1. exemples

1. EXEMPLES

Exemple 1 : système électrique : circuit RC

R

e(t) s(t) C

i(t) e(t) – s(t) = R i(t)

soit

Conclusion:

L’entrée et la sortie sont reliées par une équation différentielle

(linéaire d’ordre 1)

i(t) = C ds(t)

dt

RC + s(t) = e(t) ds(t)

dt

s(t) = i(t) 1

C

D’où

But :

Trouver une relation mathématique entre

l’entrée et la sortie (loi entrée – sortie).

e(t) s(t)

Exemple 2 : système mécanique : suspension automobile

Masse M

ressort amortisseur

Simplification géométrique

Caractéristique ressort :

Caractéristique amortisseur :

x(t)

y(t)

Exerce un effort proportionnel à son allongement depuis sa

position d’équilibre, s’opposant au déplacement.

Fress = - K (y-x)

x(t) y(t) ?

Position référence roue

Exerce un effort proportionnel à la vitesse d’enfoncement,

s’opposant à celle-ci.

Famort = - f d(y-x)

dt

Position référence châssis

1. EXEMPLES

Exemple 2 : système mécanique : suspension automobile

Masse M

Principe Fondamental de la

Dynamique à la masse M :

x(t)

y(t) x(t) y(t) ?

Position référence

roue

Position référence

châssis

d(x-y)

dt M = K (x-y) + f

d2 y

dt2

M M/0 = Fress + Famort

(2éme année)

dx

dt M + f + K y = f + K x

d2 y

dt2

dy

dt

L’entrée et la sortie sont reliées par une équation différentielle

(linéaire d’ordre 2)

1. EXEMPLES

Généralisation :

2. SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS INVARIANTS

e(t) s(t)

Si e(t) est continue en fonction du temps, le système sera dit Système Continu .

On s’intéressera aux systèmes dont la loi de comportement physique

peut être décrite par une équation différentielle de type:

Système Continu :

Si cette équation est à coefficients constants (indépendants du temps), le

système sera dit Système Invariant.

Système Invariant :

Même réponse si même entrée à des moments différents

Définition d’un système linéaire :

e(t) s(t)

e1(t) s1(t)

e2(t) s2(t)

Si : Alors :

a.e1(t)+b.e2(t) a.s1(t)+b.s2(t)

Conséquence :

En régime permanent :

s()

e()

2. SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS INVARIANTS

Exemples de non-linéarité :

E

S

0

S

E

N

N

0

caractéristiquelinéarisée autour

du point de fonctinnement

S

E0 0

0

Linéarisation autour d’un point de fonctionnement

courbure seuil saturation hystérésis

L’équation différentielle ne traduit la

réalité du système qu’autour d’une

certaine valeur de l’entrée appelée

point de fonctionnement.

2. SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS INVARIANTS

Problèmes posés : e(t) connu, s(t)?

s(t) connu, e(t) ? (loi de pilotage)

Dans tous les cas, il faut résoudre l’équation

différentielle régissant le fonctionnement du système.

résolution des équations

différentielles Transformées de Laplace

Cas simples : Autres cas :

2. SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS INVARIANTS

Bienvenue dans le monde imaginaire

des calculs faciles !!!

Merci Monsieur Laplace !!!!!

3. TRANSFORMEES DE LAPLACE

Soit f une fonction du temps t , définie pour t > 0

On appelle transformée de Laplace de f, la fonction F(p), définie par :

F(p) = e-pt f (t) dt 0

Notation: F(p) = L[ f (t) ]

avec p : variable complexe.

31. Définition :

Transformée inverse L-1 : f(t) = L-1 [ F(p) ]

Cela permet, connaissant F(p), d’en déduire f(t)

3. TRANSFORMEES DE LAPLACE

32. Propriétés:

•Unicité :

•Linéarité :

•Théorème du retard

F1(p) = L[ f1 (t) ]

F2(p) = L[ f2 (t) ] L[ f1 (t) + f2 (t) ] = F1(p) + F2(p)

a réel L[ a.f (t)] = a. F (p)

Passage unique

f(t) F(p)

domaine

temporel

domaine de

Laplace

L[ f ( t - ) ] = e- p F(p)

t

f(t) g(t) =f(t-)

3. TRANSFORMEES DE LAPLACE

On montre que :

•Transformée de Laplace d’une dérivée :

L [ —— ] = pF( p) - f (0+ )

d f(t)

dt

L [ —— ] = p2F( p) – p f (0+ ) – f ’(0+)

d2 f(t)

dt2

Si conditions initiales nulles : f (0+ ) = f ’(0+) = 0

( conditions de Heaviside )

L [ —— ] = pF( p) d f(t)

dt

L [ —— ] = p2F( p) d2 f(t)

dt2

L [ —— ] = pn F( p) dn f(t)

dtn

Dériver dans le domaine temporel revient à

multiplier par p dans le domaine de Laplace.

