chapitre 5 choix et demande. rationalité économique u un consommateur choisit un panier préféré...

Chapitre 5

Choix et demande

Rationalité économique

Un consommateur choisit un panier préféré dans l’ensemble des paniers disponibles.

Ensemble des paniers disponibles = ensemble de budget.

Nous avons vu au chapitre précédent ce qu’on voulait dire par « préféré »

Nous voulons dans ce chapitre intégrer ces deux dimensions (ensemble de budget et préférences)

Rationalité économique

Notre objectif: étudier comment le panier choisi par le consommateur est affecté par des changements exogènes dans les prix ou dans la richesse du consommateur.

Important: Les prix et/ou la richesse changent mais les préférences ne changent pas.

Programme mathématique (PC) décrivant le choix rationnel sous-

contrainte

Cxx

RxpxpqcsxxU

n

nnnxx n

),...,()2

...)1...),...(max

1

111,...1

Le programme mathématique (PC)

A toujours au moins une solution (théorème de Bolzano-Weirstrass)

Une solution est un panier qui est préféré par le consommateur à tous les autres paniers disponibles

Peut on obtenir une intuition géométrique sur ce choix rationnel ?

Choix Rationnel sous contrainte

x1

x2

Choix Rationnel sous contrainte

x1

x2Utilité

Choix Rationnel sous contrainte

Utilité x2

x1

Choix Rationnel sous contrainte

x1

x2

Utilité

Choix Rationnel sous contrainte

utilité

x1

x2

Choix Rationnel sous contrainte

utilité

x1

x2

Choix Rationnel sous contrainte

utilité

x1

x2

Choix Rationnel sous contrainte

utilité

x1

x2

Choix Rationnel sous contrainte

utilité

x1

x2

Disponible mais pas optimal

Choix Rationnel sous contrainte

x1

x2

Utilité

disponible, mais pas optimal.

Le préféré parmiles paniersDisponibles.

Choix Rationnel sous contrainte

x1

x2

Utilité

Choix Rationnel sous contrainte

Utilité

x1

x2

Choix Rationnel sous contrainte

Utilité

x1

x2

Choix Rationnel sous contrainte

Utilitéx1

x2

Choix Rationnel sous contrainte

x1

x2

Choix Rationnel sous contrainte

x1

x2

paniersdisponibles

Choix Rationnel sous contrainte

x1

x2

Paniersdisponibles

Choix Rationnel sous contrainte

x1

x2

Paniers disponibles

Paniers préférés

Choix Rationnel sous contrainte

Paniers disponibles

x1

x2

Panierspréférés

Choix Rationnel sous contrainte

x1

x2

x1*

x2*

Choix Rationnel sous contrainte

x1

x2

x1*

x2*

(x1*,x2*) est le panierpréféré dans l’ensembledes paniers disponibles.

Choix Rationnel sous contrainte

Le panier préféré dans l’ensemble des paniers disponibles (solution du programme PC) est appelé DEMANDE MARSHALLIENNE

Cette demande Marshallienne est une fonction (si solution unique) ou une correspondance (si solution multiples) des prix et de la richesse.

On note cette relation fonctionnelle x1*(p1,p2,R) et x2*(p1,p2,R).

Choix rationnel sous contrainte

Lorsque C = Rn+ et xi* > 0 pour tous les biens i, le panier demandé est dit INTERIEUR.

Si acheter (x1*,…,xn*) coûte R euros alors la contrainte budgétaire est saturée.

Choix Rationel sous-contrainte

x1

x2

x1*

x2*

(x1*,x2*) est intérieur.

(x1*,x2*) sature la Contrainte budgetaire.

Choix Rationnel sous Constrainte

x1

x2

x1*

x2*

(x1*,x2*) est intérieur.(a) (x1*,x2*) sature la C. B.p1x1* + p2x2* = R.

Choix Rationnel sous Contrainte

x1

x2

x1*

x2*

(x1*,x2*) est intérieur .(b) La pente de la courbed’indifférence à (x1*,x2*) est égale à la pente de la droite de budget.

Choix Rationnel sous contrainte (x1*,x2*) satisfait 2 conditions: (a) la contrainte budgétaire est

saturée p1x1* +…+ pnxn* = R

(b) la pente de la droite de budget, -pi/pj, et la pente de la courbe d’indifférence passant par (x1*,x2*) sont égales à (x1*,x2*).

Choix Rationnel sous contrainte La condition (a) sera vérifiée par tout

choix d’un panier préféré dès lors que les préférences sont localement non-saturables (que le panier demandé soit intérieur ou non)

La condition (b) ne sera vérifiée que si le panier choisi est intérieur.

Comment résoudre PC ?

