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1
Module: ACOUSTIQUEResponsable du module: Denis Duhamel
Pierre Argoul
Vibrations de poutres et de plaques
2
INTRODUCTION
VIBRATIONS DE POUTRES MINCES DROITES
VIBRATIONS DE PLAQUES MINCES
3
Plaques vibrantes pour figures de Chladni
Ernst Chladni1756-1827
Lignes nodales pour une plaque carré fixée en son milieu
Exemplaire du lycée Champollion, Grenoble
Banc de trois plaques après expérience:le sable forme d'élégantes figures géométriques.
Académie des Sciences (France) en 1808
dessins originaux de la publication originale de Chladni
4
Sophie Germain remporta le prix en 1816
Sophie Germain 1776 - 1831
024
4
22
4
4
4
2
2
=
∂∂+
∂∂∂+
∂∂+
∂∂
y
W
yx
W
x
WD
t
Whρ
Equation aux dérivées partielles gérant les vibrations transverses d’une plaque d’épaisseur h, masse volumique ρρρρ, de module d’Young E et de coefficient de Poisson νννν.
( )yxW ,
avec ( )2
3
112 ν−= hE
D
G. Kirchoff donna une théorie plus correcte en 1850
5
Plaque rectangle encastrée suivant ses quatre côtés
XL YL
0sinsin =
YX L
Yn
L
xm ππ
Equation gérant les lignes nodales (zéros des ondes stationnaires)
( côtés de longueur et )
Lignes nodales
6
1=m
1=n 2=n
3=n 4=n
Plaque carrée encastrée suivant ses quatre côtés
0sinsin =
L
Yn
L
xm ππ
Lignes nodales
7
0coscoscoscos =
−
L
yn
L
xm
L
ym
L
xn ππππ
Plaque carrée encastrée en son milieu
L
Equation gérant les lignes nodales (zéros des ondes stationnaires)
m et n entiers
Lignes nodales
( côté de longueur )
85=m
1=n 2=n 3=n 4=n
5=m 5=m5=m
1=n
4=m 2=n
4=m
3=n
4=m
1=n
3=m
2=n
3=m
1=n
2=m
Plaque carrée encastrée en son milieu
0coscoscoscos =
−
L
yn
L
xm
L
ym
L
xn ππππ
Lignes nodales
9
Equations du mouvement des milieux continus
V
V∂
FELVVVV ∂∪∂∪∂=∂
∅=∂∩∂EL
VV∅=∂∩∂FL
VV∅=∂∩∂FE
VV
12
3Surface encastrée
Surface libre Surface où les forces extérieures
sont données
Rappels de MMC
10
Equations du mouvement des milieux continus
ijiji f
t
W +=∂
∂,2
2
σρ dans ] [10 , ttV ×
lkijklij WC ,=σ dans ] [10,ttV ×
0=jij nσ
Equations de mouvement
Relation de comportement
Conditions aux limites
sur ] [10 , ttL
V ×∂
ii DW = sur ] [10 , ttE
V ×∂
jjij Fn =σ sur ] [10 , ttF
V ×∂
FELVVVV ∂∪∂∪∂=∂
Conditions initiales à 0tt =( )
( )0
,
0,
0
0
=∂
∂=
t
taW
taW
ii
ii
∅=∂∩∂EL
VV
∅=∂∩∂FL
VV
∅=∂∩∂FE
VV
11
Résolution des équations du mouvement des milieux continus
Résolution approchée complexité
numérique
Résolution analytique
+ hypothèses supplémentaires simplificatrices
Milieux continus mono ou bi-dimensionnels
poutres, plaques, coques
12
Méthodologie
Approche variationnelle
Aspect local
des équilibres des forces
Aspect énergétique global
Bases théoriques pour la construction
de modèles de Milieux Continus solides élastiques condensés
Dérivation directionnelle d’une fonctionnelle
Restriction des espaces fonctionnels sur lesquels s’effectue l’extrémalisation
Calculs d’extremums de fonctionnelles d’énergie
13
∫ =
−−
∂∂
Dijij
i dvft
W0,2
2
σρ ] [10 , ttV ×famille d’ensembles
d’ouverts denses dansFD∈
01
0
*
,2
2
=
−−
∂∂
∫ ∫ dtdvWft
Wt
t Viijij
i σρ ] [( )10
** , ttVWi ×Ω∈∀
02
2
=−σ−∂
∂ρ
ijiji f
t
W,
Présentation locale
Présentation globale
Rappels
*
iW déplacements virtuels
Formulation variationnelle
∫ =D
dvMf 0)(FD∈∀famille d’ensembles D denses dans V
0)( ≡Mf dans V
Lemme
14
Dérivée directionnelle
dérivée directionnelle de la fonctionnelle ( )iji
W σΨ ,
( )iji
W σ,
par rapport ài
W
au point
( ) ( )ijiiiijiW WWd
dWW σλ
λσδ
λ
,,, *
0
* +Ψ=Ψ=
*
iii WWW λ+=*
iW Champ de déplacement virtuel