3. TRANSFORMEES DE LAPLACE

On montre que :

•Transformée de Laplace d’une intégrale :

Si conditions initiales nulles : g (0+) = 0 ( conditions de Heaviside )

Intégrer dans le domaine temporel revient à

diviser par p dans le domaine de Laplace.

Posons g(t) = f(t)dt

L [ f(t)dt ] = —— + ——

F(p)

p

g(0+)

p

L [ f(t)dt ] = —— F(p)

p

Application :

Transformation d’une équation différentielle en équation linéaire

Amortisseur voiture :

dx(t)

dt M + f + K y(t) = f + K x(t)

d2 y(t)

dt2

dy(t)

dt

Monde réel :

x(t)

y(t)

Transformées de Laplace :

X(p)

Y(p)

équation de fonctionnement (voir début) :

Transformées de Laplace :

M p2 Y(p) + f p Y(p) + K Y(p) = f p X(p) + K X(p)

K + f p

Y(p) = ────────── .X(p)

K + f p + M p2

Sortie = H(p) x Entrée

Dans le domaine de Laplace

Conditions initiales nulles :

x(0) = x’(0) = y(0) = y’(0) = 0

3. TRANSFORMEES DE LAPLACE

33. Transformées de Laplace de fonctions d’entrées usuelles:

L[ (t) ] = 1 L[ u(t) ] = —

Uo

p

•Fonction échelon :

u(t)

t

u(t) = 0 à t< 0

u(t) = Uo à t 0 (échelon Uo)

•Fonction de Dirac :

(t)

t

(t) = 0 à t0

(t) = 1 à t =0

( impulsion )

Si Uo = 1 :

échelon unitaire

3. TRANSFORMEES DE LAPLACE

33. Transformées de Laplace de fonctions d’entrées usuelles:

L[ f(t) ] = — a

p2

•Fonction rampe :

f(t)

t

f(t) = a.t

•Fonction sinus :

f(t)

t

f(t) = a.sin ωt

L[ f(t) ] = a ——— ω

p2 + ω2

3. TRANSFORMEES DE LAPLACE

34. Tableau de transformées usuelles

u(t)

u(t)

u(t)

u(t)

u(t) u(t)

u(t)

u(t)

u(t)

u(t)

( )u(t)

3. TRANSFORMEES DE LAPLACE

•Théorème de la valeur initiale : lim t 0 f(t) = lim p p F(p)

•Théorème de la valeur finale : lim t f(t) = lim p 0 p F(p)

( à condition que les limites existent )

Ces théorèmes permettent de prévoir les comportements initiaux et finaux

de f(t) connaissant F(p)

3. TRANSFORMEES DE LAPLACE

35. Utilisation des transformées de Laplace

e(t) s(t)

E(p) anpnS(p)+…+ a1pS(p)+ aoS(p) = bmpmE(p)+…+ b1pE(p)+ boE(p) S(p)

L-1 [ S(p) ] L [ e(t) ]

Domaine temporel

Domaine de Laplace

équation différentielle qui relie xcons(t) et x(t) ?

Exercice 5 : Asservissement de position d’un vérin hydraulique

Transformée de Laplace : X(p) = Xcons(p)

p +

Exercice 4 : Asservissement de position d’un vérin hydraulique

Transformée de Laplace : X(p) = Xcons(p)

p +

Si consigne échelon de 8mm :

Xcons(p) = 8

p Alors X(p) =

p +

8

p

Théorème valeur finale : lim t x(t) = lim p 0 p X(p)

= lim p 0 .8

p +

= 8 mm système bien réglé

4. FONCTION DE TRANSFERT

41. Définitions

e(t) s(t) système

On appelle fonction de transfert du système ( ou

transmittance ) le rapport noté H :

H(p) = —— S(p)

E(p)

Pour un système linéaire : H(p) = ——————— = —— bmpm+…+ b1p+ bo N(p)

anpn+…+ a1p+ ao D(p)

•Fonction de transfert :

•Zéros et pôles

Zéros : racines de N(p) = 0

Pôles : racines de D(p) = 0

4. FONCTION DE TRANSFERT

1. Définitions

Pôles : racines de D(p) = 0

Intérêt des poles :

On démontre qu’un système est stable lorsque les racines

de D(p) sont toutes à parties réelles négatives

Allure de la sortie en fonction des poles :

H(p) = ——————— = —— bmpm+…+ b1p+ bo N(p)

anpn+…+ a1p+ ao D(p)

4. FONCTION DE TRANSFERT

E(p) S(p) H(p)

•Forme canonique

On peut toujours mettre H(p) sous la forme :

Forme canonique de H

s’appelle la classe du système. ( peut être nul…)

K s’appelle le gain statique du système.

