aide-mÉmoire traitement dusignal - … · les fonctions du traitement du signal peuvent se diviser...

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  • Aide-mmoire

    SCIENCES SUP

    AIDE-MMOIRE

    TRAITEMENTDU SIGNAL

    Francis Cottet

    IUT Licence Master coles dingnieurs

    NordCompoFichier en pice jointe9782100496907_couverture.jpg

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    "On ne jouit bien que de ce qu'on partage" [Madame de Genlis]

  • TRAITEMENTDU SIGNAL

  • Illustration de couverture : Lionel Auvergne

    Nouvelle prsentation, 2005 Dunod, Paris, 2000ISBN 2 10 049690 5

  • Seuls les esprits cultivs sont librespictte, 1er sicle

    mes parents, Franoise, Joseph et Maza

  • Table des matires

    AVANT-PROPOS XI

    NOTATIONS ET ABRVIATIONS XIII

    PARTIE 1 : LE TRAITEMENT DES SIGNAUX ANALOGIQUES

    CHAPITRE 1 DFINITIONS ET REPRSENTATION DES SIGNAUX 31.1 Dfinitions 3

    1.2 Reprsentation des signaux 7

    CHAPITRE 2 TRANSFORMATIONS DE FOURIER 132.1 Analyse spectrale des fonctions priodiques 13

    2.2 Analyse spectrale des fonctions non priodiques 24

  • VIII Table des matires

    CHAPITRE 3 SYSTMES DE TRANSMISSION. FILTRAGE 313.1 Systmes de transmission 31

    3.2 Filtrage 36

    3.3 Corrlation 50

    CHAPITRE 4 MODULATION DES SIGNAUX 574.1 Introduction 57

    4.2 Modulation damplitude 60

    4.3 Modulation exponentielle 69

    CHAPITRE 5 SIGNAUX ALATOIRES. BRUIT 915.1 Signaux alatoires 91

    5.2 Le bruit 100

    PARTIE 2 : LE TRAITEMENT DES SIGNAUX NUMRIQUES

    CHAPITRE 6 NUMRISATION DES SIGNAUX 1116.1 chantillonnage 111

    6.2 Quantification du signal chantillonn 131

    6.3 Restitution du signal 135

    CHAPITRE 7 ANALYSE SPECTRALE DES SIGNAUX DISCRETS 1497.1 Les diffrentes reprsentations frquentielles 149

    7.2 Transforme de Fourier discrte 151

    7.3 Transforme de Fourier rapide 156

    7.4 Convolution et corrlation numriques 163

    7.5 Les fentres de pondration 167

  • Table des matires IX

    CHAPITRE 8 FILTRAGE NUMRIQUE 1798.1 Introduction 179

    8.2 Synthse des filtres numriques rponse impulsionnelle infinie 187

    8.3 Synthse des filtres numriques rponse impulsionnelle finie 202

    8.4 Ralisation des filtres numriques 205

    8.5 Techniques avances de filtrage numrique 210

    ANNEXES 213A.1 Impulsion de Dirac 213

    A.2 Fonctions mathmatiques utilises en traitement du signal 216

    A.3 Transforme de Laplace 224

    BIBLIOGRAPHIE 227

    LEXIQUE ANGLAIS-FRANAIS 229

    INDEX 231

  • Avant-propos

    Le contenu et lorganisation de ce livre ont t dvelopps partir de lidedirectrice selon laquelle, dans une application de mesures, de tests ou decontrle dun procd physique, le concepteur se trouve confront deschoix de traitements des signaux mettre en uvre afin de rpondre ces besoins. Lefficacit, leffet produit, la ncessit, la validit du rsultatsont autant de questions auxquelles il est difficile de rpondre sans uneconnaissance et une pratique minimum de la discipline que constitue letraitement du signal.

    Ce livre est compos de deux grandes parties : le traitement des signauxanalogiques (partie 1) et le traitement des signaux numriques (partie 2).Les cinq premiers chapitres sont consacrs aux bases du traitement dessignaux analogiques et les trois suivants traitent des signaux numriques.

    Le chapitre 1 prsente les dfinitions ncessaires la comprhensionde louvrage. Il permet de plus de prciser les diffrentes reprsentationsdes signaux et de fixer les notations utilises par la suite. Le chapitre 2 est

  • XII Avant-propos

    consacr aux transformations de Fourier des signaux analogiques prio-diques et non priodiques qui constituent la base du traitement des signaux.Cette analyse spectrale des signaux analogiques permet de bien dcrire lareprsentation duale de tous signaux : temps et frquence. Le chapitre 3prsente la thorie gnrale des systmes de transmission et traite du fil-trage analogique. Cette prsentation permet ainsi une extension tous lestypes de filtres et de sollicitations de ces filtres. Le chapitre 4 tudie undes aspects importants du traitement des signaux : la modulation. Les m-thodes les plus utilises y sont prsentes. Le chapitre 5 aborde le traite-ment des signaux alatoires en particularisant ltude au signal de bruit .

    La transformation des signaux analogiques en signaux numriques esttudie en dtail au chapitre 6. Ce chapitre, qui prsente en particulier lethorme dchantillonnage, est sans doute le plus important de cet ou-vrage. Le chapitre 7 est consacr lanalyse spectrale des signaux num-riques. Le chapitre 8 prsente les concepts de base du domaine trs richeque constitue le filtrage numrique avec des applications simples de di-verses mthodes.

    Laspect thorie du signal a volontairement t limit au strict n-cessaire pour la comprhension des modles utiliss. Les bases mathma-tiques indispensables et utiles sont rappeles avec un maximum de simpli-cit et de concision en annexe.

    Ce livre na pas pour but dtre un ouvrage exhaustif. Dans cet ouvrage,nous nous contenterons dune approche pragmatique. En effet, il existe denombreux ouvrages qui dcrivent de faon complte toutes les mthodeset techniques utilises dans le domaine du traitement du signal, sujet trsvaste et en constante volution. Par contre, il est destin aux tudiants quidsirent acqurir une formation de base dans les techniques du traitementdu signal. De plus cet ouvrage offre un outil de base tous les technicienset ingnieurs qui travaillent dans le domaine du test, de la mesure ou ducontrle de procds. Ainsi cet ouvrage permettra son lecteur de sinitierrapidement aux bases du traitement des signaux afin de les mettre en uvrede faon pertinente.

  • Notations et abrviations

    x y Produit de convolutionArctg (x) Fonction arctangente

    b(t) Signal bruit

    cos(x) Fonction cosinusodale

    CAN Convertisseur analogique-numrique

    CNA Convertisseur numrique-analogique

    Covxy(t) Fonction de covariance

    Cxx(t) Fonction dautocorrlation

    Cxy(t) Fonction dintercorrlation

    ex Fonction exponentielle

    Esp[xn] Esprance de xn ou moment dordre n de la variable x

    f Frquence

  • XIV Notations et abrviations

    F Transforme de Fourier

    FFT Transforme de Fourier rapide

    gfen(t) Fonction de la fentre de pondration

    h(t) Rponse impulsionnelle ou percusionnelle dun filtre

    H(f ), H(p) ou H(z) Fonction de transfert dun filtre

    Jn(x) Fonction de Bessel de premire espce dordre n

    L Transforme de Laplace

    log(x) Fonction logarithme base 10

    Ln (x) Fonction logarithme nprien

    m Moyenne temporelle

    OMA Onde module en amplitude

    OMF Onde module en frquence

    p Frquence complexe (oprateur de Laplace)

    PgnT0(x) Peigne de Dirac (suite de pic de Dirac)

    q Quantum de conversion

    rxy Coefficient de corrlation

    s(t) Signal temporel

    s (t) Complexe conjugu de la variable s(t)

    s (t) Moyenne temporelle du signal s(t)

    se(t) Signal temporel chantillonn

    se,P(t) Signal temporel chantillonn tronqu ou limit tem-porellement

    S(f ) Transforme de Fourier du signal s(t)

    Se(f ) Transforme de Fourier du signal chantillonn se(t)

    Se,P(f ) Transforme de Fourier du signal chantillonn tron-qu se,P(t)

  • Notations et abrviations XV

    sin(x) Fonction sinusodale

    sinc(x) Fonction sinus cardinal [sin(px)/(px)]

    sind(t) Rponse indicielle (rponse au signal u(t))

    Sxx(f ) Densit spectrale ou spectre en puissance

    Sxy(f ) Densit spectrale dinteraction

    t Temps

    T z Transforme en z

    TFD Transforme de Fourier discrte

    Te(= 1/Fe) Priode dchantillonnage dun signal

    T0(= 1/F0) Priode dun signal

    u(t) chelon unit ou fonction de Heaviside

    Ve Tension dentre

    Vs Tension de sortie

    wmkN Fonction ej2pkm/N

    d(x) Pic de Dirac

    Gxy(t) Fonction de corrlation statistique

    Lt(t) Fonction triangle de base gale t

    v, V Pulsation (= 2pf )

    Pt(x) Fonction porte de largeur t

    sx cart type de la variable x

  • PARTIE 1

    Le traitementdes signaux analogiques

  • Chapitre 1

    Dfinitions et reprsentationdes signaux

    1.1 DFINITIONS

    1.1.1 Dfinitions de base

    Un signal est la reprsentation physique de linformation quil transportede sa source son destinataire. Il sert de vecteur une information. Ilconstitue la manifestation physique dune grandeur mesurable (courant,tension, force, temprature, pression, etc.). Les signaux, considrs dansce livre, sont des grandeurs lectriques variant en fonction du temps s(t)obtenues laide de capteurs. Mais le traitement du signal sapplique tousles signaux physiques (onde acoustique, signal optique, signal magntique,signal radiolectrique, etc.). Le traitement dimages peut tre considrcomme une extension du traitement du signal aux signaux bidimensionnels(images).

  • 4 1 Dfinitions et reprsentation des signaux

    Le bruit est dfini comme tout phnomne perturbateur gnant la per-ception ou linterprtation dun signal, par analogie avec les nuisancesacoustiques (interfrence, bruit de fond, etc.). La diffrentiation entre lesignal et le bruit est artificielle et dpend de lintrt de lutilisateur : lesondes lectromagntiques dorigine galactique sont du bruit pour un ing-nieur des tlcommunications par satellites et un signal pour les radioas-tronomes.

    La thorie du signal a pour objectif fondamental la description ma-thmatique des signaux. Cette reprsentation commode du signal per-met de mettre en vidence ses principales caractristiques (distributionfrquentielle, nergie, etc.) et danalyser les modifications subies lors dela transmission ou du traitement de ces signaux.

    Le traitement du signal est la discipline technique qui, sappuyant surles ressources de llectronique, de linformatique et de la physique appli-que, a pour objet llaboration ou linterprtation des signaux. Son champdapplication se situe donc dans tous les domaines concerns par la percep-tion, la transmission ou lexploitation des informations vhicules par cessignaux.

    Le traitement de linformation fournit un ensemble de concepts per-mettant dvaluer les performances des systmes de transfert dinforma-tions, en particulier lorsque le signal porteur de message est bruit. Celainclut les mthodes de codage de linformation dans le but de la r-duction de redondance, de la correction des erreurs, de la confidentialit(cryptage). Lensemble des concepts et mthodes dvelopps dans le trai-tement de linformation et du signal forme la thorie de la communica-tion.

    1.1.2 Principales fonctions du traitement du signal

    Les fonctions du traitement du signal peuvent se diviser en deux catgo-ries : llaboration des signaux (incorporation des informations) et linter-prtation des signaux (extraction des informations). Les principales fonc-tions intgres dans ces deux parties sont les suivantes :

  • 1.1 Dfinitions 5

    laboration des signaux :

    synthse : cration de signaux de forme approprie en procdantpar exemple une combinaison de signaux lmentaires ;

    modulation, changement de frquence : moyen permettantdadapter un signal aux caractristiques frquentielles dune voiede transmission ;

    codage : traduction en code binaire (quantification), etc. Interprtation des signaux :

    filtrage : limination de certaines composantes indsirables ; dtection : extraction du signal dun bruit de fond (corrlation) ; identification : classement dun signal dans des catgories prala-

    blement dfinies ;

    analyse : isolement des composantes essentielles ou utiles dunsignal de forme complexe (transforme de Fourier) ;

    mesure : estimation dune grandeur caractristique dun signalavec un certain degr de confiance (valeur moyenne, etc.).

