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RAPPORTSURL’ÉPREUVEÉCRITE2017DEMATHÉMATIQUESDELAFILIÈRETSI

1/Consignesgénérales

1.1 Présentationdel’épreuveL’épreuve de mathématiques, d’une durée de quatre heures, est constituée de deux problèmes largementindépendants. Le sujet, dans son ensemble, se donne pour but d’évaluer le plus largement possible chez lescandidatslaconnaissanceducours,laqualitéduraisonnementainsiquel’efficacité.

LeproblèmeI-Étuded’unecourbe-abordel’étudecomplèted’unecourbeparamétrée.DanslapartieI,l’étudede la parité ou l’imparité, les variations d’une fonction, la recherche d’un équivalent et le calcul d’une limite,peuventêtretraitésaveclesconnaissancesduniveaudel’enseignementsecondaireetdepremièreannéeTSI.DanslapartieII, l’outildéveloppementlimitépermetdedéterminerlescoordonnéesduvecteurtangentenl’origine.L’étudedanslapartieIIId’unedroiteasymptotiqueàlacourbeesttrèsdétailléeetleraisonnementestbasésurl’intuitiongéométriqueducandidat.Ceproblèmesetermineparuntracédelacourbe.

Leproblème II -Marchealéatoiresur lenet -décrit,àpartird’exemplessimplifiés, l’algorithmedu“PageRank”utiliséparGoogle.Cedernierpermetdeclasserparimportancedespagesinternet(ousites)d’aprèslesliensdecespagesentreelles.Comme la théoriedesgraphesestabsenteduprogrammede la filièreTSI, lepréambulerappellel’essentiel.Lamatricedetransitionpermetdemodéliserlelienentrelessites.Nousexploitonslesoutilsusuelsd’algèbrelinéairepourétudierdeuxexemplesàquatrepages,puisàtroispages.Dansladernièrepartieduproblèmeetd’unemanièresimplifiée,onmetenœuvrel’algorithmede“PageRank”surunexempleàtroispages.Laconclusionpermetd’aboutiràunclassementparordrecroissantdelapopularitédestroispages.

Lesujetdelongueurraisonnableetdedifficultébiencibléeapermisdetesterlesconnaissancesetlescompétencesdescandidatstoutenvérifiantlacompréhensiondesobjetsmanipulés.L’épreuveaexploréunlargeéventaildenotionsduprogrammedesdeuxannéesdeclassespréparatoiresauxgrandesécoles:équivalents,développementslimités,géométrieplane,suitesnumériques,probabilités,polynômes,valeurpropre,vecteurpropre,sous-espacepropre,diagonalisation,normed’unvecteur,…1.2 Remarquesgénérales

La présentation des copies est globalement satisfaisante.Malheureusement, l’orthographe, la grammaire et laconjugaisonsontparfoisnégligées.

Le sujet, très progressif et sans aucun problème de compréhension, a permis aux candidats sérieux d’avancersubstantiellement dans les deux problèmes. Lesmeilleurs candidats ont traité la totalité du sujet et un grandnombreaabordéavecsuccèsenviron90à95%del’épreuve.Ilyatrèspeudecopiesfaiblesoun’abordantqu’unpetitnombredequestions.

Ilaéténotéplusparticulièrementcetteannéequecertainscandidatsconfondentrapiditéetprécipitation.Pourdes questions dont le résultat est donné dans l’énoncé, il est clair que les correcteurs attendent l’exposé desintermédiairesdecalculsetderaisonnementspermettantdes’assurerquelecandidatamaîtrisésoncalcul.Nous avons remarqué également unmanque de vérification des hypothèses lors de l’application d’un résultatfondamental(paritéouimparitéetdomainecentré,baseetdimensiond’unsous-espacepropre,racinesmultiplesetdérivées,formuledesprobabilitéstotalesetsystèmecompletd’événements...).Chez plusieurs candidats, on signale une grandeméconnaissance des développements limités (même les plussimplescomme→ "

"#$).Desécrituresaberrantesontétéobservées:parexemple,fairecoïnciderunefonctionet

lapartierégulièredesondéveloppementlimité,dériverundéveloppementlimité,utiliser“𝑥”quandils’agitd’unevariableen“𝑡”ouencoreconfondrelesdéveloppementslimitésetlesdéveloppementsasymptotiques!Cetype

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d’erreurtraduituneincompréhensionducourssur lesdéveloppements limitésetdonneaucorrecteurunetrèsmauvaiseimpressiond’ensemble.Lesthéorèmesgénérauxsurlarégularitérestentàconsolider.Ilestinacceptablederencontrerl’affirmation«lacontinuitéentraîneladérivabilité»dansplusieurscopies.Lescorrecteursdéplorentlafragilitéinquiétantedansl’applicationdesrésultatsfondamentauxd’algèbrelinéaire.On relève une confusion importante entre le théorème du rang, le théorème spectral, les théorèmes sur ladiagonalisationetbiend’autres.

