aerodyn machines eoliennes

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  • 8/2/2019 Aerodyn Machines Eoliennes

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    UNIVERSITE IBN ZOHRFACULTE DES SCIENCES

    DEPARTEMENT DE PHYSIQUE

    LICENCE ENERGIE RENOUVLABLEET DEVELOPPEMENT DURABLE

    ENERGIE EOLIENNE

    ARODYNAMIQUE DES MACHINES OLIENNES

    Pr. Hassan FATMAOUI

    Anne universitaire 2009-2010

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    SOMMAIRE

    1. FORCES SUR UN PROFIL.........................................................................................31.1 Forces de trane et de portance sur profils fixes ..................................................... .......................................... 51.2 Polaire d'un profil ..................................................... ........................................................... ................................. 7

    2 ACTION DU VENT SUR LE PROFIL. PUISSANCE UTILE ET RENDEMENT............82.1 Pales profiles........................................................................................................................................................82.2 Angles de corde....................................................................................................................................................102.3 Forces de trane et de portance des profils mobiles........................................................................................112.4 Forces tangentielle et axiale................................................................................................................................122.5 Couple moteur.....................................................................................................................................................132.6 Rendement arodynamique des hlices.............................................................................................................142.7 Puissance maximale ............................................................................................................................................152.8 Couple moteur maximal ..................................................... ........................................................... ..................... 162.9 Vitesse angulaire maximale................................................................................................................................16

    3. LE MODLE THORIQUE DE BETZ ......................................................................173.1 Considrations pratiques....................................................................................................................................18

    4. ROTOR MULTIPALE ................................................................................................194.1 Force axiale totale ...............................................................................................................................................19

    4.2 Force tangentielle................................................................................................................................................214.3 Couple moteur.....................................................................................................................................................22

    5. THORIE TOURBILLONNAIRE D'HLICES OLIENNES......................................24

    6. OPTIMISATION D'UNE INSTALLATION OLIENNE .............................................27

    Ce document est bas en grande partie sur le cours du professeur P.F. Diez, enseign coleTechnique Suprieure desIngnieurs Industriels et de Tlcommunication de l'Universit deCantabria, Santander (Espagne).

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    Le vent est compos par des particules d'air dans un mouvement; quand la masse d'air seraforme par des filets juxtaposs, parfaitement individualiss, on dit que le mouvement estlaminaire, alors que si les filets d'air sont entrecroiss et ne conservent pas leurs individualits,on dit que le mouvement est turbulent; c'est le cas le plus gnral qui arrive dans le vent. Si danschaque point d'une masse d'air dans un mouvement turbulent les vitesses instantanes semesurent, on observe que celles-ci varient dans une grandeur et dans une direction sans aucunergularit, mais ils ne s'cartent beaucoup d'une valeur moyenne. Les mouvements dsordonnsde l'air au niveau macroscopique se nomment turbulences, qui peuvent influer sur des massesimportantes d'air. Quand le vent rencontre un obstacle, son mouvement commence treperturb et devient irrgulier certaines distances.

    1. FORCES SUR UN PROFIL

    Un objet situ dans un courant d'air prsente une rsistance la progression en dformant lesfilets fluides; ceci dpend de la forme de l'objet et de sa position par rapport la direction duvent (Figure1.). Aprs avoir tudi les effets de la rsistance de l'air sur une plaque plane, onobserve que la rsultante R des forces appliques la plaque est un vecteur dont le pointd'application est le centre arodynamique ou centre de pousse, et sa direction tantperpendiculaire la plaque, son sens est celui du vent, et son module proportionnel la surface S

    expose et au carr de la vitesse du vent v, selon la relation :

    22

    2vSk

    SvCR w ==

    Dans laquelle :

    - kest un coefficient qui dpend de l'angle dincidence, des units choisies et de la turbulencedu mouvement

    - Cw est le coefficient de rsistance (ou de pntration)- est la masse volumique de lair- S est la section frontale du profil

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    Figure1 : Profil situ dans le sens du courant dun fluide

    Si l'angle , form par le plan de la plaque avec la direction du vent est grand, une surpression

    existe dans la partie antrieure de la plaque et une dpression dans sa partie postrieure decaractre tourbillonnaire (Figure 2.) ; si l'angle d'incident est petit, la surpression apparat dansla partie infrieure de la plaque et la dpression par dessus, par ce qu'apparat une force qui tend l'lever (Figure 3.), connu comme force de portance ou d'lvation.

