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2 Cours et exercices de traitement du Signal CHERIF Adnene FST 2001 __________________________________________________________________________________

Facult des sciences de Tunis Section : Electronique & Gnie Electrique

COURS ET EXERCICES DE TRAITEMENT NUMERIQUE DU SIGNAL

Sections:

4ime anne de Matrise Electronique 2ime anne de Gnie Electrique

Par :

CHERIF Adnne

2003


COURS DE TRAITEMENT NUMERIQUE DU SIGNAL

Table des matires

Introduction Chap I : Gnralits sur les signaux et systmes 1 - Dfinitions 2 - Classification des signaux. 3 - Reprsentation mathmatique d'un signal 4 - Oprations sur les signaux ( convolution,filtrage,corrlation...) 5 - Systmes linaires 6- Analyse temporelle et frquentielle ( Bode, Nyquist)

Chap II : Numrisation et chantillonnage des signaux 1 - Principe de la numrisation 2- Echantillonnage d'un signal - T.Z - Thorme de Shanoon 3- Quantification - principe de conversion A/N - quantification uniforme - quantification par compression des donnes 4- Codage - diffrents types de codage - paramtres d'un codeur 5 Transforme de Fourier discrte DFT - Algorithme FFT - Transforme en cosinus discrte DCT Chap III : Filtrage numrique 1 - Dfinition d'un filtre numrique 2 - Etude des filtres R.I.F 3 - Etude des filtres R.I.I 4 - Mthodes de synthses des filtres numriques 5 Exemples et applications


Chap IV: Techniques de transmission numrique 1 - Constitution d'un systme de transmission 2 - Modulation et dmodulation analogique - modulations AM, SSB, DSB - modulations FM et PM - dtection synchrone par PLL 3 - Modulation et dmodulation numrique - modulation P.C.M - modulation ASK, FSK et PSK - techniques de multiplexage temporel des canaux FDM - techniques de multiplexage frquentiel des canaux TDM 4 - Introduction la transmission de donnes

Bibliographie


INTRODUCTION

Le signal est le support physique de l'information. Il se trouve sous la forme d'une grandeur observable de type lectrique, mcanique, acoustique ou optique. Cette notion s'oppose celle du bruit qui peut modifier l'information ou mme la masquer. La description, la modlisation et l'analyse mathmatique des signaux fait l'objet de la thorie du signal, alors que le traitement des signaux les interprte, en extrait ou y ajoute de l'information. Les champs d'application de cette discipline sont trs vastes tels que : - la tlcommunication - l'instrumentation - les radars et sonar - le traitement et la reconnaissance de la parole - le traitement d'image - la reconnaissance de forme - l'analyse des vibrations dans les machines outils. - La mdecine et la biotechnologie. Ce cours qui est destin essentiellement aux tudiants de deuxime anne de la matrise Electronique et du cycle dIngnieurs est divis en deux grandes parties reprsentant les signaux et les systmes continus et discrets. Dans les deux premiers chapitres, nous sommes intresss permettre l'tudiant de matriser les outils et les concepts de base de l'analyse d'un signal (Transforme de Fourier, analyse spectrale, analyse statistique,...) avant daborder les techniques d'analyse des systmes et le filtrage linaire. Le troisime chapitre est consacr la prsentation des signaux alatoires, de leurs proprits et de leurs mthodes danalyse statistique. Les chapitres quatre et cinq reprsentent la partie numrique de ce cours et dans la quelle nous prsentons en dtails toutes les tapes de numrisation dun signal ainsi que les conditions de ralisation de chacune. Cela permet d'aborder la dernire partie qui est la transmission analogique et numrique des signaux et dans la quelle on verra les techniques de modulation et de dmodulation AM, SSB, FM, PM, PCM, QPSK ainsi que leurs applications.


