4/12/07 mathÉmatiques financiÈres i vingt-cinquième cours

4/12/07

MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

Vingt-cinquième cours

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Rappel du dernier cours

• Amortissement d’une obligation - méthode actuarielle

• Amortissement d’une obligation - méthode linéaire

• Prix d’une obligation entre des coupons - Introduction

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Rappel:

• la valeur comptable de l’obligation après le versement du ke coupon sera notée par Bk

• la portion d’intérêt du ke coupon sera notée par Ik

• l’ajustement à être apporté à la valeur comptable de l’obligation dans le ke coupon sera notée Pk

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Rappel: Méthode actuarielle

La valeur comptable Bk immédiatement après le ke coupon est obtenue prospectivement (respectivement rétrospectivement) en utilisant les valeurs actuelles des coupons à venir et de la valeur de remboursement (respectivement les valeurs accumulées des coupons versés et du prix) selon au taux de rendement i obtenu lors de l’achat de l’obligation.

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Rappel: Méthode actuarielle

La portion d’intérêt Ik du ke coupon estiB(k- 1) . C’est ce que doit nous rapporter l’obligation pour une période au taux i.

L’ajustement Pk à apporter à la valeur comptable dans le ke coupon est Pk = Fr - Ik .

Nous avons Bk = Bk-1 - Pk .

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Rappel:

Si nous considérons une obligation dont la valeur de remboursement C = 1$ et les montants des coupons sont égaux au taux modifié d’intérêt g. Le prix de l’obligation est (1 + p) dollars, où p peut être négatif ou positif.

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Rappel:

où i est le taux de rendement .

ou encore

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Rappel: Table d’amortissement

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Rappel: Amortissement - méthode linéaire.L’ajustement à apporter à chaque valeur comptable est constant à chaque période et est égal à

s’il y a n coupons. La portion d’intérêt de chaque coupon est constante et égale à

Fr - Pk = Fr - [(P-C)/n].

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Rappel: Exemple

Considérons le prix P(x) d’une obligation au moment x de sa durée de vie dont les valeurs nominale et de remboursement sont de 100$, le taux facial est r = 4% par période de capitalisation, d’une durée de vie de 8 périodes de capitalisation en supposant que le taux de rendement est 6% par période de capitalisation. Ici x est compris entre 0 et 8.

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Rappel: Exemple

P(x) est obtenu prospectivement en considérant la somme des valeurs actuelles des coupons de 4$ et de la valeur actuelle de la valeur de remboursement de 100$. Alors

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Rappel: Exemple

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À cause de ces sauts, il est nécessaire de considérer deux prix: le prix uniforme

(« flat price ») et le prix du marché (« market price ») ou encore la valeur

comptable de l’obligation. Ce dernier prix fera en sorte de lisser la fonction pour

faire disparaître les sauts.

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Le prix uniforme (« flat price ») de l’obligation est le montant d’argent qui change de main au moment de la vente (sans tenir compte des commissions). Nous noterons ce prix par

où k est un nombre entier de périodes et t est compris entre 0 et 1.

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Le prix du marché (« market price ») ou valeur comptable de l’obligation est le montant d’argent qui apparait dans les cotations financières. Nous noterons ce prix par

où k est un nombre entier de périodes et t est compris entre 0 et 1.

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Ces deux prix sont reliés par la relation suivante:

où Frt est la valeur proportionnelle du coupon après un temps t de la période. Cette valeur Frt sera déterminé selon différentes hypothèses.

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Première méthode:Nous allons supposer que le prix uniforme est obtenu en supposant que l’intérêt est composé pour la période entre deux coupons. Plus précisément

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Pour cette première méthode, le prix du marché est alors

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Deuxième méthode:Nous allons supposer que le prix uniforme est obtenu en supposant que l’intérêt est simple pour la période entre deux coupons. Plus précisément

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Pour cette deuxième méthode, le prix du marché est alors

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Troisième méthode:Nous allons supposer que le prix uniforme est obtenu en supposant que l’intérêt est composé pour la période entre deux coupons, mais en prenant Frt = tFr . Plus précisément

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Pour cette troisième méthode, le prix du marché est alors

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Cette dernière méthode est la plus utilisée dans la pratique. Pour obtenir t, le décompte des jours est obtenu

soit en utilisant la convention actuel/actuel ou encore 30/360.

