1) mouvement linéaire 2) mouvement en...

Cinématique et cinétique

1) Mouvement linéaire

2) Mouvement en rotation

Ouvrages : Allard P, Blanchi JP (1996). Analyse du mouvement humain par la biomécanique. Decarie. Blanchi JP (2000). Biomécanique du mouvement et APS. Vigot. Grimsha P, Burden A (2010). Biomécanique du sport et de l’exercice. De Boeck.

1. La cinématique

Il y a trois variables cinématiques de base :

position, vitesse et accélération

la position d’un objet est simplement son emplacement dans l’espace

les variation de position peuvent être décrites par la distance ou le déplacement

la vitesse d’un objet correspond à la variation de position de cet objet en fonction de t l’accélération d’un objet correspond à la variation de vitesse de cet objet en fonction de t

Cinématique : notion de mouvement

Les notions de mouvement et d’immobilité sont relatives !

Nécessité de définir un référentiel

Terminologie …

• Cinématique du solide :

On parle du mouvement d’un objet S par rapport à un repère R.

On parle du mouvement d’un point P, appartenant à un objet, S par rapport à un repère R.

• Cinématique du point :

Mouvement dans le plan sagittal (2D)

Temps (% du cycle de marche) O x r

y r O1

x1 r

y1 r

O1 x1 r

y1 r

Le point O1 appartenant au buste est en mouvement par rapport au repère R0 mais immobile par rapport au repère R1 (lié au buste).

Mouvement de la cheville a) Repère fixe b) Repère sur la hanche

Rappel : Coordonnées Cartésiennes

1

Vecteurs e1 et e2 formant une base orthonormée. Classiquement : e1 = i et e2 = j

S

M( , ) x (t) y (t) Position : M( , , ) x (t) y (t) z (t)

Dans le plan Dans l’espace Y

XO i

rjr

M

A(x)

B(y)

Y

XO i

rjr

Y

XO i

rir

jrjr

M

A(x)

B(y) M

A(x)

B(y) M

m

y

x

z

Y

X

Z

ir

jr

kr

MM

m

y

x

z

m

y

x

z

Y

X

Z

irir

jrjr

krkr

Pour situer le point mobile M dans le repère R à un instant t quelconque, il est nécessaire de connaître les coordonnées x(t), y(t) et z(t) de M dans le repère R.

position

Vecteur position :

iyixOM

OBOAOM

tt

rr.. iyixOM

OBOAOM

tt

rr.. k j i

r r r . z . y . x OM

mM Om OM

t t t

o

Repérage d’un point dans l’espace

Dans l’espace : 3 dimensions

M

m

y

x

z

M x (t)

y (t)

z (t)

k j i r r r

. z . y . x OM

mM Om OM

t t t

2 2 2 z y x OM

Y

X

Z

i r

j r

k r

(Ox,y,z) repère orthonormé

Vecteurs

Vecteur : Direction, sens, et longueur

Somme vectorielle

Opérations sur les vecteurs :

+ = A r B

r B

A r

S r

r

S ≠ A+B mais BASrrrBASrrr

Différence vectorielle

- B r

A rS

r- =

A r B

r+

A r - B

r=

Cinématique : Position et ses dérivées en fonction du temps : vitesse et accélération

t

xx

t

xv if

moyen

rrrr

Vitesse Moyenne vs.

Instantanée

• Vitesse moyenne n’est pas très significative lors des événements athlétiques où plusieurs changements de directions se produisent.

• Exemple du marathon

– départ et arrivée au même endroit donc

d 0

???0v

Vitesse instantanée (v) plus importante

spécifie “à quelle vitesse” et dans quelle direction

on bouge à un point et à un instant donné

0

2

4

6

8

10

12

14

0 2 4 6 8 10

time (s)

sp

ee

d (

m/s

)

Lewis

Burrell

Mitchell

Lewis Avg

Burrell Avg

Mitchell Avg

Championnat Monde 1991 - Tokyo

Vitesse moyenne vs. Instantanée

Temps (s)

Vit

esse

(m

/s)

La vitesse instantanée :

tdvvitesse

La vitesse instantanée représente le taux de changement instantanée de la position. Contrairement à la vitesse moyenne, la vitesse instantanée permet de décrire le comportement à chaque instant t.

dt

xd

t

xvv

tinst

rrrr

0lim

• Le vecteur vitesse instantanée est toujours tangent à la trajectoire.

