chapitre 2 - iard
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7/25/2019 chapitre 2 - IARD
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Fonctions dcrivant une variable alatoireMesures caractrisant une variable alatoire
Classification des distributions
ACT 2284 - Cours 2
Philippe Gagnon, M.Sc., A.S.A.
Universit de Montral
11 janvier 2016
Philippe Gagnon, M.Sc., A.S.A. (UdeM) 11 janvier 2016 1 / 25
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7/25/2019 chapitre 2 - IARD
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Fonctions dcrivant une variable alatoireMesures caractrisant une variable alatoire
Classification des distributions
1 Fonctions dcrivant une variable alatoire
2 Mesures caractrisant une variable alatoire
3 Classification des distributions
Philippe Gagnon, M.Sc., A.S.A. (UdeM) 11 janvier 2016 2 / 25
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Fonctions dcrivant une variable alatoireMesures caractrisant une variable alatoire
Classification des distributions
Variable alatoire
Exemples en assurance IARD
La perte lie une assurance automobile.La rclamation lie une assurance automobile.Le nombre dannes que le client sera assur avec lacompagnie.etc.
Philippe Gagnon, M.Sc., A.S.A. (UdeM) 11 janvier 2016 3 / 25
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Fonctions dcrivant une variable alatoireMesures caractrisant une variable alatoire
Classification des distributions
Fonctions dcrivant une variable alatoire
Fonction de rpartition
X : une variable alatoire.FX(x) =P(X x) : fonction de rpartition.
Proprits
Non-dcroissante.Continue droite.limx FX(x) =0 et limx FX(x) =1.
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Fonctions dcrivant une variable alatoireMesures caractrisant une variable alatoire
Classification des distributions
Exemples de fonctions de rpartition
!0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
0.0
0.2
0.4
0
.6
0.8
1.0
x
F(x)
!3
!2
!1 0 1 2 3
0.0
0.2
0.4
0
.6
0.8
1.0
x
F(x)
Figure 1 : Exemple de fonctions de rpartition.
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i d i i bl l i
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Fonctions dcrivant une variable alatoireMesures caractrisant une variable alatoire
Classification des distributions
Fonctions dcrivant une variable alatoire (suite)
Fonction de survie
X : une variable alatoire.SX(x) =P(X>x) : fonction de survie.
Proprits
Non-croissante.Continue droite.limx SX(x) =1 et limx SX(x) =0.
Philippe Gagnon, M.Sc., A.S.A. (UdeM) 11 janvier 2016 6 / 25
F i d i i bl l i
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Fonctions dcrivant une variable alatoireMesures caractrisant une variable alatoire
Classification des distributions
Fonctions dcrivant une variable alatoire (suite)
Fonction de densit
X : une variable alatoire.fX(x) =
ddxFX(x) : fonction de densit.
Pour queltypede variables alatoires cette fonction est utile ?Proprits
Positive (fX 0).
P(a X b) =Rba f(x)dx(Si la variable alatoire est discrte
FX(x) = Pyx
P(X =y)).
Dmontrez que FX estnon-dcroissanteen considrant que Xest une v.a.continue.
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F ti d i t i bl l t i
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Fonctions dcrivant une variable alatoireMesures caractrisant une variable alatoire
Classification des distributions
Fonctions dcrivant une variable alatoire (suite)
!3
!2
!1 0 1 2 3
0.0
0.2
0.4
0
.6
0.8
1.0
x
F(x)etf(x)
Figure 2 :Fonction de rpartition et de densit dune loi normale.
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Fonctions dcrivant une variable alatoire
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Fonctions dcrivant une variable alatoireMesures caractrisant une variable alatoire
Classification des distributions
Fonctions dcrivant une variable alatoire (suite)
Taux de panne
X : une variable alatoire.hX(x) =
fX(x)SX(x)
: taux de panne.
Proprit
hX(x) = S0X(x)SX(x)
= (log SX(x))0.
SX(x) =expRx
hX(y)dy
( dmontrer).
Thorme fondamental de calcul
Si f(x) =F0(x) est une fonction continue sur lensemble[a, b],alors Z b
a
f(x)dx=F(b) F(a).
