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Chapitre 13 : Repères et problèmes de géométrie
Chapitre 13 : Repères et problèmes de géométrie
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2nde10, lycée Les Eaux Claires
May 19, 2020
2nde10, lycée Les Eaux Claires
Chapitre 13 : Repères et problèmes de géométrie
Jeudi 14 mai 2020
2nde10, lycée Les Eaux Claires
Chapitre 13 : Repères et problèmes de géométrie1) Repères du plan
Plan du cours
1) Repères du plan
2) Distance dans un repère orthonormé
3) Coordonnées du milieu d’un segment
2nde10, lycée Les Eaux Claires
Chapitre 13 : Repères et problèmes de géométrie1) Repères du plan
Au collège
x
y
−2 −1 1 2 3 4 5 60−1
1
2
3
4A
2nde10, lycée Les Eaux Claires
Chapitre 13 : Repères et problèmes de géométrie1) Repères du plan
Notations
• L’axe horizontal est appelé axe des abscisses
• L’axe vertical est appelé axe des ordonnées
• Le point A a pour coordonnées (4,3)On écrit : A(4; 3)
Pour l’abscisse, on écrit : xA = 4Pour l’ordonnée, on écrit : yA = 3
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Chapitre 13 : Repères et problèmes de géométrie1) Repères du plan
Point sur un axe
• Un point M est situé sur l’axe des abscisses lorsque sonordonnée est nulleDonc lorsque yM = 0
• Un point N est situé sur l’axe des ordonnées lorsque sonabscisse est nulleDonc lorsque xN = 0
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Chapitre 13 : Repères et problèmes de géométrie1) Repères du plan
Vocabulaire
Un repère est dit orthonormé lorsque
• ses deux axes sont perpendiculaires
• les unités sur les deux axes sont égales
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Chapitre 13 : Repères et problèmes de géométrie2) Distance dans un repère orthonormé
Plan du cours
1) Repères du plan
2) Distance dans un repère orthonormé
3) Coordonnées du milieu d’un segment
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Chapitre 13 : Repères et problèmes de géométrie2) Distance dans un repère orthonormé
Formule
Pour calculer la distance entre deux points A et B dans un repèreorthonormé, on utilise la formule suivante :
AB2 = (xB − xA)2 + (yB − yA)2
AB =√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2
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Chapitre 13 : Repères et problèmes de géométrie2) Distance dans un repère orthonormé
Exemple 1
Calculer la distance AB avec A(3; 1) et B(2; 5)
AB2 = (xB − xA)2 + (yB − yA)2
AB2 = (2− 3)2 + (5− 1)2
AB2 = (−1)2 + (4)2
AB2 = 1 + 16 = 17
AB =√17 ≈ 4, 12
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Chapitre 13 : Repères et problèmes de géométrie2) Distance dans un repère orthonormé
Exemple 2
Calculer la distance EK avec E (−1; 0) et K (−4; 7)
EK 2 = (xK − xE )2 + (yK − yE )2
EK 2 = (−4− (−1))2 + (7− 0)2
EK 2 = (−3)2 + (7)2
EK 2 = 9 + 49 = 58
EK =√58 ≈ 7, 62
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Chapitre 13 : Repères et problèmes de géométrie2) Distance dans un repère orthonormé
Remarques
• L’unité utilisée pour les distances (calculées dans un repèreorthonormé) est l’unité commune aux deux axes du repère.
• L’ordre des points n’a pas d’importance : AB = BAOn peut échanger A et B dans la formule de calcul
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Chapitre 13 : Repères et problèmes de géométrie2) Distance dans un repère orthonormé
Mardi 19 mai 2020
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Chapitre 13 : Repères et problèmes de géométrie2) Distance dans un repère orthonormé
Explications (1)
A et B sont deux points. Ce paragraphe vient expliquer commentest obtenu la formule de calcul de la distance AB.