    1.1.3 Les systmes numriques

    Les qualits actuelles du traitement numrique de linformation conduisent son dveloppement pour rsoudre les problmes de contrle/commandede procds industriels. Le systme de traitement numrique, schmatissur la figure 1.1, va raliser la saisie de linformation, traiter ces informa-tions suivant un programme de contrle (rgulation, filtrage numrique,etc.) et daprs des valeurs de consignes entres par lutilisateur, envoyerdes signaux de commande au processus industriel pour atteindre le com-portement recherch. Le systme numrique prsente, en effet, un grandnombre davantages par rapport un contrle de processus par un systmeanalogique :

  • 6 1 Dfinitions et reprsentation des signaux

    reproductibilit des systmes (circuits logiques) ;

    stabilit : pas de drive en temps ou en temprature ;

    adaptabilit et souplesse demploi (modification du programme) ;

    fiabilit : circuits trs grande intgration ;

    rapidit : jusqu 10 ms environ en temps rel.

    Les grandeurs physiques (mouvement mcanique, variation de temp-rature, etc.) lies aux procds physiques contrls mis en jeu doivent tretransformes en signaux analogiques lectriques (courant ou tension) : celaest le rle des capteurs ou transducteurs (quartz, thermocouple,...) dans lecas de la mesure. Inversement, la commande au niveau du processus estfaite laide dactionneurs ou rcepteurs (moteur, vanne,...) qui trans-forment le signal analogique lectrique reu en grandeurs physiques (ner-gie mcanique, chaleur, etc.).

    Systme numriquede

    contrle/commande

    Interface de conversionnumrique/analogique

    Interface de conversionnumrique/analogique

    Procdphysique CapteurActionneur

    signalanalogique

    signalnumrique

    signalanalogique

    signalnumrique

    Figure 1.1 Chane dacquisition et de restitution de donnesdun procd physique pilot par un systme numrique.

    Dans le cas des traitements par des systmes numriques, ces signauxanalogiques transmis ou reus seront transforms en signaux numriques.Ce rle est rempli par des interfaces lectroniques spcialises qui sontcomposes de diffrents lments : les convertisseurs analogiques-num-riques et numriques-analogiques, les chantillonneurs-bloqueurs, les

  • 1.2 Reprsentation des signaux 7

    multiplexeurs, les amplificateurs gain programmable, etc. Les fonctionsdu traitement numrique sont trs nombreuses : filtrage, analyse spectrale,modulation, dtection, estimation, transcodage, gnration de signaux, re-connaissance, correction, etc.

    1.2 REPRSENTATION DES SIGNAUX

    1.2.1 Modlisation des signaux

    Un signal exprimental est une grandeur physique et doit donc tre phy-siquement ralisable. Les mesures macroscopiques analogiques, ralises partir dappareils de mesures comme un oscilloscope, fournissent descourbes tension en fonction du temps du type de celle reprsente surla figure 1.2. Ces signaux physiques sont reprsents par des fonctions s(t) valeurs relles dune variable relle t. Par consquent, le signal possdeles caractristiques suivantes :

    nergie borne ;

    amplitude borne ;

    continu temporellement ;

    causal (s(t) = 0 pour t < 0) ;

    spectre du signal born (tend vers 0 lorsque f tend vers ).

    Mais sur le plan thorique, pour la commodit du calcul et ltude decertains phnomnes, les signaux sont reprsents par des fonctions :

    nergie thorique infinie ;

    avec des discontinuits (signal carr) ;

    dfinies sur R (signaux non causaux) ;

    spectre du signal infini ;

    valeurs complexes :

    s(t) = Ae jvt = A (cos vt + j sin vt) (1.1)

  • 8 1 Dfinitions et reprsentation des signaux

    signal : s t( )

    support born

    temps : tamplitude

    borne

    Figure 1.2 Reprsentation dun signal physique rel.

    Remarque : il est important de noter que lintroduction de tels mo-dles mathmatiques ncessite une interprtation des rsultats ob-tenus aprs traitement pour retrouver ensuite la ralit.

    1.2.2 Classification des signaux

    Pour faciliter ltude des signaux, diffrents modes de classification peuventtre envisags :

    reprsentation temporelle des signaux ;

    reprsentation spectrale ;

    caractristique morphologique (signal continu ou discret).

    a) Reprsentation temporelle des signaux

    La premire classification, base sur lvolution du signal en fonction dutemps, fait apparatre deux types fondamentaux :

    les signaux certains (ou dterministes) dont lvolution en fonction dutemps peut tre parfaitement dcrite par un modle mathmatique. Cessignaux proviennent de phnomnes pour lesquels on connat les loisphysiques correspondantes et les conditions initiales, permettant ainside prvoir le rsultat ;

  • 1.2 Reprsentation des signaux 9

    les signaux alatoires (ou probabilistes) dont le comportement tempo-rel est imprvisible et pour la description desquels il faut se contenterdobservations statistiques.

    Parmi les signaux dterministes, on distingue les signaux priodiquesdont les signaux sinusodaux sont un cas particulier :

    s(t) = A sin#!

    2p/T"t + w

    $(1.2)

    avec T la priode du signal et w la phase.

    Les signaux non priodiques se composent dune part des signaux pseudo-priodiques forms dune somme de sinusodes de priodes diffrentes etdautre part des signaux transitoires dont lexistence est limite dans letemps.

    Ces signaux certains peuvent en principe tre reproduits rigoureuse-ment identiques eux-mmes. Dans cet ouvrage nous nous intresseronsprincipalement ce type de signaux, except le signal dit de bruit, qui faitpartie de la deuxime catgorie.

    En ce qui concerne les signaux alatoires, ils sont dits stationnaireslorsque leur valeur moyenne est indpendante du temps, cest--dire queles rsultats de leur analyse statistique restent les mmes quel que soitle moment o lon en observe une partie dtermine. De plus ces signauxalatoires stationnaires sont ergodiques sil est identique de faire unemoyenne statistique un instant donn sur diffrents essais ou de faireune moyenne temporelle suffisamment longue sur un seul de ces essais.

    b) Classification spectrale

    Un signal peut tre class suivant la distribution de son amplitude, sa puis-sance ou son nergie en fonction de la frquence (spectre du signal). Ledomaine des frquences occup par son spectre est aussi appel la largeurde bande spectrale du signal DF (cf. figure 1.3) :

    DF = Fmax Fmin

  • 10 1 Dfinitions et reprsentation des signaux

    puissancedu signal

    F

    frquence : f

    Fmin Fmax

    Figure 1.3 Distribution spectrale dun signal avec la dfinitionde la largeur de bande spectrale D F.

    Cette caractristique, exprime en hertz (Hz), est absolue. Aussi il estncessaire de la comparer au domaine de frquences dans lequel se situele signal. En considrant la frquence moyenne Fmoy = (Fmax +Fmin)/2, onpeut distinguer deux types de signaux :

    les signaux bande troite avec DF/Fmoy petit (soit Fmax # Fmin) ;

    les signaux large bande avec DF/Fmoy grand (soit Fmax Fmin).

    Pour les signaux bande troite, il est possible de les classer par ledomaine de variation de la frquence moyenne Fmoy :

    Fmoy < 250 KHz signaux basses frquences (BF)

    250 KHz < Fmoy < 30 MHz signaux hautes frquences (HF)

    30 MHz < Fmoy < 300 MHz signaux trs hautes frquences (VHF)

    300 MHz < Fmoy < 3 GHz signaux ultra hautes frquences (UHF)

    Fmoy > 3 GHz signaux super hautes frquences (SHF)

    Lorsque la frquence du signal devient trs grande, pratiquement su-prieure quelques trahertz (THz = 1012 Hz), la longueur donde lest le paramtre de rfrence (l = c/F avec c : vitesse de la lumire300 000 Km/s) :

    700 nm < l < 0,1 mm signal lumineux infrarouge

    400 nm < l < 700 nm signal lumineux visible

    10 nm < l < 400 nm signal lumineux ultraviolet

  • 1.2 Reprsentation des signaux 11

    c) Les signaux analogiques et numriques

    Le temps est un paramtre important de classification. Comme nous ve-nons de le voir, le traitement numrique des signaux conduit faire ladistinction entre les signaux dits temps continus (signaux continus) etles signaux dits temps discrets (signaux discrets ou chantillonns). Unautre paramtre des signaux traits est prendre en compte, cest lampli-tude qui peut aussi tre continue ou discrte (quantifie).

    Ainsi quatre formes de signaux, qui se retrouvent dans un systme nu-mrique de contrle dun processus physique, peuvent tre distingues(cf. figure 1.4) :

    signal amplitude et temps continus (signal analogique) : s(t) ;

    signal amplitude discrte et temps continu (signal quantifi) : sq(t). Cesignal correspond celui qui est fourni la sortie dun circuit convertis-seur numrique-analogique pour la commande dun actionneur ;

    signal amplitude continue et temps discret (signal chantillonn) :s(nTe). Ce signal, obtenu laide dun circuit chantillonneur-bloqueur,est transmis un circuit convertisseur analogique numrique pour obte-nir un signal numrique utilisable par un ordinateur ;

    signal amplitude discrte et temps discret (signal logique ou num-rique) : sq(nTe). Ce dernier cas correspond en ralit une suite denombres cods en binaire. Ces nombres, utiliss au sein dun ordina-teur, se transmettent sous la forme de plusieurs signaux de type num-rique 0 V (0 logique) ou 5 V (1 logique) se propageant en parallle :8 signaux pour un nombre cod sur 8 bits.

    On appelle numrisation dun signal lopration qui consiste fairepasser un signal de la reprsentation dans le domaine des temps et desamplitudes continus au domaine des temps et des amplitudes discrets.

    Cette opration de numrisation dun signal peut tre dcompose endeux tapes principales : chantillonnage et quantification.

  • 12 1 Dfinitions et reprsentation des signaux

    La restitution (ou linterpolation) constitue le processus inverse qui in-tervient lors du passage du signal numrique au signal analogique : com-mande dun actionneur.

    Ces trois tapes sont indissociables. En effet, le signal, tant le supportphysique dune information, doit conserver au cours de ces modificationstout le contenu informatif initial. Cette condition, ajoute la notion decot limite dun systme, va tre la base de la numrisation des signauxet de ltude du traitement numrique.

    ampl

    itude

    temps

    signal analogique : s t( )

    ampl

    itude

    temps

    signal quantifi : sq( )t

    ampl

    itude

    temps

    signal chantillonn : s nT( e)

    ampl

    itude

    temps

    signal numrique : sq (nTe)

    Figure 1.4 Classification morphologique des signaux.

  • Chapitre 2

    Transformations de Fourier

    2.1 ANALYSE SPECTRALE DES FONCTIONSPRIODIQUES

    2.1.1 Dveloppement en srie de Fourier

    Si s(t) est une fonction priodique de t, de priode T0 (= 1/F0), elle peutscrire sous la forme dune somme de fonctions sinusodales et cosinu-sodales de frquences f multiple de la frquence F0, dite frquence fon-damentale. Soit :

    s(t) = a0 +2n=1

    (an cos 2pnF0t + bn sin 2pnF0t) (2.1)

    o an et bn sont les coefficients de la srie de Fourier. Ils se calculent partir des relations suivantes :

    a0 =1T0

    4 T00

    s(t) d t = s(t) (2.2)

  • 14 2 Transformations de Fourier

    avec a0 appel valeur moyenne ou composante continue

    an =2T0

    4 T00

    s(t) cos(2pnF0t) d t pour n 1 (2.3)

    et

    bn =2T0

    4 T00

    s(t) sin(2pnF0t) d t pour n 1 (2.4)

    En introduisant la reprsentation complexe, nous pouvons donner uneforme plus gnrale de lexpression de ce dveloppement en srie de Fou-rier :

    s(t) =+2

    n=S (nF0) e j2pnF0t (2.5)

    avec S (nF0) =12 (an j bn) = 1T0

    4 T00

    s(t) e j2pnF0t d t pour n 1et

    S (0) = a0 = s(t) (2.6)

    Le concept de frquence ngative na pas de signification physique. Ilpeut tre vu comme la traduction du sens de rotation de la vitesse angulaireou pulsation (v = 2p f ). Ainsi la fonction relle cos (vt) ou cos (2pft) peuttre exprime comme la somme de deux fonctions complexes dans le plancomplexe (cf. figure 2.1) :

    cos (vt) = 1/2 8e jvt + ejvt

    :Ces valeurs ngatives de la frquence sont introduites uniquement dans

    un but de rendre symtrique la fonction de reprsentation des frquences.Dans le cas de signaux rels, nous avons :

    an = an et bn = bnLes coefficients du dveloppement S(nF0) sont en gnral une grandeur

    complexe qui peut scrire sous la forme :

    S(nF0) = |S(nF0)| e jwn (2.7)

  • 2.1 Analyse spectrale des fonctions priodiques 15

    avec pour module :

    |S(nF0)| =F

    a2n + b2n (2.8)et pour phase wn :

    wn = Arctg!bn/an" (2.9)

    Partie imaginaire

    e jt

    Partie relle

    ejt

    t

    t(t)cos

    Figure 2.1 Introduction des frquences ngatives dans lexpression des signaux.

