aide mémoire eléments finis

1. Alexandre Ern Aide-mmoire lments finis

2. Dunod, Paris, 2005 ISBN 2 10 007303 6

3. TABLE DES MATIRES Avant-propos VII 1 Prlude : lments nis en dimension un 1 1.1 Le problme modle 1 1.2 Principes de la mthode des lments nis 6 1.3 lment ni de Lagrange P1 9 1.4 lment ni de Lagrange Pk 15 1.5 Analyse de convergence 21 1.6 Rsolution numrique 24 1.7 Complment : lment ni de Hermite 27 2 La mthode de Galerkin 30 2.1 Le problme modle est-il bien pos ? 31 2.2 Principe de la mthode de Galerkin 33 2.3 Le problme approch est-il bien pos ? 35 2.4 Analyse derreur 37 3 lments nis de Lagrange 45 3.1 Notion locale dlment ni de Lagrange 45 3.2 Exemples classiques dlments nis de Lagrange 47 3.3 Notions lmentaires sur les maillages 54 3.4 Gnration dlments nis de Lagrange 62 3.5 Espaces H1-conformes 64 3.6 Interpol de Lagrange sur un maillage 69 3.7 Interpolation isoparamtrique 70 cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit III

4. 4 Autres lments nis 75 4.1 Dnition gnrale dun lment ni 75 4.2 Oprateur dinterpolation local 77 4.3 Oprateur dinterpolation global 78 4.4 lments nis de CrouzeixRaviart 83 4.5 lments nis de RaviartThomas 86 4.6 lments nis de Ndlec (ou darte) 90 4.7 lments nis de degr lev 94 5 Approximation de problmes coercifs 103 5.1 Le Laplacien 104 5.2 lasticit linaire 121 5.3 Complment : approximation spectrale 129 6 lments nis mixtes 133 6.1 Problmes de type point selle 134 6.2 lments nis mixtes pour le problme de Stokes 139 6.3 lments nis mixtes pour le problme de Darcy 151 6.4 Complment : compressibilit articielle 163 7 Galerkin/moindres carrs 165 7.1 Principe de la mthode 165 7.2 Advectionraction 169 7.3 Advectiondiffusion avec advection dominante 175 7.4 Problme de Stokes 181 7.5 Complment : viscosit de sous-maille 184 8 Estimation derreur a posteriori 188 8.1 Cadre gnral 188 8.2 Estimateurs par rsidu 192 8.3 Estimateurs par dualit 196 8.4 Estimateurs hirarchiques 199 8.5 Maillages adaptatifs 205 8.6 Complments 206 IV

5. 9 Quadratures 213 9.1 Principe des quadratures 213 9.2 Exemples de quadratures 217 9.3 Erreurs de quadrature dans la mthode des lments nis 224 10 Matrices dlments nis 228 10.1 Conditionnement 229 10.2 Factorisation LU et variantes 236 10.3 Matrices creuses et renumrotation 243 11 Solveurs itratifs 249 11.1 Mthodes de relaxation 250 11.2 Gradient conjugu et variantes 256 11.3 Mthodes multi-chelles 271 11.4 Complments 284 12 Programmer les lments nis 288 12.1 Structure de donnes pour le maillage 288 12.2 Structure de donnes pour les quadratures 292 12.3 Assemblage 296 12.4 Stockage 300 12.5 Mailleurs 305 12.6 Conditions aux limites de Dirichlet 307 Annexe Bases mathmatiques de la mthode des lments nis 310 A.1 Espaces de Banach 310 A.2 Espaces de fonctions rgulires 319 A.3 Intgration et espaces de Lebesgue 320 A.4 Distributions et espaces de Sobolev 323 Nomenclature 329 Bibliographie 337 Index 345 cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit V

6. AVANT-PROPOS Les origines de la mthode des lments nis remontent aux annes 1950 lorsque des ingnieurs lutilisrent an de simuler des problmes de mcanique des milieux continus dformables. Depuis, le champ dapplications sest considrablement tendu et les fondements thoriques de la mthode se sont amplement consolids. Il existe de nos jours un nombre important de logi- ciels commerciaux et acadmiques qui utilisent la mthode des lments nis comme un outil de simulation robuste pour des problmes de mcanique des milieux continus, de mcanique des uides, de thermique, dlectromagn- tisme ou de nance, pour ne citer que quelques exemples. Lessor de la mthode des lments nis repose sur deux ingrdients fondamentaux. Dune part, les proprits interpolantes des lments nis : ceux-ci permettent dapprocher des fonctions dnies sur un domaine en maillant ce domaine puis en choisissant sur chaque maille des combinaisons linaires de fonctions de forme (par exemple polynmiales). Dautre part, la mthode de Galerkin, qui fournit un cadre dapproximation gnral pour une large classe de problmes o linconnue est une fonction qui doit satisfaire une ou plusieurs quations aux drives partielles et des conditions aux limites. Cet aide-mmoire sadresse en premier lieu aux ingnieurs en bureaux dtudes qui utilisent ou dveloppent des modles numriques bass sur la mthode des lments nis. Son objectif est de rappeler (sans dmonstration) les principaux rsultats thoriques fondant la mthode, den analyser des applications divers problmes modles des sciences de lingnieur et, enn, den tudier la mise en uvre numrique et les bases de sa programmation. Cet aide-mmoire constitue galement un outil de travail pour les lves-ingnieurs et tudiants de niveau master. En particulier, certains chapitres correspondent des cours cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit VII

7. dispenss par lauteur en premire et deuxime annes dcoles dingnieurs. Une annexe qui rsume les bases mathmatiques de la mthode des lments nis permet au lecteur de faire le point sur son bagage mathmatique an de tirer le meilleur prot de la lecture de cet ouvrage. Cet aide-mmoire peut galement servir dintroduction au livre de Ern et Guermond, Theory and Practice of Finte elements, Applied Mathematical Se- ries, volume 159, Springer, New York (2004), qui sadresse aux tudiants de troisime cycle et aux chercheurs. Le lecteur dsireux dapprofondir ltude de la mthode des lments nis est invit consulter cette rfrence. Il y trouvera en particulier la preuve des rsultats qui sont ici noncs sans dmonstration. Par ailleurs, cet aide-mmoire propose une bibliographie comprenant quatre- vingts rfrences la littrature spcialise dont une quarantaine douvrages de rfrence dans le domaine. Jadresse mes plus vifs remerciements Erik Burman, Linda El Alaoui, Jean- Frdric Gerbeau, Tony Lelivre et Pierre Tardif dHamonville pour avoir relu cet ouvrage et mavoir fait part de leurs suggestions. VIII

8. 1 PRLUDE : LMENTS FINIS EN DIMENSION UN Ce chapitre introductif a pour but dclairer les fondements thoriques de la mthode des lments nis et les grandes tapes intervenant dans sa mise en uvre numrique travers ltude dun exemple relativement simple : un problme aux limites dordre deux en dimension un. Cette tude permettra dintroduire dune part quelques mots cls essentiels pour la comprhension de la mthode et dautre part quelques lments nis classiques en une dimension despace. 1.1 Le problme modle On considre un intervalle V 5 ]a, b[. tant donn deux fonctions a : V R et f : V R, on cherche une fonction u : V R telle que (au ) 5 f dans V, (1.1) u(a) 5 u(b) 5 0. (1.2) Le problme modle (1.1)(1.2) admet plusieurs interprtations physiques. quilibre mcanique dune corde tendue. On considre une corde ho- rizontale tendue entre ses deux extrmits situes aux points a et b. On applique cette corde une densit linique defforts verticaux. Ces efforts sont dcrits par la fonction f : pour x V, f (x)dx reprsente lintensit des efforts appliqus sur le segment (x, x 1 dx) de la corde. La fonction u reprsente le dplacement vertical de la corde lquilibre ; voir la gure 1.1. Enn, la fonction a dcrit les proprits mcaniques de la corde. Si la corde est homogne, la fonction a est constante. cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 1

9. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.1 Le problme modle Figure 1.1 quilibre mcanique dune corde tendue : dplacement de la corde lquilibre ( gauche) et densit linique defforts appliqus ( droite). Lorsque la fonction a est constante et gale 1, la fonction de droite est gale loppos de la drive seconde de la fonction de gauche. quilibre thermique dune barre chauffe. La barre occupe le domaine V, la fonction inconnue u reprsente la distribution de temprature dans la barre, la fonction f la puissance linique fournie et la fonction a la conduc- tivit thermique de la barre. Si la barre est homogne, la fonction a est constante. Les quations (1.1)(1.2) interviennent galement dans des modles de diffu- sion et dans des modles dlectrostatique. Dans le problme (1.1)(1.2), linconnue u est une fonction de V dans R. La mthode des lments nis permet de construire une approximation de cette fonction, cest--dire une fonction de V dans R que lon note uh et telle que la diffrence u uh en une certaine norme puisse tre rendue sufsamment petite. Toutefois, avant dtudier lapproximation du problme (1.1)(1.2) par la mthode des lments nis, il convient de prciser le cadre mathmatique dans lequel on se place. Lobjectif est de sassurer que le problme (1.1)(1.2) est bien pos, cest--dire quil admet une et une seule solution. Pour cela, on reformule ce problme sous la forme suivante, appele forme faible, Chercher u V tel que V au v 5 V fv, v V , (1.3) o V est un espace fonctionnel (un espace vectoriel dont les lments sont des fonctions) qui sera prcis par la suite. On suppose que les lments de V sannulent en a et en b. Formellement, lquivalence entre (1.1)(1.2) et (1.3) repose sur une intgration par parties. En effet, si u est solution de (1.1)(1.2), alors en multipliant (1.1) par une fonction test v arbitraire dans V , en intgrant 2

10. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.1 Le problme modle par parties et en utilisant le fait que v sannule en a et en b, il vient V fv 5 V (au ) v 5 V au v [au v]b a 5 V au v . (1.4) Rciproquement, si u est solution de (1.3), on obtient en intgrant par parties le membre de gauche de (1.3), v V , V [f 1 (au ) ]v 5 0. (1.5) Puisque v est arbitraire dans V , on en dduit (1.1). De plus, par construction, u V implique que u sannule en a et en b, si bien que lquation (1.2), quon appelle condition aux limites, est galement satisfaite. An dtablir le caractre bien pos de (1.3), il est ncessaire de prciser lespace fonctionnel V . Un point important concerne le sens donner aux d- rives. En effet, si le coefcient a est discontinu (ce qui est le cas dans les exemples ci-dessus lorsque la corde ou la barre est htrogne), on ne peut pas donner un sens classique la drive de au mme si la fonction u est rgulire. Pour remdier cette difcult, on introduit la notion de distribution sur V et celle de drive au sens des distributions. Les distributions sur V constituent une gnralisation naturelle de la notion de fonction : toute fonction intgrable (au sens de Lebesgue) sur V est une distribution sur V, mais il existe des distributions sur V qui ne peuvent pas tre reprsentes par des fonctions (par exemple, la masse de Dirac). De plus, toute distribution sur V est drivable au sens des distributions. Cette notion fournit une extension naturelle de la notion de drivation au sens classique puisque pour toute fonction continment diffrentiable sur V, sa drive usuelle et sa drive au sens des distributions concident. De plus, pour une fonction continue sur V et diffrentiable par morceaux, sa drive au sens des distributions svalue simplement en drivant au sens usuel la fonction l o elle est drivable. Ainsi, la drive au sens des distributions de la fonction 1|x| sur V 5 ]1, 1[ est la fonction valant 1 sur ]1, 0[ et 1 sur ]0, 1[ ; voir la gure 1.2. Pour des rap- pels sur les bases mathmatiques de la mthode des lments nis, on renvoie lannexe A. cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 3

11. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.1 Le problme modle 11 11 Figure 1.2 Fonction 1|x| ( gauche) et sa drive au sens des distributions ( droite). On introduit les espaces fonctionnels suivants : H1 (V) 5 {v L2 (V) ; v L2 (V)}, (1.6) H1 0 (V) 5 {v H1 (V) ; v(a) 5 v(b) 5 0}, (1.7) les drives tant entendues au sens des distributions1 . On quipe les espaces H1 (V) et H1 0 (V) de la norme v 1,V 5 v 2 0,V 1 v 2 0,V 1 2 , (1.8) o 0,V dsigne la norme canonique de L2 (V) : pour v L2 (V), on a v 0,V 5 ( V v2 ) 1 2 . Un rsultat classique danalyse fonctionnelle montre ququips de cette norme, les espaces H1 (V) et H1 0 (V) sont des espaces de Hilbert. Par ailleurs, on pose |v|1,V 5 v 0,V. (1.9) On notera que | |1,V est une semi-norme (et non une norme) sur H1 (V) car |v|1,V 5 0 nimplique pas v 5 0 (la fonction v peut tre constante sur V). 1. Les lments de H1(V) sont des fonctions dnies presque partout sur V, cest-- dire que ces fonctions sont dnies partout sur V sauf sur un ensemble de mesure nulle. Il nest donc pas vident a priori que lon puisse parler de la valeur de ces fonctions en a ou en b. En fait, un rsultat classique danalyse fonctionnelle montre que si v H1(V), les valeurs prises par v en a et en b ont bien un sens ; voir la section A.4. 4

12. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.1 Le problme modle Par la suite, on considre galement les espaces fonctionnels suivants, quon appelle espaces de Sobolev : pour un entier s 1, Hs (V) 5 {v L2 (V) ; k {1, . . . , s}, v(k) L2 (V)}, (1.10) o v(k) dsigne la drive dordre k de v (au sens des distributions). quip de la norme v s,V 5 v 2 0,V 1 v 2 0,V 1 . . . 1 v(s) 2 0,V 1 2 5 s k50 v(k) 2 0,V 1 2 , (1.11) Hs (V) est un espace de Hilbert. Par ailleurs, on introduit la semi-norme |v|s,V 5 v(s) 0,V. (1.12) Il sagit dune norme et non dune semi-norme car |v|s,V 5 0 si la fonction v est un polynme de degr infrieur ou gal (s 1). On formule le problme (1.3) sous la forme suivante : Chercher u H1 0 (V) tel que V au v 5 V fv, v H1 0 (V). (1.13) On suppose que f L2 (V) et que la fonction a : V R est dune part minore sur V par un rel a0 strictement positif et dautre part majore sur V par un rel a1. On a le rsultat suivant. Proposition 1.1. Avec les hypothses ci-dessus, le problme (1.13) est bien pos. Le caractre bien pos du problme (1.13) rsulte du lemme de LaxMilgram ; voir la section 2.1.1. En particulier, on utilise le fait que v H1 0 (V), V a(v )2 a0|v|2 1,V cVa0 v 2 1,V, (1.14) o cV est une constante strictement positive ne dpendant que de la mesure de lintervalle V. La premire minoration rsulte de lhypothse sur la fonction a. La deuxime minoration est une consquence de lingalit de Poincar ; voir le lemme 5.1 et la section A.4. cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 5

13. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.2 Principes de la mthode des lments nis 1.2 Principes de la mthode des lments nis La mthode des lments nis repose sur deux principes : dune part, la formulation dun problme approch par la mthode de Galerkin (ou une variante de celle-ci) ; dautre part, la construction dun espace dapproximation (de dimension nie) laide dun maillage, de fonctions polynmiales par morceaux et de degrs de libert sur chaque maille. 1.2.1 Le problme approch On cherche une solution approche du problme (1.13) en y remplaant lespace de dimension innie H1 0 (V) par un sous-espace de dimension nie. En notant Vh H1 0 (V) ce sous-espace de dimension nie, quon appelle espace dapproximation, le problme approch consiste Chercher uh Vh tel que V auhvh 5 V fvh, vh Vh. (1.15) La mthode dapproximation introduite ci-dessus porte le nom de mthode de Galerkin. Elle est prsente ici sous sa forme la plus simple. Plusieurs variantes sont tudies dans le chapitre 2. Le problme approch (1.15) nest rien dautre quun systme linaire. En effet, soit {w1, . . . , wN } une base de Vh o N dsigne la dimension de Vh. On dcompose la solution approche uh dans cette base selon uh 5 N i51 Uiwi, (1.16) et on introduit le vecteur U de RN form par les composantes de uh dans cette base, U 5 (Ui)1 i N . Soit A RN,N la matrice de rigidit dont les composantes sont Aij 5 V awiwj , i, j {1, . . . , N}, (1.17) 6

14. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.2 Principes de la mthode des lments nis et soit F RN le vecteur de composantes Fi 5 V f wi, i {1, . . . , N}. (1.18) Un calcul lmentaire montre que uh est solution de (1.15) si et seulement si AU 5 F. (1.19) La mthode de Galerkin permet donc de remplacer un problme pos en dimension innie par un systme linaire. Grce lingalit (1.14), on montre que la matrice de rigidit A est dnie positive. Le systme linaire (1.19) admet donc une et une seule solution et il en va de mme du problme approch (1.15). La prochaine question qui se pose est de savoir si la solution approche uh est une bonne approximation de la solution exacte u. Pour rpondre cette question, on dispose de lestimation derreur suivante. Il sagit dun cas particulier du lemme de Ca qui sera nonc au chapitre 2 sous une forme un peu plus abstraite. Proposition 1.2. Il existe une constante c, indpendante du choix de lespace dapproximation Vh, telle que u uh 1,V c inf vhVh u vh 1,V. (1.20) La quantit infvhVh u vh 1,V sinterprte comme la distance de la solution exacte u lespace dapproximation Vh (pour la distance induite par la norme 1,V). Lestimation derreur (1.20) montre que la solution approche nest pas trop loin de la plus proche fonction u dans Vh. Lestimation (1.20) rsulte de la relation dorthogonalit de Galerkin que lon retrouvera au chapitre 2. Lemme 1.3. Pour tout vh Vh, on a V a(u uh) vh 5 0. (1.21) La preuve du lemme 1.3 est immdiate. Pour tout vh Vh, il vient V auhvh 5 V fvh 5 V au vh, (1.22) cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 7

15. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.2 Principes de la mthode des lments nis la dernire galit rsultant du fait que Vh H1 0 (V). En utilisant lingalit (1.14), on dduit que pour tout vh Vh, cVa0 u uh 2 1,V V a(u uh) (u uh) V a(u uh) (u vh) a1 u uh 1,V u vh 1,V, (1.23) do lestimation (1.20) avec c 5 1 cV a1 a0 puisque la fonction vh est arbitraire dans Vh. 1.2.2 Construction de lespace dapproximation La premire tape dans la construction de lespace dapproximation Vh consiste mailler lintervalle V. En une dimension despace, un maillage de V 5 ]a, b[ est une collection indexe dintervalles, {Ii 5 [x1,i, x2,i]}1 i Nma , tous de mesure non-nulle, et formant une partition de V. En dautres termes, on a [a, b] 5 Nma i51 [x1,i, x2,i] et ]x1,i, x2,i[]x1,j, x2,j[ 5 pour i j. (1.24) Les intervalles Ii sont appels les mailles (ou les lments ou les cellules du maillage) et lentier Nma dsigne le nombre total de mailles. La faon la plus simple de construire un maillage est de choisir (Nma 1 1) points distincts de V tels que a 5 x1 < x2 < ... < xNma < xNma11 5 b, (1.25) et de poser x1,i 5 xi et x2,i 5 xi11 pour tout i {1, . . . , Nma}. Les points de lensemble {x1, . . . , xNma11} sont appels les sommets du maillage. On dsigne par Nso le nombre de sommets du maillage. En une dimension despace, on a donc Nso 5 Nma 1 1. (1.26) Le maillage est a priori de pas variable. On pose pour tout i {1, . . . , Nma}, hi 5 xi11 xi et h 5 max 1 i Nma hi. (1.27) 8

16. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.3 lment ni de Lagrange P1 On dit que le maillage est uniforme lorsque hi 5 h pour tout i {1, . . . , Nma}. Par la suite, le maillage est dsign sous la forme Th 5 {Ii}1 i Nma , lindice h indiquant la nesse globale du maillage. La deuxime tape dans la construction de lespace dapproximation consiste choisir des fonctions de forme sur chaque maille. En dautres termes, les fonctions de Vh sont telles que leur restriction chaque maille Ii Th est dans tel ou tel espace polynmial. Dnition 1.4. Soit un entier k 1. En une dimension despace, on dsigne par Pk lespace vectoriel des polynmes coefcients rels de degr infrieur ou gal k. On pose Wh 5 {wh L2 (V) ; i {1, . . . , Nma}, wh|Ii Pk}. (1.28) Il est clair que Wh est un espace de dimension nie, sa dimension tant gale (k 1 1) 3 Nma. Toutefois, Wh ne peut pas tre utilis tel quel dans le problme approch (1.15) car il nest pas inclus dans H1 0 (V). En effet, une fonction wh Wh peut tre discontinue aux interfaces entre les mailles et un rsultat classique danalyse fonctionnelle montre que dans ces conditions, wh H1 (V). De plus, une fonction wh Wh nest pas ncessairement nulle en a et en b. On pose donc Vh 5 Wh H1 0 (V). (1.29) Les sections 1.3 et 1.4 prsentent des exemples concrets despaces dapproximation Vh. 1.3 lment ni de Lagrange P1 On considre les espaces vectoriels suivants : P1 c,h 5 {vh C0 (V) ; i {1, . . . , Nma}, vh|Ii P1}, (1.30) P1 c,h,0 5 {vh P1 c,h ; vh(a) 5 vh(b) 5 0}, (1.31) cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 9

17. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.3 lment ni de Lagrange P1 dont les lments sont des fonctions continues et afnes par morceaux. Les fonctions de P1 c,h sont drivables (au sens classique) sur chaque maille ; elles sont de plus continues aux interfaces entre les mailles. Un rsultat danalyse fonctionnelle conduit alors au rsultat suivant. Proposition 1.5. P1 c,h H1 (V) et P1 c,h,0 H1 0 (V). On introduit la famille de fonctions {w1, . . . , wNso } que lon d- nit localement sur chaque maille de la manire suivante : pour tout i {2, . . . , Nso 1}, wi(x) 5 1 hi1 (x xi1) si x Ii1, 1 hi (xi11 x) si x Ii, 0 sinon, (1.32) et (on rappelle que Nso 1 5 Nma) w1(x) 5 1 h1 (x2 x) si x I1, 0 sinon, wNso (x) 5 1 hNso1 (x xNso1) si x INso1, 0 sinon. (1.33) Il est clair que wi P1 c,h pour tout i {1, . . . , Nso} et que wi P1 c,h,0 pour tout i {2, . . . , Nso 1}. Pour tout i {1, . . . , Nso}, la fonction wi vaut 1 au sommet xi et 0 aux autres sommets du maillage. On a donc wi(xj) 5 dij, i, j {1, . . . , Nso}, (1.34) o dij dsigne le symbole de Kronecker tel que dij 5 1 si i 5 j et dij 5 0 si i j. Les fonctions wi sont appeles fonctions chapeau en rfrence la forme de leur graphe ; voir la gure 1.3. La drive au sens des distributions de la 10

18. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.3 lment ni de Lagrange P1 x1 x2 w1 xi2 xi1 xi xi11 xi12 xNso1 xNso 1 wiwi1 wi11 wNso . . .. . . Figure 1.3 Fonctions de forme dans lespace dapproximation P1 c,h : fonctions chapeau. fonction wi sexprime sous la forme wi(x) 5 1 hi1 si x Ii1, 1 hi si x Ii, 0 sinon. (1.35) Il sagit donc dune fonction constante par morceaux. La famille {w1, . . . , wNso } est une base de P1 c,h. En effet, cette famille est clairement libre puisque si la fonction w 5 Nso j51 ajwj (1.36) est identiquement nulle sur V, il est clair que pour tout i {1, . . . , Nso}, on a w(xi) 5 Nso j51 ajwj(xi) 5 Nso j51 ajdij 5 ai 5 0. (1.37) Cette famille est galement gnratrice de P1 c,h. En effet, soit vh P1 c,h. On pose wh 5 Nso j51 vh(xj)wj. (1.38) cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 11

19. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.3 lment ni de Lagrange P1 Sur chaque intervalle Ii Th, i {1, . . . , Nma}, les fonctions vh et wh sont afnes et concident en deux points (les extrmits de la maille Ii). Par consquent, ces fonctions sont gales. On en dduit que vh 5 wh sur V, ce qui montre que toute fonction de P1 c,h peut scrire comme une combinaison linaire des fonctions {w1, . . . , wNso }. Pour tout i {1, . . . , Nso}, on dnit la forme linaire gi : C0 (V) v v(xi) R. (1.39) Il est clair que pour tout i, j {1, . . . , Nso}, gi(wj) 5 dij. (1.40) Proposition 1.6. (i) La famille {w1, . . . , wNso } est une base de P1 c,h et la famille {g1, . . . , gNso } est une base de L(P1 c,h; R). (ii) La famille {w2, . . . , wNso1} est une base de P1 c,h,0 et la famille {g2, . . . , gNso1} est une base de L(P1 c,h,0; R). Corollaire 1.7. dim P1 c,h 5 Nso 5 Nma 1 1 et dim P1 c,h,0 5 Nso 2 5 Nma 1. Dnition 1.8. (i) Les formes linaires {g1, . . . , gNso } sont appeles les degrs de libert dans P1 c,h et les fonctions {w1, . . . , wNso } sont appeles les fonctions de forme dans P1 c,h. (ii) Les formes linaires {g2, . . . , gNso1} sont appeles les degrs de libert dans P1 c,h,0 et les fonctions {w2, . . . , wNso1} sont appeles les fonctions de forme dans P1 c,h,0. On introduit loprateur dinterpolation suivant : I1 c,h : C0 (V) v Nso i51 gi(v)wi P1 c,h. (1.41) Pour une fonction v C0 (V), I1 c,hv est lunique fonction continue et afne par morceaux qui prend les mmes valeurs que v aux Nso sommets du 12

20. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.3 lment ni de Lagrange P1 maillage ; voir la gure 1.4. La fonction I1 c,hv est appele linterpol de La- grange de v de degr 1. En une dimension despace, les fonctions de H1 (V) sont continues. Par consquent, I1 c,h peut galement tre vu comme un oprateur de H1 (V) dans H1 (V). On montre que cet oprateur est continu et que sa norme I1 c,h L(H1(V);H1(V)) est uniformment borne en h. En dautres termes, il existe une constante c, indpendante de h, telle que pour tout v H1 (V), I1 c,hv 1,V c v 1,V. (1.42) x1 xNso I1 c,hv v Figure 1.4 Interpol de Lagrange de degr 1. Par ailleurs, on souhaite connatre la prcision de loprateur dinterpolation I1 c,h, cest--dire que pour toute fonction v sufsamment rgulire, on souhaite estimer lerreur dinterpolation v I1 c,hv dans une certaine norme. On a le rsultat suivant. Proposition 1.9. Pour tout h et pour tout v H2 (V), on a v I1 c,hv 0,V h2 |v|2,V et |v I1 c,hv|1,V h|v|2,V. (1.43) On dit que lerreur dinterpolation en norme L2 est dordre 2 en h et quelle est dordre 1 en h en semi-norme H1 (et donc galement en norme H1 ). La preuve de la proposition 1.9 est la fois relativement simple et instructive. cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 13

21. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.3 lment ni de Lagrange P1 (i) On considre un intervalle Ii Th. Soit w H1 (Ii) une fonction qui sannule en (au moins) un point j dans Ii. Alors, pour tout x Ii, on a |w(x)| 5 |w(x) w(j)| x j |w (s)| ds x j ds 1 2 x j |w (s)|2 ds 1 2 h 1 2 i |w|1,Ii , grce lingalit de CauchySchwarz. On en dduit w 0,Ii hi|w|1,Ii . (ii) Soit v H2 (V) et soit i {1, . . . , Nma}. On pose ui 5 (v I1 c,hv)|Ii et wi 5 ui. Il est clair que wi H1 (Ii) et daprs le thorme des accroissements nis, wi sannule en (au moins) un point j dans Ii. On dduit de ltape (i) ci-dessus que wi 0,Ii hi|wi|1,Ii . Par consquent, |v I1 c,hv|1,Ii 5 wi 0,Ii hi|wi|1,Ii 5 hi|v|2,Ii , puisque la fonction (I1 c,hv) est identiquement nulle sur Ii. En sommant les estimations ci-dessus sur toutes les mailles, on obtient la deuxime majoration dans (1.43). (iii) An de prouver la premire majoration dans (1.43), on observe que lestimation de ltape (i) ci-dessus peut tre applique (v I1 c,hv)|Ii avec j 5 xi, ce qui donne v I1 c,hv 0,Ii hi|v I1 c,hv|1,Ii h2 i |v|2,Ii . On conclut en sommant sur les mailles. Cette preuve illustre trs clairement le fait que les proprits interpolantes de loprateur I1 c,h sont purement locales. On tablit dabord une estimation de lerreur dinterpolation sur chaque maille, puis on dduit les estimations globales (1.43) en sommant les contributions des diffrentes mailles. Cette observation motive lapproche adopte dans les chapitres 3 et 4 o : (i) on dnit un lment ni et loprateur dinterpolation associ en adoptant un point de vue local sur une maille ; (ii) puis, on construit un oprateur dinterpolation global en maillant le domaine V. 14

22. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.4 lment ni de Lagrange Pk Figure 1.5 Une fonction interpoler dont la drive seconde nest pas grande (trait n), une fonction interpoler dont le graphe prsente une forte courbure (trait pointill) ; ces deux fonctions ont ici le mme interpol de Lagrange de degr 1 (trait gras). Remarque 1.10 Le fait que la drive seconde de v intervienne dans les estimations (1.43) est relativement naturel dans la mesure o plus cette drive seconde est grande, plus le graphe de la fonction v est courbe, do une plus grande dviation par rapport un interpol afne par morceaux ; voir la gure 1.5 pour une illustration graphique. Par ailleurs, si la fonction interpoler nest pas sufsamment rgulire pour tre dans H2(V), on dispose des majorations suivantes : h, v I1 c,hv 0,V h|v|1,V et lim h0 |v I1 c,hv|1,V 5 0, qui montrent que lerreur dinterpolation en norme H1 tend vers zro et que lerreur dinterpolation en norme L2 converge lordre 1 en h. 1.4 lment ni de Lagrange Pk Soit un entier k 1. On considre les espaces vectoriels suivants : Pk c,h 5 {vh C0 (V) ; i {1, . . . , Nma}, vh|Ii Pk}, (1.44) Pk c,h,0 5 {vh Pk c,h ; vh(a) 5 vh(b) 5 0}, (1.45) dont les lments sont des fonctions continues et polynmiales de degr k par morceaux. On a le rsultat suivant. cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 15

23. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.4 lment ni de Lagrange Pk Proposition 1.11. Pk c,h H1 (V) et Pk c,h,0 H1 0 (V). An dexhiber les fonctions de forme dans Pk c,h et Pk c,h,0, on introduit les polynmes dinterpolation de Lagrange. Dnition 1.12 (Polynmes dinterpolation de Lagrange). Soit un entier k 1. On considre une famille F 5 {s0, . . . , sk} constitue de (k 1 1) rels distincts. Les polynmes dinterpolation de Lagrange {LF 0 , . . . , LF k } associs la famille F sont dnis comme suit : LF m (t) 5 lm(t sl ) lm(sm sl ) , m {0, . . . , k}. (1.46) Par construction, on a LF m (sn) 5 dmn, m, n {0, . . . , k}. (1.47) Par la suite, les polynmes dinterpolation de Lagrange associs la famille de rels {m k }0 m k quirpartis sur lintervalle [0, 1] sont nots {Lk 0, . . . , Lk k}. Le tableau 1.1 contient une reprsentation graphique ainsi que lexpression analytique de ces polynmes pour k {1, 2, 3}. Soit i {1, . . . , Nma}. On considre la famille de (k 1 1) rels quirpartis sur la maille Ii Th telle que Fi 5 {xi 1 m k hi}0 m k. (1.48) Un simple changement de variables montre que les polynmes dinterpolation de Lagrange associs la famille Fi sexpriment sous la forme LFi m (t) 5 Lk m txi hi , m {0, . . . , k}. (1.49) On regroupe les Nma familles de rels Fi en une seule grande famille. En comptant une seule fois les rels qui se trouvent aux extrmits des intervalles (voir la gure 1.6 pour un exemple avec k 5 3), on obtient une famille de (kNma 1 1) rels distincts que lon note {a1, . . . , akNma11}. (1.50) 16

24. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.4 lment ni de Lagrange Pk Tableau 1.1 Polynmes dinterpolation de Lagrange {Lk 0, . . . , Lk k} pour k {1, 2, 3} : reprsentation graphique et expression analytique. k 5 1 k 5 2 k 5 3 0 10.5 0 1 0.5 0 10.5 0 1 0.5 0 10.5 0 1 0.5 L 1 0(t) 5 1 t L 1 1(t) 5 t L 2 0(t) 5 (2t 1)(t 1) L 2 1(t) 5 4t(1 t) L 2 2(t) 5 t(2t 1) L 3 0(t) 5 1 2 (3t 1)(3t 2)(t 1) L 3 1(t) 5 9 2 t(3t 2)(t 1) L 3 2(t) 5 9 2 t(3t 1)(t 1) L 3 3(t) 5 1 2 t(3t 1)(3t 2) Les rels aj sont appels les nuds du maillage1 . On note Nno le nombre de nuds du maillage. On a donc Nno 5 kNma 1 1. (1.51) Pour un nud aj avec j {1, . . . , Nno}, on effectue la division euclidienne de (j 1) par k sous la forme j 1 5 k(i(j) 1) 1 m(j), (1.52) avec i(j) {1, . . . , Nso} et m(j) {0, . . . , k 1}. Lorsque m(j) 0, le nud aj se trouve lintrieur de lintervalle Ii(j). Lorsque m(j) 5 0, le nud aj concide avec le sommet xi(j) du maillage. On introduit la famille de fonctions {w1, . . . , wNno } dnies de la manire suivante : pour tout j {1, . . . , Nno}, 1. Pour k 5 1, la notion de nud concide avec celle de sommet. cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 17

25. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.4 lment ni de Lagrange Pk Figure 1.6 Assemblage des nuds du maillage pour lespace dapproximation P3 c,h. (i) si m(j) 0, la fonction wj est dnie localement sur chaque maille par wj(x) 5 L Fi(j) m(j) (x) si x Ii(j), 0 sinon; (1.53) (ii) si m(j) 5 0, la fonction wj est dnie localement sur chaque maille par wj(x) 5 L Fi(j)1 k (x) si x Ii(j)1, L Fi(j) 0 (x) si x Ii(j), 0 sinon. (1.54) Si i(j) 5 1 ou i(j) 5 Nso, seulement un des deux intervalles intervient dans la dnition ci-dessus. Il est clair que wj Pk c,h pour j {1, . . . , Nno} et que wj Pk c,h,0 pour j {2, . . . , Nno 1}. De plus, par construction, on a wj(aj ) 5 djj , j, j {1, . . . , Nno}. (1.55) Enn, on notera que la drive au sens des distributions de wj est une fonction polynmiale de degr (k 1) par morceaux. Cette fonction est discontinue aux sommets du maillage. La gure 1.7 prsente une illustration graphique des fonctions wj pour k 5 2. Pour i {1, . . . , Nma}, on note xi1 1 2 le point milieu de lintervalle Ii. On observera la diffrence de support entre les fonctions associes aux sommets du maillage (le support est constitu de deux mailles) et celles associes aux milieux des mailles (le support est rduit la maille correspondante). La famille {w1, . . . , wNno } est une base de Pk c,h. En effet, cette famille est clairement libre puisque si la fonction w 5 Nno j51 ajwj est identiquement nulle sur 18

26. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.4 lment ni de Lagrange Pk V, il est clair que pour tout i {1, . . . , Nno}, on a w(ai) 5 ai 5 0. Cette famille est galement gnratrice de Pk c,h. En effet, soit vh Pk c,h. On pose wh 5 Nno j51 vh(aj)wj. Sur chaque intervalle Ii Th, i {1, . . . , Nma}, les fonctions vh et wh sont des polynmes de degr k qui concident en (k 1 1) points (les nuds {ak(i1)1m11}0 m k situs dans Ii). Par consquent, ces fonctions sont gales. On en dduit que vh 5 wh sur V, ce qui montre que toute fonction de Pk c,h peut scrire comme une combinaison linaire des fonctions {w1, . . . , wNno }. 1 x1 x2 x3 xNso1 xNso xi xi11 xi12xi1xi2 xi 3 2 xi 1 2 xi1 1 2 xi1 3 2 x3 2 x5 2 xNso 1 2 xNso 3 2 w2i1 w2i11w2i3 w2iw2i2 wNno wNno1 wNno2w3 w2 Figure 1.7 Fonctions de forme dans lespace dapproximation P2 c,h. Pour tout j {1, . . . , Nno}, on introduit la forme linaire gj : C0 (V) v v(aj) R. (1.56) Il est clair que gj(wj ) 5 djj pour tout j, j {1, . . . , Nno}. Proposition 1.13. (i) La famille {w1, . . . , wNno } est une base de Pk c,h et la famille {g1, . . . , gNno } est une base de L(Pk c,h; R). (ii) La famille {w2, . . . , wNno1} est une base de Pk c,h,0 et la famille {g2, . . . , gNno1} est une base de L(Pk c,h,0; R). Corollaire 1.14. dim Pk c,h 5 Nno 5 kNma 1 1 et dim Pk c,h,0 5 Nno 2 5 kNma 1. cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 19

27. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.4 lment ni de Lagrange Pk Dnition 1.15. (i) Les formes linaires {g1, . . . , gNno } sont appeles les degrs de libert dans Pk c,h et les fonctions {w1, . . . , wNno } sont appeles les fonctions de forme dans Pk c,h. (ii) Les formes linaires {g2, . . . , gNno1} sont appeles les degrs de libert dans Pk c,h,0 et les fonctions {w2, . . . , wNno1} sont appeles les fonctions de forme dans Pk c,h,0. On introduit loprateur dinterpolation suivant : Ik c,h : C0 (V) v Nno i51 gi(v)wi Pk c,h. (1.57) Pour une fonction v C0 (V), Ik c,hv est lunique fonction continue et polynmiale de degr k par morceaux qui prend les mmes valeurs que v aux Nno nuds du maillage. La fonction Ik c,hv est appele linterpol de Lagrange de v de degr k. Loprateur dinterpolation Ik c,h peut galement tre vu comme un oprateur de H1 (V) dans H1 (V). On peut montrer que cet oprateur est continu et quon a la proprit de stabilit suivante : il existe une constante c, indpendante de h (mais dpendant de k), telle que pour tout v H1 (V), Ik c,hv 1,V c v 1,V. (1.58) Par ailleurs, le rsultat suivant permet destimer la prcision de loprateur dinterpolation Ik c,h. Proposition 1.16. Il existe une constante c (dpendant de k) telle que pour tout h et pour tout v Hk11 (V), v Ik c,hv 0,V 1 h|v Ik c,hv|1,V c hk11 |v|k11,V, (1.59) et k11 m52 hm N i50 |v Ik c,hv|2 m,Ii 1 2 c hk11 |v|k11,V. (1.60) 20

28. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.5 Analyse de convergence Lestimation (1.59) montre que lerreur dinterpolation est dordre (k 1 1) en norme 0,V et quelle est dordre k en semi-norme | |1,V ; elle est donc galement dordre k en norme 1,V. La preuve de la proposition 1.16 est analogue celle de la proposition 1.9. Le point important est qu nouveau, les proprits interpolantes de loprateur Ik c,h sont purement locales. Une comparaison entre les estimations de la proposition 1.16 et celles de la proposition 1.9 montre que, maillage x, lerreur dinterpolation est plus petite si on utilise des polynmes de degr lev pourvu que la fonction interpoler soit sufsamment rgulire. En particulier, si v Hs (V) et v Hs11 (V) pour un entier s k, on montre que lestimation (1.59) devient v Ik c,hv 0,V 1 h|v Ik c,hv|1,V c hs |v|s,V. (1.61) On obtient donc la mme estimation que pour une interpolation par des polynmes de degr (s 1). 1.5 Analyse de convergence Lobjectif de cette section est lanalyse de convergence de la solution uh du problme approch (1.15) vers la solution u du problme exact (1.3) lorsque lespace dapproximation Vh dans (1.15) est pris gal P1 c,h,0 ou plus gnralement Pk c,h,0 pour un entier k 1. On cherche dabord estimer lerreur u uh dans la norme H1 . Pour cela, on utilise lestimation (1.20), ce qui conduit u uh 1,V c inf vhPk c,h,0 u vh 1,V c u Ik c,hu 1,V c hk |u|k11,V, (1.62) pourvu que la solution exacte soit sufsamment rgulire, savoir u Hk11 (V). On notera que Ik c,hu Pk c,h,0 puisque u H1 0 (V) ; en dautres termes, Ik c,hu est bien nul en a et en b. On a ainsi montr le rsultat suivant. cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 21

29. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.5 Analyse de convergence Proposition 1.17. Soit un entier k 1. On suppose que la solution de (1.3) est dans Hk11 (V). On dsigne par uh la solution du problme approch (1.15) avec lespace dapproximation Vh 5 Pk c,h,0. Alors, il existe une constante c, indpendante de h, telle que u uh 1,V c hk |u|k11,V. (1.63) On dit que lestimation derreur (1.63) est optimale car elle est du mme ordre en h que lerreur dinterpolation en norme H1 ; voir la proposition 1.16. Si la solution exacte nest pas sufsamment rgulire, par exemple si u Hs (V) mais u Hs11 (V) pour un entier s k, on montre la majoration derreur suivante : u uh 1,V c hs1 |u|s,V. (1.64) En dautres termes, lapproximation base sur llment ni de Lagrange Pk est sous-optimale car on obtient le mme ordre de convergence que si on avait choisi des polynmes de degr (s 1) par morceaux. Ce rsultat permet dtablir un lien direct entre lordre de convergence de la mthode des lments nis, la rgularit de la solution exacte (quantie par le plus grand entier s tel que u Hs (V) mais u Hs11 (V)) et le degr polynmial des fonctions de Vh sur chaque maille. En notant d cet ordre de convergence, on a d 5 min(k, s 1). (1.65) On sintresse maintenant une estimation de lerreur u uh en norme L2 . Pour cela, on utilise la technique suivante, dite de dualit. On introduit un problme adjoint qui consiste Chercher z H1 0 (V) tel que V av z 5 V(u uh)v, v H1 0 (V). (1.66) Ce problme est clairement bien pos. De plus, en supposant que a C1 (V), on dduit de la relation (az ) 5 u uh que z H2 (V) H1 0 (V) et que |z|2,V c u uh 0,V, (1.67) 22

30. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.5 Analyse de convergence pour une constante c indpendante de h. En prenant v 5 u uh dans (1.66), il vient u uh 2 0,V 5 V a(u uh) z 5 V a(u uh) (z zh) , zh Pk c,h,0, (1.68) daprs la relation dorthogonalit de Galerkin (1.21). On en dduit u uh 2 0,V a1 z zh 1,V u uh 1,V, zh Pk c,h,0. (1.69) Puisque z H2 (V) H1 0 (V), en prenant zh 5 I1 c,hz Pk c,h,0 dans la majoration ci-dessus et en utilisant les estimations (1.43) et (1.67), on obtient1 u uh 2 0,V c h|z|2,V u uh 1,V c h u uh 0,V u uh 1,V. (1.70) Do nalement, u uh 0,V c h u uh 1,V, (1.71) ce qui, grce lestimation (1.63), conduit au rsultat suivant. Proposition 1.18. Avec les hypothses de la proposition 1.17 et en supposant que a C1 (V), il existe une constante c, indpendante de h, telle que u uh 0,V c hk11 |u|k11,V. (1.72) Lestimation derreur (1.72) est optimale car elle est du mme ordre en h que lerreur dinterpolation en norme L2 ; voir la proposition 1.16. Enn, si la solution exacte nest pas sufsamment rgulire, par exemple si u Hs (V) mais u Hs11 (V) pour un entier s k, on montre la majoration derreur suivante : u uh 0,V c hs |u|s,V. (1.73) 1. Dans cet aide-mmoire, on adopte la convention de notation suivante : c dsigne une constante gnrique, indpendante de h, mais dont la valeur numrique peut chan- ger chaque occurrence. cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 23

31. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.6 Rsolution numrique 1.6 Rsolution numrique Dans la section 1.2.1, on a vu que la mthode des lments nis consiste approcher la solution du problme modle (1.3) par la solution du problme approch (1.15) en introduisant un espace dapproximation Vh de dimension nie. De plus, en choisissant une base {w1, . . . , wN } de Vh, o N 5 dim Vh, les composantes de la solution approche dans cette base sobtiennent par la rsolution du systme linaire (1.19). Lobjet de cette section est dexaminer brivement lvaluation de la matrice de rigidit A intervenant dans (1.19) et la rsolution du systme linaire. On rappelle que les coefcients de la matrice de rigidit sexpriment sous la forme Aij 5 V awiwj , i, j {1, . . . , N}. (1.74) Pour simplier, on suppose que lapproximation est base sur llment ni de Lagrange P1. On a donc Vh 5 P1 c,h,0 et N 5 Nma 1 5 Nso 2 ; voir la section 1.3. Soit j {2, . . . , Nso 1}. Le support de la fonction de forme wj associe au j-ime sommet du maillage est rduit aux deux mailles partageant ce sommet. Par consquent, Aij 5 0 si |i j| > 1. (1.75) En dautres termes, la matrice A est tridiagonale : A 5 A11 A12 A21 A22 A23 ... ... ... ... ... ... AN1,N2 AN1,N1 AN1,N AN,N1 AN,N . (1.76) An dvaluer les coefcients non-nuls de cette matrice, on pose, pour tout i {1, . . . , Nma}, ai 5 1 hi Ii a. (1.77) 24

32. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.6 Rsolution numrique Un calcul direct montre que Ai,i11 5 Ai11,i 5 1 hi11 ai11, i {1, . . . , N 1}, (1.78) Ai,i 5 Ai,i1 Ai,i11, i {2, . . . , N 1}, (1.79) ainsi que A11 5 1 h1 a1 1 1 h2 a2 et ANN 5 1 hN aN 1 1 hN11 aN11. (1.80) Dans le cas particulier o la fonction a est constante sur V et vaut a0 et o le maillage est uniforme de pas h, on obtient A 5 a0 h tridiag(1, 2, 1). (1.81) Lorsque la fonction a nest pas constante, on ne dispose pas ncessairement dune expression explicite permettant dvaluer sa valeur moyenne sur les mailles. Dans ces conditions, les coefcients de la matrice de rigidit sont valus de faon approche par une formule de quadrature. Le chapitre 9 prsente diverses formules de quadrature en une, deux et trois dimensions despace. Lutilisation de quadratures est galement ncessaire an dvaluer le membre de droite du systme linaire (1.19). Une fois calculs les coefcients de la matrice de rigidit, il sagit dvaluer la solution U du systme linaire (1.19). Lorsque la matrice A est tridiagonale, on dispose dun algorithme de rsolution particulirement efcace, connu sous le nom dalgorithme de Crout ; voir lalgorithme 1.1. On procde en deux tapes. (i) la matrice A est dcompose sous la forme dun produit dune matrice bidiagonale infrieure et dune matrice bidiagonale suprieure (dont les coefcients diagonaux valent 1) : A 5 d1 l2 d2 ... ... lN dN 1 u1 ... ... 1 uN1 1 . (1.82) cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 25

33. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.6 Rsolution numrique On dsigne par T inf et T sup , respectivement, la matrice bidiagonale infrieure et suprieure dans le membre de droite de (1.82). (ii) La solution du systme AU 5 F svalue en deux tapes : on forme dabord le vecteur de travail Y RN tel que T inf Y 5 F ; pour cela, on rsout le systme bidiagonal infrieur en balayant les lignes dans lordre croissant. Puis, on inverse le systme bidiagonal suprieur T sup U 5 Y en balayant les lignes dans lordre dcroissant. larrive, on obtient AU 5 T inf T sup U 5 T inf Y 5 F, (1.83) si bien que U est effectivement la solution du systme linaire AU 5 F. Algorithme 1.1 Algorithme de Crout pour rsoudre le systme tridiago- nal AU 5 F Input : F RN et A RN,N ======Dcomposition de la matrice A selon (1.82) for i {2, . . . , N} do li 5 Ai,i1 end for d1 5 A11 for i {2, . . . , N} do ui1 5 Ai1,i di1 di 5 Aii liui1 end for ======Rsolution du systme linaire T inf Y 5 F Y1 5 F1 d1 for i {2, . . . , N} do Yi 5 1 di (Fi liYi1) end for ======Rsolution du systme linaire T sup U 5 Y UN 5 YN for i {N 1, . . . , 1} do Ui 5 Yi uiUi11 end for 26

34. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.7 Complment : lment ni de Hermite Le cadre idal des matrices tridiagonales est toutefois trs limit. On verra dans le chapitre 10 que la structure de la matrice de rigidit est nettement plus complexe lorsque le problme modle est pos en deux ou trois dimensions despace. La rsolution du systme linaire (1.19) se fait, en gnral, en utilisant une mthode itrative. De telles mthodes sont dcrites dans le chapitre 11. Remarque 1.19 Mme en une dimension despace, la matrice de rigidit nest plus tridiagonale, mais bloc-tridiagonale, lorsquon emploie un lment ni de Lagrange Pk avec k 2. 1.7 Complment : lment ni de Hermite On considre lespace vectoriel PHer h 5 {vh C1 (V) ; i {1, . . . , Nma}, vh|Ii P3}, (1.84) dont les lments sont des fonctions de classe C1 et polynmiales de degr 3 par morceaux. On vrie que PHer h H2 (V). Tableau 1.2 Polynmes de Hermite sur [0, 1] : reprsentation graphique et expression analytique. 0 10.5 0 1 0.5 u1(t) 5 (2t 1 1)(t 1)2 u2(t) 5 t(t 1)2 u3(t) 5 (3 2t)t2 u4(t) 5 (t 1)t2 cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 27

35. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.7 Complment : lment ni de Hermite An dexhiber les fonctions de forme dans PHer h , on introduit les polynmes de Hermite {u1, u2, u3, u4} sur lintervalle de rfrence [0, 1] ; voir le tableau 1.2 pour leur reprsentation graphique et leur expression analytique. En introduisant les formes linaires {s1, s2, s3, s4} sur P3 telles que s1(p) 5 p(0), s2(p) 5 p (0), s3(p) 5 p(1), s4(p) 5 p (1), (1.85) on observe que sm(un) 5 dmn, m, n {1, 2, 3, 4}. (1.86) On introduit les fonctions {w1,0, . . . , wNso,0, w1,1, . . . , wNso,1} telles que wi,0(x) 5 u3 xxi1 hi1 si x Ii1, u1 xxi hi si x Ii, 0 sinon, wi,1(x) 5 hi1u4 xxi1 hi1 si x Ii1, hiu2 xxi hi si x Ii, 0 sinon, (1.87) avec des modications lmentaires si i 5 1 ou si i 5 Nso. Pour tout i {1, . . . , Nso}, on considre les formes linaires suivantes : gi,0 : C1 (V) v v(xi) R, (1.88) gi,1 : C1 (V) v v (xi) R. (1.89) On constate que (i) pour tout i, j {1, . . . , Nso} et pour tout m, n {0, 1}, gi,m(wj,n) 5 dijdmn; (ii) la famille {w1,0, . . . , wNso,0, w1,1, . . . , wNso,1} est une base de PHer h ; (iii) la famille {g1,0, . . . , gNso,0, g1,1, . . . , gNso,1} est une base de L(PHer h ; R) ; (iv) dim PHer h 5 2Nso. 28

36. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.7 Complment : lment ni de Hermite Les formes linaires {g1,0, . . . , gNso,0, g1,1, . . . , gNso,1} sont appeles les degrs de libert dans PHer h et les fonctions {w1,0, . . . , wNso,0, w1,1, . . . , wNso,1} sont appeles les fonctions de forme dans PHer h . On introduit loprateur dinterpolation suivant : IHer h : C1 (V) v Nso i51 gi,0(v)wi,0 1 Nso i51 gi,1(v)wi,1 PHer h . (1.90) La fonction IHer h v est appele linterpol de Hermite de v. Comme les fonctions de H2 (V) sont de classe C1 , IHer h peut tre vu comme un oprateur de H2 (V) dans H2 (V). Cet oprateur est uniformment continu en h. De plus, on a le rsultat suivant. Proposition 1.20. Il existe une constante c, indpendante de h, telle que pour tout v H4 (V), v IHer h v 0,V 1 h|v IHer h v|1,V 1 h2 |v IHer h v|2,V c h4 |v|4,V. (1.91) Loprateur dinterpolation de Hermite est donc particulirement prcis, pourvu que la fonction interpoler soit sufsamment rgulire. Llment ni de Hermite peut tre utilis pour approcher le problme modle (1.3). Il peut tre galement considr dans lapproximation du problme suivant : Chercher u H2 0 (V) tel que V au v 5 V fv, v H2 0 (V), (1.92) o H2 0 (V) 5 {v H2 (V) ; v(a) 5 v (a) 5 v(b) 5 v (b) 5 0}. Ce problme intervient par exemple dans la modlisation des poutres en exion et encas- tres leurs deux extrmits. On observera que (modulo des modications triviales au bord) PHer h H2 0 (V) mais que Pk c,h,0 H2 0 (V) car les drives des fonctions de Pk c,h,0 sont discontinues aux interfaces entre les mailles. cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 29

37. 2 LA MTHODE DE GALERKIN La mthode de Galerkin permet dapprocher la solution de problmes modles dont la formulation abstraite est la suivante : Chercher u V tel que a(u, w) 5 f (w), w W , (2.1) o V et W sont des espaces fonctionnels (des espaces vectoriels dont les l- ments sont des fonctions), a est une forme bilinaire dnie sur V 3 W et f est une forme linaire dnie sur W . On dit que V est lespace solution et que W est lespace test. Les lments de W sont appels des fonctions tests. Les espaces fonctionnels V et W sont quips de normes, notes V et W respectivement, qui leur confrent une structure despace de Banach (V et W sont des espaces vectoriels norms o toute suite de Cauchy est convergente). Dans de nombreuses applications, les normes V et W sont induites par des produits scalaires, nots (, )V et (, )W respectivement, si bien que V et W sont en fait des espaces de Hilbert. Pour simplier, on conserve cette hypothse par la suite. On suppose que la forme bilinaire a est continue sur V 3 W , ce quon note a L(V 3 W ; R). On rappelle que cette hypothse consiste supposer quil existe une constante c1 telle que pour tout (v, w) V 3 W , a(v, w) c1 v V w W . (2.2) De mme, on suppose que la forme linaire f est continue sur W , ce quon note f L(W ; R) :5 W , cest--dire quil existe une constante c2 telle que pour tout w W , f (w) c2 w W . (2.3) 30

38. 2 La mthode de Galerkin 2.1 Le problme modle est-il bien pos ? On introduit les normes de a et f (dans L(V 3 W ; R) et W respectivement) dnies par a V ,W 5 sup (v,w)V 3W a(v, w) v V w W , f W 5 sup wW f (w) w W , (2.4) tant entendu que les arguments des suprema sont pris non-nuls. On renvoie la section A.1 pour des complments. 2.1 Le problme modle est-il bien pos ? Lobjet de cette section est de rappeler brivement les deux principaux rsultats qui permettent dtudier le caractre bien pos du problme (2.1). La notion de problme bien pos est entendue au sens de la dnition suivante. Dnition 2.1 (Hadamard). On dit que le problme (2.1) est bien pos sil admet une et une seule solution. Lorsque le problme (2.1) est bien pos, son unique solution u satisfait lestimation a priori suivante : il existe une constante c tel que pour tout f W , u V c f W . (2.5) Cette estimation dcoule des proprits gnrales des oprateurs bijectifs dans les espaces de Banach ; voir la section A.1.4. 2.1.1 Le lemme de LaxMilgram On considre dabord le cas particulier o lespace solution et lespace test dans (2.1) sont identiques : V 5 W . Le problme modle consiste donc Chercher u V tel que a(u, w) 5 f (w), w V . (2.6) Dnition 2.2 (Coercivit). Soit V un espace de Hilbert. On dit quune forme bilinaire a L(V 3 V ; R) est V -coercive, ou coercive sur V , si a > 0, v V , a(v, v) a v 2 V . (2.7) cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 31

39. 2 La mthode de Galerkin 2.1 Le problme modle est-il bien pos ? Lemme 2.3 (LaxMilgram). Soit V un espace de Hilbert, a L(V 3 V ; R) et f V . On suppose que la forme bilinaire a est V -coercive. Alors, le problme (2.6) est bien pos. Lorsque la forme bilinaire a nest pas coercive sur V , peut-on en dduire que le problme (2.6) nest pas bien pos ? La rponse est ngative : le lemme de LaxMilgram ne fournit que des conditions sufsantes pour analyser le caractre bien pos de (2.6).1 2.1.2 Le thorme de BanachNecasBabuka (BNB) Le thorme BNB est le rsultat fondamental pour analyser le caractre bien pos des problmes (2.1) et (2.6). Contrairement au lemme de LaxMilgram qui ne fournit que des conditions sufsantes, le thorme BNB fournit des conditions ncessaires et sufsantes pour que le problme modle soit bien pos. Thorme 2.4 (BanachNecasBabuka). Soit V et W deux espaces de Hil- bert,2 a L(V 3 W ; R) et f W . Alors, le problme (2.1) est bien pos si et seulement si a > 0, inf vV sup wW a(v, w) v V w W a, (BNB1) w W , (v V , a(v, w) 5 0) = (w 5 0). (BNB2) La terminologie adopte pour ce thorme a t introduite par Ern et Guer- mond [38]. Elle fait rfrence au fait que le thorme BNB est une reformu- lation de deux rsultats fondamentaux dus Banach : le thorme de limage ferme et le thorme de lapplication ouverte ; voir la section A.1.4. Le thorme BNB a t nonc dans sa forme ci-dessous par Necas en 1962 [58]. Son importance pour lanalyse des mthodes dlments nis a t souligne par Babuka en 1972 [9]. 1. Si la forme bilinaire a est symtrique (a(v, w) 5 a(w, v) pour tout (v, w) V 3 V ) et positive (a(v, v) 0 pour tout v V ), la V -coercivit est une condition ncessaire et sufsante pour que le problme (2.6) soit bien pos. 2. Voir la section A.1.4 pour le cadre gnral du thorme BNB qui est celui des espaces de Banach. 32

40. 2 La mthode de Galerkin 2.2 Principe de la mthode de Galerkin La condition inf-sup (BNB1) se reformule de la faon suivante : il existe a > 0 tel que pour tout v V , a v V sup wW a(v, w) w W . (2.8) Pour prouver la condition inf-sup, on peut procder comme suit : on considre une fonction v V et on construit une fonction wv W telle que a(v, wv) a1 v 2 V et wv W a2 v V . Ceci permet de montrer que la condition (BNB1) est satisfaite avec a 5 a1 a2 . 2.2 Principe de la mthode de Galerkin On considre le problme modle (2.1) et on suppose quil est bien pos. La mthode de Galerkin permet dapprocher la solution u de ce problme. Lide consiste remplacer dans (2.1) les espaces fonctionnels V et W par des espaces de dimension nie, nots Vh et Wh, ce qui conduit Chercher uh Vh tel que ah(uh, wh) 5 fh(wh), wh Wh. (2.9) On dit que (2.9) est le problme approch ou le problme discret et que uh est la solution approche. On notera que sous sa forme la plus gnrale, le problme approch (2.9) fait intervenir une forme bilinaire ah L(Vh 3 Wh; R) qui est une approximation de la forme bilinaire a et une forme linaire fh Wh qui est une approximation de la forme linaire f . Lespace Vh, quon appellera espace dapproximation, et lespace Wh, quon appellera espace test discret, sont construits laide de la mthode des lments nis selon les techniques prsentes dans le chapitre 1 pour les problmes en dimension 1 et dans les chapitres 3 et 4 pour les problmes en dimension suprieure. Lindice h fait rfrence la nesse des maillages employs pour construire ces espaces. Les lments de Wh sont appels des fonctions tests discrtes. Un choix particulier dans (2.9) consiste utiliser le mme espace Vh comme espace dapproximation et comme espace test discret, ce qui conduit au problme approch suivant : Chercher uh Vh tel que ah(uh, wh) 5 fh(wh), wh Vh. (2.10) cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 33

41. 2 La mthode de Galerkin 2.2 Principe de la mthode de Galerkin Dans ce cas, on parle de mthode de Galerkin standard, alors que si les espaces discrets Vh et Wh sont diffrents, on parle de mthode de Galerkin non-standard (dans la littrature, on rencontre galement la terminologie mthode de PetrovGalerkin ). Dnition 2.5 (Conformit). Lapproximation (2.9) est dite conforme si Vh V et Wh W ; elle est dite non-conforme si Vh V ou Wh W . On dit que lespace Vh est V -conforme lorsque Vh V et que lespace Wh est W -conforme lorsque Wh W . Dnition 2.6 (Consistance). Soit u la solution unique de (2.1). On suppose que la forme bilinaire ah peut tre tendue (V 1 Vh) 3 Wh. Lapproximation (2.9) est dite consistante si wh Wh, ah(u, wh) 5 fh(wh). (2.11) Si tel nest pas le cas, lapproximation est dite non-consistante. En dautres termes, lapproximation est consistante si la solution exacte satisfait les quations discrtes. La non-consistance de la mthode dapproximation peut, par exemple, provenir de lutilisation de quadratures pour valuer les intgrales dans la forme bilinaire a et la forme linaire f . Le problme approch (2.9) est un systme linaire. En effet, on pose N 5 dim Vh et M 5 dim Wh. (2.12) Soit {w1, . . . , wN } une base de Vh et soit {c1, . . . , cM } une base de Wh. On dcompose la solution approche uh dans la base de Vh selon uh 5 N i51 Uiwi, (2.13) et on introduit le vecteur U de RN form par les composantes de uh dans cette base, U 5 (Ui)1 i N . Soit A RM,N la matrice de rigidit dont les composantes sont Aij 5 ah(wj, ci), i {1, . . . , M}, j {1, . . . , N}, (2.14) et soit F RM le vecteur de composantes Fi 5 fh(ci), i {1, . . . , M}. Il est clair que uh est solution de (2.9) si et seulement si AU 5 F. (2.15) 34

42. 2 La mthode de Galerkin 2.3 Le problme approch est-il bien pos ? 2.3 Le problme approch est-il bien pos ? Lobjet de cette section est danalyser le caractre bien pos du problme approch (2.9). On retiendra les rsultats suivants. Pour une approximation consistante et conforme dun problme dont la forme bilinaire est coercive, le problme approch est automatiquement bien pos. De plus, la matrice de rigidit est dnie positive. Lorsque le caractre bien pos du problme modle repose sur les conditions inf-sup (BNB1) et (BNB2), celles-ci ne sont pas transfres automatiquement au cadre discret. Pour montrer que le problme discret est bien pos, il faut (et il suft de) prouver une condition inf-sup discrte et vrier que lespace dapproximation et lespace test discret ont la mme dimension. 2.3.1 Approximation consistante et conforme dun problme coercif Soit V un espace de Hilbert, soit a L(V 3 V ; R) une forme bilinaire et V -coercive et soit f V . Dans ce cadre, le problme modle (2.6) admet une unique solution u. Pour approcher cette solution, on considre le problme discret suivant : Chercher uh Vh tel que a(uh, wh) 5 f (wh), wh Vh, (2.16) et on suppose que Vh V . On notera que le problme discret (2.16) fait intervenir la mme forme bilinaire a et la mme forme linaire f que le problme modle (2.6). Proposition 2.7. Avec les hypothses ci-dessus, la matrice de rigidit A est dnie positive ; par consquent, le problme discret (2.16) est bien pos. Le caractre dni positif de la matrice A rsulte du fait que pour tout X 5 (Xi)1 i N RN o N 5 dim Vh, on a 1 i,j N AijXiXj 5 a(j, j) a j 2 V , (2.17) cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 35

