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303
Maurice Chossat • Yannick Privat Aide-mémoire Mathématiques de l’ingénieur 2 e édition http://fribok.blogspot.com/

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  • Maurice Chossat Yannick Privat

    Aide-mmoire

    Mathmatiquesde lingnieur

    2e dition

    http://fribok.blogspot.com/

  • Illustration de couverture : Vladimir Popovic - Fotolia.com

    Dunod, Paris, 2001, 2010 Bordas, Paris, 1967 pour la premire dition

    ISBN 978-2-10-054822-4

    http://fribok.blogspot.com/

  • TABLE DES MATIRES

    1 Arithmtique algbre et trigonomtrie 11.1 Symboles usuels de lalgbre 11.2 Structures algbriques 21.3 Calculs dans lensemble des nombres rels 31.4 Numration binaire 71.5 Algbre de la logique ou algbre de boole 101.6 Analyse combinatoire 111.7 quations algbriques 141.8 Dterminants systmes linaires et matrices 201.9 Fonctions usuelles simples 321.10 Croissance et limites 381.11 Nombres complexes ou imaginaires 401.12 Trigonomtrie 421.13 Sries 52

    2 Analyse 672.1 Drives et diffrentielles 672.2 Intgrales 752.3 quations diffrentielles 1132.4 quations intgrales 1262.5 Calcul des variations 1282.6 Optimisation dans n 130

    V

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  • VI

    3 Fonctions diverses 1413.1 Intgrales de Fresnel 1413.2 Sinus intgral et cosinus intgral 1413.3 Fonction ( x) ou fonction derreur et fonction ( x) 1433.4 Fonctions eulriennes 1433.5 Fonction hypergomtrique 1473.6 Fonctions de Bessel 1483.7 Fonctions de Kelvin 1563.8 Srie et polynmes de Legendre 1573.9 Fonction de Weber-Hermite 1593.10 Polynmes de Tchebycheff 1613.11 Polynmes de Laguerre 1643.12 Polynmes dinterpolation de Lagrange 165

    4 Algbre des transformations 1674.1 Transformation de Laplace 1674.2 Transformation de Fourier 1864.3 Transformation de Mellin 1884.4 Transformations rciproques et transformation de Hankel 191

    5 Calcul vectoriel et calcul tensoriel 1955.1 Calcul vectoriel 1955.2 Vecteurs glissants. Moments 1985.3 Analyse vectorielle 2015.4 Calcul tensoriel 206

    6 Gomtrie 2136.1 Birapport, critre de cocyclicit 2136.2 Gomtrie et formules du triangle 2146.3 Gomtrie analytique 2226.4 Proprits mtriques des courbes planes 2336.5 Courbes en coordonnes polaires r = f () 235

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  • 6.6 Problmes relatifs au cercle 2376.7 Coniques 2406.8 Gomtrie dans lespace 252

    7 Probabilits et statistiques 2757.1 Probabilits 2757.2 lments de statistiques 293

    Index alphabtique 305

    VII

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  • D

    unod

    L

    a ph

    otoc

    opie

    non

    aut

    oris

    e e

    st u

    n d

    lit.

    1 ARITHMTIQUEALGBRE ET TRIGONOMTRIE

    1.1 Symboles usuels de lalgbreSymboles Symboles dits quantificateurs

    signifie quel que soit ; par exemple a E, quel quesoit a appartenant E.

    signifie il existe ; par exemple a E, il existe a appar-tenant E, tel que ... .

    a E a est un lment de lensemble E.a E a nappartient pas E.

    Symbole de linclusion signifiant que F est un sous-ensemble de E, cest--dire contenu dans E et pouvanttre E lui-mme.

    Ensemble vide.E F Intersection de E et de F ; ensemble des lments

    communs E et F.E F Runion de E de F ; ensemble des lments appartenant

    soit E, soit F, soit leur intersection.CA Complmentaire de A sous-ensemble de E ; on a

    A CA = .a b = c Relation exprimant que c est le rsultat de lopration

    interne effectue sur a et b lments de E. On trouve aussi :

    a b ; a * b ; a + b ; a . b.a e = e a = a e est llment neutre de lopration .

    a a = e a et a sont des lments symtriques dans lopration .aRb a et b satisfont une relation binaire dsigne par R.

    x lment de E sapplique sur y, lment de F.y f (x) Lapplication est bijective.

    f o g application compose signifiant y f [g(x)] ; ne pasconfondre avec g o f signifiant y g[f (x)].

    a modulo n signifie a + Kn, quel que soit K entier relatif.| a | valeur absolue ou module de a.

    E FF E{

    y f x( )

    1

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  • 2

    1.2 Structures algbriques

    1.2 Structures algbriquesA) Groupe : ensemble G non vide possdant une loi de composition internesatisfaisant aux axiomes suivants :1 a, b, c G : (a b) c = a (b c) (associativit),2 e G, a : a e = e a = a (e, lment neutre),3 a G, a : a a = a a = e (a , symtrique),Groupe ablien : a, b G : a b = b a (commutativit). Proprits :a, b, c G, a c = b c a = b, c a = c b a = b (tout lmentest rgulier) ;a, b G, x G tel que a x = b : x = a bet x a =b : x = b a.Sous-groupe : G G est un sous-groupe de G si a, b G : a b G(b symtrique de b dans G).B) Anneau : ensemble A muni de deux lois de composition interne satisfai-sant aux axiomes suivants : I. A est un groupe ablien pour la premire loi (addition) :1 a, b, c A : (a + b) + c = a + (b + c) ; 2 0 A, a : a + 0 = 0 + a = a ;3 a A, ( a) : a + ( a) = ( a) + a = 0 ;4 a, b A : a + b = b + a.II. a, b, c A : (ab) c = a(bc) (associativit de la multiplication).III. a, b, c A : a(b + c) = ab + ac, (a + b) c = ac + bc (distributivit). Anneau unitaire : e A, a : ea = ae = e(e, lment neutre pour la deuxime loi, appel unit).Anneau dintgrit : a # 0, b # 0 ab # 0 (pas de diviseurs de zro).Proprits : a, b : ( a) b = a( b) = ( ab), a : a.0 = 0.a = 0.C) Corps : ensemble K muni de deux lois de composition interne satisfaisantaux axiomes suivants : I. K est un groupe ablien pour la premire loi (addition).1 a, b, c K : (a + b) + c = a +(b + c),2 0 K, a : a + 0 = 0 + a = a,3 a K, ( a) : a +( a) = ( a) + a = 0,4 a, b K : a + b = b + a.

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  • 1.3 Calculs dans lensembledes nombres rels

    D

    unod

    L

    a ph

    otoc

    opie

    non

    aut

    oris

    e e

    st u

    n d

    lit.

    II. K (priv de 0) est un groupe pour la deuxime loi (multiplication).1 a, b, c K : (ab) c = a(bc),2 e K, a : ea = ae = a,3 a # 0, a1 : aa1 = a1 a = e,III. a, b, c K : a(b + c) = ab + ac, (a + b) c = ac + bc.Corps commutatif (ou droit) : la deuxime loi est commutative.

    1.3 Calculs dans lensemble des nombres rels

    1.3.1 Exposants et radicaux

    Exposants : p, q entiers positifs, ngatifs ou nuls, a et b rels diffrents de 0

    a = 1, ap = , ap aq = ap + q,

    (ap)q = apq, (ab)p = a pb p, = .

    Radicaux : n, q entier positifs, p entier relatif, a et b rels

    = b a = bq, =

    = = = am.

    m, m rationnels, a et b rels positifs

    am am = am + m , (am)m = amm , am = ,

    (ab)m = am bm, = .

    1.3.2 Identits usuelles

    1

    ap

    ----

    a b---- p a

    p

    bp

    ----

    aq anq aqn

    anpnq a

    pq apq--

    1

    am

    -----ab-- m a

    m

    bm

    ------

    a b( )2 a2 2ab b2+=

    a2

    b2

    a b+( ) a b( )=

    aba b +

    2------------- 2 a b

    2------------ 2=

    a b( )3 a3 3a2b 3ab2 b3+=

    3

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  • 4

    1.3 Calculs dans lensembledes nombres rels

    sommation tendue tout ensemble dentiers k1, ..., kn positifs ou nuls telsque k1 + ... + kn = p. Division par (x a)

    xn an = (x a) (xn 1 + axx 2 + + apxn p 1 + + an 1).

    Identit de Lagrange :

    (a2 + b2 + c2) (a 2+ b 2 + c 2) (aa + bb + cc )2 = = (bc cb )2 + (ca ac )2 + (ab ba )2 .

    Thorme de Bezout. Si 2 polynmes A et B sont premiers entre eux,il existe un polynme u de degr < celui de B et un polynme v de degr< A tels que lon ait Au + Bv = 1.

    1.3.3 Sommations usuelles

    Progressions arithmtiques : a premier terme,r raison,n nombre de termes.

    Somme des n premiers termes .

    Progressions gomtriques : q = raison, a = 1er terme,Somme des n premiers termes .

    <

    < < <

    , , ,

    + + + = +

    + + + = + +

    !+ + + = ,! !

    11 2

    2 21 2

    1 1

    3 3 21 2

    1 1 1

    1 2 11

    ( ) 2

    ( ) 3 6

    ( ) n

    n

    n i i ji n i j n

    n i i j i j ki n i j n i j k n

    kp kn n

    nk k k

    a a a a a a

    a a a a a a a a a

    pa a a a a

    k k

    = + + + + + ( ) ( ( 1) )S a a r a n r

    S 2a n 1( )r+[ ]n2

    ---------------------------------------=

    = + + + 1nS a aq aq

    S aq

    n1

    q 1--------------=

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  • 1.3 Calculs dans lensembledes nombres rels

    D

    unod

    L

    a ph

    otoc

    opie

    non

    aut

    oris

    e e

    st u

    n d

    lit.

    Limite de S quand q < 1 et :

    Produit des n premiers termes :

    .

    Sommations sur nombres entiers

    Somme des n premiers nombres entiers :

    S1 = 1 + 2 + 3 + + (n 1) + n =

    Somme des carrs des n premiers nombres entiers :

    S2 = 12 + 22 + 32 + + (n 1)2 + n2 =

    Somme des cubes des n premiers nombres entiers :

    S3 = 13 + 23 + 33 + + (n 1)3 + n3 = = (S1)

    2.

    Somme des quatrimes puissances des n premiers nombres entiers :

    S4 = 14 + 24 + 34 + + (n 1)4 + n4 =

    Somme des nombres impairs :

    1 + 3 + 5 + + (2n 3) + (2n 1) = n2.

    Somme des nombres pairs :

    2 + 4 + 6+ + 2n = 2 S1 = n(n + 1).

    Somme des carrs des nombres impairs :

    12 + 32 + 52 + + (2n 1)2 =

    Somme des carrs des nombres pairs :

    22 + 42 + + (2n)2 =

    Somme des cubes des nombres impairs :

    13 + 33 + 53 + + (2n 1)3 = n2(2n2 1).

    n

    S a1 q-----------=

    P al( )n al( )n2--

    = =

    n n 1+( )2

    --------------------

    n n 1+( ) 2n 1+( )6

    -----------------------------------------

    n n 1+( )2

    --------------------2

    n n 1+( ) 2n 1+( ) 3n2 3n 1+( )30

    -----------------------------------------------------------------------------

    n 2n 1( ) 2n 1+( )3

    --------------------------------------------

    2n n 1+( ) 2n 1+( )3

    --------------------------------------------

    5

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  • 6

    1.3 Calculs dans lensembledes nombres rels

    Somme des cubes des nombres pairs :

    23 + 43 + 63 + + (2 n)3 = 2 n2(n + 1)2 .

    Sommes tires de la relation :

    1 + x + x2 + + xn = (progression gomtrique).

    Drivons :

    1 + 2x + 3x2 + + nxn 1 = , .

    Faisons x = :

    ,

    ou

    En drivant encore une fois, on a :

    2 + 2.3 x + 3.4 x2 + + n(n 1) xn 2 = =

    =

    En faisant x = et en multipliant par et , on a les sommes :

    ,

    Sommations de la forme S = .

