ali gannoun médiane et quantiles conditionnels multivariés. application à la modélisation des...

Ali Gannoun

Médiane et Quantiles Conditionnels Médiane et Quantiles Conditionnels multivariés. Application à la Modélisation multivariés. Application à la Modélisation

des Processusdes Processus

Workshop : Des Mathématiques à leurs Applications

18 juin 2008

Paris, 18 juin 2008

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Plan

Introduction : Médiane et quantiles conditionnels univariés

Médiane (spatiale) conditionnel multivariée

Quantiles conditionnels multivariés

TR-estimation des quantiles spatiaux conditionnels

Mise en oeuvres des estimateurs

Application

Conclusion

Paris, 18 juin 2008

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Plan


Médiane (spatiale) conditionnel multivariée




Application

Conclusion

Paris, 18 juin 2008

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Introduction : Médiane et Quantiles Conditionnels

(X,Y) couple de variables aléatoires, (Xi,Yi)i=1,n n observations de (X,Y)

est (la) racine de l’équation

est (la) racine de l’équation

0 1 011 1

1 1( , ) , ( )

n ni i i

n nk ki in n n n n

x X y Y x Xf x y K K g x K

nh h h nh h

( / ) / .F y x P Y y X x Y X x f.r.c. de sachant

( )x

( )n x

1( / )

2F y X x

1( / )

2nF y X x

( / ) ( / )y

n nF y x f t x dt

( , )( / )

( )n

nn

f x yf y x

g x

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Définition équivalente : solution d’un problème d’optimisation

Propriétés

- Faible sensibilité aux points aberrants

- Point de rupture à 50%

- Invariante par transformation affine

Généralisation aux quantiles conditionnels

( ) arg min ( ) ( ) ( )a R

x E Y a Y X x y a y F dy x

( ) min ( ) /a R

q x Arg E l Y a X x

( ) (2 1) ,l u u u 0,1

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Exemple

5 10 15 20

020

40

60

80

100

Age (year)

Weig

ht (k

g)

5 10 15 20

020

40

60

80

100

Age (year)

Overweight

Underweight

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Plan


Médiane (spatiale) conditionnelle multivariée




Application

Conclusion

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Médiane arithmétique

un vecteur aléatoire,

une suite d’observations de Y1 2

1, 1,( , ,...., )di n i i i i nY Y Y Y

1 2 1( , ,..., ), (1/ 2)i

d iYF

Propriétés :

• non équivariante sous les rotations

• non équivariante sous des transformations affines générales

1 2( , ,...., )dY Y Y Y

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Médiane géométrique ou spatiale

Soit la fonction , dite fonction coût ou de perte, définie sur par

La médiane est définie comme suit

1. Résultat : si le support de Q n’est pas inclus dans une droite et si la

norme utilisée est euclidienne, existe et est unique.

2. Estimation : n-observations de Y, n un estimateur de

tel que

Un estimateur n de est obtenu


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Exemple

nn

== 1.011.01

-0.96-0.96nn = =

1.041.04

-1.02-1.02

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.

Médiane spatiale conditionnelle (X,Y) ,

- Définition : la médiane spatiale conditionelle est définie

- Estimation : n-observations de (X,Y)

un estimateur de Q(.|x) et n de

–


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Plan






Application

Conclusion

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Quantiles spatiaux

- Définition :

- Estimation :

1 2 1 1 2 2

,2 2, ,..., (2 1) , (2 1) ,..., (2 1)d d dY Y Y Y Y Y Y Y Y

2,2,( ) ( ) ( )a y a y Q dy

arg min ( )

da R

a

, ,arg min ( )d

n na R

a

, 2, 2, 2,2,1

1( ) ( ) ( ) ( )

n

n n ii

a y a y Q dy Y a yn

0,1 , dY R

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Quantile spatiaux conditionnels

- Définition :

- Estimation :

( ) arg min ( , )da R

x a x

, 2,2,( , ) ( ) ( )n nx a y a y Q dy x

, ,( ) arg min ( , )d

n na R

x a x

2,2,( , ) ( ) ( )x a y a y Q dy x

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Plan






Application

Conclusion

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n ( resp. n (.)) est équivariante sous les transformations orthogonales mais non équivariante sous les transformations affines

Conséquence (Chakraborty, Chaudhuri, Gosh):

• Modélisation non efficaceModélisation non efficace

covariables corréléescovariables exprimées dans des échelles différentes

• Prédiction non efficacePrédiction non efficace

Comment combler cette défaillance?

