alguns documents del dr. claudi alsina i...
TRANSCRIPT
Fo
rma
ció
de
l pro
fes
so
rat
mostrar la imagen en este momento.
Texte del Títol
Zàping matemàtic: reptes, mites,..i didàctica.
Fundació Catalana per la Recerca i Innovació
Juny -2014
Joan Gómez i Urgellés. Universitat Politècnica de Catalunya
Fo
rma
ció
de
l pro
fes
so
rat
«Aprendan ante todo los profesores a observar atentamente a sus alumnos, a captar sus intereses y sus reacciones, y cuando sepan leer bien en ellos, comprobarán que en ningún libro ni tratado existe tanta substancia pedagógica como en el libro abierto de una clase, libro eternamente nuevo y sorprendente.»
Didáctica Matemática eurística. 30 lecciones activassobre temas de enseñanza media (Puig Adam, 1956)
Fo
rma
ció
de
l pro
fes
so
rat
Matemàtiques i societat: Una história d’amor.....
Reptes del passat, present i futur en el noble l’ofici d’ensenyar matemàtiques
Fo
rma
ció
de
l pro
fes
so
rat
Alguns documents del
Dr. Claudi Alsina i Català
Fo
rma
ció
de
l pro
fes
so
rat
La seducció matemática ?
Perquè no agraden les matemàtiques?
Fo
rma
ció
de
l pro
fes
so
rat
Els polítics continuen promulgant lleis i dissenyant currículums, els consells escolars demanen esforços suplementaris, els pares demanen cada dia més coses, els alumnes no sempre expressen el seu suport, els vostres/nostres col·legues no sempre us/ens fan la vida fàcil... Sempre hi ha canvis en perspectiva, la tecnologia obre oportunitats meravelloses.........
En agraïment als docents.............
Una aposta de futur?. Innovació??? Canvi de suport?
Fo
rma
ció
de
l pro
fes
so
rat
A tots vosaltres professors i professores:
La vostra feina és important. Gràcies per tot el que feu, per la vostre tasca i els vostres esforços. Gràcies pel vostre interès per la professió i per als alumnes, per la vostra generositat en el desenvolupament d’aquesta tasca tan exigent i la vostra noble implicació en el que feu.
Fo
rma
ció
de
l pro
fes
so
rat
Alguns mestres que van fer escola
Fo
rma
ció
de
l pro
fes
so
rat
«La matemática ha constituido, tradicionalmente, la tortura de los escolares del mundo entero, y la humanidad ha tolerado esta tortura para sus hijos como un sufrimiento inevitable para adquirir un conocimiento necesario; pero la enseñanza no debe ser una tortura, y no seríamos buenos profesores si no procuráramos, por todos los medios, transformar este sufrimiento en goce, lo cual no significa ausencia de esfuerzo, sino, por el contrario, alumbramiento de estímulos y de esfuerzos deseados y eficaces». (Puig Adam, 1958)
Una reflexió
Qué és “Fer matemàtiques”?
Màs
ter
de
form
ació
del
pro
fes
sora
t d
'ed
uca
ció
sec
un
dàr
ia Breus arguments
1. Absència d’aplicacions en els currículums de matemàtiques.
2. Excès de formalisme (influéncia bourbakista) en les presentacions.
3. Insatisfacció en l’ensenyament tradicional i poca motivació.
“En la enseñanza de las matemáticas es preciso sustituir el formalismo por el pensamiento intuitivo y las matemáticas han de estar en contacto con situaciones de la realidad” (Puig Adam,1957)
“Es precís aplicar les matemàtiques, no només al mon inanimat, sinó també a la vida” (Santaló,1994)
Màs
ter
de
form
ació
del
pro
fess
ora
t d
'ed
uca
ció
sec
un
dàr
ia
“..Per això, un professor de matemàtiques té una gran oportunitat. Si dedica el seu temps a exercitar els alumnes en operacions rutinàries, matarà en ells l'interès, impedirà el seu desenvolupament intel.lectual i acabarà desaprofitant la seva oportunitat. Però si, per contra, posa a prova la curiositat dels seus alumnes plantejant problemes adequats als seus coneixements, i els ajuda a resoldre'ls per mitjà de preguntes estimulants, pot despertar el gust pel pensament independent i proporcionar certs recursos per a això...”
Què aprenen els alumnes amb l'ensenyament tradicional? Com ensenyem? Com aprenen els alumnes?Moltes propostes educatives estableixen què ensenyar. Poques el com ensenyar.
(George Polya, prefaci a la primera edició en anglés de How to solve it. Princeton University Press. 1945)
Fo
rma
ció
de
l pro
fes
so
rat
Una mirada: Alguns personatges
Màs
ter
de
form
ació
del
pro
fess
ora
t d
'ed
uca
ció
sec
un
dàr
ia
“Uno de los defectos fundamentales que tenia la enseñana matemática, para técnicos en los comienzos del siglo era su exceso de abstracción, su insconciente apartamiento de toda aplicación inmediata al mundo real. Ello motivó , como es sabido, una intensa reacción antimatemática en las escuelas técnicas, que quedó rápidamente frenada en cuanto los mismos técnicos se dieron cuenta de que la culpa de su incapacidad no radicaba en la matemática en sí , sino en el modo cómo se las habia enseñado” El cómodo pretexto: “Ustedes verán cómo esto se aplica en....” rara vez tenía confirmación. (P. Puig Adam, Cálculo integral, 1972)
Fo
rma
ció
de
l pro
fes
so
rat
Les matemàtiques ni són una tortura....
Fo
rma
ció
de
l pro
fes
so
rat
... ni tan complicades com la gent creu...
Fo
rma
ció
de
l pro
fes
so
rat
... més aviat les matemàtiques poden ser la solucíó a un problema
quotidià....
Fo
rma
ció
de
l pro
fes
so
rat
En agraïment al record
Fo
rma
ció
de
l pro
fes
so
rat
En homenatge als nostres mestres en el noble ofici d’educar, d’ells hem sigut aprenents i encara ens manca molt per aplicar de les seves lliçons....Gràcies Maria Montessori, Alexandre Galí, Rosa Sensat, Ferrer Guàrdia, Josep Pallach, Marta Mata,...
En agraïment al record
Fo
rma
ció
de
l pro
fes
so
rat
I especialment del nostre ofici:
Gràcies Santaló, Abrantes,Puig, Guzmán,Terrades, Pòlya, Roig Emma ,…i molts d’altres……
Gràcies per la vostre herència acadèmica i humana.
Fo
rma
ció
de
l pro
fes
so
rat
12 desembre 1913 – Roma, 13 abril 2014
Cliquejant a la imatge hi ha enllaç al power pointAportació
Fo
rma
ció
de
l pro
fes
so
rat
El valor principal de la docència és el binomi professor-alumne i l’actuació docent. Cal que com a docents transmetem il·lusió, idees i creativitat, per tal que els alumnes tornin engrescats el proper dia de classe. Hem de llegir en les seves cares, veure les seves expectatives i les seves dificultats, escoltar-los i posar-nos en el seu lloc. Cal fer una aposta per la formació permanent, per una educació de la ciutadania que potencií el component humà , la creativitat i l’esperit crític, tot fomentant el debat i el treball en grup. Ensenyar és avui, més que mai, estimular i guiar els processos d’aprenentatge que marcaran el tarannà de les noves generacions. Per això, el valor afegit a la docència depèn de nosaltres , els docents, de la nostre sensibilitat, del nostre entusiasme, de la nostra passió per ensenyar.
Joan Gómez i Urgellés (Publicació Institucional UPC, 2008)
El valor de la docència
Fo
rma
ció
de
l pro
fes
so
rat
“Doneu a l’alumne alguna cosa a FER i no alguna cosa a aprendre, ja que el fer té
tal potència que exigeix pensar i reflexionar”
John Dewey (1916)
Fo
rma
ció
de
l pro
fes
so
rat
“Estic contenta, però, de com he viscut. I afirmo que l'educació és més obra d'amor que de ciència, i que no hi ha res tan difícil i interessant com descobrir i formar la persona humana”
Angeleta Ferrer i Sensat (Barcelona, 1904-Barcelona, 1992)
Fo
rma
ció
de
l pro
fes
so
rat
“Ensenyar bé és ajudar a descobrir allò que es vol transmetre”
George Pòlya
Fo
rma
ció
de
l pro
fes
so
rat
Un petit apunt
Joan Triadú (1921-2010). (Revista biec, n.27, 2002): "Els professors, haurien de tenir una preparació didàctica o pedagògica expressa per a l'ensenyament que efectuen. Hi ha molta gent que fa carreres sense la intenció d'ensenyar-les després i es troben a l'ensenyament per qüestions laborals. No s'hi senten bé ni estan preparats per a fer-ho. L'ensenyament vol una predisposició personal i s'ha de reforçar amb una predisposició pedagògica que moltes vegades no hi és"
Fo
rma
ció
de
l pro
fes
so
rat
Decàleg de la didàctica de les matemàtiques, Pere Puig Adam (1955)
1.No adoptar una didàctica rígida, sinó adaptada a cada alumne, observant-lo constantment.
2. No oblidar l'origen concret de la Matemàtica ni els processos històrics de la seva evolució.
3. Presentarem la Matemàtica com una unitat relacionant-la amb la vida natural i social.
4. Graduarem amb cura els plans d'abstracció.
5. Ensenyarem tot guiant l'activitat creadora i descobridora de l'alumne.
6. Estimularem aquesta activitat desperant l'interès directe i funcional cap a l'objecte del coneixement.
7. Promourem l'autocorrecció tan com sigui possible.
8. Aconseguirem una certa destresa en les solucions abans d'automatitzar-les.
9. Procurarem que l'expressió de l'alumne sigui una expressió fidel del seu pensament.
10. Procurarem a cada alumne èxits que evitin la seva desmoralització
Interpretació Decàleg
Fo
rma
ció
de
l pro
fes
so
rat
Innovació
És aquell procés que marca un abans i un després en una situació o metodologia i provoca uns canvis positius de millora de la situació o metodologia.
Fo
rma
ció
de
l pro
fes
so
rat
Els temps estan canviant
CANVIS SOCIALS aprendre diferent
CANVIS CANVISECONÒMICS EDUCATIUS menys temps més idees
CANVIS TECNOLÒGICS promoure la creativitat
Amb tot això les classes del segle XXI hauria de realitzar-se en un nou espai, aconseguir flexibilitat, tecnologia, informació, agenda, actualització, nou aprenentatge, nova docència. Els problemes seran diferents: diversitat cultural, internet, noves tecnologies.
