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Analyse statistique des données expérimentales

Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques

John Taylor

Plan

• Introduction : incertitudes sur les données

• Probabilités

• Distributions de probabilités

• Incertitudes, propagation des incertitudes

• Ajustement de courbes

Mesure et incertitude

• Toutes les quantités mesurées le sont à une précision finie

• La science de la mesure consiste à– mesurer à la meilleure précision possible– d’évaluer l’incertitude sur la mesure

Erreur vs incertitude

• Erreur : écart entre la mesure et la valeur vraie (en général inconnue)

• Incertitude : écart probable• Les barres d’incertitude contiennent probablement

la valeur vraie• Attention de ne pas sous-évaluer l’incertitude• Mieux vaut une mesure présentant une grande

incertitude mais qui contienne la valeur vraie que l’inverse

Mesure et incertitude

• Chiffres significatifs et mesure

• Quelle est la signification de :– Albert a 22 ans– J’ai parcouru 100 kilomètres à vélo– Le LEP mesure 26,66 km de circonférence– Ce pointeur laser éclaire à 50 m– This laser pointer shines to 54,68 yards

Mesure et incertitude

• Quelle est la signification de:– G = (6,67428 ± 0,00067) × 1011 m3 kg1s2

– me = (9,10938215 × 1031 kg) ± 50 ppb

– www.physics.nist.gov/constants

Chiffres significatifs

a = 7,35678 ± 0,345 (utilisation incorrecte)

a = 7,3 ± 0,3

a = 7,356 ± 0,04

a = 7,3568 ± 0,005

a = 7,35678 ± 0,0007

On arrondit l’incertitude à 1 chiffre significatif

On arrondit la valeur au dernier chiffre significatif

Chiffres significatifs (exemple)

• Soit a = 3 m et b = 7 m• a/b = 0,428571 ... ?• a/b = 0,4

Incertitude

• Erreur de mesure

• Erreur systématique

• Incertitude aléatoire

• Incertitude sur une quantité dérivée

• Propagation des incertitudes

• Distribution de probabilité

Erreur de mesure

• Mesure de distance avec une règle graduée en millimètres:– La précision ~ ½ mm

• Mesure de tension avec un multimètre:– La précision dépend de l’appareil– L’appareil est très précis mais la tension varie

Erreur systématique

• Vous avez mesuré une longueur à ± ½ mm– Mais la règle est fausse de 10% !

• Vous avez mesuré une tension à 0,01%– Mais l’appareil est décalibré de 5%

• Vous avez fait une mesure avec grand soin– Mais un des appareils était débranché

Incertitude aléatoire (statistique)

• Vous répétez une mesure 100 fois

• Les résultats se ressemblent mais ...

Incertitude

• L’ensemble des valeurs possibles sont décrites par une distribution de probabilité

• L’incertitude représente un intervalle à l’intérieur duquel la vraie valeur se trouve probablement

• L’incertitude = 1 déviation standard

Incertitude

Quelle est la signification de:– G = (6,67428 ± 0,00067) × 1011 m3 kg1s2

– me = (9,10938215 × 1031 kg) ± 50 ppb

– L’incertitude = une déviation standard– La probabilité que la vraie valeur soit dans cet

intervalle est de 68%

Exemple de mesures

• Fréquence d’un pendule (~ 1 s)

• Chronomètre très précis (~ 1s par an)

• À quelle précision puis-je mesurer la période ?– quelques dixièmes de seconde

• L’histogramme présente une fluctuation

• Je peux moyenner sur plusieurs périodes

Exemple de mesures

• Fréquence de ma respiration

• Même précision de mesure que précédemment

• L’histogramme est plus large

• Le phénomène présente plus de variabilité que la précision de la mesure

• Je peux moyenner

Incertitude relative ou fractionnaire

– G = (6,67428 ± 0,00067) × 1011 m3 kg1s2

– G = 6,67428 × 1011 m3 kg1s2

– G = 0,00067 × 1011 m3 kg1s2

– G/G = 0,00067/ 6,67428 = 10-4 = 0,01 %

– me = (9,10938215 × 1031 kg) ± 50 ppb

– me/ me = 5 × 108

– me= 4,6 × 108 kg

Propagation des incertitudesAdditions et soustractions

• a = 9 ± 3 a entre 6 et 12

• b = 7 ± 2 b entre 5 et 9

• s = a + b = 16 ± 5 car s entre 11 et 21

• d = a b = 2 ± 5car d entre 3 et 7

Propagation des incertitudesProduits et quotients

• a = 29 ± 3 a entre 26 et 32

• b = 37 ± 2 b entre 35 et 39

• ab = 1073 et est entre 910 et 1248

Probabilitéset

Statistiques

Probabilité

• Probabilité qu’un événement X se produise

NNP

succès de nombrelim

Où N = nombre d’essais

Probabilité

• On lance un dé

• 6 résultats possibles

• Chaque résultat a un pi = 1/6

10 ip

1 ip Normalisation

Complément

• p = la probabilité que X se produise

• 1 p = la probabilité que X ne se produise pas

• q = 1 p est le complément de p

Calcul de la probabilité

• 1) Calculez le nombre total de combinaisons N, supposées équiprobables

• 2) Calculez le nombre de ces combinaisons qui représentent un succès S

• 3) p = S/N

Calcul de probabilité

• Probabilité de tirer 3 avec 1 dé

• 1) N = 6 possibilités

• 2) S = 1 seule bonne combinaison

• 3) p = 1/6

Calcul de probabilité

• Probabilité de tirer une somme de 4 avec 2 dés

• 1) N = 6 x 6 = 36 possibilités

• 2) S = 3 (1,3) (2,2) (3,1)

