carte dspace
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Suivi entreprise : Ph. Dorlans, M. Farza, M. MSaad et J.F. Massieu
ENSICAEN Groupe de Recherche en Informatique, 6, bd marchal Juin Image, Automatique et Instrumentation de F-14050 Caen cedex 4 Caen (UMR 6072)
Spcialit Electronique - 3e anne Majeure Automatique et Informatique Industrielle
Rapport de projet
Observation et commande de moteurs asynchrones
Ismail HIMDI
2008-2009
-
Table des matires Introduction ................................................................................................................................ 3 1 Prsentation du Systme ...................................................................................................... 4
1.1 Banc dessai .................................................................................................................. 4 1.2 Electronique de puissance ............................................................................................. 6 1.3 Chane dacquisition ..................................................................................................... 8 1.4 Machine Asynchrone .................................................................................................... 9 1.5 Carte DSPACE 1103 ..................................................................................................... 9 1.6 Interface Control Desk ................................................................................................ 10
2 Modlisation du Moteur asynchrone ................................................................................. 11 2.1 Modle inductance couples .................................................................................... 11 2.2 Modle de la machine asynchrone exprim dans un repre , ................................ 12
3 Observateur ........................................................................................................................ 15 3.1 Introduction ................................................................................................................. 15 3.2 Synthse dun Observateur Grand Gain Direct .................................................... 16 3.3 Implmentation de lObservateur Grand Gain Direct ........................................... 19 3.4 Rsultats en simulation ............................................................................................... 20
3.4.1 Simulation idale .................................................................................................. 20 3.4.2 Simulation raliste ................................................................................................ 26
Conclusion ................................................................................................................................ 32 Rfrences bibliographiques .................................................................................................... 33 ANNEXES ............................................................................................................................... 34 ANNEXE I : Mise en quation du Moteur Asynchrone .......................................................... 35 ANNEXE II : Modlisation du moteur asynchrone ................................................................. 37 ANNEXE III : Calcul de lObservateur Grand Gain Direct .................................................... 42 ANNEXE IV: Expression de lobservateur de type grand gain ............................................... 47 ANNEXE V: Convergence exponentielle vers zro de l'erreur d'estimation ........................... 49 ANNEXE VI : Lien entre le schma Simulink et la reprsentation de lobservateur .............. 52
-
3
Introduction
Plus de la moiti de lnergie lectrique produite dans les pays industrialiss est
transforme en nergie mcanique par des moteurs. Les moteurs asynchrones produisent
autours de 70% de cette nergie mcanique et absorbent de 40 50% de lnergie lectrique.
Les performances requises de ces machines sont de plus en plus leves. Elles doivent allier
souplesse, prcision et fiabilit aux impratifs dconomie dnergie.
Dans ce cadre lEcole Nationale Suprieure dIngnieurs de Caen (ENSICAEN) et le
Groupe de REcherche en Informatique, Image, Automatique et Instrumentation (GRYEC) ont
propos un projet aux tudiants de dernire anne dont le sujet et le dveloppement sous
Matlab/Simulink dun observateur grand gain direct, permettant lestimation de la vitesse,
du couple de charge et des flux rotoriques.
Lenjeu dans le domaine industriel de cet observateur est assez important puisque cela
permet de saffranchir de la mesure de la vitesse, c'est--dire un capteur mcanique en moins
et donc une pice en moins changer en cas dusure, sans oubli la maintenance qui sen
trouve diminue.
Ce rapport prsente le travail ralis sur lobservation grand gain du moteur
asynchrone. Dans le premier chapitre on fera la description du systme et de son interfaage
avec le PC, ainsi que de lenvironnement logiciel c'est--dire le schma gnr sous Simulink
associ une interface graphique dveloppe sous Control Desk.
Le deuxime chapitre est consacr la modlisation complte du moteur asynchrone
par un systme dquations non-linaires dordre 5.
Enfin, le troisime chapitre prsentera lobservateur grand gain, son calcul, son
implmentation et enfin les rsultats en simulation.
Pour finir, on trouve les annexes reprenant les diffrents calculs.
-
4
1 Prsentation du Systme Le banc d'essai a pour but de mettre en place des stratgies de commande sur une
machine asynchrone rotor bobin (court-circuit dans le cadre de ce projet pour une
utilisation semblable une machine cage). Les commandes sont dveloppes sur ordinateur
sous un environnement Matlab/Simulink utilisant des blocs ddis la commande des
machines munis d'une carte DSPACE pourvue notamment d'un DSP.
L'interface de contrle et de visualisation des signaux entre l'oprateur et le systme
est ralise via CONTROL DESK, qui permet, partir du schma Simulink/Dspace, de
commander les signaux de contrle et de visualiser les signaux accessibles sous
lenvironnement Simulink.
1.1 Banc dessai Le banc dessai est compos dune machine asynchrone triphase de 3kW, dun frein
poudre, dun capteur de vitesse de type gnratrice dynamo tachymtrique et dun capteur de
couple (voir figure 1).