    2.1.2 Reprsentations frquentielles

    Les coefficients S(nF0) reprsentent les composantes du spectre en fr-quence de s(t). En introduisant limpulsion de Dirac d(x) qui est dcriteen annexes, la reprsentation frquentielle du signal est forme de pics deDirac de poids |S(nF0)| rparties sur tout laxe des frquences positiveset ngatives (cf. figure 2.2). Par convention, on dessine chaque raie en luidonnant une hauteur proportionnelle son poids |S(nF0)| . Il est importantde noter que ce spectre S( f ) est en gnral complexe, form dune partierelle et dune partie imaginaire, et devrait donc tre reprsent dans unsystme trois dimensions : axe des frquences f , axe de la partie ima-ginaire Im {S( f )} et axe de la partie relle Re {S( f )}. Lexpression duspectre est la suivante :

    S( f ) =+2

    n=S(nF0) d ( f nF0) (2.10)

    avec S (nF0) =1T0

    4 T0

    0s(t) e j2pnF0t d t pour n 1 et S (0) = s(t)

  • 16 2 Transformations de Fourier

    La reprsentation frquentielle ou le spectre en frquence S( f ) du si-gnal s(t) est constitu de la composante continue la frquence 0, dufondamental la frquence F0 (ou harmonique dordre 1) et des diff-rents harmoniques aux frquences f = n F0. Il est important de remar-quer que le spectre dune fonction priodique, de priode T0(= 1/F0),est discontinu et compos de raies dont lcart minimum est, sur laxedes frquences, F0.

    Cette reprsentation complexe du signal distribue donc, dans le domainefrquentiel, les contributions du signal symtriquement de part et dautrede lorigine sur laxe des frquences : cest la reprsentation spectrale bi-latrale S( f) (frquences positives et ngatives).

    S f( )

    F0

    f

    0

    |S(0)|

    |S(F0)||S(F0)||S(2F0)||S 2( F0)| |S nF( 0)||S nF( 0)|

    F0

    2F0 nF0 F0 2F0nF0

    Figure 2.2 Reprsentation frquentielle bilatrale dun signalpriodique de priode T0(= 1/F0).

    Seule la reprsentation unilatrale Srel( f ) (spectres composs de fr-quences positives uniquement), calcule directement partir des quations2.1 2.4 (srie de Fourier), est une reprsentation relle qui peut tre obte-nue partir danalyseurs de spectres ou de transformateurs de Fourier quiprsentent le module de ce spectre. partir de lexpression initiale 2.1,nous pouvons crire :

    s(t) = a0 +2n=1

    cn cos(2pnF0t + wn) (2.11)

    avec cn = 2 |S(nF0)| = 2 F

    a2n + b2n

  • 2.1 Analyse spectrale des fonctions priodiques 17

    Les coefficients cn reprsentent les amplitudes des composantes duspectre rel Srel( f ) en reprsentation unilatrale (cf. figure 2.3). Il est trsais de passer de lune lautre des reprsentations par la relation suivante :

    S( f ) = k Srel( f ) (2.12)avec k = {2 si f > 0 ; 1 si f = 0 ; 0 si f < 0}.

    2.1.3 Quelques proprits

    Nous avons une correspondance unique entre la fonction x(t), son dvelop-pement en srie de Fourier et par consquent sa reprsentation spectraleX( f ). Nous crirons donc cette rciprocit sous la forme :

    x(t)FX( f )

    a) Proprit de linarit

    tant donn x(t)FX( f ) et y(t) F Y( f ), nous avons :

    A x(t) + B y(t) FA X( f ) + B Y( f ) avec A et B des constantes

    frquence : f

    Srel( )f

    a0

    c1

    c2cn

    F0 2F0 nF00

    Figure 2.3 Reprsentation frquentielle unilatrale dun signalpriodique de priode T0(= 1/F0).

    b) Proprit de parit

    Si la fonction x(t) est paire, alors les coefficients bn sont nuls :

    X (nF0) =12 an = 1T0

    4 T00

    x(t) cos (2pnF0t) d t

  • 18 2 Transformations de Fourier

    Si la fonction x(t) est impaire, alors les coefficients an sont nuls :

    X (nF0) =j2

    bn = jT0 4 T0

    0x(t) sin (2pnF0t) d t

    Soit la fonction x(t) et X( f) sa reprsentation frquentielle, nous avons :

    Fonction x(t) Reprsentation frquentielle X( f )relle paire relle pairerelle impaire imaginaire impairerelle complexe (partie relle paire, partie imaginaire

    impaire)

    c) Proprit de translation

    tant donn x(t)FX( f ), nous avons :

    x(t u) FX( f ) ej2pufet rciproquement :

    X( f n) F x(t) e+j2pnt

    2.1.4 Exemples de dveloppements en srie de FourierNous prsentons ci-aprs un ensemble de fonctions priodiques (de p-riode T0 = 1/F0) et de leurs dveloppements en srie de Fourier sousla forme dune reprsentation frquentielle bilatrale (partie imaginaireIm {S( f )} ou partie relle Re {S( f )}). Ainsi, partir de cette table et desproprits associes cette transformation, il est possible de dterminerla reprsentation spectrale de la plupart des fonctions priodiques usuellessans effectuer les calcul donns par les relations 2.1 2.4.

    a) Signaux sinusodaux et cosinusodaux

    Reprsentation temporelle Reprsentation spectrale Signal sinusodal :s(t) = A sin(2pF0t) S( f ) = j A

    2 (d ( f + F0) d ( f F0))

    (cf. figure 2.4)

  • 2.1 Analyse spectrale des fonctions priodiques 19

    Reprsentation temporelle Reprsentation spectrale Signal cosinusodal :s(t) = A cos(2pF0t) S( f ) = A

    2 (d ( f + F0) + d ( f F0))

    (cf. figure 2.5)

    b) Signaux carrs

    Reprsentation temporelle Reprsentation spectrale Signal carr pair composante continuenulle :s(t) = sc1(t)avec sc1(t) = A pour t [T0/2, T0/4]et sc1(t) = A pour t [T0/4,T0/4]et sc1(t) = A pour t [T0/4,T0/2]

    Sc1( f ) =2A

    p

    +#p=

    (1)p2p + 1

    d ( f (2p + 1) F0)

    (cf. figure 2.6)

    Signal carr pair composante continuenon nulle (= A/2) :

    s(t) = sc2(t)

    soit

    sc2(t) = 1/2 sc1(t) + A/2

    Sc2( f ) = 1/2 Sc1( f ) + A/2 d ( f )

    Sc2( f ) =A

    2d ( f )

    +A

    p

    +#p=

    (1)p2p + 1

    d ( f (2p + 1)F0)

    (cf. figure 2.7)

    Signal carr impair composante continuenulle :s(t) = sc3(t)soit :sc3(t) = sc1(t + T0/4)avec sc3(t) = A pour t [0,T0/2]et sc3(t) = A pour t [T0/2,T0]

    Sc3( f ) = Sc1( f ) e j2p(T0/4) fSc3( f )

    =2A

    p

    +#p=

    j2p + 1

    d ( f (2p + 1) F0)

    (cf. figure 2.8)

    Signal carr impair composante continuenon nulle (= A/2) :s(t) = sc4(t)soit :sc4(t) = 1/2 sc1(t + T0/4) + A/2

    Sc4( f ) = 1/2Sc1( f )e j2p(T0/4) f +A/2d ( f )Sc4( f ) =

    A

    2d ( f )

    +A

    p

    +#p=

    j2p + 1

    d ( f (2p + 1)F0)

    (cf. figure 2.9)

  • 20 2 Transformations de Fourier

    Im{ ( )}S f

    F0 f0F0

    A/2

    A/2

    Figure 2.4 Reprsentationspectrale bilatrale dun signalsinusodal.

    Re{ ( )}S f

    F0

    f0F0

    A/2

    Figure 2.5 Reprsentationspectrale bilatrale dun signalcosinusodal.

    Re{Sc1( )}f

    F0

    f0F0

    2 /3A

    3F0 3F0

    2 /A

    Figure 2.6 Reprsentationspectrale bilatrale du signal carrpair sc1(t).

    Re{Sc2( )}f

    F0

    f0F0

    A/3

    3F0 3F0

    A/

    A/2

    Figure 2.7 Reprsentationspectrale bilatrale du signal carrpair sc2(t).

    Im{Sc3( )}f

    F0 f0F0

    2 /3A

    3F0

    3F0

    2 /A

    2 /3A

    2 /A

    Figure 2.8 Reprsentationspectrale bilatrale du signal carrimpair sc3(t).

    Im{Sc4( )}f

    F0 f0F0

    A/3

    3F0

    3F0

    A/

    A/3

    A/

    A/2

    Re{Sc4( )}f

    Figure 2.9 Reprsentationspectrale bilatrale du signal carrimpair sc4(t).

  • 2.1 Analyse spectrale des fonctions priodiques 21

    c) Signaux impulsionnelsReprsentation temporelle Reprsentation spectrale

    Signal impulsionnel pair composantecontinue nulle :s(t) = si1(t) pour t < T0avec si1(t) = A pour t [T0/2,t/2]et si1(t) = A pour t [t/2,t/2]et si1(t) = A pour t [t/2,T0/2]

    Si1( f ) =2At

    T0

    +#n=

    sin (pnF0t)

    pnF0t d ( f n F0)

    A d( f )(cf. annexes : fonction

    sin (px)

    px= sinc(x))

    Signal impulsionnel pair composantecontinue non nulle (= At/T0) :s(t) = si2(t)

    soit : si2(t) =1

    2 si1(t) + A

    2

    Si2( f ) =1

    2 Si1( f ) + A

    2 d ( f )

    Si2( f )

    =A tT0

    +#

    n=

    sin (pnF0t)

    pnF0t d ( f n F0)

    (cf. figure 2.10)

    Signal impulsionnel composante conti-nue nulle:s(t) = si3(t)soit : si3(t) = si1(t + t/2)

    Si3( f ) = Si1( f ) e j2p(t/2) f

    Si3( f ) =2At

    T0

    +#n=

    sin (pnF0t)

    pnF0t

    e jpnF0t d ( f n F0) A d( f )

    Signal impulsionnel composante conti-nue non nulle (=At/T0) :s(t) = si4(t)

    soit : si4(t) =1

    2 si1(t + t/2) + A

    2

    Si4( f ) =1

    2 Si1( f ) e j2p(t/2) f + A

    2 d ( f )

    Si4( f ) =At

    T0

    +#n=

    sin (pnF0t)

    pnF0t e jpnF0t

    d ( f n F0)

    A /T0Re{Si2( )}f

    f0F0

    3F0

    2F0

    4F0

    6F0 F02F0

    3F0

    4F0

    6F0

    sin(f )f

    1/1/ 2/2/

    Figure 2.10 Reprsentation spectrale bilatrale du signal impulsionnel pair si2(t).