    S12 = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n(n 1) = ,

    S123 = 1.2.3 + 2.3.4 + + (n 2)(n 1) n = ,

    .........................................................................................................

    S12...k =

    xn 1+

    1x 1

    ---------------------

    nxn 1+

    n 1+( )xn 1+

    x 1( )2----------------------------------------------------- x 1

    12--

    1 22-- 3

    22

    ----- n

    2n 1

    ------------ 4 1 n 2+

    2n 1+

    ------------ =+ + + +

    12-- 2

    22

    ----- 3

    23

    ----- n

    2n

    ----- 2 1 n 2+

    2n 1+

    ------------ 2 n 2+

    2n

    ------------==+ + + +

    ddx-----nx

    n 1+n 1+( )xn 1+

    x 1( )2-----------------------------------------------------

    n n 1( )xn 1+ 2xn x2 1( ) n n 1+( )xn 1 2+

    x 1( )3-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    12-- 1

    2-- 1

    22

    -----

    22-- 2.3

    22

    ------- 3.4

    23

    ------ n n 1( )

    2n 1

    -------------------+ + + + 23 n

    23n 4+ +

    2n 1

    ---------------------------=

    2

    22

    ----- 2.3

    23

    ------- 3.4

    24

    ------- n n 1( )

    2n

    --------------------+ + + + 22 n

    23n 4+

    2n

    --------------------------=

    n n 1( )n 1+( )n n 1( )

    3-------------------------------------

    n 1+( )n n 1( ) n 2( )4

    ------------------------------------------------------

    n 1+( )n n 1( ) n k 1+( )k 1+

    -----------------------------------------------------------------------

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  • 1.4 Numration binaire

    Dun

    od

    La

    phot

    ocop

    ie n

    on a

    utor

    ise

    est

    un

    dlit

    .

    Sommations de la forme S =

    ,

    1.4 Numration binaireEn numration binaire il ny a que 2 signes (que lon dsigne gnralementpar 0 et 1). Tout nombre, en numration binaire, sexprime par une suite determes forms de 0 et de 1 qui, multiplis par les puissances de 2 successives,donnent la reprsentation dcimale du nombre.

    Exemple : 23 = 16 + 4 + 2 + 1 == 24 1 + 23 0 + 22 1 + 21 1 + 20 1 = 1 0 1 1 1.

    Pour transformer en binaire un nombre exprim en dcimal, il fautcommencer par diviser ce nombre par la plus haute puissance de 2 ycontenue, diviser le reste par la plus haute puissance de 2 contenue dans cereste, etc.Puissances de 2. Exemple : Transformer 365 en numration binaire.

    20 = 121 = 2 La plus haute puissance de 2 contenue :22 = 4 dans 365 est 256 = 28, reste 109 ;23 = 8 dans 109 est 64 = 26, reste 45 ;24 = 16 dans 45 est 32 = 25, reste 13 ;25 = 32 dans 13 est 8 = 23, reste 5 ;26 = 64 dans 5 est 4 = 22, reste 1 ;27 = 128 dans l est 1 = 20, reste 0 ; 28 = 25629 = 512210 = 1 024 365 = 28 1 + 27 0 + 26 1 + 25 1 + 24 0 +211 = 2 048 + 23 1 + 22 1 + 21 0 + 20 1212 = 4 096213 = 8 192 =1 0 1 1 0 1 1 0 1.

    Etc.

    1n n 1( )-------------------

    S11

    1.2------- 1

    2.3------ 1

    n n 1( )-------------------+ + + 1

    n 1----------- 1

    n--

    1 1n--= = =

    S21

    1.3------- 1

    3.5------- 1

    2n 1+( ) 2n 3+( )-----------------------------------------+ + +

    12-- 1 1

    2n 3+---------------

    = =

    S31

    1.2.3----------- 1

    2.3.4----------- 1

    n 2( ) n 1( )n-------------------------------------+ + +

    12-- n

    2n 2

    2n2

    2n----------------------- 1

    4-- 1

    2n n 1( )-----------------------= = =

    7

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  • 8

    1.4 Numration binaire

    Inversement pour transformer un nombre du binaire en dcimal, il faut addi-tionner les puissances de 2 matrialises par le rang du symbole 1.

    Exemple : Transformer 1 0 1 0 1 0 0 = 22 + 24 + 26 = 4 + 16 + 64 = 84.

    Le nombre de signes N utilis en numration binaire est pour exprimer unmme nombre de n chiffres en dcimal,

    Ainsi, un nombre de 9 chiffres en dcimal exigera 30 signes en binaire.

    Oprations en numration binaire

    Table daddition :

    avec report de 1 la colonne suivante pour laddition 1 + 1 = 10.

    ADDITION DE 2 NOMBRES. Se fait comme en dcimal, en additionnant leschiffres de mme rang en commenant par la droite. Quand on a 2 fois 1 lersultat est 0 et on reporte 1 la colonne suivante.

    Exemple : Additionner 27 = 1 1 0 1 1 et 13 = 1 1 0 1.

    1 1 0 1 1

    1 1 0 11 0 1 0 0 0 = 32 + 8 = 40.

    Addition de plusieurs nombres. Il faut procder par rcurrence, addi-tionner les 2 premiers, ajouter le troisime la somme obtenue, etc.

    SOUSTRACTION. Mthode par complmentation.

    Dans le chiffre soustraire on remplace les 1 par 0 et vice versa ; on addi-tionne avec le premier nombre ; on supprime le premier 1 sur la gauche et onajoute 1 au rsultat obtenu.

    Exemple : 83 42 = 41.

    83 = 1 0 1 0 0 1 1

    42 = 1 0 1 0 1 0 ; complment 0 1 0 1 0 1.

    N nlog102-------------- n

    0,301 03--------------------= =

    0 10 0 11 1 0

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  • 1.4 Numration binaire

    Dun

    od

    La

    phot

    ocop

    ie n

    on a

    utor

    ise

    est

    un

    dlit

    .

    Opration 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1

    1 1 0 1 0 0 0 1

    1 0 1 0 0 1 = 32 + 8 + 1 = 41.

    Multiplication. Table de multiplication.

    autrement dit : 1 1 = 1. Tous les autres cas donnent 0. La multiplication soprecomme en dcimal. Tous les produits partiels sont 0 ou le multiplicande.Additionner les produits partiels successivement.

    Exemple : 19 13 = 247 .1 0 0 1 1

    1 1 0 1

    1 0 0 1 1

    0 0 0 0 0

    1 0 0 1 1

    3 premires lignes 1 0 1 1 1 1 1

    quatrime ligne 1 0 0 1 1

    1 1 1 1 0 1 1 1 = 247.

    Remarque. Le nombre de chiffres du produit est au plus la somme desnombres des chiffres du multiplicande et du multiplicateur (ici 5 + 4 = 9).Rgle gnrale quelle que soit la base de numration.DIVISION. La division directe en binaire sopre par soustractions succes-sives, opration assez complique. Les machines qui utilisent la numrationbinaire, oprent par formules itratives utilisant laddition, la soustraction etla multiplication et donnant linverse du diviseur. Il suffit ensuite de multi-plier.

    0 10 0 01 0 1Multiplicateur

    Multiplicande

    9

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  • 10

    1.5 Algbre de la logiqueou algbre de boole

    Binaire dcimal

    Chaque chiffre dcimal de 0 9 est reprsent par sa valeur en binaire normalet un nombre est form de la juxtaposition de ces reprsentations. Parexemple 72 se traduit par 7 = 0 1 1 1 et 2 = 0 0 1 0, soit 0 1 1 1 0 0 1 0. Cettereprsentation utilise dans certaines machines lectroniques na plus aucunrapport avec le binaire normal (elle reprsenterait 114).

    1.5 Algbre de la logique ou algbre de booleLalgbre de Boole opre sur 2 lments seulement que lon reprsente habi-tuellement par 0 et 1. Cette notation indique seulement 2 tats ou 2 posi-tions qui sexcluent mutuellement (par exemple ltat ouvert ou ferm duncontact lectrique, comme nous le verrons plus loin).Une variable de lalgbre de Boole est un symbole qui peut prendre arbitraire-ment lune ou lautre des 2 valeurs 0 et 1. En permutant ces valeurs, onobtient des relations correspondant par dualit avec les relations initiales.Lalgbre de Boole comporte 3 oprations de base :

    1 La somme logique (symbole ) dont la table est celle ci-contre : ce qui veut dire que x y vaut 1 si lune au moins desvariables vaut 1 ou encore si lune ou lautre vaut 1. Si les2 variables valent 0, x y = 0.Quel que soit x, x x = x (idempotence).

    2 Produit logique (symbole.) dont la table est celle ci-contre :ce qui veut dire que x.y vaut 1 si et seulement si les 2 variablesvalent 1 (ou encore si lune et lautre valent 1).Si lune des 2 variables vaut 0, x.y = 0.Quel que soit x, x.x = x (idempotence).On dsigne encore quelquefois ces 2 oprations par lopra-tion ou (somme) et lopration et (produit).3 Ngation ou complmentation. Opration 1 seule variable (symbole xou quelquefois , x barre) qui consiste en ce que le rsultat vaut 1 si lavariable initiale vaut 0 et inversement.On vrifie que ces oprations possdent les proprits suivantes :Commutativit : x y = y x , x.y = y.x.Associativit : x (y z) = (x y) z, a.(b.c) = (a.b).c.Ce qui permet de supprimer les parenthses.

    x

    yx

    0 1

    0 0 1

    1 1 1

    yx

    0 1

    0 0 0

    1 0 1

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  • 1.6 Analyse combinatoire

    Dun

    od

    La

    phot

    ocop

    ie n

    on a

    utor

    ise

    est

    un

    dlit

    .

    Distributivit dune opration par rapport lautre :

    x.(y z) = x.y x.z ,

    x (y.z) = (x y).(x z).

    Proprits de la ngation :

    x x = 1, x.x = 0

    (x y) = x y, (x.y) =x y .

    FONCTIONS DE VARIABLES BOOLENNES x, y, z, ... Cest une quantit binaire(cest--dire qui ne prend que les valeurs 0 et 1) dont la valeur (0 ou 1) estconnue quand on connat les valeurs de x, y, z.

    Dveloppement normal disjonctif :

    Quelle que soit la fonction, on a :

    f (x, y, z, ...) = [f (1, y, z, ...).x f (0, y, z, ...).x.

    Lexpression du premier membre comprend des termes comportant unvariable de moins. On peut donc dvelopper nimporte quelle fonction de nvariables en une expression comportant 2n termes.

    Dveloppement normal conjonctif : driv du prcdent par dualit. Identit debase :

    f (x, y, z, ...) = [f (1, y, z) x ].[f (0, y, z) x] .

    Comporte galement 2n termes.Nombre de fonctions possibles de n variables = 22

    n.

    1.6 Analyse combinatoirePermutations. Nombre de groupes diffrents que lon peut faire avec mobjets en tenant compte de lordre des objets.

    1 Sans rptitions (cest--dire quil y a m objets diffrents et que, par cons-quent, chaque objet figure une seule fois dans chaque groupe) : Pm = m !

    11

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  • 12

    1.6 Analyse combinatoire

    2 Avec rptitions : plusieurs objets semblables peuvent figurer dans chaquegroupe ; nombre de permutations de m objets dont , , , ... semblables,tels que + + + = m

    Exemple :

    m = 4, = 2, = 2 ; .

    a a b b b a b aa b a b b a a ba b b a b b a a.

    Arrangements de m objets p p = nombre de groupes de p objets diffrentsque lon peut former avec m objets diffrents en tenant compte de lordre :

    (Si p = m, on a = Pm = m !).

    Combinaisons de m objets p p = nombre de groupes de p objets diffrentsquon peut former avec m objets sans tenir compte de lordre.

    1 Sans rptition :

    2 Avec rptitions : , que lon

    peut encore mettre sous la forme

    Rptition signifie ici que lon peut faire entrer dans le mme groupeplusieurs fois le mme objet (ou la mme lettre) sans cependant que le totaldes objets diffrents dpasse m.