!!

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Cas de la médiane spatiale1. Etape 1 : Transformation des données (n> d+1

et

- on définit la matrice

Y(t) inversible si les Yi sont iid ayant une distribution absolument continue.

- on note

- on calcule la médiane spatiale des Zi(t) telle que

Etape 2 : Retransformation de l’estimateur

{1,2,..., } ( ) 1nS I n card I d

)(Tn

1 0 2 0 0( ) , ,...,

di i i i i iY T Y Y Y Y Y Y

( ) 1( ) , 1,...,Ti iZ Y T Y i n

)(minarg )()()( Tj

Tj

Tj

Ra

Tn ZaZ

d

0 1{ , ,..., }dT i i i

)(),( )( Tn

RTn TY

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Cas de la médiane spatiale conditionnelle

1. La procédure Tansformation :

2. La procédure de Retransformation

Généralisation aux quantiles spatiaux conditionnels

1. La procédure de Transformation

2. La procédure de Retransformation

n

j

Tj

Tj

Tj

Ra

Tn h

XxKZaZx

d ,2,2

)(, minarg)(

)()()( )(),( xTYx Tn

RTn

n

j

Tj

Tj

Tj

Ra

Tn h

XxKZaZx

d ,2,2

)(, minarg)(

)()()( )(,

),(, xTYx T

nRTn

Ali Gannoun

a.s. au lieu de p.s.

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Plan






Application

Conclusion

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Paramètres à choisir• le noyeau K

• la fenêtre hn

• la matice de transformation Y(T) Méthodes

• Noyau :

• Choix optimal (mais couteux) pour hn et Y(T)

• Choix effectif : Validation croisée

(on se fixe l’un des paramètres et on choisit l’autre)

)(...)()()( 21 kxKxKxKxK

Tj

iTni

hSTn hXYhT

n

),(minarg),( )(,

0,

^^

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Plan






Application

Conclusion

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Ajustement de la pression artérielle (diastolique et systolique) en fonction de l’âge et du poids d’une population of afro-americainen ( Maywood, Illinois). n=720, d=2, âge [11,85], poids[30,170]

Application

Sys

toli

c b

loo

d p

ress

ure

DBPDBP

SBPSBP

Blo

od

pre

ssu

re

DBPDBP

SBPSBP

Blo

od

pre

ssu

reWeight

n

n̂̂

^̂

n̂̂

n̂̂

Diastolic blood pressure Age

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Age (années)

TR- estimation

Poids (kg)

TR- estimation

10 (106.98,63.26) 40 (105.43,64.31)

20 (108.15,64.45) 60 (109.78,66.06)

30 (110.56,67.95) 80 (115.09,70.07)

40 (114.19,70.63) 100 (118.18,71.67)

50 (119.60,72.49) 120 (118.94,69.62)

60 (127.41,75.69) 140 (123.51,71.36)

70 (133.68,74.99) 160 (125.18,75.58)

80 (140.71,75.00)

* TR/TR CSM/TR CW/TR

1.000 1.214 1.246

Comparaison de 3 méthodes d’estimation de la médiane spatialeComparaison de 3 méthodes d’estimation de la médiane spatiale

Application

* Critère: erreur quadratique* Critère: erreur quadratique

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Plan






Application

Conclusion

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Conclusion Méthodes

– robustes

– invariantes

– Bien adaptées à la modélisation et à la prédiction

– Belles propriétés mathématiques

Références– Duffet, C., Gannoun, A., Guinot, C., Saracco, J. (2005). An affine equivariant estimator of

conditional spatial median, Preprint.

– Gannoun A., Saracco J., Yuan A., Bonney G. E. (2003). On adaptive transformation-retransformation estimate of conditional spatial median, Communications in Statistics Theory and methods, 32, 1981-2011.

– Berlinet A., Cadre B., Gannoun A., (2001). On the conditional L1-median and its estimation, Journal of Nonparametric Statistics, 13, 631-645

– Chakraborty, B., Chaudhuri, P. (1999). A note on the robustness of multivariate medians, Statistics and Probability letters, 45, 269-276.

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