asi 3 méthodes numériques pour l’ingénieur
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ASI 3
Méthodes numériquespour l’ingénieur
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes :
Gauss, LU,
Ax=b : un cas simpleA est une matrice diagonale
nia
bx
ii
ii ,1 ,
n
i
n
i
nn
ii
b
b
b
x
x
x
a
a
a
1111
000
00
0000
00
000
fait
àjusqu' 1pour
ii
ii a
bx
ni
Fonction x = diago(A,b)
problème
solution
Algorithme
A est de forme triangulaire
1
1
1
1
11
i
jjiji
iii xab
ax
ab
x
n
i
n
i
nnnin
iii
b
b
b
x
x
x
aaa
aa
a
11
1
1
11
0
00
0
000
fait
omme
fait ommeomme
1 àjusqu' 1pour
omme
àjusqu' 2pour
11
11
iii
jij
i
as
x
xassij
bs
ni
ab
x
ommes
Fonction x = triang(A,b)
Commentaires sur le programme « diago »
• Complexité ?
• Déterminant :
• que se passe t’il si A est triangulaire supérieure ?
• Exercice :
n
iiiaA
1)det(
Quels sont les âges d’Alice, de Louis, Sacha et Gaspar ?Sachant que trois fois la somme des âges des garçons est égale à la somme des âges des filles, que l’âge d’Alice moins trois fois la somme des âges de Louis et de Sacha est égal à moins neuf, que trois fois l’âge de Louis est égal à vingt sept, et que l’âge de Louis moins deux fois l’âge de Sacha est égal à 3.
Pivot de Gauss4 principes fondamentaux
On ne change pas la solution lorsque l’on :
1. permute 2 lignes
2. permute 2 colonnes
3. divise par un même terme non nul les éléments d’une ligne
4. ajoute ou retranche à une ligne un certain nombre de fois une autre ligne
Stratégie : Transformer le système linéaire en un système équivalent … facile à résoudre
Triangulaire !
Pivot de Gauss : un exemple
6 2
8 2 3
0 3
6242
432
4321
421
321
xxx
xxxx
xxx
xxx
pivot (1)
Pivot de Gauss : un exemple
6 2
8 2 3
0 3
6242
432
4321
421
321
xxx
xxxx
xxx
xxx
(2) = (2)-a21/pivot (1)
Pivot de Gauss : un exemple
6 2
8 2 3
0 3
6242
432
4321
421
321
xxx
xxxx
xxx
xxx
6 2
8 2 3
3 0
6242
432
4321
432
321
xxx
xxxx
xxx
xxx
(2) = (2)-a21/pivot (1)
Pivot de Gauss : un exemple
6 2
8 2 3
0 3
6242
432
4321
421
321
xxx
xxxx
xxx
xxx
6 2
71 2 4 7 0
3 0
6242
432
432
432
321
xxx
xxx
xxx
xxx
(3) = (3)-a31/pivot (1)
Le première variable à été éliminée de toutes les équations sauf une
1. Triangularisation
2. Résolution du système triangulaire
L’algorithme du pivot de Gauss
A x = b
fait problème""sinon fait
fait
àjusqu' 1pour
àjusqu' 1pour
alors 0 si
*)pivot de stratégie (*
1 àjusqu' 1pour
kjik
ijij
kik
ii
kk
apivot
aaa
nkj
bpivot
abb
nki
pivot
apivot
nk
Fonction A,b = descent(A,b)
Gauss : résolution d’un système triangulaire
1
1
n
ijjiji
iii
n
nn
xaba
x
a
bx
n
i
n
i
nn
inii
ni
b
b
b
x
x
x
a
aa
aaa
111111
000
0
00
0
fait
omme
fait ommeomme
àjusqu' 1pour
omme
1 àjusqu' 1pour
iii
jij
i
nn
nn
as
x
xassnij
bs
ni
a
bx
ommes
Fonction x = triang(A,b)
Gauss
U,c = descent(A,b)
x = triang(U,c)
Fonction x = Gauss(A,b)
RemarquesChoix du pivot : minimiser les erreurs d’arrondis si un pivot est nul, on permute deux lignes si tous les pivots restant sont nuls la matrice est singulière (i.e. le système d’équations n’admet pas de solution unique)
pour minimiser les erreurs d’arrondis : on choisi le plus grand pivot possible (en valeur absolue) et donc on permute les lignes (voir les colonnes associées) c’est la stratégie du pivot maximal (partiel (lignes) ou total)
Comment inverser une matrice ? Avec l’algorithme de gauss on peu résoudre directement
déterminant d’une matrice = produit des pivots
IAAcbAzcAybAx
1 : doncet ; et
Exemple
2
1
11
110 4
x
Trouver x en ne gardant que 4 chiffres significatifs après la virgule
44
44
102
1
1010
110 ,10: xpivot
edddd 10 .0 :tionreprésenta
1
0
10
1
100
11044
4
xx
Que se passe t’il si on prend le système à l’envers...