Figure 1 - Banc d'essai du moteur asynchrone
Le banc d'essai est constitu du moteur asynchrone (Voir figure 1), qui comprend tous
les lments mcaniques du systme, et de toutes les parties lectroniques qu'elles soient de
puissance, de commande, d'acquisition ou numrique. (Voir figure 2).
-
5
ALI
M.
+/-
15V
AD
CH
6
AD
CH
5
AD
CH
17
AD
CH
18
L1 L2 L3
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8
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7
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,5,6
,7,8
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18,1
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3 bot 1
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L1 N
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3~
Figure 2 - Schma de principe du banc d'essai
-
6
1.2 Electronique de puissance
Un autotransformateur (0-450V entre phases) permet d'ajuster le niveau de tension sur
le bus continu en sortie du pont redresseur diodes. L'ensemble redresseur diodes,
condensateurs (sur le bus continu), bras de ponts, drivers de bras de ponts sont compris dans
un montage didactique (voir figures 3 et 4).
L'onduleur de tension est constitu de trois bras de pont, IGBT et diodes, de chez
SEMIKRON, ils sont les bras attaquants la machine. Un quatrime bras peut galement servir,
une fois associ une charge rsistive et une commande approprie, protger la partie
lectronique de puissance des phases de freinage notamment (effectivement, le pont diode
n'tant pas rversible en courant, on risque une lvation du niveau de tension aux bornes du
bus continu durant les phases de freinage). La commande des bras de pont est ralise par
modulation de largeur d'impulsion (MLI/PWM). Il s'agit d'une commande MLI dont la
frquence de dcoupage fd choisie est de 10KHz.
Sorties de londuleur Alimentation ventilateur 230V
redresseur Borne + Borne + bus continu
Alimentation triphase (Auto-transfo) Borne -
redresseur Borne - Thermocontact
Figure 3 - Montage didactique vu de dessus
-
7
Le choix de la frquence fd a t limit par des contraintes matrielles, en l'occurrence
les filtres placs en amont des capteurs (Tchebytchef d'ordre 4 initialement, changs par des
Tchebytchef d'ordre 2), ont une frquence de coupure de 340Hz. Il suffit donc de repousser
les harmoniques de tensions/courants dus au dcoupage au del de 340Hz (fd >> 340Hz).
Nanmoins il ne faut pas dcouper des frquences trop leves afin d'viter les surtensions,
dues notamment aux inductances sries aux bornes des bras de ponts.
Signaux derreur Entres des drivers de bras de ponts Terre
Alimentation des drivers Lecture de temprature
Les drivers, quant eux, sont aliments en 0-15V or la carte DSPACE dlivre des
signaux entre 0-10V, on trouve donc une interface de puissance (montages Darlington)
0-10V 0-15V, de plus les drivers ncessitent un apport en courant suprieur la sortie de la
carte.
Figure 4 - Montage didactique vu de face
-
8
1.3 Chane dacquisition
Figure 5 - Schma de la chane d'acquisition
Les capteurs du banc d'essai sont les suivants :
3 sondes de tension LEM CV 3-1000 pour la mesure des tensions entre phases sur la
machine.
. 3 sondes de courant LEM LTS 25-NP ( compensation de flux) pour la mesure des
courants statoriques.
3 sondes de courant LEM LTS 25-NP ( compensation de flux) pour la mesure des
courants rotoriques.
1 gnratrice dynamo tachymtrique 10B0 pour la mesure de la vitesse.
1 couplemtre dynamique pour la mesure du couple moteur.
En amont des capteurs on trouve des filtres anti-repliements (FAR) de type
Tchebytchef d'ordre 2 qui coupent 340Hz (la frquence utile maximum des signaux mesurs
tant de 50Hz). Les convertisseurs analogiques/numriques (CAN/ADC) sont intgrs dans la
carte DSPACE, et la frquence d'chantillonnage fe choisie est de 10KHz (il faut que fe >>
50Hz).
Les capteurs effectivement utiliss sont les suivants :
2 sondes de courant LEM LTS 25-NP ( compensation de flux) pour la mesure des
courants statoriques (le troisime est calcul partir des deux autres).
2 sondes de tension LEM CV 3-1000 pour la mesure des tensions composes
statoriques (la troisime est calcule partir des deux autres).
Ainsi que les mesures de la vitesse et du couple qui seront au moins utilises pour valider les
rsultats obtenus.
-
9
1.4 Machine Asynchrone
Il s'agit d'une machine asynchrone triphase rotor bobin (court-circuit pour une
utilisation semblable une machine cage). Les caractristiques de cette machine sont les
suivantes (daprs la plaque signaltique) :
Us=220/380V
Is=14.7/8.5A
Ir=14A
Pu=3kW
Nnom=1430 tr/mn
Il sagit bien entendu des valeurs nominales.
1.5 Carte DSPACE 1103
La carte DSPACE assure les aspects logiciels et numriques de la commande, depuis
l'acquisition numrique des signaux d'entres jusqu'aux signaux (MLI/PWM) de commande
des bras de pont (signaux de sorties), en passant par les asservissements, qui sont ensuite
implants au sein de cette carte dans des mmoires FLASH alloues.