Chapitre 1

GENERALITES SUR LES SIGNAUX ET SYSTEMES1- dfinition dun signal Un signal est un support physique de l'information qui reprsente un phnomne physique qui peut tre du type : - lectrique ( courant, tension, champ lectrique ou magntique ) - mcanique ( vibration ) - optique, etc Il peut prendre une reprsentation scalaire ( signal la sortie d'un microphone) ou vectorielle ( champ lectrique dans l'espace ). Pour illustrer ce concept, prenons le signal sinusodal x(t) de la figure 1 mlang avec un bruit dacquisition b(t). x(t) = sin(628.t ) b(t) : bruit uniforme. Dans le premier cas ( figure 3 ), nous avons choisi un faible niveau de bruit de faon que celuici ne masque ou ne modifie pas trop le signal original, soit : y(t) = x(t) + b(t) . Alors que dans le deuxime cas ( figure 4 ), nous avons choisi un niveau plus lev du bruit de faon que celui-ci masque compltement le signal original, soit : y(t) = x(t) +10 b(t) .1.5

1 0.9

1

0.8 0.7 0.6

0.5

0

0.5

signal bruit : x(t)+b(t)-0.5

2

0.4 9 0.3 8

signal bruit : x(t)+8 b(t)

1.5-1

0.2 7 0.1 6

1-1.5 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

0.5 0 -0.5 -1 -1.5

5 4

0

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Figure 1: signal sinusodal

3 2 1 0

Figure 2 : signal bruit

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

-1

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05


Figure 3: signal faiblement bruit 2- Paramtres temporels et nergtiques

Figure 4 : signal masqu par le bruit

Un signal est caractris par des paramtres temporels, nergtiques et statistiques qui caractrisent sa variabilit, sa dynamique, son intensit et sa puissance. 2-1- paramtres temporels: Ce sont des grandeurs physiques qui peuvent tre explicites par lobservation de la variation temporelle du signal ou suite un traitement de ces donnes, telles que : - lamplitude, la priode et la phase pour les signaux dterministes - la valeur moyenne, la variance, la densit de probabilit et la fonction dautocorrlation pour les signaux alatoires. Pour un signal discret, la valeur moyenne et la variance ont lexpression : x moy = VarX = 1 N 1 NN i =1

x(i)i =1 moy

N

(x(i) - x

)2

Dans le cas d'un signal continu priodique x(t) = A sin( t +), on dfinit : - la valeur moyenne par : - la valeur efficace par : Xm = Xeff = [1 T 1 T

-T/2

T/2

x(t) dtT/2

o T dsigne la priode

|x|2(t) dt ]1/2

-T/2

- la puissance moyenne par: Pmoy = (Xeff )2 - l'amplitude par : - la phase par : - la priode par : A = Xeff . 2 T = 2/ o dsige la pulsation

2-2- paramtres nergtiques: ! lnergie : dans le cas dun signal apriodique x(t) nergie finie, lnergie scrit : Ex =

x(t).x*(t) dt-

o x*(t) dsigne le conjugu de x(t).

Si le signal x(t) est rel alors lexpression de lnergie devient: Ex =

| x(t) | 2 dt .

-


! la puissance moyenne : elle est dfinie pour les signaux priodiques comme : Pmoy =1 T

T/2

|x(t)|2 dt

-T/2

La valeur de Pmoy est toujours nulle dans le cas des signaux nergie finie. ! la distorsion harmonique : elle reprsente le pourcentage des harmoniques du signal ( gnralement indsirables et se manifestent par des pertes nergtiques) par rapport au fondamental. Pour mieux comprendre ce phnomne, prenons lexemple dun moteur courant alternatif fonctionnant normalement 50 Hz, qui aliment par le signal suivant : x(t) = 255 sin(2.50.t) + 60 sin(2.100.t) + 25 sin(2.250.t) . Seule la premire composante x1(t) = 255 sin(250.t) est utile pour le fonctionnement du moteur. Cependant les deux autres composantes sont indsirables puisquelles augmentent les pertes par effet Joule et par consquent lchauffement du moteur. Cela a pour effet de diminuer le rendement du moteur et mme dendommager ses enroulements. Dans ce cas , la valeur de la distorsion harmonique est gale : x = =300

60 2 + 25 2 255 2

0.25

200

100

0

-100

-200

-300

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Figure 5 Prenons maintenant, le signal bruit uniforme de la figure 1, daprs le calcul des diffrentes valeurs du signal ,on obtient : ! ! ! ! valeur moyenne : bmoy = 0.505 variance = 0.084 cart type = 0.29 nergie = 0.34.

