AHBE

Applications théoriques, méthodologiques et computationnelles des algèbres de Hopf aux

systèmes quantiques aux basses énergies

Responsable : Frédéric Patras UMR 6621 (Nice)

Objectifs de l'ANR

1. Etendre à la chimie et à la physique des basse énergies les techniques d'algèbres de Hopf développées pour la théorie quantique des champs

2. Développer des outils combinatoires pour le calcul des niveaux électroniques des systèmes moléculaires ou cristallins

3. Coder la combinatoire des développements perturbatifs4. Améliorer les outils de resommation en physique des basses énergies5. Généraliser la méthode de Hartree-Fock aux géminales non orthogonales6. Calculer les matrices densités7. Déterminer la structure d'algèbre de Hopf prenant en charge la

combinatoire des fonctions de Green des systèmes fortement corrélés8. Etablir des méthodes de resommation pour les Hamiltoniens effectifs

Partenaires1. Frédéric Patras (DR2, CNRS) UMR 6621 (Laboratoire J.-A. Dieudonné,

Nice)2. Patrick Cassam-Chenaï (CR1, CNRS) UMR 66213. Alessandra Frabetti (MdC) UMR 5208 (Laboratoire Camille Jordan, Lyon)4. Bruno Valette (MdC) UMR 66215. Christian Brouder (DR2, CNRS) UMR 7590 (Institute de Minéralogie et de

Physique des Milieux Condensés, Paris)

Collaborateurs1. Yohann Scribano (Post-doc)2. Kurusch Ebrahimi-Fard, Université de Haute-Alsace (chercheur invité)3. Jose Maria Gracia-Bondia, Université de Saragosse (chercheur invité)

Publications1. P. Cassam-Chenaï et F. Patras, Symmetry adapted polynomial basis for global potential energy surfaces –

applications to XY4 molecules, J. Math. Chem. 44 (2008) 938-662. P. Cassam-Chenaï, Geometric measure of indistinguishability for groups of identical particles, Phys. Rev. A

77 (2008) 0321033. P. Cassam-Chenaï, The electronic mean-field configuration interaction method. I. Theory and integral

formulas, J. Chem. Phys. 124 (2006) 1941094. P. Cassam-Chenaï and G. Granucci, The electronic mean-field configuration interaction method. II.

Improving guess geminals, Chem. Phys. Lett. 450 (2007) 151-55. K. Ebrahimi-Fard, J. M. Gracia-Bondia et F. Patras, A Lie theoretical approach to renormalization, Commun.

Math. Phys. 276 (2007) 519-496. K. Ebrahimi-Fard, D. Manchon et F. Patras, A noncommutative Bohnenblust-Spitzer identity for Rota-Baxter

algebras solves Bogoliubov's recursion. J. Noncommutative Geom. (sous presse)7. Ch. Brouder et F. Patras, Hyperoctahedral Chen calculus for effective Hamiltonians.  arXiv:0812.00618. Ch. Brouder, A. Frabetti et F. Patras. One-particle irreducibility with initial correlations. Cond-Mat/0803.37479. F. Patras, Dynkin operators and renormalization group actions in pQFT. arXiv:0811.408710. Ch. Brouder, A. Frabetti, F. Patras, Decomposition into one-particle irreducible Green functions in many-

body physics, Proceedings of the "Conference on Combinatorics and Physics", Bonn, 19-23 March 200711. Ch. Brouder, Quantum field theory meets Hopf algebra, Math. Nachr.  accepté12. Ch. Brouder, The structure of Green functions in quantum field theory with a general state, in Quantum Field

Theory - Competitive Models. Ed. B. Fauser, J. Tolksdorf, E. Zeidler, Birkhäuser, Basel (2009), p. 163-175. 13. Ch. Brouder, A differential identity for Green functions, J. Math. Chem. 44 (2008) 918-3714. K. Ebrahimi-Fard, J. Gracia-Bondia et F. Patras, A Lie theoretic approach to renormalization. Comm. Math.