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Exemple 1:

Déterminons le prix uniforme, la valeur du coupon et le prix du marché d’une obligation de valeur nominale de 5000$ dont le taux facial est le taux nominal de 8% par année capitalisé semestriellement, la valeur de remboursement est aussi de 5000$ et le taux de rendement est 6% par année capitalisé semestriellement au moment de l’achat, la durée de vie de cette obligation au moment de l’émission est de 6 ans et l’achat est fait 13 semaines après l’émission.

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Exemple 1: (suite)

Dans ce cas, F = 5000, C= 5000, r = 4% par six mois, i = 3% par six mois. Le coupon est (0.04)(5000) = 200$. La durée de vie de cette obligation au moment de l’émission est de 6 ans, à savoir 12 périodes de capitalisation et l’achat est fait 13 semaines après l’émission. La période de capitalisation est de 6 mois = 26 semaines.

Nous allons aussi illustrer chacune des méthodes.

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Exemple 1: (suite)

Première méthode:

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Exemple 1: (suite)

Deuxième méthode:

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Exemple 1: (suite)

Troisième méthode:

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Exemple 2:

Dans le Wall Street Journal du 23 novembre 2004, il y avait les cotations suivantes pour les obligations du Département du Trésor américain.

RateMaturityMo/Yr

Bid Asked Chg. Ask. Yld.

2.750 Aug07n 99:02 99:03 ... 3.10

4.875 Feb12n 105:30 105:31 3 3.92

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Exemple 2: (suite)

Pour chacune des obligations, calculons approximativement le prix du marché à partir du taux de rendement en utilisant la troisième méthode.

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Exemple 2: (suite)

Pour l’obligation 2.750 Aug07n, nous sommes environ à la moitié d’une période de paiement. C’est ce que nous supposerons, nous obtenons alors que t = 0.5. De plus r = 2.75%/2 = 1.375% et i = 3.10%/2 = 1.55%. Il y aura 6 coupons. Donc

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Exemple 2: (suite)

Pour l’obligation 2.750 Aug07n, le prix demandé inscrit dans le journal est 99:03 = 99 3/32 = 99.09375$. La différence est attribuable à notre approximation pour la fraction de période.

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Exemple 2: (suite)

Pour l’obligation 4.875 Feb12n, nous sommes environ à la moitié d’une période de paiement. C’est ce que nous supposerons, nous obtenons alors que t = 0.5. De plus r = 4.875%/2 = 2.4375% et i = 3.92%/2 = 1.96%. Il y aura 15 coupons. Donc

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Exemple 2: (suite)

Pour l’obligation 4.875 Feb12n, le prix demandé inscrit dans le journal est 105:30 = 105 30/32 = 105.9375$. La différence est attribuable à notre approximation pour la fraction de période.

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Nous avons vu jusqu’à présent comment calculer le prix P d’une obligation étant

donné le taux de rendement i. Nous allons maintenant considérer le problème inverse. Étant donné le prix P, comment déterminer le taux de rendement i. Nous ferons ceci que dans la situation d’une

obligation achetée immédiatement après le paiement de coupon.

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Nous avons l’équation prime/escompte du prix:

ou encore

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Nous obtenons alors

Dans la suite, nous noterons par k: le nombre

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Avec un peu d’algèbre, alors

Nous pouvons utiliser l’approximation

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Nous obtenons alors une première approximation pour le taux de rendement

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Nous pouvons obtenir une seconde approximation pour le taux de rendement

en notant dans la formule précédente que si n est grand, alors (n + 1)/2n est approximativement égal à 1/2. Donc

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Cette dernière formule

est appelée la méthode du vendeur d’obligations.

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Finalement nous pouvons obtenir une approximation plus précise encore en

utilisant la méthode de Newton-Raphson pour déterminer l’unique zéro positif de

la fonction

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Nous obtenons comme règle récursive pour la méthode de Newton-Raphson

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Comme valeur initiale pour la méthode, nous pouvons prendre

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ou encore

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Exemple 3:

Considérons une obligation de valeur nominale de 100$, remboursé aussi à cette valeur, dont le taux facial est le taux nominal d’intérêt de 8% par année capitalisé à tous les six mois, les coupons sont versés à tous les six mois et la durée de vie de l’obligation est de 10 ans. Déterminons le taux nominal de rendement capitalisé semestriellement si cette obligation est achetée à 102$.Ici n = 20, r = g = 4%, k = (102 - 100)/100 = 0.02.

