a slides 11

Systèmes MultivariablesCoordination de systèmes et de dispositifs dynamiques distribués

Dr. Denis Gillet (IEL)

http://graaasp.epfl.ch/#item=space_851

Support:

Polycopié Systèmes multivariables (2011) de D. Gilletqui est disponible en ligne

http://graaasp.epfl.ch/attachment/385

2

3

Syllabus• Représentation d'état (21 septembre): Introduction. Exemples qualitatifs. Représentation

d'état analogique.• Représentation d'état (28 septembre): Simulation. Représentation d'état discrète.• Etude de cas (5 octobre): Introduction ex catherdra à l'étude de cas et exercices.• Linéarisation (12 octobre): Trajectoires et points de fonctionnement. Commande a priori.

Linéarisation locale. Linéarisation globale.• Discrétisation (19 octobre): Discrétisation de modèles linéaires (prise en compte de

convertisseurs AD & DA). Méthodes de calcul de l'exponentielle de matrice.• Analyse dynamique des systèmes MIMO discrets et Principe de la commande d'état (26

octobre): Solution de l'équation d'état discrète. Matrice de transfert. Stabilité, Formes canoniques. Synthèse constructive du régulateur.

• Commande d'état SISO (2 novembre): Formule d'Ackermann pour le régulateur. Commande à réponse pile.

• Observation d'état (9 novembre): Méthode constructive. Formule d'Ackermann pour l'observateur. Observabilité.

• Etude de cas (16 novembre): Etude de cas au laboratoire - ME A0 392.• Commande d'état optimale (23 novembre): Introduction à la commande d'état MIMO.

Solution du problème optimal par Lagrange.• Commande d'état optimale (30 novembre): Commande optimale linéaire quadratique (LQR)

stationnaire.• Etude de cas (7 décembre): Etude de cas au laboratoire - ME A0 392 (assistant: Alain Bock). 0.5

pts de bonus (sur la base d'un rapport à rendre pour le 7 janvier par email à Alain Bock)!• Estimation d'état optimale (14 décembre).• Fonctions de navigation et révision (21 décembre).

Chap. 1: Introduction sur des exemplesEntraînement électrique

Rétroaction classique

Commande en cascade

4

Chap. 1: Introduction sur des exemplesEntraînement électrique

Commande d’état

5

Chap. 1: Introduction sur des exemplesPendule inversé

Applications

Interactions dynamiques

6

Chap. 1: Introduction sur des exemplesPendule inversé

Commande d’état

7

Chap. 1: Introduction sur des exemplesRobot 2D

8

Chap. 1: Linéarité

Additivité

+ Homogénéité

Principe desuperposition

f(x + y) = f(x) + f(y)f(αx) = αf(x)

f(αx + βy) = αf(x) + βf(y)

Comportement proportionnel

y(t) y(t)

u(t)u(t)

y(t) = f [u(t), t] = au(t) y(t) = f [u(t), t] = au(t) + b

9

10

u1 → y1 = au1

u2 → y2 = au2

u = αu1 + βu2 → y = a(αu1 + βu2) = α(au1) + β(au2) = αy1 + βy2

Chap. 1: Linéarité

u1 → y1 = au1 + bu2 → y2 = au2 + b

u = αu1 + βu2 → y = a(αu1 + βu2) + b = α(au1) + β(au2) + b �= αy1 + βy2

Le principe de superposition s’applique

Le principe de superposition ne s’applique pas

Chap. 1: Signaux discrets

t

w(tk)

t−3 t−2 t−1 t0

t1t2 t3 t4

t5

tk = khh est la période d’échantillonnage

w(tk) = w(kh)→ w(k)

Les techniques avancées de commande n’ont de sensqu’implantées sur ordinateurs, donc numériques

11

Chap. 1: Etat d’un système

Étatce qui est susceptible

d’évoluer

Conditions initiales

Entrées Sorties

• Actions• Causes• Données• Moyens disponibles

pour influencer le système

• Excitation• Grandeurs pouvant

être manipulées

Pert

urba

tions

• Influence de l’environnement sur le système• Grandeurs ne pouvant pas être manipulées

