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Algèbre Animation pédagogique de l’inspection régionale de mathématiques Alain DIGER mai 2003
L’ALGEBRE ET EN PARTICULIER
LE CALCUL LITTERAL
DE LA 6ème à la 2de
Document de synthèse du travail conduit
pendant les journées d’animation pédagogique
destinées aux coordonnateurs des collèges de l’académie d’Orléans-Tours
Inspection Pédagogique Régionale de Mathématiques
Année scolaire 2002-2003
Ce document comporte 36 pages auxquelles il faut ajouter 12 pages d’annexes
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Algèbre Animation pédagogique de l’inspection régionale de mathématiques Alain DIGER mai 2003
PLAN DU DOCUMENT
1. Présentation
1.1. Objectifs du présent article …………………………………………. page 4
1.2. Le rôle des coordonnateurs …………………………………………. page 4
1.3. Le point de vue adopté ………………………………………………. page 5
2. Eléments à prendre en compte
2.1. Des documents récents ……………………………………………… page 7
2.2. L’enseignement du calcul : une révolution qui s’accélère ………….. page 8
2.3. La classe de 6ème marque le début de l’enseignement de l’algèbre …. page 9
2.4. Des évaluations permettant de dresser un bilan des débuts de
l’apprentissage de l’algèbre ………………………………………….. page 10
2.5. La classe de 5ème, niveau initiatique essentiel au
raisonnement algébrique ……………………………………………... page 12
2.6. Le point de vue « vertical » sur le calcul littéral ……………………. page 13
3. La progression proposée
3.1. Présentation …………………………………………………………. page 14
3.2. Explicitation de certains choix ……………………………………… page 14
3.3. Le chapitre 0 : « Raisonner en mathématiques » …………………… page 16
3.4. Le chapitre 2 : « Calculs sur les nombres décimaux » ……………… page 17
3.5. Le chapitre 4 : « Additions et soustractions de nombres relatifs » …. page 18
3.6. Le chapitre 6 : « Nombres en écriture fractionnaire » ……………… page 20
3.7. Le chapitre 10 : « Expressions littérales » ………………………….. page 21
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4. Des situations de classe
4.1. Sit Pb1 : Une activité de première rencontre avec
la lettre nombre généralisé …………………………………………… page 23
4.2. Dms C1 et Dms C2 : construction de l’addition
et de la soustraction des nombres décimaux relatifs ………………… page 26
4.3. Sit Pb2 : des programmes de calcul pour travailler
sur les expressions littérales ………………………………………… page 31
Annexes
Annexe 1 : documents supports du travail en atelier (études d’erreurs)
Annexe 2 : proposition de progression en cinquième
Annexe 3 : documents relatifs au chapitre 0 « Démontrer en mathématiques »
Annexe 4 : fiche d’institutionnalisation finale du chapitre 10 « Expressions littérales »
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1. Présentation
1.1. Objectifs du présent article
Comme l’an dernier à propos de la symétrie axiale, cet article vise à fournir une
synthèse du travail effectué lors des huit journées d’animation pédagogique qui ont réuni
successivement les coordonnateurs de mathématiques des différents départements de
l’académie, cette fois autour du thème de l’algèbre.
Chacun des coordonnateurs trouvera donc ici une synthèse du travail auquel il a
participé. Cette synthèse est élargie. D’abord parce que chaque journée d’animation a présenté
ses caractéristiques propres qui ont participé à l’enrichissement de ce document. Ensuite parce
que, comme toujours en pareil cas, eu égard à l’ampleur du thème abordé, le temps disponible
sur chaque réunion a imposé des limites au travail qui a pu être conduit. Ce document permet
d’alimenter un peu plus la réflexion. Il inclut notamment des propositions pour travailler sur
le test d’égalité en cinquième.
1.2. Le rôle des coordonnateurs
Une des fonctions de cet article est aussi d’encourager et faciliter la tâche de
démultiplication, souvent ardue, qui est celle des coordonnateurs dans leur établissement.
Force est de constater que le travail collectif au sein des équipes pédagogiques de
mathématiques reste très inégal. Pourtant chacun semble bien conscient que la discipline que
nous enseignons nécessite à la fois une cohérence forte et des temps d’apprentissage souvent
longs, dépassant largement l’année scolaire, sur des grands thèmes comme celui dont il est
question ici. L’approche « verticale » proposée devrait inciter à construire une démarche
visant à installer collectivement une stratégie d’enseignement du calcul littéral sur les quatre
années du collège. Si on ne peut attendre qu’une situation idéale s’installe rapidement partout,
il reste que nous faisons appel au sens des responsabilités de chacun des coordonnateurs pour
que cet article parvienne effectivement à tous les collègues de son établissement. Pour être
plus précis, il nous semble que les tâches minimum suivantes pourraient faire l’objet d’un
consensus :
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Algèbre Animation pédagogique de l’inspection régionale de mathématiques Alain DIGER mai 2003
i ) s’assurer que chaque collègue a eu connaissance et accès aux quatre articles
diffusés à ce jour dans la boîte des coordonnateurs ;
ii ) s’assurer que ces quatre articles sont disponibles au CDI ou ailleurs à la portée de
tous les collègues. (on peut ajouter à ces documents ceux qui ont servi de support à
l’installation des programmes actuels en particulier celui de 6ème 1. On trouve dans ce
document une proposition, « Les règles du débat mathématique »2, pour aborder la
démonstration. Ces règles du débat concernent essentiellement le raisonnement géométrique.
L’annexe 3 propose une version modifiée pour accorder une plus grande place au
raisonnement algébrique ;
iii ) proposer systématiquement aux nouveaux professeurs de mathématiques nommés
dans l’établissement l’accès à ces documents, tout particulièrement lorsque ces nouveaux
nommés se trouvent être des professeurs débutants, et encore plus particulièrement lorsque
ces professeurs débutants le sont sans avoir bénéficié au préalable d’une formation
professionnelle.
1.3. Le point de vue adopté
Comme l’an dernier encore, une partie importante de ce document est consacrée à une
proposition d’organisation de l’enseignement sur une année particulière. Il s’agit toujours,
après avoir pris en compte des contraintes ambitieuses, de montrer l’existence possible d’une
telle organisation. Il ne s’agit évidemment pas de fournir un modèle à suivre mais plutôt de
proposer une voie à explorer, susceptible d’enrichir la réflexion et de fournir des solutions
alternatives à celles généralement retenues dans les manuels.
L’an dernier, s’agissant de la symétrie axiale, le choix de privilégier le niveau sixième
allait de soi pour tout le monde. Cette année, s’agissant du calcul littéral, le choix de
privilégier le niveau cinquième n’apparaissait pas aussi évident a priori. Il s’agit déjà d’un
résultat fort, qui s’est imposé au cours des différents ateliers qui ont été organisés dans les
réunions de coordonnateurs : contrairement à ce que pourrait laisser penser une lecture de
surface des programmes, le niveau cinquième constitue bien le socle sur lequel l’édifice du
calcul littéral se construira dès la classe de quatrième.
1 Inspection Pédagogique Régionale de Mathématiques – MAFPEN. Document sur le nouveau programme de sixième. Académie d’Orléans-Tours, janvier 1996, 93 p. 2 Pressiat André. Initiation au raisonnement déductif en 6è-5è, p 37-41
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Enfin, ébaucher une progression annuelle est un geste professionnel très impliquant. Il
amène à faire des choix, comme celui fait ici, d’accorder une place privilégiée aux
programmes de calcul. Il sollicite les conceptions personnelles et on pourra les retrouver au
travers des différents points déjà listés l’an dernier :
• la nature spiralée de la progression qui permet d’éclairer les grands thèmes par
des entrées diverses et d’allonger la durée disponible pour la réflexion et la
maturation ;
• la place et la forme des révisions pour lesquelles tout systématisme est évité.
L’expérience montre en effet que des révisions systématiques, d’abord ne sont
pas efficaces, mais surtout hypothèquent gravement la mise en place d’une
progression annuelle cohérente. Il s’agit donc là d’un premier écueil à éviter
absolument ;
• la place réservée au raisonnement dans les exercices mais aussi dans le cours,
en particulier pour justifier les techniques employées ;
• le recours à des dispositifs d’enseignement variés, de l’activité ouverte à
l’exposé magistral ;
• la mise en place volontariste de devoirs à la maison ;
• une gestion de l’hétérogénéité reposant aussi souvent que possible sur des
activités pouvant être exploitées à des niveaux cognitifs successifs ;
• le souci de présenter le savoir nouveau dans des situations problématisées où
ce savoir apparaîtra indispensable, ce qui légitimera son apparition ;
• le souci de travailler sur le fond et les concepts avant de travailler sur la forme
ou les techniques.
Il s’agit d’un deuxième écueil majeur à éviter sur lequel nous allons nous arrêter un instant
car il est particulièrement sensible dans l’enseignement de l’algèbre. Le travail technique ne
peut pas faire avancer l’apprentissage d’un élève dans le cas où ses connaissances
conceptuelles sont insuffisantes. Là encore le piège se referme sur le plan horaire : le temps
investi dans des exercices techniques est en général excessif et improductif parce que le temps
investi dans l’approche conceptuelle a été insuffisant. Le document d’accompagnement des
programmes de la classe de première3 souligne bien ce phénomène. Il nomme « gammes » ces
exercices techniques répétitifs (page 10 du document cité) dont il souligne certes le caractère
indispensable, mais aussi la nécessité qu’il y a à les mettre en œuvre de façon raisonnée. Cette 3 Ce document est disponible sur le cédérom « accompagnement des programmes de lycée rentrée 2002 », édité par le Scéren (CNDP) et distribué à deux exemplaires dans les collèges.