Cette carte est dveloppe autour d'un processeur de bureautique de chez IBM
(PowerPC 604e travaillant 400 MHz), mais a nanmoins vocation tre ddie la
commande des machines (voir figure 6). Effectivement elle possde un trs grand nombre de
priphriques, comme un DSP esclave (T-I DSP TMS32OF240 travaillant 20MHz), des
interfaces pour codeurs incrmentaux, des sorties PWM, des entres ADC (CAN) ou encore
des sorties DAC (CNA), qui sont gnralement des priphriques que nous allons retrouver
sur le march dans des DSP ddis la commande des machines lectriques.
Les programmes, dvelopps sous lenvironnement Simulink, sont implants au sein
de la carte, l'interfaage avec l'oprateur est ensuite assur par le logiciel d'interface graphique
CONTROL DESK.
-
10
POWER PC604e
INTERFACE DRAM GLOBAL
PC
I/O NUMERIQUE18 BITS
INTERFACESERIE
ENTREESANALOGIQUES
16 VOIES 10 BITS
4 ENTREESPRISES
1PWM 3 PHASES4PWM 1 PHASES
TMS320F240DSP
PORT DOUBLERAM
INTERFACE CANDU 80C164
DAC8 VOIES 14 BITS
ADC16 VOIES 16 BITS4 VOIES 12 BITS
CODEUR INCREMENTAL
7 VOIES
I/O NUMERIQUE32 VOIES
INTERFACE SERIERS232/RS422
PORT DOUBLERAM
CONTROLEURD'INTERRUPTION
2 TIMERS2 Mo
SRAM LOCAL
BUS ISA
BUS LOCAL
BUS GLOBAL
BUS I/O 16-32 BITS
DS1103
Figure 6 - Structure simplifie d la carte DSPACE1103
1.6 Interface Control Desk
Le logiciel CONTROL DESK est une interface graphique permettant la visualisation
de toutes les variables (de contrle, de retour capteur ...) disponibles sur les schmas
Simulink/Dspace de la commande. CONTROL DESK, alli DSPACE, qui offre des blocs
(sous Simulink) propres la commande des machines, permet d'avoir accs tous les signaux
utiles la commande de la machine et une bonne comprhension du systme.
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11
2 Modlisation du Moteur asynchrone
La premire tape avant de passer tout asservissement est dobtenir un modle du
moteur. Ce problme de modlisation a t largement trait dans la littrature concernant les
machines asynchrones ([01], [02]). Dans notre cas, on a recours un modle macroscopique,
qui prend en compte des grandeurs globales comme le courant, la tension, le flux et qui
permet dintroduire une approche base sur les circuits.
Lobjectif de cette identification est dobtenir un modle inductances couples,
modle de dpart utilis dans la thorie des commandes vectorielles, reposant sur les
hypothses simplificatrices suivantes :
H.1 Machine gomtrie symtrique
H.2 Machine entrefer lisse
H.3 Machine pertes ferromagntiques ngligeables
H.4 Machine rpartition sinusodale de linduction dans lentrefer (on ne
considre que le fondamental de cette induction)
2.1 Modle inductance couples
Le moteur asynchrone peut se mettre sous la forme dun modle inductances
couples, (Voir Annexe I Mise en quation du moteur asynchrone) :
Figure 7 - Modle induction couples
-
12
Les paramtres physiques de la machine sont les suivants:
la rsistance statorique Rs,
la rsistance rotorique Rr,
linductance cyclique totale statorique Ls,
linductance cyclique totale rotorique Lr,
linductance mutuelle statorrotor rotorstator (supposes identiques) M
et le glissement g,
Ce modle nous permet dobtenir 12 quations lectriques qui permettent de modliser
le moteur asynchrone.
2.2 Modle de la machine asynchrone exprim dans un repre ,
Afin de rduire le nombre dquations du modle triphas nous appliquons la
transformation de Park. Celle-ci consiste effectuer un changement de coordonne, qui
permet de rcrire dans (x,y z) les relations dfinies jusque l dans un repre triphas (1,2,3).
Ainsi, dans le nouveau repre les 12 quations du moteur asynchrone (tablies en
Annexe I) se rduisent 8.
Les quations de la machine dans le plan - sont donnes ci-dessous:
. . . . . . . !
. . . . . . . !