Exemple
2
1
11
110 4
x
Trouver x en ne gardant que 4 chiffres significatifs après la virgule
44
44
102
1
1010
110 ,10: xpivot
edddd 10 .0 :tionreprésenta
1
0
10
1
100
11044
4
xx
Que se passe t’il si on prend le système à l’envers...
; ; :ement matriciell
,...,1pour
,...,1pour
)()()1()()()1(
)()(
)()()1(
)()(
)()()1(
kkkkkk
kkk
kk
kikk
ik
i
kkjk
kk
kikk
ijk
ij
bMbAMA
ba
abb
nkjaa
aaa
nki
Représentation matricielle de l’élimination de Gauss
LcbLUA
LcUxbAx
et
: que telle matrice la rechercheon
A chaque étape de l’algorithme...
Les cas du second membre b
; :ement matriciell )()()1(
)()(
)()()1(
)()(
)()()1(
)()(
)(,1)(
1)1(
1
)()1(
)(1
)1(1
kkk
kkk
kk
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n
kkk
kk
kikk
ik
i
kkk
kk
kkkk
kk
k
kk
kk
kk
bMb
ba
abb
ba
abb
ba
abb
bb
bb
1000
0
100
0010
0001
;
,
,1
)(
kn
kk
k
kk
ikik
m
m
M
a
am
M (k) ?
Les cas du second membre b
; :ement matriciell )()()1(
)()(
)()()1(
)()(
)()()1(
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)(,1)(
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kkk
kkk
kk
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ik
i
kkk
kk
kkkk
kk
k
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ba
abb
ba
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ba
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bb
bb
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0
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0010
0001
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,
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)(
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kk
k
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m
m
M
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Factorisation
1000
0
100
0010
0001
;
; ; :ement matriciell
,
,1
)(
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k
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m
m
Ma
am
bMbAMA
LUAML
UMAAM
AMMMMAMM
AMAU
M
nn
nnn
nnn
aon posant en
...
1
1
)1()2()2()1(
)2()2()1(
)1()1()(
LU : motivation
On connaît la matrice A
on ne connaît pas encore b
comment « préparer A » ?
LU : principeIl est si facile le résoudre un système « triangulaire » !
)2(
)1(
yUx
bLybAx
LUA
L
U
A0
0Comment construire Let U ?
idée : reprendre l’étape de triangularisation de la méthode de Gauss
De Gauss à LU
UAAAAMA nkkk )()1()()()1( et
Représentons une étape de la triangularisation par la multiplication de A par une matrice M(k)
kjkk
ikijij
kkk
ikii
aa
aaa
ba
abb
100
0100
0
001
,
,1
)(
,,
kn
kk
k
kikk
ikki
M
ma
a
1
1
)1()()1(
donc
......