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raison commande d’abord de ne pas les proposer aux élèves trop prématurément : les bases
conceptuelles, le sens doivent être installés auparavant. Dans ces conditions, la longueur de ce
travail n’a aucune raison d’être excessive mais il faut pour cela se garder de vouloir faire
jouer à ces exercices techniques un rôle d’installation du sens des notions en jeu, rôle que ces
exercices sont incapables de tenir. Dans la suite, ce document reprendra ce terme de
« gammes » pour désigner ces exercices techniques répétitifs et proposera, ce sera un enjeu
essentiel, des situations d’enseignement visant à permettre au préalable une installation aussi
réussie que possible des concepts concernés.
2. Eléments à prendre en compte
2.1. Des documents récents
La parution de nouveaux programmes en amont du collège, au cycle 3 de l’école, mais
aussi en aval, au lycée, intéresse doublement le professeur de collège. D’abord parce que leur
connaissance est nécessaire pour mettre en cohérence le plan d’enseignement sur le collège.
Ensuite parce que ces nouveaux textes marquent une évolution forte en particulier sur
l’enseignement du calcul. Les rapports produits par la Commission de Réflexion sur
l’Enseignement des Mathématiques4, et notamment celui concernant le calcul, inscrivent ces
évolutions dans une perspective plus large.
Ces trois documents (programme du cycle 3, programmes du lycée avec pour chacun
de riches documents d’accompagnement et rapport de la CREM) constituent des sources
d’informations riches et convergentes.
4 Constituée en 1999 à la demande du ministère, la CREM est présidée par le professeur Jean-Pierre Kahane. Elle a produit un rapport de synthèse et quatre rapports d’étapes sur la géométrie, l’informatique et l’enseignement des mathématiques, le calcul, les probabilités et statistiques. Ces rapports sont disponibles sur le site Eduscol ou en livre aux éditions Odile Jacob.
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2.2. L’enseignement du calcul : une révolution qui s’accélère
Commençons par un constat sans concession de la CREM sur l’enseignement du
calcul :
« Le calcul renvoie à une activité purement mécanique, automatisable, sans
intelligence, il est réduit à sa part mécanisée. Son apprentissage renvoie à l’idée
d’entraînement purement répétitif. »
(CREM. Rapport d’étape sur le calcul, p16)
L’absence d’intelligence est évidemment un reproche fort s’agissant d’un enseignement des
mathématiques pour lequel la formation au raisonnement est précisément un objectif essentiel.
Outre cette carence qualitative, un tel enseignement se heurte de plus en plus rudement à des
réalités qui mettent en cause sa raison d’être :
« On estime par ailleurs que, si l’on dispose d’instruments pour effectuer la partie
mécanisée du calcul, il n’y a plus rien à apprendre puisque le calcul s’y réduit. »
(CREM. Rapport d’étape sur le calcul, p16)
Or ces instruments, nos élèves en disposent effectivement : ce sont les calculatrices
numériques et bientôt ce seront les calculatrices formelles. Il est donc urgent, si on veut éviter
que l’enseignement de l’algèbre ne perde son sens et sa légitimité, de prendre enfin ces
réalités en compte. Mais alors quelle direction donner à cet enseignement ?
La CREM fournit une réponse claire :
« Il nous semble tout à fait essentiel de mettre mieux en évidence la fonction
généralisatrice du calcul algébrique et sa valeur d’outil de preuve. Ceci peut se faire très tôt
avec des situations très simples, en se limitant à des objets familiers à l’élève… »
Une telle ambition peut surprendre voire faire naître des craintes : cela signifie-t-il que nos
élèves ne doivent plus apprendre à calculer ?
(CREM. Rapport d’étape sur le calcul, p16)
Le document d’accompagnement des programmes de terminale, dont la portée est générale
pour l’enseignement des mathématiques et non limitée au cycle terminal, fournit une réponse
sans appel :
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Algèbre Animation pédagogique de l’inspection régionale de mathématiques Alain DIGER mai 2003
« La maîtrise du calcul reste un objectif de base de l’enseignement des
mathématiques… faciliter l’acquisition de réflexes qui tout à la fois libèrent la pensée et
procurent confiance en soi. L’acquisition de ces réflexes doit cependant respecter
l’intelligence de calcul et répondre à un besoin avéré sur le long terme… »
(accompagnement des programmes de terminale, p10)
Ainsi donc apprendre à calculer reste bien un enjeu majeur mais il doit s’inscrire plus
visiblement dans une formation générale dont l’objectif essentiel est, pour les mathématiques,
l’apprentissage de la rationnalité.
Tout le travail présenté dans la suite vise ainsi à montrer que chaque règle de calcul qui
apparaît répond à un besoin d’une part, se construit rationnellement d’autre part. On
n’oubliera pas non plus de situer autant que possible le travail des élèves dans un contexte qui
sollicite leurs capacités de recherche, leur intérêt, leur créativité… Bref tout ce qui peut être
une manifestation de cette intelligence de calcul que la CREM appelle de ses vœux.
2.3. La classe de 6ème marque les débuts de l’enseignement de l’algèbre
Roland CHARNAY5 soulignait que du cycle 3 à la classe de 6ème « la progression
n’est pas marquée par une répartition des notions entre école et collège, mais plutôt par
l’évolution des niveaux de conceptualisation, de formulation et des méthodes de résolution. »
Ceci constitue une particularité du programme de la classe de sixième. Elle peut
conduire certains élèves, mais aussi des collègues, à sous estimer les difficultés et
l’importance de ce programme de sixième. Ces thèmes de travail inchangés peuvent donner
l’illusion dangereuse d’une banale reprise des contenus de l’école. En réalité, sur chaque
thème, la mathématisation progresse fortement. C’est le cas sur la symétrie axiale, où le
travail conduit l’an passé a permis de réfléchir à cette transition entre les pratiques
expérimentales de l’école et les pratiques de démonstration abordées en fin d’année de
sixième, notamment en utilisant la symétrie axiale, cette fois pour étudier mathématiquement
des figures du programme. C’est une évolution tout à fait comparable, mais sans doute encore
davantage masquée, qui est à l’œuvre sur le thème des quotients. A l’idée de partage de
l’unité qui est construite à l’école autour de l’écriture ¾ par exemple, va s’adjoindre en
5 Roland Charnay est professeur à l’IUFM de Lyon et chargé de recherche en didactique des mathématiques à l’INRP. Il a participé à l’élaboration des nouveaux programmes de l’école ainsi qu’à ceux du collège.
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sixième une représentation algébrique, à savoir : ¾ est l’unique nombre qui vérifie 4 × ? = 3.
Comme dans l’exemple précédent de la symétrie axiale, il s’agit là de l’ouverture d’une porte
sur un monde mathématique aux possibilités insoupçonnables pour les élèves. Là encore cette
approche nouvelle autorisera une vraie construction mathématique dans laquelle toutes les
règles de calcul trouveront des raisons d’exister et des preuves de leur validité.
L’évaluation d’entrée en cinquième de septembre 2002 a montré que ce travail engagé
en sixième sur les quotients est évidemment loin d’être achevé à ce niveau. C’est une force
que le professeur de sixième doit posséder : être conscient que la définition des quotients est
un enjeu fort à long terme et que les difficultés soulevées méritent d’être combattues dans la
durée. De telles difficultés accompagnent d’ailleurs inévitablement toute remise en question
des connaissances antérieures. Mais les surmonter constitue une nécessité pour progresser
dans l’apprentissage.
En sixième, un autre point du démarrage de l’enseignement de l’algèbre et du calcul
littéral, consiste en l’apprentissage de la substitution dans une expression littérale d’une lettre
par une valeur numérique. Ce travail s’engage fréquemment avec des formules de géométrie,
par exemple celle donnant la longueur du cercle. Il convient d’être conscient de sa grande
importance pour la suite et de développer à chaque occasion qui se présente cette compétence
dans un cadre moins contextualisé que celui de ces formules de géométrie dans lesquelles les
lettres en jeu ont un statut algébrique faible.
2.4. Des évaluations permettant de dresser un bilan des débuts de l’apprentissage de
l’algèbre
Le moment de travail en ateliers qui s’est tenu dans chaque réunion de coordonnateurs
s’est appuyé sur trois évaluations et a consisté à analyser les erreurs produites par les élèves.
Ces trois documents figurent dans l’annexe 1. Résumons quelques conclusions obtenues sur
ces trois études :
L’étude N°1 a permis de rappeler l’importance essentielle de la propriété de
distributivité de la multiplication sur l’addition. Il est apparu que cette propriété n’est pas
maîtrisée autant qu’on pourrait l’attendre par les élèves de collège. En particulier des
confusions avec l’associativité de la multiplication sont fréquentes. L’associativité est une
propriété de la multiplication (et de l’addition) qui est utilisée en acte par les élèves dès
l’école primaire. Cette utilisation est souvent conjointe avec celle de la commutativité par
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exemple dans des calculs réfléchis du type : 2,5 × 13 × 4. Mais, contrairement à la
distributivité de la multiplication sur l’addition qui est institutionnalisée et étudiée
algébriquement en classe de cinquième, cette propriété d’associativité ne sera, elle, jamais
institutionnalisée dans le cursus des études secondaires. On peut d’ailleurs s’interroger au vu
du document extrait du programme de seconde qui figure à la fin de l’annexe 1, pour savoir si
les concepteurs des programmes n’ont pas réalisé qu’il existait là une réelle lacune. Pour
nous, la conclusion est bien qu’il n’est pas souhaitable de laisser perdurer ce vide didactique
concernant l’associativité de la multiplication et une proposition sera faite en ce sens dans la
suite, au paragraphe 3.3.