ijσchamp de déplacement vérifiant l’équation de mouvement
pour un champ de contraintes iW
Rappels
15
En utilisant la dérivée directionnelle
01
0
*
,2
2
=
−−
∂∂
∫ ∫ dtdvWft
Wt
t Viijij
i σρ
dérivée directionnelle d’une fonctionnelle ( ),i ijW σΨ
( )iji
W σΨ ,:Ψ ( )
ijiW σ,
Σ×Ω IR
≡fonctionnelle
dtdvWft
Wt
t Viijij
i∫ ∫1
0
−−
∂∂
2
2*
,σρ
Formulation variationnelle
Autre écriture
Recherche extrémum de cette fonctionnelle ( )iji
W σΨ , par rapport ài
W
*
iii WWW λ+=
( ) ( )* *
0
, , , 0W i ij i i i ij
dW W W W
d λ
δ σ λ σλ =
Ψ = Ψ + =
Champ de déplacement virtuel *
iW∀( ) 0=*,, iijiW WW σΨδ
16
( ) dt
dSWF
dvSWft
W
WRt
t
Vii
Vklijklijiiijij
i
iji ∫∫
∫
+
++−
∂∂
=
∂
1
0
2
1
2
1
,
2
1
σσεσρσ
Fonctionnelle de Reissner
klijklijS σ=ε
( )ijiWR σ,
1( )iji
W σ,RR
Σ×Ω IR] [( )10ttV
R,×Ω
] [( )10ttV
R,×Σ
iW
ijσ
( ) ),(, tMDtMWii
= sur ] [10 , ttE
V ×∂
),(),(
),(),(
11
00
tMWtMW
tMWtMW
ii
ii
=
=VM ∈∀
type mixte (1874-1967)
Hans Jacob Reissner
ijσ
Les fonctionnelles usuelles
17
( ) dt
dSWF
dvSWft
W
WRt
t
Vii
Vklijklijiiijij
i
iji ∫∫
∫
+
++−
∂∂
=
∂
1
0
2
1
2
1
,
2
1
σσεσρσ
Fonctionnelle de Reissner
( ) ( ) 0,
0,
1
1
=
=
iji
ijiW
WR
WR
σδ
σδ
σ
( ) RRijiW Σ×Ω∈σ,
ijiji f
t
W +=∂
∂,
2
2
σρ ] [10 , ttV ×dans
klijklij S σε = dans ] [10 , ttV ×
0=jij nσ sur ] [10 , ttL
V ×∂
ii DW = sur ] [10 , ttE
V ×∂
ijij Fn =σ sur ] [10 , ttF
V ×∂
Imposé a priori
18
( ) dt
dSWF
dvWfCt
W
WHt
t
Vii
Viiklijklij
i
i ∫∫
∫
+
+−
∂∂
=
∂
1
0
2
1
2
12
1
εερ
Fonctionnelle de Hamilton
( )iWH 1( )iW
RΩ IR
] [( )10 , ttVR ×Ω
iW
( ) ),(, tMDtMW ii = sur ] [10 , ttE
V ×∂
),(),(
),(),(
11
00
tMWtMW
tMWtMW
ii
ii
=
=VM ∈∀
type déplacement
19
( ) dt
dSWF
dvWfCt
W
WHt
t
Vii
Viiklijklij
i
i ∫∫
∫
+
+−
∂∂
=
∂
1
0
2
1
2
12
1
εερ
Fonctionnelle de Hamilton
( ) 01 =iW WHδ
*
iW∀
( ) ijklijkl
i fCt
W +=∂
∂,2
2
ερ
0=jklijkl nC ε
ii DW =
ijklijkl FnC =ε
] [10 , ttV ×dans
sur ] [10 , ttL
V ×∂
sur ] [10 , ttE
V ×∂
sur ] [10 , ttF
V ×∂
2020
INTRODUCTION
VIBRATIONS DE POUTRES MINCES DROITES
VIBRATIONS DE PLAQUES MINCES
2121
2 1 2 3( , , , )W x x x t
1 2 3( , , , )ij x x x tσ
1 1 2 3( , , , )W x x x t
3 1 2 3( , , , )W x x x t
Vibrations des poutres droites
1
2
3 L
h
b
• Définition d’une poutre droite:
b et h << L (<L/10)
• Champ des déplacements
• Tenseur des contraintes
1842 –1929
Joseph Boussinesq
2222
axe 1 priviligié : (x2=0 et x3=0)
(2)
2 1( , )ix W x t
développement en série de Taylor
1 2 3 1 2 1 3 1
2 3
2 2 2 22
321 1 2 3 12 2
2 3 2 3
( , , , ) ( ,0,0, ) ( ,0,0, ) ( ,0,0, )
( ,0,0, ) ( ,0,0, ) ( ,0,0, )2 2
i ii i
i i i
W WW x x x t W x t x x t x x t
x x
W x W Wxx t x t x x x t
x x x x
∂ ∂= + +∂ ∂
∂ ∂ ∂+ + +∂ ∂ ∂ ∂
⋯
composantes du déplacement
• Hypothèses simplificatrices (ou de condensation)
passage d’un milieu tridimensionnel
à un milieu monodimensionnel
),,( 321 xxx
)( 1x
Vibrations des poutres droites
limitation aux termes linéaires
(3)
3 1( , )ix W x t
2323
(0) (2) (3)
1 1 2 3 1 1 2 1 1 3 1 1( , , , ) ( , ) ( , ) ( , )W x x x t W x t x W x t x W x t≈ + +(0) (2) (3)
2 1 2 3 2 1 2 2 1 3 2 1( , , , ) ( , ) ( , ) ( , )W x x x t W x t x W x t x W x t≈ + +(0) (2) (3)
3 1 2 3 3 1 2 3 1 3 3 1( , , , ) ( , ) ( , ) ( , )W x x x t W x t x W x t x W x t≈ + +
limitation aux termes linéaires
(0)
1( , )iW x t(2) (3)
2 1 3 1( , ) ( , )i ix W x t x W x t+
(0)
1( , )iW x t (2)
1( , )iW x t
(3)
1( , )iW x t
Vibrations des poutres droites
2424
(0)
1 1( , )W x t (2)
1 1( , )W x t (3)
1 1( , )W x t(2)
2 1( , )W x t(0)
2 1( , )W x t (3)
2 1( , )W x t(2)