  • 22 2 Transformations de Fourier

    Remarque : le signal impulsionnel pair composante continue nonnulle si2(t) a pour limite la fonction peigne de Dirac PgnA(x)lorsque A tend vers linfini, t vers 0 et en conservant le produit Atgal 1 (cf. annexes).

    d) Signaux triangulaires

    Reprsentation temporelle Reprsentation spectrale

    Signal triangulaire pair composantecontinue nulle :

    s(t) = st1(t)

    avec

    st1(t) = A +4A

    T0t pour t [T0/2,0]

    et st1(t) = A 4AT0

    t pour t [0,T0/2]

    St1( f ) =4A

    p2

    +#p=

    1

    (2p + 1) 2 d ( f (2p + 1)F0)

    Signal triangulaire pair composantecontinue non nulle (= A/2) :

    s(t) = st2(t)

    soit

    st2(t) = 1/2 st1(t) + A/2

    St2( f ) = 1/2 St1( f ) + A/2 d ( f )St2( f ) =

    2A

    p2

    +#p=

    1

    (2p + 1) 2d ( f (2p + 1)F0)

    +A

    2d ( f )

    Signal triangulaire impair composantecontinue nulle :

    s(t) = st3(t)

    soit :

    st3(t) = st1(t + T0/4)

    St3( f ) = St1( f ) e j2p(T0/4) f

    St3( f ) =j4A

    p2

    +#p=

    (1) p(2p + 1) 2

    d ( f (2p + 1)F0)

    Signal triangulaire impair composantecontinue non nulle (= A/2) :

    s(t) = st4(t)

    soit :

    st4(t) =1

    2 st1(t + T0/4) + A

    2

    St4( f ) =1

    2St1( f ) e j2p(T0/4) f + A

    2 d ( f )

    St4( f ) =j2A

    p2

    +#p=

    (1) p(2p + 1) 2

    d ( f (2p + 1)F0)

    +A

    2d ( f )

  • 2.1 Analyse spectrale des fonctions priodiques 23

    e) Signaux divers

    Reprsentation temporelle Reprsentation spectrale

    Signal rampe impair composante conti-nue nulle :

    s(t) = sr1(t)

    avec

    sr1(t) =2A

    T0t pour t [T0/2,T0/2]

    Sr1( f ) =jA

    p

    +#n=,n=0

    (1) nn

    d ( f nF0)

    Signal rampe composante continue nonnulle (= A/2) :

    s(t) = sr2(t)

    avec

    sr2(t) =1

    2 sr1(t + T0/2) + A

    2

    Sr2( f ) =jA

    2p

    +#n=,n=0

    1

    n d ( f nF0)

    +A

    2 d ( f )

    Signal dent de scie ou rampe inverse composante continue non nulle (= A/2) :

    s(t) = sr3(t)

    avec

    sr3(t) =1

    2 sr1(t + T0/2) + A

    2

    Sr2( f ) =jA

    2p

    +#n=,n=0

    1

    n d ( f + nF0)

    +A

    2 d ( f )

    Signal sinusodal redress double alter-nance :

    s(t) = A |sin(2pF0t)|

    S( f ) =2A

    p d ( f )

    2Ap

    +#p=,p=0

    1!4p2 1" d ( f 2pF0)

    Signal sinusodal redress simple alter-nance :

    s(t) = ssa(t)

    avec

    ssa(t) = A sin (2pF0t) pour t [0,T0/2]et ssa(t) = 0 pour t [T0/2,T0]

    S( f ) =A

    p d ( f ) jA

    4 d ( f F0)

    +A

    p

    +#p=,p=0

    1!4p2 1" d ( f 2pF0)

  • 24 2 Transformations de Fourier

    2.2 ANALYSE SPECTRALEDES FONCTIONS NON PRIODIQUES

    2.2.1 Transforme de Fourier

    On peut considrer la transforme de Fourier des fonctions non-priodiquescomme une extension de la transformation prcdente pour laquelle la p-riode est infinie. Lintervalle de frquence F0 tend alors vers zro et lespectre devient alors une fonction continue. Do, la transforme de Fou-rier de s(t), note S( f ) ou F{s(t)}, et la transforme de Fourier inverse,note F1{S( f )} :

    S( f ) =4 +

    s(t) ej2pf t d t (2.13)et

    s(t) =4 +

    S( f ) e+j2pf t d f (2.14)

    S( f ) est une fonction de f , en gnral complexe, qui comprend doncune partie relle Re [S( f )] et une partie imaginaire Im [S( f )] :

    Re [S( f )] =4 +

    s(t) cos (2p ft) d t (2.15)et

    Im [S( f )] =4 +

    s(t) sin (2p ft) d t (2.16)

    Pour que la transforme de Fourier de s(t) existe et soit rciproque, ilsuffit que s(t) soit une fonction de carr sommable. Cela signifie que s(t),ainsi que sa transforme de Fourier, sont nergie finie. Toutes les fonc-tions existant physiquement vrifient ces conditions parce quon les ob-serve sur un temps fini.

    2.2.2 Proprits de la transforme de Fourier

    Nous avons une correspondance unique entre la fonction x(t) et sa transfor-me de Fourier X( f ) ou reprsentation spectrale. Nous crirons donc cette

  • 2.2 Analyse spectrale des fonctions non priodiques 25

    rciprocit sous la forme :

    x(t)FX( f )

    Nous retrouvons les mmes proprits que pour le dveloppement ensrie de Fourier.

    a) Proprit de linarit

    tant donn x(t)FX( f ) et y(t) F Y( f ), nous avons :

    A x(t) + B y(t) FA X( f ) + B Y( f ) avec A et B des constantes

    b) Proprit de parit

    Soit la fonction x(t) et X( f ) sa reprsentation frquentielle, nous avons :

    Fonction x(t) Reprsentation frquentielle X( f )

    relle paire relle paire

    relle impaire imaginaire impaire

    relle complexe (partie relle paire, partie imaginaireimpaire)

    imaginaire paire imaginaire paire

    imaginaire impaire relle impaire

    imaginaire complexe (partie relle impaire, partie imagi-naire paire)

    tant donn x(t)FX( f ), nous avons :

    x(t)FX(f ) avec x signifiant le complexe conjugu

  • 26 2 Transformations de Fourier

    c) Proprit de translation

    tant donn x(t)FX( f ), nous avons :

    x(t u) FX( f ) ej2puf

    Et rciproquement :

    X( f n) F x(t) e+j2pnt

    d) Proprit dhomothtie

    tant donn x(t)FX( f ), nous avons :

    x(a t) F 1/ |a|X(/a) avec a R

    e) Proprit de drivation

    tant donn x(t)FX( f ), nous avons :

    dx(t)d t

    F (j2pf ) X( f )

    et plus gnralement :

    d nx(t)d tn

    F (j2pf )n X( f )

    De cette proprit de drivation, on en dduit la transforme des signaux valeur moyenne nulle qui facilite le calcul du spectre de signaux commecelui de la fonction chelon unit u(t). Soit un signal x(t) de la forme :

    x(t) = Ax + x0(t) avec x0(t) de valeur moyenne nulle

    Nous pouvons crire :

    x(t) = Ax +4 t

    dx0(t)d t

    d t avec Ax la constante dintgration

  • 2.2 Analyse spectrale des fonctions non priodiques 27

    tant donndx0(t)

    d tFX0( f ), il vient :

    x(t)F 1/( j2p f ) X0( f ) + Ax d ( f )

    2.2.3 Exemples de transformes de Fourier

    Nous prsentons ci-aprs un ensemble de fonctions non priodiques et deleurs transformes de Fourier. Ainsi, partir de cette table des transfor-mes de Fourier et des proprits associes cette transformation, il estpossible de dterminer la reprsentation spectrale de la plupart des fonc-tions usuelles sans effectuer le calcul intgrale donn par la relation 2.13.

    Reprsentation temporelle Reprsentation spectrale

    Fonction porte :s(t) = A.Pt(t)avec Pt(t) = 1 pour t [t/2, + t/2]et Pt(t) = 0 pour t [t/2, + t/2]

    S( f ) = A t sin (p ft)pft

    = A t sinc ( ft)

    (cf. annexes : fonctionsin (px)

    px= sinc(x))

    Fonction sinus tronque (limite linter-valle [t/2, + t/2] :s(t) = A sin (2pF0t) Pt (t)

    S( f )

    =jAt

    2)sin (pt ( f + F0))

    pt ( f + F0) sin (pt ( f F0))

    pt ( f F0)+

    Fonction cosinus tronque (limite lin-tervalle [t/2, + t/2] :s(t) = A cos (2pF0t) Pt (t)

    S( f )

    =A t

    2)sin (pt ( f + F0))

    pt ( f + F0)+

    sin (pt ( f F0))pt ( f F0)

    +

    Fonction sinus cardinal:s(t) = A sinc ( tt) = A sin (p tt)

    p tt

    S( f ) =A

    t Pt( f )

    Fonction sinusodale de variable quadra-tique :s(t) = A sin

    &a t2

    ' S( f ) = A ,

    p

    a$cos

    & (pf )2 /a

    '+

    p

    4

    %

    Fonction cosinusodale de variable quadra-tique :s(t) = A cos

    &a t2

    ' S( f ) = A ,

    p

    a$cos

    & (pf )2 /a

    ' p

    4

    %

  • 28 2 Transformations de Fourier

    Reprsentation temporelle Reprsentation spectrale

    Fonction triangle:s(t) = A L2t (t)avec L2t(t) = 1 + t/t pour t [t,0]L2t(t) = 1 t/t pour t [0, + t]et L2t(t) = 0 pour t [t, + t]

    S( f ) = A t [sinc (t f )]2

    = A t )sin (pt f )

    pt f

    +2

    Fonction sinus cardinal quadratique :s(t) = A [sinc (nt)]2 = A

    )sin (pnt)

    pnt

    +2 S( f ) = An L2n ( f )

    Fonction exponentielle symtrique :s(t) = A ea|t| avec a > 0 S( f ) =

    2 A aa2 + 4p2 f 2

    Fonction rapport du second ordre :s(t) =

    A

    a2 + 4p2t2avec a > 0 S( f ) =

    A

    2 a ea| f |

    do le cas particulier :

    s(t) =A

    1 + t2avec a > 0 S( f ) = A p e2p| f |

    Fonction dHeaviside ou chelon unit :s(t) = u(t)avec u(t) = 0 pour t < 0et u(t) = 1 pour t ! 0

    S( f ) =1

    j2p f+

    1

    2 d ( f )

    Fonction signe :s(t) = sgn(t) =

    t

    |t|avec sgn(t) = 1 pour t < 0 et sgn(t) = 1pour t ! 0

    S( f ) =1

    jp f

    Drive de la fonction signe :s(t) =

    d (sgn(t))

    d t= 2 d (t) S( f ) = 2

    Fonction exponentielle dcroissante :s(t) = A u(t) eat avec a > 0 S( f ) = A

    a + j2p f

  • 2.2 Analyse spectrale des fonctions non priodiques 29

    Reprsentation temporelle Reprsentation spectrale

    Fonction impulsionnelle exponentielle :s(t) = A u(t)

    &eat ebt

    'avec a > 0

    et b > 0S( f ) =

    A (b a)(a + j2p f ) (b + j2p f )

    Fonction sinusodale amortie :s(t) = A u(t) sin (2pF0t) eat avec a > 0 S( f ) =

    A (2pF0)(a + j2pf )2 + (2pF0)2

    Fonction cosinusodale amortie :s(t) = A u(t) cos (2pF0t) eat avec a > 0 S( f ) =

    A (a + 2p f )(a + j2p f )2 + (2pF0)2

    Fonction cosinusodale causale :s(t) = A u(t) cos (2pF0t)

    S( f ) =A

    4d ( f + F0) + d ( f F0)

    +2f

    jp&f 2 F20

    '

    Fonction sinusodale causale :s(t) = A u(t) sin (2pF0t)

    S( f ) =jA

    4d ( f + F0) d ( f F0)

    +2jf

    p&f 2 F20

    '

    Fonction rampe amortie par une gaus-sienne :s(t) = A t ept2 S( f ) = A j f epf 2

    Fonction rampe centre :s(t) = 1 pour t ! t/2s(t) = 1/2 + t/t pour |t| < t/2s(t) = 0 pour t = t/2

    S( f ) =1

    j2p f sin (pt f )

    pt f+

    1

    2 d ( f )

    Fonction gaussienne :s(t) = A ept2 S( f ) = A epf 2

    Fonction gaussienne quelconque:s(t) = A eat2 S( f ) = A

    ,p

    a e (pf )

    2

    a

    Pic de Dirac :s(t) = d(t)

    S( f ) = 1

  • 30 2 Transformations de Fourier

    Reprsentation temporelle Reprsentation spectrale

    Pic de Dirac de poids A :s(t) = A.d(t)

    S( f ) = A

    Fonction constante :s(t) = A

    S( f ) = A d ( f )

    Peigne de Dirac de priode T0 :s(t) = PgnT0 (t) =

    +#k=

    d (t k T0)

    s(t) = T0 PgnT0 (t) = T0 +#

    k=d (t k T0)

    S( f ) = F0 PgnF0 ( f )

    = F0 +#

    k=d ( f k F0)

    S( f ) = PgnF0 ( f ) =+#

    k=d ( f k F0)

    Fonction exponentielle complexe :s(t) = A ej2pF0 t S( f ) = A d ( f F0)

    Pic de Dirac en t = T0 :s(t) = A d (t T0) S( f ) = A e

    j2pT0 f

    Remarques : la fonction chelon unit u(t) permet en particulierde rendre un signal quelconque s(t) causal en ralisant le produits(t) u(t). La fonction porte Pt(t) permet de dcouper dans unsignal une portion de dure finie. Cette opration conduit transfor-mer un signal thorique (reprsentation mathmatique) en un signalrel nexistant que pendant un temps fini de dure t, correspondantau temps de mesure ou dobservation.