L’étude N°2 a rappelé l’importance, là encore essentielle, du test d’égalité. En
l’occurrence, il fournissait la procédure la plus efficace pour vérifier que le nombre 2 qui était
proposé n’était pas solution de l’équation, sans qu’il soit nécessaire de la résoudre. On notera
au passage que, s’il n’est pas envisageable de donner une définition formelle de ce qu’est une
équation, ce test d’égalité permet de donner du sens conjointement aux termes d’équation, de
solution et de résoudre : un nombre est solution d’une équation lorsque les deux membres de
l’équation prennent des valeurs égales si on substitue à l’inconnue ce nombre en question. Le
test d’égalité est la clef qui permet d’entrer dans la problématique des équations. Or ces
équations sont indissociables de la résolution de problèmes qui motive l’entrée dans le calcul
littéral.
L’étude N°3 attirait l’attention sur un dernier point à nouveau essentiel pour
l’enseignement de l’algèbre : la distinction entre deux aspects qui tendent à s’opposer dans la
nature de toute expression algébrique. Ainsi dans 4 x² + 12 x il faut savoir, si on veut par
exemple substituer la valeur 3 à la variable, que l’opération prioritaire est le carré, puis les
multiplications et enfin l’addition. C’est l’aspect procédural (à relier avec la procédure de
calcul associée) que les élèves connaissent bien car elle est pratiquée très tôt en cinquième
avec les priorités opératoires. L’opération importante est ici la première qu’on doit effectuer
dans l’ordre des priorités de calcul. Par contre si on veut résoudre l’équation 4 x² + 12 x = 0,
il faut reconnaître que 4 x² + 12 x est une somme et penser à transformer cette somme en
produit pour achever la résolution. C’est l’aspect structural (à relier avec la structure de
l’expression) que les élèves maîtrisent moins facilement car il est classiquement moins
travaillé que l’aspect procédural. Cette fois, l’opération importante est la dernière qu’on doit
effectuer dans l’ordre des priorités opératoires. Cet aspect est à la base de la reconnaissance
de forme d’une expression et donc aussi à la base des transformations de formes qui sollicitent
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cette intelligence de calcul à laquelle la CREM souhaite que l’enseignement s’intéresse
davantage.
2.5. La classe de 5ème , niveau initiatique essentiel au raisonnement algébrique
Les trois études d’erreurs précédentes possèdent une caractéristique commune : elles
renvoient toutes au programme de la classe de cinquième. En effet, la distributivité de la
multiplication sur l’addition, le test d’égalité et les priorités opératoires qui permettent de
distinguer les deux aspects procédural et structural d’une expression algébrique sont trois
éléments contenus dans le programme officiel de cette classe.
Même si quelques éléments algébriques déjà cités précédemment apparaissent en
classe de sixième (la substitution, la définition algébrique des quotients), c’est bien en classe
de cinquième que s’installe le raisonnement algébrique. C’est à ce niveau qu’apparaissent les
expressions littérales et avec elles la lettre outil de preuve et de généralisation. Le test
d’égalité amène, lui, à s’interroger sur la valeur de vérité de certaines égalités et à remettre en
cause le statut du signe d’égalité. Désormais une égalité devra être regardée comme une
assertion dont il convient de se demander si elle est vraie ou fausse. On a déjà signalé que ce
test d’égalité permet de construire le concept d’équation. Il permet également de construire le
concept d’identité : c’est une égalité qui est toujours vraie quelque soit la valeur numérique
qu’on substitue à la variable. C’est ce caractère universel qui donne toute sa force au concept
d’identité et en fait un outil de preuve puissant pour montrer, par exemple, que deux figures
dont des dimensions dépendent d’une même variable ont toujours la même aire. Pour que les
élèves maîtrisent cet outil il est indispensable qu’ils soient pleinement conscients de ce
caractère universel lorsqu’ils écrivent , par exemple, une identité comme 5 x + 3 x = 8 x :
cette égalité reste vraie quelque soit la valeur choisie pour la lettre x. Comprendre cela
nécessite un travail spécifique qui relève bien du programme de cinquième et qui permettra
d’aborder l’écriture d’identités plus complexes, comme celles résultant de développements en
quatrième, avec de meilleures chances d’en saisir le sens.
C’est bien un travail de conceptualisation, de construction du sens dont il est question
sur ce niveau cinquième dans lequel aucun exigible technique n’apparaît. Par contre ces
exigibles techniques vont apparaître rapidement et massivement dès la classe de quatrième
(développements, réductions, double distributivité, équations). Les impératifs horaires ne
permettront plus à ce moment de laisser le temps nécessaire aux élèves d’effectuer cette
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réflexion sur le sens : le souci sera ailleurs, dans les exigibles techniques justement. C’est
donc bien en classe de cinquième où il existe, malgré les récentes restrictions horaires, un
temps pour cela, qu’il convient d’installer le sens des grandes notions algébriques évoquées
précédemment.
2.6. Le calcul littéral : point de vue « vertical » de la 5ème à la 2de
Comme pour la mise en place du raisonnement géométrique, on trouvera dans la
présente approche de l’algèbre un plaidoyer, conforme aux préconisations du programme
officiel, pour une plus grande progressivité, un plus grand étalement dans le temps visant à
maximiser la durée disponible pour l’appropriation des savoirs par les élèves.
La proposition faite ici peut se schématiser ainsi :
6ème 5ème 4ème 3ème
substitution test d’égalité développements, équations factorisations … définition quotients usage lettre outil de preuve et de généralisation
On peut la comparer avec certaines pratiques existantes :
6ème 5ème 4ème 3ème
développements factorisations … équations
Dans le premier cas, le travail sur le calcul littéral (symbolisé par le trait épais)
s’étend sur huit trimestres, dans le second sur quatre seulement. Les deux situations sont
évidemment aux deux extrémités des pratiques existantes mais les deux existent. Qu’on songe
à la masse des exigences techniques attendues en fin de troisième, à l’extrême fragilité des
connaissances acquises tardivement au troisième trimestre de la classe de quatrième et la
cause est entendue : dans le deuxième cas, seuls quelques élèves réussiront à s’approprier les
connaissances algébriques visées.
Intro lettre outil de preuve et de généralisation
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3. La progression proposée
3.1. Présentation
Quatre raisons principales justifient le choix de détailler cette progression sur le niveau
cinquième :
• C’est à ce niveau qu’apparaissent les premiers grands éléments constitutifs de
l’édifice algébrique. Et les évaluations menées auprès des élèves, par exemple
celles présentées au 2.4 , mettent en évidence que ce sont ces éléments qui,
lorsque les élèves les maîtrisent mal, font obstacle à l’apprentissage de façon
durable.
• C’est le niveau de classe sur lequel on peut installer la pratique de l’algèbre sur
des bases conformes à celles préconisées par la CREM. C’est à dire que le
programme de cinquième, peu marqué par des exigences techniques, offre
l’occasion de travailler sur le sens et les concepts. Il y a là, réellement, une
occasion de placer le calcul sur les rails de la rationalité.
• C’est en faisant entrer les élèves de cinquième dans la démarche algébrique le
plus tôt possible, qu’on peut étendre les temps de maturation et d’appropriation
de l’algèbre. Nous avons vu au 2.6 que cette durée peut fluctuer de quatre à
huit trimestres ce qui crée des conditions d’apprentissage d’une hétérogénéité
considérable.
• Enfin, et c’est un argument décisif pour que ce niveau cinquième ait été choisi
ici, cette approche possible de l’algèbre est méconnue. Les programmes sont en
effet peu explicites et les manuels ne travaillent pas dans ce sens.
La proposition faite ici offre donc cette voie alternative permettant de choisir en lieu et
place d’une algèbre faite de règles admises et de calculs d’application, une algèbre construite
sur les mêmes bases rationnelles que la géométrie.
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3.2. Explicitation de certains choix
La progression proposée figure dans l’annexe 2. Ce n’est pas une progression
complète de l’année de cinquième. Sont présentés dans leur intégralité les chapitres qui
prennent place dans le thème algèbre. Sont présentés également des extraits d’autres chapitres
lorsqu’ils ont à voir avec ce thème algèbre.
Les démonstrations de cours les plus significatives sont détaillées dans les paragraphes
qui suivent. Elles sont repérées dans l’annexe 2 par la mention Dms Ci ( 1 ≤ i ≤ 2 ). Ces
démonstrations de cours poursuivent deux objectifs généraux :
• Il s’agit d’abord d’inscrire l’algèbre dans une démarche rationnelle donc de
construire les règles qui apparaissent. De ce point de vue, l’effet attendu sur
l’image que se font les élèves des mathématiques est important : même pour un
élève qui n’a pas compris l’ensemble de la démonstration, il doit rester l’idée
que la règle institutionnalisée a été démontrée, qu’elle a des raisons d’être ce
que le professeur a dit.