Actualment estem situats en classes del segle XIII, la tecnologia ha evolucionat una mica a les aules però ja està.
Ensenyar matemàtiques és una experiència humana, és compartir un cert entusiasme. Investigar matemàtiques sí és ampliar el coneixement del món.
En matemàtiques no podem continuar usant pedagogia del segle XIX amb tecnologia del segle XXI.
I és que, com deia Dylan en apologia a la innovació, els temps estan canviant.
Text i adaptació: Albert BatisteCd "els miralls de Dylan“ de Gerard Quitana
Màs
ter
de
form
ació
del
pro
fess
ora
t d
'ed
uca
ció
sec
un
dàr
ia
Mites que cal superar. Ritus que cal abandonar
1. Mite de la intel·ligència2. Mite de la deducció3. Mite de l’autosuficiència4. Mite de “El general garanteix el particular”5. Mite “El que fan els altres”6. Mite del nivell7. Mite de tot és explicable8. Mite de tot és útil9. Mite de l‘avaluació
“No s’ha d’ensenyar tot el que s’ha d’ensenyar, sinó tot el que es pot aprendre”. José Ortega y Gasset
Mites que cal superar
Màs
ter
de
form
ació
del
pro
fess
ora
t d
'ed
uca
ció
sec
un
dàr
ia L’entrada
El simbolísme és la porta d’entrada als conceptes matemàtics?. Hi han altres portes….:
Context Aplicacions
Imatges Matemàtiques Verbal
Màs
ter
de
form
ació
del
pro
fess
ora
t d
'ed
uca
ció
sec
un
dàr
ia
Propostes d’entrar en l’ensenyament de les matemàtiques
Fer estimacions Treballar amb grans nombres Repartir de forma justa Trobar patrons Experimentar Modelitzar Representar Fer connexions Vídeos i multimedia
Exemples d’implementació de les propostes (document “maneresd’entrar”)
Imatges, context, aplicacions, verbal,…..
Fotografia matemàtica
Papers:cilindres i volum, demostracions sense paraules,pitàgores,àrees, jocs, cub,binomi,…..
Cub binomi
http://abeam.feemcat.org/course/view.php?id=6
Video cub
Màs
ter
de
form
ació
del
pro
fess
ora
t d
'ed
uca
ció
sec
un
dàr
ia
Alguns exemples
Cilindres d’igual superfície: juguem amb papers
L’agulla d’estendre
El rotlle de paper
Emma Castellnuovo (presentació)
Nota: Exemple previ del cordill
Màs
ter
de
form
ació
del
pro
fes
sora
t d
'ed
uca
ció
sec
un
dàr
ia
Modelització matemàtica
“La modelització matemàtica és l’art d’aplicar les matemàtiques a la vida real”
M. Niss
Màs
ter
de
form
ació
del
pro
fess
ora
t d
'ed
uca
ció
sec
un
dàr
ia
Simplificació (1)
Traducció (2) Comparació (4)
Aplicació de mètodes matemàtics (3)
SITUACIÓ DELMÓN REAL
PLANTEIG DELPROBLEMA EN TERMES
TÈCNICS
MODELITZACIÓ: PROCÉSDE FORMULACIÓ EN
TERMES MATEMÀTICS
MODEL MATEMÀTIC:EXPRESSIÓ MATEMÀTICA
QUE REPRESENTA LASITUACIÓ
RESOLUCIÓ INTERPRETACIÓ
Esquema del procés de modelització
Exemple: Comunitat de veïns
Màs
ter
de
form
ació
del
pro
fess
ora
t d
'ed
uca
ció
sec
un
dàr
ia
Elaboració de vins
El vi més vell està situat a la fila inferior de barriques i el més nou en el pis de més amunt. Cada any, la meitat del contingut dels barrils que toquen a terra es posa en ampolles com a vi de xerès i s’omple amb vi de la fila immediata superior.El procés es completa afegint vi novell als barrils de la filera de més amunt. El problema és la recerca d’un model matemàtic que ens determini la quantitat de vi de n anys que s’extreu de k fileres de k files de barrils(Larson,2003. CàlculoI) .
Màs
ter
de
form
ació
del
pro
fess
ora
t d
'ed
uca
ció
sec
un
dàr
ia
86.1010284.54
02.6102
2.614.8677.10425.2012.0
)(
2
xx
x
xxx
xf
Secció presa de Oliana
-1,86
0 6,2
6,2
39,97
86,140
34
68
102
-2 18 38 58 78
distancia de la base en metres
alç
ada e
n m
etres
Altres situacions
Màs
ter
de
form
ació
del
pro
fess
ora
t d
'ed
uca
ció
sec
un
dàr
ia
Per anar fent boca!!!!
Els angles d’un triangle sumen 180º? suma angles triangle.doc
Model sistema lineal model sistema lineal 2.doc El secret El secret.doc
Treballar models: Oferir el model fet per enriquir l’aprenentatge i mostrar aspectes epistemológics i la visualització de situacions. Per exemple en criptografia
, càmeres de seguretat, tractament d’imatges,…
Propiciar la resolució de problemes, laboratori de matemàtiques, implementar tallers, …..
Màs
ter
de
form
ació
del
pro
fess
ora
t d
'ed
uca
ció
sec
un
dàr
ia
Observi la diferència !!!
Màs
ter
de
form
ació
del
pro
fess
ora
t d
'ed
uca
ció
sec
un
dàr
ia Pixels modificados:
El pixel (97,10)=2; valor original: 91El pixel (115,20)=240; valor original: 49
Fila 3, columna 10Fila 21, columna 20
El zoom que se ha realizado corresponde a las filas que van de la 95 a la 125, y las columnas que van de la 1 a la 30.
Matriz original, de dimensiones 173x110 (filas x columnas)
Màs
ter
de
form
ació
del
pro
fess
ora
t d
'ed
uca
ció
sec
un
dàr
ia
Las modificaciones se aprecian en Fila 3, columna 10: el 91 se conviete a un 2
Fila 21, columna 20: el 49 se transforma en un 240
Màs
ter
de
form
ació
del
pro
fess
ora
t d
'ed
uca
ció
sec
un
dàr
ia
Decret 142/2007 DOGC núm. 4915
Decret 142/2007 DOGC núm. 4915La competència matemàtica implica l'habilitat per comprendre, utilitzar irelacionar els números, les seves operacions bàsiques, els símbols i les formesd'expressió i raonament matemàtic, tant per produir i interpretar distints tipusd'informació, com per ampliar el coneixement sobre aspectes quantitatius iespacials de la realitat, i per entendre i resoldre problemes i situacionsrelacionats amb la vida quotidiana i el coneixement científic i el món laboral isocial.És a dir, la competència matemàtica implica el coneixement i maneig delselements matemàtics bàsics (distints tipus de números, mesures, símbols,elements geomètrics, etc.) en situacions reals o simulades de la vidaquotidiana; elaborar la informació a través d'eines matemàtiques (mapes,gràfics...) per poder-la interpretar; posar en pràctica processos de raonamentque condueixin a la solució de problemes o a l'obtenció de la informació.
Competéncies matemàtiques ESO
Màs
ter
de
form
ació
del
pro
fess
ora
t d
'ed
uca
ció
sec
un
dàr
ia
Un comentariDes de dissenyadors de currículums, associacions de professors, etc. té especial interés en l’ensenyament activitats de modelització, apunto diferents referents
socials que coincideixen a destacar la importància d’ensenyar les matemàtiques aplicades a la vida real i fer veure les relacions entre les matemàtiques i la realitat
(epistemología); els estudis més rellevants son: l’Informe Cockroft (1982), programa PISA (OCDE, 2003), els Principios y Estándares para la Educación
Matemática (SAEM Thales 2003).A més a més els currículums de matemàtiques, que alguns països
proposen des dels anys 80 en diferents àmbits educatius, inclouen la resolució deproblemes, aplicacions i modelitzacions. Aquests països, principalment, són: elRegne Unit, Austràlia, Finlàndia, Dinamarca i Holanda. Les raons per a aquesta
inclusió estan ben expressades a Blum i Niss (1991) i Burkhardt (2006).En el cas de Catalunya, en el nou currículum aprovat el 26 de juny de 2007,
s’estableix que a final dels tres primers cursos es farà un treball de síntesi que hade servir perquè els alumnes mostrin com saben relacionar els aprenentatges fetsamb la vida pràctica. A la introducció de l’àrea de matemàtiques es diu que s’hande potenciar les capacitats de l’alumne per «modelitzar situacions de la vida
real»(DOGC 4915, pàg. 21873 i 21927).
Màs
ter
de
form
ació
del
pro
fess
ora
t d
'ed
uca
ció
sec
un
dàr
ia
Algunes referències
Bon dia mates
La matemàtica del consumidor
Màs
ter
de
form
ació
del
pro
fess
ora
t d
'ed
uca
ció
sec
un
dàr
ia
Alguns treballs recents de modelització dissenyats i desenvolupats per professors:
Abocador d’escombraries (Alberto i José Luís de Vilanova, alumnes del màster d’Educació UPC 2010Memória – fitxer GeoGebra
-Viatge en cotxe (treball de Cristina Rodriguez), Màster(UPC-2010)
--Altura d’un edifici (E. Pérez, Sitges). Grup de modelització del Garraf 2010
--Mesurem el far i annexos. Jordi Font. Grup modelització Garaf 2014
-_TFM Jesús Fernández (Taronja). Màster 2014
Màs
ter
de
form
ació
del
pro
fess
ora
t d
'ed
uca
ció
sec
un
dàr
ia
Alguns problemes de modelització de funcions
1. Roda atracció de fira 2. Més models exponencials3. Catàstrofe ecológica
4. Optimitzar la longitud d’un terreny
5. El bulevard
6. Les crispetes
7. El mon dels envasos cilíndrics
Bibliografia:
“La Matemática.Reflejo de la realidad” (Joan Gómez, 2007,FESPM)
Màs
ter
de
form
ació
del
pro
fess
ora
t d
'ed
uca
ció
sec
un
dàr
ia
Roda atracció de fira
Màs
ter
de
form
ació
del
pro
fess
ora
t d
'ed
uca
ció
sec
un
dàr
ia
Problema
Suposem una atracció de fira de l’estil que mostra la figura, l’anomenada roda o sínia (en castellà nória):
Suposarem diverses dades:
12 cadires igualment espaiades al llarg del seu perímetre, un radi de 10 metres i a una distància del punt més baix del terra de 0.5 metres; també suposarem que triga 30 segons en fer una volta completa i que la seva velocitat és constant.
