conformite d’une distribution expérimentale à une distribution théorique
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Professeur Pascale FRIANT-MICHEL> Faculté de Pharmacie
Pascale.Friant@cbt.uhp-nancy.fr
CONFORMITE d’une distribution CONFORMITE d’une distribution expérimentale à une distribution expérimentale à une distribution
théoriquethéorique
I - GENERALITES (1)I - GENERALITES (1)
CONFORMITE d’uneCONFORMITE d’uneDISTRIBUTION EXPERIMENTALEDISTRIBUTION EXPERIMENTALEà une DISTRIBUTION THEORIQUEà une DISTRIBUTION THEORIQUE
Remarque :
Même si une série empirique suit effectivement une loi de distribution théorique donnée, les fréquences expérimentales différeront forcément, en raison des fluctuations fortuites d’échantillonnage, des fréquences que l’on devrait théoriquement observer, compte tenu de l’effectif de la série
Problème de conformité
Répartition théorique est-elle conforme à la répartition expérimentale ?
I - GENERALITES (2)I - GENERALITES (2)
On se demande donc si les différences constatées entre la distribution expérimentale et la distribution supposée restent dans les limites des fluctuations fortuites d’échantillonnage (auquel cas l’assimilation de la distribution expérimentale à la distribution théorique est légitime)
Principe du test :
Comparer deux distributions dans leur ensemble
Caractériser la divergence, pour chacune des valeurs de la distribution, entre les effectifs observés (O1, O2, . . ., On) et les effectifs théoriques (T1, T2, . . ., Tn) que l’on aurait dû observer dans une distribution théorique de même effectif total que la distribution expérimentale étudiée
Vérification de la conformité par le test du 2 de K. PEARSON
. 2 d’ajustement
. test d’hypothèse
II - TEST de II - TEST de 22
. divergence définie par l’écart (Oi – Ti)
. carrés des écarts appelés écarts quadratiques
. écart quadratique relatif :
Soient T1, T2, . . ., Tn les effectifs théoriques
Si n - 1 d’entre eux sont fixés, le nième est défini par Ti = N
=> = n - 1
Oi Ti 2
Ti
1. Principe du test
2. Nombre de degrés de liberté
II - TEST de x2 (1)
Toute relation supplémentaire imposée aux effectifs théoriques conduit à réduire d’une unité le nombre de degrés de liberté
=> = n - 1 - r
r étant le nombre de relations supplémentaires
- Pour une distribution binomiale : r = 1 (p)
=> = n - 2
- Pour une distribution de POISSON : r = 1(m)
=> = n - 2- Pour une distribution de LAPLACE-GAUSS : r = 2 (m, )
=> = n - 3
II - TEST de II - TEST de 22 II - TEST de x2 (2)
III - CONDITIONS d’EMPLOI du TEST de III - CONDITIONS d’EMPLOI du TEST de 22
2. Le 2 est suivi lorsque :
* N ≥ 50* n ≥ 5
1. Le 2 s’applique exclusivement aux effectifs
Si 30 ≤ N < 50, le test est utilisable mais avec prudence,
=> exclusivement applicable lorsque 2 franchement différent de celui des tables
Si N < 30, le test n’est plus applicable
Si n < 5, groupements de classe
=> diminue => sensibilité du test est abaissée
3. Effectifs théoriques calculés avec précision
III - CONDITIONS d’EMPLOI du TEST de x2
IV - EXEMPLES (1)IV - EXEMPLES (1)
Ho : Les différences constatées entre la distribution expérimentale et la distribution théorique ne sont dues qu’aux fluctuations d’échantillonnage
1. Conformité d’une distribution expérimentale à uneDISTRIBUTION BINOMIALE
Distribution du nombre de filles dans 160 familles de 4 enfants tirées au hasard dans une population
IV - EXEMPLE (2)IV - EXEMPLE (2)
Famille dexi
filles
Nombre de famillesni = Oi
01234
164862304
= 160
Oii
Nombre de familles théoriques
nk = Ti
16,3050,2157,9929,765,73
= 160
35,4934
Tii
Oi - Ti
- 0,30- 2,214,01
- 1,49
0,00550,09730,2773
0,0625
= 0,4426
Oi Ti 2
Ti
2
= n - 2
= 4 - 2 = 2
IV - EXEMPLE (3) IV - EXEMPLE (3)
Distribution du nombre d’accidents hebdomadaires à un carrefour dangereux
2 << 2 => l’hypothèse nulle est acceptable à 5 % de
risque
= 5 % => 2 = 5,99
2. Conformité d’une distribution expérimentale à uneDISTRIBUTION de POISSON
Conclusion :
l’hypothèse d’une distribution binomiale avec p = = 0,435 n’a pas été infirmée par les constatations expérimentales
mn
IV - EXEMPLE (4)IV - EXEMPLE (4)
Nombre d’accidents
xi
Nombre de semaines
ni = Oi
012345
≥ 6
5107431
= 30
8
Oii
Nombre de semaines théoriques
nk = Ti
5,119,058,004,722,090,740,29
= 30
Tii
7,84
Oi - Ti
- 0,110,95
- 1,00
0,16
0,00240,09970,1250
0,0033
= 0,2304
Oi Ti 2
Ti
2
IV - EXEMPLE (5)IV - EXEMPLE (5)
Poids de 406 nouveau-nés relevé dans une maternité
2 << 2 => l’hypothèse nulle est acceptable à 5 % de
risque
= n - 2
= 4 - 2 = 2
= 5 % => 2 = 5,99
3. Conformité d’une distribution expérimentale à uneDISTRIBUTION de LAPLACE-GAUSS
Conclusion :
l’hypothèse d’une distribution suivant une loi de POISSON de moyenne m = 1,77 n’est pas démentie par les constatations expérimentales
IV - EXEMPLE (6)IV - EXEMPLE (6)
Limites (kg)
Effectifs exp.ni = Oi
2,20
2,40
2,60
2,80
3,00
3,20
3,40
3
8
26
50
69
85
< 2,20
Effectifs théo.nk = Ti
2,43
5,36
13,56
26,96
46,16
62,20
70,52
21,35
11
Oi - Ti
- 10,35
- 0,96
3,84
6,80
14,48
5,0174
0,0342
0,3194
0,7434
2,9732
Oi Ti 2
Ti
IV - EXEMPLE (7)IV - EXEMPLE (7)
Limites (kg)
Effectifs exp.ni = Oi
3,60
3,80
4,00
4,20
4,40
4,60
4,80
62
44
35
17
3
2
2
= 406
Oii
Effectifs théo.nk = Ti
67,44
50,79
32,93
16,77
7,35
2,56
0,77
0,20
= 406
Tii
10,88
Oi - Ti
- 5,44
- 6,79
2,07
0,23
- 3,88
0,4388
0,9077
0,1301
0,0031
1,3837
= 11,9510
≥ 4,80
7
Oi Ti 2
Ti
2
IV - EXEMPLE (8)IV - EXEMPLE (8)
2 < 2 => l’hypothèse nulle est acceptable à 5 % de
risque
= n - 3
= 10 - 3 = 7
= 5 % => 2 = 14,07
Conclusion :
l’hypothèse que la distribution suive une loi normale de moyenne m = 3,33 kg et d’écart-type = 0,45 kg n’a pas été démentie par les constatations expérimentales
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