• Il s’agit ensuite de mobiliser l’outil algébrique : la lettre nombre généralisé, un
calcul littéral même modeste, la lettre nombre inconnu… Ceci permet de
réinvestir et de favoriser l’appropriation de ces démarches nouvelles que les
élèves ne sont pas en mesure de mettre en œuvre seuls à ce stade de leur
formation. Là encore, il doit ressortir une idée générale forte : l’algèbre est un
outil puissant et fonctionnel (au sens où il sert à quelque chose).
De la même façon les situations problèmes les plus significatives sont elles aussi
détaillées et repérées par la mention Sit Pbi ( 1 ≤ i ≤ 2 ). Il faut entendre par situation
problème des moments d’enseignement caractérisés notamment par les éléments suivants :
« Les activités choisies doivent :
• Permettre un démarrage possible pour tous les élèves, donc ne donner que des
consignes très simples et n’exiger que les connaissances solidement acquises par
tous ;
• Créer rapidement une situation assez riche pour provoquer des conjectures ;
• Rendre possible la mise en œuvre des outils prévus ;
• Fournir aux élèves, aussi souvent que possible, des occasions de contrôle de leurs
résultats, tout en favorisant un nouvel enrichissement ; on y parvient, par exemple, en
prévoyant divers cheminements qui permettent de fructueuses comparaisons. »
(Programme de la classe de sixième, p18)
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Leur fonction consiste donc à réactiver les connaissances anciennes, en faire percevoir les
limites puis à motiver un dépassement de ces limites vers des savoirs nouveaux. De tels
dispositifs nécessitent une élaboration très soignée. Les règles du débat mathématique déjà
évoquées, constituent un bon exemple de situations problèmes. Pour être efficaces ces
situations doivent impliquer très fortement les élèves qu’il faut donc placer dans des
conditions de recherche autonome et significative. Un corollaire important est que ce type de
dispositif est consommateur de temps. A titre d’exemple la situation problème 1 proposée
plus loin représente un investissement horaire de deux à trois heures. Un tel investissement ne
se justifie donc que pour les thèmes d’étude les plus délicats et importants de l’année. Les
retombées espérées doivent être importantes et durables. La situation étudiée a vocation à
devenir une situation de référence souvent évoquée dans le travail ultérieur de la classe. Enfin,
la résolution du problème posé doit être suivie d’une phase d’institutionnalisation qui pointe
précisément le savoir visé et fixe ce qui doit être retenu par les élèves.
Ces deux dispositifs, démonstrations de cours magistrales et situations problèmes, se
situent aux antipodes des différentes pratiques d’enseignement possibles. Il est important que
les élèves bénéficient des apports de ces deux types de pratiques. Dans le premier cas, il s’agit
pour le professeur d’apporter aux élèves un savoir qu’ils ne peuvent produire par eux-mêmes.
Dans le second, il s’agit au contraire de placer les élèves en situation de participer autant que
possible à l’élaboration d’un savoir nouveau.
3.3. Le chapitre 0 : « Raisonner en mathématiques »
L’objectif de ce chapitre est de fournir aux élèves un document de référence
concernant les pratiques qui s’installent progressivement en matière de raisonnement.
Sa particularité est bien signifiée aux élèves par sa numérotation inhabituelle et par la
manière donc il est traité. Il ne s’agit pas à proprement parler d’un chapitre mais plutôt d’une
fiche de synthèse qui regroupe les règles du débat mathématique. Ces différentes règles sont
institutionnalisées et consignées dans cette fiche au fur et à mesure de leur apparition qui
s’étend sur plusieurs chapitres. Les documents relatifs à ce chapitre figurent dans l’annexe 3
qui contient les textes des problèmes à soumettre aux élèves et les énoncés institutionnalisés
constituant le document qui figure dans les cahiers de cours.
La remarque importante figurant en bas de la première page de cette annexe rappelle
que la gestion de classe nécessaire pour que ce travail atteigne sa pleine efficacité est tout à
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fait spécifique. Il est donc indispensable de se référer à l’article d’André Pressiat déjà cité
dans les notes de bas de page 1 et 2, page 5 de ce document, pour prendre connaissance de ces
modalités précises.
3.4. Le chapitre 2 : « Calculs sur les nombres décimaux »
Ce chapitre poursuit deux objectifs. Le premier concerne le calcul numérique où il
s’agira de mettre en place les priorités opératoires, la distributivité de la multiplication sur
l’addition et la soustraction ainsi que les éléments permettant de dissocier les aspects
procédural et structural d’une expression numérique. Le second est l’introduction de la lettre
comme nombre généralisé et du calcul littéral, ces deux éléments permettant de faire
apparaître l’algèbre comme outil puissant, et indispensable, de généralisation et de preuve.
Ce chapitre est essentiel dans la progression. Il marque pour les élèves l’entrée dans
l’algèbre, la situation problème 1 constituant le moment précis choisi pour effectuer cette
entrée. La position très précoce de ce chapitre dans l’organisation annuelle permet d’étendre
sur une durée maximale l’apprentissage de l’algèbre, conformément à un besoin exprimé au
2.6. Dès lors, il importera d’assurer la continuité de ce travail jusqu’au terme du collège, ce
qui suppose notamment d’assurer la reprise de cette étude de l’algèbre le plus précocement
possible dans les classes de quatrième et de troisième.
Voici le plan de ce chapitre :
1. Travail sur le numérique :
Chaînes d’additions, chaînes de soustractions, chaînes de multiplications,
chaînes de divisions, commutativité et associativité en acte, rôle du 1 et du 0
Deux contextes de travail sont utilisés : les problèmes type école primaire dans lesquels le
sens des opérations rend naturelles les propriétés visées et le calcul mental ou réfléchi dans
lequel le recours à ces propriétés est indispensable. Les propriétés rencontrées sont
énoncées en langage naturel.
Chaînes comportant plusieurs opérations, priorités de calcul en lien avec
calculatrice, « gammes » (aspect procédural), reconnaissance de sommes et
produits (aspect structural)
Problèmes et distributivité en acte Sit Pb1 � 2. Première rencontre avec la lettre Cette situation problème est décrite au 4.1.
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3. Institutionnalisation de la règle du débat 5
Cette institutionnalisation est indispensable pour donner tout leur sens aux points 4. et 5. qui
suivent.
4. Institutionnalisation de la distributivité de la multiplication sur l’addition et
la soustraction
5. Réécriture en langage symbolique (littéral) des propriétés déjà énoncées en
langage naturel
A ce moment on peut insister en particulier sur l’associativité de la multiplication dont on a
vu au 2.4. que sa méconnaissance pouvait s’opposer à une bonne maîtrise de la distributivité
de la multiplication sur l’addition. L’objectif est alors de bien dissocier les schémas
a ×××× ( b + c ) et a ×××× ( b ×××× c ). Il est clair que ces travaux menés au 1. et au 5. sont des activités
participant à la formation des élèves mais que les identités écrites, hormis celle concernant
la distributivité de la multiplication sur l’addition qui figure dans le programme, ne sont pas
des exigibles. Les noms de ces différentes propriétés n’ont également aucune raison d’être
imposées aux élèves.
6. Applications et réinvestissements : littéral, procédural et structural, test
d’égalité, calcul mental et réfléchi …
Peu de manuels proposent une initiation à l’aspect structural des expressions numériques ou
littérales. C’est cependant le cas de la collection Triangle des éditions Hatier dans laquelle
les auteurs Gisèle Chapiron, Michel Mante, René Mulet-Marquis et Catherine Pérotin
fournissent de nombreux exercices dans ce but.
Concernant le littéral, le travail proposé ici ne vise pas à développer des techniques
calculatoires prématurées mais à conforter le recours à la lettre pour généraliser, en lien
avec l’initiation au raisonnement, comme cela s’est fait au cours du chapitre.
Exemple d’exercice possible :
On demande aux élèves de choisir un entier puis de multiplier son prédécesseur par son
suivant. On conserve le résultat. On reprend le nombre choisi au départ. On calcule son
carré et on soustrait 1. On compare avec le résultat obtenu précédemment.
On recommence avec d’autres choix initiaux puis on demande d’émettre une conjecture.
Cette conjecture doit se traduire par :
Si x est un nombre entier, on a toujours : ( x −−−− 1 ) ( x + 1 ) = x² −−−− 1
On admet que cette conjecture est vraie. On peut ensuite se demander si on peut « faire
mieux » au sens de plus général. Une idée, que des élèves sont susceptibles d’apporter, peut
être de remplacer les 1 par des y. Dans ce cas un contre exemple invalidera la nouvelle
conjecture. Par contre tester l’égalité avec des nombres non entiers permettra de conjecturer
qu’elle reste vraie même si x n’est pas entier.
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3.5. Le chapitre 4 : « Additions et soustractions de nombres relatifs »
Ce chapitre vise trois objectifs. Le premier est la maîtrise par les élèves des
opérations exigibles du programme sur les nombres décimaux relatifs. Le second consiste à
installer la pratique du calcul dans la démarche rationnelle évoquée au début de cet article. En
particulier ici, il s’agira de construire les deux opérations nouvelles que sont l’addition et la
soustraction des nombres décimaux relatifs. Enfin, le troisième vise à réinvestir et consolider
des démarches algébriques déjà abordées dans le chapitre 2. Ces objectifs ne sont évidemment
pas sans lien entre eux. On peut d’abord espérer que le second contribue à la réalisation du
premier, par exemple en réglant clairement le problème des simplifications d’écriture dans les
sommes algébriques. Ensuite le troisième se réalise en recourant à des méthodes algébriques
qui seront mises au service du second.