• Réactions• Effets• Résultats• Comportements qui

doivent être observés ou modifiés

• Réponse du système• Observations• Mesures

Le modèle est une représentation mathématique qui décrit les interactions entre les entrées et l’état, et entre l’état et les sorties

u1, u2, . . . , ury1, y2, . . . , yp

x1, x2, . . . , xn

12

13

Chapitre 2

Représentation d’état

Entraînement électriqueElectrical Drive

R

i

u ui

θ

f

J

Partie électrique Partie mécanique

u(t) = Ri(t) + ui(t)

ui(t) = kω(t)

J ω(t) = M(t)− fω(t)

θ(t) = ω(t)

M(t) = ki(t)

14

Entraînement électriqueElectrical Drive

R

i

u ui

θ

f

J

Modèle physique Choix des variables d’état

ω(t) = − 1J

�k2

R + f�

ω(t) + kJRu(t)

ω(t) = θ(t)

x1(t) = x2(t)

x2(t) = − 1J

�k2

R + f�

x2(t) + kJRu(t)

Modèle d’état: équation d’état Modèle d’état: équation de sortie

x1(t) = θ(t)x2(t) = ω(t)y(t) = θ(t)

y(t) = x1(t)

15

Systèmes analogiques non linéairesNonlinear continuous time systems

u (t) =

u1 (t)u2 (t)

...ur (t)

x (t) =

x1 (t)x2 (t)

...xn (t)

x (t) =

x1 (t)x2 (t)

...xn (t)

y (t) =

y1 (t)y2 (t)

...yp (t)

f [x (t) , u (t) , t] =

f1 [x (t) , u (t) , t]f2 [x (t) , u (t) , t]

...fn [x (t) , u (t) , t]

���������

y1 (t) = g1 [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t]y2 (t) = g2 [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t]

...yp (t) = gp [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t]

���������

x1 (t) = f1 [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t]x2 (t) = f2 [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t]

...xn (t) = fn [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t]

16

Systèmes analogiques non linéairesNonlinear continuous time systems

���������

y1 (t) = g1 [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t]y2 (t) = g2 [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t]

...yp (t) = gp [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t]

���������

x1 (t) = f1 [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t]x2 (t) = f2 [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t]

...xn (t) = fn [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t]

x(t) = f [x(t), u(t), t]y(t) = g [x(t), u(t), t]

17

2.1.3: Sélection des variables d’étatSelection of the state variables

aω(t) + sin z(t) = u21(t)

�v(t) + cos z(t) = u2(t)

z(t) = αt

Ne pas prendre en considération les dérivées des entrées

18

Systèmes analogiques linéairesLinear continuous time systems

x(t) = f [x(t), u(t), t]y(t) = g [x(t), u(t), t]

x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t)

x(t) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)

Linéaire

Linéaire etstationnaire

19

Non linéaire

Entraînement électriqueElectrical Drive

R

i

u ui

θ

f

J

Modèle d’état: équation d’état Modèle d’état: équation de sortie

Modèle d’état: équation d’état Modèle d’état: équation de sortie

y(t) = x1(t)x1(t) = x2(t)

x2(t) = − 1J

�k2

R+ f

�

� �� �a

x2(t) +k

JR����b

u(t)

�x1(t)x2(t)

�=

�0 10 a

� �x1(t)x2(t)

�+

�0b

�u(t) y(t) =

�1 0

� �x1(t)x2(t)

�

20

2.3: Méthode de Runge-Kutta

x (kh + h) ≈ x (kh) +16

[a(kh) + 2b (kh) + 2c (kh) + d (kh)]

y (kh) = g [x (kh) , u (kh) , kh]

a (kh) = hf [x (kh) , u (kh) , kh]b (kh) = hf

�x (kh) + a(kh)

2 , u�kh + h

2

�, kh + h

2

�

c (kh) = hf�x (kh) + b(kh)

2 , u�kh + h

2

�, kh + h

2

�

d (kh) = hf [x (kh) + c (kh) , u (kh + h) , kh + h]

x (kh + h) ≈ x (kh) +16

[a(kh) + 2b (kh) + 2c (kh) + d (kh)]

y (kh) = g [x (kh) , u (kh) , kh]

a (kh) = hf [x (kh) , u (kh) , kh]b (kh) = hf

�x (kh) + a(kh)

