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Problèmes de localisation

« Facility location problems »

2

Décisions à prendre ?

Quel est le rôle ou la mission d’un site?

Localisation des sites : Où?

Allocation de la capacité : Combien de capacité doit-on allouer à

chaque site?

Allocation (affectation) de l’offre et de la demande :

• Quels marchés devraient être desservis par chaque entrepôt?

• Quels usines devraient desservir chaque entrepôt?

• Quels fournisseurs devraient desservir chaque usine?

Fournisseurs Usines CD Clients

3

Facteurs qui influencent la décision

Stratégiques et technologiques (proximité aux marchés,

fournisseurs, ressources, clusters,…)

Politique et Macroéconomique (réglementation, Impôts,

taxes, tarifs, …)

Infrastructure (gaz, électricité, eau, communication,

transport, ….)

….

Coûts associés à la logistique et à l’opération d’un site

4

Facteurs qui influencent la décision

5

Types de problèmes

Single-Facility Location Problems: détermination optimale de la

localisation d’un site.

Multi-Facility Location Problems : recherche simultanée de la

localisation de plusieurs sites (problème de localisation / allocation)

• Center of gravity method

• The p-Median Problem

• SS-Capacitated Facility Location Problem

• MS-Capacitated Facility Location Problem

• Multi-Commodity Network Design

6

Localisation d’un site :

Méthode du barycentre

Exemple: Localisation d’un entrepôt / usine

m points à desservir;

Chaque point i à une localisation (xi,yi) et une demande

(ou poids) wi;

Distance Euclidienne (carré):

Min TC = Σi wi [(x-xi)2 + (y-yi)

2 ]

7

Localisation d’un site :

Méthode du barycentre

Exemple: Localisation d’un entrepôt / usine

m points à desservir;

Chaque point i à une localisation (xi,yi) et une demande

(ou poids) wi;

Distance Euclidienne (carré):

Min TC = Σi wi [(x-xi)2 + (y-yi)

2 ]

8

Région (Xi-Yi) Wi WiXi WiYi

A (11-22) 15 165 330

B (10-7) 10 100 70

C (4-1) 12 48 12

D (3-6) 4 12 24

Total 41 325 436

Exemple

9

Région (Xi-Yi) Wi WiXi WiYi

A (11-22) 15 165 330

B (10-7) 10 100 70

C (4-1) 12 48 12

D (3-6) 4 12 24

Total 41 325 436

10.641

436 ; 7.9

41

325

i

ii

c.g.

i

ii

c.g.

W

YWY

W

XWX

Exemple

10

p-Median

p entrepôts à localiser sur un ensemble de m sites potentiels pour

livrer n clients.

Pas de coût fixe;

Pas de contraintes de capacités.

cij : le coût de transport de l’entrepôt j au client i.

11

p-Median

p entrepôts à localiser sur un ensemble de m sites potentiels pour

livrer n clients.

Pas de coût fixe;

Pas de contraintes de capacités.

cij : le coût de transport de l’entrepôt j au client i.

sinon.,0

choisie,est on localisati la si,1 jy j

sinon.,0

i,client ledessert on localisati la si,1 jxij

12

p-Median

mjy

mj

nix

yx

Py

nix

xc

j

ij

jij

m

j

j

m

j

ij

n

i

m

j

ijij

,..,11,0

..,,1

..,,11,0

,

,

..,,1,1

:S.t

zMinimiser

1

1

1 1

13

SS-Capacitated Facilty Location

Sélectionner un ensemble d’entrepôts à localiser sur m sites

potentiels pour desservir n clients.

Il existe un coût fixe fj pour la localisation de l’entrepôt j et celui-ci a

une capacité maximale kj

di : la demande du client i

cij : le coût de transport de l’entrepôt j au client i.

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SS-Capacitated Facilty Location

Sélectionner un ensemble d’entrepôts à localiser sur m sites

potentiels pour desservir n clients.