Pour pouvoir calculer AB, nous commençons par construire unnouveau point, nommé C , qui a :
• la même abscisse que A• la même ordonnée que B
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Chapitre 13 : Repères et problèmes de géométrie2) Distance dans un repère orthonormé
Explications (2)
x
y
−2 −1 1 2 3 4 5 60−1
1
2
3
4
A
B C
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Chapitre 13 : Repères et problèmes de géométrie2) Distance dans un repère orthonormé
Explications (3)
Nous avons construit C le point qui a :• C a la même abscisse que A donc : xC = xA
• C a la même ordonnée que B donc : yC = yB
Donc : C(xA, yB)
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Chapitre 13 : Repères et problèmes de géométrie2) Distance dans un repère orthonormé
Explications (4)
Par construction, le triangle ABC est rectangle en CDonc, d’après le théorème de Pythagore : AB2 = BC2 + AC2
De plus :
• BC2 = (xB − xC )2 = (xB − xA)2 car xC = xA
• AC2 = (yA − yC )2 = (yA − yB)2 car yC = yB
Finalement, en remplaçant, on obtient la formule donnée dans lecours :
AB2 = (xB − xA)2 + (yA − yB)2
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Chapitre 13 : Repères et problèmes de géométrie2) Distance dans un repère orthonormé
Mercredi 20 mai 2020
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Chapitre 13 : Repères et problèmes de géométrie3) Coordonnées du milieu d’un segment
Plan du cours
1) Repères du plan
2) Distance dans un repère orthonormé
3) Coordonnées du milieu d’un segment
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Chapitre 13 : Repères et problèmes de géométrie3) Coordonnées du milieu d’un segment
Calcul des coordonnées du milieu
On se place dans un repère du plan quelconque.
Soit P le milieu du segment [MN].
xP = xM + xN2 = 1
2(xM + xN) = moyenne (xM , xN)
yP = yM + yN2 = 1
2(yM + yN) = moyenne (yM , yN)
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Chapitre 13 : Repères et problèmes de géométrie3) Coordonnées du milieu d’un segment
Exemple 1
P est le milieu du segment [MN] avec M(3; 1) et N(5; 2)
xP = 12(xM + xN) = 1
2(3 + 5) = 4
yP = 12(yM + yN) = 1
2(1 + 2) = 1, 5
Placer les points et vérifier graphiquement.
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Chapitre 13 : Repères et problèmes de géométrie3) Coordonnées du milieu d’un segment
Exemple 2
A est le milieu du segment [CD] avec C(−4;−2) et D(−1; 2)
xA = 12(xC + xD) = 1
2(−4 + (−1)) = −2, 5
yA = 12(yC + yD) = 1
2(−2 + 2) = 0
Placer les points dans un repère et vérifier graphiquement.
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Chapitre 13 : Repères et problèmes de géométrie3) Coordonnées du milieu d’un segment
Exemple 3
R est le milieu du segment [ST ] avec R(2; 3) et S(5; 4)
Calcul des coordonnées de T .
Il faut ici résoudre une équation !
xR = 12(xS + xT )
2 = 12(5 + xT )
4 = 5 + xT
xT = −1
yR = 12(yS + yT )
3 = 12(4 + yT )
6 = 4 + yT
yT = 2
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Chapitre 13 : Repères et problèmes de géométrie3) Coordonnées du milieu d’un segment
Application 1 : le quadrilatère ABCD est-il unparallélogramme ?Méthode :
• On calcule les coordonnées du point S, milieu de [AC ]• On calcule les coordonnées du point T , milieu de [BD]• On compare les coordonnées des points S et T
• Si les coordonnées sont égales :les deux points S et T sont confondus.Donc les diagonales [AC ] et [BD] ont même milieu.On peut conclure que ABCD est un parallèlogramme
• Sinon (coordonnées différentes) :les diagonales n’ont pas le même milieu.ABCD n’est pas un parallèlogramme
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Chapitre 13 : Repères et problèmes de géométrie3) Coordonnées du milieu d’un segment
Application 2 : symétrique d’un point
Soit B le symétrique de A par rapport à K .
Pour calculer les coordonnées de B :
• On sait que K est le milieu de [AB]• On écrit les deux formules de calcul pour xK et yK , et onrésout les équations (comme pour l’exemple 3) pour obtenirxB et yB.
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