3 1( , )W x t (3)
3 1( , )W x t(0)
3 1( , )W x t
Vibrations des poutres droites
2525
Vibrations des poutres droites
(0) (2) (3)
1 1 2 3 1 1 2 1 1 3 1 1( , , , ) ( , ) ( , ) ( , )W x x x t W x t x W x t x W x t≈ + +
(0) (2) (3)
2 1 2 3 2 1 2 2 1 3 2 1( , , , ) ( , ) ( , ) ( , )W x x x t W x t x W x t x W x t≈ + +
(0) (2) (3)
3 1 2 3 3 1 2 3 1 3 3 1( , , , ) ( , ) ( , ) ( , )W x x x t W x t x W x t x W x t≈ + +
Champ de déplacement
( ) dt
dSWF
dvWfCt
W
WHt
t
Vii
Viiklijklij
i
i ∫∫
∫
+
+−
∂∂
=
∂
1
0
2
1
2
12
1
εερ
Fonctionnelle de Hamilton ( )iWH 1( )iWRΩ IR
] [( )10 , ttVR ×Ω iW
( ) ),(, tMDtMW ii = sur ] [10 , ttE
V ×∂
),(),(
),(),(
11
00
tMWtMW
tMWtMW
ii
ii
=
=VM ∈∀
type déplacement
2626
Vibrations des poutres droitesChamp de déplacement
( ) 01 =iW WHδ
*
iW∀
Extrémalisation de la fonctionnelle de H
champ de déplacement virtuel ( ) 0=*,, iijiW WW σΨδ *
iW∀
Rappel
2727
Vibrations des poutres droites
2828
Vibrations longitudinales
des poutres droites
2929
),(),,,(
),(),,,(
),(),,,(
1
)3(
333213
1
)2(
223212
1
)0(
13211
txWxtxxxW
txWxtxxxW
txWtxxxW
=
=
=
Effet Poisson
0),,,(
0),,,(
),(),,,(
3213
3212
1
)0(
13211
===
txxxW
txxxW
txWtxxxW
(plusieurs approximations)
• Equation de vibrations longitudinales des poutres
droites
Vibrations longitudinales des poutres droites
Au niveau des contraintes
)1,1(),(0),,,(
),(),,,(
321
1
)0(
1132111
≠==
jisitxxx
txtxxx
ijσσσ
Au niveau des déplacements
3030
1
2
3 L
h
b
),( 1
)0(
1 txW
1
2
3 L
h
b),(
21
)2(
2 txWh
),(2
1
)2(
2 txWh−
1
2
3 L
h
b),(
21
)3(
3 txWb−
),(2
1
)3(
3 txWb
Effets des différents termes correspondant aux déplacements
Effet Poisson
3131
( ) dt
dSWF
dvSWft
W
WRt
t
Vii
Vklijklijiiijij
i
iji ∫∫
∫
+
++−
∂∂
=
∂
1
0
2
1
2
1
,
2
1
σσεσρσ
Fonctionnelle de Reissner
Vibrations libres0
0
==
i
i
F
f
1dxSdv =
( ) dtdxSSWSt
WSWR
t
t
L
∫ ∫
+−
∂∂= 1
0 01
)0(
111111
)0(
11
)0(
1,1
)0(
11
2)0(
1)0(
11
)0(
112
1
2
1, σσσρσ
Vibrations longitudinales des poutres droites
3232
( ) ( ) 0,
0,
)0(
11
)0(
11
)0(
11
)0(
11
)0(11
)0(1
=
=
σδ
σδ
σ WR
WRW ( ) 0)0(
11
1
2
)0(
1
2
=∂∂−
∂∂ σρ S
xt
WS
Equation du mouvement longitudinal de la poutre
relation de comportement de la poutre
01111
)0(
11
1
)0(
1 =+∂
∂− SSx
WS σ
] [1, 0,t x L∀ ∀ ∈
] [Lxt ,0, 1 ∈∀∀
Extremum de la fonctionnelle de Reissner ( ))0(
11
)0(
11 ,σWR
Vibrations longitudinales des poutres droites
01
)0(
1
1
2
)0(
1
2
=
∂∂
∂∂−
∂∂
x
WES
xt
WSρ
Equation du mouvement longitudinal de la poutre
relation de comportement de la poutre1
)0(
1)0(
11x
WE
∂∂=σ
ES
11111 =
Equations de la poutre en variables déplacement
] [Lxt ,0, 1 ∈∀∀
] [Lxt ,0, 1 ∈∀∀
3333
( )(0)
1 1
1
,0
W x tES
x
∂=
∂
conditions aux limites
Extrémité libre ( ) 0,1
)0(
1 =txW
Extrémité encastrée ( )(0)
11 1, 0S x tσ =
3 types de conditions
Encastrée-encastrée
Encastrée-libre
Libre-libre
( ) 0,0)0(
1 =tW ( ) 0,)0(
1 =tLW
( ) 0,0)0(
1 =tW ( ) 0,)0(
11 =tLSσ
( ) 0,0)0(
11 =tSσ ( ) 0,)0(
11 =tLSσ
01
=x Lx =1
Vibrations longitudinales des poutres droites
3434
Vibrations transverses
des poutres droites
3535
0),,,(
),(),,,(
),(),,,(
3213
1
)0(
23212
1
1
)0(
223211
==
∂∂−=
txxxW
txWtxxxW
txx
WxtxxxW
Hypothèses
Champ de déplacement
),,(),,,(
0),,,(
),,(),,,(
21
)0(
1232112
32122
21
)2(
11232111
txxtxxx
txxx
txxxtxxx
σσσ
σσ
=
==
Champ de contraintes
(2,2)et)2,1(),1,1(),(0),,,( 321 ≠= jisitxxxijσ
Poutre d’Euler-Bernoulli
rotation de la section droite
Daniel Bernoulli Leonhard Euler(1707 –1783) ( 1700 –1782)
Vibrations transverses des poutres droites
3636