    Sur la Figure 4, une plaque plate reprsente un profil avec deux types d'inclinaison; on observeque plus petit est l'angle d'inclinaison, plus grand sera la rsultanteR. Pour des profils plats delongueurL parallle la vitesse v du vent, la valeur du nombre de Reynolds et le coefficient depntration sont :

    Vent

    Surpression

    Tourbillons

    Dpression

    Expansion des filets dair

    Compression des filets

    Vent

    Surpression

    Dpression

    DpressionSurpression

    Vent

    Figure 2 Figure 3

    VentVent

    Figure 4 : Angle dattaque et effet sur le profil

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    5

    >=

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    Figue 5. - Coefficient Cw pour quelques profils semisphriques

    Figure 6 : Forces de Traine et de portance sur un profil fixe

    SphreDemi-sphre

    Demisphre-cone : Fuseau

    Vent

    Extrados

    CordeT

    P

    Vent Corde

    z

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    Figure 7a : distribution des vitesses sur un profil avec attaque = 12 et rsultante = 3.57

    Figure 7b : distribution des vitesses sur un profil avec attaque = 30 et rsultante = 25.77

    1.2 Polaire d'un profil

    La polaire dun profil est un graphique caractristique du profil. De ce graphe, on peutdterminer certaines caractristiques.La polaire dune aile est un graphe mettant en relation les coefficients Cy, Cx et .

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    La finesse d'un profil est dfinie pour une valeur donne de (angle dinclinaison), comme larelation entre les coefficients ky et kx, dans la forme :

    tgC

    C

    k

    kf

    x

    y

    x

    y 1:Finesse ===

    La courbe Cy = f(Cx), Figure 8., se nomme polaire du profil et se dtermine en faisant desmesures des valeurs de T et de P au moyen d'une balance de torsion dans une soufflerie, pourdiffrente valeurs de l'angle d'attaque .

    Figure 8 : Polaire dun profil

    2 ACTION DU VENT SUR LE PROFIL. PUISSANCE UTILE ETRENDEMENT

    2.1 Pales profiles

    L'lment de base d'une olienne est le rotor, qui est form par une ou plusieurs hlices ou pales,(la thorie de calcul lmentaire est analogue celle des hlices d'avion). Elles sont attaches aurotor et dont le nombre est variable selon les cas; chaque pale a un profil qui a une formearodynamique; ces profils ont une extrmit mousse, qui est le bord d'attaque alors que l'autreextrmit, de forme aiguise, est le bord de fuite.

    Les profils ont des noms distincts selon la gomtrie. Ils se nomment biconvexes si l'intrados et

    l'extrados sont convexes, et plats - convexes s'ils ont l'extrados convexe et l'intrados plat et d'unedouble courbure si l'intrados et l'extrados sont concaves. En gnral, les types de profils utilissdans les machines oliennes rapides sont de la srie NACA (National Advisory Committee ofAeronautics).

    1- Biconvexe symtrique :La ligne moyenne est rectiligne (confondue avec la corde) (l'intrados et l'extrados sont convexes)

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    2- Biconvexe dissymtrique :La ligne moyenne est simple courbure (intrados et extrados convexes)

    3-Creux :La ligne moyenne est simple courbure (intrados concave, extrados convexes)

    4-Double courbure :La ligne moyenne est double courbure

    Nomenclature des profils NACA-4 chiffres. - Le premier chiffre a une signification gomtrique,et indique la flche maximale de la ligne moyenne de la corde en %, il indique la courburemaximale.- Le deuxime chiffre indique la distance qui spare le bord dattaque de la position de la flche

    maximale de la ligne moyenne ou de courbure maximale- Les deux derniers chiffres indiquent l'paisseur relative maximale du profil en % par rapport la corde.