Voici le plan de ce chapitre :
1. Activité d’introduction6 (équation a + ? = b ; b − a avec a et b dans � ;
identification de � et ID+, chaînes d’additions et soustractions)
Cette activité est décrite au 4.2. avec les deux démonstrations de cours qui suivent. Elle vise à
introduire la problématique qui suit.
2. Mise en place de la problématique du chapitre (principe de permanence,
l’algèbre comme outil de construction des connaissances)
Cette problématique situe bien le travail dans une démarche algébrique. Elle donne son sens
aux démonstrations qui suivent mais elle constitue aussi une démarche générale permettant
d’étendre des opérations à des sur-ensembles. Elle sera ainsi réinvestie au chapitre 6 pour
construire les opérations sur les quotients mais également en classes de quatrième et de
troisième.
3. Institutionnalisation sur l’opposé Dms C1 → 4. Construction de l’addition dans ID (et institutionnalisation) Dms C2 → 5. Construction de la soustraction dans ID, notation de l’opposé (et
institutionnalisation)
Les points 4. et 5. sont traités à la suite l’un de l’autre, sans temps mort. Traiter
conjointement l’addition, les simplifications d’écriture et la soustraction permet de donner
une unité à ce travail. La soustraction est en effet destinée à disparaître aussitôt qu’elle sera
construite : soustraire un nombre c’est additionner son opposé. D’autre part l’étude de la
soustraction permet d’achever l’examen des différents cas de simplification d’écriture. Ce 6 � désigne l’ensemble des décimaux de l’école et ID désigne l’ensemble des décimaux relatifs.
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passage aux écritures simplifiées est ici abordée rigoureusement et dès le début de la
construction. Les élèves seront incités d’emblée à traiter les calculs en écriture simplifiée.
6. Exercices d’application (« gammes », moyennes de températures,
modélisation de situations classiques comme pertes et gains successifs …)
7. Sommes algébriques et écritures simplifiées, les 3 significations du signe −,
retour sur l’activité d’introduction et sur le structural (et institutionnalisation et
mise en évidence de vertus simplificatrices de l’algèbre)
L’institutionnalisation consiste ici à bien montrer aux élèves que si le signe – possède
maintenant trois significations qu’il faut toutes connaître (négatif, opposé, soustraction), ces
trois significations ne sont pas source de complications mais au contraire de simplifications.
En effet, dans un calcul on peut interpréter ce signe – comme on le souhaite et, en
particulier, une chaîne d’additions et de soustractions peut désormais être regardée comme
une somme de relatifs ce qui autorise à utiliser la commutativité et l’associativité.
Ceci a aussi des conséquences sur l’aspect structural les expressions numériques ou
littérales : en algèbre on n’utilisera plus le terme différence (ce point peut être anticipé au
chapitre 2 dans le travail sur le structural).
8. Exercices d’application (« gammes », sommes algébriques, transformations
d’écritures, opposés (prévention du théorème en acte : 3x est positif, −4x est
négatif),
signe, ordre et graduation (a négatif signifie a ≤ 0 ou encore − a positif),
distance de 2 points sur un axe gradué
9. Réinvestissement dans le littéral (reconnaissance sommes/produits, sommes
algébriques sans s’interdire de calculer des produits du type :
− 5 � 3 = 3 � (−5) = (−5) + (−5) + (−5) )
10. pratiques de calcul mental
3.6. Le chapitre 6 : « Nombres en écriture fractionnaire » (présentation succincte)
Le travail sur les nombres en écriture fractionnaire vise d’abord à poursuivre deux
grands objectifs déjà esquissés en classe de sixième. Assurer la maîtrise de la définition du
quotient a/b qui figure dans les programmes, à savoir a/b est le nombre qu’il faut multiplier
par b pour obtenir a, est le premier de ces deux objectifs. Cette définition se situe sans
ambiguïté sur le terrain algébrique puisque a/b est défini ici comme l’unique solution d’une
équation. Les élèves ne s’approprient donc pas facilement cette définition d’autant que celle
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rencontrée à l’école, qui est de nature différente et évidemment mieux connue d’eux, fait
obstacle à cette appropriation. Mais ce travail s’insère bien dans le thème du présent article.
En particulier cette définition est autrement plus puissante que celle dont disposaient
antérieurement les élèves et elle permet de construire toutes les règles d’opérations sur les
nombres en écriture fractionnaire. Cette construction s’effectue selon une démarche analogue
à celle proposée au chapitre 4 pour construire l’addition et la soustraction des nombres
relatifs. Il est donc intéressant de proposer une nouvelle fois cette démarche algébrique aux
élèves. Cette présentation a déjà été effectuée l’an dernier par André PRESSIAT. On pourra
donc se reporter à l’article qu’il a rédigé pour les coordonnateurs : « Quotients-
Proportionnalité-Grandeurs ». Le second objectif à poursuivre est d’installer l’idée chez les
élèves que a/b est bien un nombre. Pour cela les problèmes relevant de la proportionnalité
fournissent un contexte approprié. De plus le chapitre 10 contribuera également à la
réalisation de cet objectif.
A ces deux objectifs déjà pris en compte en sixième il faut en ajouter un troisième
plus technique : les élèves doivent progresser dans la maîtrise des opérations d’addition, de
soustraction et de multiplication de deux nombres en écriture fractionnaire. Là encore, comme
sur les relatifs, on peut espérer que la construction des règles participe à leur appropriation.
Deux autres objectifs plus généraux sont poursuivis au cours du travail sur les
quotients. Il s’agit, comme à l’occasion du travail précédent sur les relatifs, d’ancrer la
pratique du calcul dans une démarche rationnelle ainsi que de légitimer et consolider des
démarches algébriques.
3.7. Le chapitre 10 : « Calcul littéral »
Ce chapitre comporte trois objectifs principaux. Le premier consiste à légitimer
l’apparition du calcul littéral en mettant en valeur son efficience pour résoudre, pour prouver
et pour simplifier. Le second vise à construire des représentations correctes concernant les
égalités : égalités toujours vraies, qu’on nommera égalités littérales ou identités, égalités
parfois vraies pour lesquelles on se posera généralement la question de déterminer les valeurs
de la lettre qui les rendent vraies et qu’on nommera équations. A ce moment le test d’égalité et
la substitution de la lettre par une valeur numérique trouvent toute leur place. Enfin le
troisième objectif est d’installer les premières bases techniques de ce calcul littéral. Ces
techniques se limiteront essentiellement à développer les produits du type a ( b x ± c ) avec a ;
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b et c décimaux positifs et à réduire les sommes du type a x + b x avec a et b décimaux
relatifs. Ces objectifs sont repris et détaillés davantage dans la situation problème 2 qui figure
au 4.2.
D’autres objectifs secondaires, en terme de réinvestissements, y sont également
signalés. Ils concernent les règles du débat, la distributivité de la multiplication sur l’addition,
le statut de nombre pour les quotients et les relatifs ainsi que les opérations sur ces nombres.
C’est donc une véritable synthèse sur la partie numérique du programme de la classe de
cinquième que ce chapitre permet d’effectuer.
Un contexte de travail est privilégié dans cette proposition : il s’agit des programmes
de calcul d’ailleurs déjà rencontrés au chapitre 2 à l’occasion de l’introduction de la lettre.
Bien adapté aux élèves de cet âge qui l’apprécient, il permet de problématiser tous les objets
de savoir visés dans le chapitre en fournissant systématiquement une interprétation susceptible
de faciliter la prise de sens. En effet, toute expression littérale peut être interprétée en terme de
programme de calcul. Dès lors, la substitution, le test d’égalité, les équations, les identités
peuvent elles aussi être traduites dans ce registre des programmes de calcul. Ce contexte en
prise avec des pratiques de l’école primaire contribue également à rassurer les élèves auxquels
il est rapidement familier. Enfin, il est d’une grande souplesse, il n’introduit pas de biais
dommageable dans les conceptions qu’il génère chez les élèves. Ceci pour une raison très
précise : ce contexte appartient au domaine mathématique. On peut ainsi, par exemple,
l’utiliser pour mettre en jeu les nombres négatifs ou les nombres rationnels non décimaux, ce
qui est rarement le cas dans des situations « concrètes ». Il reste évidemment que, comme pour
tout objet destiné à assurer une transition vers un concept nouveau, il faut savoir s’en détacher
dès que possible pour que les élèves s’approprient effectivement le concept visé qui est ici le
calcul littéral. Pour cela d’autres types d’exercices sont proposés en fin de chapitre.
L’ensemble du travail envisagé est long. On trouvera au 4.2. toutes les situations
proposées et dans l’annexe 4 une fiche d’institutionnalisation finale du chapitre. Ces travaux
plaisent aux élèves par leur aspect ludique et à suspense. Puis les exercices de « gammes » leur
apportent une satisfaction liée à leur aspect systématique et simple… pour peu qu’on se soit
approprié auparavant les bases conceptuelles nécessaires. Ce préalable constitue une condition
indispensable pour qu’un travail de « gammes » soit pertinent. Néanmoins l’ampleur du travail
prévu nécessite qu’il soit réparti sur une durée importante, en parallèle avec un autre thème,
plutôt que conduit en un bloc compact.