# . . . .
# . . . $ %.#&. '. . ( )&
* (1.1)
Avec,
+ , ; , ,#- - , ., /-)-
# ; 0 1 #- Coefficient de dispersion
-
13
Pour des raisons de simplicit, on pose :
si 1 =i composante du courant statorique (mesur)
si 2 =i composante du courant statorique (mesur)
r 1 = composante du flux rotorique (non mesur)
r 2 = composante du flux rotorique (non mesur)
vitesse de rotation mcanique (non mesur)
s v 1 =u composante de la tension statorique
s v 2 =u composante de la tension statorique
Modle non-linaire dordre 5 devient :
( )
=
+=
=
++=
+++=
LTJii
rJLmpL
rTpi
rTmL
prT
irTmL
usLrT
kkpii
usL
kprT
kii
11221
21
122
211
11
21
212 2
11
211 1
&
&
&
&
&
(1.2)
Dautre part, la norme du flux est dfinie de la faon suivante : 2221
2 +=
On pose :
=
2
1i
ii ;
=2
1 ;
=
2
1u
uu et aussi
=
2
1i
ii
&
&& ;
=2
1&
&&
Choisissons comme vecteur dtat:
=
i
x
+
+
=
=
2
11
0
01
2
1
2
10
0
2
1u
u
sL
sL
rT
kkp
kprT
k
i
i
i
ii
&
&&
+
+
=
=2
100
00
2
11
1
2
1
0
0
2
1u
u
rTp
prT
i
i
TL
TL
r
m
r
m
&
&&
( ) LTJiirJLmpL 1
2
101
1021
=&
-
14
En introduisant :
=
01
102J et ( ) 2 2
101
10
10
0111
1
JpIrT
prT
rTp
prTF
=
=
=
On obtient la forme condense suivante :
( )
( )
=
=
++=
LT
r
m
r
m
s
TJ
JiJL
pL
FiT
L
uL
Fki
1
1 i
2
&
&
&
(1.3)
-
15
3 Observateur
3.1 Introduction
La rsolution de nombreux problmes dAutomatique (commande, surveillance,
diagnostic...) exige, entre autres, de disposer tout moment de mesures de ltat du systme
tudi. Il va sans dire que la qualit de la solution dpend au moins en partie de la prcision
avec laquelle ltat est mesur. Dans le cas dune machine asynchrone, il faut disposer de
mesures de grandeurs lectromagntiques (courants, tensions, flux, couple lectromagntique)
et de grandeurs mcaniques (vitesse de rotation, couple de charge). Il existe des capteurs
physiques qui donnent directement ces mesures, seulement ils sont coteux et fragiles, et
ncessitent une maintenance. Pour contourner cette difficult, on a recourt des algorithmes
destimation en ligne des variables non mesurables. Ces algorithmes, dits observateurs ou
encore capteurs logiciels, reposent sur la connaissance dun modle du systme et sur les
mesures fournies par les capteurs physiques disponibles. Parmi les observateurs les plus
rpandus dans la littrature, on peut citer lobservateur de Luenberger et celui de Kalman.
Mais ces deux types dobservateurs sont conus pour les systmes linaires.
La synthse dobservateurs pour les systmes non linaires est quant elle beaucoup
plus difficile. Pour notre cas on choisit un observateur de type grand gain, qui estime les
composantes du flux rotorique, les courants statoriques, la vitesse du rotor et le couple de
charge.
-
16
3.2 Synthse dun Observateur Grand Gain Direct
Lobservateur dvelopp dans ce chapitre est de type grand gain direct. Cet
observateur est un Observateur Complet Entrer Inconnues et le terme direct est utilis ici
par opposition aux observateurs en cascade dvelopps lors des tudes prcdentes ([03],
[04]).
Le systme est reprsent par la forme condense suivante :
2 3 4 56 # 3 46 %#& 378 & +
* (2.1)
Avec 3 9338: ;
-
17
On va introduire le changement de variable suivant : M 4
M @ A 78 Et par consquent 4NM Dans ces conditions on obtient une nouvelle reprsentation du systme :
2 3 M 5M6 6 786 6 6 %#& 378 & +
* (2.2)
Il faut maintenant calculer M6 : M6
-
18
En posant X 3 ; z8 M ; XZ [ on construit alors lobservateur suivant (Voir Annexe IV: Expression de lobservateur de type grand gain) :
XH6 XH X8H 5 3]^X XH X8H6
-
19
3.3 Implmentation de lObservateur Grand Gain Direct
Pour limplmentation de lobservateur grand gain je me suis bas sur la structure dtat
prsente au (2.5). Pour tester lobservateur, jai gard la commande scalaire implmente
prcdemment.
Ainsi, on peut ci-dessous voir le schma Simulink complet intgrant lobservateur et la
commande :
Figure 8 - Schma Simulink complet
-
20
La partie de limplmentation est celle qui a demand le plus de travail. Durant
llaboration du schma Simulink jai rencontr plusieurs problmes :
La complexit des quations implmenter (voir le chapitre 2.3).
Les boucles algbriques qui napparaissent pas lors de lanalyse thorique.
La priode dchantillonnage (Trs petite par rapport au code gnr).
Les erreurs dimplmentation, trs difficiles dbusquer au vu des nombreux blocs
sous Simulink.
3.4 Rsultats en simulation Les performances de lobservateur grand gain direct dvelopp dans ce chapitre pour
le moteur asynchrone sont illustres par voie de simulation. La machine est reprsente par
son modle thorique (1.1).
Lobservateur fournit une estimation des grandeurs lectriques et mcaniques,
savoir :
Courants statoriques en A
Flux rotorique en Wb
Vitesse de rotation en rd/s
Couple de charge en N.m
A travers les simulations, nous mettrons en vidence les performances et les limites de
lobservation dans diffrentes conditions de fonctionnement du moteur :
Simulation idale :
Simulation raliste.
3.4.1 Simulation idale Pour cette partie jai utilis uniquement le modle du moteur asynchrone, sans prendre
en compte les filtres anti-repliement, la MLI, et les bruits de mesure sur la tachymtrie (le
capteur de vitesse).