Poutre d’Euler-Bernoulli
Extremum de la fonctionnelle de Reissner ( ))0(
11
)0(
11 ,σWR
( ) ( ) dtdxSIx
WI
t
WS
tx
WIWR
t
t
L
∫ ∫
+∂
∂−
∂∂+
∂∂∂= 1
0 01
2)2(
11111132
1
)0(
2
2)2(
113
2)0(
2
2
1
)0(
2
2
3
)0(
11
)0(
11 , σσρρσ
Equation du mouvement
relation de comportement de la poutre
( ) ( ) ( )( ) 0,,,
1
2
1132
1
2
2
1
1
)0(
2
3
3
1
2
1
)0(
2
2
=∂∂−
∂∂∂
∂∂+
∂∂− txI
xtx
txWI
xt
txWS σρρ
] [Lxt ,0, 1 ∈∀∀
( )0
, 2
11111132
1
1
)0(
2
2
3 =+∂
∂− σSIx
txWI ] [Lxt ,0, 1 ∈∀∀
Vibrations transverses des poutres droites
3737
conditions aux limites
( ) 0,1
)0(
2 =txWsoit ( ) 01
2
1131
=
σ∂
∂ txIx
,
( )0
,
1
1
)0(
2 =∂
∂x
txW ( )2
3 11 1 , 0I x tσ =
effort tranchant
moment fléchissant ( )txIM ,1
2
113 σ=
( )( )txIx
T ,1
2
113
1
σ∂∂=
Vibrations transverses des poutres droites
Poutre d’Euler-Bernoulli
soit
soit soit
3838
conditions aux limites ( ) 0,1
)0(
2 =txW ( )0
,
1
1
)0(
2 =∂
∂x
txW
( )0
,2
1
1
)0(
2
2
31
1
=
∂∂
∂∂=
x
txWIE
xT
Equations de la poutre en variables déplacement
( ) ( )1
2
1
)0(
2
2
1
1
2
1
)0(
2
2
1111
21
)2(
11
,,1),,(
x
txWE
x
txW
Stxx
∂∂=
∂∂=σ
01 =x
Lx =1
ou
( ) ( ) ( )0
,,,
1
2
1
)0(
2
2
132
1
2
2
1
1
)0(
2
3
3
1
2
1
)0(
2
2
=
∂∂
∂∂−
∂∂∂
∂∂+
∂∂−
x
txWEI
xtx
txWI
xt
txWS ρρ
( )0
,2
1
1
)0(
2
2
31 =∂
∂=x
txWIEM
relation de comportement
de la poutre
effet d’inertie rotationnelle
1
1111
1E
S=
Vibrations transverses des poutres droites
Equation du mouvement
Poutre d’Euler-Bernoulli
soit
soit
soit
soit
3939
0),,,(
),(),,,(
),(),,,(
3213
1
)0(
23212
1
)2(
123211
==
=
txxxW
txWtxxxW
txWxtxxxWHypothèses
Champ de déplacement
),,(),,,(
0),,,(
),,(),,,(
21
)0(
1232112
32122
21
)2(
11232111
txxtxxx
txxx
txxxtxxx
σσσ
σσ
=
==
Champ de contraintes
(2,2)et)2,1(),1,1(),(0),,,( 321 ≠= jisitxxxijσ
Poutre de Timoshenko
1878 –1972
Stephen Timoshenko
Vibrations transverses des poutres droites
4040
Extremum de la fonctionnelle de ReissnerCas d’un matériau orthotrope , poutre homogène
0122
1
)0(
2
4
34
)0(
2
4
3
2
4
1
)0(
2
4
32
)0(
2
2
=∂∂
∂
+−∂
∂+∂
∂+∂
∂tx
W
G
EI
t
W
G
I
x
WEI
t
WS ρρρ
ES
11111 =
GS
4
11212 =
Module d’YoungModule de Coulomb
Equation du mouvement de vibration de flexion transverse
de la poutre de Timoshenko
Poutre de Timoshenko
Vibrations transverses des poutres droites
4141
( ) ( )0
,,4
1
1
)0(
2
4
32
1
)0(
2
2
=∂
∂+∂
∂x
txWEI
t
txWSρ
simplification d’écriture
Poutre homogène de section constante
( ) ( )0
,,4
4
2
2
=∂
∂+∂
∂x
txWEI
t
txWSρ
Conditions aux limites
encastrée
0=∂
∂x
W
0=W
libre
02
2
=∂∂x
W0
3
3
=∂∂x
W
appuyée
0=W( )
0,
2
2
=
∂∂
∂∂=
x
txWEI
xT
( )0
,2
2
=∂
∂=x
txWEIM ( )
0,
2
2
=∂
∂=x
txWEIM
02
2
=∂∂x
W
0=x Lx =ou
Vibrations transverses des poutres droites
Poutre d’Euler-Bernoulli
4242
Technique de séparation des variables ( ) )()(, tfxtxW φ=0
)()(
)()(
4
4
2
2
=+dx
xdtfEI
dt
tfdxS
φφρ
Cstedt
tfd
tfdx
xd
xS
EI =−=2
2
4
4 )(
)(
1)(
)(
1 φφρ
Etude suivant le signe de la constante 2
ω=Cste
tttf ωβωα cossin)( += xFxExDxCx ββββφ coshsinhcossin)( +++=
4
2
EI
Sωρβ =
0)()( 2
2
2
=+ tfdt
tfd ω 0)()( 2
4
4
=− xEI
S
dx
xd φωρφ
Calcul des fréquences et des modes propres
Vibrations transverses des poutres droitesPoutre d’Euler-Bernoulli
4343
Utilisation des conditions aux limites
Encastrée-libre
Appuyée-appuyée
Encastrée-encastrée
Équation transcendante aux valeurs propres
Libre-libre
Encastrée-appuyée
Libre-appuyée
0coscosh1 =+ XX
0sin =X
0coscosh1 =− XX
XX tanhtan =
nn XL =β S
EI
L
A
S
EI
L
X nnn ρρ
ω22
2
==
Équation transcendante aux valeurs propres
1A516.3
869.9
37.22
41.15
03.22
47.39