  • Chapitre 3

    Systmes de transmission.Filtrage

    3.1 SYSTMES DE TRANSMISSION

    3.1.1 Dfinitions et proprits

    a) Comparaison des grandeurs dentre et de sortie

    Un systme de transmission fait correspondre un signal dentre e(t)quelconque un signal de sortie s(t), rponse du systme de transmission,fonction du signal dentre e(t) et des caractristiques du systme de trans-mission. Pour le systme de transmission, on ralise une comparaison desgrandeurs dentre et de sortie en exprimant le rapport des puissances desdeux grandeurs (de mme nature). Le logarithme base 10 de ce rapport

  • 32 3 Systmes de transmission. Filtrage

    est alors exprim en bel ; mais lunit pratique est le dcibel (abrvia-tion db) :

    Adb = 10 log10!s(t)/e(t)

    "(3.1)

    Si on compare pour un appareil (par exemple un amplificateur), les puis-sances dentre et de sortie, le rapport en puissance est donn par :

    Adb = 10 log10!Ps/Pe

    "(3.2)

    avec un gain si Adb > 0 et un affaiblissement si Adb < 0.

    Si on exprime ce rapport en puissance en fonction des tensions Ve et Vsaux bornes des charges rsistives identiques, on obtient :

    Adb = 20 log10!Vs/Ve

    "(3.3)

    Cette convention permet dexprimer, par un mme nombre, le rapport entension et le gain en puissance si les rsistances (ou impdances) dentreet de sortie sont identiques. Quelques valeurs utiles sont donnes dans letableau ci-aprs :

    Rapport des tensions Vs/Ve 1/10 1/2 1/

    2 2 10 100

    Gain ou affaiblissement en db 20 6 3 6 20 40

    b) Bande passante

    Cette comparaison des puissances ou tensions dentre et de sortie dunsystme de transmission est utilise lorsque lon veut tudier linfluencedune autre grandeur : par exemple la frquence.

    On considre une tension sinusodale, fournissant lentre supposersistive (indpendante de la frquence), une puissance moyenne constantequelle que soit la frquence : Pe constant. On tudie lvolution de la puis-sance de sortie sur une charge rsistive en fonction de la frquence :Ps = Ps( f ). Ps passe par un maximum Psm qui est considr comme unerfrence. La courbe ainsi obtenue reprsente la rponse du systme detransmission une entre fixe en fonction de la frquence.

  • 3.1 Systmes de transmission 33

    On appelle bande passante du systme de transmission la zone de fr-quences pour lesquelles on a Ps/Psm < 0,5 ou Adb = 3 db. Ainsi labande passante 3 db est la tranche des frquences pour lesquelleslaffaiblissement de la puissance de sortie, puissance entrante constante,est infrieur 3 db par rapport sa valeur maximale (cf. figure 3.1).Si lon applique cette dfinition pour les tensions, on obtient un rapport tension de sortie / tension maximale (Vs/Vsm) devant tre suprieur ougal 1/

    2 ( 0,7). On dfinit galement une bande passante 6 db

    (Vs/Vsm = 0,5).

    Adb

    0f

    Ps/PsmVs/Vsm

    11

    0,7

    Bande passante 3 db

    0,5 -3

    Figure 3.1 Bande passante 3 db dun systme de transmission.

    c) Proprit dun systme de transmission

    Nous allons nous intresser des systmes de transmission qui possdentles trois proprits suivantes : linarit, continuit et stationnarit.

    Systmes linairesEn considrant s1(t) rponse e1(t) et s2(t) rponse e2(t), le systme detransmission, not S.T., est dit linaire si :

    a e1 (t) + b e2 (t) S.T. a s1 (t) + b s2 (t)

    Il est important de remarquer que presque tous les systmes sont li-naires pour les faibles signaux (premire approximation). Dautre part,une des consquences de la linarit est que, pour prvoir la rponse

  • 34 3 Systmes de transmission. Filtrage

    une action quelconque, il suffit de connatre la rponse pour une collec-tion dnombrable de signaux dentre. Lextension de la proprit de li-

    narit scrit de la faon suivante : si ei (t)S.T. si (t) , alors :

    e (t) =+2i=1

    ai ei (t) S.T. s (t) =+2i=1

    ai si (t)

    Systmes continusSoit sn(t) la suite des rponses paramtres par n en(t), le systme est ditcontinu si nous avons la proprit suivante

    limn+ en (t)

    S.T. limn+ sn (t)

    Remarque : il est intressant de noter quun intgrateur pur estun systme continu, mais pas un drivateur pur .

    Systmes stationnairesUn systme est stationnaire si son comportement est indpendant de lori-gine du temps, donc, si s(t) est la rponse e(t) :

    e (t u) S.T. s (t u)

    Les filtres sont dfinis comme des systmes de transmission linaires,continus et stationnaires.

    3.1.2 La convolution

    a) Dfinition

    Une impulsion brve, injecte lentre dun systme de transmission li-naire, continu et stationnaire, donne en sortie un signal de dure finie.Cette rponse est appele rponse impulsionnelle (ou percussionnelle) dufiltre et note h(t). Dans le cas gnral, cest--dire pour signal dentre

  • 3.1 Systmes de transmission 35

    quelconque, nous avons une relation mathmatique qui lie le signal den-tre e(t) et le signal de sortie s(t) pour un systme de transmission pos-sdant les trois proprits vues prcdemment ou filtre, not S.T.-L.C.S.,soit :

    e (t)S.T.-L.C.S. s (t) =

    4 +

    e (t) h (t t) dt = e (t) h (t) (3.4)

    Cette opration, appele convolution et note , exprime la rponse un signal quelconque partir de celle un signal type (rponse impul-sionnelle) ; la rponse dpend du filtre, caractris par h(t), et de lhis-toire du signal. Le calcul de la convolution est complexe. Il ncessite denombreuses tapes de calculs : pour chaque point de la rponse s(t), il estncessaire dlaborer la fonction h(tt), symtrique de la rponse impul-sionnelle par rapport laxe des ordonnes et dcale temporellement, puisle produit par le signal dentre e(t) et enfin lintgration sur la variable t.

    Les filtres, qui sont dfinis comme des systmes de transmission li-naires, continus et stationnaires, sont des systmes de convolution.

    b) Proprits

    commutativit : x y = y x associativit : x (y z) = (x y) z distributivit par rapport laddition : x (y + z) = x y + x z lment neutre (pic de Dirac) : x d = d x = x

    c) Thorme de Plancherel

    La relation trs importante entre la transforme de Fourier et le produit deconvolution snonce sous la forme du thorme suivant :

    La transforme de Fourier dun produit de convolution est un produitsimple et rciproquement.

  • 36 3 Systmes de transmission. Filtrage

    Ainsi, pour deux signaux x(t) et y(t) ayant pour transformes de Fourierrespectives X( f ) et Y( f ), nous avons :

    x (t) y (t) FX ( f )Y ( f ) et x (t)y (t) FX ( f ) Y ( f ) (3.5 et 3.6)

    d) Convolution des signaux priodiques

    Pour deux signaux priodiques rels x(t) et y(t) de priode T0, on dfinit laconvolution de la manire suivante :

    Pconv (t) =1T0

    4 T0

    0x (t) y (t t) dt (3.7)

    3.2 FILTRAGE

    3.2.1 Fentrage temporel

    a) Principes gnraux

    Le terme de filtrage est habituellement utilis dans le domaine frquen-tiel. Aussi dans le domaine temporel, nous parlerons plus de fentrage, quede filtrage, temporel qui peut tre dfini comme lopration consistant prlever, interrompre ou seulement attnuer un signal. Ainsi, le signal desortie s(t) est le produit du signal dentre e(t) et de la fonction temporelledu filtre ou de la fentre g(t) :

    s (t) = e (t) g (t)La modification quentrane ce fentrage temporel au niveau du spectre

    de e(t) est donne en appliquant le thorme de Plancherel la relationprcdente :

    s (t) = e (t) g (t) F S ( f ) = E ( f ) G ( f ) (3.8)Par consquent, pour un filtre de fonction temporelle g(t) quelconque, le

    spectre du signal de sortie sera diffrent de celui du signal dentre cons-quence du produit de convolution. Ainsi les actions temporelles telles que

  • 3.2 Filtrage 37

    le prlvement dun signal (cas de toutes mesures ralises pendant untemps fini) ou linterruption (interrupteur mont sur le circuit dun haut-parleur) ou encore lattnuation (attnuation ralise pendant un temps fini laide dun potentiomtre rglant le volume du son) sont des filtres oufentrages temporels qui vont modifier le spectre du signal.

    Dans le premier cas (dcoupage dune tranche temporelle dun signal),si la dure t, dite dure de la mesure, tend vers linfini, nous pouvonsvrifier la cohrence de la relation 3.8 ; tant donn que g(t) = 1 pourtout t, il vient :

    g (t) = 1FG ( f ) = d ( f )

    donc s (t) = e (t) g (t) = e (t) pas de modification du signalet S ( f ) = E ( f ) d ( f ) = E ( f ) pas de modification du spectre

    b) Mesure dun signal

    Lenregistrement par un appareil ou le traitement par ordinateur dun signalimpose un temps fini au signal quil soit analogique ou chantillonn. Ceproblme de la dure finie dun signal est celui de la mesure.

    Pour modliser cette troncature temporelle du signal, on utilise la fonc-tion porte temporelle Pt(t) de largeur t. Comme nous lavons vu la trans-forme de Fourier de cette fonction porte est la fonction sinus cardinalsinc(tf ) (cf. chapitre 2). Ainsi, les relations de modifications du signal dues la mesure sur une dure finie t sont :

    s (t) = e (t) Pt (t) et S ( f ) = E ( f ) sin (ptf )ptf

    Linfluence de cette fentre temporelle sur le signal et sur son spectrepeut tre trs importante. Plus lobservation ou la mesure du signal seralongue et plus le spectre du signal sera prcis, cest--dire peu perturb parcette fentre temporelle physiquement invitable.

    Prenons lexemple dun signal cosinusodal pur de priode T0. Le spectrede ce signal est reprsent par deux pics de Dirac situs aux frquences F0

  • 38 3 Systmes de transmission. Filtrage

    et F0. Soit :e(t) = cos(2pF0t)

    FE ( f ) = 12 [d ( f + F0) + d ( f F0)]

    En utilisant les relations prcdentes, on obtient le signal mesur s(t)(cest--dire e(t) tronqu et limit t) et son spectre S( f ) :

    s (t) = cos (2pF0t) Pt (t)et

    S( f ) =t

    2=sin (pt ( f + F0))

    pt ( f + F0)+

    sin (pt ( f F0))pt ( f F0)

    @

    Nous obtenons ainsi un spectre form de deux fonctions de type sinccentres sur les frquences F0 et F0 (cf. figure 3.2).