    Figure 9 : Profils NACA

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    Le profil sobtient au moyen de deux paraboles tangentes au point de ligne maximale moyenne.

    Exemple : Le profil NACA2415, a 2 % d'altitude maximale de la ligne moyenne, situe 40 %du bord d'attaque, avec une paisseur relative de 15 %.Les profils NACA44XX ont l'intrados avec une partie convexe, ils ont une construction

    complexe et aussi comme les prcdents le XXe indique l'paisseur maximale du profil.

    2.2 Angles de corde.

    La pale d'une hlice d'un arognrateur olien est une pale profile qui transforme l'nergiecintique du vent en nergie mcanique de rotation. Les forces qui agissent sur un lment delongueur de pale dx en rotation, sont obtenues en tudiant l'action du vent relatif qui reoit la

    pale de vitesse c (vent apparent ou sillage) qui peut tre considr comme somme du vent rel

    de vitesse v , et d'un vent provoqu par le mouvement de rotation de la pale, de vitesse

    u (Figure10).

    S'il s'agit d'une hlice d'avion (propulsive), comme le vent incident est un vent relatif du audplacement de l'avion, une diffrence existe dans la position de la pale par rapport celle-l del'arognrateur, comme il est indiqu dans les Figure 11 et 12, dans lesquelles :

    est l'angle que forme la corde du profil avec le plan de rotation; c'est l'angle de calage ou

    d'une inclinaison (corde / u).

    est l'angle que forme la corde du profil avec vitesse apparente du vent c , (angle d'incidence ou

    d'attaque).

    est l'angle que forme le plan de rotation avec la direction apparente du vent qui passe pour le

    bord d'attaque; il est aussi appel angle apparent du vent.

    Figure 10. - Forces agissant sur un lment de pale en rotation

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    Figure 11 : - Pale d'hlice d'avion Figure 12 : Pale d'hlice darognrateur

    La pale d'un arognrateur est plus simple et facile construire que celle d'un avion, puisqu'elleest plus plate, elle prsente une surface presque plate au vent, alors qu'une hlice d'avion entournant dans les mmes conditions que l'hlice d'un arognrateur, n'aurait pas la mmeapplication pour la transformation de l'nergie olienne.

    2.3 Forces de trane et de portance des profils mobiles.

    La force qui agit au centre arodynamique d'un lment de pale en rotation, d'une surfacefrontale lmentaire dS, (une projection du profil sur la direction du vent apparent), est donnepar dR (Figure 13). Cette force peut se dcomposer son tour en deux autres, l'entre du ventdans le profil mobile, comme la sortie (dpart).

    - l'entre du profil mobile le vent de vitesse v qui donne lieu la force axialF axial et la force

    tangentielle TanF

    - la sortie du profil mobile le vent apparent de vitesse c donne lieu la force de traine Tet

    la force de portance P .

    dRx = dTdans la direction de c du vent apparent correspond une perte de l'nergiedRy = dP est la force ascensionnelle ou pousse sur l'lment de pale, qui la fait tourner.

    Sens de rotation

    Sens de rotationAxe de rotation

    Vent relAvion

    Vitesse du vent

    Axe de rotation

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    Figure 13 : - a) les Vitesses et b) les Forces qui apparaissent sur une pale d'arognrateur

    Pour un lment de pale dS en rotation, et conformment la Figure 13 on peut poser :

    Force de traine : dScCdTdR xx2

    2

    1==

    Force de portance : dScCdPdR yy2

    2

    1==

    Cx, est le coefficient de trane et Cy est le coefficient de portance, ils dpendent du type deprofil, de l'angle d'incidence et du nombre de Reynolds.dS, est l'aire de l'lment de surface de la pale qui s'offre au vent, de valeur (L dr), L tant lalongueur caractristique du profil, gale la longueur de sa corde.Les coefficients Cx et Cy sont lis par le coefficient arodynamique total CT sous la forme :