ML
LUUMA
MAAMMMU kn
gauss
LU : la décompositionLes matrices élémentaires M(k) sont inversibles et leurs inverses sont les matrices L(k) triangulaires inférieurestelles que :
,n kil
nil
l
L
ikik
ii
ijk
1 sauf
,1 1 sauf
0 )(
IMIL kk )()(
100
0100
0
001
,
,1
)(
kn
kk
kM
100
0100
0
001
,
,1
)(
kn
kk
kL
)1()()1( ...... LLLL kn C’est la matrice lik
L’algorithme de décomposition
fait problème""sinon fait
fait
àjusqu' 1pour
àjusqu' 1pour 1
alors 0 si
*)pivot de stratégie (*
1 àjusqu' 1pour
kjikijij
ikik
kk
kk
aaankj
pivot
anki
pivot
apivot
nk
Fonction L,U = décompose(A)
Exemple
2
1
2
1
12
121
11
12
1
111
122
121
Montrez que :
LU : l’algorithme
L,U = decompose(A)
y = triang(L,b)
x = triang(U,y)
Fonction x = LU(A,b)
A=LU
n
ii
n
iiiuUULLUA
11pivot)det()det()det()det()det(
Théorème : Si au cours de l’élimination de Gauss sur la matrice A, les pivots sont non nuls,
alors il existe une matrice triangulaire inférieure L et une matrice triangulaire supérieure U, telle que :
A = LUsi de plus on impose à L d’avoir les éléments diagonaux égaux à un alors la factorisation est unique
LUUMA
MAAMMMU kn
1
)1()()1(
......Démonstration : (éléments)
unicité : par l’absurde
Remarque : (déterminent)
A=LUThéorème : Si au cours de l’élimination de Gauss sur la matrice A, les pivots sont non nuls,
alors il existe une matrice triangulaire inférieure L et une matrice triangulaire supérieure U, telle que :
A = LUsi de plus on impose à L d’avoir les éléments diagonaux égaux à un alors la factorisation est unique
11
20A
Contre exemple trivial :
Réorganisation du système linéaire : permutation des lignes et des colonnes
RECHERCHE DU MEILLEUR PIVOT
La factorisation PA=LU
Définition : Si la matrice A, est non singulière alors il existe une matrice de permutation P telle que les pivots de PA sont non nuls. (TL chapitre 4)
)2(
)1(
yUx
PbLybAx
LUPAL,U,P = decompose(A)
y = triang(L,P*b)
x = triang(U,y)
Fonction x = LU(A,b)
Si est égal à zéro,on échange (permute) deux lignes
kka
Matlab !
PA=LU : étape k
UAAAAPMA
Ankkkk
k
)()1()()()()1(
)(
et avec
matrice la permuteon étape chaqueAvant
Théorème : Si la matrice P (k), est la matrice de permutation des colonnes p et q
alors
10000
0
1
00
1
10
00
0001
~
1000
0
1
10
0
001avec ~ encoreou
~~ ;
)()(
)()()()(
)()()()(
a
bL
b
aL
LPPLPLPLki
ii
ikki
kiki
q
p
k
PA=LU
ULPA
ULPA
PPLPPL
ULLLPPPULPLPLPA
APMPMPMAU
APMA
A
kkk
nknk
nnkk
kknnn
kkkk
k
~et
~ :oud'
~posant en
~~~
: algorithmel'pour tout soit
matrice la permuteon étape chaqueAvant
)1()()()()1(
)1()()1()1()()1(
)1()1()()()1()1(
)1()1()()()1()1()(
)()()()1(
)(
A expliquer !
• Si on a pas besoin de permutation : – on peut faire plus « efficace »
• sinon– pivot partiel :
permutation de colonnes
– pivot total : permutation de ligne et de colonnes (plus cher)
• préconditionnement ou Equilibrage d’un système linéaire– Modifier le système d’équations pour diminuer les risques
d’erreurs
• Amélioration itérative
Choix du pivot
~ alors ~~
~ ; \ ; \
rrxAbr
exxrAeAxbrbAx
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