atteint sa
valeur ultime uκ . En combinant la relation (B.17) et (B.5), on trouve :
( )( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
−−−−−+
+Λ−
−=
−
−
x
x
x
x
b
c
uxxxxb
c
uxxxxx
c
xx bcbabcbaa
l
Gbh 21
max exp2 exp1
211
κκ
(B.18)
La condition d’applicabilité s’exprime alors :
( )( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
−−−−−+
+Λ−
≤
−
−
x
x
x
x
b
c
uxxxxb
c
uxxxxx
xx
T
c
bcbabcbaa
L
Gbl
21
0
exp2 exp1
21 1
κκ
mEn(B.19)
Dans le cadre de la méthode des éléments finis, le volume élémentaire représentatif du milieu
fissuré défini précédemment est assimilé à un élément du maillage. Lors du calcul d’une
structure quelconque pour laquelle on ne connaît pas a priori le faciès de rupture, la
détermination de la longueur caractéristique est délicate. En effet cette longueur se mesurant
perpendiculairement au plan de fissure, il est nécessaire de connaître la position exacte de ce
dernier avant le calcul de manière à détecter les éléments candidats à la fissuration. Plusieurs
auteurs se sont penchés sur la détermination de cette longueur caractéristique lorsque l’on ne
dispose pas de cette information. Dans un calcul par la méthode des éléments finis, cl doit
selon la majorité des auteurs être liée à une dimension représentative des éléments (Bazant &
Oh 1983, Rots 1988). Elle dépend en toute rigueur du type d’élément, de la taille des
éléments, de leurs fonctions de forme et même de la position de l’élément considéré dans le
maillage (présence d’une condition au limite en connexion avec l’élément). Une estimation
très simple a été proposée par Rots (1988) pour les cas bidimensionnels:
Annexe B Méthode de régularisation
-199-
ec Arl = (B.20)
où eA est l’aire de l’élément considéré et r est un facteur correcteur égal à 1 pour les
éléments quadratiques et à 2 pour les éléments linéaires. En pratique cette estimation
convient pour des éléments de forme régulière mais peut s’avérer insuffisante pour des
éléments de forme quelconque, de plus en plus répandus dans les maillages non-structurés.
Millard (1996) propose une méthode permettant de corriger cette estimation en fonction de la
forme de l’élément. Nous nous limitons toutefois ici à l’utilisation de l’estimation proposée
par Rots (B.20).
La condition d’applicabilité, interprétée de façon pratique indique que la méthode de
conservation de l’énergie de rupture équivalente ne peut être appliquée que pour des éléments
dont la taille ne dépasse pas la longueur caractéristique intrinsèque du matériau cl corrigée
d’un coefficient tenant compte de la forme et de la nature des éléments en question. Enfin, la
longueur caractéristique cl est considérée ici comme indépendante de la température,
uniquement liée comme nous l’avons vu à la taille et à la nature des éléments.
Annexe C Formulation thermodynamique
-200-
ANNEXE C
FORMULATION THERMODYNAMIQUE
(INTERACTION THERMO-MECANIQUE NEGLIGEE)
Afin de définir clairement et séparer les différents couplages entre les variables d'état de ce
modèle, il est intéressant d'utiliser le cadre théorique de la thermodynamique des milieux
continus. Rappelons tout d'abord l'expression de la dissipation totale du système.
( ) 0.: ≥−+−=T
gradTTs q ψρϕ εσ (C.1)
où ( )κε , , , Λ= Deψψ est l'énergie libre du système, fonction des différentes variables d'état
du système.
On peut décomposer la dissipation ϕ (équation C.1) en la somme de deux termes:
( )Ts +−= ψρϕ εσ :11 (C.2)
02 ≥−=T
gradTqϕ (C.3)
où 1ϕ et 2ϕ représentent respectivement la dissipation intrinsèque (mécanique) et la
dissipation thermique, associée au transport de chaleur.