    222yXT CCC +=

    2.4 Forces tangentielle et axiale

    Si on projette, les forces de trane ou de rsistance dRx et de pousse ascensionnelle ou desustentation dRy, sur le plan de rotation, on obtient une force utile, dFTan, (parallle u) qui faittourner l'hlice, et une autre force perpendiculaire, dFaxial, (une force de pousse du vent sur lerotor) qui est compens par la raction du support de l'axe du rotor de l'hlice, sous la forme :

    )cossin()cot1(

    2

    )cossin(

    sin2

    1

    )cossin(2

    1cossin

    22

    2

    2

    2

    xyxy

    xyxyTan

    CCdSgv

    CCdSv

    CCdScdRdRdF

    +==

    ===

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    13

    )sincos()cot1(2

    )sincos(sin2

    1

    )sincos(2

    1sincos

    22

    2

    2

    2

    xyxy

    xyxyaxial

    CCdSgv

    CCdSv

    CCdScdRdRdF

    ++=+=

    =+=+=

    tant l'angle que forme la direction du vent apparent, entre les vecteurs vitesse u et c .Les valeurs qui interviennent dans ce calcul diffrentiel sont fonction des vitesses dans chaquezone et donc, de l'angle d'attaque , en fonction duquel, il est possible d'obtenir les valeurs de Cxet de Cy.

    On a :y

    x

    C

    Ctg =

    Do :

    cos

    )cos()sin(cos)sin(cos)sincos(

    cos

    )sin()cos(sin)cos(sin)cossin(

    ===+

    ===

    yy

    y

    x

    yxy

    yz

    y

    x

    yxy

    CtgCC

    CCCC

    CtgCC

    CCCC

    et :

    =

    =

    cossin

    )cos(

    2

    1cossin

    )sin(

    2

    1

    22

    22

    yaxial

    yTan

    dSCvdF

    dSCvdF

    La force de portance augmente avec l'angle d'attaque jusqu' un maximum et diminue ensuiteimmdiatement.

    Comme u et varie avec le rayon r, c variera aussi, par ce que l'angle devra varier le long de lapale, il en rsulte que celle-ci est gauchie pendant sa construction.

    2.5 Couple moteur

    Les arognrateurs oliens dont le couple moteur est obtenu partir de la force de trane dT,sont les arognrateurs Savonius et les Moulins multipale (12 24 pales).

    dSvCr

    dSgvCr

    dScCr

    rdTdC yxx

    cossin

    )sin(

    2)cot1(

    22 22222

    =+===

    Les arognrateurs oliens dans lesquels le couple moteur est obtenu partir de la forcetangentielle dFTan, sont les arognrateurs Darrieux et Hlice.

    )cossin)(cot1(2

    22 xyxTan CCgdSvC

    rrdFdC +==

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    2.6 Rendement arodynamique des hlices.

    La puissance utile gnre par un lment diffrentiel de pale est : dNutil =u dFTan, et la puissanceconsomme par le vent : dNvent= v dFaxial, le rendement arodynamique (aerod) est dfini commetant le rapport entre la puissance utile gnre par la pale et la puissance consomme par levent, sous la forme :

    v

    u

    v

    u

    gdRdR

    gdRdR

    v

    u

    dRdR

    dRdR

    vdF

    udF

    xy

    xy

    xy

    xy

    axial

    Tan

    aerod )cos()sin(

    1cot)/(cot)/(

    coscoscossin

    )(

    =

    +

    =

    +

    ==

    Puisque :

    tgC

    C

    dR

    dRf

    x

    y

    x

    y 11==== ;

    v

    Rg

    v

    uTSR

    === max

    max cot

    tgf

    gf-

    v

    u

    v

    u

    gdRdR

    gdRdR

    v

    u

    dRdR

    dRdR

    vdF

    udF

    xy

    xy

    xy

    xy

    axial

    Tan

    aerod

    +=

    +=

    =

    +

    =

    +

    ==

    cottg1

    cotg-1

    )cos(

    )sin(

    1cot)/(

    cot)/(

    coscos

    cossin)(

    qui dpend de la finessef, Figure 13, et du TSR (Tip-Speed-Ratio) dfini comme le rapport entre

    la vitesse priphrique de la pale u et celle du vent v , sans intervention des vitesses induites, enpour ces machines on introduit le nombre spcifique de rvolutions n.La relation entre la vitesse angulaire pour un rayon r et l'angle , est :