Il existe un coût fixe fj pour la localisation de l’entrepôt j et celui-ci a

une capacité maximale kj

di : la demande du client i

cij : le coût de transport de l’entrepôt j au client i.

sinon.,0

choisie,est on localisati la si,1 jy j

sinon.,0

i,client ledessert on localisati la si,1 jxij

15

SS-Capacitated Facilty Location

mjy

mj

nix

nix

mjykxd

xcyf

j

ij

m

j

ij

n

i

jjiji

m

j

n

i

ijijj

m

j

j

..,,11ou 0

..,,1

..,,11ou 0

..,,1,1

..,,1,

:S.t

zMinimiser

1

1

1 11

16

Mutli-Source Capacitated Facility Location

Sélectionner un ensemble d’entrepôts à localiser sur m sites

potentiels pour livrer n clients.

Il existe un coût fixe fj pour la localisation de l’entrepôt j et celui-ci a

une capacité maximale kj

di : la demande du client i

cij : le coût de transport de l’entrepôt j au client i.

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Mutli-Source Capacitated Facility Location

Sélectionner un ensemble d’entrepôts à localiser sur m sites

potentiels pour livrer n clients.

Il existe un coût fixe fj pour la localisation de l’entrepôt j et celui-ci a

une capacité maximale kj

di : la demande du client i

cij : le coût de transport de l’entrepôt j au client i.

Notons la fraction (pourcentage) de la demande du client i livrée à

partir de l’entrepôt j

Et

sinon.,0

choisie,est on localisati la si,1 jy j

ijx

18

mjy

mj

nix

nix

mjykxd

xcyf

j

ij

m

j

ij

n

i

jjiji

m

j

n

i

ijijj

m

j

j

..,,11ou 0

..,,1

..,,11 0

..,,1,1

..,,1,

:S.t

zMinimiser

1

1

1 11

Mutli-Source Capacitated Facility Location

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Il existe une formulation forte du problème de localisation sans

capacités (uncapacitated facility location problem) lorsque la

capacité des entrepôts n’entre pas en jeu, alors la contrainte

peut s’écrire

n

i

jjijj ykxd1

nimjyx jij ,..,1 ..,,1,

Mutli-Source Capacitated Facility Location

20

• C’est le problème dit de localisation simple

(formulation forte) :

njy

mix

yx

njx

xcyf

i

ij

iij

m

i

ij

m

i

n

j

ijiji

m

i

i

,,11ou 0

,,1,10

,0

,,1,1

:S.t

zMin

1

1 11

(FF):

21

On peut réduire le nombre de contrainte en adoptant une

formulation plus faible du problème de localisation simple.

En sommant sur les indices j de la contrainte

Elle devient

,0 iij yx

01

i

n

j

ij nyx

22

C’est la formulation faible du problème de localisation simple:

njy

mix

minyx

njx

xcyfz

i

ij

n

j

iij

m

i

ij

m

i

m

i

n

j

ijijii

,,11ou 0

,,110

,,1,0

,,1,1:(Ff)

:S.t

Min

1

1

1 1 1

23

Modèle pour l’allocation

de la demande (multi sources)

Quel marché sera desservi par quel site?

Quelles sont les sources pour un site?

xij = Qté livrée du site i au client j

– m clients ou marché potentiels

– n sites potentiels

24

Modèle pour l’allocation

de la demande (multi sources)

0

..

1

1

1 1

x

Kx

Dx

xc

ij

i

m

jij

j

n

iij

n

i

m

jijij

ts

Min

25

Localisation multi sites

et allocation multi sources

yi = 1 si l’usine ou site i est utilisé, 0 si non

Max k sites parmi n

xij = Qté transportée du site i au client j

26

Localisation multi sites

et allocation multi sources

1 1 1

1

1

1

. .