La idea és construir un model que permeti analitzar la següent qüestió:
Com varia la distància , respecte el terra, d’un passatger durant el passeig?
Màs
ter
de
form
ació
del
pro
fess
ora
t d
'ed
uca
ció
sec
un
dàr
ia
Prenem com a model el gràfic anterior i notem que la cadira “1” està a 0.5 metres del terra. Per simplificar el problema suposarem que en l’instant t = 0, la posició està a la cadira “4”; és a dir: a 10.5 metres del terra. Notem que si en 30 segons recorre una volta sencera ( 2 radians), aleshores en un temps de t segons recorrerà radians, és a dir:
t
2
30 d’aquesta senzilla regla de tres s’obté que t
15
; per tant en un segon recorre:
15
radians, en dos segons 15
2 radians, i així successivament.
Màs
ter
de
form
ació
del
pro
fess
ora
t d
'ed
uca
ció
sec
un
dàr
ia
)sin(10
Representació amb GeoGebra
Màs
ter
de
form
ació
del
pro
fess
ora
t d
'ed
uca
ció
sec
un
dàr
ia
Amb això podem fer una taula amb Excel discretitzant segon per segon tal com mostra la figura:
Nº de segons
Angle en radians
Distància del terra
0 0 10,5 10,2094395112,5791169 20,4188790214,5673664 30,6283185316,3778525 40,8377580417,9314483 51,04719755 19,160254 61,2566370620,0105652 71,46607657 20,445219 81,67551608 20,445219 91,8849555920,0105652
10 2,0943951 19,160254 112,3038346117,9314483 122,5132741216,3778525 132,7227136314,5673664 142,9321531412,5791169 153,14159265 10,5 163,351032168,42088309 173,560471676,43263357 183,769911184,62214748 193,979350693,06855175 20 4,18879021,83974596 214,398229720,98943484 224,607669230,55478105 234,817108740,55478105 245,026548250,98943484 255,235987761,83974596 265,445427273,06855175 275,654866784,62214748 285,864306296,43263357
Full de càlcul colors
Full de càlcul Exel
Màs
ter
de
form
ació
del
pro
fess
ora
t d
'ed
uca
ció
sec
un
dàr
ia
Si representem la gràfica D= 10.5+ 10 sin(PI*x/15), tenim:
Màs
ter
de
form
ació
del
pro
fess
ora
t d
'ed
uca
ció
sec
un
dàr
ia
MODELS EXPONENCIALS
XabY
XabY
Màs
ter
de
form
ació
del
pro
fess
ora
t d
'ed
uca
ció
sec
un
dàr
ia
Màs
ter
de
form
ació
del
pro
fess
ora
t d
'ed
uca
ció
sec
un
dàr
ia
Solució: 0.1mm = 0.0001m 384.000km = 384.000.000m Al doblegar un cop el full, tinc que el gruix és: 20001.0 Al doblegar dos cops llavors tindrem: 220001.0220001.0
Al doblegar x cops, el gruix del paper és: x20001.0 El model serà l’equació exponencial :
000.000.38420001.0 x Per tant, per a calcular el número de cops que haurem de doblegar el full per calcular la distància de la Terra a la Lluna , resoldrem aquesta equació exponencial.
4280424.411084.32000.000.38420001.0 12 xxxx
Per tant, calen 42 doblecs del full
Màs
ter
de
form
ació
del
pro
fess
ora
t d
'ed
uca
ció
sec
un
dàr
ia
Màs
ter
de
form
ació
del
pro
fess
ora
t d
'ed
uca
ció
sec
un
dàr
ia
El mon dels envasos: Optimitzar superfícies de cilindres
Màs
ter
de
form
ació
del
pro
fess
ora
t d
'ed
uca
ció
sec
un
dàr
ia Es tracta de trobar les dimensions per a fabricar
llaunes per emmagatzemar una quantitat d’uns 33 cl de beguda, estalviant el màxim d’alumini possible
L’empresa Coca-cola te diversos tipus d’envàs,entre ells, el clàssic i el més actual de forma més allargada.
Màs
ter
de
form
ació
del
pro
fess
ora
t d
'ed
uca
ció
sec
un
dàr
ia
Envás clàssic
El volum és de 33cl es a dir: .Suposem que la base i la tapadora del recipient es plana. Suposarem també que sigui un cilindri perfecte i ignorem el ganxo per obrir la llauna. Experimentalment s’ha trobat que el gruix lateral de la llauna es de 0,508mm. I que la quantitat d’alumini de la tapa es el triple que el de les parets tal com mostra la figura:
Màs
ter
de
form
ació
del
pro
fess
ora
t d
'ed
uca
ció
sec
un
dàr
ia
La quantitat d’alumini serà igual a la quantitat d’alumini en la base, mes la quantitat al lateral i mes la tapa (3 vegades la base). Es a dir, la funció a optimitzar (minimitzar) serà:
El primer terme de l’expressió és la quantitat d’alumini que hi ha entre la base i la tapa, recordem que la tapa te tres vegades la quantitat d’alumini de la base. El segon terme es la quantitat d’alumini que te el lateral de la llauna.
508,02508,04. 2 hrrAlQ
Treien factor comú, l’expressió queda: hrrAlQ 24508,0. 2
Lligam:2
22 3̂,333.3333̂,333.333
rhhrhrV
Substituint a l’expressió anterior queda:
rrAlQ
13̂,333.33324508,0. 2
Màs
ter
de
form
ació
del
pro
fess
ora
t d
'ed
uca
ció
sec
un
dàr
ia
plot(0.508*Pi*(4*r^2+(2*333333.3/Pi)*(1/r)),r=1..100);
Si ens aproximem gràficament als voltants del 29,8 tenim:plot(0.508*Pi*(4*r^2+(2*333333.3/Pi)*(1/r)),r=29.4..30.5);
Visualment observem que el mínim està a l’entorn del 29.8
Màs
ter
de
form
ació
del
pro
fess
ora
t d
'ed
uca
ció
sec
un
dàr
ia
Si usem derivades, tenim:
2
13̂,333.33328508,0.
rrlaQ
Igualant a zero i aïllant el radi s’obté: r=2,98cm i per tant l’alçada és:
11,925cm3̂,333.333
2
rh
L’altura i el radi que ens proporciona el fabricant de l’envàs clàssic de coca-cola és:h =11,5cm i r = 2,7cm.Per tant podem afirmar que l’empresa coca-cola ha utilitzat optimització per estalviar-se material en la construcció de les llaunes.
Màs
ter
de
form
ació
del
pro
fess
ora
t d
'ed
uca
ció
sec
un
dàr
ia
L’envàs nou de Coca-Cola
Experimentalment es comprova que en el nou envàs de Coca-Cola, la tapa és quatre vegades el gruix de les parets, si anomeno g al gruix de les parets tenim que la quantitat d’alumini de la tapa és
Es tracta de trobar les dimensions del nou envàs que minimitzen la quantitat d’alumini.
24 rg
Quantitat Alumini
Tenim les dades:
Q Quantitat d’alumini= Quantitat en la tapa+quantitat en la base +quantitat en les parets =
)25()25(24 222 hrgrhrgrhggrgr
Com a lligam tenim :
22
3̂,333333
rr
Vh
Si ho substituïm a Q s’obté:
)6̂.666666
5()3̂,333333
25( 2
2
2
rrg
rrrgQ
Màs
ter
de
form
ació
del
pro
fess
ora
t d
'ed
uca
ció
sec
un
dàr
ia
Si derivem tenim:
)6̂.666666
10(`2
r
rgQ
Igualant a zero la primera derivada s’obté:
06̂.666666
102
r
r
I per tant el radi queda com:
mmr 68553728.2710
6̂,6666663
i per tant un diàmetre de 55,37107456 mm
I l’alçada:
mmr
Vh 427864.138
)68553728.27(
3̂,33333322
Màs
ter
de
form
ació
del
pro
fess
ora
t d
'ed
uca
ció
sec
un
dàr
ia
Verifiquem i comparem les dades obtingudes amb les dimensions de l’envàs realAlçada llauna real: 143 mm= 14.3 cmAlçada llauna usant optimització: 138 mm =13.8 cmRadi llauna real: 27 mm= 2.7 cmRadi llauna usant optimització: 28 mm= 2.8 cm
ConclusionsDesprés de realitzar el càlcul d’optimització i comparar els resultats obtinguts amb els resultats reals de les dimensions del nou envàs, podem afirmar que la firma Coca-Cola ha actuat de manera coherent amb els resultats matemàtics.
Accés a tot el document
Fo
rma
ció
de
l pro
fes
so
rat
Missatge: Qué és “Fer matemàtiques”?El missatge a transmetre és que les matemàtiques poden ser útils i atractives. Matemàtiques és sentiment. Fer matemàtiques no és realitzar un seguit de rutines, ni fer més temes, és en tot cas oferir més idees i més creativitat; fer matemàtiques és una manera de pensar i de viure; fer matemàtiques és una manera de mirar el món que ens envolta, fer matemàtiques es pensar abans d’actuar, ensenyar matemàtiques forma part de l’educació i formació de ciutadans i ciutadanes destacant la component humana de les matemàtiques i despertant l’esperit crític tot fomentant el debat i el treball en grup. El llenguatge matemàtic no ha de ser el punt de partida, sinó el punt d’arribada.
“Les matemàtiques es fan amb el cap i s’ensenyen amb el cor” (C. Alsina, Diari Avui,1999)
Fo
rma
ció
de
l pro
fes
so
rat
Un darrer consell:
“Amb els deixebles cal emfatitzar els éxits i minimitzar els errors”
(Joan Gómez, 2011)
Fo
rma
ció
de
l pro
fes
so
rat
... i una reflexió educativa
Tots nosaltres, la gent de l’educació, podem tenir especialitats diferents però compartim, segur, l’amor per l’ofici, l’amor per la gent. Aquest amor ens porta a
apostar pel futur, a formar noves generacions... i ho fem no només en un nivell individual. Hi ha una gran tasca col•lectiva.
