coloration gap sommet identifiante de graphes 12 èmes journée journées graphes et algorithmes...

Coloration gap sommet identifiante de graphes

12èmes journée Journées Graphes et Algorithmes (JGA’10), Marseille France.

Mohammed Amin TahraouiEric DuchêneHamamache Kheddouci

Université de Lyon 1

Plan

Coloration de graphe

Coloration arêtes

Étiquetage des sommets

Coloration sommet identifiante

Définition

Variantes du problème

Coloration Gap sommet-identifiante

Formalisation

Résultats

Perspectives

2

Colorations de graphe Coloration arêtes

Affecter à toutes les arêtes de graphe G=(V,E) une couleur de telle

sorte que deux arêtes adjacentes n’aient jamais la même couleur.

c :E {0,1,…,k-1}

’ (G) : Le nombre minimum de couleurs à utiliser pour

obtenir une coloration arête.

Théorème de Vizing’s : Δ ≤ ’ (G) ≤ Δ +1

12

(G) =3

3

1

2

3

3

Colorations de graphe Etiquetage des sommets

Sommet-identifiante (Vertex-distinguishing ) L’étiquetage des sommets est appelé sommet-identifiant si chaque

sommet de G est déterminé uniquement par son étiquette.

Sommet adjacent -identifiante (Adjacent vertex-distinguishing )L’étiquetage des sommets est appelé sommet adjacent-identifiant si deux sommets adjacents ne portent pas la même couleur.

Une coloration des arêtes peut induire une coloration sommet-identifiante ou une coloration sommet adjacent -identifiante

Coloration Sommet-Identifiante (Vertex-Distinguishing Edge Colorings)

4

Coloration sommet-identifianteDéfinition

Irregular weighting(Chartrand et al ,86)

1

2 2

3

3

2

6

32

3

5

8

610

7

9

5

Coloration des arêtes qui permette de distinguer

via une fonction de codage c

propreimpropre Tous Les sommets

Sommets adjacentsSommeUnion setUnion multi-set

vertex-distinguishing edge-colorings (Burris & Schelp, 97)

{1,2}

{2,4}{1,4}

{1,5}

{1,2,3}{1,3}1

2 2

4

3

1

5

31 {3,5}

ev

efvc )()(

ev

efvc

)()(

Coloration sommet-identifiante Variantes de problème

Propre impropre Tous Les sommets

Sommets adjacents

Sum Set Multi-set Reference

Irregular weighting

x x x Chartrand et al ,86

vertex-colouring edge-weighting

x x x Karonski et al, 04

VD-coloring x x x Burris & Schelp, 97

Adjacent strong edge coloring

x x x Zhang et al ,02

point distinguishing edge-coloring

x x x Harary & Pltholtan,85

detectablecoloring

x x x Chartrand et al ,06

vertex-colouring edge-partition

x x x Addario-Berry et al 04

General neighbour-distinguishing

x x x Ervin et al, 05

Coloration arête Identifiante Fonction de codage

Coloration Gap sommet-identifianteDéfinition

via une fonction de codage c. Somme Union setUnion multi-set

7

Gap

Coloration des arêtes qui permette de distinguer properNon proper Tous Les sommets

Sommets adjacents

Coloration Gap sommet-identifiante Formalisation

Définition 1 Soit un graphe G=(V, E)Soit f : E → {1,……k} Pour chaque sommet v de G :

7

1 2

9

6

2

2

32

109

10

6 5

7

4

0

1

8

Max

Min

Nombre chromatique gap (G): Le plus petit k tel que G admette une

coloration Gap-sommet-identifiante

Max f(e) v ∈ e - Min f(e) v ∈ e si d(v)>1

f(e) si d(v)=1 c(v)=

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

Bornes inférieures

Théorème 1 Soit G un graphe de n sommets tel que G ne contient aucune composante isomorphe à K1 ou K2

gap(G) ≥ n si (i) δ(G) ≥ 2 ou (ii) Tout sommet de degré au moins égale à 2 possède au moins deux sommets adjacents de degré 1 gap (G) ≥ n − 1 Sinon

4

1

2

3

5

0

1

02

3

2

4

41

1

30

3

3

234

1

32

1

5

5

Bornes supérieures

Conjecture: Pour tout graph connexe G d’ordre n>2 gap(G) ≤ n+1

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

Graphe de degré minimum δ (G) ≥ 2

Théorème 2 (Résultat principal)

Pour tout graphe k-arête-connexe d’ordre n tel que k ≥ 2,

gap(G) = n, si G n’est pas un cycle de longueur =2, 3(mod 4) (a)

gap(G) = n+1 sinon (b)

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

Théorème 3 :

gap(Cn) = n, si n=0, 1(mod 4) (a)

gap(Cn) = n+1 si n=2, 3(mod 4) (b)

Cycle

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

Coloration Gap sommet-identifiante

(a) : gap(Cn) = n Si n=0, 1(mod 4)

gap(Cn) ≥ n gap(Cn) ≤ n ? ? ?