    Exemple .

    Rm ..., , Pm

    P.P.P...---------------------------- m !

    ! ! ! ...----------------------------= =

    R42 2, 4 !

    2 ! 2 ! --------------- 6= =

    Amp

    m m 1( )... m p 1+( ) m ! m p( ) !

    ---------------------= =

    Amm

    Cmp Am

    p

    Pp------ m !

    p ! m p( ) !----------------------------= =

    Kmp m m 1+( )... m p 1+( )

    p ! ------------------------------------------------------- Cm p 1+

    p= =

    Kmp p 1+( ) p 2+( )... p m 1+( )

    m 1( ) !------------------------------------------------------------------=

    C 43

    4 : K43 4.5.6

    3 !----------- 20= = =

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  • 1.6 Analyse combinatoire

    Dun

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    on a

    utor

    ise

    est

    un

    dlit

    .

    1.6.1 Proprits des combinaisons

    Sans rptitions : = ,

    = + (triangle de Pascal),

    = + + + +

    Avec rptitions : = + = ,

    = + + + + .

    1.6.2 Formule du binme et formules drives

    (x + a)(x + b)...(x + l ) = xm + S1 xm 1 + S2 x

    m 2 + +Sp xm p + +Sm,

    avec :

    S1 = a + b + c + + l,

    S2 = ab + ac + + bc + bd + + cd +

    S3 = abc + abd + acd + bcd + .

    Si a = b = c = l, on a la formule du binme de Newton

    (x + a)m = xm + axm 1 + a2xm 2 + + am 1 x + am.

    Le nombre des termes est (m + 1).

    Si x = a = 1 1 + + + + = 2n.

    x = a = 1 1 + + + = + + + = 2n 1.

    Cmp

    Cmm p

    Cmp

    Cm 1p

    Cm 1p 1

    Cmp

    Cm 1p 1

    Cm 2p 1

    Cpp 1

    Cp 1p 1

    Kmp

    Km 1p

    Kmp 1

    Cm p 1+p

    Kmp

    K1p 1

    K2p 1

    Km 1p 1

    Kmp 1

    Cm1

    Cm2

    Cmm 1

    Cn1

    Cn2

    Cnn

    Cn2

    Cn4

    Cn1

    Cn3

    Cn5

    13

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  • 14

    1.7 quations algbriques

    1.6.3 Triangle de pascal

    1.7 quations algbriques

    1.7.1 Fonctions symtriques des racines

    f (x) a0xn + a1xn 1 + + an = 0,

    p reprsente la somme des produits p p des racines, Sp la somme des puis-sances p de celles-ci.

    1 = , = 2 = , , p = (1)p , , n = (1)n

    a0 S1 + a1 = 0

    a0 S2 + a1 S1 + 2a2 = 0

    ....................................................................................

    a0 Sp + a1 Sp 1 + + ap 1 S1 + pap = 0 (0 < p n)....................................................................................

    a0 Sn +1 + a1 Sn + + an S1 = 0

    ....................................................................................a0 Sn + k + a1 Sn + k 1 + + anSk = 0.

    Pour le calcul des sommes Sp (p < 0), prendre lquation aux inverses.

    a1a0----

    a2a0----

    apa0----

    ana0----

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  • 1.7 quations algbriques

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    est

    un

    dlit

    .

    y = an yn + an 1 y

    n 1 + + a1y + a0 = 0,

    = S S S+ , ,

    = ,

    = (, , diffrents).

    1.7.2 Equations rciproques

    Soit f une fonction telle que f (1) 0, f ( 1) 0 et :

    f (x) a0 x2p + + aqx2p q + + ap xp + + aq xq + + a0

    se transforme par y = x + ,

    x2 + = S2 = y2 2, ..., xp + = Sp = ySp 1 Sp 2 .

    1.7.3 Equations du premier degr

    Voir au chapitre Dterminants et Matrices, le paragraphe Systmeslinaires , p. 22.

    1.7.4 Equations du deuxime degr

    ax2 + bx + c = 0.

    1 = b2 4 ac > 0 : 2 racines relles

    2 Si = b2 4 ac = 0, 1 racine double : x = ;

    1x--

    xi

    xj

    i j,

    xi

    xj

    i j, 12-- S

    2S2( )

    xi

    xjxk

    i j k, , xi

    xj

    S xi

    +xj

    xi

    xj

    +

    xp a0 xp 1

    xp----+

    aq xp q 1

    xp q-----------+

    ap+ + + +

    1x--

    1x2---- 1

    xp----

    xx

    b b2 4 ac

    2a-------------------------------------=

    b2a-----

    15

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  • 16

    1.7 quations algbriques

    3 Si = b2 4 ac < 0, 2 racines imaginaires :

    Relations entre coefficients et racines

    .

    Somme des racines : S = x + x =

    Produit des racines : P = x x =

    DTERMINATION DE 2 NOMBRES x ET y, dont on connat la somme S et leproduit P, ou la diffrence D et le produit P.

    Avec x + y = S, x et y sont racines de :

    X 2 SX + P = 0.

    Avec x y = D, x et ( y) sont racines de :

    X 2 DX P = 0.

    CONSTRUCTION GOMTRIQUE :

    xx

    b i 4ac b2

    2a---------------------------------------=

    y x b2a -------+

    2 b2

    4ac

    4a2

    ------------------- a x x( ) x x( )= =

    ba--

    ca--

    Connaissant S et P. Connaissant D et P.

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  • 1.7 quations algbriques

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    est

    un

    dlit

    .

    On en dduit 2 thormes :

    a) Le produit de 2 nombres rels variables, dont la somme est constante, estmaximal lorsque ces 2 nombres sont gaux.b) La somme de 2 nombres positifs, dont le produit est constant, est mini-male lorsque ces 2 nombres sont gaux.

    tude du trinme du deuxime degr

    y = ax2 + bx + c.

    Signe du trinme :

    b2 4 ac < 0, y toujours du signe de a ;

    b2 4 ac = 0, y du signe de a, sauf pour x = pour lequel y = 0 ;

    b2 4 ac > 0, y du signe de a lextrieur des racines et du signecontraire lintrieur.

    1.7.5 Equations du troisime degr

    (1) x3 + ax2 + bx + c = 0.

    RSOLUTION ALGBRIQUE. En posant x = y , on obtient :

    (2) y3+ py + q = 0, avec p = b et q = .

    Formons R = + ou 4 p3 + 27 q2.

    Les racines de (2) sont :

    x1 = u + v, x2 = u1 + v2, x3 = u2 + v1,

    u et v tant les expressions

    , .

    1 et 2 tant les racines cubiques de lunit :

    et

    b2a-----

    a3--

    a2

    3---- 2a

    3

    27-------- ab

    3----- c+

    q2-- 2 p

    3-- 2

    u q2--

    q2-- 2 p

    3-- 3++

    3= v q

    2--

    q2-- 2 p

    3-- 3+

    3=

    11 i 3+

    2----------------------= 2

    1 i 3+2

    --------------------------=

    17

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  • 18

    1.7 quations algbriques

    Si R > 0, une seule racine relle :

    (formule de Cardan)

    Si R = 0, 1 racine double = et une simple = .

    Si R < 0, 3 racines relles qui, quoique relles, se prsentent sous formeimaginaire (somme de 2 imaginaires conjugus) (voir rsolution trigonom-trique).RSOLUTION TRIGONOMTRIQUE. Par la transformation x = y , onamne lquation la forme y3 + 3 py + 2 q = 0.1er cas : p > 0. Posons sh = .Les 3 racines sont alors :

    2e cas : p < 0.) p3 + q2 > 0. On pose

    ch

    On a

    y q2--

    q2-- 2 p

    3-- 3++

    3 q2--

    q2-- 2 p

    3-- 3+

    3+=

    3q2p-----

    3qp

    -----

    a3--

    q

    p p---------

    y1 2 p sh 3--- ,=

    y2 p sh 3--- i 3p ch

    3--- ,+=

    y3 p sh 3--- i 3p ch

    3--- =

    qp p

    ----------------=

    y1 2 p ch 3-- ,=

    y2 p ch 3--- i 3 p sh

    3--- ,+=

    y3 p ch 3--- i 3 p sh

    3--- =

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  • 1.7 quations algbriques

    Dun

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    on a

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    ise

    est

    un

    dlit

    .

    ) p3 + q2 < 0. On pose

    cos

    On a

    1.7.6 Equation du quatrime degr

    x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0.

    On calcule les solutions de lquation du troisime degr y3 + ry2 + sy + t = 0,dont les coefficients sont r = b, s = ac 4 d, t = d(4 b a2) c2.Soit y la plus grande racine relle de lquation en y.On calcule

    , ;

    , ;

    avec

    = + 1 si c > 0 ;

    = 1 si c < 0.

    Les racines de lquation du quatrime degr sont racines des 2 trinmes

    qp p

    ----------------=

    y1 2 p cos 3--- ,=

    y2 2 p cos

    3------------ ,=

    y3 2 p cos +

    3------------ =

    p a2--

    a2-- 2 b y++= q y

    2--

    y2-- 2 d+=

    p1a2--

    a2-- 2 b y+= q1

    y2--

    y2-- 2 d=

    ay2----

    ay2----

    x2

    px q+ + 0,=

    x2

    p x q+ + 0.=

    191 1

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  • 20

    1.8 Dterminants systmeslinaires et matrices

    1.8 Dterminants systmes linaires et matrices

    1.8.1 Dterminants Calcul du dterminant dune matrice carre

    DFINITION. Une matrice est un tableau de nombres. Une matrice nlignes et p colonnes est appele matrice n p ou matrice de taille n p. Si n = p, on parle de matrice carre. Le dterminant dune matrice carre est un nombre rel. On le note laidede barres verticales ou en crivant le mot det devant la matrice. Onprsente ci-dessous la rgle de calcul dun dterminant dans trois cas particu-liers puis dans le cas gnral. Dterminant 1 1. Si a est un nombre rel, det(a) = a.

    Dterminant 2 2. .

    Dterminant 3 3.

    Pour retrouver simplement cette formule, on peut utiliser une dispositionpratique appele rgle de Sarrus.

    Dterminant n n ( ). A dsignant une matrice carre de taillen n, on note aij le coefficient de la matrice lintersection de la ligne i et dela colonne j. On appelle mineur dordre (i, j ) et on note ij le dterminant dela matrice A prive de la ligne i et de la colonne j. On obtient ainsi une

    = 11 12 11 22 12 2121 22

    a aa a a a

    a a

    + +=

    .

    11 12 1311 22 33 12 23 31 13 21 32

    21 22 2313 22 31 11 23 32 12 21 33

    31 32 33

    a a aa a a a a a a a a

    a a aa a a a a a a a a

    a a a

    a11 a12 a13 a11 a12 a13

    a21 a22 a23 a21 a22 a23

    a31 a32 a33 a31 a32 a33

    + + +/

    4n

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  • 1.8 Dterminants systmeslinaires et matrices

    D

    unod

    L

    a ph

    otoc

    opie

    non

    aut

    oris

    e e

    st u

    n d

    lit.

    matrice carre dordre (n 1) (n 1). On prsente deux faons de calculerle dterminant :

    dveloppement selon la ligne i0 : ;

    dveloppement selon la colonne j0 : .

    Grce cette technique, on est conduit, pour calculer le dterminant dunematrice de taille n n, calculer des dterminants de taille (n 1) (n 1).En ritrant ce procd, on peut toujours se ramener au calcul du dtermi-nant de matrices de taille 2 2. Proprits des dterminants

    1 Nombre de termes = n !2 Un dterminant ne change pas de valeur quand on permute lignes etcolonnes (autrement dit quand on le fait tourner autour de sa diagonale prin-cipale).3 Quand on change 2 lignes (ou 2 colonnes) il change de signe.4 Quand il a 2 lignes (ou 2 colonnes) identiques ou proportionnelles, savaleur est 0.5 Quand on multiplie tous les lments dune ligne (ou dune colonne) parun mme nombre, le dterminant (sa valeur) est multipli par ce nombre.6 Quand on ajoute aux lments dune ligne (ou dune colonne) les lmentsdautres lignes (ou colonnes) multiplis par un nombre quelconque (le mmenombre pour une ligne ou une colonne) le dterminant ne change pas.7 On ne change pas la valeur dun dterminant dordre n, en lui adjoignantau-dessus une ligne compose de 1 et de n zros et en avant, une colonne determes quelconques de faon former ainsi un dterminant dordre (n + 1).