Estimem i ensenyem a fer estimar.
Aquesta és la gran dimensió de la nostra feina.
¡Gràcies a tots vosaltres per compartir aquesta aventura que avui encetem!
Fo
rma
ció
de
l pro
fes
so
rat
Gràcies per compartir aquesta estona
Tema de Tara (Steiner), Allò que el vent s’endugué
Allò que el vent no s’endurà mai són els records i els sentiments que hem fet nostres.
Hi ha molt més per gaudir i aprendre.
La possible estimació a les matemàtiques i al seu ensenyament, si no ha format part del vostre passat pot formar part del vostre futur. M’agradaria que això fos veritat i haver-hi contribuït.
Intr
od
ucc
ió a
la
reso
luci
ó d
e p
rob
lem
es
Consideracions, reflexions, idees i consells sobre la resolució de problemes
Intr
od
ucc
ió a
la
reso
luci
ó d
e p
rob
lem
es
«Qui vol fer alguna cosa troba un mitjà; qui no vol fer res troba una excusa».
(Proverbi xinès)
Intr
od
ucc
ió a
la r
eso
luci
ó d
e p
rob
lem
es
«l'objectiu fonamental de l'ensenyament de les Matemàtiques no hauria de ser altre que el de la resolució de problemes»
N.C.T.M.
“L'ensenyament de les Matemàtiques ha de considerar la resolució de problemes,
incloent l'aplicació de les mateixes situacions de la vida diària”
Informe Cockroft
Intr
od
ucc
ió a
la r
eso
luci
ó d
e p
rob
lem
es «les capacitats bàsiques de la intel·ligència s'afavoreixen des de les Matemàtiques a partir de la resolució de problemes, sempre que aquests no siguin vists com situacions que requereixin una resposta única (coneguda prèviament pel professor que encamina cap a ella), sinó com un procés en el qual l'alumne estima, fa conjectures i suggereix explicacions».
Douglas Richard Hofstadter
Intr
od
ucc
ió a
la
reso
luci
ó d
e p
rob
lem
es
«Ensenyar matemàtiques ha de ser equivalent a ensenyar a resoldre problemes. Estudiar
matemàtiques no ha de ser altra cosa que pensar en la solució de problemes»
Lluís A. Santaló (1985)
«Està bé justificat que tots els textos de matemàtiques, continguin problemes. Els problemes
poden fins i tot considerar-se com la part més essencial de l'educació matemàtica»
George Pólya (1968)
Intr
od
ucc
ió a
la
reso
luci
ó d
e p
rob
lem
es
“El que sobretot hauriem de proporcionar als nostres alumnes a través de les matemàtiques és la possibilitat que es fes amb hàbits de pensament adequats per a la resolució de problemes matemàtics i no matemàtics”
Miguel de Guzmán (1984)
Intr
od
ucc
ió a
la
reso
luci
ó d
e p
rob
lem
es
Representen un desafiament a les qualitats desitjables en un matemàtic.
Sembla obvi per a tot el món que existeixen unes qualitats que distingeixen a les persones que resolen problemes amb facilitat, encara que si s'han d'assenyalar quins són, és ben dificultos fer-lo. I es tendeix a pensar que coincideixen en línies generals amb les qualitats pròpies dels matemàtics.
Una vegada resolts apeteix proposar-los a altres persones perquè al seu torn intentin resoldre'ls.
Passa com amb els acudits que ens agraden, que els vam contar de seguida a uns altres, i així es van formant cadenes que expliquen la seva ràpida difusió. El mateix succeeix amb els bons problemes.
Semblen a primera vista una mica abordable, no deixen bloquejat, sense capacitat de reacció.
I pot passar que alguna solució parcial sigui senzilla o fins i tot immediata. Des d'un punt de vista psicològic, només ens plantegem allò que som capaços (o almenys això creem) de resoldre. Per això, si un problema només ho és per a nosaltres quan ho acceptem com a tal, difícil és que ens "embarquem" en una aventura que ens sembli superior a les nostres forces.
Intr
od
ucc
ió a
la
reso
luci
ó d
e p
rob
lem
es
Un altre clàssic: El problema de Heró d’Alexandría
Estàs perpendicularment a la vorera d'un riu, i uns metres al teu costat hi ha un focc. Has d'anar al riu a buscar una galleda d'aigua i anar a pagar el foc. A on es d'agafar l'aigua del riu (cami mes curt)?
Si el punt del bomber és A(0,b) i el punt del foc B(a,c), el punt de la riva que produeix mínim camí és el (ab/(b+c),0).
Intr
od
ucc
ió a
la r
eso
luci
ó d
e p
rob
lem
es
Problemes de matemàtiques recreatives. Perelman
Yakov Perelman “Matematicas Recreativas”.1965. Col.lecció ciencia popularl. Editorial Mir.
Yakov Perelman, Polonia. 1842-1942. A la Lluna hi ha un cràter de 95 Km de diàmetre en homenatge seu.
Alguns dels seus llibres traduïts al castellà:* Matemáticas recreativas
* Aritmética recreativa* Álgebra recreativa* Geometría recreativa* Astronomía recreativa* Física recreativa I* Física recreativa II* Problemas y experimentos recreativos* Mecánica para todos* ¿Sabe Ud. física?
Intr
od
ucc
ió a
la r
eso
luci
ó d
e p
rob
lem
es
Martin Gadner, nascut un 21 d’octubre, en concret de l’any 1924 i traspasat el 22 de maig del 2010
Matemàtic i divulgador científic americà especialitzat en les matemàtiques recreatives. Ha publicat més de 70 llibres i ha estat autor de la columna Mathematical Games a la revista Scientific American des de 1956 al 1981.
Matemàtica divertida
Recull de problemes de Martin Gadner
Intr
od
ucc
ió a
la
reso
luci
ó d
e p
rob
lem
es
Excel.lent classe de Geometría impartida per G. Pólya
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
mostrar la imagen en este momento.
Texte del TítolRecursos de matemàtiques i vida quotidiana per
l’ensenyament
Joan Gómez i Urgellés Universitat Politècnica de Catalunya
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
Matemàtiques i societat: Una história d’amor........ Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
I. En homenatge als instruments de mesura i als oficis
Els instruments de mesura han estat tradicionalment elements inseparables dels oficis
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
Cargol d’ Arquímides
La construcció anterior provoca una hèlix. Quant més petit sigui l’angle del triangle, caldrà donar més voltes.¿Quant haurà avançat el cargol al completar una volta sencera al cilindre?. Aquesta distància es coneix com “avanç”. Si el pas és de 1mm, caldrà donar 10 voltes per avançar 1cm.Aquest fet ja era conegut per Arquímides (287-212 a.C.), el sistema va ser ideat per extreure aigua d’un riu i regar terrenys, amb unes aspes de forma helicoïdal. La fabricació de pintallavis es fonamenta en aquest fet. Actualment, aquesta tècnica, s’utilitza en carnisseries (picadores de carn) i a nivell industrial per bellugar líquids. D’altres aplicacions semblants són les hèlix dels forabords en navegació i les hèlix dels helicòpters.
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
Eines de mesura
METRE DE CINTA METÀL·LICA. Es el metre por excel·lència. Te gran exactitud i serveix per prendre qualsevol tipus de mesura. Per mesurar longituds llargues una única persona cal que la cinta mètrica sigui suficientment ample per tal de que no es doblegui. Acostumen a tenir una llargada d’entre 3 i 5 metres.
METRE DE FUSTER. Es segueix utilitzant en algunes fusteries , el metre clàssic de fuster va desapareixent a poc a poc i és substitueix per l’anterior.
METRE LASER. Es el metre de darrera generació. Mesura fàcilment i amb gran precisió distàncies de tota mena. El seu inconvenient és l’elevat cost per un usuari aficionat.
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
REGLA METÀL·LICA. Les regles metàl·liques són molt útils per treballs de fusteria degut a la seva exactitud i sobretot per dibuixar línies rectes.
ESCAIRE DE FUSTER. L’escaire de fuster és un clàssic insubstituïble , ja que amb aquesta escaire es pot comprovar la bona col·locació d’un moble (escairat) i a més serveix per construir línies perpendiculars o a 45º respecte la cantonada d’un tauler. N’hi ha regulables en angle, és a dir: no necessariament de 45º.
TRANSPORTADOR D’ANGLES. Molt útil per fabricar elements amb angles no rectes. També serveix per copiar un angle i traslladar-li-ho al element que estem fabricant.
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
NIVELL. El nivell s’utilitza per mesurar el grau d’horitzontalitat o verticalitat d’un element. És una eina que no pot faltar en cap ofici manual, s’utilitza constantment al penjar quadres, col·locar mobles, instal·lar prestatges, construir parets,....
PEU DE REI. Mesura amb força precisió elements petits (cargols, forats, petits objectes,..). La precisió arriba a la dècima i fins i tot a la mitja dècima de mil·límetre. Per mesurar exteriors s’utilitzen les dues potes llargues, per mesurar interiors (p.e. diàmetres de forats) les dues potes petites, i per mesurar fondàries l’element que surt de la part del darrera. Per efectuar una medició, s’ajusta el calibre al objecte que es vol mesurar i el fixem. La pota mòbil te una escala graduada (10 o 20 ratlletes, depenen de la qualitat del peu de rei i de la precisió). La primera ratlleta (0) ens indica els mil·límetres i la següent ratlleta que coincideixi exactament amb una de les ratlletes de l’escala graduada del peu ens indica les dècimes de mil·límetre (calibre amb 10 divisions) o les mitges dècimes de mil·límetre (calibre amb 20 divisions).
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
Doble decímetre: òptica
DIP (distancia entre pupiles) i y DNP (distancia nas pupiles)
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
Aparells de mesura de desviacions i articulacions
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
En homenatge a les professions
Gràcies a tots vostès, professionals, per permetre que les matemàtiques estiguin presents en la vostre noble tasca professional. Sense les matemàtiques no seria possible la construcció de vivendes,llum, aigua,funcionament d’aparells elèctrics,...però només amb matemàtiques tampoc; és necessària la vostre presència, constància i professionalitat. Espero que les matemàtiques us continuïn essent útils en l’exercici de la seva professió.
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
"Matemàtica i empresa"La nostra empresa, és de ciències o és de lletres?