43. 2 La mthode de Galerkin 2.3 Le problme approch est-il bien pos ? avec j 5 N i51 Xiwi Vh, {w1, . . . , wN } tant une base de Vh. Par suite, 1 i,j N AijXiXj 5 0 implique j 5 0 et donc X 5 0. Remarque 2.8. Si la forme bilinaire a est symtrique, la matrice de rigidit lest galement. 2.3.2 Cas gnral On considre maintenant le cas gnral, cest--dire que lon considre le problme modle (2.1), que lon suppose bien pos, et on souhaite utiliser le problme discret (2.9) pour obtenir une solution approche uh. On notera Vh et Wh les normes dont sont quips les espaces discrets Vh et Wh, respectivement. Lapproximation pouvant tre non-conforme, il nest pas pos- sible dquiper a priori les espaces discrets Vh et Wh des normes induites par V et W , respectivement. Clairement, en vertu du thorme BNB, le caractre bien pos de (2.9) est quivalent aux deux conditions suivantes : ah > 0, inf vhVh sup whWh ah(vh, wh) vh Vh wh Wh ah, (BNB1h) wh Wh, (vh Vh, ah(vh, wh) 5 0) = (wh 5 0). (BNB2h) La condition (BNB1h) est une condition inf-sup discrte. Mme si lapproximation est conforme et consistante, rien ne garantit a priori que la condition inf-sup (BNB1) implique la condition inf-sup discrte (BNB1h). La mme difcult se pose entre les conditions (BNB2) et (BNB2h). On constate que linterprtation des conditions (BNB1h) et (BNB2h) en termes matriciels est la suivante : (i) (BNB1h) quivaut au fait que la matrice A est injective ; (ii) (BNB2h) quivaut au fait que la matrice A est de rang maximal. Par consquent, les conditions (BNB1h) et (BNB2h) sont quivalentes (BNB1h) et dim Vh 5 dim Wh. En rsum, on a le rsultat suivant. Thorme 2.9. Le problme approch (2.9) est bien pos si et seulement si la condition inf-sup discrte (BNB1h) est satisfaite et si dim Vh 5 dim Wh. 36

44. 2 La mthode de Galerkin 2.4 Analyse derreur Remarque 2.10. La constante ah intervenant dans (BNB1h) est la plus petite valeur propre de AT A. 2.4 Analyse derreur On considre le problme modle (2.1) et son approximation (2.9) par la mthode de Galerkin. On suppose que ces deux problmes sont bien poss, cest--dire que : (i) la forme bilinaire a est dans L(V 3 W ; R) et elle satisfait les conditions inf-sup (BNB1) et (BNB2) ; (ii) la forme bilinaire ah est dans L(Vh 3 Wh; R), elle satisfait la condition inf-sup discrte (BNB1h) et dim Vh 5 dim Wh. On note u et uh la solution unique de (2.1) et (2.9), respectivement. Lobjectif de cette section est destimer lerreur uuh. Cette quantit est appele lerreur dapproximation. En particulier, on souhaite prciser sous quelles hypothses lerreur dapproximation tend vers zro lorsque h tend vers zro (on rappelle que le paramtre h fait rfrence la nesse du maillage qui est utilis pour construire les espaces Vh et Wh). On sintresse donc des familles despaces {Vh}h>0 et {Wh}h>0 obtenues en rafnant le maillage. 2.4.1 Approximation consistante et conforme On suppose dans cette section que lapproximation est consistante et conforme. On a donc Vh V et Wh W et la relation (2.11) est satisfaite. On considre le problme approch suivant : Chercher uh Vh tel que ah(uh, wh) 5 fh(wh), wh Wh. (2.18) Lhypothse Vh V implique en particulier que lerreur u uh est dans V . On peut donc utiliser la norme V pour la mesurer. Une consquence immdiate de (2.11) est la suivante. cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 37

45. 2 La mthode de Galerkin 2.4 Analyse derreur Lemme 2.11 (Orthogonalit de Galerkin). Avec les hypothses ci-dessus, on a la relation, dite dorthogonalit de Galerkin, wh Wh, ah(u uh, wh) 5 0. (2.19) On suppose en outre que ah 5 a et fh 5 f . Le rsultat suivant est connu sous le nom de lemme de Ca. Lemme 2.12 (Ca). Avec les hypothses ci-dessus, on a ||u uh||V 1 1 a V ,W ah inf vhVh ||u vh||V . (2.20) On suppose en outre que V 5 W , Vh 5 Wh et que la forme bilinaire a est V -coercive. Dans ces conditions, on montre que lestimation derreur devient ||u uh||V a V ,V a inf vhVh ||u vh||V , (2.21) o a est la constante de coercivit de a. Si la forme bilinaire a est de plus symtrique, cette estimation peut encore tre amliore en u uh V a V ,V a 1 2 inf vhVh u vh V . (2.22) An dtablir la convergence de uh vers u, on doit contrler la quantit infvhVh u vh V . Il sagit donc destimer la distance de u Vh pour la norme V . Pour cela, on introduit la notion suivante. Dnition 2.13. On dit que la famille despaces {Vh}h>0 est asymptotiquement dense dans V si v V , lim h0 inf vhVh v vh V 5 0. (2.23) Thorme 2.14. On suppose que : (i) la condition (BNB1h) est satisfaite uniformment en h ; (ii) lapproximation est consistante et conforme ; (iii) la famille {Vh}h>0 est asymptotiquement dense. Alors, on a lim h0 u uh V 5 0. (2.24) 38

46. 2 La mthode de Galerkin 2.4 Analyse derreur 2.4.2 Le cadre gnral pour lanalyse de convergence Lapproximation pouvant tre non-conforme, lerreur u uh nappartient pas ncessairement lespace V mais lespace tendu V (h) 5 V 1 Vh. (2.25) On quipe cet espace dune norme tendue V (h) et an deffectuer lanalyse derreur, on fait les hypothses suivantes : vh Vh, vh V (h) 5 vh Vh , (2.26) v V , v V (h) c v V , (2.27) pour une constante c indpendante de v et de h. Ces deux hypothses signi- ent que la norme tendue est une extension de la norme de Vh et que V sinjecte continment dans V (h) pour la norme tendue. La notion de densit asymptotique se reformule laide de la norme tendue V (h) de la manire suivante. Dnition 2.15 (Densit asymptotique). On dit que la famille despaces {Vh}h>0 est asymptotiquement dense dans V si v V , lim h0 inf vhVh v vh V (h) 5 0. (2.28) An destimer la quantit u uh V (h), on introduit une nouvelle notion : la consistance asymptotique. Dnition 2.16 (Consistance asymptotique). On suppose que la forme bilinaire ah est uniformment continue en h sur Vh 3 Wh, cest--dire que ah Vh,Wh est major uniformment en h. Lapproximation (2.9) est dite asymptotiquement consistante sil existe un oprateur Ph : V Vh tel que (i) pour tout v V , Phv v V (h) c infvhVh v vh V (h) o c est une constante indpendante de v et de h, et (ii) lim h0 sup whWh |fh(wh) ah(Phu, wh)| wh Wh 5 0. (2.29) cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 39

47. 2 La mthode de Galerkin 2.4 Analyse derreur Dans ces conditions, on dnit lerreur de consistance Rh(u) par Rh(u) 5 sup whWh |fh(wh) ah(Phu, wh)| wh Wh . (2.30) Remarque 2.17 Lorsque la famille {Vh}h>0 est asymptotiquement dense, la notion de consistance asymptotique est indpendante du choix de loprateur Ph. En effet, soit Ph : V Vh un deuxime oprateur tel que pour tout v V , Phv v V (h) c infvhVh v vh V (h). Soit Rh(u) lerreur de consistance mesure avec loprateur Ph. Alors, pour tout wh Wh, |fh(wh) ah(Phu, wh)| |fh(wh) ah(Phu, wh)| 1 |ah(Phu Phu, wh)|, ce qui implique, grce luniforme continuit de ah et lingalit triangulaire, que Rh(u) Rh(u) 1 c ah Vh,Wh inf vhVh u vh V (h) . En utilisant la densit asymptotique de {Vh}h>0, cette ingalit implique que lapproximation (2.9) est asymptotiquement consistante en utilisant loprateur Ph. En dautres termes, lerreur de consistance est indpendante, un facteur prs contrl par la proprit de densit asymptotique de la famille {Vh}h>0, de loprateur Ph utilis pour lvaluer. Thorme 2.18. On suppose que : (i) la condition (BNB1h) est satisfaite uniformment en h ; (ii) la forme bilinaire ah est uniformment continue en h sur Vh 3 Wh ; (iii) la famille {Vh}h>0 est asymptotiquement dense ; (iv) lapproximation est asymptotiquement consistante. Alors, en notant Rh(u) lerreur de consistance, on a u uh V (h) 1 ah Rh(u) 1 c inf vhVh u vh V (h) , (2.31) si bien que lim h0 u uh V (h) 5 0. (2.32) 40

48. 2 La mthode de Galerkin 2.4 Analyse derreur Ce thorme montre quelles sont les quatre proprits satisfaire pour garan- tir la convergence de lapproximation dans la mthode de Galerkin : stabilit de ah uniforme en h, continuit de ah uniforme en h, densit asymptotique et consistance asymptotique. Un principle gnral de lanalyse numrique, connu sous le nom de principe de Lax, est que stabilit et consistance im- pliquent convergence. Le fait que ce principe ne mentionne pas explicitement la continuit et la densit asymptotique ne veut pas dire que ces deux proprits doivent tre considres comme aquises dans tous les cas. On pourra par exemple consulter [38, p. 97] pour un contre-exemple la densit asymptotique dans le contexte des quations de Maxwell. 2.4.3 Cas particuliers : lemmes de Strang Les deux estimations derreur prsentes dans cette section sont connues sous le nom de premier et deuxime lemme de Strang. On suppose dabord que lapproximation est conforme, cest--dire que Vh V et Wh W . On a donc V (h) 5 V , ce qui permet de mesurer lerreur dans la norme V . Lemme 2.19 (Strang 1). On suppose que Vh V et Wh W . Alors, on a u uh V 1 ah sup whWh |f (wh) fh(wh)| wh Wh (2.33) 1 inf vhVh 1 1 a V ,W ah u vh V 1 1 ah sup whWh |a(vh, wh) ah(vh, wh)| wh Wh . La preuve du lemme 2.19 est relativement simple. Soit vh Vh. On dduit de la condition (BNB1h) que ah uh vh V sup whWh ah(uh vh, wh) wh Wh . (2.34) Un calcul direct montre que ah(uh vh, wh) 5 a(u vh, wh) 1 a(vh, wh) ah(vh, wh) 1 fh(wh) f (wh). (2.35) cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 41

49. 2 La mthode de Galerkin 2.4 Analyse derreur Par consquent, ah uh vh V a V ,W u vh V 1 sup whWh |a(vh, wh) ah(vh, wh)| wh Wh 1 sup whWh |f (wh) fh(wh)| wh Wh . (2.36) On conclut en utilisant lingalit triangulaire u uh V u vh V 1 uh vh V , (2.37) puis en prenant linmum sur vh Vh. On ne suppose plus maintenant que lapproximation est conforme ; par contre, on suppose que la forme bilinaire ah peut tre tendue V (h) 3 Wh ; par suite, ah(v, wh) est bien dni pour v V (h) et wh Wh. Lemme 2.20 (Strang 2). On suppose que ah est continue sur V (h) 3 Wh. Alors, on a u uh V (h) 1 1 ah V (h),Wh ah inf vhVh u vh V (h) 1 1 ah sup whWh |fh(wh) ah(u, wh)| wh Wh . (2.38) De plus, si lapproximation est consistante, alors u uh V (h) 1 1 ah V (h),Wh ah inf vhVh u vh V (h). (2.39) La preuve du lemme 2.20 est relativement simple. Soit vh Vh et soit wh Wh. On a ah(uh vh, wh) 5 ah(uh u, wh) 1 ah(u vh, wh) 5 fh(wh) ah(u, wh) 1 ah(u vh, wh). (2.40) Grce la condition (BNB1h) on obtient ah uh vh V (h) sup whWh |fh(wh) ah(u, wh)| wh Wh 1 ah V (h),Wh u vh V (h). (2.41) On conclut en utilisant une ingalit triangulaire puis en prenant linmum sur vh Vh. 42