    Produit de deux dterminants dordre nSi A et B sont deux matrices de taille n n, det(AB) = det A det B. Application. Identit de Lagrange.

    Do (ab ba )2 = (a2 + b2) (a 2 + b 2) (aa + bb )2.

    +

    == 0 0 0

    1

    det ( 1)n

    i ji j i j

    j

    A a

    +

    == 0 0 0

    1

    det ( 1)n

    i jij ij

    i

    A a

    a ba b

    2a ba b

    a ba b

    a2

    b2

    + aa bb+

    aa bb+ a2 b2+= =

    21

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  • 22

    1.8 Dterminants systmeslinaires et matrices

    Dterminants particuliersDterminant diagonal. Tous les termes dun mme ct de la diagonaleprincipale sont des 0 (sans que cette diagonale principale comporte elle-mme un terme nul, sans quoi le dterminant serait nul)

    Dterminant de Van der Monde. Dterminant de la forme :

    .

    Dterminant antisymtrique. Diagonale principale compose de zros. Les termessymtriques par rapport cette diagonale principale gaux et de signes contraires :

    est nul si dordre impair.

    DRIVE DUN DTERMINANT dont les lments sont fonctions de x.La drive est la somme des dterminants obtenus en drivant successive-ment chaque ligne (ou colonne) sans changer les autres lignes.

    1.8.2 Systmes linaires et systmes d'quations linairesSoit le systme

    = .

    11 112

    22 211 22

    0

    0 0

    n

    nnn

    nn

    a a a

    a aa a a

    a

    ......

    ......

    1 a a2

    a3

    1 b b2

    b3

    1 c c2

    c3

    1 d d2

    d3

    b a( ) c a( ) d a( ) c b( ) c d( ) b d( )=

    0 b cb 0 ec e 0

    =

    a11x1 a12x2 a1nxn+ + + b1,=

    a21x1 a22x2 a2nxn+ + + b2,=

    ......................................................am1x1 am2x2 amnxn+ + + bm.=

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  • 1.8 Dterminants systmeslinaires et matrices

    D

    unod

    L

    a ph

    otoc

    opie

    non

    aut

    oris

    e e

    st u

    n d

    lit.

    1 ) m = n et D, dterminant de la matrice A dont le coefficient la ligne iet la colonne j est aij.

    1 solution, donne par la rgle de Cramer : xi a pour valeur une fraction dont le dnominateur est D et le numrateur,D dans lequel on a remplac la colonne i par la colonne des b.Si b1 = b2 = 0, on a un systme homogne, dont la seule solution, si D 0, estx1 = x2 = xn = 0.

    ) m = n et D = 0. Les inconnues sexpriment en fonction de lune delles.Infinit de solutions dpendant dun paramtre.

    2 m < n. II y a au moins un dterminant dordre m tir des quations, = 0.On peut donner (n m) inconnues des valeurs arbitraires et les m inconnuessexpriment en fonction de ces (n m) valeurs. Il y a une infinit de solutions.

    3 m > n. Il y a au moins un dterminant dordre n tir des quations, 0.Pour vrifier que les autres quations sont compatibles, on borde le dtermi-nant 0, droite par les termes b ; en bas, par les coefficients de lquation(n + 1) : il faut que ce dterminant soit nul.

    Autre forme de la condition de compatibilit : il faut que la somme desproduits respectifs des b par les solutions non nulles de lquation homognetranspose, = 0 (cest--dire que le produit scalaire des 2 vecteurs soit nul).

    1.8.3 Matrices

    Une matrice est un tableau de chiffres ou de donnes dont la manipulationobit certaines rgles.Lexemple le plus courant de matrice est le tableau de coefficients dunsystme linaire de m quations linaires n inconnues.

    a11x1 a1nxn+ + b1=

    a21x1 a2nxn+ + b2=

    avec m n ou m n.=......................................

    Si m n= ,on a une matrice carre.am1x1 ammxn+ + bm=

    23

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  • 24

    1.8 Dterminants systmeslinaires et matrices

    Si on crit les coefficients sous la forme :

    A = et les vecteurs X = et B =

    on a AX = B, quation matricielle.

    Rgles d'opration sur les matrices

    1 Addition : c = a + b. Matrices ayant mme nombre de lignes et decolonnes. Le terme gnral de c est cij = aij + bij (autrement dit, additionterme terme).2 Multiplication par un scalaire. On multiplie tous les termes de la matricepar ce scalaire.3 Multiplication de 2 matrices : A (m lignes, n colonnes) B (n lignes,m colonnes).

    Terme gnral de C = A.B, cij = .

    Remarque trs importante. Ne pas intervertir lordre des matrices : AB BA.4 det C = det A det B si matrices carres ;do : det An = (det A)n.

    Dfinitions et proprits

    ) Matrice identit. Compose de 0, sauf la diagonale principale, composede 1 :

    .

    a11 a12 ... a1n. . . .

    . . . .

    . . . .

    am1 am2 ... amn

    x1x2.

    .

    .

    xn

    b1b2.

    .

    .

    bm

    aik bkjk 1=

    k n=

    I

    1 0 0 0 ...0 1 0 0 ...

    0 0 1 0 ...

    0 0 0 1 ...

    =

    .................

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  • 1.8 Dterminants systmeslinaires et matrices

    D

    unod

    L

    a ph

    otoc

    opie

    non

    aut

    oris

    e e

    st u

    n d

    lit.

    Proprit : AI = IA = A.) Transpose A de A. C'est la matrice dont les colonnes sont les lignes de A etinversement.) Matrice inverse d'une matrice carre. C'est une matrice A1 telle queA1A = I.) Calcul de l'inverse. C'est la matrice transpose de A dans laquelle les termesont t remplacs par les termes correspondants du dterminant adjoint.) Matrice singulire : Matrice carre dont le dterminant = 0.

    Matrice rgulire : 0.) Matrice nulle. Matrice dont tous les termes sont nuls.La multiplication (pr ou post) d'une matrice rgulire par la matrice 0,donne toujours la matrice 0. L'inverse n'est pas vrai : le produit de 2 matricesnon nulles, peut tre nul si les matrices sont singulires.PRODUIT DE MATRICES CARRES :1 Transpose d'un produit = produit interverti des transposes.

    C = BA, C = A B.

    2 Inverse d'un produit = produit interverti des inverses :

    (AB)1 = B 1 A 1 .

    S'tend un nombre quelconque de matrices :

    (ABC ...)1 = ... C 1 B 1 A 1.

    3 Le produit d'une matrice par son inverse est commutatif : AA1 =A1 A = 1 .4 La transpose de l'inverse est l'inverse de la transpose : (A1) = (A )1 .5 Matrices diagonales. Tous les termes sont nuls sauf ceux de la diagonaleprincipale.

    Produita 0 00 b 00 0 c

    0 00 00 0

    a 0 00 b 00 0 c

    =

    25

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  • 26

    1.8 Dterminants systmeslinaires et matrices

    Inverse ,

    Puissances

    MATRICES A LMENTS COMPLEXES :) Matrice conjugue. Matrice dont les lments sont conjugus descorrespondants de a

    = a = .

    Si a = , a est rel.

    La conjugue de l'inverse est l'inverse de la conjugue : .

    ) Matrice adjointe ou transconjuge. C'est la conjugue de la transpose de a.

    a* = .

    Valeurs propres

    Ce sont les racines de l'quation caractristique :

    = 0, avec A = .

    Ce sont donc les nombres complexes solutions de lquation polynmialedet(I A) = 0, o I dsigne la matrice identit de taille n n. Si une matrice de taille n n est coefficients dans lensemble des nombrescomplexes, alors elle admet exactement n valeurs propres complexes.

    Aa 0 00 b 00 0 c

    = A1

    1 a 0 00 1 b 00 0 1 c

    =

    An

    a 0 00 b 00 0 c

    n an

    0 0

    0 bn

    0

    0 0 cn

    = =

    a

    a

    ba b a

    a

    a1( ) a( ) 1=

    a

    a11 a12 ... a1n

    a21 a22 ... a2n

    an1 an2 ... ann

    ........................................

    a11 a12 ... a1n. . . .

    . . . .

    . . . .

    an1 an2 ... ann

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  • 1.8 Dterminants systmeslinaires et matrices

    D

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    lit.

    VECTEURS PROPRES :Directions telles que tout vecteur est transform par la matrice en un vecteurde mme direction. Vecteurs solutions du systme AX = X.On crit :

    di = = vecteur correspondant i.

    LOCALISATION DES VALEURS PROPRES. Disques de Gerschgorin.On doit avoir :

    et ,

    avec Pi = , somme des termes de la ligne i, avec i j ; (I)

    Qj = , somme des termes de la colonne j, avec i j. (II)

    Les ingalits (I) dterminent dans le plan complexe des disques dont larunion dlimite un domaine D. Les ingalits (II) dlimitent de mme undomaine D et l'intersection de D et D forme l'ensemble des points du plancomplexe qui comprend les valeurs propres de la matrice.PROPRITS DE LQUATION CARACTRISTIQUE. Lquation caractristique dune matrice carre A est P() = 0, o P dsigne lepolynme dfini par P() = det(I A). Cette quation se rcrit, lorsquelon dveloppe le dterminant :

    Les racines de P sont les valeurs propres de A. P sappelle le polynme carac-tristique de A.

    di1

    di2

    .

    .

    .

    din

    aii Pi aii Qj

    aij j 1=

    j n=

    aji i 1=

    i n=

    = + + + = .11( ) 0n n

    nP

    27

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  • 28

    1.8 Dterminants systmeslinaires et matrices

    1 On a . 2 Trace de la matrice somme des termes diagonaux de lamatrice. On a :

    3 Produit des racines not . . 4 Les valeurs propres des puissances de A sont les puissances des valeurspropres de A. Ces puissances peuvent tre choisies ngatives si bien que lesvaleurs propres de A1 sont les inverses des valeurs propres de A. 5 Thorme de Cayley-Hamilton. P est un polynme annulateur de A, autre-ment dit

    DIAGONALISATION DE MATRICES CARRES.

    Diagonaliser une matrice A, cest trouver une matrice inversible P, appele matrice de passage telle que la matrice P1AP soit diagonale. On note Dcette matrice. Ses lments diagonaux sont les valeurs propres de A notes1, ..., n. P est la matrice (X1, ..., Xn), o Xi est le vecteur propre (colonne)associ la valeur propre i. La diagonalisation dune matrice carre nest pas toujours possible. Elle lestpar exemple si toutes les valeurs propres de A sont distinctes. Si pour unevaleur propre, racine dordre p du polynme caractristique, on peut trouverp vecteurs propres indpendants lui correspondant, alors A est diagonalisable. On donne brivement une mthode permettant de diagonaliser une matriceA (si celle-ci est diagonalisable). 1 On calcule son polynme caractristique P et on dtermine ses racines1, ..., p ainsi que leurs ordres de multiplicit respectifs m1, ..., mp. Cesracines sont bien sr les valeurs propres de la matrice A. 2 Pour chaque valeur propre i, dordre de multiplicit mi, on dtermine mivecteurs propres de A associs i linairement indpendants X 1i, ..., X mii .Cela passe bien videmment par la rsolution de lquation AX = iX. On rappelle que k vecteurs u1, ..., uk sont -linairement indpendants si, etseulement si pour tous rels 1, ..., k, on a :

    1.u1 + + n.un = 0 1 = = n = 0.

    = = = (0) det( ) ( 1) detnnP A A= =Tr( )A A

    = = .1Tr( ) somme des valeurs propres de A A

    = = det ( 1)n nA

    = + + + = .11( ) la matrice nullen n

    nP A A A I

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  • 1.8 Dterminants systmeslinaires et matrices

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    lit.

