algebre lineaire ii

7/24/2019 Algebre Lineaire II

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Planche no 2. Algbre linaire II

* trs facile ** facile *** difficult moyenne **** difficile ***** trs difficileI : Incontournable

Exercice no 1 (***) :

Soient E un C-espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de E. Montrer quil existe un projecteur p et un

automorphismeg de E tel que f= g p.Exercice no 2 (**I) :

Soient E un C-espace vectoriel non nul de dimension finie net f un endomorphisme de E tel que x E, p N tel quefp(x) =0. Montrer quefest nilpotent.


Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie non nulle. Soient f et g deux projecteurs distincts et non nuls de E telsquil existe deux complexes a et b tels que :

fggf= af +bg.

1) Montrer que si a =0 et a=1 on a : Im(f) Im(g). En dduire que gf= f puis que a +b = 0 puis que a = 1.2) Montrer que si a =0 et a= 1, on a Ker(g) Ker(f). Que peut-on en dduire ?3) Montrer que si f et gsont deux projecteurs qui ne commutent pas et vrifient de plus fggf = af +bg alors(a, b)est lment de {(1, 1), (1, 1)}. Caractriser alors chacun de ces cas.


Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f une application linaire de E versF.1) Montrer que [(g L(F, E), f g f = 0 g= 0) fbijective].2) On pose dimE = p, dimF= n et rgf= r. Calculer la dimension de {g L(F, E)/ f g f= 0}.

Exercice no 5 (**I) :

SoitE= Kn[X]. uest lendomorphisme de E dfini par : P E, u(P) =P(X+1) P.1) Dterminer Keruet Imu.

2) Dterminer explicitement une base dans laquelle la matrice de uest

0 1 0 . . . 0... . . . . . . . . .

...

. . . 0...

. . . 10 . . . . . . 0

.


Rang de la matrice

1 cos(a) cos(2a) cos(3a)cos(a) cos(2a) cos(3a) cos(4a)

cos(2a) cos(3a) cos(4a) cos(5a)cos(3a) cos(4a) cos(5a) cos(6a)

.


SoitA= (ai,j)1i,jn dfinie par ai,j = 1 si i = j, j si i= j 1 et 0sinon. Montrer que Aest inversible et calculer A1.


Soient n un entier naturel non nul puis A Mn(K). Soit f lendomorphisme de Mn(K) qui une matrice X associeAX+XA. Calculer Tr(f).

Exercice no 9 (**) :

Soient a un rel non nul et A et B deux lments de Mn(R).Rsoudre dans Mn(R) lquation dinconnue M : aM +Tr(M)A= B.


Rang de la matrice (i+j+ij)1i,jn.

c Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits rservs. 1 http ://www.maths-france.fr


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Soient I =

1 0

0 1

etJ=

1 1

0 1

. SoitE= {M(x, y) =xI+yJ, (x, y) R2}.

1) Montrer que (E, +, .)est un R-espace vectoriel et prciser sa dimension.2) Montrer que (E, +,)est un anneau commutatif.3) Quels sont les lments inversibles de lanneau (E, +,) ?4) Rsoudre dans E les quations : a) X2 =I b) X2 =0 c) X2 =X.5) Calculer (M(x, y))n pour n entier naturel et x et y rels.


On appelle idal bilatre de lanneau (Mn(K), +,)tout sous-ensemble I de Mn(K)tel que

a) (I, +)est un groupe et b) A I, MMn(K), AM I et MA I.

Dterminer tous les idaux bilatres de lanneau (Mn(K), +,).


Soient a1,..., an n rels tous non nuls et A =

1+a1 1 . . . . . . 1

1 . . .

. . . ...

... . . .

. . . ...

... . . .

. . . 1

1 . . . . . . 1 1+an

.

Inverse deA en cas dexistence ?


Soient A = (ai,j)1i,jn et B = (bi,j)1i,jn deux matrices carres de format n telles que ai,j = 0 si j i+ r 1 etbi,j = 0 si j i + s 1o r et s sont deux entiers donns entre1 et n. Montrer que si AB = (ci,j)1i,jn alorsci,j = 0 sij i+r+s1.


Calculer linverse de

0

0

1

0

2

0

. . .

n1

0

n

0

0 1

1

2

1 . . . . . .

n

1

... . . .

2

2

...

. . ....

. . .

n1

n1

...

0 . . . . . . 0

n

n

.

Exercice no 16 (***I) :

Soitnun entier naturel suprieur ou gal 2 et = e2i/n.SoitA= ((j1)(k1))1j,kn. Montrer que A est inversible et calculer A

1.


SoitAune matrice carre de format n. Calculer le dterminant de sa comatrice.


SoitAune matrice carre de format n. Etudier le rang de comA en fonction du rang de A.


Rsoudre dans Mn(R) lquation M = comM (n 2).



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Exercice no 20 (***I) : (Thorme de Hadamard.)

Soit A = (ai,j)1i,jn Mn(C) telle que i 1, n, |ai,i| >j=i

|ai,j|. Montrer que A GLn(C). (Une matrice

diagonale strictement dominante est inversible.)

Exercice no 21 (*I) :

Existe-t-il deux matrices carres A et B telles queAB BA = In.


Soit f une forme linaire sur Mn(C) telle que (A, B) (Mn(C))2, f(AB) = f(BA). Montrer quil existe un complexe a

tel que f= aTr.


SoitAn =

1

a

na

n 1

(a rel donn). Calculer lim

n+Ann.


Soient A une matrice carre de format n et f lapplication de Mn(C) dans lui-mme qui une matrice M associe MA.Trouver la matrice de f dans la base canonique de Mn(C)(ordonne par lordre lexicographique).


Soient A Mn(C)et B llment de Mnp(C)dfini par blocs par B =

A 0 . . . 0

0 . . .

. . . ...

... . . .

. . . 00 . . . 0 A

. Dterminer le rang deB en

fonction du rang de A.


SoitH un lment de Mn(C)tel que A Mn(C), A C/ HAH= AH. Montrer que rgH 1.


SoitMM3(R). Montrer que les deux proprits suivantes sont quivalentes :

(1)M2 =0 et (2) rgM 1 et trM= 0.


Soient A et B deux matrices carres de formatn telles que AB BA = A. Calculer la trace de A2016.


Soient M(a) =

4a 1 16 1a 2

2 1 1a

etN(a) =

1a 1 00 1a 0

0 0 2a

. M(a) et N(a) sont-elles semblables ?


Soient A et B deux lments de Mn(R). Montrer que si A et Bsont semblables dans Mn(C), elles le sont dans Mn(R).

Exercice n

o

31 (**I) : (Exponentielle dune matrice nilpotente)

Pour A matrice nilpotente donne, on pose expA=+k=0

Ak

k!.

1) Montrer que si A et B commutent et sont nilpotentes alors A +B est nilpotente et exp(A+B) =expA expB.2) Montrer que expAest inversible.

3) Calculer expA o A =

0 1 0 . . . 0...

. . . . . .

. . . ...

. . . 0...

. . . 10 . . . . . . 0

.


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