; {0,1}

n n m

ij iji ii i j

n

jiji

m

iij ij

m

i ii

Min

s t

k

f y c x

x D

yx K

y y

27

Localisation simultanée d’usines et de

centres de distribution

Fournisseurs Usines CD Client

28

Localisation simultanée d’usines et de

centres de distribution

• j= 1,..,m clients ou marchés

• i=1,..,n sites potentiels pour les usines

• h=1,..,l fournisseurs potentiels

• e=1,..,w sites potentiels pour les CD

• Dj – demande annuelle pour le client j

• Ki – capacité de l’usine i

• Sh – Capacité du fournisseur h

• We – Capacité du CD e

• Fi – Coût fixe de l’usine i

• Fe – Coût fixe du CD e

• Chi – coût de transport d’une unité du fournisseur h à l’usine i

• Cie – coût de production et de transport d’un produit du site i au CD e

• Cek - coût de transport d’un produit du CD e au client k

• Variables de décision:– yi =1 si l’usine i est utilisé, 0

autrement

– ye =1si le CD e est utilisé, 0 autrement

– xcej – qté transportée du CD e

au client j

– xbie - qté transportée de l’usine

i au CD e

– xahi - qté transportée du

fournisseur h à l’usine i

29

Localisation simultanée d’usines et de

centres de distribution

1 1 1 1 1 1 1 1

1

1 1

1

1

. t

(1) , pour 1,...

(2) 0, pour 1,...

(3) , pour 1,...,

(4)

hi ie ej

hi

hi ie

ie

ie

n w l n n w w ma b c

i i e e hi ie ej

i e h i i e e j

na

h

i

l wa b

h e

wb

i ì

e

b

i

Min f y f y c x c x c x

s

x S h l

x x i n

x K y i n

x

1

1

1

0, pour e 1,...

(5) , pour e 1,...,

(6) , pour j 1,...,

(7) , 0,1

ej

ej

ej

n mc

j

mc

e e

j

wc

j

e

i e

x w

x W y w

x D m

y y

30

Quelques astuces pour la modélisation

• maximisation des profits• Soit rj le revenu associé au produit dans le marché j

• La fonction objective devient

• Il faut aussi modifié l’équation de la demande

• Traitement de différent modes de transport– Utiliser une variable différente pour chaque mode

• x1ij, x

2ij

1 1 1 1 1

m n n n m

j ij ij iji ij i i i j

Max r x f y c x

1

pour 1,...n

ij j

i

x D j m

31

Problème d’allocation pure :

cas multi-produits

On veut distribuer des produits p: 1.. P à des points de demandes d :

1..D connus soit : Directement à partir des sources d’approvisionnement

(fournisseurs, usines) ou Par l’intermédiaire des entrepôts.

Chaque produit provient d’une source d’approvisionnement unique

qui a une capacité qui dépasse largement les besoins

Les entrepôts peuvent distribuer plusieurs produits et ont une

capacité limitée

Objectif :

• Déterminer quels produits et quels points de demande à affecter à chaque

entrepôt.

• Déterminer les flux annuels de marchandises entre les entrepôts et les

sources d’approvisionnements / clients

32

Formulation mathématique

33

Formulation mathématique

34

Coût unitaire de transport de

source d’approvisionnement

de P1 à l’entrepôt 1

Coût unitaire d’entreposage

dans l’entrepôt 1

Exemple

35

Exemple

36

Problème de localisation – allocation:

cas multi-produits

Exemple :

– plusieurs produits (ou familles de produits) proviennent de sources

uniques

– Ces produits doivent être acheminés vers des zones de

consommation par le biais de chaînes d'approvisionnement qui

partent d’une usine et qui passent par un entrepôt

– Certaines usines et entrepôts existent déjà, mais on a identifié des

sites potentiels pour l’implantation de nouvelles installations

– Objectif :

• Choisir une chaîne pour l'approvisionnement de chaque produit dans

chaque zone

• Et déterminer quels usines/entrepôts devraient être ouverts, ou fermés

37

Problème de localisation – allocation:

cas multi-produits

38

Formulation mathématique

39

Formulation mathématique

40

Variables de décisions

Formulation mathématique

41

Exemple

Usine

potentielle

Usine

potentielle

Entrepôt

potentiel

42

Exemple