    Dans le cas gnral dun signal priodique quelconque avec un spectreform dun ensemble de raies de diverses importances, le fentrage tem-porel, cest--dire la mesure dun tel signal, conduit un spectre formde la somme de toutes les fonctions sinc places au niveau des frquencesexistantes avec une amplitude proportionnelle limportance de la raie. Cersultat peut conduire une interprtation errone du spectre : distinctionimpossible de deux frquences proches, localisation dune frquence sansexistence relle, etc.

    Remarque : il est donc important de constater que le spectre dunsignal tronqu temporellement, cest--dire mesur sur un tempsfini (cas rel), va tre modifi dans le sens o chaque composantedu spectre sera transforme en une forme sinc(x). Ce rsultat cor-respond au principe dincertitude : une connaissance complte dusignal sur laxe des temps conduit une dtermination prcise dansle domaine frquentiel alors quune connaissance limite temporel-lement du signal induit un flou sur la dtermination du spectrede ce signal. Une tude complte de cet effet de fentrage temporelet des moyens de le limiter est faite dans le chapitre 7.

  • 3.2 Filtrage 39

    S f( )

    f0F0 F0

    /2spectre modifi :

    sinc( f )

    spectre initial

    Figure 3.2 Modification du spectre en frquence dun signal sinusodalpar une troncature temporelle ou mesure.

    3.2.2 Filtrage frquentiel

    a) Thorme fondamental des filtres

    Les termes de filtre ou de filtrage sappliquent en gnral plus des sys-tmes dfinis par un produit dans lespace des frquences. De la mmemanire que dans le domaine temporel, nous parlerons de filtrage frquen-tiel comme lopration consistant prlever, interrompre ou seulement at-tnuer tout ou partie des composantes frquentielles dun signal. Ainsi, lespectre S( f ) du signal de sortie s(t) est le produit du spectre E( f ) signaldentre e(t) et de la fonction frquentielle du filtre H( f ) :

    S ( f ) = E ( f ) H ( f )

    La modification quentrane ce filtrage frquentiel au niveau de la re-prsentation temporelle e(t) est donne en appliquant le thorme de Plan-cherel la relation prcdente :

    S ( f ) = E ( f ) H ( f ) F s (t) = e (t) h (t) (3.9)

    Le thorme fondamental des filtres sappuie sur la dfinition mme desfiltres comme systmes de convolution. Le filtre est dfini par sa rponseimpulsionnelle, note h(t), et par sa fonction de transfert, note H( f ) ou

  • 40 3 Systmes de transmission. Filtrage

    H(p) rciproquement transforme de Fourier ou de Laplace de h(t) (cf. an-nexes). La rponse s(t) dun tel filtre un signal dentre e(t) est donnepar les oprations des relations 3.9, soit :

    Convolution dans lespace temps

    s (t) = e (t) h (t) =4 +

    e (t) h (t t) dt (3.10)

    Produit dans lespace des frquences (transforme de Fourier ou deLaplace) :

    S ( f ) = E ( f ) H ( f ) ou S (p) = E (p) H (p) (3.11)De plus, dans la pratique, un filtre sera souvent caractris par sa r-

    ponse indicielle sind(t), cest--dire sa rponse un chelon unit u(t) :

    sind (t) = u (t) h (t) =4 +

    0u (t) h (t t) dt (3.12)

    La relation de base 3.10 peut prendre diffrentes formes suivant les ca-ractristiques temporelles des signaux e(t) et h(t) :

    h(t) causal (filtre ralisable : cf. paragraphe suivant) :

    s (t) =4 t

    e (t) h (t t) dt

    e(t) causal (exemple du signal u(t) chelon unit ) :

    s (t) =4 +

    0e (t) h (t t) dt

    e(t) et h(t) causaux :

    s (t) =4 t

    0e (t) h (t t) dt

    partir de ces relations, il est possible de dterminer la rponse uneaction ou signal dentre quelconque.

    Mais il peut tre trs intressant de passer dans le domaine frquentielpour dterminer la rponse, car lopration raliser est alors un produit

  • 3.2 Filtrage 41

    simple. Le passage du domaine temporel au domaine frquentiel pour lesignal dentre se fait par transforme de Fourier ou de Laplace, de mmele retour dans le domaine temporel pour le signal de sortie se fait par lestransformations inverses (le calcul de ces transformes se faisant partirdes tables des fonctions usuelles, des proprits et des rgles opratoiresde base). Soit le chemin de calcul suivant :

    Action RponseDomainetemporel e(t)

    FILTRE(convolution par h(t)) s(t)

    Transformede Fourier oude Laplace

    Transformede Fourier oude Laplace

    Domainefrquentiel E( f ) ou E(p)

    FILTRE(produit par H( f ) ou H(p)) S( f ) ou S(p)

    Une des applications les plus importantes de ce processus est le calculde la rponse de filtres en chane. Si n filtres, caractriss par leur rponseimpulsionnelle hi(t) et leur fonction de transfert Hi( f ) ou Hi(p), sont misen srie, on peut les remplacer par un filtre quivalent dont la rponseimpulsionnelle peut tre calcule par :

    h (t) = h1 (t) h2 (t) hn (t)Ce calcul est relativement difficile effectuer. Par contre le calcul de la

    fonction de transfert quivalente sera trs simple :

    H ( f ) = H1 ( f ) H2 ( f ) Hn ( f ) =n3i=1

    Hi ( f )

    Il est toutefois trs important de noter que ce calcul nest possible quesi la mise en chane des filtres ne modifie pas leurs caractristiques, cest--dire si limpdance de sortie du filtre est trs petite par rapport limp-dance dentre du filtre suivant. Cette condition sera remplie en particulierdans le cas des filtres numriques (cf. chapitre 8).

  • 42 3 Systmes de transmission. Filtrage

    b) Filtres ralisables

    Un filtre est ralisable si sa rponse impulsionnelle h(t) est nulle pour t

  • 3.2 Filtrage 43

    Filtre passe-bas du premier ordre (cf. paragraphe suivant) :

    H1 (p) =1

    1 + t p avec t le temps de rponse

    Filtre passe-haut du premier ordre (cf. paragraphe suivant) :

    H2 (p) =t p

    1 + t p avec t le temps de rponse

    Filtre passe-bas du deuxime ordre :

    H3 (p) =1

    1 + 2 j t p + (t p)2 avec j le coefficient damortissement

    Filtre passe-haut du deuxime ordre :

    H4 (p) =(t p)2

    1 + 2 j t p + (t p)2 avec j le coefficient damortissement

    Remarque : Posons la question de la faisabilit dun filtre passe-basidal de frquence de coupure Fc. Le spectre de ce filtre peut tremodlis par la fonction porte H ( f ) = P2F ( f ) . Dans ce cas, la r-ponse impulsionnelle du filtre est la transforme de Fourier inversede cette fonction de transfert, soit h (t) = sinc (2Fct) . On constateque la rponse impulsionnelle h(t), ainsi obtenue, nest pas cau-sale. Par consquent, nous pouvons en dduire quun filtre passe-bas idal nest pas ralisable.

    c) Exemples de filtres

    Nous allons analyser les fonctionnements temporel et frquentiel des deuxpremiers filtres de base (filtre passe-bas et filtre passe-haut du premierordre) en tudiant la fonction de transfert H( f ), la rponse impulsionnelleh(t), la rponse indicielle sind(t) et la rponse une rampe sr(t) des deuxfiltres.

  • 44 3 Systmes de transmission. Filtrage

    Filtre passe-bas du premier ordre :La rponse du filtre passe-bas du premier ordre se calcule partir de

    lquation diffrentielle suivante :

    e (t) = R C ds (t)d t

    + s (t) avec t = RC la constante de temps du filtre

    La fonction de transfert H( f ) ou H(p) est le rapport des tensions desortie et dentre vide (sortie ouverte) en rgime harmonique tabli :

    H ( f ) =S ( f )E ( f )

    =1

    1 + j2ptfou H (p) =

    11 + tp

    avec le ple p = 1/t

    Ltude dun filtre se fait gnralement en dcrivant lvolution du mo-dule et de la phase de la fonction de transfert en fonction de la frquence.Reprsentant le rapport du signal de sortie s(t) au signal dentre e(t), lemodule de la fonction de transfert, appel gain du filtre Gdb, est donn endb suivant la convention de la relation 3.3. Dans le cas du filtre passe-basdu premier ordre, nous avons les deux expressions suivantes :

    Gdb = 10 log1081 + (2ptf )2

    :et w = Arctg (2ptf )

    partir de lexpression du module de la fonction de transfert, on tracela courbe de gain du filtre qui est appele aussi diagramme de Bode (cf. fi-gure 3.3). Dans ce plan de Bode (Gdb, log( f )), on peut reprsenter soit lacourbe relle, soit seulement les droites asymptotiques cette courbe. Lafrquence particulire (Fc = 1/2pRC) est appele frquence de coupuredu filtre et, pour cette valeur, le gain vaut 3 db. partir de lexpressionde la phase, on obtient la courbe de phase du filtre. La phase tant ngativepour toutes les valeurs de la frquence, le filtre sera dit retard de phase : lesignal de sortie est en retard par rapport au signal dentre (cf. figure 3.4).

    partir de lexpression de H( f ), la transforme de Fourier inverse per-met dobtenir la rponse impulsionnelle du filtre en utilisant la transformesuivante (cf. chapitre 2) :

    s(t) = A u(t) eat F S( f ) = Aa + j2pf

  • 3.2 Filtrage 45

    Gdb log( )fFc = 1/2 = 1/2RC

    courbe relle

    0

    3

    diagrammeasymptotique

    pente : 6 db/octave20 db/dcade

    Figure 3.3 Courbe de gain ou diagramme de Bode dun filtre passe-basdu 1er ordre.

    phase log( )fFc =1/2 = 1/2RC

    courbe relle

    0

    /4

    diagrammeasymptotique

    /2

    Figure 3.4 Courbe de phase dun filtre passe-bas du 1er ordre.

    soit le rsultat suivant prsent sur la figure 3.5 :

    h(t) =1t u(t) e tt

    partir de lexpression de h(t) et de la relation gnrale 3.13, donnant larponse indicielle dun filtre, nous avons la rponse indicielle dun filtrepasse-bas du premier ordre (cf. figure 3.6) :

    sind(t) =1t4 u

    0u(u) e ut du = ( 1 e tt ) u (t)

    partir de la relation 3.10 reprsentant lopration de convolution ra-lise par le filtre et lexpression de h(t), la rponse du filtre un signal

  • 46 3 Systmes de transmission. Filtrage

    h t( )

    tt =

    1/

    et /

    Figure 3.5 Rponse impulsionnelle dun filtre passe-bas du 1er ordre.

    h t( )

    tt =

    10,9

    t = 2,3.

    Figure 3.6 Rponse indicielle dun filtre passe-bas du 1er ordre.

    causal quelconque e(t) peut tre crite sous la forme suivante :

    s(t) =1t u(t)

    4 t0

    eut e (t u) du

    ou

    s(t) =1t e tt u(t)

    4 t0

    e+ut e (u) du

    Cette dernire expression permet par exemple de calculer simplementla rponse dun filtre une entre de type rampe limite en temps (cf. fi-gure 3.7). Lexpression de cette entre causale est :

    e(t) = t/t0 pour t [0,t0] et e(t) = 1 pour t [t0, + ]

  • 3.2 Filtrage 47

    Le signal de sortie sr(t) va donc tre le rsultat suivant prsent en deuxparties selon les valeurs de t :

    sr(t) =1t0

    u(t) [t t (1 e tt )] pour t [0,t0]

    sr(t) = u(t) [1 tt0 (1 e t0t ) e tt ] pour t [t0, + ]

    Ces deux courbes se raccordent au point t = t0. Cette sollicitation dutype rampe est utilise dans le domaine de lautomatique o elle corres-pond la commande progressive dun actionneur pour arriver la valeurde consigne, cet actionneur tant modlis par un oprateur retard. On v-rifie en particulier le retard de t = RC de la sortie sur lentre. Suivantles valeurs respectives de t et t0, le signal de sortie a des reprsentationsdiffrentes; la figure 3.7 correspond un cas intermdiaire avec une valeurdu rapport t/t0 infrieur 1.

    sr( )t

    tt =

    1

    t = t0

    rampe

    pente 1/t0rponse

    Figure 3.7 Rponse dun filtre passe-bas du 1er ordre un signalde type rampe limite en temps.