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Exemple 3: (suite)

Nous pouvons prendre comme valeur initiale

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Exemple 3: (suite)

La règle récursive est

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Exemple 3: (suite)Nous obtenons alors le tableau suivant:

s is 2is

0 3.8594755% 7.718951%

1 3.8534396% 7.7068792%

2 3.8547232% 7.7094464%

3 3.8547233% 7.7094466%

Donc le taux de rendement recherché est 7.7094466%

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Pour certaines obligations, l’émetteur peut rembourser sa dette avant la date d’échéance. Ce sont des obligations rachetables (« callable

bonds »). Une telle provision présente une difficulté pour déterminer le taux de rendement de l’obligation. En effet, la valeur de n n’est pas

bien déterminée. Cependant le souscripteur peut supposer que l’émetteur utilisera l’option

de rachat qui lui est le moins favorable.

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Plus précisément, il y a plusieurs scénarii possibles avec différentes valeurs de

remboursement à différentes dates de rachat incluant la date d’échéance. Il est possible

alors de calculer pour chacun de ces scénarii le taux de rendement à partir du prix et de considérer le plus bas de ces taux de

rendement comme celui de l’obligation.

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Exemple 4:

Une obligation de valeur nominale de 10000$, dont le taux facial est le taux effectif d’intérêt de 5% par année, les coupons sont versés une fois par année, à la fin de l’année, et la durée de vie de l’obligation est de 20 ans. L’obligation peut être remboursée à la fin de la dixième année, à la fin de la quinzième année et à la fin de la vingtième année. Les valeurs de remboursement sont de 12000$ à la fin de la dixième année, de 11000$ à la fin de la quinzième année et 10000$ à la fin de vingtième année. Cette obligation est achetée pour 10050$. Déterminons le taux effectif de rendement.

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Exemple 4: (suite)

Scénario 1: Remboursement à la fin de la dixième année. Il nous faut résoudre l’équation

Nous obtenons alors que le taux de rendement est i = 6.418504910%

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Exemple 4: (suite)

Scénario 2: Remboursement à la fin de la quinzième année. Il nous faut résoudre l’équation

Nous obtenons alors que le taux de rendement est i = 5.400157771%

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Exemple 4: (suite)

Scénario 3: Remboursement à la fin de la vingtième année. Il nous faut résoudre l’équation

Nous obtenons alors que le taux de rendement est i = 4.960014620%. En conséquence, si nous considérons les 3 scénarii, le taux de rendement sera donc au moins 4.960014620%.

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Une autre situation qui peut se présenter dans le cas des obligations rachetables est la suivante.

L’investisseur s’est fixé un taux de rendement seuil et cherche à déterminer le prix P qu’il doit payer pour une telle obligation rachetable. Dans ce cas, il calcule le prix de l’obligation pour chacun des scénarii avec différentes

valeurs de remboursement aux différentes dates de rachat au taux de rendement seuil. Le scénario qui est le plus défavorable pour l’investisseur est celui pour lequel le prix d’achat P est le plus petit Pmin parmi tous ceux des

scénarii au taux de rendement seuil. Si l’obligation est rachetée à une autre date, alors le taux de rendement

sera supérieur ou égal au taux de rendement seuil.

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L’explication réside dans le fait que le prix est une fonction décroissante du taux de rendement.

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Exemple 5:

Une obligation de valeur nominale de 1000$, dont le taux facial est le taux effectif d’intérêt de 7% par année, les coupons sont versés une fois par année, à la fin de l’année, et la durée de vie de l’obligation est de 20 ans. L’obligation peut être remboursée à la fin des 12e et 14e années à 1075$, peut être remboursée à la fin des 16e et 18e années à 1050$ et peut être remboursée à la fin de la 20e année à 1000$. Nous aimerions obtenir un taux de rendement d’au moins 8% par année. Déterminons le prix qu’il faut payer cette obligation pour être assuré de ce rendement.

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Exemple 5:

Calculons le prix Pn au taux de rendement pour l’obligation rachetée à la fin de la ne année au taux de rendement de 8%. Nous avons

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Le prix pour obtenir au moins le taux de rendement de 8%par année est de 901.82$.