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
Problema de l’endoll i la làmpara
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
Problema de l’endoll i la làmpara
Enllaç arxiu GeoGebra
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na La presencia de les
matemàtiques destaca en multituds d’aspectes: natura, art, humanitats, ...
MEDEIS AGEOMETRETOS EISITO“Que no gosi entrar ningú que no sàpiga geometria”
Plató
Lletres o ciències?
Plató. Museu Capitolino de Roma
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
Oda a los números ( fragment )
¡Qué sedde saber cuánto!
¡Qué hambrede sabercuántas
estrellas tiene el cielo!Nos pasamos
la infanciacontando piedras, plantas,
dedos, arenas, dientes, la juventud contandopétalos, cabelleras.
Contamoslos colores, los años,las vidas y los besos,
en el campolos bueyes, en el marlas olas. Los navíos
se hicieron cifras que se fecundaban.Los números parían.
Las ciudades eran miles, millones,el trigo centenares
de unidades que adentrotenían otros números pequeños,
más pequeños que un grano.El tiempo se hizo número.
La luz fue numerada.
Pablo Neruda
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
“Els elements” (Euclides, 300 a.C))
"Si dues figures són proporcionals i "a escala" es verifica que si el quocient de les seves longituds es un valor a, aleshores el quocient de les seves àrees pren el valor a2 i el quocient dels seus volums es a3 , "a" s'anomena factor de proporcionalitat "
3
2
Volúm2
Volúm1
Àrea2
Àrea1
Longitud2
Longitud1
a
a
a
II.Proporció
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
Anem al cinema !!!!
La cartellera
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
Les meravelles del setè art
Model Real:230 Kg. i alçada 1.8 m.
Pel.lícula: 2900 Kg. I alçada 14.5 m.
Segons Euclides:
Alçada pel.lícula/alçada real = 8.3, llavors el quocient de volums tindria que ser de (8)3 = 512
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
Les meravelles del setè art
Monstre real Monstre
pel·lícula Quocient de proporció “a”
Proporció al cub: a3
alçada 1.8 metres 14.5 metres (14.5/1.8) = 8 512 Massa 230 Kg. 2900 (2900/230) =
12.60 2001.7 (2 tones)
Massa ben proporcionada
230 Kg.
x (x/230) Relació : (x/230) = 512; operant s’obté 117760 (117 tones)
Observem que a la pel·lícula es considera una massa de 2900 Kg. (aproximadament 3 tones), xifra que no està d’acord amb els postulats d’Euclides !!!!. Caldria una massa de 117 tones per tal de respectar les lleis de la geometria.
Observin que no lliga amb els postulats de Euclides!!!.Per d’estar d'acord amb els postulats de Euclides caldria que la massa del monstre a la pel.licula fos de 120 tones. No seria tant àgil per aguantar-se a l’Empir State ni tant sols dret!!!!
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
Missió realment impossible!!!!
1. La probabilitat de que dues persones es puguin mantenir damunt d’un tren a 300 Km/h és quasi zero.L’Euroestar gaudeix d’un cablejat, en el film desapareix per tal de que no molestin els moviments dels actors!!!!.
2. Les dimensions del Eurotunel són de 7.6 m., un helicòpter no hi pot maniobrar!!!.
3. Dos trens no es poden creuar , van per túnels separats.
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
El suspens......i les proporcions..l'assassí resta amagat entre l’espai davanter i darrer....
CALCULIN!!
Les mesures dels vehicles mes espaiosos: 100x30x45. No hi ha lloc suficient!!!!!
Disparar des de un vehicle a més de 100 Km/h no és tant senzill!!!. La probabilitat d’encert és quasi zero, contràriament al que ens mostra el cinema. Rambo qüestiona la teoria de probabilitats
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
D’aquesta manera ens enganya el setè art !
“L’art de mesurar ens mostra situacions impossibles en moltes de les imatges que ens ofereix el cinema”
Holliwood ens tima? Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
En homenatge a Charles Helton
John Charles Carter (4-10-1924,5-04-2008), en el Planeta dels símis (1968)
Després de 6 mesos de viatge –al sí de la nau- el calendari de la nau marca 14-07-1972 i a la Terra és el 29-03-2673. Han passat 700 anys!!!.Una bona base científica per il·lustrar la paradoxa dels bessons
Só
n a
vorr
ides
les
mat
emàt
iqu
es?
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
Més proporcions
Hom sap que:
Un DINA3= 2DINA4, TIPOLOGIA DE PAPER USAT EN COPISTERIES.
Recordem EUCLIDES:
Si (longitud petita/longitud gran) val a; llavors (àrea del objecte petit/àrea del objecte gros) és a2.
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
Fem fotocopies !!!
(Àrea D4/àrea D3)= (àrea D4/ 2àrea D4)=0.5= a2 ; és a dir: a = l’arrel de 0.5 = 0.707.
En síntesi: (longitud de un objecte d’un D4/longitud objecte D3) val 0.707. En altres paraules:
Longitud objecte en D4=longitud objecte en D3 x 0.707.
Imaginin un arbre que en D3 fa 10 cm, al fer la reducció a D4 farà: 10x0.707= 7.07
Compte!! Al reduir es redueix la superfície un 50% però els continguts només es redueixin un 30%, no a la meitat com podem pensar!!!!!!! M
ate
mà
tiq
ue
s i
vid
a q
uo
tid
ian
a
Fo
men
t
Vila
no
ví
Alçada=8,38
Amplada=5,03
Només el fet de moure objectes amb el dit per sobre la pantalla i canviar el tamany és …mostrar el Teorema de Thales!!!!!!
Fo
men
t
Vila
no
ví
Alçada=13,97
Amplada=8,38
Fo
men
t
Vila
no
ví
Alçada=8,38
Amplada=5,03
Alçada=13,97
Amplada=8,38
(13,97/8,38) = 1,66 és la constant de proporcionalitat
(8,38/5,03)= 1,66
Teorema de Thales
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
Art, proporció,pintura , escultura, geometría, perspectiva,bellesa, regla i compàs, punts de fuga, dibuixos i contruccions impossibles,… pàtibull de paraules.
Patibull de paraules.
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na La presencia de les
matemàtiques destaca en multituds d’aspectes: natura, art, humanitats, ...
MEDEIS AGEOMETRETOS EISITO“Que no gosi entrar ningú que no sàpiga geometria”
Plató
Lletres o ciències?
Plató. Museu Capitolino de Roma
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
Esquema geomètric de composició de Las Meninas.Groc: eixos del centre de la imatge. Blau: eix del terç de la imatge. Verd: Punt de fuga geomètric. Vermell: Punt de fuga dels Reis.
Hi ha tres interpretacions possibles:
1. El pintor pinta la parella reial que és a l'àrea no visible;
2. El pintor pinta a l'infanta; 3. El pintor es pinta a si mateix
Las Meninas (La familia de Felipe IV).1656. Museu del Prado.
Web amb animacions amb Flasch i GeoGebra de Las Meninas
http://jmora7.com/Meninas/index.htm
Diego Velázquez (1599-1660)
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
Elements geomètrics: triangles semblants i rectangles anomenats àurics
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na Salvador Dalí (1904-1989). Es
tracta de Dalí d’esquena que pinta a Gala d’esquena (1973)
Aquesta obra és un retrat, que és alhora autoretrat i resulta d'alguna manera recurrent i fins autoreferent: el quadre que pinta Dalí en aquest quadre és, sens dubte, el mateix quadre que nosaltres contemplem.
Estem dins del quadre?
Estem davant de geometria anomenada fractal???
Réplica de “Las Meninas”
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
Albert Durero, "Hombre Dibujando un Laúd" 1525 publicat a institutiones geometricae (1525). Es mosrta com obtenir una perspectiva a través d’una projecció.
Leonardo Da Vinci (1452-1519) i Albert Durero (1471-1528). Els fascinaba representar en dues dimensions elements de tres dimensions. Podem afirmar que son l’embrió de la perspectiva, projeccions i secccions,…En síntesi: la Geometria proyectiva
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
Albert Durero,Dürer, pintor alemany, va realitzar al 1514 el gravat “La Melancolía”, que es pot veure al Germanisches National Museum de Nuremberg o a la Bibliothèque nationale de France, París. Si observem trobem en la obra:
Compàs de geòmetra.Esfera, símbol còsmic.Quadrat màgic.Poliedre.Infinit (punt de fuga al cap del cometa).Balança, símbol de la proporció matemàtica.Rellotge de sorra, símbol del temps.
En aquest gravat, Durero va pintar en lloc destacat el quadrat màgic d'ordre 4.
Melancolía I (1514) , Durero
El quadrat està format pels nombres de l'1 al 16, distribuïts en caselles (quatre per cada costat), la suma dels nombres de qualsevol costat és 34, una xifra associada a Júpiter i a les virtuts atribuïdes a aquest planeta.
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
Sembla ser que Melancolía és una obra que fomenta el debat doncs està lligada a les creences masóniques.
En el quadrat màgit, a més de sumar 34 en qualsevol sentit (horitzontal, vertical i diagonal) , les quatre cantonades també sumen 34. Peró notem que també sumen el mateix els quadrats interiors …Si ens fixem a baix hi ha el 15 i el 14 , notem que Durero representa l’any que fa fer el quadre…. També sumen 34 els seus quatre vèrtexs 16 +13 +4 +1 i els seus veïns 5 +8 +9 +12, 15 +14 +3 +2. També els números centrals 10 +11 +6 +7 i els "salts de cavall" 5 +2 +12 +15.
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
S. Família 8 d’abril del 2014.
Façana La Passió
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
Gaudí, al segle XX va utilitzat els quadrats màgics en una façana de la Sagrada Família. (la de la Passió, que al 1987 Subirachcs va continuar el treball de Gaudí). La constant màgica en aquest cas és 33, hi ha més de 500 combinacions que sumin 33, que coincideix amb l'edat que tenia Jesucrist quan el van crucificar. Aquest quadrat màgic té dos nombres repetits (14 i 10) , -i no hi ha ni el 12 ni el 16- . Perquè?