Cxx

RxpxpqcsxxU

n

nnnxx n

),...,()2

...)1...),...(max

1

111,...1

Comment résoudre PC ?

Puisque la contrainte budgétaire est saturée (si les préférences sont localement non-saturables) on peut écrire

p1x1* +…+ pnxn* = R

x1* = (R - p2x2* -…- pnxn* )/p1

(PC) devient donc:

),...,,...(max 211

22

1,...2

nnn

xxxx

p

xp

p

xp

p

RU

n

Les solutions intérieures de ce programme (sans contrainte) satisfont (si dérivabilité) les conditions de 1er ordre:

ix

xxU

p

p

x

xxU

i

nin

0),...,(

)(),...,( **

1

11

**1

jip

p

x

xxU

x

xxU

j

i

j

n

i

n

,),...,(

),...,(

**1

**1

Et donc:

1

*

1

*2

1

*1

**1

....

,),...,(

2

p

xp

p

xp

p

Rx

évidemmentavec

jip

pxxTMS

nn

j

inij

Si les préférences sont convexes, ces conditions sont en fait

SUFFISANTES pour indiquer un panier optimal

Plus précisément un panier (x1*,…xn*) qui satisfait:

..

....

,),...,(

1

*

1

*2

1

*1

**1

2

BCsatisfontquipaniersautres

lestousàfaiblementpréféréest

p

xp

p

xp

p

Rx

et

jip

pxxTMS

nn

j

inij

Déterminer les demandes marshalliennes: un exemple

Cobb-Douglas On se rappelle que les préférences

Cobb-Douglas se représentent par la fonction d’utilité.

U x x x xa b( , )1 2 1 2

Déterminer les demandes marshalliennes: un exemple

Cobb-Douglas Si les préférences se représentent

par. Alors

U x x x xa b( , )1 2 1 2

MUUx

ax xa b1

1112

MUUx

bx xa b2

21 2

1

Déterminer les demandes Marshalliennes un exemple

Cobb-Douglas. Donc le TMS est

.

/

/

1

21

21

21

1

2

1

1

2

bx

ax

xbx

xax

xU

xU

dx

dxTMS

ba

ba

Déterminer les demandes Marshalliennes un exemple

Cobb-Douglas. Donc le TMS est

A (x1*,x2*), TMS = -p1/p2 donc

./

/

1

21

21

21

1

2

1

1

2

bx

ax

xbx

xax

xU

xU

dx

dxTMS

ba

ba

ax

bx

pp

xbpap

x2

1

1

22

1

21

*

** *. (A)

Déterminer les demandes Marshalliennes un exemple

Cobb-Douglas. Puisque (x1*,x2*) sature également la

contrainte budgétaire, on a

.*22

*11 Rxpxp (B)

Déterminer les demandes Marshalliennes un exemple

Cobb-Douglas.. Nous savons donc que

xbpap

x21

21

* * (A)

.*22

*11 Rxpxp (B)

Déterminer les demandes Marshalliennes un exemple

Cobb-Douglas.. Nous savons donc que

Substituons dans (B)x

bpap

x21

21

* * (A)

.*22

*11 Rxpxp (B)

Déterminer les demandes Marshallienne un exemple Cobb-

Douglas. Nous savons donc que

xbpap

x21

21

* * (A)

.*22

*11 Rxpxp (B)

.*1

2

12

*11 Rx

ap

bppxp

Substituons

Pour obtenir

Ce qui se simplifie pour donner ….

Déterminer les demandes Marshallienne un exemple Cobb-

Douglas .

.)( 1

*1 pba

aRx

Déterminer les Demandes Marshalliennes – un exemple Cobb-

Douglas.

.)( 2

*2 pba

bRx

En substituant pour x1* dans

Rxpxp *22

*11

On obtient

.)( 1

*1 pba

aRx

Déterminer les demandes Marshalliennes – Un exemple

Cobb-Douglas.Nous avons donc découvert que le panier disponible préféré d’un consommateuravec des préférences Cobb-Douglas

U x x x xa b( , )1 2 1 2

est ).)(

,)(

(),(21

*2

*1 pba

Rb

pba

Raxx

Préférences Cobb-Douglas: une illustration géométrique.

x1

x2

1

*1 )( pba

Rax

2

*2

)( pba

Rb

x

U x x x xa b( , )1 2 1 2

Qu’arrive t-il si le panier préféré contient une quantité nulle d’un bien ?

Un exemple: le cas des substituts parfaits

x1

x2

TMS = -1

Un exemple: Le cas des substituts Parfaits

x1

x2

TMS = -1

pente = -p1/p2 avec p1 > p2.

Un exemple: le cas des substituts parfaits

x1

x2

TMS = -1

pente = -p1/p2 avec p1 > p2.