2 , u�kh + h

2

�, kh + h

2

�

c (kh) = hf�x (kh) + b(kh)

2 , u�kh + h

2

�, kh + h

2

�

d (kh) = hf [x (kh) + c (kh) , u (kh + h) , kh + h]

21

Systèmes discrets non linéairesNonlinear discrete time systems

���������

x1(k + 1) = f1 [x1(k), . . . , xn(k), u1(k), . . . , ur(k), k]x2(k + 1) = f2 [x1(k), . . . , xn(k), u1(k), . . . , ur(k), k]

...xn(k + 1) = fn [x1(k), . . . , xn(k), u1(k), . . . , ur(k), k]

y(k) =

y1(k)y2(k)

...yp(k)

x(k) =

x1(k)x2(k)

...xn(k)

u(k) =

u1(k)u2(k)

...ur(k)

f [x(k), u(k), k] =

f1 [x(k), u(k), k]f2 [x(k), u(k), k]

...fn [x(k), u(k), k]

���������

y1(k) = g1 [x1(k), . . . , xn(k), u1(k), . . . , ur(k), k]y2(k) = g2 [x1(k), . . . , xn(k), u1(k), . . . , ur(k), k]

...yp(k) = gp [x1(k), . . . , xn(k), u1(k), . . . , ur(k), k]

x(k + 1) =

x1(k + 1)x2(k + 1)

...xn(k + 1)

22

Entraînement électriqueElectrical Drive

R

i

u ui

θ

f

J

Modèle analogique

Modèle discret vu au travers de convertisseurs AD & DA

G(s) =θ(s)U(s)

=A

s (1 + sτ)τ = −1

aA = − b

a

H(z) =�1− z

−1�Z

�L−1

�G(s)

s

��

H(z) =θ(z)U(z)

=b1z

−1 + b2z−2

(1− z−1) (1 + αz−1)=

b1z−1 + b2z

−2

1 + (α− 1) z−1 − αz−2

α = −e−h/τ

b1 = A [h− τ (1 + α)]b2 = A [τ (1 + α) + hα]

23

2.5: FT → Modèle d’état

H (z) =Y (z)U (z)

=b0 + b1z

−1 + b2z−2 + . . . + bnz

−n

1 + a1z−1 + a2z

−2 + . . . + anz−n

Y (z) = b0U (z) +(b1 − a1b0) z−1 + (b2 − a2b0) z−2 + . . . + (bn − anb0) z−n

1 + a1z−1 + a2z−2 + . . . + anz−nU (z)

� �� �Y (z)

Y (z)U (z)

=(b1 − a1b0) z−1 + (b2 − a2b0) z−2 + . . . + (bn − anb0) z−n

1 + a1z−1 + a2z−2 + . . . + anz−n

Y (z)(b1 − a1b0) z−1 + (b2 − a2b0) z−2 + . . . + (bn − anb0) z−n

=U (z)

1 + a1z−1 + a2z−2 + . . . + anz−n≡ Q (z)

24

FT → Modèle d’état

H (z) =Y (z)U (z)

=b0 + b1z

−1 + b2z−2 + . . . + bnz

−n

1 + a1z−1 + a2z

−2 + . . . + anz−n

Y (z) = b0U (z) +(b1 − a1b0) z−1 + (b2 − a2b0) z−2 + . . . + (bn − anb0) z−n

1 + a1z−1 + a2z−2 + . . . + anz−nU (z)

� �� �Y (z)

Y (z)U (z)

=(b1 − a1b0) z−1 + (b2 − a2b0) z−2 + . . . + (bn − anb0) z−n

1 + a1z−1 + a2z−2 + . . . + anz−n

Y (z)(b1 − a1b0) z−1 + (b2 − a2b0) z−2 + . . . + (bn − anb0) z−n

=U (z)

1 + a1z−1 + a2z−2 + . . . + anz−n≡ Q (z)

U (z) = Q (z) + a1z−1Q (z) + a2z

−2Q (z) + . . . + anz−nQ (z)

25

FT → Modèle d’état

H (z) =Y (z)U (z)