Es tracta d'una reestructuració del quadrat màgic de Dürer (Melanconia) , rotat 180º i retocat convenientment per a rebaixar la constant màgica en una unitat. Subirachs va amagar-hi un curiós criptograma: sumant els dos 14's i els dos 10's ens dona 48, que és el valor numèric de la paraula INRI en llatí (Iesus Natzarenus Rex Iudeorum) Quan es fa el càlcul hem de recordar que a l'alfabet llatí no hi ha la "J" (I=9, N=13, R=17) : 9+13+17+9=48
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
Bóveda de hiperbolóide de la Sagrada Familia.
Antoni Gaudí (1852 – 1926) va ser un arquitecte amb un sentit innat de la geometria i el volum, amb una gran capacitat imaginativa que li permet projectar mentalment la majoria de les seves obres abans de passar-les a plànols.
"Els paraboloides, hiperboloides i helicoides, variant constantment la incidència de la llum, tenen una riquesa pròpia de matisos, que fan innecessària la ornamentació i fins al modelatge."
Casa Batlló: sostre en espiral del saló
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
“quadrats i cercles”
“En pintura el punt és l’element primari”
V. Kandinsky
V. Kandinsky (1866-1944)
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
La banda de Möbius i l’ampolla de Klein: superficies amb una sola cara, l’una amb vora i l’altre sense vora.
Monument a la Banda de Möbius , Avda. Alameda. Santiago de Xile. Agost 2011.
Ma
tem
àti
qu
es i
vid
a q
uo
tid
ian
a
M. C. Escher (1898-1972)
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
L’Art en el disseny. Uns singulars escuradents. Alhora dues utilitats simultànies: per menjar i per “reposacoberts”
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na El matrimoni matemàtica-art és enriquit amb lús dels ordinadors. La creació de models
visuals de superfície i composicions geomètriques han assumit l'aspecte d'una veritable i nova forma d’art: els fractals (amb aspectes estètics de gran bellesa).
Un fractal és un objecte semi geomètric de manera que l'estructura bàsica, fragmentada o
irregular, es repeteix a diferents escales. És a dir, tenen la propietat que cada petita porció del fractal pot ser visualitzada com una rèplica a escala reduïda del tot. El terme va ser proposat pel matemàtic Benoît Mandelbrot en 1975 i deriva del Llatí fractus, que significa trencat o fracturat. Moltes estructures naturals són de tipus fractal.Mandelbrot va saber utilitzar l'eina que s'estava popularitzant en aquesta època -l'ordinador - per traçar els més coneguts exemples de geometria fractal.
Els fractals com exponent de l’art
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
Casa Ramona. Vilanova i la Geltrú
Edifici del 1860 d'estil neoclàssic-romàntic. Conserva la cisterna i fresqueres de l'antic convent dels caputxins del segle XVII i un oratori privat restaurat per Josep M. Jujol. El seu element més característic són les dues columnes tallades que hi ha al vestíbul de l'edifici penjant dels dos extrems d'un arc. Diu la tradició que són fruit d'una aposta del propietari segons la qual encara que es tallessin les columnes la casa restaria intacta.
Intersecció de dos cilindres transversals
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
El número d’or: = 1.6180339.....
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
Què tenen en comú...............?
Venus de Milo
= 1.6180339.....
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
Partenón (Acrópolis de Atenas) El hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci
Busto de caballero ancianode El Greco
Cristo en un icono ruso del siglo XIV
Ídolo de la perlade Gauguín
Ma
tem
àti
qu
es i
vid
a q
uo
tid
ian
a
“Un segment està dividit en mitja i extrema raó quant el segment total es a la part major com aquesta a la part menor”(Euclides, Elements VI.3)
Això ho podem graficar com
De manera que
Sovint es coneix aquesta divisió com “divisió àuria” o “secció àuria” del segment, la part que te una mesura de “x” unitats de manera que verifiqui la relació anterior () s’anomena segment auri del segment “a”.
En el llibre sisè hi troben el següent paràgraf:
yx
a
A BC
y
x
x
a
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
El número d’or: La natura
Alçada=1.6 diàmetre ombligo
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
Estenedor DRYMAX
Si algun dia veieu en algun balcó unestenedor com el Drymax, us invito acontemplar la bellesa d’allò que téalguna cosa a veure amb “el nombred’or”.
Idea de Pepita Panades presentada a GALACTICA Minimitza l’espai i màximitza el secat
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
El número d’or: L’arquitectura
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
El quadre realitzat per J. de Barbari en 1495 (Museu de Capidemonte, Nàpols) representa Luca Pacioli envoltat d'elements geomètrics al · lusius a una pàgina d'Euclides, en relació amb els poliedres. En la pintura apareix el dodecaedre com a símbol d'unió mística entre mestre i deixeble que representa Guidobaldo, Duc d'Urbino, encara que algun agosarat ha volgut veure un jove Durero, així com un dels poliedres arquimedians anomenat per Kepler RomboCuboOctaedro, possiblement redescobert per Pacioli.
Luca Pacioli o Fra Luca Bartolomeo Pacioli (1445-1517), matemàtic franciscà nacut a Italia.
Ma
tem
àti
qu
es i
vid
a q
uo
tid
ian
a
Construcció gràfica del rectangle àuric.
2
51rectàngle Àrea
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
LA SAGRADA FAMILIA
MIGUEL ANGEL
...61803,12
51
AB
AC
El nom de "número d’or" te la paternitat de Leonardo da Vinci. Els grecs ja varen obtenir al relacionar la diagonal del pentàgon regular i el seu costat.
La diagonal divida entre el costat és el número d’or!!!
Al construir les diagonals d’un pentàgon regular , s’obté l’estrella pentagonal: un dels símbols de l’escola pitagórica I que servia per presentar-se entre ells.
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
I què és el que va trobar Dalí en aquesta proporció perincloure aquest dodecaedre en el seu famós quadre ...???El sagrament de l'últim sopar, sí. De fet, en aquest quadre Dalí
va incloure la proporció àuria dues vegades. En primer lloc, simirem la proporció de la longitud del quadre pel que fa al'altura, equival a la proporció àuria.
A més, va pintar un gran dodecaédro presidint la taula!!!
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
Dalí i el nombre d’or
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
Rafael Alberti: Divina Proporción
A ti, maravillosa disciplina, media, extrema razón de la hermosura, que claramente acata la clausura viva en la malla de tu ley divina. A ti, cárcel feliz de la retina, áurea sección, celeste cuadratura, misteriosa fontana de mesura que el Universo armónico origina. A ti, mar de los sueños, angulares, flor de las cinco formas regulares, dodecaedro azul, arco sonoro. Luces por alas un compás ardiente. Tu canto es una esfera transparente. A ti, divina proporción de oro.
Dalí Leda atómica, 1949, basat en la proporció àurea. I en el pentagrama místic pitagòric.
Donald ens explica la proporció aurea
Ma
tem
àti
qu
es i
vid
a q
uo
tid
ian
a
Ai, Reparada, que és trista la vidaquan es comencen de tenir cabells blancs.i es descobreix que aquestes formes finesseran d'un distret menestral!Tu, Reparada, tens unes aparencesplenes de secrets i d'encantsllargues, plenes, vives,com les corbes d'un corball.
Ai, Reparada, si sabessisles combinacions que es podrien feramb les teves el·lipses concretesi el meu pensament.Si tu i jo, Reparada, poguéssimanar un vespre carretera avall,et dibuixaria les premissesde la geometria elemental.Tu hi posaries les corbesi jo el càlcul integral.I passaríem llargues estonesfent equacions de segon grauEt convenceria, Reparada,que la geometria és importanti que per treure el suc de les cosess'ha d'haver llargament meditat.El corball és un peix negroideque, sobre el llom esquitxat de blau,hi té la rojor del crepuscleentelat per un gris suau.Però tot això són somnis i quimeresde la cuina de Mon, Amador.Tu seràs una excel·lent carnisserai jo un enze sense to ni so.Però si la menestralia et fatiga algun diai vols una sensació radiant,jo vindré a ensenyar-te geometriamentre el retard no sigui exagerat.Posa la direcció ben exacta.Escriu-me una postal!
Josep Pla, Ai Reparada. Elogi a la Geometría.
Ai Reparada, poema d’en Josep Pla musicat per en Quico Pi de la Serra al 1971.
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
El número d’or i la successió de Fibonnaci
1,1,2,3,5,8,13,21,34,........
Mes 0 una parella
Leonardo Da Pisa 1170-1250
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
1,1,2,3,5,8,13,21,34,...
1/1= 1
2/1 = 2
3/2 = 1.5
5/3 =1.66666
8/5 = 1.6
13/8 = 1.625
21/13 =1.615
.......
Ens acostem a 1.6180339...!!!!
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na Terme general de Fibonacci
La serie de Fibonacci
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...
nn
na2
51
2
51
5
1
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
La serie de Fibonacci i el nombre d’or a la natura
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
5 espirals 8 espirals
Pinya de Pi dels que fan pinyons
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
La família del número d’or.Els números metàl.lics
nom equació m n Número metàl·lic
seqüència
or 02 nmxx 1 1 1,6180... 1,1,2,3,5,... plata 0122 xx 2 1 2,4142... 1,1,3,7,17,… bronze 0132 xx 3 1 3,3027... 1,1,4,13,43,... coure 022 xx 1 2 2 1,1,3,5,11,21,...
níquel 032 xx 1 3 1,3660... 1,1,4,7,19,... platí 0222 xx 2 2 2,7320... 1,1,4,10,28,...
En general son equacions de la forma 02 nmxx amb m>0 i n>0 i enters. La successió generada és una seqüència del tipus ,........,,,, 54321 GGGGG on s’agafa 121 GG i els següents
termes de la forma 21 kkk GnGmG ; aleshores els quocients dels termes de les successions
corresponents als números metàl·lics: ,......,,3
4
2
3
1
2
G
G
G
G
G
G s’acosten al número metàl·lic
corresponent.
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
Número de plàstic
013 xx que té per solució ...324718,1plàsticx , aquest nombre també te una
successió associada (anomenada de Padovan): 1,1,1,2,2,3,4,5,7,9,12,16,21,28,37,......que es genera -agafant els tres primers termescom la unitat- com: 32 kkk PPP “cada nou terme és la suma dels dos
avantpenúltims”.
,.....9
12,
7
9,
5
7,
4
5,
3
4,
2
3,
2
2,
1
2 ens acostem a 1,324718....