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4. Des situations de classe
4.1. Sit Pb1 : Une activité de première rencontre avec la lettre nombre généralisé
Les deux grands objectifs assignés à cette activité sont :
• Organiser un moment de première rencontre avec la lettre en tant que nombre
généralisé dans lequel le recours à cette lettre apparaisse comme nécessaire
• Introduire le calcul littéral comme un élément indispensable à l’élaboration de
certaines preuves
L’importance de ces objectifs et le saut conceptuel qu’ils imposent par rapport aux
pratiques antérieures des élèves justifient le recours à ce type de dispositif consommateur de
temps : il faut compter environ deux heures (une demi-séance pour chacune des quatre
premières phases décrites ci-dessous) pour mener cette activité à son terme. Mais ce type
d’organisation est le seul capable d’impliquer réellement les élèves dans une recherche et une
réflexion de nature à leur permettre de comprendre la nécessité qu’il y a à construire ces
démarches nouvelles. Une fois cette nécessité perçue par les élèves, l’activité se termine par
un moment magistral au cours duquel le professeur réalise un travail d’un type nouveau, un
calcul littéral, mais avec une forte adhésion de la classe qui se trouve en situation d’attente de
cette solution. L’essentiel n’est pas à ce moment d’inculquer des règles de calcul littéral mais
d’atteindre les deux objectifs affichés précédemment.
L’activité prend place dans le chapitre 2 entre les activités numériques du début du
chapitre et l’institutionnalisation de la distributivité de la multiplication sur l’addition et la
soustraction. Elle fait aussi partie des activités répertoriées dans le chapitre 0 comme
permettant d’introduire les règles du débat mathématique. Les règles du débat 1 et 2
constituent d’ailleurs des préalables indispensables à la mise en place de cette activité. Il est
en effet nécessaire que les élèves aient déjà rencontré les notions de conjecture et preuve
d’une part, les rapports entre preuve, exemples et contre exemples d’autre part.
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La question posée aux élèves :
« Fais fonctionner chacun des deux programmes de calcul ci-dessous en choisissant le nombre 1, puis le nombre 2, puis le nombre 3, puis le nombre 4. Observe les résultats obtenus. Quelle propriété générale peut-on conjecturer ? Cette conjecture est-elle fausse ou vraie ? Prouve le.
Programme N°1 Programme N°2 1 ) Choisir un nombre 1 ) Choisir un nombre 2 ) Multiplier ce nombre par lui-même 2 ) Multiplier ce nombre par 0,25 3 ) Ajouter 35 3 ) Ajouter 0,5 4 ) Soustraire le décuple du nombre choisi 4 ) Multiplier par 4 5 ) Multiplier par le nombre choisi au début 5 ) soustraire 2 6 ) Multiplier par le nombre choisi au début 6 ) Fin 7 ) Ajouter 24 8 ) Soustraire le produit de 49 par le nombre choisi au début 9 ) Fin »
Principe : le programme 1 est construit de telle façon que le résultat s’exprime en fonction du
nombre choisi par une fonction polynomiale f de degré 4. Elle est telle que l’équation f(x) = x
a quatre solutions qui sont justement 1 ; 2 ; 3 et 4. Pour le programme 2, la fonction associée
est l’identité ce qui signifie que le résultat est toujours égal au nombre choisi.
La conjecture attendue est donc, pour chaque programme, que le résultat semble être
toujours égal au nombre choisi. Pour le programme 1, la preuve attendue des élèves est qu’ils
exhibent un contre exemple montrant que la conjecture est fausse. Pour le programme 2, la
réponse attendue des élèves est que, en l’état de leurs connaissances actuelles, rien ne permet
de conclure.
Ce constat est essentiel pour légitimer l’intervention du professeur qui apportera les outils
nouveaux indispensables à la conclusion de l’activité.
Phase 1 : appropriation du problème7
Après avoir précisé la signification du mot décuple, le professeur place les élèves en situation
de travail individuel. Il faut que chaque élève s’approprie le sens global du problème et le
fonctionnement de chaque programme de calcul. Si tous les élèves sont normalement capables
d’engager le travail, il n’est pas exclu que quelques uns aient besoin d’une aide ponctuelle
7 Rappelons que pour plus de précisions sur la conduite d’une telle situation problème il faut se référer à l’article d’André Pressiat cité dans les notes du bas de la page 5.
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dans la conduite des calculs. Le professeur peut apporter cette aide technique indispensable
pour que l’activité fasse sens par la suite.
Phase 2 : travaux de groupes
Placés par groupes de 3 ou 4, les élèves doivent produire une affiche (feuille de format A3 par
exemple) exposant leur réponse collective au problème posé.
Phase 3 : débat de classe et conclusion provisoire
Les solutions proposées sont débattues sous la conduite du professeur qui organise les
échanges sans perdre de vue les objectifs fixés : invalider la conjecture à propos du
programme 1, faire le constat de l’insuffisance des connaissances actuelles à propos du
programme 2. Cette double conclusion est notée dans les cahiers. La deuxième ne satisfait
évidemment pas les élèves.
Phase 4 : apport du professeur et conclusion définitive
A ce stade, l’attente des élèves, la pression pour aller vers des outils nouveaux sont très fortes
et évidemment très favorables au projet du professeur.
Il peut donc proposer, puisqu’on ne peut pas faire fonctionner le programme pour tous les
nombres qu’on connaît, de faire fonctionner ce programme avec une lettre qui vaudra pour
tous ces nombres. Un seul calcul, mais littéral cette fois, se substituera donc à une infinité de
calculs numériques.
Le programme est conçu pour que ce calcul littéral soit, non pas réalisable par les élèves, mais
compréhensible par eux lorsque le professeur le prend en charge, ce qu’il peut donc faire à ce
moment. La compréhension des calculs présentés par le professeur est facilitée par le travail
effectué auparavant sur les propriétés des opérations.
Ce moment constitue une révélation pour les élèves. Il est sans doute le moment le plus fort
de l’année de cinquième.
Phase 5 : institutionnalisation
On consigne dans le chapitre 0 la règle du débat N°5 :
« 5 ) Démontrer en calcul :
Pour démontrer qu’une propriété est vraie pour tous les nombres (ou pour beaucoup de
nombres) on peut utiliser une lettre et effectuer un calcul littéral. »
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4.2. Dms C1 et Dms C2 : construction de l’addition et de la soustraction des
décimaux relatifs
Ces deux activités participent au premier objectif du chapitre qui est la maîtrise par les
élèves des opérations exigibles du programme sur les nombres décimaux relatifs. Elles
réalisent l’essentiel des deux autres objectifs qui visent à installer la pratique du calcul dans
une démarche rationnelle et à réinvestir et consolider des démarches algébriques déjà
abordées dans le chapitre 2.
Ce sont des situations magistrales. En effet les élèves ne peuvent construire eux-
mêmes de telles démarches. Si le professeur les estime utiles pour leur formation, il est bien
dans l’obligation d’en assumer la présentation. Comme tout dispositif magistral il présente
l’avantage d’être efficace sur le plan horaire : ici deux séances suffisent pour ces deux
démonstrations de cours qui permettent d’installer l’addition, la soustraction mais aussi les
simplifications d’écritures. Il reste évidemment à rajouter le temps consacré à l’indispensable
activité d’introduction sans laquelle la problématique posée dans les deux démonstrations
risque de rester étrangères aux élèves, soit une séance, et le temps investi ensuite dans les
exercices d’application divers et les « gammes ».
Activité d’introduction : le texte pour les élèves 1 ) Trouve dans chaque cas le nombre manquant : a ) 8 � ? = 56 b ) 14 � ? = 196 c ) 17 � ? = 0 d ) 6 � ? = 9 e ) 36 � ? = 45 f ) 6 � ? = 11 g ) 6 � ? = 8 h ) 6 � ? = 6 i ) 6 � ? = 3 j ) 6 � ? = 2 k ) 6 � ? = 1 l ) 6 � ? = 0 m ) 18 + ? = 31 n ) 18 + ? = 100 p ) 18 + ? = 50 q ) 18 + ? = 20 r ) 18 + ? = 18 s ) 18 + ? = 10 t ) 18 + ? = 8 u ) 18 + ? = 0 v ) 143,2 + ? = 0 2 ) Calcule en disposant correctement les lignes intermédiaires : A = 23,7 + 38,8 + 5,4 − 26,8 − 13,7 − 3,4 B = 14,478 + 2,866 − 6,91 + 7,134 − 4,478 Principe : Les douze premières équations de la question 1 ) permettent de réactiver la
définition des quotients vue en sixième. Elles permettent aussi de mesurer l’intérêt qu’il y a à
disposer de démarches systématiques, ce qui est une caractéristique du travail algébrique. Ici
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on peut conclure en écrivant que si a et b sont deux nombres (avec a non nul) il existe
toujours un et un seul nombre qui répond à la question : a � ? = b. Ce nombre est b/a.
Evidemment cela donne envie de traiter les neuf équations suivantes sur un mode analogue.
On réinvestit d’abord une connaissance de sixième : les décimaux positifs peuvent être
identifiés avec les décimaux de l’école puis ceci permet d’introduire la problématique
suivante :
« Etendre l’addition connue dans ��(ensemble des décimaux de l’école) à ID (ensemble des
décimaux relatifs) en conservant les propriétés connues (on peut changer l’ordre des termes
et les regrouper comme on veut, rôle du 0) et de telle sorte que l’équation a + ? = b possède
toujours une solution unique qui sera b – a »
Pour les calculs des expressions A et B, il est important d’imposer aux élèves l’épreuve
désagréable qui consiste à calculer, en écrivant les lignes intermédiaires, ces deux
expressions par la seule méthode licite à ce stade, c’est à dire en effectuant les opérations une
à une à partir de la gauche, puisqu’il s’agit ici de chaînes d’additions et de soustractions. Le
retour qui sera fait sur ces deux calculs à la fin du chapitre, où on pourra alors les
interpréter comme des sommes algébriques, sera d’autant plus intéressant que les
simplifications qui apparaîtront seront très importantes.
