7/23/2019 Aide Memoire Ln Exp

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AIDE MEMOIRE LN ET EXP

1 Fonction ln

La fonction ln est definie sur ]0;[ ln1 = 0 et lne = 1 Signe de ln

lnx > 0 pour x > 1

Derivation(lnx) =

1

xet (lnu) =

u

uavec u(x) > 0 donc

PrimitivesSi x > 0 F(x) = lnx est une primitive de f(x) =

1

x Regles de calcul

Si a, b sont des reels strictement positifs :

lna + lnb = ln(ab) lna lnb = ln( ab

) ln(1

a) = lna ln(an) = nlna et 1

2lna = ln(a)

En particulier : 2 = ln(e2), 3 = ln(e3) ......Quelques rappels :

1. Pour etudier le signe dune derivee, il faut essayer de factoriser au maximum lexpression.2. Pour resoudre des equations ou inequations avec ln, il faut dabord chercher lensemble de definition.

3. Attention a ne pas ecrire :

ln(2) ln(3) = ln(2 3) car cest ln2 + ln3 = ln(2 3) On ne peut simplifier que des sommes ou des differences de logarithmes.

Penser aussi que 2lnx = ln(x2), 3lnx = ln(x3).....

Pour resoudre des inequations, il faut transformer les expressions de facon a obtenir ln(.......) =ln(.........) en utilisant les proprietes citees ci-dessus. Remarquer que lon peut faire apparaitre ln en

utilisant : 0 = ln1 ; 1 = lne ; 2 = lne2 ; 3 = lne3 ; 1 = lne = ln( 1e

; 2 = ln2 = ln( 12

.......

2 Exponentielle

La fonction exp est definie sur R et ex > 0exp est la reciproque de ln : ln(ex) = x et si x > 0, elnx = x.

Signe de exex > 0 et donc eu(x) > 0

Derivation(ex) = ex

(eu) = ueu

Primitives

F(x) = ex est une primitive de f(x) = ex sur R.G(x) = eu(x) est une primitive de g(x) = u(x)eu(x)

Regles de calculSi a, b sont des reels :

ea eb = e(a+b) ea

eb= e(ab) ea =

1

eae0 = 1 et e1 = e 2, 7

Quelques rappels :

1. Pour etudier le signe dune derivee, il faut essayer de factoriser au maximum lexpression et on peut essayerde mettre une expression du type eu en facteur car eu(x) > 0.

2. On ne peut simplifier que des produits ou des quotients dexponentielles.

3. e

1

2 =

e

Si q > 0, qx = exlnq (croissante si q > 1)