Philippe Gagnon, M.Sc., A.S.A. (UdeM) 11 janvier 2016 9 / 25
Fonctions dcrivant une variable alatoire
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Fonctions dcrivant une variable alatoireMesures caractrisant une variable alatoire
Classification des distributions
1 Fonctions dcrivant une variable alatoire
2 Mesures caractrisant une variable alatoire
3 Classification des distributions
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Fonctions dcrivant une variable alatoire
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Fonctions dcrivant une variable alatoireMesures caractrisant une variable alatoire
Classification des distributions
Mesures caractrisant une variable alatoire
ModeValeur quimaximisela fonction de probabilit (fX(x) si la v.a.estcontinueou P(X =x) si elle estdiscrte).
MdianeMesure de tendancecentrale(la valeur m telle queP(X m) = P(X m)).
Qui a-t-il de particulier lorsque Xest une v.a. continue ?Esprance
Mesure de tendancecentrale(E[X] =R
xfX(x)dxsi la v.a.estcontinueou E[X] =
PxxP(X =x) si elle estdiscrte).
Variance
Mesure devariabilit(Var[X] = E[(X E[X])2] = E[X2] E[X]2).
RemarquesE[g(X)] =
R
g(x)fX(x)dxsi la v.a. estcontinueouE[g(X)] =
Pxg(x)P(X =x) si elle estdiscrte.
Lintgrale ou la sommene converge pas lesprance decette v.a.nexiste pas.Philippe Gagnon, M.Sc., A.S.A. (UdeM) 11 janvier 2016 11 / 25
Fonctions dcrivant une variable alatoire
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Fonctions dcrivant une variable alatoireMesures caractrisant une variable alatoire
Classification des distributions
Mesures caractrisant une variable alatoire (suite)
k-ime moment(k N)E[Xk]
Coefficient de variation
Mesure devariabilit standardis(pVar[X]/E[X]).
Coefficient dasymtrie
Mesure dasymtrie (E[(X E[X])3]/(pVar[X])3).
Si gal 0 distributionsymtrique, si >0 distributionasymtrique droite.E[(X E[X])3] = E[X3] 3E[X2]E[X] +2E[X]3 ( vrifier enexercice).
Coefficient daplatissement
Mesure daplatissement (paisseur desailes)(E[(X E[X])4]/Var[X]2).E[(XE[X])4] = E[X4]4E[X3]E[X]+6E[X2]E[X]23E[X]4
( vrifier enexercice).
Philippe Gagnon, M.Sc., A.S.A. (UdeM) 11 janvier 2016 12 / 25
Fonctions dcrivant une variable alatoire
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Mesures caractrisant une variable alatoireClassification des distributions
Illustration laide de la loi normale et exponentielle
!3 !2 !1 0 1 2 3
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
densitnormaleetexponentielle
Figure 3 :Pour la loi normale(0,1), le coefficient dasymtrie est 0 et lecoefficient daplatissement est de 3. Pour la loi exponentielle(1), lecoefficient dasymtrie est de 2 et le coefficient daplatissement est de 9.
Philippe Gagnon, M.Sc., A.S.A. (UdeM) 11 janvier 2016 13 / 25
Fonctions dcrivant une variable alatoire
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Mesures caractrisant une variable alatoireClassification des distributions
Exemple
Tableau.
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Fonctions dcrivant une variable alatoire
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Mesures caractrisant une variable alatoireClassification des distributions
Percentile
Variable alatoirecontinue
fX>0 sur son domaine FX eststrictementcroissante, doncadmet une fonctionrciproque. Alors, pour 0< p
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Mesures caractrisant une variable alatoireClassification des distributions
Percentile (suite)
!0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
F(x)
!3 !2 !1 0 1 2 3
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
F(x)
Figure 4 :Quel le 20-ime et le 50-ime percentile dans ces deuxsituations ?
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Fonctions dcrivant une variable alatoireM t i t i bl l t i
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Mesures caractrisant une variable alatoireClassification des distributions
Fonction gnratrice des moments
Lafonction gnratrice des moments(fgm) dune v.a. X,note MX(t), est donne par
MX(t) = E[etX],
pour tout tpour lesquels cette esprance existe.Fonction gnratrice bien dfinie + existence du k-imemoment
E[Xk
] =
dk
dtkMX(t)t=0 , k {1, 2, . . .}.
Pourquoi ?
MX(t) = E[etX] = E
hPn=0
tnXn
n!
i=P
n=0tnE[Xn]
n! .