    3 On construit alors la matrice et ondtermine son inverse P1.

    4 Conclusion. On a alors : , o D est la matrice diagonale dont

    la diagonale est .

    TRIGONALISATION DE MATRICES CARRES. Trigonaliser une matrice A, cest trouver une matrice inversible P, appele matrice de passage telle que la matrice P1AP soit triangulaire suprieure.On note T cette matrice. Ses lments diagonaux sont les valeurs propres deA notes 1, ..., n. Il est noter que si A est une matrice coefficients dans ou , elle est toujours trigonalisable (corollaire du thorme de dAlem-bert stipulant que tout polynme de degr n coefficients complexes possdeexactement n racines complexes). Voici, comme prcdemment, une mthode permettant de trigonaliser unematrice A. 1 On calcule son polynme caractristique P et on dtermine ses racines1, ..., p ainsi que leurs ordres de multiplicit respectifs m1, ..., mp. 2 Pour chaque valeur propre i, dordre de multiplicit mi, on dtermine mivecteurs caractristiques de A associs i linairement indpendants X 1i, ...,X mii , cest--dire mi solutions indpendantes de lquation ,o I est la matrice identit de mme taille que A. 3 On construit alors la matrice de passage

    et on dtermine son inverse P1. 4 Conclusion. On a alors : , o T est triangulaire suprieure.

    Polynmes, sries et fonctions de matrices carres

    Polynme de matrice : g(a) = an + m1, an1 + + mn a = matrice carre.

    1 La matrice g(a) a pour valeurs propres g(i), les i tant les valeurs propresde a.2 Matrice ayant pour valeurs propres les racines d'un polynme. Soit Ple polynme dfini par P(x) = xn + a1 x

    n 1 + + an polynme en x dedegr n.

    = , , , , , ,11 11 1( )nm m

    n nP X X X X

    = 1D P AP

    , , , , , , 1

    1 1fois fois

    [ ]

    n

    n nm m

    =( ) 0imiA I

    = , , , ,111 1(mP X X

    , ,1 )nmn nX X= 1T P AP

    29

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  • 30

    1.8 Dterminants systmeslinaires et matrices

    Matrice A =

    A est apple matrice compagnon du polynme P.

    SRIE DE MATRICES OU SRIES DE NEUMANN :Srie dont les termes sont des matrices carres : la somme de la srie est unenatrice dont les termes sont les sries sommes des termes correspondants dechaque natrice terme. Si ces sries sont convergentes, la matrice somme estconvergente.

    Srie S = I + a + + n an + ..., avec des valeurs propres de a.

    S est convergente et gale linverse de (I a) lorsque || est infrieur l'inverse de la plus grande valeur propre de a.

    Drivation des matrices

    Les termes d'une matrice peuvent tre fonctions d'une variable t. La matricedrive sera par dfinition, la matrice forme des drives des termes.Drive d'une somme de matrices = somme des matrices drives.

    Drive d'un produit ab : .

    (Ne pas intervertir les produits.)

    Drive de a2 : .

    Matrices particulires

    I. MATRICES SYMTRIQUES. Matrices dont les termes symtriques parrapport la diagonale principale sont gaux.Proprits : a = a.La transpose de la matrice vecteurs propres en colonne est gale soninverse :

    P1 = P .

    0 0 0 ... an

    1 0 0 ... an 1

    0 1 0 ... an 2

    0 0 0 ... 1 a1

    La matrice A a pour quationcaratristique le polynme.

    d ab( )dt

    ------------- adbdt-----=

    dadt------b+

    da2

    dt--------

    dadt-----a da

    dt----- on ne peut crire 2ada

    dt-----

    +=

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  • 1.8 Dterminants systmeslinaires et matrices

    D

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    Diagonalisation : toute matrice symtrique est diagonalisable dans une baseorthonorme de vecteurs propres et on a D = PAP et A = PDP.Puissances : Ce sont encore des matrices symtriques.FORMES QUADRATIQUES. Toute forme quadratique :

    F = a1 + a2 + a3 + 2 a4 x1 x2 + 2 a5 x1 x3 + 2 a6 x2 x3,

    peut se mettre sous la forme :

    F = [x1 x2 x3] A , avec A = .

    Si l'on remplace A par A = PDP et si on pose

    P ,

    on a :

    F = [y1 y2 y3] D ,

    et F scrit sous la forme dune somme de carrs de yi (rduction de Gauss).II. MATRICES ANTISYMTRIQUES. Matrice dont les termes diagonaux sontnuls et les termes symtriques gaux et de signes contraires.Une matrice antisymtrique d'ordre impair est singulire (dterminant = 0).La transpose d'une matrice antisymtrique est antisymtrique.

    Puissances

    III. MATRICES STOCHASTIQUES ou matrices de probabilits.Tous les termes sont positifs ou nuls, 1 et la somme de chaque colonne ouligne est gale 1.

    x12

    x22

    x32

    x1x2x3

    a1 a4 a5a4 a2 a6a5 a6 a3

    x1x2x3

    y1y2y3

    =

    y1y2y3

    an symtrique si n pair positif ;

    an antisymtrique si n impair positif.

    31

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  • 32

    1.9 Fonctions usuelles simples

    Proprits.l Toutes les puissances des matrices stochastiques sont des matrices stochasti-ques.2 La prmultiplication d'un vecteur stochastique par une matrice stochas-tique donne encore un vecteur stochastique.3 L'quation caractristique d'une matrice stochastique a au moins uneracine = 1.4 Les racines autres que 1 de l'quation caractristique d'une matricestochastique sont :

    a) toujours < 1 si elles sont relles ;b) de module infrieur ou gal 1 si elles sont complexes.

    5 Quand le module des racines complexes de l'quation caractristique estgal 1, ce sont les racines de l'unit.

    1.9 Fonctions usuelles simples

    1.9.1 Fonctions circulaires

    y = sin x. Priode 2 , impaire, sin (x + ) = sin x

    y = cos x. Priode 2 , paire, cos (x + ) = cos x.

    cos x = sin = sin

    x 0

    sin x 0 1 0

    x 0

    cos x 1 0 1

    6--

    4--

    3--

    2---

    12-- 2

    2------- 3

    2------

    x 2--+

    2--- x

    6---

    4---

    3--

    2--

    32

    ------- 22

    ------ 12--

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  • 1.9 Fonctions usuelles simples

    Dun

    od

    La

    phot

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    ie n

    on a

    utor

    ise

    est

    un

    dlit

    .

    y = tan x = . Priode , impaire.

    y = cotan x = = . Priode , impaire.

    cotan x = tan = tan

    1.9.2 Fonctions circulaires inverses

    y = Arc sin x x = sin y, avec et .

    y = arc sin x.

    =

    y = Arc cos x x = cos y, avec .

    x 0

    tan x 0 1 +

    x 0

    cotan x + 1 0

    x 1 0 + 1

    Arc sin x 0 +

    x 1 0 + 1

    Arc cos x 0

    sin xcos x----------

    6--

    4--

    3--

    2--

    1

    3------ 3

    cos xsin x----------- 1

    tan x----------

    2--- x x

    2--+

    6--

    4---

    3---

    2---

    31

    3------

    2-- y +

    2--- 1 x 1

    2---

    2--

    Arc sin x 2 n+ x y.sin=

    Arc sin x 2 n+

    (n entier)0 y

    2---

    33

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  • 34

    1.9 Fonctions usuelles simples

    y = Arc cos x

    =

    y = Arc tan x x = tan y , avec < y < + et x .

    y = Arc tan x= Arc tan x + n x = tan y

    (n entier).

    Relations : Arc cos x + Arc sin x = , avec x [1, 1]

    Arc tan u + Arc tan v = Arc tan + n,

    (n = 0 si uv < 1 ,n = + 1 si uv > 1 , avec u et v positifs,n = 1 si uv > 1 , avec u et v ngatifs).

    Arc tan x + Arc cotan x = ,

    Arc cotan x =

    Arc tan x + Arc tan = ( = 1, avec x > 0).

    x + 0 +

    Arc tan x 0 +

    Arc cosx 2n+ x ycos .=Arc cos x 2n+

    (n entier)

    2--

    2---

    2--

    2--

    2---

    u v+1 uv--------------

    2---

    Arc tan 1x-- si x 0,>

    Arc tan + 1x-- si x 0. 0.ln (ex) = x pour tout rel x.Variation :

    a > 1 x 0 +

    ax 0 1 +

    0 < a < 1 x 0 + ax + 1 0

    a > 1x 0 1 +

    logax 0 +

    0 < a < 1x 0 1 +

    logax + 0

    1a--

    ln xln a--------

    35

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  • 36

    1.9 Fonctions usuelles simples

    1.9.5 Fonction puissance y = xm

    y = xm = emlnx dfini pour x > 0

    1.9.6 Fonctions hyperboliques

    (voir : trigonomtrie hyperbolique, p. 53)

    , ch x + Sh x = ex,

    , ch x Sh x = ex,

    th x = =

    y = ch x (paire)

    y = sh x (impaire)

    y = th x (impaire)

    1) m < 0x 0 1 +

    xm + 1 0

    2) m > 0x 0 1 +

    xm 0 1 +

    x 0 + ch x 1 +

    x 0 + sh x 0 +

    x 0 + th x 0 1

    xm

    dfini aussi pour x 0< si m est rationnel de la forme m p2q 1+---------------=

    ch x ex

    ex

    +2

    -----------------=

    sh x ex

    ex

    2

    -----------------=

    sh xch x--------- e

    2x1

    e2x

    1+----------------

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  • 1.9 Fonctions usuelles simples

    Dun

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    est

    un

    dlit

    .

    1.9.7 Fonctions hyperboliques inverses

    y = Arg sh x = ln (x + ) x = sh y .

    y = Arg ch x = ln (x + ) x = ch y ,avec y > 0 (dfinie pour x > 1) .

    y = Arg ch x = ln (x ) x = ch y ,avec y < 0 (dfinie pour x > 1).

    y = Arg th x = ln x = sh y

    (dfinie pour 1 < x < 1).

    SIGNIFICATION GOMTRIQUE DES FONCTIONS HYPERBOLIQUES :Soit l'hyperbole quilatre x2 y2 = 1.

    M, coordonnes :

    = aire du secteur compris entre OM, OM et l'hyperbole :

    = ln (x + ) = arg ch x ;

    x 0 + Arg sh x 0 +

    x 1 +

    Arg ch x 0 +

    x 1 0 + 1

    Arg th x 0 +

    x2

    1+

    x2

    1

    x2

    1

    12-- 1 x+

    1 x-----------

    x x,=

    y x2 1 .=

    x2

    1

    37

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  • 38

    1.10 Croissance et limites

    = x = ch ,

    = y = = sh ,

    AT = = th (car OA = 1).

    1.10 Croissance et limites

    1.10.1 Croissance compare

    , (a > 1, m > 0) ;

    , (0 < a < 1, m > 0) ;

    , (m > 0) ;

    , (m > 0).

    1.10.2 Limites remarquables

    e = 1 + + + + + 2,71828 ... ;

    , ;

    ;

    (x exprim en radians) = 1 ;

    = 1 ;

    ;

    ;

    OP

    PM x2

    1

    PM

    OP--------

    x + ax

    xm------ +

    x + axxm 0

    x +logax

    xm----------- +

    x 0 xmlogax 0

    11 !----- 1

    2 !------ 1

    n !-----

    1 1m----+ m

    m lim e= 1 xm----+

    m

    m lim e

    x=

    1 x+( )1 0lim e

    x=

    sin xx

    ---------x 0lim

    tan xx

    -----------x 0lim

    ln xx

    --------x lim 0=

    ex

    1x

    -------------x 0lim 1=

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  • 1.10 Croissance et limites

    Dun

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    un

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    .

    , a > 0 ;

    ;

    ;

    .

    1.10.3 Formes indtermines. Rgle de lHospital

    Formes indtermines. Ce sont des formes qui ne sont pas redevables des

    rgles habituelles sur les limites. Il sagit de , , et .