Case (a).1 : n mod 4 =0

n/2 i mod 4=2f(ei) =

(i+1)/2 i impaire

n i mod 4=0

c(vi) =

n-(i+1)/2 i mod 4=1

(n-i)/2 i mod 4=2(n –i-1)/2 i mod 4=3

n-(i/2) i mod 4=0

f(e1)=1

2

4

8

3

4

4

8

7 3

2

6

51

4

0

gapCn) ≤ n ?

Case a.2 : n mod 4 =1

n-1 i mod 4=2f(ei) =

i i paire

n i mod 4=0

f(e1)=1

8

3

9

58

8

7

9

7

5

6

4

3

0

1

2

8

gap(Cn) =n

c(vi) =

n-1 i mod 4=2

n-i+1 i mod 4=0

n –i-1 i mod 4=3

n-i i mod 4=1

Coloration Gap sommet-identifiante

(a) : gap(Cn) = n Si n=0, 1(mod 4)

gap(Cn) > n ? ? ?

Chaque terme f(ei) apparaît deux fois avec le même signe (ou par deux signes différents)

Contradiction !!!!(n (n-1)/2 est impaire Si n=2, 3(mod 4) )

gap(Cn) > n

Coloration Gap sommet-identifiante

(b) : gap(Cn) = n+1 Si n=2, 3(mod 4)

o gap(Cn) ≥ n+1

o gap(Cn) ≤ n+1 ? ? ?

Case (b).1 : n mod 4 =3

n+1 mod 4= 0 (gap(Cn+1) = n+1)

Cn+1 doit contenir deux bords successifs de mêmes couleurs.

8

6

5

gap(Cn) = n+1

1

2

4

3

4

4

8

7 3

2

1

4

0

Coloration Gap sommet-identifiante

(b) : gap(Cn) = n+1 Si n=2, 3(mod 4)

4

gap(Cn) ≤ n+1 ?

Case (b).2 : n mod 4 =2

f(en)= f(en-1)=2, f(en-2)=3 et

1 i mod 4=2Pour 1≤ i ≤ n-3, f(ei) =

n+2-i i paire

2 i mod 4=0

f(e1)=7

1

52

2

6

4

21

0

5

gap(Cn) =n+1

Coloration Gap sommet-identifiante

(a) : gap(Cn) = n+1 Si n=2, 3(mod 4)

3

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

Coloration arête équilibrée

Définition 2Pour chaque sommet v de G=(V, E):

Soit un intervalle I(v)=[Min f(e) v ∈ e , Max f(e) v ∈ e ] Une coloration arête f de G est une coloration équilibrée si seulement si : Pour toute pair u,v de V : I(u) ∩ I(v)≠ Ø

I(v1)=[1,6]

v1

5

3

1

6

5

v2

v3

v4

I(v1) ∩ I(v2) ∩ I(v3) ∩ I(v4) ={5}

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

Théorème 4 :Soit G un graphe avec δ(G) ≥ 2. 1.S'il existe un sous-graphe couvrant H de G tel que δ(H) ≥2 2.S’il existe une coloration arête équilibrée de H tel que gap(H) ≤ k.

gap(G) ≤ k.

Preuve gap(H) ≤ k. Pour toute (u,v) de V:

c(u)≠c(v) et f : coloration équilibrée : x∈ I(u) ∩ I(v)

Pour toute (u,v) ∈ E(G)/E(H), f(e)=x,

gap(G) ≤ k.

3

0

2

2

4

2

1

2

I(v1) ∩ I(v2) ∩ I(v3) ∩ I(v4) ={2}

2

Théorème 5Pour tout graphe 2-arête-connexe G d’ordre n tel que G n’est pas un cycle de longueur =2, 3(mod 4), nous avons

gap(G) = n

Idée de preuve Proposer une coloration arête équilibrée d’un sous-graphe couvrant G’ de G.

Algorithme Polynomial

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

Notations

Au cours de l'algorithme:

Soit Sc l’ensemble courant des sommets codés .

Initialement Sc= Ø.

Un sommet v est inséré dans Sc si et seulement si il est incident à  au

moins deux arêtes colorées (e1,e2). On fixe c(v) à |f(e1)-f(e2)|.