Phys. 276 (2007) 519-54915. K. Ebrahimi-Fard et F. Patras,  A Zassenhaus-type algorithm solves the Bogoliubov recursion.  Bulgarian J.

Phys. 35 (2008), 303-315.

Etat de l'art du domaine scientifique

• 1998, Connes et Kreimer découvrent que la renormalisation peut être décrite par une algèbre de Hopf• Depuis, plus de 200 articles ont été publiés sur des algèbres de Hopf d'arbres, de graphe et sur la structure algébrique de la renormalisation• Des milliers d'articles ont été publiés sur l'application de la théorie des champs à la physique des solides et à la chimie quantique• Quelques travaux concernent l'interface entre ces deux domaines

Positionnement du projet dans le contexte international

Toutes celles et ceux qui travaillent à l'interface entre les algèbres de Hopf et la physique des basses énergies sont membres de l'ANR

AUCUNE COMPETITION

Théorie des perturbations (I)• Hamiltonien• Les états propres de sont connus• Hamiltonien adiabatique• On définit l’opérateur d’évolution comme la solution de

avec la condition aux limites

• Le Hamiltonien d’interaction est

• Tout est bien défini pour

Théorie des perturbations (II)• Est-ce que est un état propre de ? • Non, car la limite n’existe pas

• Si est non dégénéré, la fonction de Gell-Mann et Low

existe et est un état propre de

Cas dégénéré• Dans de nombreuses applications, l'état initial est dégénéré• En présence de symétrie• Systèmes avec couches ouvertes (très importants pour les matériaux technologiques)

Hamiltonien effectif

• Soit le projecteur sur l'espace des états propres de pour la valeur propre • Les valeurs propres du hamiltonien effectif

sont aussi valeurs propres de• Donner une expression perturbative de• Effectuer des resommations de cette expression

Intégrales itérées

• L'opérateur d'évolution est l'intégrale itérée

• L'opérateur d'onde• Groupe hyperoctaédral (ou permutations signées)• On définit

avec

Coupled cluster dépendant du temps

• Relation avec le produit shuffle• Descente : a une descente en si et est non signé ou et est signé • L'opérateur d'onde est

• Resommation

avec

Fonction de Green (I)

• Même dans le cas dégénéré, il est existe des tels que

existe et soit état propre de

• Ces sont les vecteurs propres de

• On définit la fonction de Green

• Déterminer la combinatoire de calcul de la fonction de Green

Fonction de Green (II)• Développement perturbatif pour la théorie en

• Cumulants de :

Algèbre de Hopf• est l'algèbre polynomiale dans les variables

• Pour la fonction de Green est

avec

Structure des fonctions de Green• est la cogèbre construite sur l'e.v. avec le coproduit

• est une -comodule cogèbre

• Pour et

• Les fonctions de Green connexes sont

• La structure en fonctions de Green une-particule irréductibles s'exprime également à partir des deux coproduits

Réalisation des objectifs

1. Etendre à la chimie et à la physique des basse énergies les techniques d'algèbres de Hopf développées pour la théorie quantique des champs

2. Développer des outils combinatoires pour le calcul des niveaux électroniques des systèmes moléculaires ou cristallins

3. Coder la combinatoire des développements perturbatifs4. Améliorer les outils de resommation en physique des basses énergies5. Généraliser la méthode de Hartree-Fock aux géminales non orthogonales6. Calculer les matrices densités7. Déterminer la structure d'algèbre de Hopf prenant en charge la

combinatoire des fonctions de Green des systèmes fortement corrélés8. Etablir des méthodes de resommation pour les Hamiltoniens effectifs

Aspects financiersDemandé Dépensé

Equipement 13 500 € 10 000 €

Fonctionnement 46 500 € 50 000 €

Total 60 000 € 60 000 €

Poste Dépense

3 conférences + missions 50 000 €

Informatique, logiciels 7 000 €

Post-doc (Scribano) 3 000 €

Conférences:Mathematical methods for ab initio quantum chemistry 2006, 2007, 2008