18/09/07 mathÉmatiques financiÈres i cinquième cours

18/09/07

MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

Cinquième cours

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Rappel du dernier cours

• Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt

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Rappel du dernier cours

• Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt

• Taux instantané de l’intérêt constant

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Rappel du dernier cours

• Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt

• Taux instantané de l’intérêt constant

• Date de comparaison

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Rappel du dernier cours

• Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt

• Taux instantané de l’intérêt constant

• Date de comparaison

• Diagramme d’entrées et sorties

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Rappel du dernier cours

• Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt

• Taux instantané de l’intérêt constant

• Date de comparaison

• Diagramme d’entrées et sorties

• Équation de valeur

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Rappel du dernier cours

Si nous connaissons la fonction d’accumulation

alors le taux instantané de l’intérêt est

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Rappel du dernier cours

Si nous connaissons le taux instantané de l’intérêt

et le principal, alors nous pouvons déterminer la fonction d’accumulation

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Rappel du dernier cours

Le montant d’intérêt gagné pendant la période allant de 0 jusqu’au temps t

Le montant d’intérêt gagné pendant la période allant du temps t = a jusqu’au temps t = b est

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Nous allons maintenant considérer des questions relatives au temps, à la durée

d’un prêt: échéance moyenne, duplication du capital

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Échéance moyenne:

L’échéance moyenne est le moment

pour lequel un versement de

respectivement payables aux moments

est équivalent à n versements de

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Échéance moyenne: (suite)

Nous avons le diagramme d’entrées et sorties

suivant:

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Échéance moyenne: (suite)

L’équation de valeur avec comme date de comparaison t= 0:

Rappelons que

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Échéance moyenne: (suite)

De ceci, nous obtenons que

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Échéance moyenne: (suite)

De ceci, nous obtenons que

Donc

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Échéance moyenne: (suite)

Finalement

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Échéance moyenne: (suite)

Finalement

Autre forme équivalente:

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Dans cette dernière équation,

désigne le taux instantané de l’intérêt constant équivalent au taux d’intérêt composé

c’est-à-dire

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Échéance moyenne approché:

Il est possible d’approximer la valeur de

par l’échéance moyenne approchée

En effet,

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Échéance moyenne approché: (suite)

Pour démontrer cette formule, il faut utiliserla série binomiale

si

et développer en série

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Exemple 1: Anastasia doit rembourser un prêt en faisant 4 versements : 1500$, 3500$, 3000$, 2500$ payable respectivement à la fin de la 5e, 7e, 8e et 12e année. Le taux d’intérêt composé de ce prêt est 6% par année. Le total des versements de ce prêt est 10500$. Supposons qu’elle préfèrerait faire un seul versement de 10500$ pour rembourser ce prêt.

Quand doit-elle faire ce remboursement?

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Exemple 1: (suite) Nous devons calculer l’échéance moyenne. Par ce qui précède, nous obtenons le diagramme suivant du flux financier

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Exemple 1: (suite) Le taux d’intérêt est

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Exemple 1: (suite) Le taux d’intérêt est

L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 0 est

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Exemple 1: (suite) Nous obtenons que l’échéance moyenne est alors

soit environ après 8 ans, 13 jours, 21heures et 8 minutes.

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Exemple 1: (suite) Par contre, nous obtenons que l’échéance moyenne approchée est

soit environ après 8 ans, 69 jours, 12heures et 34 minutes.

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Remarque 1:

Il est possible de montrer que nous avons toujours

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Remarque 1: (suite)L’inégalité

est une conséquence de l’inégalité entre la moyenne

géométrique et la moyenne arithmétique:

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Duplication du capital:

Combien faut-il de temps pour qu’un capital investi double?

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Duplication du capital:(suite)

Si nous investissons un capital de K dollars au taux d’intérêt composé i, nous voulons déterminer le temps t nécessaire pour que la valeur accumulée après cette période soit 2K. En équation, nous avons

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Duplication du capital:(suite)

Après simplification, nous obtenons

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Duplication du capital:(suite)

Après simplification, nous obtenons

En prenant le logarithme des deux côtés de l’égalité,nous obtenons

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Duplication du capital:(suite)

Après simplification, nous obtenons

En prenant le logarithme des deux côtés de l’égalité,nous obtenons

Finalement

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Duplication du capital:(suite)

Cette valeur

peut être approximée par la règle de 72.

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Duplication du capital:(suite)

Cette valeur

peut être approximée par la règle de 72. Plus précisément,

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Exemple 2: Si le taux d’intérêt composé est

alors il faudra pour que le capital double

Par la règle de 72, nous obtenons comme approximation

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Triplication du capital:

Combien faut-il de temps pour qu’un capital investi triple?

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Triplication du capital: (suite)

Nous pouvons procéder exactement comme pour la duplication du capital et obtenir que le temps nécessaire pour que le capital triple est

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Duplication du capital:(suite)

Cette valeur

peut être approximée par la règle de 114.

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Duplication du capital:(suite)

Cette valeur

peut être approximée par la règle de 114.

Plus précisément,

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Exemple 3: Si le taux d’intérêt composé est

alors il faudra pour que le capital triple

Par la règle de 114, nous obtenons comme approximation

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Nous allons maintenant considérer des questions relatives au taux d’intérêt.

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Situation 1: Considérons une situation très simple. Le flux financier a une seule entrée P et une seule sortie A. Nous connaissons la durée de la transaction n.Dans une telle situation, le diagramme d’entrées et sorties est

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Situation 1: (suite) L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = n est

où

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Situation 1: (suite) L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = n est

où

Nous obtenons facilement que

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Situation 2: Considérons une situation plus complexe. Le flux financier a plusieurs entrées et plusieurs sorties. Nous connaissons les moments où ces montants sont versés.

Dans une telle situation, l’équation de valeurs nous permet d’écrire une équation de la forme

après avoir transféré tous les termes d’un coté de l’équation de valeurs à l’autre.

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Pour résoudre ce type de questions, nous verrons deux méthodes dans le cours:

• Méthode de bissection

• Méthode de Newton-Raphson

Nous allons maintenant expliquer la méthode de bissection. Nous verrons plus tard celle de Newton-Raphson.

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Exemple 4: Déterminons le taux d’intérêt d’un prêt dont le flux financier est représenté par le diagramme d’entrées et sorties suivant:

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Exemple 4: (suite) L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 9 est

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Exemple 4: (suite) L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 9 est

En transférant tout vers la gauche, nous obtenons

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Exemple 4: (suite) L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 9 est

En transférant tout vers la gauche, nous obtenons

Nous pouvons noter que

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Exemple 4: (suite) Donc la fonction

au point milieu 5% pour savoir dans quel sous-intervalle se trouve le zéro. Nous répétons ensuite cet algorithme avec le sous-intervalle plus petit.

a un zéro entre 4% et 6%.

Nous subdivisons cet intervalle en deux, nous évaluons la fonction

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Exemple 4: (suite)i f(i)

4% -833.0496513

6% 601.3797796

5% -148.4830568

5.5% 218.011650

5.25% 32.690028

5.125% -58.410764

5.1875% -12.989460

5.21875% 9.817942

5.203125% -1.593838

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Exemple 4: (suite)

Donc nous pouvons conclure que le taux d’intérêt recherché est approximativement 5.2%. Si nous voulons plus de précision, il faut poursuivre nos calculs dans le tableau précédent.