    Rgle de lHospital. Si une expression se prsente au voisinage de a

    sous une forme indtermine de type ou , et si la limite

    existe, alors existe et on a :

    Les rsultats qui suivent sobtiennent en utilisant (plusieurs fois successives sicest ncessaire) la rgle de lHospital. Croissances compares. Soit > 0.

    Consquences et exemples.

    Calcul de , avec a > 1 et m > 0. On crit .

    Do .

    ax

    1x

    -------------x 0lim ln a=

    an

    n !-----

    x lim 0=

    nnx lim 1=

    xn

    an

    x a

    ---------------x alim na

    n 1=

    ---- +( ) ( )+ 0

    0-- 0

    f x( )g x( )-----------

    --- 0

    0-- f x( )

    g x( )------------

    x alim

    f x( )g x( )-----------

    x alim

    = .

    ( ) ( )lim lim

    ( ) ( )x a x a

    f x f x

    g x g x

    +

    + += = =

    0

    lnlim 0 lim ln 0 lim e 0x

    x xx

    xx x x

    x

    +lim

    x

    mx

    a

    x = ln

    1

    e

    x

    m m x aa

    x x

    += +lim

    x

    mx

    a

    x

    39

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  • 40

    1.11 Nombres complexes ouimaginaires

    Calcul de . On crit pour x > 1, , puis par composi-

    tion, .

    Calcul de . De mme que dans lexemple prcdent, il suffit

    dcrire que et dutiliser les rgles de croissances compares.Ainsi, .

    1.11 Nombres complexes ou imaginairesDfinition. Nombres z de la forme z = a + b i, a et b tant des nombresrels et i le nombre imaginaire tel que i2 = 1.Formes trigonomtrique et exponentielle. En posant :

    a = cos , b = sin , avec et ,

    on a

    z = (cos + i sin ) = ei ,

    cos = , sin = , tan = ;

    = argument,

    = |a + b i| = = module.

    Addition des imaginaires : z = a + b i, z = a + b i

    z + z = (a + a ) + i(b + b ).

    Diffrence des imaginaires : z z = (a a ) + i (b b ).

    /+

    1lim xx

    x / =ln1 e

    xxxx

    /+

    = =1 0lim e 1xx

    x

    +0lim x

    xx

    = lnex x xx

    +=

    0lim 1x

    xx

    0 0 2, [[

    a

    a2

    b2

    +--------------------- b

    a2

    b2

    +-------------------- ba--

    a2 b2+

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  • 1.11 Nombres complexes ouimaginaires

    D

    unod

    L

    a ph

    otoc

    opie

    non

    aut

    oris

    e e

    st u

    n d

    lit.

    Produit dimaginaires de la forme :

    zn = n (cos n + i sin n) = n e in

    Z = 1 2 ... n[cos (1 + 2 + + n)

    + i sin (1 + 2 + + n)]

    = 1 2 ... n ei(1 + 2 + + n).

    Gomtriquement : homothtie + rotation (= similitude).Argument de Z = somme des arguments des zi.Module de Z = produit des modules des zi.

    FORMULE DE MOIVRE :

    (cos + i sin )m = cos m + i sin m = eim.

    VALEURS PARTICULIRES DE LIMAGINAIRE :

    i2 = 1, i3 = i2.i = i, i4 = i2.i2 = 1, etc. ;

    i4n = 1, i4n + 1 = i, i4n + 2 = 1, i4n + 3 = i ;

    ei = e i = 1, e2i = 1,

    ei/2 = i ei/2 = e3i/2 = i ;

    ei/4 = , i = = i1 ;

    i = ei/2, i = ei/2, ( i) = i, i + 1 = i 1.

    La multiplication de z = ei par i soit iz = ei.ei/2 = ei( + /2) quivaut une rotation de + /2.La multiplication par i, soit iz = ei.ei/2 = e( /2) quivaut unerotation de /2.

    1 i+

    2---------- 1

    i--

    41

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  • 42

    1.12 Trigonomtrie

    1.12 Trigonomtrie

    1.12.1 Trigonomtrie plane

    RELATIONS ENTRE LES FONCTIONS TRIGONOMTRIQUES.

    cos2 x + sin2 x = 1, tan x = , cotan x = ,

    cos2 x = . sin2 x = = .

    ADDITION DES ARCS.

    cos (a + b) = cos a cos b sin a sin b,

    cos (a b) = cos a cos b + sin a sin b,

    sin (a + b) = sin a cos b + sin b cos a,

    sin (a b) = sin a cos b sin b cos a,

    tan (a + b) = ,

    tan (a b) = ,

    cotan (a + b) = ,

    cotan (a b) = ,

    cos (a + b + + l ) = cos a.cos b ... cos l (1 S2 + S4 )

    sin (a + b + + l ) = cos a.cos b ... cos l (S1 S3 + S5 + )

    tan (a + b + + l ) = ,

    Sp dsignant la somme des produits p p de tan a, tan b, ..., tan l.

    arc cos a + arc cos b = arc cos [ab ]

    arc sin a + arc sin b = arc sin [ ]

    sin xcos x----------- 1

    tan x-----------

    1

    1 tan2 x+

    ----------------------- 1

    1 cotan2 x+

    ---------------------------- tan2 x

    1 tan2 x+

    -----------------------

    tan a tan b+1 tan a tan b-----------------------------------

    tan a tan b1 tan a tan b+-----------------------------------

    cotan a.cotan b 1cotan b cotan a+

    ----------------------------------------------

    cotan a.cotan b 1+cotan b cotan a

    ----------------------------------------------

    S1 S3 S5 + +

    1 S2 S4 +--------------------------------------

    1 a2

    ( ) 1 b2( )

    a 1 b2

    b 1 a2

    +

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  • 1.12 Trigonomtrie

    Dun

    od

    La

    phot

    ocop

    ie n

    on a

    utor

    ise

    est

    un

    dlit

    .

    arc tan a + arc tan b = arc tan

    arc cotan a + arc cotan b = arc cotan

    MULTIPLICATION DES ARCS ET FORMULE DE MOIVRE.

    cos 2 a = cos2 a sin2 a = 2 cos2 a 1 = 1 2 sin2 a = ,

    sin 2 a =2 sin a cos a = ,

    tan 2 a =

    (cos a + i sin a)n = cos na + i sin na,

    cos na = cosn a cosn 2 a sin2 a + cosn 4 a sin4 a ,

    sin na = cosn 1 a sin a cosn 3 a sin3 a + ,

    tan na = ,

    cos 3 a = cos3 a 3 cos a sin2 a = 4 cos3 a 3 cos a,

    sin 3 a = 3 cos2 a sin a sin3 a = 3 sin a 4 sin3 a,

    tan 3 a =

    DIVISION DES ARCS :

    sin = , cos = ,

    tan = =

    = = ,

    sin a = cosm 1 sin cosm 3 sin3 + ,

    a b+1 ab--------------

    ab 1a b+--------------

    1 tan2a

    1 tan2a+---------------------

    2 tan a

    1 tan2a+----------------------

    2 tan a

    1 tan2a---------------------

    Cn2

    Cn4

    Cn1

    Cn3

    Cn1

    atan Cn3tan

    3a +

    1 Cn2tan

    2a Cn

    4tan

    4a +

    ------------------------------------------------------------------

    3 tana tan3

    a

    1 3 tan2

    a---------------------------------

    a2-- 1 cos a

    2------------------- a

    2-- 1 cos a+

    2--------------------

    a2-- 1 cos a

    1 cos a+-------------------- 1 1 tan

    2a+

    tan a----------------------------------------

    sin a1 cos a+-------------------- 1 cos a

    sin a-------------------

    Cm1 a

    m---- a

    m--- Cm

    3 am---- a

    m---

    43

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  • 44

    1.12 Trigonomtrie

    cos a = cosm cosm 2 sin2 + cosm 4 sin4 ,

    tan a =

    EXPRESSION DES FONCTIONS TRIGONOMTRIQUES EN FONCTION DE LATANGENTE DE L'ARC MOITI :

    cos a = , sin a = , tan a =

    TRANSFORMATIONS TRIGONOMTRIQUES

    sin p + sin q = 2 sin cos ,

    sin p sin q = 2 sin cos ,

    cos p + cos q = 2 cos cos ,

    cos p cos q = 2 sin sin ,

    tan p + tan q = ,

    tan p tan q = ,

    cotan p + cotan q = ,

    cotan p cotan q = ,

    cos2 = , sin2 = ,

    tan = = , tan2 =

    1 + sin a = 2 cos2 , 1 sin a = 2 cos2 ,

    am--- Cm

    2 am---- a

    m--- Cn

    4 am---- a

    m---

    Cm1

    tanam--- Cm

    3tan

    3 am--- +

    1 Cm2

    tan2 a

    m--- Cm

    4tan

    4 am---- + +

    ------------------------------------------------------------------------

    1 tan2 a

    2--

    1 tan2 a

    2--+

    ----------------------2 tan

    a2--

    1 tan2 a

    2--+

    ----------------------2 tan

    a2--

    1 tan2 a

    2--

    ----------------------

    p q+2

    ----------- p q2

    -----------

    p q2

    ----------- p q+2

    -----------

    p q+2

    ----------- p q2

    ----------

    p q+2

    ----------- p q2

    -----------

    sin p q+( )cos p.cos q-------------------------

    sin p q( )cos p.cos q-------------------------

    sin p q+( )sin p.sin q-----------------------

    sin p q( )sin p.sin q--------------------------

    a2-- 1 cos a+

    2-------------------- a

    2-- 1 cos a

    2-------------------

    a2-- sin a

    1 cos a+-------------------- 1 cos a

    sin a------------------- a

    2-- 1 cos a

    1 cos a+--------------------

    4-- a

    2--

    4--- a

    2--+

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  • 1.12 Trigonomtrie

    Dun

    od

    La

    phot

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    ie n

    on a

    utor

    ise

    est

    un

    dlit

    .

    = tan2 , = tan ,

    sin a + cos b = 2 sin cos ,

    sin a cos b = 2 sin cos ,

    cos a sin b = 2 sin cos ,

    cos a sin b = 2 sin cos ,

    tan a + cotan b = ,

    tan a cotan b = ,

    sin a.sin b = ; cos a.cos b =

    sin a.cos b = ; sin b.cos a =

    tan a.tan b = ; =

    cos (a + b).cos (a b) = cos2 a sin2 b = cos2 b sin2 asin (a + b).sin (a b) = sin2 a sin2 b = cos2 b cos2 a

    FONCTIONS TRIGONOMTRIQUES DE QUELQUES ARCS.

    Arc en radians 0

    Angles en degrs 0 30 45 60 90 180 270

    sin......................... 0 1 0 1

    cos......................... 1 0 1 0

    tan........................ 0 1 0

    cotan.................... 1 0 0

    1 sin a1 sin a+-------------------

    4--- a

    2--

    1 tan a1 tan a+--------------------

    4-- a

    4-- a b

    2-----------+

    4-- a b+

    2-----------

    4-- a b+

    2-----------

    4-- a b

    2-----------+

    4-- a b

    2-----------

    4-- a b+

    2-----------

    4-- a b+

    2-----------

    4-- a b

    2-----------

    cos a b( )cosa.sinb-------------------------cos a b+( )cosa.sinb----------------------------

    cos a b( ) cos a b+( )2

    ----------------------------------------------------- cos a b+( ) cos a b( )+2

    ------------------------------------------------------

    sin a b+( ) sin a b( )+2

    ----------------------------------------------------- sin a b+( ) sin a b( )2

    ----------------------------------------------------

    cos a b( ) cos a b+( )cos a b( ) cos a b+( )+------------------------------------------------------ tana

    tanb---------- sin a b+( ) sin a b( )

    sin a b+( ) sin a b( )+-----------------------------------------------------

    6---

    4---

    3--

    2-- 3

    2------

    12--- 2

    2------- 3

    2-------

    32

    ------ 22

    ------- 12--

    33

    ------ 3

    3 33

    -------

    45

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  • 46

    1.12 Trigonomtrie

    SOMMES DE SINUS ET DE COSINUS D'ARCS EN PROGRESSION ARITHMTIQUE :

    sin a + sin (a + h) + sin (a + 2 h) + + sin [a + (n 1) h] =

    = ,

    cos a + cos (a + h) + cos (a + 2 h) + + cos [a + (n 1) h] =

    = ,

    RELATIONS TRIGONOMTRIQUES DANS LE TRIANGLE(Voir : gomtrie du triangle, p. 209.)