67.61
96.49
69.61
82.88
9.120
2.104
8.199
9.157
8.199
2.178
)(xn
φvaleurs propres vecteurs propres
4A2A 3A
Vibrations transverses des poutres droites
Calcul des fréquences et des modes propres
Poutre d’Euler-Bernoulli
4444
Vibrations libres de flexion des poutres droites Poutre d’Euler-Bernoulli
Calcul des fréquences et des modes propres
nnn AXL ==βS
EI
L
A
S
EI
L
X nnn ρρ
ω22
2
==)(xnφ
valeurs propresvecteurs propres
( )( )( )xFxExDxCtt
tfxtxW
nnnnnnnnnnnn
nnn
ββββωβωαφ
coshsinhcossincossin
)()(,
++++==
( ) ( )
( )( )1 1
1
, , ( ) ( )
sin cos sin cos sinh cosh
n n n
n n
n n n n n n n n n n n n
n
W x t W x t x f t
t t C x D x E x F x
φ
α ω β ω β β β β
∞ ∞
= =
∞
=
= =
= + + + +
∑ ∑
∑
Solutions élémentaires
Solution générale
nα nβetConditions initiales
4545
Vibrations libres de flexion des poutres droites Poutre d’Euler-Bernoulli
Modes propres - Orthogonalité
1er mode 2ème mode 3ème mode 4ème mode
Encastrée-libre
Encastrée-encastrée
ℓ
ℓ
S
EI
L
Ann ρ
ω2
=
pulsations propres
)(xnφdéformées modales
noeudsventres
4646
Vibrations libres de flexion des poutres droites Poutre d’Euler-Bernoulli
Modes propres - Orthogonalité
xn
Cx nnℓ
πφ sin)( =
Appuyée-appuyée
ℓ
1er mode 2ème mode 3ème mode 4ème mode
S
EI
L
Ann ρ
ω2
=
pulsations propres
)(xnφdéformées modales
4747
Vibrations libres de flexion des poutres droites Poutre d’Euler-Bernoulli
Modes propres - Orthogonalité
Libre-libre
Encastrée-appuyée
1er mode 2ème mode 3ème mode 4ème mode
S
EI
L
Ann ρ
ω2
=
pulsations propres
)(xnφdéformées modales
4848
Vibrations libres de flexion des poutres droites
Modes propres - Orthogonalité
)()( 2
4
4
xEI
S
dx
xdii
i φωρφ =
)()(
2
4
4
xEI
S
dx
xdjj
j φωρφ=
intégration suivant
2 fréquences propres différentes ji ωω ≠
∫∫ =L
jiij
Li dxxx
EI
Sdxx
dx
xd
0
2
0 4
4
)()()()( φφωρφφ
)(xj
φ×
)(xi
φ×
∫∫ =L
jiji
L jdxxx
EI
Sdxx
dx
xd
0
2
0 4
4
)()()()(
φφωρφφ
intégration par parties (2 fois)
[ ]Lx,0
∈
∫∫ =L
jii
jLi dxxx
EI
Sdx
dx
xd
dx
xd
0
2
2
2
0 2
2
)()()()( φφωρφφ
∫∫ =L
jij
jLi dxxx
EI
Sdx
dx
xd
dx
xd
0
2
2
2
0 2
2
)()()()( φφωρφφ
Poutre d’Euler-Bernoulli
4949
Vibrations libres de flexion des poutres droites
2 fréquences propres différentes ji ωω ≠
0)()(0
=∫L
ji dxxx φφ
0)()(
2
2
0 2
2
=∫ dxdx
xd
dx
xd jLi
φφOrthogonalité des modes propres
2 2
0 0( ) ( ) ( ) ( )
L L
j i j i i jx x dx x x dxω φ φ ω φ φ=∫ ∫
222
2 20 0
( )( )( ) ( ) 0
L Ljii i j
d xd x Sdx x x dx
dx dx EI
ϕϕ ρ ω ϕ ϕ= =∫ ∫
0( ) ( ) 0
L
i jx x dxφ φ =∫
et
Poutre d’Euler-Bernoulli
Modes propres - Orthogonalité
5050
Vibrations libres de flexion des poutres droites
)()( 2
4
4
xEI
S
dx
xdii
i φωρφ = )(xiφ×+ intégration suivant [ ]Lx ,0∈
∫∫ =L
ii
Li dxx
EI
Sdxx
dx
xdi0
22
0 4
4
)()()( φωρφφ
intégration par parties (2 fois)
i
i
L
Li
im
k
dxx
dxdx
xd
S
EI
i
=
=∫
∫
0
2
0
2
2
2
2
)(
)(
φ
φ
ρω
∫
=
Li
i dxdx
xdEIk
0
2
2
2 )(φ∫=
L
i dxxSmi0
2 )(φρmasse modale du mode i
rigidité modale du mode i
Rigidité et masse modales
Poutre d’Euler-Bernoulli
5151
Vibrations forcées de flexion des poutres droites
Réponse à une excitation extérieure : superposition modale
( ) ( )),(
,,4
4
2
2
txpx
txWEI
t
txWS =
∂∂+
∂∂ρ ] [Lx ,0∈∀
Conditions aux limites
Conditions initiales
0>∀t
Par exemple : appui simple aux extrémités x=0 et x=L
0),0( =tW
0),0(
2
2
=∂
∂x
tW
0),( =tLW
0),(
2
2
=∂
∂x
tLW
)()0,( 0 xdxW = )()0,(
0 xvt
xW =∂
∂
S
EI
L
Ann ρ
ω2
=)(xnφ Base de l’espace fonctionnel des solutions
( )
( )∑
∑∞
=
∞
=
+++=
=
1
1
coshsinhcossin)(
)()(,
n
nnnnnnnnn
n
nn
xFxExDxCta
taxtxW
ββββ
φ?
