algo rep

Contexte Modle panneau daffichage : 1er rsultat Modle distribu : 2me rsultat Conclusion

Distributed Weighted Stable Marriage ProblemNir Amira, Ran Giladi & Zvi Lotker

Ben-Gurion University Beer-Sheva, Israel

Marie Laveau

Universit Paris Sud

12 fvrier 2015


Outline

ContexteProblme du mariage stableEtat de lartModles

Modle panneau daffichage : 1er rsultatPrincipesExemple

Modle distribu : 2me rsultatPrincipesExempleQuelques lemmesElements de preuve

Conclusion


Problme du mariage stable

1962 : Gale et Shapley

Graphe biparti Kn,n Associer deux deux les

nuds

En prenant en compte lesprfrences de chaquelment

Sans crer dinterblocage K3,3

A0

A1

A2

B0

B1

B2



1962 : Gale et Shapley Graphe biparti Kn,n

Associer deux deux lesnuds


Sans crer dinterblocage

K3,3

A0

A1

A2

B0

B1

B2



1962 : Gale et Shapley Graphe biparti Kn,n Associer deux deux les

nuds


Sans crer dinterblocage

K3,3

A0

A1

A2

B0

B1

B2



1962 : Gale et Shapley Graphe biparti Kn,n Associer deux deux les

nuds


Sans crer dinterblocage K3,3

A0

A1

A2

B0

B1

B2


Etat de lart

Variantes du problme avec des solutions Algorithmes gntiques Approche parallle et itrative Etude de la complexit dans un contexte distribu. Utilisation dans les rseaux (Switch)


Modles

Fonctionnement par tapes

Cts In/Out Modle de prfrences :

Modle pondr (valeursuniques) complet

Modles decommunication :

Panneau daffichageDistribu


Modles

Fonctionnement par tapes Cts In/Out

Modle de prfrences :Modle pondr (valeursuniques) complet



In0

In1

In2

Out0

Out1

Out2


Modles

Fonctionnement par tapes Cts In/Out Modle de prfrences :

Modle pondr (valeursuniques) complet



In0

In1

In2

Out0

Out1

Out2

1

2

3

4

5

6

7

8

9


Principes

Panneau daffichage public Centralis

Reprsentation sous forme de tableau

Nuds In : 1 valeur envoye /tape (la plus haute restante)

Au total : n valeurs/tape

Calcul local du matching


Exemple

In0

In1

In2

In3

Out0

Out1

Out2

Out3

1

769

11

10

5

14

8 15

2

12

3

16

4

13


Exemple

In0

In1

In2

In3

Out0

Out1

Out2

Out3

1

769

11

10

5

14

8 15

2

12

3

16

4

13

Out0 Out1 Out2 Out3In0In1In2In3


Exemple

In0

In1

In2

In3

Out0

Out1

Out2

Out3

1

769

11

10

5

14

8 15

2

12

3

16

4

13

Out0 Out1 Out2 Out3In0 9In1 14In2 15In3 16


Exemple

In0

In1

In2

In3

Out0

Out1

Out2

Out3

1

769

11

10

5

14

8 15

2

12

3

16

4

13

Out0 Out1 Out2 Out3In0 1 7 6 9In1 11 10 5 14In2 8 15 2 12In3 3 16 4 13

Aprs n tapes, toutes les cartessont retournes : chacun peut calculerlocalement le matching.

Leur apport :Preuve de la complexit en O(n)


Algorithme propos : Principe

Phase 1 : Phase de mouvementsObjectif : envoyer les n2 valeurs

n Out ports choisis (IAi )

(1 valeur/In noeud/IAi )

Phase 2 : Phase dinformationObjectif :

Chaque IA calcul tour tour son matching local et lenvoie aunuds In qui ont t associs.Les In nuds retransmettent aux autres IAs ainsi quaux Outsauxuquels ils ont t associsUpdate de sets darrtes : V (t), M(t), F (t).


Exemple K4,4


IA1 IA2In0 {9,3} {6,2} {6,2} {6,2}In1 {14,3} {10,1}In2 {15,1} {8,0}In3 {16,3} {4,2}


Exemple K4,4


IA1 IA2In0 {9,3} {7,1} {6,2} {1,0}In1 {14,3} {11,0} {10,1} {5,2}In2 {15,1} {12,3} {8,0} {2,2}In3 {16,1} {13,3} {4,2} {3,0}


Exemple K4,4

In0

In1

In2

In3

Out0

Out1

Out2

Out3

6

14

8

16


Algorithme propos : Complexit en temps

Premire phase :n steps

Deuxime phase : 2n steps

Complexit totale en temps : O(n)


Quelques Lemmes

Lemme 1 : Si les poids sont uniques dans un graphe Kn,n, le poidsmaximum du graphe biparti sera toujours pris pour le matchingstable M.

Lemme 2 : Si les poids sont uniques dans un graphe Kn,n complet,il ny a quun seul et unique matching stable M.

Si lon obtient un matching stable avec ces conditions : cest leseul et unique.

Lemme 3 : Aprs la phase 1, IA1 a au moinsn valeur qui seront

dans M.


Elements de preuve

Theorem : Cet algorithme IAA gnre un matching stable.Ides :

Par induction sur le nombre m = |In| ports

m + 1 |M(i 1)| m + 1 3

n


Elements de preuve


Par induction sur le nombre m = |In| ports m + 1 |M(i 1)| m + 1

3

n


Elements de preuve


Par induction sur le nombre m = |In| ports m + 1 |M(i 1)| m + 1 3

n


Conclusion

Possible de gnraliser du modle poids celui des listes deprfrences Limite infrieur en n-1 steps Algorithme en O(n) VOQ switch ? Dans le futur : enlever les contraintes quon stait pos : Complexit en temps pour un modle deux cts ? Et si dans le modle de panneau daffichage, les nuds

peuvent crire plus quune valeur ? Ici, les ports In et Out cooprent. Et si ctait pas le cas ?

ContexteProblme du mariage stableEtat de l'artModles

Modle panneau d'affichage : 1er rsultatPrincipesExemple

Modle distribu : 2me rsultatPrincipesExempleQuelques lemmesElements de preuve

Conclusion

algo rep

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