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

1

8

7

Sc

N(Sc)

P(u)

vu

Notations

Une fonction N(Sc) retourne l'ensemble des sommets voisins de Sc et

non encore inclus dans l’ensemble Sc.

Pour chaque sommet u de N(Sc), soit la fonction P(u) qui renvoie une

chaine entre deux sommets de Sc qui passe forcément par le sommet u.

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

Algorithme

Input: un graphe 2-arête-connexe G = (V, E) d'ordre n, différent d'un cycle

de longueur 1, 2 ou 3 (mod 4).

Output: une coloration gap sommet-identifiante de G avec n couleurs.

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

Etape 1: Prendre un sous-graphe H de G tel que H est isomorphe à :

Cycle de longueur multiple de 4.

Deux cycles distincts ayant au moins un sommet commun.

Observation

Par hypothése, si G est différent d'un cycle de longueur multiple de 4, Alors Δ(G) ≥3 , le sous-graphe H peut être toujours

obtenu à partir de G.

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

Etape 2: Coloration de sous-graphe H (10 fonctions de coloration)

Par exemple : H est un cycle de longueur multiple de 4

Sc=V(H)

1 i mod 4=2f(ei) =

n-i+1 i impaire

2 i mod 4=0

1

8

7

2

6

6

5

4

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

Principe1. Pour tout sommet v de H : 2 I(v)∈2. Pour toute paire de sommets (u,v) de H, c(u)≠c(v)

Etape 3: Choisir un sommet u ∈N(Sc),

Soit une chaine R=P(u) d’ordre k

Quatre fonctions sont proposées pour la la coloration arête de R selon la valeur k mod

4=0,1,2,3.

Sc= Sc U V(R)

Si |Sc|<|V|

1

8

7

2

6

6

5

4

u5

2

3

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

Principe1. Pour tout sommet v de Sc : 2 I(v)∈2. Pour toute paire de sommets (u,v) de Sc, c(u)≠c(v)

Etape 3: Choisir un sommet u ∈N(Sc),

Soit une chaine R=P(u) d’ordre k

Quatre fonctions sont proposées pour la la coloration arête de R selon la

valeur k mod 4=0,1,2,3.

Sc= Sc U V(R)

1

8

7

2

6

6

5

4

u

Principe1. Pour tout sommet v de Sc : 2 I(v)∈2. Pour toute paire de sommets (u,v) de Sc, c(u)≠c(v)

5

2

3

5

32

2 2

1

0

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

Etape 4:

Pour chaque sommet v de G : 2 I(v)∈

Pour toute paire de sommets (u,v) de G, c(u)≠c(v)

Pour chaque arête non-colorée: f(e) =2

Fin de l’algorithme

gap(G)=n.

1

8

7

2

6

6

5

4

5

2

3

5

32

2 2

1

0

2

2

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

Corollaire 6Pour tout graphe k-arête-connexe d’ordre n tel que k>2, nous avons gap(G)=n

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

Pour tout entier k>2, tout graphe k-arête-connexe contient un sous-

graphe 2-arête connexe couvrant G’ différent d'un cycle.

Selon l’algorithme précédent, G’ admet une coloration Gap sommet

identifiante équilibrée

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

Nous pouvons maintenant conclure que le résultat du Théorème 2 est

une conséquence directe du Théorème 3 et le Corollaire 6.

Théorème 2 (Résultat principal)

Pour tout graphe k-arête-connexe d’ordre n tel que k ≥ 2,

gap(G) = n, si G n’est pas un cycle de longueur =2, 3(mod 4) (a)

gap(G) = n+1 sinon (b)

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

Graphe de degré minimum δ (G) = 1

Théorème 7 :

gap(Pn) = n, si n=2, 3(mod 4) (a)

gap(Pn) = n-1 si n=0, 1(mod 4) (b)

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

Théorème 8 Pour tout arbre binaire complet BT d’ordre n > 3, nous avons

gap(BT) = n − 1.

Théorème 9Soit T un arbre de n sommets tel que T a au moins deux feuilles à une distance égale à 2, nous avons

gap(T) ≤ n.

Graphe de degré minimum δ (G) = 1

Coloration Gap sommet-identifiante Perspective

Conjecture 2 (Graphe de degré minimum δ (G) ≥ 2)

Pour tout graphe G d’ordre n avec un degré minimum δ (G) ≥ 2,

gap(G) = n, si G n’est pas un cycle de longueur =2, 3(mod 4) (a)

gap(G) = n+1 sinon (b)

Conjecture 3 (Arbre)

Pour tout arbre T d’ordre n ≥ 3,

gap(T) = n, si la condition (ii) du Théorème 1 est remplie (a)

gap(T) = n-1 sinon (b)

34

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