Sous l'hypothèse du découplage entre dissipation thermique et mécanique, le second principe
de la thermodynamique impose que la dissipation mécanique soit positive. En remplaçant la
différentiation de l'énergie libre par rapport aux variables d'états dans l'inégalité (C.2), on
obtient :
0:: ≥ΛΛ∂
∂−∂∂−
∂∂−
∂∂+−+
∂∂−
ψρψρψρψρψρ DD
TT
spe
eκ
κεσε
εσ (C.4)
expression où l'on remarque que les quatre premiers termes sont classiquement définis dans la
formulation thermodynamique des modèles thermo-élasto-plastiques et conduisent aux
équations d'état suivantes:
Annexe C Formulation thermodynamique
-201-
pe εεσ
∂∂−=
∂∂= ψρψρ ;
Ts
∂∂−= ψ
; κ∂
∂= ψρA (C.5)
Elles définissent le tenseur de contrainte σ , l'entropie s et le tenseur force d'écrouissage A
comme les forces thermodynamiques associées aux évolutions des variables de déformation
plastique, de température et d'écrouissage.
Auxquels vient s'ajouter deux équations supplémentaires définissant la force
thermodynamique Y associée aux évolutions de la variable d'endommagement mécanique D
et la force thermodynamique X associée aux évolutions de la variable d'endommagement
thermique Λ modélisant au niveau macroscopique les phénomènes physique à l'origine des
effets du chargement thermique et mécanique :
DY
∂∂−= ψρ (C.6)
Λ∂∂−= ψρX (C.7)
En élasto-plasticité (ou viscoplasticité), les déformations n'interviennent que sous la forme de
leur partition, soit :
ep εεεε =−− θ (C.8)
L’énergie libre peut se mettre sous la forme :
( )κε , , , , Λ= De θψψ (C.9)
Cette dernière équation peut s’exprimer en fonction du potentiel thermodynamique du
matériau non endommagé par :
( ) ( ) ( )( )Λ−−=−= 11 avec , , 1 0 Ddd e κε θψψ (C.10)
Intéressons nous maintenant à l'expression de l'énergie libre. Nous adoptons dans tout ce qui
suit l'hypothèse du découplage entre les effets d'écrouissage et autres. Le potentiel
thermodynamique ψ s'écrit sous cette hypothèse sous la forme :
( ) ( )κε pee000 , ψθψψ += (C.11)
le potentiel thermodynamique élastique du matériau vierge est donné par :
Annexe C Formulation thermodynamique
-202-
( )0
2
0000 2
1
2
1 ,
TCeeeee θθθρψ −−= εεεεε ::: mE (C.12)
dans lequel 0C représente la chaleur spécifique, 0T la température de référence du système et
0E le tenseur de rigidité initial du matériau non endommagé.
Le tenseur du deuxième ordre de couplage thermo-mécanique 0 m est donné par :
1m ⋅= α00 3 K (C.13)
αet 0K désignent respectivement le module de compressibilité volumique et le coefficient de
dilatation thermique, 1 représente le tenseur unité.
Le potentiel thermodynamique plastique associé à la contrainte effective est étendu à la
thermoplasticité est donnée par (Lee 1998) :
( ) ( ) ( )
+−= ∫ ∫∫
t c
dTdTd ccttpp
κ κ
κκτκκτρψ0 0
0 ,~ ,~εσκ : (C.14)
La donnée de ces potentiels thermodynamiques permettent d'écrire les lois d'états:
( )( )00 :1 m E θεψρ −−=
∂∂
= eee d εσ (C.15)
( )
+−=
∂∂
−= ee
T
Cd
Ts ε:1 0
0
0 mθψ
(C.16)
( ) 0 1 ψΛ−=Y (C.17)
( ) 0 1 ψDX −= (C.18)
( )( )
−=T
T
cc
tt
,~ ,~
κτκτ
A (C.19)
En remplaçant les équations (C.15 à C.19) dans l’équation (C.4), on obtient :
( ) ( ) ( ) ( ) 0 ,~ ,~ 11 0 ≥++Λ−+Λ−+ ccctttp TTDD κκτκκτψ ε:σσ (C.20)
L’inégalité (C.20) est positive si et seulement si :
Annexe C Formulation thermodynamique
-203-
Le potentiel plastique est une fonction convexe ( pε:σσ ), 0et 0 ≥Λ≥ D , également 0≥xκ .
Ainsi la dissipation intrinsèque est toujours positive.
Annexe D Extension au vico-endommagement
-204-
ANNEXE D
EXTENSION AU VISCO-ENDOMMAGEMENT
(CAS D’UN CALCUL MECANIQUE SEUL)
D-1 Modélisation visco-endommageable
Nous ne détaillerons pas toutes les équations du modèle dans ce paragraphe ; ces dernières
étant de près semblables au modèle initial présenté dans le chapitre II.
