algebre de boole-2

7/29/2019 Algebre de Boole-2

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Algbre de BOOLE

SOMMAIRE : 1. Prsentation, historique

2. Proprits;2.1. Identits remarquables;2.2. Thormes de DE MORGAN.

3. Reprsentations graphiques :3.1. Logigrammes;3.2. Schmas contacts;3.3. Chronogrammes.

4. Simplification des expressions boolennes :4.1. Mthode algbrique;4.2. Mthode des tableaux de Karnaugh.

Outils informatiques :

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Sites Web :

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Bibliographie :

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AUTOM. / Algbre de BOOLE 1 / 5


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1. PRESENTATION

L'algbre de BOOLE est la logique utilise par les ordinateurs. En automatique, que

l'on soit en combinatoire ou en squentiel, on prend en compte, on traite, ondonne des ordres sous forme binaire (0 ou 1).Les variables qui permettent de traiter ces informations peuvent s'organiser sousforme de fonctions.

Fonctions de base : OUI, NON, ET, OU.Fonctions spcialises : NON-OU (NOR), NON-ET (NAND), OU exclusif (XOR)

2. PROPRIETES

Somme : fonction OU Produit : fonction ET Ngation : fonction NON

00=0 a1=1 0.0=0 a.1=1 1=101=1 a0=a 0.1=0 a.0=0 0=0

10=1 aa=a 1.0=0 a.a=a a=a11=1 aa=1 1.1=1 a.a=0

Commutativit : a.b = b.a Associativit : a.(b.c) = (a.b).ca+b = b+a a+(b+c) = (a+b)+c

Distributivit : a.(b+c) = a.b + a.c (a+b).(c+d) = a.c + a.d + b.c + b.d a+(b.c) = (a+b) . (a+c)

Idempotence : a+a = a aa=a

Aborbtion : aa.b=a

Identits remarquables : aa.b=aa.ba.c=a.bc aa . b=ab

a.bb.c=ab .bc =a.bb.ca.c

Thormes de DE MORGAN :

1er Thorme : Le complment d'une somme logique est quivalent au produitlogique des termes de ce produit, eux-mmes complments.

ab=a .b

2me Thorme : Le complment d'un produit logique est quivalent la sommelogique des termes de cette produit, eux-mmes complments.

a.b=ab



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3. Reprsentations GRAPHIQUES

3.1. Logigrammes :

Symboles logiques

Fonction OUI Fonction NON

Fonction ET Fonction OU

Fonction NON-ET (NAND) Fonction NON-OU (NOR)

Fonction INHIBITION Fonction OU Exclusif :

3.2. Schmas contacts :

C'est la reprsentation la plus utilise comme langage de programmationdansles automates programmables. L'analogie directe avec les schmas de circuitslectriques permet une comprhension aise.Les contacts reprsentant les entres sont toujours placs gauche et les sorties droite.

Symboles de base

a

: entre a

a

: entre a

a b

: a . b ; (a et b)

a

: a + b ; (a ou b)

b

: sortie S


& > 1

1 1

& > 1

& = 1


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3.3. Chronogrammes :

Les chronogrammes sont une reprsentation graphique de l'volution de l'tat

de variables d'entres et de sorties, mais galement les variables internes d'un systme automatis.

L'abscisse reprsente le temps et l'ordonne l'tat logique (0 ou 1) de lavariable. Les graphes sont placs les uns au-dessus des autres avec unemme chelle des temps.

S = a + b

a t

b t

S t

4. Simplifications des expressions boolennes

A partir des tables de vrit, on obtient des relations ou quations logiquessouvent complexes et difficilement traduisibles en schmas ou programmes. Ilest donc ncessaire de simplifier ces quations logiques.

4.1. Mthode algbrique :

La simplification d'une quation logique se fait trs souvent par calcul algbrique en cherchant mettre en facteur les variables et en utilisant lesproprits des fonctions logiques vues au chapitre 2.

Exemple 1 :

S=a.bc

Exemple 2 :


> 1

S=a.bb.cb .c=a.bc .bb

S= a.b.ca.b.cb .c . d

S=c. a.ba.b.b.d

S=c.b . aad

S=c.b . 1dS=c.b . 1d

S=c.b . 1

S=c.b=b .c


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4.2. Mthode des tableaux de Karnaugh :

La table de vrit donne un aperu rapide de l'tat des variables de sorties en

fonction de l'tat des variables d'entres. On tire de cette table de vrit unequation boolenne qu'il faut simplifier.

Les tableaux de Karnaugh sont utiles pour simplifier les quations logiquestires de tables de vrit.

Principe : Chaque case du tableau de Karnaugh correspond un tat de lavariable de sortie.

A B S

0 0 1

0 1 01 1 1

1 0 0

Simplification : On tire des cases l'quation de la sortie. On regroupe les casesadjacentes pour simplifier.

A = 0 A = 1

B = 0 1 0

B = 1 0 1

Ici, S=A . BA . B

On simplifie galement les quations en regroupant les cases de 1 en carr ouen lignes de 4 cases. On peut regrouper en 8 cases. Les groupements decases peuvent aussi tre raliss sur les cots des tableaux qui sont assimils des cylindres : boites Camembert .

Exemples de simplification par tableaux de Karnaugh

quation simplifier S=a .ba .b S=a .ba . b S=a .ba .ba.b

Tableau de Karnaugh A = 0 A = 1

B = 0 1 1

B = 1 0 0

A = 0 A = 1

B = 0 0 1

B = 1 0 1

A = 0 A = 1

B = 0 1 1

B = 1 0 1

quation simplifie S=b S=a S=ab

Remarque : Certaines combinaisons des entres ne correspondent aucuncas de fonctionnement du systme. Dans la mesure o ces cas sont indiffrentsou sans effet, ils peuvent tre affects de la valeur 0 ou 1 en fonction des

besoins de la simplification.


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