2/Remarquesspécifiques Q1. Questiontrèsbienréussieparlamajoritédescandidats.Quelques-unsontoubliéque−1estégalementune

valeur interdite. Pour d’autres, le passage en écriture sous forme de réunion d’intervalles a généré desétourderies.

Q2. Questionbientraitée.

Q3. Onconstateunoublisystématiquedevérifierqueledomaineestbiencentréen0.Bienentendu,vérifierlaparité ou l’imparité sur un exemple ne permet pas de répondre à la question. Une représentationgéométriqueauraitpuaiderplusieurscandidatsàêtreprécissurlasymétriedelacourbe.

Q4. Questionbientraitéedansl’ensemblemalgréparfoisunoublidesimplificationduquotientdepuissancesentières.

Q5. Questionbientraitée.Onregrettelemanquedejustificationdecalculdeslimites.

Q6. Lecalculdesdérivéesaétébientraité.Parcontre,lajustificationdeladérivabilitéaétéplushasardeuse.Enparticulier,lacontinuitén’entraînepassadérivabilité.

Q7. Unesynthèsedesquestionsprécédentes.Desincohérencesentreleslimitesetlesensdevariationauraientpuinciterquelquescandidatsàs’auto-corriger.

Q8. Des réponses variées et parfois incomplètes. En effet, on remarque un changement de lettre dans ledéveloppementlimité,deserreursdesigne,unoubliduresteetunamalgameentredéveloppementensérieentièreetdéveloppementlimité.

Q9. Cettequestionaétébienréussieparceuxquiontabordélaquestionprécédente.Parcontre,latroncatureaétérarementappliquéepourrespecterl’ordredudéveloppementlimitédemandé.

Q10. Cettequestionaétémaltraitéedans l’ensemble.Peudecandidatspensentàfaireappelà laformuledeTaylor-Young.Onrappellequ’ilestabsolumentfauxdedériverundéveloppementlimité.

Q11. Cettequestionaétébienréussieparlescandidatsquionttraitélaquestionprécédente.

Q12. Cettequestionasouventétémaltraitée.Ilsuffitpourtantdereveniràladéfinitionduvecteurtangentenunpoint.

Q13. Cettequestionaétémoyennementréussie.Ons’attendplusparticulièrementàunedroiteverticaleetnonhorizontaleasymptoteàlacourbe.

Q14. Bienréussieparlescandidatsquiontcomprislesensdelaquestion.

Q15. Ilestétonnantquecettequestiondeniveaupremièrenesoitpasbientraitéeparquelquescandidats.Lemanqueducoefficientdutermedominantdans la factorisation, la formecanoniqueouune factorisationforcéefournissentdefauxrésultats.

Q16. Laquestionestmoyennementréussieparl’ensembledescandidats.Lafindelaquestionadonnélieuàdenombreux”passagesenforce”.Cemanqued’honnêtetéintellectuelleaétésanctionné.

Q17. Desargumentsbaséssurleslimitesouautresnesontpasconvaincants.Ilsuffitderemarquerquelesignedeδn’estautrequeceluide𝑃etdeconclure.

Q18. Ilestétonnantdevoiruneabsenced’interprétationgraphiquemalgréuncalculdelimitecorrect.

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Q19. Questiontraitéeparlesbonscandidats.Quelques-unsn’ontpasrespectél’échelleimposéeparlesujet.

Q20. Lasymétriedonneletracécompletdelacourbe.

Q21. Questiontrèsbienréussiedansl’ensemble.

Q22. Beaucoupdebonnesréponsesmaishélassansjustificationconvaincante.Uneconfusioncertaineentreunesommesimple/doubleaétéremarquée.

Q23. Questiongénéralementmaltraitéeparlescandidats.Ilestinutiledenoyerlecorrecteurdansd’innombrablesargumentsquisontleplussouventinutilesouderecopierlaréponseàobtenirsansfournird’explication.L’applicationduthéorèmedesprobabilitéstotalesnécessiteunsystèmecompletd’événements.

Q24. Questiontrèsbienréussie.