• La vitesse instantanée est calculée en prenant la limite d’un intervalle de temps tendant vers 0.

dt

xd

t

xvv

tinst

rrrr

0lim

dt tend vers 0, l’intervalle de temps est infiniment petit : « instantané »

Calcul différentiel

V(t)

Pente (coefficient directeur) de la droite tangente au point (t) Y = a X + b

X(t), Y(t)

Position Vitesse Accélération

Mouvement unidimensionnel

Méthode « pas à pas » :

V = (X3 – X2)/(Δ t) = (X3 – X2)/(t3-t2) m/s

X

t 0

B (X2)

C (X3)

t1 t2 t3 t4

Δ t = constant

t1 t2 t3 t4

X

t 0

B (X2)

C (X3)

la vitesse calculée « pas à pas » donne la vitesse pour l’instant

au milieu de l’intervalle

M

Coefficient directeur (pente) de la tangente

Détermination Quantitative de v et a à partir de s ou => Comment calculer v et a à partir de s

?

image Time Pos. (m) Vel. (m/s) Acc. (m/s/s)

1 0,00 0,00

2 0,10 0,595,90

-23,00

3 0,20 0,953,60

-31,00

4 0,30 1,000,50

-10,00

5 0,40 0,95-0,50

-31,00

6 0,50 0,59-3,60

t

va ,

t

sv t = 0,10 s

X

t 0

B (X2)

C (X3)

t1 t2 t3 t4

Méthode « différence centrale » : V = (X3 – X1)/(2*Δ t) = (X3 – X1)/(t3-t1) m/s

A (X1)

Vitesse linéaire (axe horizontal) De la hanche, coude, poignet et doigts en handball

V

t

t

t t V S

Trouver la distance si nous connaissons la vitesse ?

Dans l’intervalle de temps de a à b, La formule ΔX = V. Δt donne le déplacement

dt

En prenant la limite dt tend vers 0, intégrale de la vitesse :

Centre de Masse

• Le centre de masse est le point au niveau duquel la masse corporelle est également distribuée.

• La ligne de gravité est la ligne qui définie le centre de masse dans le plan transverse.

• Debout les bras le long du corps : Seconde vertèbre sacrée (S2)

• Le centre de masse est le point autour duquel la masse corporelle est également distribuée.

distribution symétrique

CM au milieu

Point d’équilibre

Distribution asymétrique

CM plus proche de la masse la plus importante

Formules Générales :

x =

m x

m

cm

i ii=1

n

ii=1

n y =

m y

m

cm

i ii=1

n

ii=1

n

où,

xi est la distance de l’axe x à la ième masse

yi est la distance de l’axe y à la ième masse

mi est la masse du ième élément (segment)

Mouvement aérien

• Dire à une personne de réaliser un saut vers le haut à l’aide de ses bras

• le mouvement est influencé seulement par la gravité lorsque la personne est en l’air

• le CM suivra une forme parabolique

En chemin vers le haut ... Initialement la vitesse verticale est élevée

quand le corps quitte le sol PUIS la vitesse verticale diminue à cause de la

gravité

v (m/s)

vitesse initiale (positive)

La vitesse diminue

Sommet du saut ... Le corps change de direction

donc la vitesse est nulle

v (m/s)

vitesse initiale (positive)

La vitesse diminue

vitesse =0

En chemin vers le bas ... La vitesse du sauteur diminue,

elle devient négative mais sa grandeur est plus grande.

v (m/s)

Vitesse initiale (positive)

La vitesse diminue

vitesse =0

Vitesse finale (négative)

La vitesse diminue

Un joueur de basketball peut apparaître rester à une hauteur constante pendant des périodes brèves de temps en manipulant les segments corporels autour de son CM. Le CM suivra toujours le chemin d’une parabole pendant que le corps est en l’air. Cas du mouvement uniformément accéléré.

Stabilité de l’équilibre

2. La Cinétique

La cinétique s’intéresse de rechercher les causes / les raisons du mouvement.

Pourquoi un objet immobile commence-t-il à se mouvoir?

Qu ’est-ce qui amène un corps à accélérer ou ralentir?