    1.12.2 Trigonomtrie sphrique

    DFINITIONS :a + b + c = 2 p = primtre du triangle sphrique ABC,A + B + C = 2 S,A + B + C = 2 = (2 S ) ; 2 = excs sphrique.

    RELATIONS GNRALES :b + c > a > b c,a + b + c < 2 , < A + B +C < 3 ,A + > B + C,0 < 2 < 2 .

    FORMULES FONDAMENTALES.

    I.

    sin a n 1( )h2

    --------------------+ sinnh2

    ------

    sinh2--

    -------------------------------------------------------

    cos a n 1( )h2

    -------------------+ sinnh2

    ------

    sinh2--

    --------------------------------------------------------

    sin asin A----------- sin b

    sin B---------- sin c

    sin C-----------= =

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  • 1.12 Trigonomtrie

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    ise

    est

    un

    dlit

    .

    II.

    III. Relations parallles :

    cos A = cos B cos C + sin B sin C cos a,

    cos B = cos C cos A + sin C sin A cos b,

    cos C = cos A cos B + sin A sin B cos c .

    IV. cotan a sin b = cos b cos C + sin C cotan A,

    cotan a sin c = cos c cos B + sin B cotan A,

    cotan b sin c = cos c cos A + sin A cotan B,

    cotan b sin a = cos a cos C + sin C cotan B,

    cotan c sin a = cos a cos B + sin B cotan C,

    cotan c sin b = cos b cos A + sin A cotan C .

    RELATIONS IMPORTANTES.

    V.

    VI.

    cos a cos b.cos c= sin b sin c cos A,+

    cos b cosc cosa= sinc sina cos B,+

    cos c cos a cos b= sin a sin b cos C.+

    sinA2-- sin p b( )sin p c( )

    sin b.sin c---------------------------------------------=

    cosA2--- sin p.sin p a( )

    sin b.sin c------------------------------------=

    Relation correspondantes pour B et C

    sina2-- cos S.cos S A( )

    sin B.sin C------------------------------------------

    sin .sin A ( )sin B.sin C

    -------------------------------------= =

    cosa2-- cos S B( ).cos S C( )

    sin B.sin C----------------------------------------------------

    sin B ( ).sin C ( )sin B.sin C

    --------------------------------------------------= =

    Relation correspondantes pour B et C.

    47

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  • 48

    1.12 Trigonomtrie

    VII. cotan =

    VIII. tan =

    IX. Formules de Delambre :

    ,

    ,

    ,

    X. Formules de Nper :

    , ;

    ,

    XI. Triangles rectangles, C = /2, c = hypotnuse :

    cos c = cos a.cos b = cotan A.cotan B,

    cos a = , cos b = ,

    sin A = , cos A = , tan A =

    cotana2--.cotanb

    2-- cos C+

    sin C------------------------------------------------------

    2-- tan

    p2--.tanp a

    2----------.tanp b

    2----------.tanp c

    2----------

    cosA B+

    2-------------cos

    c2-- cos

    a b+2

    -----------sinC2---=

    sinA B+

    2------------cos

    c2-- cos

    a b2

    ----------cosC2---=

    cosA B

    2------------sin

    c2-- sin

    a b+2

    -----------sinC2---=

    sinA B

    2------------sin

    c2-- sin

    a b2

    -----------cosC2---=

    tana b+

    2-----------

    cosA B

    2------------

    cosA B+

    2-------------

    --------------------tanc2--= tan

    A B+2

    -------------cos

    a b2

    -----------

    cosa b+

    2-----------

    ------------------- .cotanC2---=

    tana b

    2----------

    sinA B

    2------------

    sinA B+

    2-------------

    --------------------tanc2--= tan

    A B2

    ------------sin

    a b2

    -----------

    sina b+

    2-----------

    ------------------- .cotanC2---=

    cos Asin B----------- cos B

    sin A-----------

    sin asin c---------- tan b

    tan c----------- tan a

    sin b----------

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  • 1.12 Trigonomtrie

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    un

    dlit

    .

    XII. Surface d'un triangle sphrique :

    S = (A + B + C ) 2 = 2 2, = rayon de la sphre.

    Rayons sphriques R et r du cercle circonscrit et du cercle inscrit un trianglesphrique :

    1.12.3 Trigonomtrie hyperbolique

    DFINITIONS :

    Sh x = , ch x = , th x = = , coth x =

    D'o : ch x + sh x = es, ch x sh x = ex.

    RELATIONS FONDAMENTALES

    sh (x) = sh x, ch (x) = ch x, th (x) = th x

    ch2 x sh2 x = 1, ch2 x = , sh2 x =

    ch (a + b) = ch a ch b + sh a sh b,

    ch (a b) = ch a ch b sh a sh b,

    sh (a + b) = sh a ch b +sh b ch a,

    sinR2 sin

    a2--sin

    b2--sin

    c2--

    sina2-- sin

    b2-- sin

    c2--+ +

    sina2-- sin

    b2-- sin

    c2--+

    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------=

    sina2-- sin

    c2-- sin

    b2--+

    sinb2-- sin

    c2-- sin

    a2--+

    tanR sin sin A ( )sin B ( )sin C ( )------------------------------------------------------------------------=

    tanr sin p a( )sin p b( )sin p c( )sinp

    ---------------------------------------------------------------------=

    ex

    ex

    2

    ----------------- ex

    ex

    +2

    ----------------- sh xch x-------- e

    xe

    x

    ex

    ex

    +----------------- 1

    th x--------

    1

    1 th2x

    ------------------- th2x

    1 th2x

    -------------------

    49

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  • 50

    1.12 Trigonomtrie

    sh (a b) = sh a ch b sh b ch a,

    th (a + b) = ; th (a b) = ,

    ch p + ch q = 2 ch ch ,

    ch p ch q = 2 sh sh ,

    sh p + sh q = 2 sh ch ,

    sh p sh q = 2 sh ch ,

    th p + th q = ,

    th p th q = ,

    ch (a + b + + l ) = ch a.ch b ... ch l (1 + S2 + S4 + S6 + ),

    sh (a + b + + l ) = ch a.ch b ... ch l (S1 + S3 + S5 + ),

    th (a + b + + l ) = ,

    en dsignant par Sp la somme des produits p p des quantits th a, th b, ...,th l.

    MULTIPLICATION DES FONCTIONS HYPERBOLIQUES.

    ch 2 a = ch2 a + sh2 a = 2 ch2 a 1 = 2 sh2 a + 1 = ,

    sh 2 a = 2 sh a ch a = ,

    th 2 a = ;

    ch2 = ,

    sh2 = ,

    th a th b+1 th a th b+----------------------------- th a th b

    1 th a th b----------------------------

    p q+2

    ----------- p q2

    -----------

    p q+2

    ----------- p q2

    ----------

    p q+2

    ----------- p q2

    -----------

    p q2

    ---------- p q+2

    -----------

    sh p q+( )ch p ch q---------------------

    sh p q( )ch p ch q---------------------

    S1 S3 S5 + + +

    1 S2 S4 + + +---------------------------------------

    1 th2 a+

    1 th2 a-------------------

    2 th a

    1 th2 a-------------------

    2 th a

    1 th2 a+-------------------

    a2-- ch a 1+

    2------------------

    a2-- ch a 1

    2------------------

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  • 1.12 Trigonomtrie

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    .

    th = = = ,

    (ch a + sh a)n = ch na + sh na = ena,

    ch na = chn a + C2n chn 2 a sh2 a + C4n ch

    n 4 a sh4 a + ,

    sh na = C1n chn 1 a sh a + C3n ch

    n 3 a sh3 a + ,

    th na = ,

    ch 3 a = ch3 a + 3 ch a sh2 a = 4 ch3 a 3 ch a,

    sh 3 a = 3 ch2 a sh a + sh3 a = 4 sh3 a + 3 sh a,

    th 3 a =

    EXPRESSION DES FONCTIONS HYPERBOLIQUES EN FONCTION DE th .

    ch a = , sh a = , th a = ,

    SOMME DE sh ET ch EN PROGRESSIONS ARITHMTIQUES.

    ch a + ch (a + h) + + ch [a + (n 1) h] =

    sh a + sh (a + h) + + sh [a + (n 1) h] =

    a2-- sh a

    ch a 1+------------------ ch a 1

    sh a------------------ ch a 1

    ch a 1+------------------

    Cn1 th a Cn

    3 th

    3a Cn

    5 th

    5a + + +

    1 Cn2 th

    2a Cn

    4 th

    4a + + +

    -------------------------------------------------------------------------------

    3 th a th3a+

    1 3 th2a+

    ------------------------------

    a2--

    1 th2a2--+

    1 th2 a

    2--

    -------------------2 th

    a2--

    1 th2 a

    2--

    -------------------2 th

    a2--

    1 th2 a

    2--+

    --------------------

    ch a n 12

    -----------h+ shnh

    2------

    shh2--

    -----------------------------------------------

    sh a n 12

    -----------h+ shnh

    2-----

    shh2--

    -----------------------------------------------

    51

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  • 52

    1.13 Sries

    1.12.4 Relations entre imaginaires et fonctions circulaires, hyperboliques et logarithmiques

    Formule de Moivre : (cos x + i sin x)m = cos mx + i sin mx = eimx.

    cos x = , sin x = ,

    cos ix = ch x, sin ix = i sh x, tan x = i th x,

    cos x = ch ix, sin x = sh ix, tan x = th ix,

    arc sin x = i arg sh ix = i ln (ix + ),

    arc cos x = i arg ch x = i ln (x + i ),

    arc tan x = i arg th ix = ln ,

    arc cotan x = i arg coth ix = ln ,

    arc sin ix = i arg sh x = i ln (x + ),

    arc cos ix = i arg ch ix = i ln (x + ),

    arc tan ix = i arg th x = ln

    1.13 SriesDfinition. Etant donn une suite infinie :

    u1, u2, ..., un 1, un,

    la srie de terme gnral un est convergente si la somme :

    S = u1 + u2 + + un,

    tend vers une limite finie quand n l'infini. Sinon elle est divergente.

    eix

    eix

    +2

    --------------------- eix

    eix

    2i

    --------------------

    1i-- 1

    i--

    1 x2

    1 x21

    2 i----- 1 ix+

    1 ix-------------

    12 i------ ix 1

    ix 1+-------------

    1 x2+

    2-- 1 x2+

    i2-- 1 x+

    1 x-----------

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  • 1.13 Sries

    Dun

    od

    La

    phot

    ocop

    ie n

    on a

    utor

    ise

    est

    un

    dlit

    .

    1.13.1 Sries numriques termes positifs

    RGLES DE D'ALEMBERT (un > 0).

    1) (n > N), il y a convergence.

    2) (n > N), il y a divergence.

    3)

    Mais, si en dcroissant, il y a divergence.

    RGLES DE CAUCHY (un > 0).

    1) (n > N), il y a convergence,

    2) (n > N), il y a divergence,

    3)

    Mais, si en dcroissant, il y a divergence.

    COMPARAISON A A/n (un > 0). (Rgles de Riemann.)

    1)

    2) ,

    3) ,

    un 1+un

    ------------ k 1l 1 incertitude.=

    un 1+un

    ------------ 1

    unn k 1l 1 incertitude.=

    unn 1

    unA

    n

    ----- 1, il y a convergence,> 1, il y a divergence,

    n

    un 0=n lim 1, il y a convergence,>

    n

    un =n lim 1, il y a divergence.

    53

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  • 54

    1.13 Sries

    RGLES DE DUHAMEL (un > 0).

    1) (n > N), il y a convergence,

    2) (n > N), il y a divergence.

    3)

    SRIES DE BERTRAND

    Posons . La srie de terme gnral un converge si, et seulement

    si > 1 ou = 1 et > 1.