    v

    nr

    v

    rg

    v

    uSR

    30cot

    ====

    Figure 41 : Finessefdun profil NACA

    Avec SR (Speed-Ratio), dans lequel rest la distance de l'lment de pale considr par rapport l'axe de rotation de l'arognrateur; si rdiminue, l'angle augmente; si est constant, l'angled'incidence augmente.De l'expression du rendement d'une pale d'arognrateur en fonction de sa finessefet de l'angledu vent apparent , on dduit que plus la valeur de est petite, (ou la valeur de la finesse festplus grande), plus grand, sera, le rendement (aerod), on obtient pour ( = 0) o (f = ), un

    rendement maximal gal l'unit, ce qui est impossible daprs le Thorme de Betz.

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    Quand on veut dimensionne un arognrateur il faut dabord choisir l'endroit pour installerl'appareil dans lequel la vitesse moyenne v du vent permet dobtenir le rendement maximal; c'estla vitesse nominale, une fois fixe on choisit le type de profil de la pale et la vitesse de rotation

    dsire. En connaissant la vitesse nominale v du vent et la vitesse priphrique de rotation u , ondtermine l'angle apparent du vent qui varie le long de la pale selon la distance l'axe derotation de l'hlice. Il faut aussi, pour obtenir (aerod.max) , tenir en compte le fait que l'angle

    d'incidence du vent sur la pale doit avoir une valeur fixe 0 constant tout le long de la pale; pourcela il est ncessaire que l'angle = - varie en mme temps que .Pour obtenir un plus grand rendement arodynamique, la pale doit avoir la forme hlicodaledans laquelle l'angle est trs important prs du rotor et est moins important son extrmit.

    2.7 Puissance maximale

    Pour trouver la puissance maximale, on peut partir de l'expression de la puissance utile :

    )cossin)(1(cotcot2

    )cossin)(1(cot2

    )cossin(2)cossin(

    23

    22

    2

    xyxy

    xyxyTanutil

    CCggdSv

    CCgdSvu

    CCdScu

    dRdRudFudN

    +=+=

    ====

    Ce qui est, en pratique, est simplifi puisque

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    16

    2.8 Couple moteur maximal

    Le couple moteur dC correspondant l'lment de surface de pale dS a t antrieurementcalcul comme :

    )cossin)(cot1(2

    22

    xyTan CCgdSv

    r

    rdFdC+==

    On peut aussi lobtenir partir de dNutilcomme suit :

    )cotcot(2cot

    22

    gCgC

    dSvr

    gv

    dNr

    u

    dNdNdC xy

    utilutilutil====

    Qui sannule pour :x

    y

    C

    Cg =cot

    La condition de couple moteur maximal est obtenue en galisant zro la drive de dC:

    x

    y

    xyC

    CggCC

    2cotcot2 ==

    x

    y

    x

    yx

    x

    y

    C

    CdSvr

    C

    CC

    C

    CdSvrdC

    22

    2

    222

    max 8)

    42(

    2

    ==

    2.9 Vitesse angulaire maximale

    La vitesse angulaire maximale est donne par :

    3027

    16

    8

    27

    2

    max22

    2

    32

    maxmax

    n

    C

    C

    r

    v

    C

    CdSvr

    C

    CdSv

    dC

    dN

    x

    y

    x

    y

    x

    y

    ===

    =

    Dans les arognrateurs d'axe horizontal, pour obtenir une vitesse angulaire uniforme, il estncessaire que la vitesse v du vent, comme sa direction, restent constants par rapport la pale. Larelation TSR = cotg est compris entre 0,2 et 13 ce qui permet de faire la classification suivante

    de machines oliennes axe horizontal :Pour les grands moulins ..u/v

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    3. LE MODLE THORIQUE DE BETZ

    Nous allons supposer que l'nergie olienne puisse se remettre et transformer au moyen d'unarognrateur hlice (ce dtail nest pas strictement ncessaire, la dmonstration est valablepour tout autre milieu de transformation). L'hlice suppose immerger dans un courant d'air de

    vitesse et dont la vitesse en aval est 2v non nul ce qui permet d'assurer qu'elle n'est pas possible,de transformer toute l'nergie du vent et la rcupration dune autre forme d'nergie.