    Filtre passe-haut du premier ordre :La rponse du filtre passe-haut du premier ordre se calcule partir de

    lquation diffrentielle suivante :

    R C de (t)d t

    = R C ds (t)d t

    + s (t)

    avec t = RC la constante de temps du filtre

  • 48 3 Systmes de transmission. Filtrage

    La fonction de transfert H( f ) ou H(p) est le rapport des tensions desortie et dentre vide (sortie ouverte) en rgime harmonique tabli :

    H ( f ) =S ( f )E ( f )

    =j2ptf

    1 + j2ptf

    ou H (p) =tp

    1 + tpavec le ple p = 1/t et le zro p = 0

    Dans le cas du filtre passe-haut du premier ordre, nous avons les deuxexpressions du gain du filtre et de la phase suivantes :

    Gdb = 20 log10'2ptf/

    F1 + (2ptf )2

    (et w = Arctg

    !1/2ptf

    " partir de lexpression du module de la fonction de transfert, on trace la

    courbe de gain du filtre, diagramme de Bode (cf. figure 3.8). La frquenceparticulire (Fc = 1/2pRC) est appele frquence de coupure du filtre et,pour cette valeur, le gain vaut 3 db. partir de lexpression de la phase,on obtient la courbe de phase du filtre. La phase tant positive pour toutesles valeurs de la frquence, le filtre sera dit avance de phase : le signal desortie est en avance par rapport au signal dentre (cf. figure 3.9).

    Gdb log( )fFc = RC =1/2 1/2

    courbe relle

    0

    3

    diagrammeasymptotique

    pente : 6 db/octave20 db/dcade

    Figure 3.8 Courbe de gain ou diagramme de Bode dun filtre passe-hautdu 1er ordre.

    partir de lexpression de H( f ), la transforme de Fourier inverse per-met dobtenir la rponse impulsionnelle du filtre en utilisant la transformesuivante (cf. chapitre 2) :

    s(t) = A u(t) eat F S( f ) = Aa + j2pf

  • 3.2 Filtrage 49

    phase

    log( )f

    Fc = RC =11/2 /2

    courbe relle

    0

    /4

    diagrammeasymptotique

    /2

    Figure 3.9 Courbe de phase dun filtre passe-haut du 1er ordre.

    h t( )

    t

    1/

    e t/

    ( )t

    Figure 3.10 Rponse impulsionnelle dun filtre passe-haut du 1er ordre.

    soit le rsultat suivant prsent sur la figure 3.10 :

    h(t) = d (t) 1t u(t) e tt

    partir de lexpression de h(t) et de la relation gnrale 3.13, donnantla rponse indicielle dun filtre, nous avons la rponse indicielle dun filtrepasse-haut du premier ordre (cf. figure 3.11) :

    sind(t) = e tt u (t)

    Considrons en entre un signal de rampe non limit en temps modlisde la faon suivante :

    e(t) = a.t.u(t) pour t 0

  • 50 3 Systmes de transmission. Filtrage

    partir de la relation 3.10 reprsentant lopration de convolution ra-lise par le filtre et lexpression de h(t), on obtient la rponse du filtre unsignal causal rampe dfini ci-avant (cf figure 3.12) :

    sr(t) = a t u (t) n, ai = 0. Donc nous avons un spectre born qui peut trereprsent de faon continue en supposant les raies trs proches, cest--dire la diffrence entre les vi trs petite (cf. figure 4.3). En posant mi = mai,lexpression du signal modul est donne par :

    sOMA (t) = A ,1 +

    n2i=0

    mi cos (vi t)- cos(V t + w)

    Spectre de sOMA( )t

    frquence

    A

    Am/2

    +

    Figure 4.2 Reprsentation unilatrale du spectre de londe moduleen amplitude par un signal sinusodal.

    S f( )

    ai

    ni

    frquence

    Figure 4.3 Reprsentation du spectre born dun signal modulant quelconque.

    Soit :

    sOMA (t) = A cos(Vt+w)+n2i=0

    Ami2

    [cos((Vvi)t+w)+cos((V+vi)t+w)]

  • 4.2 Modulation damplitude 63

    Cette reprsentation conduit une reprsentation spectrale unilatraleSOMA( f ) se prsentant sous la forme dune raie centrale de frquence Videntique au cas prcdent et de deux bandes latrales stendant de V V + vn (bande latrale suprieure) et de V vn V (bande latraleinfrieure) (cf. figure 4.4). La largeur spectrale est donc de 2vn. Ainsi silon dsire transporter par un mme canal plusieurs informations de typebasse frquence (BF), lcart minimal entre les porteuses doit tre de 2vn.

    Remarque : en radiodiffusion o le spectre des signaux BF a tvolontairement tronqu 4,5 kHz, chaque metteur occupe autourde sa frquence porteuse une largeur spectrale de 9 kHz. Ainsi pourla gamme Grandes Ondes (GO), situe entre 150 et 450 kHz,il peut thoriquement tre plac environ 30 metteurs. En ralit,afin dviter toutes les interfrences une zone non utilise, dite desilence, a t place entre les missions et seule une quinzainedmetteurs peuvent coexister.

    4.2.3 Puissance en modulation damplitude

    a) Puissance moyenne de londe porteuse

    Par dfinition, pour un signal de londe porteuse sp(t), nous avons :

    POP =1Tp

    4 Tp

    0[sp(t)]

    2 d t A2

    2avec Tp =

    2pV

    SOMA ( )f

    frquence

    Ami /2

    +nn i +i

    ABande latrale infrieure Bande latrale suprieure

    Figure 4.4 Reprsentation spectrale unilatrale dun signal modulen amplitude par un signal quelconque spectre born.

  • 64 4 Modulation des signaux

    b) Puissance crte de londe module en amplitude

    Pour un signal modul en amplitude, la puissance crte est la puissancemoyenne obtenue lorsque le signal modulant est maximum :

    Pc = POP [1 + m]2 pour |s(t)|max 1

    c) Puissance moyenne de londe module en amplitude

    tant donn que nous avons T0 Tp (T0 la priode du signal modulants(t)), le signal s(t) peut tre considr comme constant sur cette priode.Ainsi le calcul de la puissance de lOMA sur la priode de la porteuse Tpdonne :

    POMA =A2

    2 [1 + m s (t)]2

    Le calcul de la puissance de lOMA sur la priode du signal modulantest :

    POMA =1T0

    4 T0

    0A2 [1 + m s (t)]2 cos2 (V t) d t

    soit :

    POMA =A2

    2T0

    )4 T00

    [1 + m s (t)]2 d t +4 T0

    0[1 + m s (t)]2 cos (2Vt) d t

    *

    Or, comme le signal s(t) peut tre considr comme constant sur la p-riode de londe porteuse Tp, il vient :

    POMA =A2

    2 T0 4 T0

    0

    m2. Donc la fonction Jk(m1) sera petite pourn = 1 + m1. Cette condition implique que la fonction Jp(m2) soit aussi defaible valeur puisque si n = 1+m1 et m1 > m2, alors n = 1+m1. Ainsi la va-leur n est dfinie par lindice de modulation de la frquence la plus petite,mais la largeur spectrale sera obtenue pour la frquence la plus grande :

    Lu,OMF 2(1 + m1)v2 avec m1 = DVv1

  • 80 4 Modulation des signaux

    e) Spectre de londe module en frquence :cas dun signal deux niveaux

    Lorsque le signal s(t) est un signal numrique, on associe une frquencedonne chacun de ses tats. Dans le cas dune transmission dun signalbinaire (transmission sur rseaux informatiques), deux frquences sont uti-lises (cf. figure 4.6). Cette modulation peut tre effectue par autant dos-cillateurs quil y a dtats numriques et alors le signal modul a une phasediscontinue ou par un oscillateur command par tension (VCO : VoltageControlled Oscillator) et alors le signal modul a une phase continue. Horsla discontinuit de phase a pour effet dtaler le spectre du signal (intro-duction de transitions raides) ; on prfre donc en gnral la modulationde frquence continuit de phase du fait de la bande passante limite dessupports de transmission.

    Dans ce cas, en considrant u la dure de base dun bit bi du signalnumrique, lexpression de londe module en frquence est :

    sOMF (t) = A cos#2p (F0 + Df bi) t + wi

    $pour t [iu,(i + 1)u]

    et la frquence instantane fi(t) et lindice de modulation m sexprimentpar :

    fi (t) = F0 + D f bi (t) avec f1 = F0 D f fi (t) f2 = F0 + Dfet

    m =2pD f

    2p!1/2u

    " = 2 D f uLe spectre de ce signal modul en frquence continuit de phase est

    donn par lexpression suivante (cf. figure 4.10) :

    SOMF ( f ) =2A2D f

    (pu)2 sin

    2 (pu( f D f )) sin2 (pu( f + D f ))1 cos (2puD f ) cos (2puf ) + ! f 2 D f 2" cos2 (2puD f )

    Pour dfinir le meilleur indice de modulation, on peut chercher un com-promis entre les deux caractristiques suivantes :

    le coefficient de corrlation entre les deux tats du signal permet demesurer la probabilit derreur la rception. Celle-ci est minimale pourm = 0,715

  • 4.3 Modulation exponentielle 81

    la largeur spectrale est dfinie comme la bande de frquence rassemblant95 % de la puissance, alors le spectre le plus troit est obtenu pour unindice de m = 0,64 .

    Soit lexemple des systmes de transmissions numriques (modemsconformes lavis V23 du CCITT), qui utilisent une modulation de fr-quence deux valeurs frquences : 1 300 Hz et 2 100 Hz (doD f = 400 Hz et F0 = 1 700 Hz). La rapidit de modulation tant de1 200 bit/s (1/u), lindice de modulation est de (800(1/1 200)) = 0,66.

    f

    SOMF( )f

    F0

    m = 1,4

    F0 f F0 + f

    m = 0,9

    m = 0,5

    Figure 4.10 Spectre dun signal modul en frquence par un signal numrique.

    f) Les mthodes de modulation de frquence

    Les principales mthodes de modulation de frquence sont au nombre dedeux : le modulateur indirect de Armstrong et le modulateur direct.

    Le modulateur indirect de Armstrong est bas sur un circuit intgra-teur dans lequel est inject le signal modulant basse frquence suivi dunmodulateur damplitude sans porteuse du type modulateur en anneau. Cesignal obtenu est additionn au signal de la porteuse dphase de p/2,dj utilise pour la modulation damplitude, et enfin le signal rsultant estcrt pour obtenir un signal amplitude constante. Il est intressant denoter que le modulateur dArmstrong sans le module dintgration est unmodulateur de phase.