50. 2 La mthode de Galerkin 2.4 Analyse derreur 2.4.4 Le lemme de AubinNitsche On suppose que V 5 W et quil existe deux espaces de Hilbert Z et L tels que Z V L, (2.42) avec injections continues. On considre une forme bilinaire l sur L 3 L que lon suppose continue, symtrique et positive. On dsigne par ||L 5 l(, ) la semi-norme induite par l. Lobjectif de cette section est destimer lerreur dans la semi-norme | |L. Pour simplier, on se restreint au cadre dune approximation consistante et conforme par la mthode de Galerkin standard (Vh 5 Wh et Vh V ) ; voir, par exemple, Braess [18, p. 108] pour un cas plus gnral. On suppose que : (i) il existe une constante de stabilit cS telle que pour tout g L, la solution (g) du problme adjoint Chercher (g) V tel que a(v, (g)) 5 l(g, v), v V , (2.43) satisfait lestimation a priori (g) Z cS|g|L; (2.44) (ii) il existe une constante ci telle que h, v Z, inf vhVh v vh V cih v Z . (2.45) Le rsultat ci-dessous est connu sous le nom de lemme de AubinNitsche ; voir, par exemple, Aubin [8]. Lemme 2.21 (AubinNitsche). Avec les hypothses ci-dessus, on a h, |u uh|L c h u uh V , (2.46) avec c 5 cicS a V ,V . Dnition 2.22. Lorsque la proprit (2.44) est satisfaite, le problme (2.43) est dit rgularisant. cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 43

51. 2 La mthode de Galerkin 2.4 Analyse derreur On utilisera la notion de problme rgularisant et le lemme de AubinNitsche dans le chapitre 5 pour le Laplacien et les modles de mcanique des milieux continus (| |L correspondra la norme L2 (V) ou [L2 (V)]3 ) et dans le chapitre 6 pour le problme de Stokes (| |L correspondra la semi-norme | |1,V de la vitesse). 44

52. 3 LMENTS FINIS DE LAGRANGE Lobjet de ce chapitre est dtudier les lments nis les plus couramment ren- contrs dans la pratique, savoir les lments nis de Lagrange. On effectue cette tude en adoptant un point de vue local. Cette approche permet dap- prhender les lments nis de Lagrange (et plus gnralement tout lment ni ; voir le chapitre 4) comme la brique lmentaire permettant dinterpo- ler des fonctions dnies sur un domaine V : on maille ce domaine (par des triangles, des quadrangles ou dautres types de mailles) puis on gnre des l- ments nis sur chaque maille partir dun lment ni de rfrence dont les proprits sont purement locales. Ce chapitre est organis comme suit. On donne dabord une dnition g- nrale dun lment ni de Lagrange et on introduit les notions de degrs de libert, de fonctions de forme et doprateur dinterpolation local. On prsente ensuite les exemples classiques dlments nis de Lagrange. Enn, on tudie comment mailler un domaine et comment utiliser ce maillage an de construire dune part un oprateur dinterpolation global et dautre part des espaces vectoriels de dimension nie qui ont vocation tre utiliss comme espaces dapproximation dans le cadre de la mthode de Galerkin an dapprocher la solution de problmes modles. 3.1 Notion locale dlment ni de Lagrange Soit K une partie de Rd ; pour simplier, on suppose que K est un intervalle en dimension 1, un polygone en dimension 2 ou un polydre en dimension cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 45

53. 3 lments nis de Lagrange 3.1 Notion locale dlment ni de Lagrange 3. Soit P un espace vectoriel de fonctions (en gnral polynmiales) dnies sur K et valeurs dans R. Soit {a1, . . . , anf } un ensemble de points dans K o nf est un entier strictement positif. Pour i {1, . . . , nf}, on introduit la forme linaire si : P p p(ai) R. (3.1) On pose S 5 {s1, . . . , snf }. Dnition 3.1 (lment ni de Lagrange). Si lapplication linaire P p s1(p), . . . , snf (p) T Rnf , (3.2) est bijective, on dit que le triplet {K , P, S} est un lment ni de Lagrange. Les points {a1, . . . , anf } sont appels les nuds de llment ni et les formes linaires {s1, . . . , snf } sont appeles les degrs de libert de llment ni. La bijectivit de lapplication linaire dnie en (3.2) signie que pour tout (a1, . . . , anf )T Rnf , il existe un et un seul polynme p P tel que p(ai) 5 ai pour tout i {1, . . . , nf}. Ceci quivaut au fait que dim P 5 card S 5 nf, p P, p(ai) 5 0, i {1, . . . , nf} = (p 5 0), ou encore au fait quil existe une base de P, note {u1, . . . , unf }, telle que si(uj) 5 uj(ai) 5 dij, i, j {1, . . . , nf}. (3.3) On rappelle que dij dsigne le symbole de Kronecker tel que dij 5 1 si i 5 j et dij 5 0 si i j. Les fonctions {u1, . . . , unf } sont appeles les fonctions de forme de llment ni. Pour i {1, . . . , nf}, la fonction de forme ui vaut 1 au nud ai et 0 aux autres nuds. Dnition 3.2 (Oprateur dinterpolation local). Loprateur dinterpolation local I Lag K est dni comme suit : I Lag K : C0 (K ) v nf i51 v(ai)ui P. (3.4) On dit que I Lag K v est linterpol de Lagrange de v sur K . Linterpol de Lagrange est tel que sa valeur aux nuds {a1, . . . , anf } concide avec celle de la fonction interpoler v. 46

54. 3 lments nis de Lagrange 3.2 Exemples classiques dlments nis de Lagrange Loprateur dinterpolation I Lag K est une projection de C0 (K ) dans P. En effet, pour tout p P, en dcomposant p dans la base des fonctions de forme selon p 5 nf j51 xjuj, on obtient I Lag K p 5 nf i51 p(ai)ui 5 nf i,j51 xjuj(ai)ui 5 nf i,j51 xjdijui 5 p. (3.5) Par suite, pour tout v C0 (K ), il vient I Lag K (I Lag K v) 5 I Lag K v. Cette proprit se gnralise tout type dlment ni ; voir la section 4.2. 3.2 Exemples classiques dlments nis de Lagrange Lobjet de cette section est de dresser le catalogue des principaux lments nis de Lagrange utiliss en pratique. On considre : (i) les lments nis de Lagrange unidimensionnels ; (ii) les lments nis de Lagrange simplectiques (K est un triangle, un t- tradre ou plus gnralement un simplexe) : on parle dlments nis de Lagrange Pk ; (iii) les lments nis de Lagrange structure tensorielle (K est un carr, un cube ou plus gnralement un hypercube) : on parle dlments nis de Lagrange Qk ; (iv) les lments nis de Lagrange prismatiques (K est un prisme). On dsigne par x le point courant de Rd et on note (x1, . . . , xd ) ses coordonnes cartsiennes. 3.2.1 lments nis de Lagrange unidimensionnels Dnition 3.3. Soit un entier k 1. Soit K 5 [c, d] un intervalle de mesure non-nulle. En une dimension despace, llment ni de Lagrange Pk est d- ni comme le triplet {K , P, S} tel que P 5 Pk et S 5 {s0, . . . , sk} o les formes linaires sm, m {0, . . . , k}, associent p Pk sa valeur au nud am 5 c 1 m k (d c). cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 47

55. 3 lments nis de Lagrange 3.2 Exemples classiques dlments nis de Lagrange Les nuds {a0, . . . , ak} associs llment ni de Lagrange Pk sont illus- trs sur la gure 3.1 pour k {1, 2, 3}. Lorsque K 5 [0, 1], les fonctions de forme de llment ni de Lagrange Pk sont les polynmes dinterpolation de Lagrange {Lk 0, . . . , Lk k} introduits dans la section 1.4. Le tableau 1.1 page 17 contient une reprsentation graphique de ces polynmes ainsi que leur expression analytique. Lorsque K 5 [c, d], les fonctions de forme sont les polynmes um(x) 5 Lk m( xc dc ), m {0, . . . , k}. k 5 1 k 5 2 k 5 3 Figure 3.1 Nuds {a0, . . . , ak} de llment ni de Lagrange Pk, k {1, 2, 3}, en dimension 1. 3.2.2 lments nis de Lagrange simplectiques Soit {s0, . . . , sd } une famille de points dans Rd avec d 2. On suppose que les vecteurs {s1 s0, . . . , sd s0} sont linairement indpendants. Dnition 3.4. Lenveloppe convexe des points {s0, . . . , sd } est appele un simplexe de Rd et les points {s0, . . . , sd } sont appels les sommets du simplexe. En particulier, le simplexe unit de Rd est lensemble de points x Rd ; xi 0, i {1, . . . , d}, et d i51 xi 1 , (3.6) dont les (d 1 1) sommets ont pour coordonnes cartsiennes (0, . . . , 0) et pour tout i {1, . . . , d}, (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0), le 1 tant en i-ime position. De manire quivalente, on peut dnir un simplexe de Rd comme limage par une transformation afne bijective du simplexe unit. En dimension 2, un simplexe est appel un triangle et en dimension 3, un simplexe est appel un ttradre. Pour i {0, . . . , d}, on dnit Fi comme la face de K oppose un sommet si et on dnit ni comme la normale extrieure K sur Fi ; voir la gure 3.2. En dimension 2, une face est galement appele arte. 48

56. 3 lments nis de Lagrange 3.2 Exemples classiques dlments nis de Lagrange si K Fi ni Figure 3.2 Un triangle K, un sommet si, la face oppose Fi et la normale extrieure ni. Dnition 3.5. Dans un simplexe K de Rd , on dnit les coordonnes barycentriques (l0, . . . , ld ) telles que pour tout i {0, . . . , d}, li : Rd x 1 (x si) ni (sj si) ni R, (3.7) o sj est un des sommets de K situs sur Fi, (x si) le vecteur reliant si x et (sj si) le vecteur reliant si sj. La dnition (3.7) de li est clairement indpendante du choix particulier du sommet sj sur la face Fi. La coordonne barycentrique li est une fonction afne qui vaut 1 en si et sannule sur la face Fi. De plus, ses courbes de niveau sont des hyperplans (des droites si on est en dimension 2) qui sont parallles la face Fi. Le barycentre de K a toutes ses coordonnes barycentriques gales 1 d11 . Si K est le simplexe unit, on a en dimension 2, l0 5 1 x1 x2, l1 5 x1 et l2 5 x2 ; en dimension 3, l0 5 1 x1 x2 x3, l1 5 x1, l2 5 x2 et l3 5 x3. Les coordonnes barycentriques satisfont les proprits suivantes : (i) pour tout x K , 0 li(x) 1 ; (ii) pour tout x Rd , d i50 li(x) 5 1 et x 5 d i50 li(x)si. (3.8) cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 49

57. 3 lments nis de Lagrange 3.2 Exemples classiques dlments nis de Lagrange On considre lespace vectoriel des polynmes en les variables (x1, . . . , xd ), coefcients rels et de degr global infrieur ou gal k. On pose Pk 5 p(x) 5 0 i1,...,id k i11...1id k ai1...id xi1 1 . . . xid d ; ai1...id R . (3.9) Pk est un espace vectoriel dont la dimension sexprime en fonction des coefcients binomiaux de Pascal sous la forme dim Pk 5 Ck k1d 5 k 1 1 si d 5 1, 1 2 (k 1 1)(k 1 2) si d 5 2, 1 6 (k 1 1)(k 1 2)(k 1 3) si d 5 3. (3.10) Proposition 3.6. Soit K un simplexe de Rd . Soit un entier k 1. On considre lensemble de nuds {ai}1 i nf dont les coordonnes barycentriques sont i0 k , . . . , id k , 0 i0, . . . , id k, i0 1 . . . 1 id 5 k, (3.11) et on note S les degrs de libert associs ces nuds. Alors, nf 5 dim Pk et le triplet {K , Pk, S} est un lment ni de Lagrange, appel lment ni de Lagrange Pk. Le tableau 3.1 prsente les nuds et les fonctions de forme pour les lments nis de Lagrange P1, P2 et P3 en dimension 2 et 3. On notera que pour k 5 1, les (d 1 1) fonctions de forme sont les coordonnes barycentriques. En dimension 2 et pour k 5 2, les fonctions de forme sont {l0(2l0 1), l1(2l1 1), l2(2l2 1), 4l0l1, 4l0l2, 4l1l2}. Lespace polynmial Pk sert, de manire plus gnrale, dnir le degr dun lment ni de Lagrange quelconque. Dnition 3.7. Soit {K , P, S} un lment ni de Lagrange. Le plus grand entier k tel que Pk P est appel le degr de llment ni. 50

