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Chapitre 2

1. Listes : fonctions primitives2. Fonctions : « gardes »

3. Fonctions : appel par filtrage4. Récursivité sur les listes

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1. Listes

• Une liste est une suite homogène de valeurs (même type)• Représentation:

[] Liste vide[x1,x2,…,xn] Liste à n éléments

• Type[a] est le type des listes d’éléments de type a

l1 = [1,2,3] :: [Int]l2= [‘a’,’b’,’c’] :: [Char]l3=[(‘x’,12),(‘y’,26),(’z’,9)] :: [(Char,Int)]ages = [("Jean",23),("Aline",24),("Berthe »,19)] :: [(String,Int)]

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Remarques1) String = [Char]

> :t "abc""abc" :: [Char]

2) Segments> [1..5][1,2,3,4,5]> ['a'..'d']"abcd"

3)Liste singleton : [x]Ne pas confondre avec x> :t 'a''a' :: Char> :t ['a']['a'] :: [Char]

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• Fonctions primitives sur les listes– Accès aux élémentshead l = « tête » de l = 1er élémenttail l = « queue » de l = le reste

> head [1..5]1> tail [1..5][2,3,4,5]> head "abc"'a'> tail "abc""bc »> (head "Sarko") == (head "Snake")True

NB. Suppose l non vide> head []*** Exception: Prelude.head: empty list

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• Fonctions primitives sur les listes

– Construction d’une listex : l = liste de premier élément (head) x

et de reste (tail) l> 'a':"bcd""abcd"> 1:[2..5][1,2,3,4,5]> (head [1..5]) : (tail [1..5])[1,2,3,4,5]

NB. Associe à droite> 1:2:[3..5][1,2,3,4,5]

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• Fonctions primitives sur les listes

– Concatenation (append)l1 ++ l2 = liste constituée des éléments de l1 suivie des éléments de l2

> [1..3]++[4..6][1,2,3,4,5,6]> "I"++"love"++"Sarko""IloveSarko »

– Égalité : ==>(tail [1..5]) == 2:3:4:[5]True

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• Premières fonctions (récursives)

-- deuxième élément, troisième-- suppose l de taille adéquatedeuse, troise :: [a] -> adeuse l = head (tail l)troise l = head (tail (tail l))

-- longueurlong :: [Int] -> Intlong l = if l == [] then 0 else 1+(long (tail l))-- Somme des élémentssomliste :: [Int] -> Intsomliste l = if l == [] then 0

else (head l) + (somliste (tail l))

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-- éléments supérieurs à NlesSup :: Int -> [Int] -> [Int]lesSup n l = if l == [] then []

else if (head l) > nthen (head l):(lesSup n (tail l))else (lesSup n (tail l))

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2. Une autre conditionnelle = gardes

-- éléments supérieurs à N : version 2lesSup2 :: Int -> [Int] -> [Int]lesSup2 n l

| l == [] = []| head l > n = (head l):(lesSup n (tail l))| otherwise = lesSup n (tail l)

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• Problème : prendre les k premiers élements d’uneliste

> take 4 [1..10][1,2,3,4]

• Solution 1 : avec if-- take avec if

mytake1 k l =if k == 0 || l == [] then []

else (head l) : (mytake1 (k-1) (tail l))

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• Solution 2 : avec Gardes-- Take avec Gardesmytake2 k l

| k == 0 = []| l == [] = []| otherwise = (head l) : (mytake2 (k-1) (tail l))

• Gardes : Forme généralefonc x1…xn

|garde1 = Expr1|…| gardek = Exprk

gardei = prédicat (fonction booléenne)Eventuellement : gardek == otherwise (tjs True)La première garde == True est sélectionnée

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• Autre exemple : test d’appartenance-- Avec ifcherche1 x l = if l == [] then False

else if x == head(l) then Trueelse cherche1 x (tail l)

-- Avec gardes

cherche2 x l | l == [] = False | x == head(l) = True | otherwise = cherche2 x (tail l)

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• Remarque : typagecherche2 x l

| l == [] = False | x == head(l) = True | otherwise = cherche2 x (tail l)