Force

cause capable de produire ou modifier un mouvement

grandeur vectorielle

Introduction

Différentiation entre masse et poids

Masse = quantité de matière

le poids est une force

celle de la gravitation agissant sur un corps

la masse est une propriété du corps lui-même

[kg]

[N]

Définitions

I - Les forces

• On définit une force comme un agent qui cause ou tend à causer un changement de position ou de forme d'un corps.

• Les forces sont donc responsables du mouvement de tous les corps incluant le corps humain et ses segments.

Les forces sont des quantités vectorielles. Elles ont donc les propriétés d'un vecteur soit :

- une amplitude

- une direction

-un point d'application

-Un Newton = la magnitude de la force capable d’accélérer un objet dont la masse est 1 Kg à 1 M/sec

Propriétés d'une force

Projection sur X Résultante X = ∑ Fi cos(angle i) Projection sur Y Résultante Y = ∑ Fi sin(angle i)

Y

X

F1

Fy2 Fx2

F

Forces externes : Contacts, champs (gravité) Forces internes : Musculaire

La première loi de Newton

Tout corps au repos, ou se déplaçant à vitesse constante, tend à demeurer au repos, ou à vitesse constante, à moins qu'une force externe agisse sur le corps. Cette résistance à tout changement de mouvement est aussi appelée l'inertie (idem pour tout corps en mouvement en l’absence d’une force)

L'inertie d'un corps est directement proportionnelle à sa masse. Ainsi, un haltère de 25 kg sera plus difficile à déplacer qu'un haltère de 5 kg à cause de son inertie plus élevée

Principes qui découlent de la 1ère loi de Newton

• Principe 1 L'inertie s'applique à tous les corps, qu'ils soient au repos ou en mouvement.

• Principe 2 L'inertie d'un corps est directement proportionnelle à sa masse.

• Principe 3 Plus la masse d'un corps est grande, plus il est difficile de le mettre en mouvement ou plus il est difficile de modifier sa vitesse ou sa direction de mouvement.

• Principe 4 Un corps sera mis en mouvement si la force appliquée au corps est suffisante pour vaincre son inertie ainsi que les autres forces de résistance agissant sur ce corps

La 2ème loi de Newton

F = ma

• Un corps soumis à une force résultante non nulle subit une accélération directement proportionnelle à la force résultante qui lui est appliquée et orientée dans le même sens.

Conditions d'équilibre statique

En présence d'un corps au repos, nous pouvons appliquer les conditions d'équilibre suivantes:

- la sommation des forces auxquelles le corps est soumis est nulle et,

- la sommation des moments autour de n'importe quel point du corps est nulle. Ces conditions d'équilibre s'expriment par les trois équations suivantes:

Fext = 0

MFext = 0

Principes qui découlent directement de la 2ème loi de Newton

• Principe 5 L'accélération d'un objet est directement proportionnelle à la quantité de force appliquée, et sa vitesse finale est proportionnelle à la quantité de force et à la distance d'application de cette force. Ainsi, si on applique une force deux fois plus grande sur un objet, l'accélération de cet objet sera également deux fois plus grande.

• Principe 6 La direction de mouvement d'un objet est déterminée par la direction de la force appliquée.

La 3ème loi de Newton

• À toute action correspond une réaction égale et opposée : c'est la loi d'action-réaction

Forces a) Verticale b) Antéro- postérieure c) Médio- latérale

Forces

Forces de réaction au sol Fz Verticale Fy antéro-postérieure

3 m/s 4 m/s 5 m/s 6 m/s

La quantité de mouvement linéaire

• On appelle quantité de mouvement p le produit de la masse m d ’un solide par sa vitesse:

p = m v

P = la quantité de mouvement en kg·m/s

m = la masse du corps en kg

v = vitesse du corps en m/s

Quantité de mouvement globale au CG M VG

L' impulsion et quantité de mouvement

I en N.s ou kgm.s-1

• L ’impulsion I donnée à un solide pendant un intervalle de temps (t1, t2) est égale à la variation de la quantité de mouvement entre ces deux instants.

dtFVmVmppIt

textGG

1

2

12122/1

rrrrrr

Exercer la plus grande force et/ ou le plus longtemps possible !!

Conservation de l’énergie mécanique

EP EC joules (j)

Travail = W = F x d (composante ds sens déplacement) Théorème de l’énergie cinétique : E cinétique = K = ½ m x V2

W = Kf – Ki

Puissance = dW/dt = F x V

Travail, énergie, puissance, force