Un exemple: Le cas des substituts parfaits

x1

x2

2

*2 p

Rx

x1 0*

TMS = -1

pente = -p1/p2 avec p1 > p2.

Un exemple: le cas des substituts parfaits

x1

x2

1

*1 p

Rx

x2 0*

TMS = -1

pente = -p1/p2 avec p1 < p2.

Un exemple: Le cas des substituts parfaits

Donc, si U(x1,x2) = x1 + x2, la demande marshallienne est

0,),,(),,,((

1212211 p

RRppxRppx MM si p1 < p2

si p1 > p2.

2212211 ,0),,(),,,((

p

RRppxRppx MM

Un exemple- le cas des substituts parfaits

x1

x2

TMS = -1

pente = -p1/p2 avec p1 = p2.

1p

R

2p

R

Un exemple: le cas des substituts parfaits

x1

x2Tous les paniers satisfaisant la contrainte à égalité sont préférés aux autres Paniers disponibles lorsque p1 = p2.

2p

R

1p

R

Un exemple: Le cas des substituts parfaits

Donc, dans ce cas la demande marshallienne est une correspondance Définie par

)0,(),,(),,,((1

212211 p

RRppxRppx MM si p1 < p2

si p1 > p2.

),0(),,(),,,((2

212211 p

RRppxRppx MM

RxpxpRxxRppxRppx MM 22112

21212211 :),()),,(),,,((

si p1 = p2

Autre exemple de solution de coin -des préférences non-convexes

x1

x2m

ieux

Autre exemple de solution de coin- des préférences non-

convexes

x1

x2

Autre exemple de solution de coin – des préférences non-Convexes

x1

x2

Quel est le panier disponiblepréféré?

Autre exemple de solution de coin – des préférences non-

convexes

x1

x2

Le panier disponiblepréféré

Autre exemple de solution de coin– des préférences non-convexes

x1

x2

Le panier disponible préféré

Notons que la condition (de 1er ordre) TMS = p1/p2

ne caractérise pas le panier disponible préféré ici.

Un exemple non-dérivable- Les préférences pour les compléments

parfaits

x1

x2 U(x1,x2) = min{ax1,x2}

x2 = ax1a

Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments

parfaits

x1

x2

TMS = 0

U(x1,x2) = min{ax1,x2}

x2 = ax1

Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments

parfaits

x1

x2

TMS = -

TMS = 0

U(x1,x2) = min{ax1,x2}

x2 = ax1

Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments

parfaits

x1

x2

TMS = -

TMS = 0

TMS pas défini

U(x1,x2) = min{ax1,x2}

x2 = ax1

Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments

parfaits

x1

x2 U(x1,x2) = min{ax1,x2}

x2 = ax1

Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments

parfaits

x1

x2 U(x1,x2) = min{ax1,x2}

x2 = ax1

Quel est le panier disponiblepréféré ?

Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments

parfaits

x1

x2 U(x1,x2) = min{ax1,x2}

x2 = ax1

Le panier disponiblepréféré

Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments

parfaits

x1

x2 U(x1,x2) = min{ax1,x2}

x2 = ax1

x1*

x2*

Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments

parfaits

x1

x2 U(x1,x2) = min{ax1,x2}

x2 = ax1

x1*

x2*

(a) p1x1* + p2x2* = R

Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments

parfaits

x1

x2 U(x1,x2) = min{ax1,x2}

x2 = ax1

x1*

x2*

(a) p1x1* + p2x2* = R(b) x2* = ax1*

Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments

parfaits (a) p1x1* + p2x2* = R; (b) x2* = ax1*.

Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments

parfaits

(a) p1x1* + p2x2* = R; (b) x2* = ax1*.

La substitution à partir de (b) de x2* dans (a) donne p1x1* + p2ax1* = R

Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments

parfaits (a) p1x1* + p2x2* = R; (b) x2* = ax1*.

La substitution à partir de (b) de x2* dans (a) donne p1x1* + p2ax1* = Rce qui nous permet d’obtenir

21

*1 app

Rx

Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments

parfaits (a) p1x1* + p2x2* = R; (b) x2* = ax1*.

La substitution à partir de (b) de x2* dans (a) donne p1x1* + p2ax1* = Rce qui nous permet d’obtenir

etapp

Rx

21

*1

21

*2 app

aRx

Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments

parfaits

x1

x2 U(x1,x2) = min{ax1,x2}

x2 = ax1

21

*1 app

Rx

21

*2

app

aR

x

Un exemple non-dérivable – les préférences pour les

compléments parfaits Demande marshallienne est une

fonction (solution unique) Préférences strictement convexes et

compléments parfaits: impliquent toujours unicité des solutions