En premier lieu et pour des raisons de simplicit, jai mis le couple de charge 0 N.m.
Ci-dessous nous avons les diffrentes figures qui mettent en uvre les variables mesures et
leurs estimes, pour un gain dobservation gh = 1000.
-
21
Figure 9 - Courants statoriques en simulation idale
Figure 10 - Flux rotoriques en simulation idale
-
22
Figure 11 - Vitesse mesure, vitesse estime et consigne
On remarque sur les trois figures que les courants, les flux et la vitesse estims sont
tous confondus avec leurs mesures respectives.
Maintenant, on va faire varier le couple + et voir son effet sur lestimation de la vitesse. On esseyera de faire suivre au couple trois trjectoires diffrentes.
-
23
Premire trajectoire :
Figure 12
Figure 13
-
24
Deuxime trajectoire :
Figure 14
Figure 15
-
25
Troisime trajectoire :
Figure 16
Figure 17
-
26
3.4.2 Simulation raliste Pour cette partie, jai ajout au modle thorique du moteur asynchrone, le modle des
filtres anti-repliement, leffet de la MLI, et les bruits de mesure sur la tachymtrie, pour avoir
le comportement le plus raliste possible.
En effet, les tensions et courants sont mesurs via un filtre anti-repliement du second
ordre. Ce filtre entrane un dphasage dont il faut tenir compte. Donc, on rajoute un bloc
devant lobservateur qui compense le dphasage d au filtre.
De plus, les tensions appliques rellement au stator ne sont pas celles calcules par le
rgulateur : il faut tenir compte de la MLI. On rajoute alors un bloc qui simule le
fonctionnement de la MLI.
En premier lieu et pour des raisons de simplicit, jai mis le couple de charge 0 N.m.
Ci-dessous nous avons les diffrentes figures qui mettent en uvre les variables mesures et
leurs estimes, pour un gain dobservation gh = 200.
Figure 18 - Vitesse mesure, vitesse estime et consigne
-
27
Figure 19 - Zoom sur la figure 10
Figure 20 - Zoom sur les courants statoriques
-
28
Figure 21 - Zoom flux rotoriques
En analysant les quatre figures on remarque que la vitesse estime suit parfaitement la
vitesse mesure ; de plus, on remarque que la vitesse estime est moins bruite ce qui
permettrait davoir de meilleurs performances si on lutilisait pour la rgulation.
On remarque aussi que lestime des courants est bruite cause de la MLI et que les
deux composantes du flux suivent parfaitement.
Maintenant, on va faire varier le couple + , de la mme faon que dans le chapitre prcdent, et voir son effet sur lestimation de la vitesse.
-
29
Premire trajectoire :
Figure 22
Figure 23
-
30
Deuxime trajectoire :
Figure 24
Figure 25
-
31
Troisime trajectoire :
Figure 26
Figure 27
-
32
Conclusion
Ce projet ma permis de mettre en uvre un observateur de type grand gain direct
sur un systme non-linaire dordre 5, savoir le moteur asynchrone. Jai pu dautre part
travailler sur ce moteur en temps rel et me familiariser avec linterface Control Desk.
De plus le travail ralis lors de ce projet ma vraiment t profitable. En effet, le
modle non-linaire du systme ma permis de dvelopper une certaine aisance avec les
calculs mathmatiques ainsi quavec lobservation grand gain. Lobservateur de type grand
grain direct a t implment avec succs et fonctionne correctement.
Enfin, je tiens remercier tout particulirement Messieurs Phillipe DORLEANS et
J.F. MASSIEU qui se sont beaucoup investie dans ce projet et mon rendu le travail agrable et
enrichissant.
-
33
Rfrences bibliographiques [01] Himid OUADI, Modlisation, observation et commande de la machine asynchrone
sature , Thse, Avril 2002.
[02] Erik ETIEN, Sbastien CAUET, Laurent RAMBAULT, commande vectorielle sans capteur des machines asynchrones , Edition Lavoisier, 2005.
[03] Julien DUFOUR et Sylvain PERON, Commande d la machine asynchrone sans capteur mcanique , Rapport de stage, 2008.
[04] Phillipe DORLEANS et J.F. MASSIEU, Plate-forme Machine asynchrone et carte DSP1103 , Dossier de recherche.
-
34
ANNEXES
-
35
ANNEXE I : Mise en quation du Moteur Asynchrone
Le schma lectrique quivalent de la machine asynchrone reprsente le stator par
trois enroulements identiques auxquels sappliquent les tensions statoriques ! (avec k=1, 2, 3). Quant au rotor, il est reprsent par trois enroulements identiques court-circuits (figure
1).