Poutre d’Euler-Bernoulli
2
4 nn
S
EI
ρ ωβ =
5252
Vibrations libres de flexion des poutres droites
xFxExDxCx nnnnnnnnn ββββφ coshsinhcossin)( +++=
( ) ( )),(
,,4
4
2
2
txpx
txWEI
t
txWS =
∂∂+
∂∂ρOn reporte dans
( ) ∑∞
=
=1
)()(,n
nn taxtxW φ avec
∫
=
Li
i dxdx
xdEIk
0
2
2
2 )(φ∫=
L
i dxxSmi0
2 )(φρ
Orthogonalité des modes propres
puis intégration sur )(xiφ× [ ]Lx ,0∈
)()()( tPtaktam iiiii =+ɺɺ
∫=L
i dxxtxpPi0
)(),( φ
Poutre d’Euler-Bernoulli
Réponse à une excitation extérieure : superposition modale
5353
Vibrations libres de flexion des poutres droites
( ) ∑∞
=
=1
)()(,n
nn taxtxW φ
∫
=
Li
i dxdx
xdEIk
0
2
2
2 )(φ ∫=L
i dxxSmi0
2 )(φρ
)()()( tPtaktam iiiii =+ɺɺ
∫=L
i dxxtxpPi0
)(),( φ
Conditions initiales)()0()()0,( 0
1
xdaxxWn
nn∑∞
=
== φ
)()0()()0,(
0
1
xvaxt
xW
n
nn∑∞
=
==∂
∂ɺφ
∫=L
i
i dxxdxm
Sa
i00 )()()0( φρ
Orthogonalité des modes propres
∫=L
i
i dxxvxm
Sa
i00 )()()0( φρ
ɺ
Poutre d’Euler-Bernoulli
Réponse à une excitation extérieure : superposition modale
)()0,( 0 xdxW =
)()0,(
0 xvt
xW =∂
∂avec
5454
INTRODUCTION
VIBRATIONS DE POUTRES DROITES
VIBRATIONS DE PLAQUES
5555
• Définition d’une plaque mince:
h << L et b
• plan priviligié : (x3=0)
2
3
1
L
h
b
développement en série de Taylor
⋯+∂∂+= ),0,,(),0,,(),,,( 21
3
321321 txxx
WxtxxWtxxxW i
ii
⋯+∂∂
+= ),0,,(),0,,(),,,( 21
3
321321 txxx
xtxxtxxxij
ijij
σσσ
composantes de déplacement
composantes du tenseur de contraintes
Vibrations des plaques minces
5656
),,(),,(),,,( 21
)3(
321
)0(
321 txxWxtxxWtxxxW iii +=• Approximation des champs sous les formes
• Séparation des états vibratoires en mouvements indépendants
vibrations dans le plan de la plaque
vibrations transverses
),(),(),(),,,( 1
)3(
31
)2(
21
)0(
321 txxtxxtxtxxx ijijijij σσσσ ++=
limitation aux termes linéaires
passage d’un milieu tridimensionnel
à un milieu bidimensionnel
),,( 321 xxx
),( 21 xx
Vibrations des plaques minces
5757
le plan moyen (équivalent de la courbe moyenne des poutres) est initialement plan
Hypothèses
Théorie usuelle des plaques minces, ou théorie de Love-Kirchhoff,
modèle de Kirchhoff :
les sections normales au feuillet moyen
restent normales lors de la déformation ;
en conséquence, on peut négliger le cisaillement ;
l'épaisseur est faible ;
en conséquence,
les contraintes dans le sens de l'épaisseur
sont supposées nulles ;
le feuillet moyen (équivalent de la fibre neutre des poutres)
ne subit pas de déformation dans son plan ;
on ne considère que le déplacement transversal w des points du feuillet moyen
on reste en petites déformations.
Déformation d'une plaque mince
plaque mince
élément de matière
feuillet moyen
fibre normale
5858
Vibrations dans le plan
0),,,(
),,(),,,(
),,(),,,(
3213
21
)0(
23212
21
)0(
13211
==
=
txxxW
txxWtxxxW
txxWtxxxW
),,(),,,(
),,(),,,(
),,(),,,(
21
)0(
1232112
21
)0(
2232122
21
)0(
1132111
txxtxxx
txxtxxx
txxtxxx
σσσσσσ
=
=
=
(2,2)et)2,1(),1,1(),(
0),,,( 321
≠
=
jisi
txxxijσ
Champ de déplacement
Champ de contraintes
Hypothèses
Vibrations des plaques minces
5959
Vibrations transverses
),,(),,,(
),,(),,,(
),,(),,,(
21
)0(
33213
21
)3(
233212
21
)3(
133211
txxWtxxxW
txxWxtxxxW
txxWxtxxxW
=
=
=
0),,,(
),,(),,,(
),,(),,,(
),,(),,,(
),,(),,,(
),,(),,,(
32133
21
)0(
2332123
21
)0(
1332113
21
)3(
12332112
21
)3(
22332122
21
)3(
11332111
==
=
=
=
=
txxx
txxtxxx
txxtxxx
txxxtxxx
txxxtxxx
txxxtxxx
σσσσσ
σσσσσσ
Hypothèses de Mindlin
Champ de déplacement
Champ de contraintes
prise en compte du cisaillement transversal
),,(),2
,,(
),,(),2
,,(
21
)0(
232123
21
)0(
132113
txxth
xx
txxth
xx
σσ
σσ
=±
=±0),
2,,(
0),2
,,(
2123
2113
=±
=±
th
xx
th
xx
σ
σ
En réalitéIncompatibilité des contraintes de cisaillement avec les conditions de surface libre pour
!
23hx ±=
Raymond D. Mindlin(1906 – 1987)
Vibrations des plaques minces
6060