Philippe Gagnon, M.Sc., A.S.A. (UdeM) 11 janvier 2016 17 / 25
Fonctions dcrivant une variable alatoireMesures caractrisant une variable alatoire
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Mesures caractrisant une variable alatoireClassification des distributions
Fonction gnratrice des moments - Loi de Poisson
Si Xa une distributionPoissonde paramtre > 0, alors
P(X =x) = e x
x! .
Quelle est la fonction gnratrice des moments ?
Calculez lesprance.
Philippe Gagnon, M.Sc., A.S.A. (UdeM) 11 janvier 2016 18 / 25
Fonctions dcrivant une variable alatoireMesures caractrisant une variable alatoire
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Mesures caractrisant une variable alatoireClassification des distributions
Fonction gnratrice des moments - Loi Gamma
Si Xa une distributionGammade paramtre >0,>0,alors
fX(x) =
() x
1 ex, x 0,
o () = ( 1)!si {1, 2, . . .}.
Quelle est la fonction gnratrice des moments ?
Calculez lesprance.
Philippe Gagnon, M.Sc., A.S.A. (UdeM) 11 janvier 2016 19 / 25
Fonctions dcrivant une variable alatoireMesures caractrisant une variable alatoire
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Mesures caractrisant une variable alatoireClassification des distributions
Fonction gnratrice des moments - Proposition
Proposition
Si X1, . . . , Xn sont des v.a. indpendantestelles que MXi(t) existepour tout i, alors
MYn(t) =nY
i=1
MXi(t),
o Yn =
Pn
i=1Xi.
Dmonstration.
Philippe Gagnon, M.Sc., A.S.A. (UdeM) 11 janvier 2016 20 / 25
Fonctions dcrivant une variable alatoireMesures caractrisant une variable alatoire
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Mesures caractrisant une variable alatoireClassification des distributions
1 Fonctions dcrivant une variable alatoire
2 Mesures caractrisant une variable alatoire
3 Classification des distributions
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Fonctions dcrivant une variable alatoireMesures caractrisant une variable alatoire
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Classification des distributions
Introduction
Pourquoiclassifier ?
Ensemble de distributions trsvaste. Fonctionpositivecontinue ou non + normalisation fonction de probabilit.
Quest-ce quon veut dire par normalisation ?Lobjectif?
Critresde classification :
Complexitdu modle (Combien dlments doit-onspcifier ?).
Formede la distribution (asymtrie, paisseur des ailes, etc.).Etc.
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Fonctions dcrivant une variable alatoireMesures caractrisant une variable alatoire
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Classification des distributions
Complexit
Arguments en faveur dun modlesimple:
Peudlments spcifier ?Modle plusstabledans le temps et dans des situationssimilaires.
Quest-ce quon veut dire ?
Argument en faveur dun modlecomplexe:
Meilleur ajustement aux donnes.
Principe deparsimonie: le modle le plus simple qui reflte
adquatement la ralit devrait tre utilis.Tous les modles sont faux, mais certains sont utiles. -George E.P. Box.
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Fonctions dcrivant une variable alatoireMesures caractrisant une variable alatoire
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Classification des distributions
Classe des distributions paramtriques
Dfinition
Ensemblede distributions dont chaque membre est spcifi parun ou plusieursparamtres.
Exemples ?Le nombre de paramtres estfixetfini.
Proprit
Si les valeurs des paramtres sont spcifis, la distribution estcompltementconnue.
Quest-ce qui caractrise les distributionssimples ?
Philippe Gagnon, M.Sc., A.S.A. (UdeM) 11 janvier 2016 24 / 25
Fonctions dcrivant une variable alatoireMesures caractrisant une variable alatoire
Cl ifi i d di ib i
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Classification des distributions
Famille dchelle
Dfinition
Une variable alatoire multiplie par uneconstantepositive la nouvelle variable alatoire a une distribution dans la mmefamille de distributions.
On dit : la famille est ferme sous une transformation dchelle.
Propositions ( dmontrer)
Si X N(,2), alors aX N(a, a22).Si X Exp(), alors aX Exp(a).
Proposition( dmontrer)Si Xest une variable alatoire avec une densit fX, alorsY =aX (a> 0) a une densit donne par fX(y/a) (1/a).
Philippe Gagnon, M.Sc., A.S.A. (UdeM) 11 janvier 2016 25 / 25
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