Construction de l’addition dans ID Cas 1 : (+8) + (+5) = 8 + 5 = 13
On sait donc effectuer l’addition de deux décimaux positifs.
On pose ensuite, en appui sur l’intuition et sur l’activité d’introduction :
« Si a est un nombre positif l’équation a + ? = 0 a une solution et une seule qui est l’opposé
du nombre a » (axiome)
Cas 2 : (+8) + (−5) = ?
(+8) + (−5) = s
(+8) + (−5) + (+5) = s + (+5) (substitution)
(+8) = s + (+5)
8 = s + 5
s = 3
Conclusion : (+8) + (−5) = (+3)
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Ou encore : 8 + (−5) = 3 à comparer avec 8 − 3 = 5
Donc 8 + (−5) = 8 − 5
On sait maintenant calculer la somme d’un positif et négatif dans le cas où la distance à zéro
du positif est supérieure à celle du négatif.
Cas 3 : (−8) + (+5) = ?
(−8) + (+5) = s
(−8) + (+5) + (+3) = s + (+3) (substitution)
(−8) + (+8) = s + (+3)
0 = s + (+3)
3 + s = 0
s = (−3)
Conclusion : (−8) + (+5) = (−3) ou encore − 8 + 5 = − 3
On sait maintenant calculer la somme d’un positif et négatif dans le cas où la distance à zéro
du positif est inférieure à celle du négatif.
Cas 4 : (−8) + (−5) = ?
(−8) + (−5) = s
(−8) + (−5) + (+5) = s + (+5)
(−8) + 0 = s + (+5)
(−8) = s + (+5)
(−8) + (+8) = s + (+5) + (+8)
0 = s + (+13)
s + 13 = 0
s = (−13)
Conclusion : (−8) + (−5) = (−13)
On sait maintenant calculer la somme de deux négatifs.
Conclusion finale : on sait effectuer l’addition de deux relatifs dans tous les cas possibles. On
peut donc institutionnaliser les règles ainsi construites.
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On formule une règle d’action :
La somme de 2 nombres de même signe a :
- le même signe que ces 2 nombres
- une distance à 0 égale à la somme des distances à 0 de ces 2 nombres
La somme de 2 nombres de signes différents a :
- le même signe que celui des 2 nombres qui a la plus grande distance à 0
- une distance à 0 égale à la différence des distances à 0 de ces 2 nombres
Remarques :
• il resterait mathématiquement à vérifier que l’opération ainsi construite répond bien
aux contraintes posées à priori. Cette vérification est didactiquement difficile à
envisager.
• La construction effectuée dans chaque cas, l’est sur un exemple. Il faut prendre la
précaution de le faire observer aux élèves : ceci n’a pas valeur de preuve générale.
Néanmoins la méthode mise en œuvre a clairement une portée générale : elle
apparaît reproductible pour tout autre exemple qu’on pourrait choisir . D’ailleurs
certains élèves demandent sur chaque cas à en reprendre un individuellement. On
peut évidemment accéder à leur demande, et même la provoquer, ce qui permet de les
associer davantage au travail mais aussi de faire prendre conscience de ce caractère
reproductible de la méthode mise en œuvre.
• Ainsi présentée dans un document, cette démarche peut paraître abrupte, voire
inadaptée aux élèves. L’expérience montre pourtant qu’elle n’intéresse pas moins les
élèves que les situations « concrètes » classiquement utilisées pour effectuer cette
introduction. Par ailleurs, même pour certains élèves n’accédant pas à la
compréhension de toutes les étapes du raisonnement, il reste l’idée que les règles
institutionnalisées ont des raisons d’être ce qu’elles sont et que leur validité a été
démontrée, ce qui est en soi déjà une entrée dans la compréhension du
fonctionnement des mathématiques. De plus, la durée de cette phase magistrale est
courte ce qui limite d’autant le sentiment de difficulté éventuellement apparu chez
certains élèves. Les remarques faites ici valent également pour la construction de la
soustraction proposée dans la suite.
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On institutionnalise les connaissances concernant l’opposé :
Définition : l’opposé d’un nombre relatif est le nombre relatif qui la même distance à 0 et un
signe différent.
Propriété : La somme de deux nombres opposés est nulle.
Réciproque : Si la somme de deux nombres est nulle alors ces 2 nombres sont opposés.
Remarque : cette institutionnalisation n’est pas la seule possible. Celle consistant à poser
comme définition : l’opposé d’un nombre a est l’unique nombre qui ajouté à a donne une
somme nulle, est plus conforme au savoir mathématique. Cependant la définition choisie ici
est mieux reliée avec les connaissances antérieures des élèves. Il faut pourtant être conscient
que la portée de cette définition est très faible. Par contre, la caractérisation exprimée ensuite
à l’aide de deux énoncés réciproques l’un de l’autre permettra de travailler comme le
recommandent les programmes et comme les élèves en ont l’habitude sur le raisonnement
géométrique.
Construction de la soustraction dans ID
Si a et b sont 2 nombres relatifs, comment faire pour calculer leur différence a – b ?
Par exemple comment fera-t-on pour calculer ( − 8 ) − (− 5 ) ou ( − 7 ) – ( + 4 ) ? (on peut
consigner les pronostiques émis par les élèves)
Cette nouvelle soustraction devra prolonger celle que nous connaissons déjà sur les
décimaux de l’école. (rappel oral de ce principe de permanence rencontré au préalable sur
l’addition)
Si je nomme d cette différence inconnue (réflexe algébrique à signaler )
a – b = d donc a = b + d par définition de la soustraction
donc a + opp( b ) = b + d + opp( b )
soit a + opp( b ) = d + b + opp( b )
a + opp( b ) = d + 0
a + opp( b ) = d
Conclusion : a – b = a + opp( b )
Pour ajouter un nombre relatif il suffit de soustraire son opposé.
On institutionnalise la règle :
Pour soustraire un nombre on additionne son opposé.
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On note aussitôt que la soustraction et la différence sont deux notions sans intérêt en algèbre.
On remarque que pour a = 0 : 0 − b = 0 + opp(b)
Ce qui nous conduit à poser : opp(b) = − b
Ceci permet de simplifier l’écriture du cas 4 de l’addition (qui était le dernier à ne pas l’être) :
(−8) + (−5) = (−8) − (+5) = − 8 − 5
On sait donc désormais simplifier l’écriture des additions et soustractions dans tous les cas.
Retour sur l’activité d’introduction :
1 ) a + ? = b a toujours une solution unique parmi les nombres relatifs. Cette solution est
donnée par b − a qui est une opération toujours possible parmi les nombres relatifs.
2 ) on reprend les calculs déjà faits de A et B dans l’activité d’introduction mais en les
considérant maintenant comme des sommes algébriques de relatifs. Cette reprise permet de
mettre en évidence une fonctionnalité des opérations nouvelles : les calculs sont cette fois
beaucoup plus simples.
4.3. Sit Pb2 :des programmes de calcul pour travailler sur les expressions littérales
Situation 1 :
Programme 1 Programme 2 1 ) Choisir un nombre 1 ) Choisir un nombre 2 ) Soustraire 6 au nombre choisi 2 ) Multiplier le nombre choisi par 0,4 3 ) Multiplier la différence obtenue par le nombre choisi 3 ) Ajouter 1,8 au produit obtenu 4 ) Ajouter 11 au produit obtenu 4 ) Multiplier la somme obtenue par 5 5 ) Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi 5 ) Soustraire au produit obtenu le double du 6 ) Ajouter 1 au produit obtenu nombre choisi 6 ) Fin 7 ) Fin Faire fonctionner ces 2 programmes avec le nombre 1 puis avec le nombre 2 puis avec le nombre 3. Que constate-t-on ? Que peut-on conjecturer ? Justifier. Objectifs :
• réactiver les règles du débat : raisonnement par contre-exemple sur le programme 1,
généralisation et preuve sur le programme 2 à l’aide de la lettre et d’un calcul littéral ;
• réactiver la distributivité de la multiplication sur l’addition et l’associativité de la
multiplication ;
• confier aux élèves, ce qui n’avait pas été le cas dans la situation problème 1 du
chapitre 2, la responsabilité du recours au calcul littéral et de son traitement.
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Situation 2 :
Programme 3 Programme 4 1 ) Choisir un nombre 1 ) Choisir un nombre 2 ) Calculer le carré du nombre choisi 2 ) Calculer le carré du nombre choisi 3 ) Ajouter 35 au carré obtenu 3 ) Ajouter 5 au carré obtenu 4 ) Multiplier la somme obtenue par le 4 ) Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi carré du nombre choisi 5 ) Multiplier le produit obtenu par 10 5 ) Ajouter 24 au produit obtenu 6 ) Fin 6 ) Fin Faire fonctionner ces 2 programmes avec le nombre 1 puis avec le nombre 2 puis avec le nombre 3. Que constate-t-on ? Que peut-on conjecturer ? Justifier. Programme 5 Programme 6 1 ) Choisir un nombre 1 ) Choisir un nombre 2 ) Multiplier le nombre choisi par 2 2 ) Multiplier le nombre choisi par 3 3 ) Ajouter 3 au produit obtenu 3 ) Ajouter 2 au produit obtenu 4 ) Multiplier la somme obtenue par 5 4 ) Multiplier la somme obtenue par 4 5 ) Ajouter au produit obtenu le double du nombre choisi 5 ) Fin 6 ) Soustraire 7 à la somme obtenue 7 ) Fin Mêmes questions pour ces deux programmes.