> :t cherche2(Eq a) => a -> [a] -> Bool

Il faut que l’égalité (==) sur- (les éléments de type) asoit définie. Voir plus loin. Ce sera le cas avec les types « de

base » pour a : Int, Bool, Char…

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• Sur des nombres

-- PGCD avec gardespgcd n p

|n>p = pgcd (n-p) p|n == p = n|n<p = pgcd p n

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3. Appel par filtrage

• cherche : encore une solutioncherche3 x [] = Falsecherche3 x (y:ys) = if x == y then True

else cherche3 x ys

-- ou, avec le joker « _ »cherche4 _ [] = Falsecherche4 x (y:ys) = if x == y then True

else cherche3 4 ys

On définit un résultat en fonction de la « forme des argumentsd’appel »

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• Notion de pattern matching (filtrage)Entre :

Une expression Un patron (pattern) Liaisons[1,2,3,4] x : l x = 1 l = [2,3,4][1,2,3,4] x : y : l x = 1 y = 2 l = [3,4][1,2,3,4] 1 : y :l y = 2 l = [3,4][1,2,3,4] 2 : l Echec[1,2,3,4] [] Echec[] [] Succes

Avec le « joker »: _[1,2,3,4] x : _ x=1 [1,2,3,4] _: _:l l = [3,4]

> let x:l = [1..5] in l[2,3,4,5]> let x:3:l = [1..5] in l*** Exception: <interactive>:1:4-17: Irrefutable

pattern failed for pattern x : 3 : l

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• Fonctionnement : détailfoo pat1 pat2 … patn = Exprfoo pat1’ pat2’ … patn’ = Expr’foo pat1’’ pat2’’ … patn’’ = Expr’’…

– Les pati sont des « patrons » (patterns).– Pour le moment, listes et t-uples. Ultérieurement : tous types

définis par des constructeurs (chapitre 4)– Un patron peut « matcher » un argument d’appel :foo arg1 arg2 … argn pat1 filtre arg1 ….Les variables du patron prennent alors leur valeur selon la structure

de l’argument d’appel– Le matching peut échouer– La première expression pour laquelle les patrons matchent les

arguments est sélectionnée

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• Autres exemples

-- mytake par filragemytake3 :: Int -> [a] -> [a]mytake3 0 _ = []mytake3 _ [] = []mytake3 k (x : xs) = x : (mytake3 (k-1) xs)

-- cherche par filtrage et gardescherche5 _ [] = Falsecherche5 x (y:ys)

| x == y = True | otherwise = cherche5 x ys

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Exercices. Autre exemple : tuples et listes

prem :: (a,b,c) -> a??deuxe :: (a,b,c) -> b??troixe :: (a,b,c) -> c??

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4. Récursion sur les listes : principe

• Exemple : somme des éléments d’une liste-- Version 1 (if)somliste :: [Int] -> Intsomliste l = if l == [] then 0

else (head l) + (somliste (tail l))

-- Version 2 (filtrage)Somliste’ :: [Int] -> IntSomliste’ [] = 0Somliste’ x:l’ = x + (somme1 l’)

> somliste [1..10]55

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Principe de récursion structurelle

• Une « liste de a » (l :: [a]) est :

– Soit la liste vide []– Soit la donnée x : l’

D’un élément x élément de type a (tête/head)Et d’une liste l’ liste d’éléments de type a (queue/tail)

• Une fonction f :: [a] -> b est définie par

– Une condition d’arrêt f [] = v0– Une clause récursive f (x:l’) = g x (f l’)

Combinant selon une certaine opération g la tête x et le résultat de f sur laqueue (f l’)

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• Fonctionnement : suite des appels récursifs

somliste’ [] = 0somliste’ x:l’ = x + (somliste’ l’)

somliste’ [1,2,3] -- décomposition x:l’= [1,2,3] ⇓1 + (somliste’ [2,3]) -- décomposition x:l’ = [2,3]

⇓2 + (somliste’ [3]) -- décomposition x:l’ = [3]

⇓3 + (somliste’ []) -- reconnaissance [] ⇓ 0

Résultat : 1 + 2 + 3 + 0 = 6A chaque étape, une opération a réaliser après l’appel récursif est

« empilée »

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• Raisonnement

f [] = v0f (x : l’) = g x (f l’)

- Si la donnée est [], la valeur de f est : v0- Supposons que l’on sache calculer

f l’ = v’ -- donnée + petiteAlors f (x : l’) = g x v’

sommeliste’ [] = 0sommeliste’(x:l’) = x + (somme1 l’)

- Si la donnée est [], la somme vaut 0- Supposons que l’on sache calculer

sommeliste’ l’ = v’ -- donnée + petiteAlors sommeliste’ (x : l’) = x+ v’