• 3) p = 3/36 = 1/12

Calcul de probabilité

• Probabilité de tirer une somme de 7 avec 2 dés

• 1) N = 36

• 2) S = 6 (énumérez les)

• 3) p = 6/36 = 1/6

Distribution de probabilité

• Indique la probabilité de succès pour chaque type d’événement

• Se présente sous forme graphique

Distribution pour 1 dé

Somme de 2 dés

Distributions

• Propriétés des distributions– Moyenne, mode, médiane– Valeur attendue– Moments

• Distributions de probabilité particulières– Binôme, Gauss, Poisson, ...

2 types de distributions

• Distributions discrètes

• Distributions continues

Distributions discrètes

(comme on a déjà vu)

– P(xi) > 0 pour des xi discrets

– P(xi) = 0 partout ailleurs

1 ip

Somme de 2 dés

Distributions continues

• Le nombre de résultats permis est • Chaque résultat a une probabilité = 0

• On définit la densité de probabilitéf(x) dx = probabilité de trouver le résultat entre

x et x + dx

Normalisation: 1)(

dxxf

Distribution continue

Mode

• Valeur la plus probable

= 7 pour la somme de 2 dés

Non défini pour un dé

Non défini pour pile ou face

Médiane

• Point qui sépare la distribution en 2 moitiés égales

• = 7 pour la somme de 2 dés

• = 3,5 pour un dé (ou toute valeur entre 3 et 4)

Moyenne

• Ou valeur attendue

• Discrète :

• Continue :

dxxxp

xpx ii

)(

)(

Pour une distribution symétrique

• Moyenne = Mode = Médiane

Valeur estimée

• Moyenne = – est la valeur attendue (ou estimée) de x– Notée

• La moyenne de x est la valeur estimée de x

• La valeur attendue de toute fonction f(x) est

dxxxpxpx ii )(ou )(

dxxpxfxpxff ii )()(ou )()(

x

Normalisation

1)(1)(

1)(1)(

dxxpdxxp

xpxp ii

La normalisation représente la valeur attendue de 1qui est bien sûr égale à 1

Propriétés de la valeur attendue

nn xx

xgbxfaxbgxaf

)()()()(

Ex: N lettres au hasard dans N enveloppes

Combien y a-t-il de lettres dans la bonne enveloppe?

Xi= 0 ou 1 selon que la lettre i est dans la bonne enveloppe ou non

Ex: N lettres au hasard dans N enveloppesCombien y a-t-il de lettres dans la bonne enveloppe?

Xi= 0 ou 1 selon que la lettre i est dans la bonne enveloppe ou non

1/1*/1

1

NNNXXX

XXNX

ii

i

i

Quel que soit N, il y a en moyenne 1 lettre dans la bonne enveloppe

Moments

• Différentes distributions peuvent avoir la même moyenne mais être différentes

Moments

• On peut représenter une distribution par l’ensemble de ses moments

22

1

0 1

xm

µm

m

xm ii

...

Normalisation

Moyenne

Moments centrés

• On soustrait la moyenne pour recentrer

22

1

0

0

1

µxµ

µ

µ

µxµ ii

Normalisation

Moyenne recentrée = 0

Variance = s

...

Écart-type

• Représente la largeur de la distribution

= Écart quadratique

moyen

= Déviation moyenne

22

2222

22

22

22

222

2

2

2

2)(

xxs

xxµx

µµµx

µxµx

µµxx

µµxxµxs

Mesure et incertitude

• Je mesure une quantité 5 fois

• x = 17, 16, 18, 17, 18

• Quelle est la valeur probable de x et son incertitude ?

7,02,17

0,75

1

2,175

1

22

x

µx

xxµ

i

i

Probabilité de N événements

• Obtenir 25 piles en 35 lancers

• Obtenir 30 fois 6 en 100 lancers

• Que 10 noyaux de radium se désintègrent en 5 minutes

• Que la bactérie se divise 20 fois en 1 heure

• Que 8 de vos 10 mesures soient dans un certain intervalle

Distribution binômiale

• On lance un dé 100 fois

• La valeur attendue du nombre de 6 est ~17

• Quelle est la probabilité de tirer r fois 6 ?

• Toutes les séries (a1, a2,..., a100) sont équiprobables

• La probabilité de 6 à chaque case est p = 1/6

• Chaque combinaison de r succès et nr échecs a une probabilité

rnr pp )1(

)!(!

!

rnr

n

r

n

rnrB pp

rnr

npnrP

)1(

)!(!