    Figure 15 : Modle de Betz

    On supposera quen amont de l'hlice, l'air qui circule dans le tube de courant tel quindiqu dans

    la Figure 15, possde une vitesse 1v dans la section transversale fictive A1, qui est la vitesse du

    vent non perturb, alors que la vitesse 2v correspond la section transversale fictive A2 en avalde la zone dans laquelle se trouve l'hlice. Dans le plan qui contient l'hlice, la section

    transversale est un disque imaginaire de section A, v tant la vitesse du vent dans cette section.

    L'hlice tant suppos comme un disque de diamtre d qui capte l'nergie de l'air en mouvementqui arrive dessus. Si le disque tait capable de capter toute l'nergie cintique du vent, l'air enaval serait au repos et, par consquent, la vitesse serait (v2 = 0).

    En supposant que le dbit massique Qm de l'air qui circule dans le tube soit constant, on peutcrire :

    vAvAvAQm === 2211

    La variation de l'nergie cintique du vent par rapport l'unit du temps est de la forme :

    )(2

    )(2

    22

    21

    22

    2121 vv

    Avvv

    QEEE mCCcinet ===

    La force F exerce par le vent dans l'unit du temps t = 1 sur l'aire fictive A balaye par lhliceest gal la variation de la quantit de mouvement de l'air qui la traverse; le travail gnr parcette force F dans l'unit du temps, est la puissanceNutil, de la forme :

    )( 212

    vvAvvQvFvN mutil ===

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    18

    qui est gal la variation d'nergie cintique de l'air, dans le mme temps, que lon peut criresous la forme :

    2)(

    2)( 2122

    2121

    2 vvvvvAv

    vvAvNutil

    +===

    Si on fait le changement suivant v2 = bv1 avec (0 < b

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    31max 0.30)11.0( vAN relle =

    Rendement de Betz ........................................................ 59,3 %

    Rendement de l'hlice ................................................... 85 %

    Rendement du multiplicateur ........................................ 98 %

    Rendement de l'alternateur ........................................... 95 %Rendement du transformateur ....................................... 98 %

    On obtient un rendement global de l'installation de l'ordre de 46 %.

    En pratique le rendement de l'arognrateur sera toujours moindre, par ce quon peut acceptercomme une valeur assez raisonnable pour la puissance, l'expression suivante :

    31max 0.17)11.0( vAN =

    4. ROTOR MULTIPALE

    Force axiale sur une pale

    Si l'hlice aZpales etL tant la longueur de la corde du profil et tle pas tangentiel des pales, laforce axiale qui sexerce sur un lment de pale est :

    2

    2

    sincos

    )cos(

    2

    1 drLvCdF

    y

    axial

    =

    4.1 Force axiale totale

    La force dFaxial tot pour Z pales est :

    2

    2

    sincos

    )cos(

    2

    drLvCZdFZdF

    y

    axialtotaxial

    ==

    S'il se produisait un profit total du vent v2

    = 0, on aurait que2

    1vv = , et la force Ftotal

    dans la

    direction de l'axe de l'arognrateur serait :

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    Figure 16 : Forces sur un profil de pale

    drrvvdrrvdAvvvdAdF222

    21totaxial 4)2(22)( ====

    En galisant les deux expressions de dFaxialtoton obtient :

    )cos(

    sincos4

    24

    sincos

    )cos(

    2

    22

    2

    2

    totaxial

    ==

    =

    r

    ZLCdrrv

    drLvCZdF

    yy

    En utilisant la relation entre le pas tangentiel t et le nombre de pales Z, on obtient :

    )cos(

    sincos4;

    1

    2;

    2 2

    ===

    t

    LC

    tr

    Z

    t

    rZ

    y

    qui est la relation qui existe entre l'angle d'incidence du vent et celui du mouvement relatifaudpart de la pale, en fonction de la longueur de la cordeL, du pas t et du coefficient de portanceCy.