On notera seulement que les développements qui suivent sont élaborés pour un calcul
mécanique seul sans partie thermique.
La viscosité est introduite de manière linéaire dans le modèle plastique endommageable,
présenté dans le chapitre II. Dans le modèle de Duvaut-Lions, le taux de déformation
viscoplastique est exprimé comme suit :
( )σσε −= −11ü
ηvp (D.1)
ou σ est la projection de l’état de contrainte sur la surface de charge et η , est le paramètre de
viscosité représentant le temps de relaxation du système viscoplastique.
Le modèle original de Duvaut-Lions peut être généralisé à une multitude de modèles en
définissant seulement la contrainte de projection σ .
En utilisant l’équation (II.10) liant le tenseur de contrainte σ au tenseur de contrainte
effective σ~ , la relation (D.1) devient :
( )[ ]σσε ~11 1 dvp −−= −ü
η (D.2)
La relation contrainte-déformation devient alors :
[ ]( ) 01 üü
ü
d
vp
−=−= εεεσ
(D.3)
En remplaçant les équations (D.3, D.2) dans l’équation (D.1), on obtient :
Annexe D Extension au vico-endommagement
-205-
( )vppvp εεε −=η1
(D.4)
D’une manière similaire, le taux d’endommagement est donné par :
( )ddd −=η1
(D.5)
ou d est la variable d’endommagement définie par le modèle thermo-plastique
endommageable (dans le cas d’un calcul isotherme)
D-2 Intégration des équations
En se plaçant dans le cadre général de la plasticité couplée à l’endommagement, les équations
à résoudre se résument à calculer toutes les variables internes de la loi de comportement au
temps 1+nt connaissant l’état du matériau au temps nt .
Au temps 1+nt , la relation contrainte-déformation donnée par (D.3) s’écrit :
( ) [ ]vpnnnd 11011 +++ −−= εεεσ ü (D.6)
L’intégration de l’équation (D.4), nous permet d’obtenir le taux de déformation
viscoplastique. Ce dernier est donné par :
( )vpn
pn
vp t11 ++ −∆=∆ εεεε
η(D.7)
cette dernière équation (D.7), peut se mettre sous la forme :
vpn
pn
vpn tt
t εεε∆+
+∆+
∆= ++ ηη
η 11 (D.8)
D’une manière similaire, l’intégration de l’équation (D.5) donne :
nnn dt
dt
td
∆++
∆+∆= ++ η
ηη 11 (D.9)
Connaissant la déformation totale 1+nε , la déformation plastique pn 1+ε , et la variable
d’endommagement tiré d’un calcul plastique 1+nd , l’application des équations D.6, D.7 et
D.8, nous permet de calculer la déformation viscoplastique vpn 1+ε et la variable
d’endommagement totale 1+nd .
Annexe D Extension au vico-endommagement
-206-
D-3 Construction de l’opérateur tangent pour le modèle proposé
Comme dans le cas de la thermo-plasticité endommageable, la linéarisation de la méthode de
Newton-Raphson se traduit par l’utilisation d’une matrice de raideur tangente. La construction
de celle-ci joue un rôle important dans la stabilité, la rapidité et la précision. Dans ce qui suit,
on donne les différentes équations permettant le calcul de l’opérateur tangent.