Objectifs :
• Pratiquer le calcul littéral
• Introduire la notion d’égalité toujours vraie (identité) interprétée pour cette première
rencontre en terme de programmes équivalents (c’est à dire donnant les mêmes
résultats quelque soit le nombre choisi).
Situation 3 :
Programme 7 Programme 8 1 ) Choisir un nombre 1 ) Choisir un nombre 2 ) Multiplier le nombre choisi par 7 2 ) Ajouter 1 au nombre choisi 3 ) Ajouter 9 au produit obtenu 3 ) Multiplier la somme obtenue par 8 4 ) Fin 4 ) Soustraire 1 au produit obtenu 5 ) Fin Programme 9 Programme 10 1 ) Choisir un nombre 1 ) Choisir un nombre 2 ) Multiplier le nombre choisi par 2 2 ) Ajouter 24 au nombre choisi 3 ) Ajouter 1 au produit obtenu 3 ) Multiplier la somme obtenue par 5 4 ) Multiplier la somme obtenue par 12 4 ) Fin 5 ) Fin Programme 9 1 ) Choisir un nombre 2 ) Ajouter 9 au nombre choisi 3 ) Multiplier la somme obtenue par 10 4 ) Soustraire au produit obtenu le triple du nombre choisi 5 ) Fin Pour chacun de ces 5 programmes il est possible de choisir un nombre de telle façon que le résultat obtenu soit 100. Trouve pour chaque programme quel nombre il faut choisir pour cela.
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Objectifs :
• Pratiquer le calcul littéral
• Conforter le statut de nombre pour les relatifs (programme 8) et les quotients
(programmes 7 et 9)
• Réinvestir les calculs sur les relatifs et sur les quotients
• Introduire la notion d’égalité parfois vraie (équation) interprétée pour cette première
rencontre en terme de résultat à atteindre par un programme de calcul. (la résolution
s’effectue en « remontant » le programme)
• Introduire (programme 9) une deuxième fonctionnalité du calcul littéral. Jusqu’ici une
seule fonction du calcul littéral a motivé son introduction : il s’agit de sa fonction
d’outil de preuve. La deuxième, qui apparaît maintenant, est celle d’outil de
résolution : sans le calcul littéral la ligne 4 du programme 9 constitue un obstacle
infranchissable.
Remarques :
• A propos du quatrième objectif : les élèves sont donc capables de résoudre toute
équation du type a x + b = c avec leurs connaissances actuelles qui n’utilisent que des
méthodes arithmétiques (« remonter » un programme de calcul est une compétence
d’école primaire liée au sens des opérations). Il faudra en tenir compte en classe de
quatrième : les équations de ce type ne justifient pas l’introduction d’une méthode
algébrique. Cette méthode nouvelle qui relève du programme de la classe de quatrième
ne pourra être légitimée qu’à partir de la rencontre d’équations du type
a x + b = c x + d.
• A propos du cinquième objectif : la fonction de résolution qui apparaît ici est la
fonction la plus visible affectée au calcul littéral dans les programmes officiels. La
fonction d’outil de preuve est beaucoup moins visible mais c’est celle que la
commission Kahane recommande de valoriser (voir 2.2.). Ces deux fonctions du
calcul littéral sont fortes car dans les deux cas le calcul littéral apparaît comme un outil
indispensable. Une troisième fonction, moins forte, peut être montrée aux élèves : le
calcul littéral permet de simplifier l’étude de certaines situations. Par exemple
lorsqu’une grandeur dépend d’une mesure inconnue et qu’on cherche à calculer cette
grandeur pour différents choix de la mesure inconnue, une expression littérale permet
d’établir l’algorithme de calcul une fois pour toutes et elle permet de plus, en
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simplifiant l’expression, de simplifier également les calculs attendus. Ces trois
fonctions sont reprises dans le document d’institutionnalisation finale du chapitre qui
figure dans l’annexe 4.
Situation 4 :
Programme 10 Programme 11 Programme 12 1 ) Choisir un nombre 1 ) Choisir un nombre 1 ) Choisir un nombre 2 ) Multiplier ce nombre par 4 2 ) Multiplier ce nombre par 7 2 ) Multiplier ce nombre par 4 3 ) Ajouter 3 au produit obtenu 3 ) Fin 3 ) Ajouter à ce produit le triple 4 ) Fin du nombre choisi 4 ) Fin Ces trois programmes donnent-ils tous le même résultat lorsqu’on choisit un nombre ? Ecris l’expression littérale correspondant à chacun de ces trois programmes. On peut avec ces trois expressions littérales écrire une égalité toujours vraie. Laquelle ? Comment peux-tu la justifier ? On peut avec ces trois expressions littérales écrire deux égalités qui ne seront vraies que pour une valeur bien choisie de la lettre. Ecris ces deux égalités puis trouve cette valeur particulière de la lettre. Programme 13 Programme 14 Programme 15 1 ) Choisir un nombre 1 ) Choisir un nombre 1 ) Choisir un nombre 2 ) Multiplier ce nombre par 4,7 2 ) Multiplier ce nombre par 7,9 2 ) Multiplier ce nombre par 4,7 3 ) Ajouter 3,2 au produit obtenu 3 ) Fin 3 ) Ajouter à ce produit le produit 4 ) Fin du nombre choisi par 3,2 4 ) Fin Mêmes questions que pour les programmes 10 ; 11 et 12.
Objectifs :
• Synthèse sur les réductions d’expressions du type a x + b x (a et b décimaux relatifs).
Irréductibilité des expressions du type a x + b et lutte à ce sujet contre l’obstacle qui
consiste pour les élèves à regarder une telle expression comme un calcul à effectuer et
donc à ne pas l’accepter comme un résultat.
• Introduction des simplifications d’écriture (suppression du signe de multiplication).
Remarques :
• La preuve prévue pour 4 x + 3 x = 7 x repose sur le recours à l’addition réitérée :
4 x + 3 x = (x + x + x + x) + (x + x + x) = x + x + x + x + x + x + x = 7 x
• Pour 4,7 x + 3,2 x = 7,9 x la distributivité est par contre le seul recours disponible.
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Situation 6 :
Parmi les égalités suivantes certaines sont toujours vraies, d’autres sont toujours fausses, d’autres sont vraies pour une seule valeur de la lettre. Reconnais pour chacune d’elle à quel cas elle se rattache. Quand l’égalité est vraie pour une seule valeur de la lettre, trouve cette valeur. 7 ( 3 a + 2 ) = 21 a + 2 b × b = 2 b (!) c + 11 = 6 9 d = 12 5 ( 3 e – 2 ) + e = 10 7 f × 3 f = 21 f 3 g – g = 3 7 h – 8 = 1 5 ( 7 i – 3 ) = 35 i – 15 6 j – 2 = 4 j 8 k + k = 9 k 11 m = 6 n ( 3 n – 4 ) = 3 n² - 4 n p + 4,7 = 4 3 = 5 q + 3 – 5 q 2 r² + r = 3
Objectif :
• Synthèse sur égalités toujours vraies, toujours fausses ou parfois vraies.
Remarques :
• Les égalités proposées sont choisies pour permettre aux élèves de les interpréter
facilement en terme de programmes de calcul si ils en éprouvent le besoin. A ce stade,
pour des raisons de commodité et d’efficacité, on pourra prendre l’habitude de
schématiser les programmes de calcul (par exemple le programme associé à
7 ( 3 a + 2 ) pourra être écrit sous la forme :
1 ) a 2 ) × 3 3 ) + 2 4 ) × 7 5 ) fin
• Lorsque l’égalité est vraie pour une seule valeur de la lettre, cette valeur est choisie
pour être accessible aux élèves soit en utilisant une procédure arithmétique
(« remonter » le programme de calcul associé dans le cas d’une équation à second
membre constant) soit par tâtonnement (en s’appuyant sur le test d’égalité pour une
équation à second membre non constant). La seconde égalité est signalée par le
symbole ( !) car il s’agit en fait d’une équation possédant deux solutions.
• Les calculs du type 7 × 3 a ou 7 f × 3 f ou n × 2 n permettent de réinvestir
l’associativité de la multiplication.
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Suite et fin du chapitre :
Ce travail étant terminé on peut proposer aux élèves la fiche d’institutionnalisation
finale du chapitre qui figure dans l’annexe 4.
Il reste ensuite à se détacher de ces programmes de calcul, même si leur rôle reste de
fournir un point d’appui lorsque le besoin s’en fait sentir, et à effectuer des « gammes » aussi
complètes que possible. On n’oubliera pas en particulier de familiariser les élèves avec
l’expression « en fonction de » qu’on peut aussi illustrer à l’aide des programmes de calculs
dans lesquels on a déjà pris l’habitude d’exprimer le résultat en fonction du nombre choisi. Un
manuel déjà cité, celui de la collection Triangle des éditions Hatier8, fournit pour cela le
matériel nécessaire. Les neuf activités et les quarante-quatre exercices qu’il offre dans son
chapitre intitulé « initiation au calcul littéral » correspondent exactement au travail envisagé
ici.
8 Voir page 17
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