Aquesta successió la va estudiar el matemàtic Richard Padovan (nat al 1935) i va serdescoberta l’any 1928 per l’arquitecte holandès Hans van der Laan (1904-1991
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na A la pàg. 61 de la novel·la de Dan Brown “El codi Da Vinci” apareix una versió
desordenada dels primers vuit nombres de Fibonacci (13, 3, 2, 21, 1, 1, 8, 5), que funcionen com una pista deixada pel vigilant del museu del Louvre, Jacques Saunière.
En les pp. 121-123 explica algunes de les aparicions d'aquest número(1,618) en la natura..
En l'episodi "Sabotatge" de la sèrie de televisió NUMB3RS (primera temporada, 2005), el geni de la matemàtica Charlie Eppes esmenta que el nombre d’or es troba en l'estructura dels cristalls, en l'espiral de les galàxies i en la petxina del nautilus.
En el moviment “Art Povera” artístic italià dels anys 1960, moltes de les obres es basen en aquesta successió.
A la pel·lícula de Darren Aronofsky “Pi, fe en el caos” el personatge central, Max Cohen, explica la relació que hi ha entre els nombres de Fibonacci i la secció àuria, encara que el denominent incorrectament com Theta al nombre d’or en comptes de Phi.
I en l’actualitat…………..
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
Les matemàtiques són l'alfabet amb el qual Déu ha escrit l'Univers. ………
........L’Univers,està escrit en llenguatge matemàtic i els seus caràcters són triangles,cercles i altres figures geomètriques, sense les quals és impossible entendre ni una paraula; sense ells és com girar vanament en un fosc laberint......
Galileo
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
Oda a los números ( fragment )
¡Qué sedde saber cuánto!
¡Qué hambrede sabercuántas
estrellas tiene el cielo!Nos pasamos
la infanciacontando piedras, plantas,
dedos, arenas, dientes, la juventud contandopétalos, cabelleras.
Contamoslos colores, los años,las vidas y los besos,
en el campolos bueyes, en el marlas olas. Los navíos
se hicieron cifras que se fecundaban.Los números parían.
Las ciudades eran miles, millones,el trigo centenares
de unidades que adentrotenían otros números pequeños,
más pequeños que un grano.El tiempo se hizo número.
La luz fue numerada.
Pablo Neruda
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na “ Nuestras horas son minutos
cuando esperamos saber, y siglos cuando sabemoslo que se puede aprender “
-Antonio Machado, "Proverbios y cantares"-
Ma
tem
àti
qu
es i
vid
a q
uo
tid
ian
a
Una breu mirada matemàtica al Museu V. Balaguer
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
La francmaçoneria o maçoneria es defineix a si mateixa com una institució discreta de caràcter iniciàtic, no religiosa, filantròpica, simbòlica i filosòfica fundada en un sentiment de fraternitat. Té com a objectiu la recerca de la veritat a través de la raó i fomentar el desenvolupament intel·lectual i moral de l'ésser humà, a més del progrés social. L'esquadra (símbol de la rectitud) i el compàs (símbol
dels límits amb els que s'ha de mantenir qualsevol maçó respecte als altres, sobretot respecte als altres maçons) són potser els dos símbols maçònics més coneguts.
Víctor Balaguer (Barcelona 1824, Madrid 1901)
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
III.Matemàtiques en l’entorn i en la societat
Vida quotidiana, natura, art, humanitats,consum ...
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
La distància “del taxi”
La distàcia no és 4.47 tal com indica Pitàgores, és 6 unitats.
Só
n a
vorr
ides
les
mat
emàt
iqu
es?
La geometria del globus terraqui
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
alçadaldequadrat
KgenPesIMC
'
ObesIMC
IdealPesSuperaIMC
IdealPesIMC
30
3025
2420
12
Edat
AdultDosisxEdatnenDosis
Dietètica, pediatria,........
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
160
Exercici:Quina ració escollim?
Preu de dues mitjanes:
9,95 x 2 =
Preu familiar: 14,95
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
161
Àrea del cercle = πxr2
Mitjana (3 persones)
Familiar (6 persones)
Preu 19,90 euros
14,95 euros
Diàmetre 30 cm. Àrea 706,5 cm2
40cm.Àrea 1256 cm2
(radi)2 235,61 cm2 209,3 cm2
Quantitat per
persona!!!!
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
El consum d’aigua
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
Gràfiques de creixement dels nens
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
EXERCICI
Poseu un ou al fons d'un recipient (on tinguem 4g. de sal per litre): si és fresc, hi queda estirat abaix; si té entre 4 i 6 dies, el seu eix s'hi inclina 20º;si té entre 8 i 10 dies, s'hi inclina 45º...; i, finalment,quan no és fresc, acaba flotant-hi a dalt.
Ve’t, aquí, com un transportador d'angles pot servirper a determinar com és un ou de fresc!!!!
(Alsina-Fortuny.Les matemàtiques del consumidor)
Só
n a
vorr
ides
les
mat
emàt
iqu
es?
CODIS DE LA NOSTRA VIDA
El DNI, passaport, la targeta de crèdit, NIE, Seguretat Social, NIF, ... ... A més d'una persona li ha produït ansietat i angoixa la pèrdua d'algun dels documents esmentats, que ja formen part de la nostra vida, amb el consegüent problema ocasionat: denúncies per robatori, anul·lació per pèrdua, etc.
http://www.mvp-access.es/softjaen/vbnet/funciones/dc/index.htm
http://associaciocodisdebarres.awardspace.info/
AB
EA
M -
41 4
2 45
41
4d
La societat dels zeros i uns 1 lletra = 1 caràcter ASCII=8 bites= 1 Byte= 2
caràcters hexadecimals. Un grup de 4 bits s’anomena caràcter hexadecimal. El sistema hexadecimal és, doncs, un sistema en base 16 i està está configurat pels dígits: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
5 lletres alfanumèriques = 40 bits = 10 caràcters hexadecimals
Claus, codis,missatges,errors, direccions de memòria de Windows,.........
http://r.office.microsoft.com/r/hlidClipArtFromClient/EC790014053082/6
AB
EA
M -
41 4
2 45
41
4d
Sistema seguretat wirelessHi ha dos tipus de claus WEP, les que tenen una clau amb una longitud de 5 caràcters i les de 13, usualment el proveïdor d'Internet ens facilita una
clau, la qual ha de ser introduïda per establir la connexió.
El ordenador leerá la clave en código ASCII. La estructura de la clave que introduce el usuario es como sigue:5 letras alfanuméricas = 40 bits = 10 caracteres hexadecimalesO bien13 letra alfanuméricas = 104 bits =26 caracteres hexadecimales
AB
EA
M -
41 4
2 45
41
4d
Informació a través del telèfon mòbil (fotografies, missatges sms, ...), correus electrònics, bluetooth, etc. Com es mesura?
Segurament vostè ha sentit converses del tipus “.. es transmet una informació de 53 bits ..” Claude E. Shannon (1916-2001) l'any 1948, que va proposar mesurar la quantitat d'informació en bits en la seva obra mestra "A mathematical theory of comunication" (Teoria de la comunicació).
L'emissor (usuari) escriu un missatge i el dispositiu el tradueix en llenguatge binari, posteriorment la informació circula per un cert canal fins arribar al receptor.
Transmisió de la informació. Shannon y Hamming
AB
EA
M -
41 4
2 45
41
4d
AB
EA
M -
41 4
2 45
41
4d
AB
EA
M -
41 4
2 45
41
4d
Richard W. Hamming, nascut el 1915. Hamming és Doctor en Matemàtiques per la Universitat d'Illinois. Va treballar com a informàtic en els laboratoris Bell el 1948. Es va preguntar: "Caram, si la màquina pot detectar un error, per què no pot localitzar un error i corregir?". Destaquen les seves brillants articles sobre detecció i correcció d'errors (1950). Els seus treballs es complementen amb els de Shannon.
A Teoría de la Informació es defineix “distancia entre dues seqüències” de la mateixa longitut al número de posicions en les que difereixent. Per exempe 1000101 está a distáncia 1 de 1010101
Google, corrector de word,…
Buscador Google: Posem Biciclea (ho encripta amb 0’s i 1’s)
L’ordinador ens diu: Usted quiso decir…Bicicleta
Un símil és el corrector ortogràfic del Word, el corrector detecta paraules com "disminueix", "situció" i proposa que siguin substituïdes per "disminuir", "situació".
Els codis de Hamming suggereixen la paraula que es troba a "mínima distància" en les seqüències encriptades de zeros i uns.
AB
EA
M -
41 4
2 45
41
4d
AB
EA
M -
41 4
2 45
41
4d
Consells d'urgència: Els ofereixo alguns consells per protegir els seus sistemes de seguretat quan introduïu claus en el caixer, codis pin, contrasenyes a Internet, ....
1. Mai triï com a clau, pin, contrasenya, .. la data de naixement, el nom dels fills o la matrícula del cotxe.
2. La clau ha de ser memoritzada i mai escrita en un paper.
3. Li suggereixo que consti com a mínim de vuit caràcters. Si fem servir només sis diferents (nombres del 0 al 9 i lletres de l'alfabet incloent la ñ) podem tenir algun disgust.
4. La clau, com no podem escriure-la, ha de ser senzilla de memoritzar.
5. Ha de ser modificada amb freqüència. Els que desitgin descobrir-ho podrien fer-ho en algun moment, per la qual cosa convé canviar periòdicament.
Poden les matemàtiques proporcionar eines davant de possibles fraus?. Com les
matemàtiques estan implicades en la seguretat?
AB
EA
M -
41 4
2 45
41
4d
Quina relació hi ha entre l'emperador Juli Cèsar, Euclides i el nostre document d'identitat? Quina relació hi ha entre Internet, L. Euler i els nombres primers?.
El text ens parla de diverses maneres d’encriptar missatges
AB
EA
M -
41 4
2 45
41
4d
En aquesta distribució, en la paraula HAL la lletra H es tradueixper la lletra I, la A per B i la L per M. Aquesta codificació es vausar en la pel·lícula 2001: Odissea Espacial en la qual l'ordinadorque apareix en el film es denominava HAL que, com podenobservar, en llenguatge xifrat és l'acrònim IBM.
A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z
B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z A
Desplçar 3 elements
Desplaçar un element:
AB
EA
M -
41 4
2 45
41
4d L'aritmètica del rellotge o modular: L'aritmètica modular es
remunta a Euclides (300 aC), és la base de la criptografia i dels sistemes de seguretat moderns.