!);;(

•Il y a combinaisons de r succès

Probabilité pour r succès et nr échecs =

67,1)1(

33,36/20

pnp

npµ

727,3)1(

66,166/100

pnp

npµ

Désintégration radioactive

• 1 g de radium = 2,7*1021 atomes = 1 Ci = 1,7*1010 désintégrations/s

• Demi-vie = 5,26 *108 min ~ 1000 ans

• Probabilité qu’un atome donné se désintègre dans les 5 minutes est faible p ~ 108

• µ = np = 5*1012 désintégrations en 5 minutes

• Probabilité de r désintégrations =

rnrB pp

rnr

npnrP

)1(

)!(!

!);;(

Mais n! est impossible à calculern est très grandp est très petitnp = µ est finiOn remplace p par µ/n

r

nr

r

r

n

r

r

rnr

B

nµ

nµ

µ

rn

rnnn

nµnµ

n

µ

rnr

n

n

µ

n

µ

rnr

npnrP

)1(

)1(

!

)1)...(1(

)1(

)1(

)!(!

!

)1()!(!

!);;(

1)1)...(1(lim

11lim

1lim

)1(

)1(

!

)1)...(1();;(

r

r

µn

r

nr

rB

n

rnnn

n

n

µ

n

en

µ

n

nµ

nµ

µ

rn

rnnnpnrP

Distribution de Poisson

),(!

);;(lim

)1(

)1(

!

)1)...(1();;(

µrPr

µepnrP

n

nµ

nµ

µ

rn

rnnnpnrP

P

rµ

B

r

nr

rB

n = 10, p = 0,5µ = 5

n = 100, p = 0,05µ = 5

Propriétés de la distribution de Poisson

• Normalisation

• Écart-type

1!

!),(

0

0

µµ

x

xµ

x

xµ

P

eex

µe

x

µeµxP

µnppnp )1(

Rayons cosmiques

• 180 rayons cosmiques / (m2 min)

• Combien en passe-t-il en 10 secondes ?

• µ = 180*10/60 = 30

• On peut prédire qu’il passera

rayons cosmiques en 10 secondes

3030

5,530

30

secondes 10

7,13

3

seconde 1

Distributions de Poisson

• Nombre de fautes de frappe dans une page

• Nombre d’individus vivant plus de 100 ans

• Nombre de émis par une source

• Nombre d’incendies à Montréal par semaine

• Nombre de gens tirant le numéro gagnant

Additivité

• x obéit à

• y obéit à

• Alors, z = x + y obéit à

),,( pmxPB

),,( pnyPB),,( pnmzPB

22yxz

yxz

Additivité

• x obéit à

• y obéit à

• Alors, z = x + y obéit à

),( 1µxPP

),( 2µyPP),( 21 µµzPP

22yxz

yxz

Distribution gaussienne

• La distribution de Poisson est asymétrique

• Mais devient plus symétrique pour µ grand

• Pour µ>30, la distribution est symétrique

5,530

30

secondes 10

7,13

3

seconde 1

Distribution gaussienne

• Abraham de Moivre 1733

• Distribution continue de à

• Maximum en x = µ

• Forme en cloche

• D’application très générale – Théorème de la limite centrale

• Approximation de pour µ grand

),( µxPP

Distribution gaussienne

• Taille des individus

• QI

• Incertitudes

• Vitesse des molécules

2

2

2

2

1)(

µx

G exP

Distribution gaussienne

• 2 paramètres : µ et • Symétrique autour de µ

Additivité

• x obéit à

• y obéit à

• Alors, z = x + y obéit à

),,( xxG µxP ),,( yyG µyP

),,( zzG µzP

22yxz

yxz

Distribution normale

• Distribution gaussienne

• µ = 0

= 1

Fonction tabulée

Fonction standard

2

2

2

1)(

x

N exP

Distribution normale

1

1

%6868269,0)( dxxPN

68,0

68,0

5,0)( dxxPN 68,0P.E.

35,2Largeur à mi-hauteur

Distribution gaussienne

35,2

68,0..

2

1)(

%6868269,0)(

68,0

68,0

EP

dxxP

dxxP

G

G

Fonction erreur erf(x)

21

)(

1)(

2

2

2

2

aerfdxedxxP

dxeaerf

a

a

xa

aN

a

a

x

Fonction erreur

5,0)2/68,0(

68,0)(

1)(

0)0(

2

erf

erf

erf

erf

Théorème de la limite centrale

• Sans démonstration

• Indique pourquoi tant de phénomènes obéissent à une distribution gaussienne

Théorème de la limite centrale

• Soit xi i = 1, ..., n n variables indépendantes

• Les xi obéissent à des distributions caractérisées par des µi et des i

• Alors, est distribuée selon une

• gaussienne avec

n

iix

1

n

ii

n

iiµµ

1

22

1

et

5,530

30

7,13

3

Lorentz

• Pas de lien avec les autres distributions

• Phénomènes de résonance

• Circuits RLC

Lorentz

• est infini

• On utilise

222

21

µxPL

Lorentz