  • 82 4 Modulation des signaux

    Le modulateur direct consiste modifier, au rythme du signal basse fr-quence, la frquence de fonctionnement dun oscillateur. Cette dernire esten gnral dfinie par la valeur dune capacit. La mthode de loin la plusrpandue consiste utiliser une diode capacit variable ou varicap. Eneffet une jonction P-N polarise en sens inverse se comporte comme unecapacit dont la valeur est inversement proportionnelle la racine carrede la tension ses bornes.

    g) Les mthodes de dmodulation de frquence

    Aprs un amplificateur haute frquence (HF), un rcepteur complet pourune onde module en frquence se compose en premier lieu dun systmede changement de frquence. Sur les entres dun circuit mlangeur oudun multiplieur sont envoys le signal de londe module en frquencesOMF(t) et le signal sOL(t) en provenance dun oscillateur local, accordpar lutilisateur du rcepteur :

    sOMF (t) = A cos (Vt + m sin(vt))

    sOL (t) = AL cos (VLt)

    Le signal de sortie sm(t) est donc constitu de deux signaux centrs surV VL et sur V + VL (respectivement bandes latrales infrieure et sup-rieure) :

    sm (t) = kAAL#cos ((V VL)t + m sin(vt)) + cos ((V + VL)t + m sin(vt))

    $Un filtre de moyenne frquence ou encore de frquence intermdiaire

    Fi = Vi/2p (FI) permet de slectionner la bande latrale infrieure unique-ment. Le signal sFI(t), rsultat de ce changement de frquence, est donc :

    sFI (t) = kAAL#cos (Vit + m sin(vt))

    $avec Vi = V VL

    Le systme daccord est organis de telle sorte que cette frquence in-termdiaire soit indpendante de la frquence dmission. Ceci permetdajuster dfinitivement tous les paramtres de lamplificateur interm-diaire et du dmodulateur de frquence. Par exemple, dans le cas de la

  • 4.3 Modulation exponentielle 83

    radiodiffusion en modulation de frquence, cette frquence intermdiairea t fixe par convention 10,7 MHz.

    Cet amplificateur est en gnral suivi dun limiteur damplitude. En ef-fet, les variations damplitude, qui ne transportent aucune information, nepourraient contribuer qu perturber la phase suivante : la dmodulationde frquence. Le circuit dmodulateur de frquence ou discrimina-teur de frquence doit fournir un signal proportionnel la dviation defrquence du signal sFI(t) par rapport la frquence intermdiaire Fi.

    Parmi les nombreux systmes plus ou moins complexes et performantsde dmodulation de frquence qui existent, nous ntudierons les principesque de quelques uns :

    Transformation en modulation damplitude : ce systme utilise un cir-cuit rsonnant du type RLC, accord sur une frquence f0. Nous savonsque si une tension damplitude constante et de frquence f est appli-que un tel circuit, la tension de sortie a une amplitude fonction de laposition relative de f0 et f . Selon le coefficient de surtension du circuitrsonnant, une faible variation de f se traduit par une variation propor-tionnelle de lamplitude. Do le passage une modulation de type am-plitude quil faut ensuite dmoduler par les mthodes vues au chapitreprcdent.

    Discriminateurs dphasage ou variation de phase : le principe de cescircuits utilise le fait que si les enroulements primaire et secondaire duntransformateur sont accords et fortement coupls, les tensions sont enquadrature la rsonance et leur dphasage varie presque linairementautour de cette frquence de rsonance.

    Dmodulateur de frquence par comptage : le principe de ce dmodula-teur consiste en un premier temps raliser une transformation du signaldentre en crneaux par crtage ou par comparateur. Le signal carrainsi obtenu, de frquence identique au signal initial, est diffrenci afindobtenir des impulsions qui sont mises en forme par un circuit mono-stable. Ainsi, le signal obtenu est une suite dimpulsions de largeur et

  • 84 4 Modulation des signaux

    damplitude fixe dont la priodicit est celle du signal dentre. Sa va-leur moyenne est donc rigoureusement proportionnelle la frquence dece dernier. Un intgrateur permet directement dobtenir le signal modu-lant recherch.

    Dtection dune onde module en frquence par une boucle dasservis-sement de phase : une boucle dasservissement ou verrouillage de phase(PLL : phase lock loop) est un circuit compos dun oscillateur fr-quence qui fournit un signal de frquence proportionnelle une tensiondentre et dun circuit comparateur de phase qui fournit un signal quiest fonction du dphasage entre les signaux, supposs sinusodaux et demme frquence, appliqus ses deux entres. Dans notre cas le signaldentre du dtecteur de phase est le signal modul en frquence (signal Fi) et la sortie de ce circuit fournit un signal proportionnel la va-riation de frquence : rsultat recherch. La boucle asservissement dephase est donc un dmodulateur de frquence idal, la seule condition satisfaire est que la vitesse de variation de la frquence soit infrieure la frquence de coupure de la boucle.

    4.3.3 Modulation de phase

    La modulation en phase dune porteuse par un signal BF est quivalente une modulation de frquence par la drive du signal informatif. Parconsquent, tout ce qui a t dvelopp pour la modulation de frquencesapplique. Cette modulation est la plus employe pour la transmissiondes signaux numriques. En effet elle ralise un bon compromis puis-sance/efficacit spectrale, cest dire le meilleur nombre de bits par se-conde et par hertz de bande passante . Cette notion a dj t voquedans la modulation damplitude deux porteuses en quadrature (cf. cha-pitre 4.2).

    a) Modulation de phase pour la transmissionde signaux numriques

    Pour minimiser la probabilit derreur, les diffrents tats de la phase sontrgulirement rpartis sur lintervalle disponible [0,2p]. Pour des raisons

  • 4.3 Modulation exponentielle 85

    techniques de dmodulation avec une probabilit derreur acceptable, onne dpasse pas 8 valeurs de phase.

    Dans la cas dun signal cod binaire, la modulation deux phases scrit :

    s (t) = A cos (2pF0t + wi) avec wi = p (selon la donne 0 ou 1)La densit spectrale S( f ) du signal modul en phase dpend de la dure

    dun bit gale au temps u, soit :

    modulation cohrente (F0 = k/u) :

    SOMF ( f ) =A2

    u2 sin

    2 (puf )

    p2!f 2 F0

    "2 f 2 modulation non cohrente (F0 = k/u) :

    SOMF ( f ) =A2

    u2>

    sin2 (pu( f F0))p2 ( f F0)2

    +sin2 (pu( f + F0))

    p2 ( f + F0)2

    A

    Si F0 1/u (k trs grand), les deux expressions sont quasiment iden-tiques et le spectre est centr autour de F0. Pour augmenter le dbit binaireen conservant la frquence de modulation (1/u), il suffit daugmenter lenombre dtats de phase (cf. figure 4.11).

    0 1 00 11 000

    01

    10

    001

    011010

    110

    111

    101100

    (a) (b) (c)

    Figure 4.11 Reprsentation vectorielle dun signal modul en phase deux valeurs (a), quatre valeurs (b) et huit valeurs (c). Dans le cas (c),le code est tel quun seul bit change lorsque lon passe dun tat dephase au plus proche voisin (code de Gray).

  • 86 4 Modulation des signaux

    b) Dmodulation des signaux moduls en phasepour la transmission de signaux numriques

    La rception et la dmodulation des signaux moduls en phase peuventse raliser avec deux types de dmodulateurs : dmodulateur cohrent etdmodulateur diffrentiel.

    Le principe du dmodulateur cohrent est lutilisation dun oscillateurlocal synchronis sur la frquence de la porteuse. Le signal reu est multi-pli par le signal de loscillateur local dphas des mmes tats utiliss lamodulation; la sortie de ces circuits multiplieurs est soumise un filtragepasse-bas qui indique sil y a identit entre le signal reu et un des signauxdu rcepteur.

    La dmodulation diffrentielle consiste multiplier le signal reu par lesignal reu prcdent (retard de u). La phase du signal reu tant wi et celledu signal retard wi1, un filtrage passe-bas de la sortie permet dobtenirun signal proportionnel cos(wi wi1) et de dterminer le saut de phase0 ou p.

    c) Modulations combines damplitude et de phase

    Au lieu de faire correspondre les diffrents tats du signal numrique lundes paramtres caractristiques de londe porteuse (amplitude, frquenceou phase), on peut utiliser la fois deux paramtres. Cest lassociationsimultane amplitude Ai et phase wi qui a t retenue. Le signal modulest le suivant :

    sOMF (t) = Ai cos [2pF0t + wi] pour t [iu,(i + 1)u]Un cas particulier est la modulation damplitude deux porteuses en

    quadrature (MAQ). Dans le diagramme spatial reprsentatif de la modula-tion, chaque tat du signal numrique est reprsent par un point M(Ai,wi).Si nous considrons 16 tats (quatre valeurs damplitude : 2 codes avecA1 et 2 codes avec A2), le signal modul scrit (cf. figure 4.12) :

    sOMF (t) = A1cos [2pF0t + w]+A2sin [2pF0t + w] avec A1,2 = 1 et 3

  • 4.3 Modulation exponentielle 87

    Nous pouvons remarquer que, comme prcdemment, on utilise un co-dage de type code de Gray.

    0000

    1

    3

    1

    3

    1 313

    0100 1100 1000

    0010 0110 1110 1010

    0011

    0001

    1011

    1001

    0111

    0101 1101

    1111

    Figure 4.12 Diagramme spatial de la modulation damplitude deuxporteuses en quadrature avec 16 tats.

    4.3.4 Modulation primaire/secondaire

    Dans certaines applications o le signal informatif transmettre est com-plexe form de plusieurs parties indpendantes (image et son, son stro-phonique, etc.), il est possible dutiliser deux fois successivement le prin-cipe de la modulation, appele modulation primaire et modulation secon-daire. Pour concrtiser cette mthodologie, nous allons considrer lexempleapplicatif des missions radiophoniques strophoniques FM.

    La radiodiffusion strophonique doit transmettre les signaux g(t) etd(t) correspondant aux deux voies (gauche et droite). Chacun de ces si-gnaux a une largeur spectrale identique permettant dassurer une trs grandequalit sonore : 15 Hz 15 KHz. On supposera que lamplitude du spectreest constante et gale 1 sur toute cette largeur spectrale (spectre intgrtemporellement).

    Pour permettre une utilisation de ces missions par des rcepteurs mo-nophoniques, les deux signaux mis sont en ralit les signaux m(t) et s(t)tels que :

    m(t) = g(t) + d(t) signal utilis par les rcepteurs monophoniquess(t) = g(t) d(t)

  • 88 4 Modulation des signaux

    Les signaux m(t) et s(t) tant forms partir de la somme des signauxg(t) et d(t), ils possdent la mme largeur spectrale. Le spectre dunesomme de signaux est gale la somme des spectres des diffrents si-gnaux. La figure 4.13 reprsente schmatiquement ces spectres M( f ) etS( f ) des signaux m(t) et s(t) en supposant un spectre intgr sur le tempset normalis 1 (analyse frquentielle des missions radiophoniques sur untemps long). La largeur spectrale utilise sera suppose gale 15 KHz. la rception, la reconstitution des signaux g(t) et d(t) partir des signauxm(t) et s(t) est trs simple :

    g(t) = [m(t) + s(t)]/2 et d(t) = [m(t) s(t)]/2

    Pour transmettre les deux signaux m(t) et s(t) sur le mme canal detransmission (mme onde porteuse finale), le signal s(t) est utilis pour mo-duler en amplitude une onde, dite sous-porteuse, de frquenceFSP = 38 KHz et damplitude gale 1. Cette modulation damplitudeest une modulation damplitude sans porteuse avec un indice de modula-tion gal 1 (OMA/SP). Un signal r(t) est form de la somme du signalm(t), de la sous-porteuse module par le signal s(t) et dun signal sinuso-dal pur de frquence F0 = 19 KHz et damplitude 1. Le signal r(t) peutscrire sous la forme simplifie suivante :

    r(t) = m(t) + sOMA{s(t),FSP} + sin(2pF0t)

    Dans une reprsentation frquentielle unilatrale, le spectre R( f ) de cesignal sexprime par :

    R( f ) = M( f ) + SOMA( f ) + d( f F0)

    Le spectre, reprsent sur la figure 4.14, permet de dterminer une lar-geur spectrale de 53 KHz. La modulation damplitude tant sans porteuse,il napparat pas de raie 38 KHz.

    Cette largeur spectrale pourrait tre rduite si, au lieu dutiliser unemodulation damplitude complte, il avait t considr une modulation bande latrale unique (bande latrale infrieure). Dans ce cas la largeurspectrale aurait t denviron 38 KHz.

  • 4.3 Modulation exponentielle 89

    frquence

    M f S f( ), ( )

    15 KHz

    1

    Figure 4.13 Reprsentation spectrale des signaux mettreen radiodiffusion FM.

    f (KHz)

    R f( )

    15

    1

    18 23 5338

    f= 53 KHz

    Figure 4.14 Reprsentation spectrale R(f ) du signal intermdiaire r(t).

    Pour permettre