    Pour une vitesse en aval de la forme v2 = b v1 on a :

    SP

    t

    LC

    b

    b

    r

    ZLC yy==

    +

    =

    1

    1

    )cos(

    sincos4

    2

    2

    = Paramtre de forme (Shape Parameter)

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    4.2 Force tangentielle

    La force de torsion dFTanest de la forme :

    2sincos

    )(sin

    2

    1)()(sin

    drLCtgdFdRdF

    y

    axialTan

    ===

    Le vent arrive axialement la pale, mais nous savons qu' la sortie, il change de direction, en

    acqurant une vitesse apparente c qui a comme composante u (gal et d'un signe oppos la

    vitesse priphrique de la pale). Le vent apparent l'entre de la pale a une vitesse 1c et la

    sortie (dpart) a une vitesse 2c en accord avec les triangles de vitesses, de Figure 16, uncomposant pour l'apparente vitesse de la forme :

    arauccc 2221 ===

    Dans laquelle :

    - est la vitesse angulaire de lhlice- r est la distance de la section dS de laxe de rotation- a est une variable dterminer dpendant de r, v, et

    Si on applique le Thorme de la Quantit de mouvement la section balaye par les pales, d'unelargeur dr, traverse par le vent pendant le temps t = 1, on aura :

    drrvaarvdrrdF

    tccdQtdF

    Tan

    mTan

    2

    21

    4)2()2(

    1;)(

    ==

    ==

    qui est une expression de dFTanpourZpales, dans sa dtermination on a tenu compte de l'airebalay , indpendamment du nombre.

    Figure 17 : Triangle des vitesses lentre et la sortie du profil de la pale

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    22

    4.3 Couple moteur

    Le moment dCappliqu l'lment de surface dS sobtient en multipliant dR par la distance rl'axe de rotation :

    drrvardFdC Tan34 ==

    L'expression de dC, pour Z pales, est de la forme :

    2

    23

    sincos

    )(sin

    24

    drLvrCZdrrvadC

    y ==

    En identifiant les deux expressions du couple moteur on obtient :

    2et

    2o

    244

    sincos

    )sin(

    22

    2

    tZr

    t

    rZ

    tZrara

    LvCZ y====

    en fonction du rayon r, le pas tdes pales et le nombre Z, ceci entraine :

    2)sin(

    sincos4 2 SP

    v

    ra

    t

    LCy=

    = , o (SP) est le paramtre de forme

    En galisant les expressions trouves pour :t

    LCy , on aura :

    SR

    a

    tg

    v

    r

    v

    ra=

    =

    =

    )(

    )cos(

    sincos4

    )sin(

    sincos4 22

    Pour une vitesse en aval de la forme v2 = bv1, on a :a

    tg

    b

    bSR

    )(

    1

    1

    +

    =

    En tenant en compte des triangles de vitesses l'entre, la sortie et au centre de sustentation dela pale, Figure.16, on trouve la valeur de a :

    tgSRa

    aSRau

    v

    ar

    v

    rar

    vtg

    11;

    )1(

    1

    )1()1(=

    =

    =

    =

    =

    On en dduit la relation entre la vitesse du vent v et la vitesse tangentielle des pales u , en

    fonction des angles et , de la forme :{ }

    SRtgtg

    tg

    u

    v

    r

    vtgr

    ntgrtgtgv

    1

    1)(;

    301)( =

    +====+

    La reprsentation graphique des quations :

    ++

    =

    +

    ==

    tgtg

    b

    bSR

    b

    b

    t

    LCSP y

    1)(

    1

    1

    1

    1

    )cos(

    sincos4

    2

    2

    en fonction de l'angle est prsent par la figure 18, dans l'intervalle (0 <

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    ( = 1 et = 8); on observe que dans l'intervalle de valeurs de compris entre 0 et 6, lavaleur de SR passe pour un minimum pour de l'ordre de 45 .

    Figure 18 : Paramtres de conception

    Si la vitesse angulaire est fixe, le flux d'air est maximal quand :t

    LCSP y=

    2atteint, pour

    b = 0, des valeurs comprises entre : 1,8