Schma lectrique du moteur asynchrone
Les grandeurs associes au stator sont marques par la lettre s en indice. Celles du
rotor sont marques par la lettre r. Lorsque le moteur est configur en toile, les sommes des courants parcourant le rotor
et le stator, sont nulles, soit : 3 38 3Z 0
(AI.1) 3 38 3Z 0
Lexpression des tensions aux bornes des roulements du stator et du rotor est donne par application de la loi des mailles au schma de la figure 1:
i!j8Z kl 0 00 l 00 0 lm . ij8Z
n ij8Z (AI.2)
i!j8Z kl 0 00 l 00 0 lm . ij8Z
n ij8Z k000m (AI.3)
Notons que les flux dans un enroulement k (du stator ou du rotor) sont cre par les
courants qui circulent dans les diffrents enroulements (stator et rotor). Ainsi :
-
36
ij8Z ko 0 00 o 00 0 om . ij8Z p. ij8Z (AI.4) ij8Z ko 0 00 o 00 0 om . ij8Z p. ij8Z (AI.5) O, l la rsistance dun enroulement rel du stator, l la rsistance dun enroulement rel du rotor, o linductance propre dun enroulement rel du stator, o linductance propre dun enroulement rel du rotor, M inductance magntisante.
On notera enfin que les grandeurs tensions, flux et courants sont exprims dans un
repre triphas, daxes situs dans un mme plan et dcals deux deux dun angle de 8qZ .
On obtient ainsi un modle inductances couples, modle de dpart utilis dans la
thorie des commandes vectorielles, pour reprsenter la machine asynchrone. Ce modle
prsente lavantage dtre identifiable exprimentalement (certains modles de machine
asynchrone ne le sont pas) :
-
37
ANNEXE II : Modlisation du moteur asynchrone
Transformation de Park des grandeurs statoriques et rotoriques
Plusieurs possibilit existent pour le choix du repre diphas (x,y). On cite en particulier :
- Le repre fixe r, s, li au stator - Le repre tournant (d,q) qui peut par exemple tre li au champ tournant, au rotor,
ou encore au courant statorique La matrice de Park et Park inverse ([01]) sont dfinies sous la forme suivante :
tu v8Z . BCD 8 8 8cosu cosu 8qZ cosu 8qZ sinu sinu 8qZ sinu 8qZ JK
L (AII.1)
tuN v8Z . BCD 8 cosu sinu8 cosu 8qZ sinu 8qZ 8 cosu 8qZ sinu 8qZ JK
L (AII.2)
O u reprsente langle de la transformation (Voir figure ci-dessous). Ce dernier dpend du repre choisi et de la position de la grandeur physique considre (au stator ou au rotor).
a
c
b
0 u
}~
-
38
Dans notre cas pour la passage du repre triphas (1,2,3) au repre r, s, on pose u 0 pour les grandeurs du stator et u ] pour les grandeurs du rotor. Ainsi, dans le repre r, s li au stator, le passage de la reprsentation triphase des grandeurs lectromagntiques du moteur asynchrone vers la reprsentation diphase correspondantes est donne par :
!! t0. i!j8Z , t0. ij8Z , PQ t0. ij8Z (AII.3) !! t]. i!j8Z , t]. ij8Z , PQ t]. ij8Z
Equations des tensions et des flux dans le repre ,
Lapplication de la transformation de Park aux quations triphases (AI.2)(AI.5) du moteur asynchrone conduit :
Equations des tensions statoriques et rotoriques dans le repre r, s
! l.
(AII.4)
! l.
(AII.5)
! l .
. 0 (AII.6) ! l .
. 0 (AII.7) O correspond la pulsation mcanique et p le nombre de paire de ples de la
machine.
Equations des flux statoriques et rotoriques dans le repre r, s
o. p. (AII.8) o. p. (AII.9)
o . p. (AII.10) o . p. (AII.11)
-
39
Reprsentation dtat du moteur asynchrone Il existe plusieurs reprsentations dtat possibles pour un moteur asynchrone. Les
reprsentations diffrent, dune part, par le repre diphas choisie (r, s ou , ) et, dautre part, par les variables dtat associes.
Les entres du modle sont les tensions statoriques ! et !. Or, les entres physiques du moteur sont les composantes triphases i!j8Z. Pour passer du systme (! >? ! au systme i!j8Z, on utilise une transformation de Park inverse.
Le choix des variables dtat dpend des objectifs de commande ou dobservation.
Dans le cadre de ce projet, nous avons retenu une variable mcanique la vitesse du rotor et
quatre variables lectromagntiques : les courants statoriques et les flux rotoriques. Le choix
des courants du stator se justifie par le fait quils soient mesurables. Quant au choix des flux
du rotor il dict par le fonctionnement naturel du moteur.
Le vecteur dtat considr est donc le suivant :
} i j (AII.12)
Equations dtat des flux rotoriques A partir de lquation (1.10), on dduit :
l . . (AII.13) Comme nest pas une variable dtat, il doit tre exprim en fonction des composantes du vecteur dtat X dfini par (1.16). A cet effet, il suffit dutiliser lexpression tablie dans (1.14), ce qui donne :
p. (AII.14)
En substituant (AII.14) dans (AII.13) , on dduit :
, . #., . . (AII.15)
-
40
Il sagit de la premire quation dtat du moteur asynchrone. De faon similaire, en partant
de (AII.7) et en utilisant (AII.11) , on dduit :
, . #., . . (AII.16)
Equations dtat des courants statoriques A partir de lquation (AII.4) , on dduit :
! l. (AII.17)
Puis, en drivant lquation (AII.8) par rapport au temps, on dduit :
o.
p.