En substituant l’équation (D.8) dans l’équation (D.6), on obtient :
( )
∆+
+∆+
∆−−= +++vpn
pnnn tt
td εεεσ
ηη
η 11011 ü (D.10)
D’après l’équation (II.101), la déformation plastique peut être exprimée par la relation
suivante :
( ) 11
011~
+−
++ −= nnpn σεε E (D.11)
En remplaçant l’équation D.11 dans l’équation D.10, on obtient :
( ) ( ) 1101 ~
1++
+ ∆+−∆+
−= n
vpnn
n tt
dσεεσ üη
η(D.12)
La dérivée totale du vecteur de contrainte peut donc être obtenue. Elle s’exprime sous la
forme :
( ) ( ) 1101
111
1~
1~++
+++
++ ∆+
∆+−
+∆+∆+
−= nn
nn
vpn
nn dtd
t
dt
t
ddd σεσσσ üη
ηη
η(D.13)
où ( )vpnn
vpn εεσ −= ++ 101 ü (D.14)
D’après l’équation D.9 la dérivée de la variable d’endommagement est donnée par :
( ) ( )( )
11
1
11
~~ +
+
+
++
∆+∆=
∆+∆=
nn
n
nn
dd
dd
t
t
ddt
tdd
σση
η(D.15)
Annexe D Extension au vico-endommagement
-207-
L’expression de l’opérateur tangent dans l’espace des contraintes effectives 1
1~
+
+
n
n
d
d
εσ
est fournie
au chapitre II par l’équation (II.175) dans le cas de deux critères actifs et par l’équation
(II.179) dans le cas d’un seul critère actif. L’expression de l’opérateur tangent est alors
obtenue en utilisant l’équation (D.13) :
( ) ( ) ( ) ( )1
1
1
11110
1
1
1~
~~1
11
+
+
+
++++
+
+
+
∆+∆+
−−∆+
∆+∆+
−=
n
n
n
nn
vpnn
n
n
n
d
d
d
ddt
td
t
t
t
d
d
d
εσ
σσσ
εσ η
ηηη
ηIü (D.16)
Une remarque sur le cas limite de ce modèle peut être faite. En effet, dans le cas d’un
comportement plastique 0→η , on retrouve l’opérateur tangent plastique (équations II.176 et
II.179).
FOLIO ADMINISTRATIF
THESE SOUTENUE DEVANT L’INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON
NOM : NECHNECH DATE de SOUTENANCE(avec précision du nom de jeune fille, le cas échéant) Le 14 Décembre 2000
Prénoms : WahidTITRE :
Contribution à l’étude numérique du comportement du béton et des structuresen béton armé soumises à des sollicitations thermiques et mécaniques couplées :
Une approche thermo-élasto-plastique endommageable.
Nature: Doctorat Nouveau régime Numéro d’ordre : 00 ISAL 0084
Formation doctorale : Génie Civil : Sols, Matériaux, Structures, Physique du bâtiment
Cote B.I.U. – Lyon : / et bis CLASSE :
RESUME :
Le but de cette recherche consiste en l’élaboration d’un modèle Eléments Finis pour l’analyse des structures en bétonarmé sous sollicitations thermiques et mécaniques combinées.
Une synthèse des résultats disponibles sur le comportement du béton sous sollicitations thermiques et mécaniques estexposée. Les différents comportements du béton qui peuvent être rencontrés et notamment en analyse thermo-mécanique sont soulignés (Endommagement, phénomène unilatéral, interaction thermo-mécanique,…). Les diversesfamilles de modélisation sont par la suite analysées en soulignant les aspects importants du comportement quechacune peut reproduire.
Un nouveau modèle thermo-plastique endommageable est alors développé, permettant de rendre compte des diversphénomènes recensés lors de la synthèse. Ce modèle est construit dans le cadre de la thermodynamique des processusirréversibles et plus particulièrement sur la thermo-plasticité couplée à l’endommagement. Un couplage entre leniveau d’écrouissage atteint et l’endommagement est proposé. Deux variables d’endommagement scalaires y sontintroduites. Une première variable permet la modélisation des effets du chargement mécanique et la seconde sert àreprésenter les effets du chargement thermique. Les relations constitutives de la réponse thermo-élasto-plastique sontdécouplées de celles de la réponse endommagée en utilisant le concept de la contrainte effective. Cette méthodeconfère une souplesse dans l’implémentation numérique. En complément à ces développements, un procédé simpleest mis en place pour la gestion de la refermeture des fissures lors d’un chargement cyclique. Un critère de plasticité,adapté à la description des surfaces de rupture du béton sous hautes température, est alors repris et enrichi pour unemeilleure modélisation du béton.
Ce modèle est mis en œuvre dans l’analyse du comportement de spécimens en béton et de structures en béton armésoumis à des sollicitations thermo-mécaniques cycliques à hautes températures.
MOTS-CLES : Béton, Déformation fluage, Endommagement, Fissuration, Modélisation, Surface multiple, Thermoplasticite, Transitoire, Unilatéral
Laboratoire (s) de recherches : Laboratoire URGC-Structures (INSA de Lyon)
Directeurs de thèse : Jean-Marie REYNOUARD Fekri MEFTAH
Président de Jury : François SIDOROFFComposition du Jury : MM. ANDRIEUX S., HEINFLING G., MEFTAH F., MILLARD A., PIJAUDIER-CABOT G., REYNOUARD J.M., SCHREFLER B., SIDOROFF F.
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