¿16=4? Y ¿2=14?.
La distribució horària analógica divideix l’esfera en 12 parts es 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
És cert que 16=4?
En el cas del rellotge escrivim 214 (mód. 12).
Só
n a
vorr
ides
les
mat
emàt
iqu
es?
País
Empresa ProductoD.C.
A B C D E F G H I J K L M
4+1+3+0+3+4+ 3(0+3+2+0+X+9) + 7 =64+3X= múltiple de 10
Serà cert si X pren el valor 2
Códis de barres: EAN13, EAN8, UPC,..
“La suma de tots els dígits que ocupenun lloc senar , més tres vegades lasuma de tots els dígits que ocupenun lloc parell (això només amb elsdotze primers), més el dígit decontrol ha de ser un múltiple de 10”
Só
n a
vorr
ides
les
mat
emàt
iqu
es?
Els codis de Barres
“La suma de tots els dígits queocupen un lloc senar , méstres vegades la suma de totsels dígits que ocupen un llocparell (això només amb elsdotze primers), més el dígitde control ha de ser unmúltiple de 10”
77 52063 20075 2
7+5+0+3+0+7+3(7+2+6+2+0+5)+2=90
Só
n a
vorr
ides
les
mat
emàt
iqu
es?
Beethoven i la codificació
En la següent partitura s'aprecia en les quatre primeres notes el so “paam paam paam paaaaaaaam”
que traduït a codi Morse s'interpreta com a “punt punt punt ratlla” (. . . _ ), equivalent a la lletra “V”. La partitura correspon a la cinquena simfonia de Ludwing van Bethovenen en C menor Opus 67 i va ser creada pel compositor entre 1804 i 1808.Aquestes quatre notes van ser utilitzades durant la Segona Guerra Mundial per la BBC britànica en els seus butlletins per enfortir els ànims dels soldats aliats, el significat era la “V” de “Victoria”.
Só
n a
vorr
ides
les
mat
emàt
iqu
es?
V de via, voluntat, votar i victòria
Só
n a
vorr
ides
les
mat
emàt
iqu
es?
Thomas Alva Edison (1847-1931) que patia sordera, va ensenyar el codi Morse a la seva futura esposa Mary Stilwell durant el seu festeig. Edison li va proposar matrimoni donant el missatge mitjançant copets a la seva mà, i ella li va respondre de la mateixa manera. El codi telegràfic es va convertir en un sistema de comunicació habitual en la parella, fins a l'extrem que, quan assistien a una obra de teatre, Edison recolzava la seva mà sobre el genoll de Mary, per “telegrafiar-li” els diàlegs dels actors.El missatge “T’estimo” es traduiria com
T ‘ e s t i m o
_ ‘ . … - . . -- ---
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
12 N13 J14 Z15 S16 O17 V18 H19 L20 C21 K22 E
Resta Lletra0 T1 R2 W3 A4 G5 M6 Y7 F8 P9 D10 X11 B
El N.I.F.
36559846 23
1589558 12
N
Vida quotidiana i consum
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
Mòbils: Codi IMEIA l’any 2004 s'han bloquejat uns 15.000 mòbils, 300 dels quals han estat recuperats un cop desbloquejats. La solució tècnica adoptada es basa en l'IMEI (International MobileEquipament Identity), el codi de quinze números que identifica cada terminal dins la xarxa i que és un sistema d'identificació similar al dels cotxes, que tenen el codi gravat al bastidor.
S’obté fent *#06#
El primer bloc indica el pais, el segon el fabricant, el tercer el número de sèrie i el quart un codi de reserva, per exemple:
352167/40/477100/5
Quan es vol iniciar la connexió del telèfon mòbil, la xarxa demana sempre l'IMEI abans d'autoritzar la connexió. En cas de pèrdua o robatoria el que ha de fer l'usuari és comunicar a l'operadora el número de l'IMEI perquè l'inclogui en la llista i s'inutilitzi el terminal.
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
Processos químics: Fabricació de xampú
La importància de les escales logarítmiques
Les escales logarítmiques s’utilitzen en quelcom tant quotidià com el !xampú!. En les ampolles de xampú sovint s’indica :” ph neutre”. Què és el ph?. El ph és la concentració de ions d’hidrogen d’una dissolució química. El número de ions de la concentració està donat en potències de 10: 10-1 , 10-2,...., 10-14. El ph és el número oposat a aquest exponent; es a dir, l’oposat del logaritme decimal.El ph permet mesurar el caràcter àcid o bàsic del sabó, locions, xampús, etc. Amb ph=7 es diu que és neutre i és el que habitualment es recomana ja que no és agressiu amb la pell i el cabell. Un ph inferior a 7 correspon a una dissolució àcida; si és superior a 7, és bàsica. M
ate
mà
tiq
ue
s i
vid
a q
uo
tid
ian
a
Corbes de nivell
Pedraforca. Prepirineus i mapa topogràficCorbes de nivell= Desnivell del terreny
-Funcions de dues variables
-Cota: número que indica l’alçada sobre el nivell del mar
-Equidistància: Distància entre corbes de nivell
-Corba de nivell: Les corbes que “tenen la mateixa alçada”, projectades al pla
-Exemples: Muntanyes, mapes del temps,...
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
Moviments sísmics
M designa la magnitud d’un terratrèmol M = logA+ 3.3 +1.6logD-logT D es la distancia entre l’epicentre i el sismògraf T es una constant que depèn del període de les ones enregistrades en el sismògraf
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
Tratament de tumors per hipertemia
El problema de determinar el tros del tumor que ja ha assolit la temperatura desitjada es redueix a calcular la raó entre el volum total del tumor i el volum del tros que està a la temperatura major que l’assolida. Aquest problema es resolt usant tècniques d’integració múltiple.
Tecnologia APA (Adaptive Phased Array,MIT)
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
Les abelles construeixen cel·les per emmagatzemar la mel, sense forats. Això pot aconseguir-se amb cel·les triangulars, circulars,.. Es precís usar la mínima quantitat de cera possible i maximitzar la capacitat de cada cel·la.
Les abelles i la mel
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
Fo
rma
ció
de
l pro
fes
so
rat
França es gasta 15.000 milions en 2.000 trens... que són massa amples per a les seves vies
La premsa francesa assegura que, fins i tot, els nous trens tindrien problemes per creuar-se en determinats indrets de la xarxa ferroviària.
http://www.lemonde.fr/economie /article/2014/05/21/couac-des-trains-regionaux-comment-on-en-est-arrive-la_4422759_3234.html
“..Els nous trens estan destinats al trànsit regional i són 20 centímetres més amples, de manera que no poden entrar a 1.300 estacions, en les quals s'hauran de reformar les andanes, amb un cost de 50 milions d'euros..”.
Nota: A León (España) també....
Els nous trens regionals francesos que no caben a les andandes
Ara, 21 de maig del 2014
http://www.ara.cat/mon/europa/Franca-encarrega-trens-caben-andanes_0_1142285977.html?print=1#
Fo
rma
ció
de
l pro
fes
so
rat
Fórmula de l’amor etern
L = 8 + .5Y - .2P + .9Hm + .3Mf + J - .3G - .5(Sm - Sf)^2 + I + 1.5C
http://www.telegraph.co.uk/men/relationships/10690668/Have-scientists-devised-the-formula-for-lasting-love.htmlHave scientists devised the formula for lasting love?A study of 2,000 men and women claims to have found the mathematical formula for long-lasting relationships. Caroline Kent puts it to the testTambé es pot localitzar a : http://actualidad.rt.com/sociedad/view/122833-matematicos-descubrimiento-formula-amorhttp://www.lavanguardia.com/vida/20140320/54404281907/matematicos-afirman-hallado-formula-amor-eterno.html
L: Durda prevista de la relació en anys.Y: Número d’anys que es coneixen els dos membres de la parella abans d’iniciar una relació seriosa.P: Numero de parelles anteriors que sumen les dues persones.Hm: Importància que l’home atorga a la relació.Mf: Importancia que la dona atribueix als diners en la relació. atribuye al dinero en la relaciónJ: Importancia que els dos atribueixent al sentit del humor (en suma)G: Importancia que els dos atribueixent a l’aparença física (en suma)Sm y Sf = Importancia que l’home (m) i la dona (f) atribueixent al sexe rspectivamentI = Importància a tenir bones relacions amb els familiars (la suma dels dos)C = Importncia en tenir fills (en suma)Nota: Totes les mesures es qualifiquen de 1 a 5, on 1 significa que no és gens important i 5 molt important.Exemple:Y=2, P=4, Hm=1, Mf=5, J=8, G=5, Sm=5, Sf=5, I=5, C=5La fórmula quedaría:8 + 0.5 (2) - 0.2 (4) + 0.9 (1) + 0.3 (5) + 8 -0.3 (5) - 0.5 (5 - 5) x2 + 5 + 1.5 (5) = 29,629,6 seríen els anys que aquesta parella parella estaríen junts
Só
n a
vorr
ides
les
mat
emàt
iqu
es?
Fonaments de trigonometría, geometría, ..La fórmula ens proporciona l’espai mínim necessari per aparcar, tot en milímetres.
Extret de
http://revistasacitametam.blogspot.com/2010/02/formula-para-aparcar.html
Assistent d’Aparcament Actiu (APA)General Motors va encarregar al matemàtic S. Blackburn una fórmula per l’aparcament “perfecte”
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
Amb el cap o amb els peus...?Teoria de grafs: camins d’Euler, camins de Hamilton,...
Punt Diari 21 de gener del 2006
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
IV: Introdució a l’àlgebra
Unitats didàctiques:
1. Exemple producte de matrius
2. El Mercat_97
3. Molles Versio Antigacompleta
4. Tenerife
5. Matrius mercat 2006
6. Projecte Morales
Einstein i l’àlgebra
Carrefour
Ma
tem
àti
qu
es
i vi
da
qu
oti
dia
na
Bon dia a tothom!!!
Fins aquí hem il.lustrat moltes de les coses que les matemàtiques ens poden oferir a tots nosaltres, com a mestres d’una societat avançada del segle XXI.
Gràcies, per la vostra assistència i alhora per la paciència en escoltar-me.
Joan Gómez i Urgellés
“Ensenyo per aprendre i aprenc per ensenyar”
Les matemàtiques ja ens acompanyen des de la infància