(AII.18)
On remarque ainsi lgalit des deux termes (AII.17) et (AII.18) , ce qui nous donne :
! l. o.
p.
(AII.19)
Comme nest pas une variable dtat, il doit tre exprim en fonction des composantes du vecteur dtat X dfini par (AII.12) . A cet effet, il suffit dutiliser lexpression tablie dans
(AII.14) et la drive par rapport au temps, ce qui donne :
p.
(AII.20)
# .
En substituant (AII.15) dans (AII.20) , on obtient :
, . #., . . # .
(AII.21) ,- . #.,- . %$ . # .
Puis, en substituant (AII.21) dans (AII.19) , on obtient : o.
-
41
Ainsi les quations (AII.22) et (AII.23) reprsentent les deux autres quations dtat du
moteur asynchrone.
Equations dtat de la vitesse du rotor
Le principe fondamental de la dynamique, appliqu au mouvement de rotation du rotor
conduit lquation dtat suivante de la vitesse du moteur :
$ %.#&. '. . ( )& (AII.24)
O + dsigne le couple de charge (ou couple rsistant) et J linertie totale ramene larbre du moteur.
Reprsentation dtat finale du moteur asynchrone
Le modle du moteur asynchrone est donc form par les 5 quations dtats (AII.15) ,
(AII.16) , (AII.22) , (AII.23) et (AII.24). Pour des raisons de commodit, nous posons :
+ , ; , ,#- - , ., /-)-
# ; 0 1 #- Coefficient de dispersion Et en substituant dans les quations dtats, on obtient :
. . . . . . . !
. . . . . . . !
# . . . .
# . . . $ %.#&. '. . ( )&
* (AII.25)
Lquation retrouv ici est celle qui utilise dans le rapport sous le numro (1.1)
-
42
ANNEXE III : Calcul de lObservateur Grand Gain Direct
Calculons les paramtres de la nouvelle reprsentation du systme :
2 3 M 5M6 6 786 6 6 %#& 378 & +
* Calcul de M6 : M6 6 786 6 M6
-
43
Pour pouvoir continuer les calculs, il faut avoir lexpression de SV$S$ : 4N. M @ A
N . M < =-.%$- @
A . M SV$S$ N8%-$< =-.%$-- @
A . M < =-.%$- 90 0 : . M
SV$S$ N%< =-.%$-- 8%$ 288 < =8 8288 < =8 8 8%$ . M
SV$S$ N%< =-.%$-- 8%$ < =8 8 < =8 8 8%$ . M
SV$S$ N%`.%-$--- @8%$ N%-$--- N%-$--- 8%$ A . M SV$S$ N%-.%-$--- c 2+ 1 88+81 88+8 2+ d . M SV$S$ N%-.%-$--- c 2+ 1 88+81 88+8 2+ d .
-
44
@
-
45
O 7o1 88+88
-
46
T&.%-$--- %& 8T-&.%-$--- %& N @
%& %& 8 T-&.%-$--- T&.%-$---A Avec : det %&-.%-$--- O O88
-
47
ANNEXE IV: Expression de lobservateur de type grand gain
Equation d'tat du systme : ( ) ( )xuxBbAxx ++=& et 1xCxy ==
Avec :
( )( )
( )
( )
( )x
nxxunf
xxxxuf
xxxuf
xxuf
+
=
=
, ... ,1,
4,3,2,1,3
3,2,1,2
2,1,1
nx
3x2x1x
x
M
&
M
&
&
&
&
Cest--dire : ( )xu
unf
u
fu
fu
f
nxnf
xnf
nxnf
x
f
x
fx
f
x
f
x
fx
f
x
f
+
+
=
=
MM
LLL
MMMM
LK
MO
L
&
M
&
&
&
& 3
2
1
nx
3x2x1x
1
1
04
3
1
33
2
2
2
1
2
002
1
1
1
nx
3x2x1x
x
On veut obtenir la forme d'tat suivante : ( ) ( )z'uzb'B'zA'z ++=& et y = C z
Avec :
=
00
0'
IA
=
IB
0' cest--dire :
( )
=
==
==
zu,nz
2z3z1z2z
1xy1z
M
&
&
Exprimons les termes de la drive du nouveau vecteur dtat :
( )2,1,11x1z xxuf== && ( )
( )( )
( )( )
( )( )
( ) 222,1,1
11
2,1,12,1,1,
2,1,12z xx
xxufx
x
xxufu
u
xxuf
x
u
xu
xxuf&&&
&
&&
+
=
=
( )( )
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )
+
=
== 2
2
2,1,11
1
2,1,12,1,1,,
2,1,1,23
z xx
xxufx
x
xxufu
u
xxuf
xux
u
xu
xxuf
xuz &&&
&
&&&&
Avec ( )3,2,1,22x xxxuf=& En ne retenant que le terme diagonal, cest--dire la relation entre 3z& et 3x& , on obtient :
( )( )
( )( ) 33
3,2,1,2
2
2,1,1.........3z xx
xxxuf
x
xxuf&&
+=
-
48
On peut crire :
=
=
nx
3x2x1x
04
3
3
2
2
1
03
2
2
1
02
1
1
10001
nz
3z2z1z
z
&
M
&
&
&
LLL
MMM
OK
MO
L
&
M
&
&
&
&
x
f
x
f
x
fx
f
x
fx
f
x
f