Vibrations transverses
),,(),,,(
),,(),,,(
),,(),,,(
21
)0(
33213
2
21
)0(
333212
1
21
)0(
333211
txxWtxxxW
x
txxWxtxxxW
x
txxWxtxxxW
=
∂∂=
∂∂=
0),,,(
0),,,(
0),,,(
),,(),,,(
),,(),,,(
),,(),,,(
32133
32123
32113
21
)3(
12332112
21
)3(
22332122
21
)3(
11332111
====
=
=
txxx
txxx
txxx
txxxtxxx
txxxtxxx
txxxtxxx
σσσ
σσσσσσ
Hypothèses de Love-Kirchoff
Champ de déplacement
Champ de contraintes
cisaillement transversal nul
rotation de la section droite
Gustav Kirchhoff
(1824-1887) (1863-1940)
A. E. H. Love
Vibrations des plaques minces
6161
Fonctionnelle de Reissner ( )ijiWR σ,
matériau homogène et isotropeépaisseur de plaque constante et égale à h
Hypothèses de Love-Kirchoff
( )
( ) ( )( ) ( )
dtdS
G
I
E
xx
W
x
W
x
WI
t
Wh
tx
WI
tx
WI
WRt
tiji ∫ ∫
+−++
∂∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂∂+
∂∂∂
= 1
0
21
2)3(
12
)3(
22
)3(
11
2)3(
22
2)3(
11
21
)0(
3
2)3(
122
)0(
3
2)3(
222
)0(
3
2)3(
11
2)0(
3
2
2
)0(
3
22
1
)0(
3
2
21
2
1
2
2
1
,
σσνσσσ
σσσ
ρ
σ
12
3hI =
Vibrations des plaques minces
6262
Extremum de la fonctionnelle de Reissner ( )ijiWR σ,
Hypothèses de Love-Kirchoff
Equation du mouvement
relation de comportement de la plaque
0221
)3(
12
2
2
2
)3(
22
2
2
1
)3(
11
2
22
2
)0(
3
4
22
)0(
3
4
2
)0(
3
2
1
=
∂∂∂+
∂∂+
∂∂−
∂∂∂+
∂∂∂−
∂∂
xxxxI
tx
W
tx
WI
t
Wh
σσσρρ
∂∂∂
∂∂
∂∂
+
−−
−−=
21
)0(
3
2
2
2
)0(
3
2
2
1
)0(
3
2
22
22
)3(
12
)3(
22
)3(
11
100
011
011
xx
W
x
W
x
W
E
EE
EE
ν
ννν
νν
ν
σσσ
Vibrations des plaques minces
6363
Hypothèses de Love-Kirchoff
Conditions aux limites 0)0(
3 =Wsoit
soit
soit
soit
( ) ( )( )2
1
2
2
)3(
1221
)3(
22
)3(
112
)0(
3
2
2 nnnns
It
WIM
nT −+−
∂∂+
∂∂+
∂∂−= σσσρ
effort tranchant
moment fléchissant
( )2
2
)3(
2221
)3(
12
2
1
)3(
11 2 nnnnIM σσσ ++=
0=T
0)0(
3 =∂
∂n
W
0=M
S
n
s
1
2
Vibrations des plaques minces
6464
Hypothèses de Love-Kirchoff
024
2
)0(
3
4
2
2
2
1
)0(
3
4
4
1
)0(
3
4
22
2
)0(
3
4
22
)0(
3
4
2
)0(
3
2
1
=
∂∂+
∂∂∂+
∂∂−
∂∂∂+
∂∂∂+
∂∂−
x
W
xx
W
x
WD
tx
W
tx
WI
t
Wh ρρ
( )21 ν−= EI
D
( )
∂∂+
∂∂+
∂∂∂−+
∂∂+
∂∂= 2
22
1
)0(
3
2
2
2
)0(
3
2
21
21
)0(
3
22
12
2
)0(
3
2
2
1
)0(
3
2
12 nx
W
x
Wnn
xx
Wn
x
W
x
WDM ννν
( ) ( ) ( )
−
∂∂∂−++
∂∂−
∂∂
∂∂+
∂∂+
∂∂= 2
1
2
2
21
)0(
3
2
212
2
)0(
3
2
2
1
)0(
3
2
2
)0(
3
2
141 nnxx
Wnn
x
W
x
WD
st
WIM
nT ννρ
bilaplacien
00
3
2
2
0
3
2
=
∆−
∂
∂ρ−
)()(
WDt
Wh
Vibrations des plaques minces
6565
( ) ( )2
3
2 1121 νν −=
−= hEEI
D
bilaplacien
( ) 02
2
2
=∆+∂
∂WD
t
Whρ
Conditions aux limites
Encastrée sur le bord x=00),,0( =
∂∂
tyx
W
0),,0( =tyW
Simplement appuyée sur le bord y=0
0),0,( =txW
0),0,(),0,(
),0,(2
2
2
2
=
∂∂+
∂∂=
x
txW
y
txWDtxM υ
0),0,(
2
2
=
∂∂
y
txWD
b
x
y
L
Libre sur le bord x=L0
),,(),,(),,(
2
2
2
2
=
∂∂+
∂∂=
x
tLxW
y
tLxWDtLxM υ
0),,(
)2(),,(
),,(2
3
3
3
=
∂∂∂−+
∂∂=
xy
tLxW
y
tLxWDtLxT υ
),,( tyxW
avec
Vibrations des plaques minces
6666
bilaplacien
Difficile à résoudre par voie analytique
Plaques de géométrie rectangulaire ou circulaire
Conditions aux limites particulières
Séparation des variables temps et espace
Séparation des variables d’espace
Décomposition en équation produit
)(),(),,( tgyxftyxW =
)()(),( 21 yfxfyxf =
1 équation différentielle en temps
1 équation aux dérivées partielles en espace
( )2
3
112 ν−= hE
D( ) 02
2
2
=∆+∂
∂WD
t
Whρ
Vibrations des plaques minces
6767
Résolution par séparation des variables
)(),(),,( tgyxftyxW =
Csteyxfh
yx
f
y
f
x
fD
tg
tgd =
∂∂∂+
∂∂+
∂∂
−=),(
2
)(
)(22
4
4
4
4
4
2
ρ
Constante nulle 0)(
2
2
=dt
tgd
0222
4
4
4
4
4
=∂∂
∂+∂∂+
∂∂
yx
f
y
f
x
f yExDCyxf ++=),(
BAttg +=)(
( )( )yExDCBAttyxW +++=),,(
temps / espace
3 cas Constante nulle Constante négative Constante positive
( ) 02
2
2
=∆+∂
∂WD
t
Whρ ( )2
3
112 ν−= hE
D
Vibrations des plaques minces
6868
Constante négative
0)()( 2
2
2
=+ tgdt
tgd ω
2ω−=Cste
0),(2),(22
4
4
4
4
42 =
∂∂∂+
∂∂+
∂∂+− yx