Q25. La vérificationde l’écriturematricielle est bien réussie. Ceuxqui ontutiliséune récurrencen’ontpaspuaboutir.

Q26. Bien traitée dans l’ensemble par les bons candidats. Une récurrence s’impose et il faut éviter desdémonstrationsdéductives.Considérerquelasuiteestgéométriqueesthorssujet.

Q27. Cettequestiondecoursn’apasétébientraitéeparl’ensembledescandidats.Onsignaledeslacunessurladéfinitiondel’ordredemultiplicitéd’uneracined’unpolynôme.

Q28. Questionrarementabordéeparlescandidatsoumaltraitée.Pourtant,unedivisioneuclidiennerépondàlaquestion.

Q29. Question bien traitée dans l’ensemble avec quelques surprises. En effet, quelques candidats ont oubliéd’appliquerladéfinitiond’uneracinemultipled’unpolynôme.

Q30. Ilestétonnantdevoirdansquelquescopiesqueladérivéed’unproduitestleproduitdesdérivées.Plusieurscandidatsn’ontpastenucomptedel’ordredemultiplicitédelaracinepoursimplifierl’équation.

Q31. Lajustificationducalculdelalimiteestpresqueabsenteetpourtantquelquescandidatsontremarquélaprésenced’uneformeindéterminée.Lethéorèmedecroissancescomparéesesttrèspeuévoqué.Lestroisdernièreslimitessontgénéralementcorrecteslorsquelapremièrel’est.

Q32. Questiontrèsbienréussie.

Q33. Questionclassiquebientraitéedansl’ensemble.

Q34. Questionbientraitéeavecquelquessurprisesliéesauxracinesdupolynôme.

Q35. Beaucoupdemaladressesdanslarédactiondesréponsesàcettequestion.Ellessontincomplètesetassezsouventmalrédigées.Raresontceuxquiontmontréquelafamillegénératricedusous-espacepropreestbien une base permettant de déterminer la dimension. Il est inquiétant de résoudre le système et deproposerlevecteurnulcommevecteurpropre.

Q36. Des fragilitésdans la réponseavecdesénoncésparfoisalambiquésoufantaisistes, il s’agitpourtantd’unrésultatfondamentalducours.Ilnesuffitpasquelepolynômecaractéristiquesoitscindépourquelamatricesoitdiagonalisable.Ilestregrettabledeconstateruneconfusionentreinversibilitéetdiagonalisationoulethéorèmedurang/spectraletlethéorèmesurladiagonalisationd’unendomorphisme.

Q37. Bientraitéedansl’ensemble.Laquestionaétéhélasl’occasiondequelquesescroqueries,puisquelerésultatétaitdonné.

Q38. Beaucoupderéponsesnonachevées.

Q39. Questionbienréussie.

Q40. Cettequestionassezcalculatoiren’apasdécouragélesbonscandidatsquil’ontabordéeavecsuccès.Onyrencontrebeaucoupderéponsesnonachevées.

Q41. Questionpeu réussiedans l’ensemble. Ilne fautpasoublierd’utiliser laquestionQ38pour simplifier lescalculsetainsidonneruneinterprétationcohérenteauxlimites.

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Q42. Unecoquilledansl’énoncésansconséquencesurlacompréhensiondelaquestion.L’analyseestbienfaiteparlescandidatssérieux.

Q43. Questionbienréussieparlesbonscandidats.

Q44.,Q45.etQ46.Peuabordéesengénéralmaisbientraitéesparlesquelquescandidatsquiontsuprendreunpeudereculparrapportauproblèmeposé.

3/Conclusion Lesrésultatsdecetteépreuvesontdansl’ensemblesatisfaisantsetl’équipedescorrecteursaappréciélescopiesbienprésentées,oùlesrésultatsencadrésapparaîssentclairement.L’énoncéproposesouventunedémarchederésolutionqu’ilconvientdecomprendreetdesuivreenmontrantsonsavoir-faire,cequiestl’objetdel’évaluation.Lecoursestconnumais lestenantsetaboutissantsnesontpastoujoursmaîtrisés.Connaître lenomusueldesthéorèmes demanière sûre est un plus dans une copie. Le futur candidat doit s’appliquer à donner tous lesarguments,mêmesimples,conduisantàuneconclusion.Nousluiconseillonsdes’approprierpetitàpetitlecourspar lapratiquedesexercicesetdesproblèmes,detravailler lestechniqueshabituellesetsurtoutdes’entraînerrégulièrementàrédigerdesquestionsdemanièreclaire,expliciteetstructurée.