58. 3 lments nis de Lagrange 3.2 Exemples classiques dlments nis de Lagrange Tableau 3.1 Degrs de libert et fonctions de forme pour les lments nis de Lagrange P1, P2 et P3 en dimension 2 et 3 ; en dimension 3, seuls les degrs de libert visibles sont reprsents. P1 P2 P3 li [0 i d] li(2li 1) [0 i d] 4lilj [0 i < j d] 1 2 li(3li 1)(3li 2) [0 i d] 9 2 li(3li 1)lj [0 i, j d, i j] 27liljlk [0 i < j < k d] 3.2.3 lments nis de Lagrange structure tensorielle Dnition 3.8. On considre un ensemble de d intervalles {[ci, di]}1 i d , tous de mesure non-nulle. Lensemble K 5 d i51[ci, di] est appel un hypercube (ou, galement, un pav). Dnition 3.9. Soit K un hypercube. Pour x K , il existe un unique vecteur de composantes (t1, . . . , td ) [0, 1]d tel que pour tout i {1, . . . , d}, xi 5 ci 1 ti(di ci). Les rels (t1, . . . , td ) sont appeles les coordonnes locales de x dans K . cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 51

59. 3 lments nis de Lagrange 3.2 Exemples classiques dlments nis de Lagrange On considre lespace vectoriel des polynmes en les variables (x1, . . . , xd ), coefcients rels et de degr infrieur ou gal k en chaque variable. Cet espace est not Qk 5 q(x) 5 0 i1,...,id k ai1...id xi1 1 . . . xid d ; ai1...id R . (3.12) Qk est un espace vectoriel de dimension dim Qk 5 (k 1 1)d . (3.13) On notera les inclusions Pk Qk Pkd et le fait quen dimension un, Pk 5 Qk. Proposition 3.10. Soit K un hypercube de Rd . Soit un entier k 1. On considre lensemble de nuds {ai}1 i nf dont les coordonnes locales dans K sont i1 k , . . . , id k , 0 i1, . . . , id k, (3.14) et on note S les degrs de libert associs ces nuds. Alors, nf 5 dim Qk et le triplet {K , Qk, S} est un lment ni de Lagrange, appel lment ni de Lagrange Qk. Cet lment ni est de degr k. Le tableau 3.2 prsente les nuds et les fonctions de forme pour les l- ments nis de Lagrange Q1, Q2 et Q3 en dimension 2 et 3. On rappelle que {Lk 0, . . . , Lk k} sont les polynmes dinterpolation de Lagrange associs aux nuds {a0, . . . , ak} de lintervalle [0, 1] tels que am 5 m k pour m {0, . . . , k}. On notera que les fonctions de forme pour llment ni de Lagrange Qk sobtiennent simplement par produit tensoriel des polynmes dinterpolation de Lagrange valus en les coordonnes locales (t1, . . . , td ) de x dans K . En dimension 2, les fonctions de forme sont pour k 5 1, {L1 0(t1)L1 0(t2), L1 1(t1)L1 0(t2), L1 0(t1)L1 1(t2), L1 1(t1)L1 1(t2)}, et pour k 5 2, {L2 0(t1)L2 0(t2), L2 0(t1)L2 1(t2), L2 0(t1)L2 2(t2), L2 1(t1)L2 0(t2), . . . , L2 2(t1)L2 2(t2)}. 52

60. 3 lments nis de Lagrange 3.2 Exemples classiques dlments nis de Lagrange Tableau 3.2 Degrs de libert et fonctions de forme pour les lments nis de Lagrange Q1, Q2 et Q3 en dimension 2 et 3 ; en dimension 3, seuls les degrs de libert visibles sont reprsents. (t1, . . . , td) sont les coordonnes locales du point courant de lhypercube. Q1 Q2 Q3 0011 0011 0011 0011 0011 00 00 11 11 0011 0011 0011 00 00 11 11 0011 00 00 11 11 0011 0011 01 01 0011 001101010011 00 00 11 11 0 0 1 1 0 0 1 1 00 00 11 11 001101010011 L1 i1 (t1) . . . L1 id (td) [0 i1, . . . , id 1] L2 i1 (t1) . . . L2 id (td) [0 i1, . . . , id 2] L3 i1 (t1) . . . L3 id (td) [0 i1, . . . , id 3] 3.2.4 lments nis de Lagrange prismatiques Dans cette section, on se place en dimension d 3. Pour x 5 (x1, . . . , xd ) Rd , on pose x 5 (x1, . . . , xd1). Soit K un simplexe de Rd1 et soit [a, b] un intervalle de mesure non-nulle. Dnition 3.11. Lensemble K 5 {x Rd ; x K et xd [a, b]} est appel un prisme. On introduit les coordonnes barycentriques (l0, . . . , ld1) de x dans K et on considre t [0, 1] tel que xd 5 a 1 t(b a). cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 53

61. 3 lments nis de Lagrange 3.3 Notions lmentaires sur les maillages Dnition 3.12. On appelle coordonnes prismatiques de x K le vecteur de composantes (l0, . . . , ld1; t). Soit Pk[x ] (respectivement, Pk[xd ]) lespace des polynmes coefcients rels en la variable x (respectivement, xd ) de degr global infrieur ou gal k. On pose PRk 5 {p(x) 5 p1(x ) p2(xd ) ; p1 Pk[x ], p2 Pk[xd ]}. (3.15) On constate que Pk PRk et que dim PRk 5 1 2 (k 1 1)2 (k 1 2) en dimension 3. Proposition 3.13. Soit K un prisme de Rd . Soit un entier k 1. On considre lensemble de nuds {ai}1 i nf de coordonnes prismatiques i0 k , . . . , id1 k ; id k , 0 i0, . . . , id1, id k, i0 1 . . . 1 id1 5 k, (3.16) et on note S les degrs de libert associs ces nuds. Alors, nf 5 dim PRk et le triplet {K , PRk, S} est un lment ni de Lagrange, appel lment ni de Lagrange prismatique. Cet lment ni est de degr k. Le tableau 3.3 prsente les nuds et les fonctions de forme pour les lments nis de Lagrange prismatiques de degr k {1, 2, 3} en dimension 3. En notant (l0, l1, l2; t) les coordonnes prismatiques du point courant dans le prisme, les fonctions de forme sexpriment comme un produit tensoriel des fonctions de forme associes au triangle K (et qui font intervenir les coordonnes barycentriques (l0, l1, l2)) et des polynmes dinterpolation de Lagrange unidimensionnels en la variable t. Par exemple, pour k 5 1, les fonctions de forme sont les suivantes : {l0L1 0(t), l1L1 0(t), l2L1 0(t), l0L1 1(t), l1L1 1(t), l2L1 1(t)}. 3.3 Notions lmentaires sur les maillages Intuitivement, un maillage dun domaine V est une partition de V en mailles. Pour simplier, on suppose que ces mailles sont des intervalles en dimension 1, des triangles ou des quadrangles en dimension 2 et des ttradres, des prismes ou des pavs en dimension 3. Les mailles sont galement appeles les cellules du maillage. 54

62. 3 lments nis de Lagrange 3.3 Notions lmentaires sur les maillages Tableau 3.3 Degrs de libert et les fonctions de forme pour les lments nis de Lagrange prismatiques de degr k {1, 2, 3} ; seuls les degrs de libert visibles sont reprsents. (l0, l1, l2; t) sont les coordonnes prismatiques du point courant dans le prisme. PR1 PR2 PR3 liL1 0(t) [0 i 2] liL1 1(t) [0 i 2] li(2li 1)L2 0(t) [0 i 2] li(2li 1)L2 1(t) [0 i 2] li(2li 1)L2 2(t) [0 i 2] 4liljL2 0(t) [0 i < j 2] 4liljL2 1(t) [0 i < j 2] 4liljL2 2(t) [0 i < j 2] 1 2 li(3li 1)(3li 2)L2 m(t) [0 i 2] [0 m 2] 9 2 li(3li 1)ljL2 m(t) [0 i, j 2, i j] [0 m 2] 27l0l1l2L2 m(t) [0 m 2] La famille de mailles constituant le maillage sera note {Km}1 m Nma , o Nma est le nombre de mailles. Par hypothse, les mailles sont des ferms et leurs intrieurs sont deux deux disjoints (il ny a pas de recouvrement entre les mailles). Par la suite, on pose hKm 5 diam(Km) 5 max x1,x2Km x1 x2 Rd , m {1, . . . , Nma}, (3.17) o Rd dsigne la norme euclidienne sur Rd . On pose galement h 5 max 1 m Nma hKm , (3.18) et Th 5 {Km}1 m Nma . (3.19) cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 55

63. 3 lments nis de Lagrange 3.3 Notions lmentaires sur les maillages Dans les applications, on est souvent amen considrer une suite de maillages de plus en plus ns, ce quon notera conventionnellement {Th}h>0. On parle de famille de maillages. Dnition 3.14 (Famille de maillages quasi-uniformes). On dit que la famille {Th}h>0 est quasi-uniforme sil existe une constante c telle que h, K Th, hK c h. (3.20) Lorsque le domaine V est un polygone ou un polydre, le maillage peut tre construit de faon recouvrir exactement V ; on a donc V 5 Nma m51 Km, (3.21) o V dsigne ladhrence du domaine V. Par contre, si le domaine V est frontire courbe, le recouvrement nest pas exact en gnral ; dans ces conditions, on note Vh lintrieur de Nma m51 Km, si bien que Vh 5 Nma m51 Km. (3.22) Quest-ce quau juste un domaine ? En dimension 1, un domaine est un intervalle ouvert et born. En dimension d 2, les polygones dans R2 et les polydres dans R3 sont des domaines. Plus gnralement, un domaine de Rd est un ouvert born et connexe dont la frontire V satisfait certaines proprits de rgularit, savoir quil existe : (i) deux rels a > 0 et b > 0 ; (ii) une famille nie, de cardinal R, de systmes de coordonnes locales xr 5 (xr , xr d ) pour r {1, . . . , R}, avec xr Rd1 et xr d R ; (iii) une famille nie de R cartes locales fr qui sont lipschitziennes1 sur leur domaine de dnition {xr Rd1 ; |xr | < a} ; 1. On dit quune fonction f : D Rn est lipschitzienne sur son domaine de dnition D Rm sil existe un rel L tel que pour tout (x, y) D 3 D, f (x) f (y) Rm L x y Rn . 56

64. 3 lments nis de Lagrange 3.3 Notions lmentaires sur les maillages tels que V 5 R r51 {(xr , xr d ) ; xr d 5 fr (xr ) ; |xr | < a}, et pour tout r {1, . . . , R}, {(xr , xr d ) ; fr (xr ) < xr d < fr (xr ) 1 b ; |xr | < a} V, {(xr , xr d ) ; fr (xr ) b < xr d < fr (xr ) ; |xr | < a} Rd V, o |xr | a signie que |xr i | a pour tout i {1, . . . , d 1}. On notera quun domaine est ncessairement situ dun seul ct de sa frontire. Lorsque les proprits ci-dessus sont satisfaites, on dit que la frontire de V est lipschitzienne. Pour un entier m 1, on dit quun domaine V est de classe Cm si toutes les cartes locales fr sont de classe Cm . Pour un domaine de classe Cm , sa normale extrieure n est dnie en tout point de sa frontire. 3.3.1 Gnration du maillage Un maillage est gnr partir dune maille de rfrence, quon note K , et dune famille de transformations gomtriques envoyant K dans les cellules du maillage. Par la suite, on fait lhypothse que ces transformations sont des C1 - diffomorphismes et pour une maille K Th (on omet lindice m pour allger les notations), on note TK : K K , la transformation gomtrique correspondante. Comment spcier la transformation gomtrique TK ? Une faon simple de procder consiste utiliser un lment ni de Lagrange. Par la suite, cet l- ment ni sera not {K , Pgo, Sgo}. On pose ngo 5 card(Sgo), on dsigne par {g1, . . . , gngo } les nuds de K et par {c1, . . . , cngo } les fonctions de forme correspondantes. Dnition 3.15. On dit que {K , Pgo, Sgo} est llment ni gomtrique, {g1, . . . , gngo } sont les nuds gomtriques et {c1, . . . , cngo } sont les fonctions de forme gomtriques. cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 57

65. 3 lments nis de Lagrange 3.3 Notions lmentaires sur les maillages Tableau 3.4 Exemples de transformations gomtriques gnres partir dun lment ni de Lagrange. P1 g1 g2 g3 gK 1 gK 2 gK 3 K K P2 Q1 Pour chaque maille K Th, on dispose dun ngo-uplet {gK 1 , . . . , gK ngo }. La transformation gomtrique envoyant K dans K est alors dnie comme suit : TK : K x ngo i51 gK i ci(x) K , (3.23) si bien que TK (gi) 5 gK i pou

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