Equation de l'observateur grand gain : ( )1 Tgain de l 'observateur
z A z Bb(z)u (z) S C C z z+ = + + & 1442443
est un scalaire positif
= diag n 11 1
I I I
L
S est solution unique symtrique et dfinie positive de l'quation de Lyapunov
suivante : T TS A S SA C C+ + =
On dfinit l'erreur d'estimation par : (t) z (t) z(t) =
( ) 1 T (t) z (t) z(t) A (t) B b(z) b(z) u (z) (z) S C C (t)+ = = + + && &
1 T (t) z (t) z(t) A (t) (u,z) (u,z) S C C (t)+ = = + && & Avec (u,z) Bb(z) (z) et (u,z) Bb(z) (z) = + = +
-
49
ANNEXE V: Convergence exponentielle vers zro de l'erreur d'estimation
L'objectif est de montrer la convergence exponentielle vers zro de l'erreur d'estimation. Cette
dmonstration est tablie partir d'une quation de Lyapunov utilisant l'erreur pondre :
(t) (t) (t) (t)+ = =
1 T(t) A (t) (u,z) (u,z) S C C (t)+ = + &
( ) 1 T(t) A (t) (u,z) (u, z) S C C (t)+ + = + &
or T T T
A A A A
C C C C et S S 0
+
+
= =
= = >
( )1 T (t) A (t) S C C (t) (u, z) (u,z) = + &
On va montrer que V : T(t) V( ) S = a est une fonction de Lyapunov pour
l'observateur. Il faut donc vrifier que la drive de V( ) est strictement ngative.
T TV( ) S V( ) 2 S 0 ? = =
-
50
( )T V( ) V( ) 2 S (u,z) (u,z) + &
D'autre part, ( ) ( )(u,z) (u,z) (u, z) (u,z) (u, z) z zz z z
+
= = =
Puisque la fonction (u,z) est Lipschitzienne, (u, z)z
est borne et compte tenu de
la structure de (u,z) , cette matrice est triangulaire infrieure. Par consquent, la matrice
(u, z)
z+
ne dpend que des termes en 1/ et sa norme est borne par une constante
indpendante de , 1 .
Il rsulte que : (u,z)
1,z
+
T (u,z)V( ) V( ) 2 Sz
+
+
&
1442443
2
V( ) V( ) 2 S + &
En posant min max, les valeurs propres respectivement minimale et maximale de S,
on peut crire que :
2 2 2T T T
min max min maxmin
V( )S V( )
On en dduit que :
2
max
min
max
min
V( ) V( ) 2 S
V( ) 2 V( )
2 V( )
+
+
&
Pour affirmer que V( ) V( ) & et donc dmontrer la convergence de
l'observateur, il faut choisir tel que maxmin
2 0 >
. Dans ce cas, la fonction de Lyapunov
s'exprime de la manire suivante :
-
51
max
min
V( ) exp 2 V( (0)) =
On a donc une convergence exponentielle vers 0 de l'erreur d'observation pour
certaines valeurs de relativement grandes.
-
52
ANNEXE VI : Lien entre le schma Simulink et la reprsentation de lobservateur
La figure suivante reprsente le schma Simulink de lobservateur :
-
53
Pour simplifier limplmentation en prend un vecteur dtat X de 10 variables : } i51 52 31_>? 32_>? M1_>? M2_>? 31 32 +o j Avec,
X(1) -> 51 5 .
X(2) -> 52 5 .
X(3) -> 1_>? E X(4) -> 2_>? E X(5) -> M1_>? M X(6) -> M2_>? M8 X(7) -> 31 3 X(8) -> 32 3 X(9) -> +o Couple de charge X(10) -> Nombre de ples * La Vitesse Puis en se basant sur lquation (2.5) :
E6 E M 5 3]^3 EM6
-
54
Composante2 = -u(10)*(M/Tr*u(3)-u(5))-p*(Tr/(1+Tr^2*u(10)^2)*(u(5)-u(10)*u(6)*Tr))*(Tr*p*M/(J*Lr*(1+Tr^2*u(10)^2))*(-u(3)*(u(6)+u(10)*u(5)*Tr)+u(4)*(u(5)-u(10)*u(6)*Tr))-u(9)/J)
Pour les blocs f5(X) et f6(X), ils permettent de calculer les estimes du flux rotorique et statorique :
4NM < =-.%$- @ A . M
f5(X) = Tr/(1+Tr^2*u(10)^2)*(u(5)-u(10)*u(6)*Tr)
f6(X) = Tr/(1+Tr^2*u(10)^2)*(u(6)+u(10)*u(5)*Tr)
Enfin la dernire quation fait intervenir le calcul de f1, f2 et dun dterminant (Voir la fin de lAnnexe III). Pour cela, on cre un sous systme sous Simulink dans lentre est le vecteur X et les sorties sont f1, f2 et 1/det :
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