    1.13.2 Sries alternes

    Sries dont les termes sont alternativement positifs et ngatifs (srie alterne)et vont en diminuant en valeur absolue.Convergente si le terme gnral .

    1.13.3 Sries termes de signes quelconques

    La srie est convergente si la srie forme des valeurs absolues (ou modules)des termes est convergente.La rciproque n'est pas vraie.

    Formules de Taylor et de Mac-Laurin

    FORMULE DE TAYLOR.

    f (a + h) = f (a) + hf (a) + + f (n)(a) + Rn.

    Reste : Rn = f (n + 1)(a + h), 0 < 0 < 1,

    si f, f , ..., f (n) dfinies et continues pour x [a, a + h], f (n + 1) dfinie pourx ]a, a + h[.

    un 1+un

    ------------ 11 n+---------------=

    nn k 1l 1, incertitude.=

    =1

    lnnu

    n n

    un 0

    hn

    n !------

    hn 1+

    n 1+( ) !-------------------

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  • 1.13 Sries

    Dun

    od

    La

    phot

    ocop

    ie n

    on a

    utor

    ise

    est

    un

    dlit

    .

    Reste de la somme d'une srie

    a) Si la convergence a t reconnue au moyen de la rgie et si < K,

    le reste de la srie est infrieur , up + 1 tant le premier terme nglig.

    b) Si la convergence a t reconnue au moyen de la rgle de Cauchy et si

    < K, le reste de la srie est infrieur , p + 1 tant l'ordre du

    premier terme nglig.

    c) Si la convergence a t reconnue par la recherche de l'ordre infinitsimal > 1 du terme gnral de la srie, le produit nun reste infrieur unnombre fixe K. Le reste de la srie est infrieur

    ,

    (p + 1) tant le rang du premier terme nglig.d) Si la srie est absolument convergente, on prendra le reste de la srie desmodules.e) Si la srie est alterne, le reste est infrieur en module au premier termenglig.

    1.13.4 Dveloppements usuels en sries entires

    A) ex = 1 + + + + +

    ax = 1 + + + + + ,

    cos x = 1 + + ( 1)n + ,

    sin x = x = + + ( 1)n + ,

    ch x = 1 + + + + + ,

    sh x = x + + + + + .

    Ces dveloppements sont valables pour toute valeur de x.

    un 1+un

    ------------un 1+

    un------------

    up 1+1 K------------

    unnK p 1+

    1 K-------------

    K

    p 1+( ) 1-------------------------- 2

    1

    2 1

    1----------------------

    x1 !----- x

    2

    2 !------ x

    n

    n !-----

    x ln a1 !

    ------------- x ln a( )2

    2 !-------------------- x ln a( )

    n

    n !--------------------

    x2

    2 !----- x

    4

    4 !------ x

    2n

    2n( ) !--------------

    x3

    3 !------ x

    5

    5 !----- x

    2n 1+

    2n 1+( ) !-----------------------

    x2

    2 !----- x

    4

    4 !------ x

    2n

    2n( ) !--------------

    x3

    3 !------ x

    5

    5 !----- x

    2n 1+

    2n 1+( ) !-----------------------

    55

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  • 56

    1.13 Sries

    B) = 1+ x + x2 + + xn + ,

    = 1 x + x2 + ( 1)n xn + ,

    ln (1 + x) = x + + ( 1)n +1 + ,

    ln (1 x) = x ,

    Arc tan x = x + + ( 1)n + ,

    Arg th x = x + + + + +

    (1 + x)m = 1 + mx + x2 + + xn + ,

    quel que soit m rel

    = 1 + x + x2 + + xn + ,

    Arc sin x = x + + + + + ,

    Arc sh x = x + + ( 1)n + ,

    = 1 + x x2 + x3 x4 + ,

    = 1 x + x2 x3 + x4 ,

    = 1 + x x2 + x3 x4 + ,

    = 1 x + x2 x3 + x4 .

    Ces dveloppements ne sont valables que pour |x| < 1.

    ln = 2 , | x | < 1,

    ln = 2 , | x | > 1,

    11 x-----------

    11 x+-----------

    x2

    2---- x

    3

    3----- x

    n

    n----

    x2

    2---- x

    3

    3---- x

    n

    n----

    x3

    3---- x

    5

    5---- x

    2n 1+

    2n 1+---------------

    x3

    3---- x

    5

    5---- x

    2n 1+

    2n 1+---------------

    m m 1( )2 !

    ---------------------- m m 1( )... m n 1+( )n !

    -------------------------------------------------------

    1

    1 x--------------- 1

    2-- 1.3

    2.4-------- 1.3... 2n 1( )

    2.4... 2n( )---------------------------------

    12-- x

    3

    3---- 1.3

    2.4-------- x

    5

    5---- 1.3.5... 2n 1( )

    2.4.6... 2n( )-------------------------------------- x

    2n 1+

    2n 1+---------------

    12-- x

    3

    3---- 1.3

    2.4------- x

    5

    5---- 1.3.5... 2n 1( )

    2.4.6... 2n( )-------------------------------------- x

    2n 1+

    2n 1+---------------

    1 x+ 12-- 1.1

    2.4-------- 1.1.3

    2.4.6------------- 1.1.3.5

    2.4.6.8------------------

    1

    1 x+--------------- 1

    2-- 1.3

    2.4------- 1.3.5

    2.4.6------------- 1.3.5.7

    2.4.6.8------------------

    1 x+3 13-- 1.2

    3.6------- 1.2.5

    3.6.9------------- 1.2.5.8

    3.6.9.12---------------------

    1

    1 x+3---------------- 1

    3-- 1.4

    3.6------- 1.4.7

    3.6.9------------- 1.4.7.10

    3.6.9.12---------------------

    1 x+1 x----------- x x

    3

    3---- x

    5

    5---- x

    7

    7---- + + + +

    x 1+x 1----------- 1

    x-- 1

    3x3-------- 1

    5x5-------- + + +

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  • 1.13 Sries

    Dun

    od

    La

    phot

    ocop

    ie n

    on a

    utor

    ise

    est

    un

    dlit

    .

    ln x = 2 , x > 0,

    ln (x + ) = x + + = arg sh x, | x | 1,

    tan x = x + + + + + | x | < ,

    cotan x = , 0 < | x | < ,

    arc tan x = + + , x 0,

    sin x.sh x = x2 x6 + x10 ,

    sin x.ch x = x + x3 x5 x7 + ,

    cos x.sh x = x x3 x5 + x7 ,

    cos x.ch x = 1 x4 + x8 x12 + ,

    cot x = + + + + + + + .

    1.13.5 Nombres de Bernoulli et sries sy rattachantLes nombres de Brenoulli sont les coefficients des termes du dveloppementen srie de la fonction :

    = 1 + + + B4 + + pour | x | < 2 .

    Les nombres de Bernoulli se calculent par la formule Bn = (B + 1)n dans

    laquelle les puissances B sont remplaces dans le second membre par B partir de n = 2, ce qui entrane

    B3 = B5 = B7 = = 0 (tous les B d'indice impair sont nuls, l'exception de B1) .

    B1 = , B2 = , B4 = , B6 = , B8 = , B10 =

    Sries s'exprimant au moyen des nombres de Bernoulli.

    x 1x 1+-----------

    13-- x 1

    x 1+----------- 3 1

    5-- x 1

    x 1+----------- 5 + + +

    x2

    1+12-- x

    3

    3---- 1.3

    2.4------- x

    5

    5---- 1.3.5

    2.4.6------------ x

    7

    7----

    x3

    3---- 2x

    5

    3.5------- 17x

    2

    32.5.7

    --------------- 62x9

    32.5.7.9

    -------------------- 2---

    1x-- x

    3-- x

    3

    32.5

    ---------- 2x5

    32.5.7

    --------------- x7

    32.5

    2.7

    ------------------

    4--- x 1

    x 1+----------- 1

    3-- x 1

    x 1+----------- 3 1

    5-- x 1

    x 1+----------- 5

    22 !------ 2

    3

    6 !----- 2

    5

    10 !--------

    23 !----- 2

    2

    5 !----- 2

    3

    7 !------

    23 !----- 2

    2

    5 !------ 2

    3

    7 !-----

    22

    4 !------ 2

    4

    8 !----- 2

    6

    12 !--------

    1x-- 1

    x ----------- 1

    x +------------ 1

    x 2--------------- 1

    x 2+--------------- 1

    x 3-------------- 1

    x 3+---------------

    xex 1-------------

    xex 1-------------

    B1x

    1 !--------

    B2x2

    2 !----------- x

    4

    4 !-----

    B6x6

    6 !-----------

    12-- 1

    6-- 1

    30----- 1

    42----- 1

    30----- 5

    66-----

    57

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  • 58

    1.13 Sries

    ln sin x = ln x B2 + B4 B4 + , | x | < ,

    ln cos x = (22 1) B2 + (24 1) B4 +

    (26 1) B6 + , | x | < ,

    ln tan x = ln x + (22 2) B2 (24 2) B4 +

    + (26 2) B6 , | x | < ,

    x tan x = (22 1) B2 (24 1) B4 +

    + (26 1) B6 , | x | < ,

    x cotan x = 1 B2 + B4 B6 + , | x | < .

    (Voir note relative au calcul des nombres de Bernoulli).

    1.13.6 Nombres d'Euler et sries s'y rattachant

    Les nombres d'Euler sont dfinis par les formules de rcurrence suivantes :

    C2n2 E1 C2n4 E2 + C

    2n6 E3 + + ( 1)

    n En = 1, avec n = 1, 2, 3, ...

    E1 = 1, E2 = 5, E3 = 61, E4 = 1 385, E5 = 50 521.

    Sries s'exprimant en fonction des nombres d'Euler.

    = 1 + + + + | x | <

    ln tan = x + E1 + E2 + E3 + | x | < .

    1.13.7 Sommes de sries

    Le calcul exact de la somme d'une srie convergente ne peut s'effectuer quedans des cas particuliers : en gnral on ne pourra calculer ladite somme que

    2x( )2

    2.2 !------------- 2x( )

    4

    4.4 !------------ 2x( )

    6

    6.6 !------------

    2---

    2x( )2

    2.2 !------------- 2x( )

    4

    4.4 !-------------

    2x( )6

    6.6 !-------------

    2---

    2x( )2

    2.2 !------------ 2x( )

    4

    4.4 !------------

    2x( )6

    6.6 !-------------

    2---

    2x( )2

    2 !------------- 2x( )

    4

    4 !-------------

    2x( )6

    6 !-------------

    2---

    2x( )2

    2 !------------ 2x( )

    4

    4 !------------- 2x( )

    6

    6 !------------

    1cos x-----------

    E1x2

    2 !-----------

    E2x4

    4 !-----------

    E3x6

    6 !-----------

    2---

    4--- x

    2--+

    x3

    3 !------ x

    5

    5 !----- x

    7

    7 !-----

    2---

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  • 1.13 Sries

    Dun

    od

    La

    phot

    ocop

    ie n

    on a

    utor

    ise

    est

    un

    dlit

    .

    par approximations. Nous donnons ci-dessous quelques cas o le calcul exactde la somme de certaines sries est possible.

    SRIE GOMTRIQUE ET SRIES EN DRIVANT :

    1 + x + x2 + + x4 + = quand x < 1.

    En drivant :

    1 + 2 x + 3 x2 + + nxn 1 + = ,

    2 + 2.3 x + + n(n 1)xn 2 + =

    SRIE HARMONIQUE ALTERNE :

    1 + + = ln 2 0,693 147.

    (ln (1 + x) dans laquelle x = 1) .

    Srie + + + + = ln 2 .

    SRIE DE TERME GNRAL un = ln

    un = 1 + + + ln

    = 1 + + + ln n ln .

    C = 0,577 215.

    C = constante dEuler.

    SRIE HARMONIQUE (DIVERGENTE). Somme des n premiers termes :

    1 + + + + = C + ln n +

    C = constante dEuler. B2k = nombres de Bernoulli.

    11 x-----------

    1

    1 x( )2------------------

    2

    1 x( )3------------------

    12-- 1

    3-- 1

    4--

    12-- 1

    2.22---------- 1