=b0 + b1z

−1 + b2z−2 + . . . + bnz

−n

1 + a1z−1 + a2z

−2 + . . . + anz−n

Y (z) = (b1 − a1b0) z−1Q (z) + (b2 − a2b0) z−2Q (z) + . . . + (bn − anb0) z−nQ (z)

Y (z) = b0U (z) +(b1 − a1b0) z−1 + (b2 − a2b0) z−2 + . . . + (bn − anb0) z−n

1 + a1z−1 + a2z−2 + . . . + anz−nU (z)

� �� �Y (z)

Y (z)U (z)

=(b1 − a1b0) z−1 + (b2 − a2b0) z−2 + . . . + (bn − anb0) z−n

1 + a1z−1 + a2z−2 + . . . + anz−n

Y (z)(b1 − a1b0) z−1 + (b2 − a2b0) z−2 + . . . + (bn − anb0) z−n

=U (z)

1 + a1z−1 + a2z−2 + . . . + anz−n≡ Q (z)

26

FT → Modèle d’état

Q (z) = −a1z−1Q (z)− a2z

−2Q (z)− . . .− anz−nQ (z) + U (z)

Y (z) = (b1 − a1b0) z−1Q (z) + (b2 − a2b0) z−2Q (z) + . . . + (bn − anb0) z−nQ (z)

���������

W1 (z) = z−1Q (z)W2 (z) = z−2Q (z)

...Wn (z) = z−nQ (z)

���������

zW1 (z) = Q (z) = −a1W1 (z)− a2W2 (z)− . . .− anWn (z) + U (z)zW2 (z) = z−1Q (z) = W1 (z)

...zWn (z) = z−n+1Q (z) = Wn−1 (z)

27

Y (z) = (b1 − a1b0)W1(z) + (b2 − a2b0)W2(z) + . . . + (bn − anb0)Wn(z)

Y (z) = b0U(z) + Y (z)

FT → Modèle d’état

w (k + 1) =

−a1 −a2 . . . −an−1 −an

1 0 . . . 0 0

0 1...

......

. . . 0 00 . . . 0 1 0

� �� �Φw

w (k) +

10...00

� �� �gw

u (k)

y (k) =�

b1 − a1b0 b2 − a2b0 . . . bn − anb0

�� �� �

cTw

w (k) + b0u (k)

28

H (z) =Y (z)U (z)

=b0 + b1z

−1 + b2z−2 + . . . + bnz

−n

1 + a1z−1 + a2z

−2 + . . . + anz−n

Entraînement électriqueElectrical Drive

R

i

u ui

θ

f

J

Modèle discret vu au travers de convertisseurs AD & DA

H(z) =θ(z)U(z)

=b1z

−1 + b2z−2

(1− z−1) (1 + αz−1)=

b1z−1 + b2z

−2

1 + (α− 1) z−1 − αz−2

α = −e−h/τ b1 = A [h− τ (1 + α)] b2 = A [τ (1 + α) + hα]

Modèle d’état discret artificiel correspondant�

w1(k + 1)w2(k + 1)

�=

�− (α− 1) α

1 0

� �w1(k)w2(k)

�+

�10

�u(k)

y(k) = θ(k) =�

b1 b2

� �w1(k)w2(k)

�+ [0]u(k)

29

Modèle d’état/State-space model

Analogique/Continuous Discret/Discrete

No

n l

iné

air

eN

on

lin

ear

Lin

éair

e e

tst

atio

nn

air

eL

ine

ar

an

dti

me

-in

vari

an

t

Lin

éair

eL

ine

ar x (t) = A (t) x (t) + B (t) u (t)

y (t) = C (t) x (t) + D (t) u (t)

x (t) = f [x (t) , u (t) , t]y (t) = g [x (t) , u (t) , t]

x (k + 1) = f [x (k) , u (k) , k]y (k) = g [x (k) , u (k) , k]

x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Du (t)

30

x (k + 1) = Φx (k) + Γu (k)y (k) = Cx (k) + Du (k)

x (k + 1) = Φ(k)x (k) + Γ(k)u (k)y (k) = C(k)x (k) + D(k)u (k)