Unité de K = unité s(t) / unité e(t)

n s’appelle l’ ordre du système. (degré du dénominateur)

Intérêt : Coefficients grandeurs caractéristiques du mécanisme

(constantes de temps, pulsations propres, amortissements)

•Classe, gain, ordre d’un SLCI

H(p) = ——————— bmpm+…+ b1p+ bo

anpn+…+ a1p+ ao

Exemple moteur (voir TD) :

C(p) kc +

-

Um(p)

E(p)

Um(p) - E(p)

1 / (R+Lp)

I(p) 1/Jp

Ω(p)

ke

Fonction de transfert ?

H1(p) H2(p) H3(p)

H4(p)

4. FONCTION DE TRANSFERT

42. Modélisation par schéma blocs

( ) ( ). ( )S p G p E pRappel : Traduit l’équation

Blocs en cascade :

Addition soustraction :

Traduit l’équation 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )S p E p E p E p

4. FONCTION DE TRANSFERT

43. Fonction de transfert d’un système asservi

Chaîne Directe CD

Boucle Ouverte BO

Chaîne Directe CD

Boucle Ouverte BO

( ) ( ). ( ). ( ). ( )FTBO p C p A p H p B p

4. FONCTION DE TRANSFERT

Remarque :

Si retour unitaire ( B(p) =1 ) :

K(p) S(p)

+ -

E(p)

————— FTCD

1 + FTBO FTBF = = —————

K(p)

1 + K(p)

—————— FTCD(p)

1 + FTBO(p) FTBF(p) =

43. Fonction de transfert d’un système asservi

Fonction de Transfert en Boucle Fermée :

( Formule de Black )

Chaîne Directe CD

Boucle Ouverte BO

Exemple moteur (voir TD) :

C(p) kc +

-

Um(p)

E(p)

Um(p) - E(p)

1 / (R+Lp)

I(p) 1/Jp

Ω(p)

ke

Fonction de transfert : ————— FTCD

1 + FTBO FTBF =

H1(p) H2(p) H3(p)

H4(p)

4. FONCTION DE TRANSFERT

43. Cas particuliers

Gain pur

SYSTÈME PROPORTIONNEL H(p) = K

SYSTÈME DÉRIVATEUR H(p) = K.p

SYSTÈME INTEGRATEUR H(p) = K / p

t

e(t)

s(t)

cas K < 1

( ) ( )s t K e t

t

e(t)

s(t)

( )( )

d e ts t K

dt

( )( )

d s tK e t

dt

t

e(t)

s(t)

4. FONCTION DE TRANSFERT

H(p) = ———

43. Cas particuliers

K

1+ τ.p

SYSTÈME ORDRE 1

H(p) = ————— K

1+ a.p + b.p2

SYSTÈME ORDRE 2

4. FONCTION DE TRANSFERT

transformer tout système complexe en un système simple dont on

peut déterminer la FT par la formule de Black

H E S

44. Différentes méthodes de calcul d’une fonction de transfert

Par calcul Voir TD (four, moteur)

Par manipulation de blocs

ANNEXE 2 : MANIPULATION SCHEMAS BLOCS

44. Manipulation des schémas blocs

•Éléments en cascade

•Éléments en parallèle

4. FONCTION DE TRANSFERT

•Mise en retour unitaire

•Élimination d’une boucle de retour

ANNEXE 2 : MANIPULATION SCHEMAS BLOCS

4. FONCTION DE TRANSFERT

•Déplacement avant d’un point de sommation ou comparateur

•Déplacement arrière d’un point de sommation ou comparateur

ANNEXE 2 : MANIPULATION SCHEMAS BLOCS

α(p) = ??

β(p) = ??

α(p) = ??

β(p) = ??

déplacement d’un comparateur

4. FONCTION DE TRANSFERT

•Déplacement avant d’un point de dérivation

•Déplacement arrière d’un point de dérivation

ANNEXE 2 : MANIPULATION SCHEMAS BLOCS

Déplacement d’un point de prélévement

Exemple : 2 entrées : E(p) et P(p) 1 sortie : S(p)

H3(p)

H1(p) H2(p) + +

G(p)

+ -

E(p) S(p)

P(p)

P(p) = 0 perturbation nulle E(p) = 0 système perturbé, sans entrée

5. INTEGRATION DE PERTURBATIONS

H1(p) E(p) S1(p)

H2(p) P(p) S2(p)

Système total :

S(p) = S1(p) + S2(p)

EXEMPLE

H E S