yx
f
y
f
x
fDyxfhρω
)sin()cos()( tBtAtg ωω +=
1ère technique : séparation des variables d’espace
)()(),( 21 yfxfyxf = 0),(22
2
2
2
1
2
14
2
4
24
1
4
21
2 =
+++− yx
dy
fd
dx
fdf
dy
fdf
dx
fdDffhρω
xkeAxf 1)(1 =
ykeAyf 2)(2 =
( ) 022
2
2
1
2 =++− kkDhρω ( )h
Dkk
ρ
ω±=+ 2
2
2
1
2
1k 2
2k
2
1γ
2
2γ
2
2δ
( )h
D
ρ
ωγγ +=+ 2
2
2
1
( )h
D
ρ
ωδγ −=+ 2
2
2
1
xxebeaxf 11
111 )(γγ −+=
yyyyedecebeayf 2222
22222 )(δδγγ −− +++=
Vibrations des plaques minces
6969
2ème technique : factorisation de l’équation aux dé rivées partielles
0),(2),(22
4
4
4
4
42 =
∂∂∂+
∂∂+
∂∂+− yx
yx
f
y
f
x
fDyxfhρω
0),(2
2
2
2
2
2
2
2
=
−
∂⋅∂+
∂⋅∂
+
∂⋅∂+
∂⋅∂
yxfD
h
yxD
h
yx
ρωρω
0),(2
2
2
2
=
+
∂⋅∂+
∂⋅∂ + yxf
D
h
yx
ρω
0),(2
2
2
2
=
−
∂⋅∂+
∂⋅∂ − yxf
D
h
yx
ρω
),(),( yxfyxf −+ +
(1)
est solution de (1)
Vibrations des plaques minces
7070
recherche de la solution de 0),(2
2
2
2
=
+
∂⋅∂+
∂⋅∂ + yxf
D
h
yx
ρω
sous la forme ykxkeeyxf 21),( =+
2
1
2
2 γ
ρ
ωγ −=
h
D
( )( )yyxxebeaebeayxf 2211
2211),(γγγγ −−+ ++=
avec
de même pour 0),(2
2
2
2
=
−
∂⋅∂+
∂⋅∂ − yxf
D
h
yx
ρω
( )( )yyxxebeaebeayxf 2211
2211),(δδγγ −−− ++=
2
1
2
2 γ
ρ
ωδ −−=
h
Davec
),(),(
),(
yxfyxf
yxf
−+ +=
Vibrations des plaques minces
7171
PLAQUES RECTANGULAIRES
L
b
( ) 02
2
2
=∆+∂
∂WD
t
Whρ
)1(12 2
3
υ−= hE
Davec
211 /1002,2 mNE = 3.0=υ3/85.7 mKg=ρ mh 3105 −=
Conditions aux limites
x
y
Encastrée sur le bord x=00),,0( =
∂∂
tyx
W
0),,0( =tyW
Simplement appuyée sur le bord y=0
0),0,( =txW
0),0,(),0,(
),0,(2
2
2
2
=
∂∂+
∂∂=
x
txW
y
txWDtxM υ
0),0,(
2
2
=
∂∂
y
txWD
7272
PLAQUES RECTANGULAIRES
L
b
( ) 02
2
2
=∆+∂
∂WD
t
Whρ
)1(12 2
3
υ−= hE
Davec
Plaque appuyée sur deux bords opposés
x
y
appuyée sur le bord x=0
appuyée sur le bord x=L
0),,0( =tyW
0),,( =tyLW
0),,0(
2
2
=∂
∂y
tyW
0),,(
2
2
=∂
∂y
tyLW
)(),(),,( tgyxftyxW =
)sin()cos()( tBtAtg ωω +=
)()(),( 21 yfxfyxf =xx
ebeaxf 11
111 )(γγ −+=
yyyyedecebeayf 2222
22222 )(δδγγ −− +++=
7373
( ) ( )( )
+== yb
mx
L
ntBtAtgyxftyxW nmnmnmnmnmnm
ππωω sinsinsincos)(),(),,(
Plaque appuyée sur ses quatre bords
+
=22
b
m
L
n
h
Dnm
ππρ
ω
avec
∑∑∞
=
∞
=
=1 1
),,(),,(n m
nm tyxWtyxW
où
7474
PLAQUES RECTANGULAIRES
L
b
( ) 02
2
2
=∆+∂
∂WD
t
Whρ
)1(12 2
3
υ−= hE
Davec
Conditions aux limites
x
y
Libre sur le bord y=b0
),,(),,(),0,(
2
2
2
2
=
∂∂+
∂∂=
x
tbxW
y
tbxWDtxM υ
0),0,(
2
2
=
∂∂
y
txWD
7575
(1,1)(2,1)
(3,1)(1,2)
MODES de PLAQUES RECTANGULAIRES
PLAQUE SIMPLEMENT APPUYEE
Hzf 40,131 =Hzf 42,172 =
Hzf 12,243 =Hzf 58,496 =
mode 1 mode 2
mode 3mode 6
= yb
mx
L
nCtyxW nmnm
ππsinsin),,(
3=bL
(b = 1 m)
7676
(2,2) (3,2)
(5,3)
Hzf 30,608 =Hzf 60,537 =
Hzf 04,14222 =
mode 7
mode 8
mode 22
PLAQUE SIMPLEMENT APPUYEE
= yb
mx
L
nCtyxW nmnm
ππsinsin),,(
7777
Mode multiple
),,(),,(),,( 1,622,31 tyxWKtyxWKtyxW +=
+
=22
2
b
m
L
n
h
Dnm ρ
πω
( )
+
= 2
2
2
2
3m
n
h
D
bnm ρ
πω
(b = 1 m)
( )412
2
2,3 +=h
D
b ρπω
( )142
2
1,6 +=h
D
b ρπω
même fréquence
43,02
1 =K
K1
2
1 =K
K33,2
2
1 =K
K
7878
PLAQUE ENCASTREE
Hzf 321 = Hzf 3,352 =
PLAQUE LIBRE
(1,1)(2,1)
mode 1 mode 2
mode 1 mode 2
mode 3
Hzf 91.21 =
Hzf 42.52 =
(3,1)
(2,2)
(4,1)
Hzf 10.82 =
7979
PLAQUE ENCASTREE LIBRE
L
b
x
y
1=b
L2=
b
L4=
b
L
Hzf 2441
,= Hzf 0511
,= Hzf 2601
,=
Analogie avec les poutres Mode de flexion
mode 1
8080
PLAQUE ENCASTREE LIBRE
L
b
x
y
1=bL 2=
bL 4=
bL
Hzf 38102
,= Hzf 5142
,= Hzf 6312
,=
Analogie avec les poutres
Mode de torsion
mode 2
(b = 1 m)
Mode de flexion Mode de torsion
Lignes nodales
8181
PLAQUE ENCASTREE LIBRE
L
b
x
y
1=bL 2=
bL
4=bL
Hzf 08263
,=Hzf 556
3,= Hzf 102
3,=
Analogie avec les poutres
mode 3
(b = 1 m)
Mode de flexion Mode de torsion
Lignes nodales
Mode de flexion
8282
PLAQUE EN L
bb
b
A B
CD
EF
b
(b = 1 m)
mode 1
mode 2
mode 3
Hzf 38102
,=
Hzf 7001
,=
Hzf 8843
,=
encastrée sur AB et libre ailleurs
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