Cependant, pour le signal sinusodal de la figure 2, on a : ! valeur moyenne : xmoy = 0 ! variance = 0.50


! cart type = 0.7 ! nergie = 0.50 . 2-3- exemple: Soit calculer la valeur moyenne, la valeur efficace et la puissance moyenne du signal de la figure suivante : x(t)/2

0

/2

figure 6

t

! La valeur moyenne est donne par : Xm =1 T

x(t) dt = 1 T0 0

T

/2

t dt +

1 T

( - t ) dt =

/2

2 4T

! La puissance moyenne est gale :T /2

Pmoy =

1 T

x (t) dt = 2

1 T

t dt +

2

1 T

( - t ) 2 dt =

0

0

/2

3 12T

! La valeur efficace se dduit de Pmoy comme suit :1/2 Xeff = (Pmoy ) =

3 12T

2- Reprsentation mathmatique dun signal 2-1- dcomposition en fonctions orthogonales Un signal peut se dcomposer en une combinaison linaire de fonctions (k) complexes qui peut se dfinir partir dune base orthogonale [cos(2fo t) ; sin(2fo t)], tels que: x(t ) =

k = -

a

k

. k (t)

o

k (t) = e j2fk.t

Si cette fonction est de dimension unitaire alors le signal est du type scalaire si non on parle de signal vectoriel.


Exemple : Prenons le cas du signal suivant : sin

x(t) = cos 2t

ej2 t cos

Figure 7 Alors, on peut crire x(t) sous la forme : e j .2t + e j .2t 2 ce qui permet correspond aux coordonnes suivants dans la base orthgonale B1= [ej2 t, e-j2 t] : x(t) = x(t) = (0.5 0.5)B1

2-2- dcomposition en somme dimpulsions rectangulaires On peut approcher x(t) par une fonction en escalier (quantifie) selon figure suivante : x(t)

kT Figure 8 On peut dans ce cas faire lapproximation suivante :~ (t ) = x

t

k =

x(kT) T (t - kT) .

(t) est la fonction fentre de largeur T. 3- Classification des signaux On peut classer les signaux selon les catgories suivantes : 3-1- Classification dterministe-alatoire : Un signal dterministe est un signal dont la variation peut tre rgie par une reprsentation mathmatique ou une suite de donnes ( signal sinusodal, carr,...) . Par contre un signal alatoire n'est pas modlisable mais il est plutt caractris par ses proprits statistiques ( moyenne, variance, loi de probabilit,...).Il peut tre approch des lois pseudoalatoires ( poisson, binomiale,...).


3-2- Classification nergtique : a- Signaux nergie finie Ils sont caractriss par une nergie finie (constante) et une puissance moyenne nulle. Cette catgorie comprend les signaux non priodiques . Ex = x(t) dt- +

2

Px = 0 b- Signaux puissance moyenne finie Ils sont caractriss par une nergie infinie et une puissance moyenne constant. Cette classe comprend les signaux priodiques . Px = Ex = Cette catgorie comprend les signaux priodiques et les signaux alatoires permanents . 3-3- Classification continu-discret Un signal discret n'est dfini qu' des instants rguliers dits instants d'chantillonnage. Malgr que la plupart des signaux rencontrs et mesurs dans la nature sont des signaux continus, on retrouve souvent ces signaux dans les systmes numriques.continu discret

lim TT

1

T/2

x(t) dt

2

-T/2

t

Figure 9

4- Oprations sur les signaux 4-1-addition Prenons le cas des deux signaux suivants: x1(t) = A1 cos (2 f1 t) x2(t) = A2 cos (2 f2 t) Si f1 = f2 , alors : x1(t)+ x2(t) = (A1+A2) cos (2 f1 t).

Si f1 f2 , alors il faut faire la somme instantane terme terme.


4-2- Multiplication La multiplication de deux signaux revient une transposition de frquence. Prenons le cas des deux signaux suivants : x1(t) = A1 cos (2 f1 t) x2(t) = A2 cos (2 f2 t) y(t) = x1(t) . x2(t) = 0.5 A1 A2 cos [2 (f1+f2 )t ] + 0.5 A1 A2 cos [2 (f1-f2 )t ]. x1(t) x2(t) Figure 10 Le multiplieur de la figure 10 est trs utilis dans les modulateurs et les dmodulateurs AM. 4-3- dphasage Le dphasage dun signal conduit un dcalage temporel, en avant ou en retard selon la valeur de ce dphasage. Si celui-ci est positif alors le signal dphas est en avance de phase par rapport au signal original et vice versa. Par exemple, dans le cas des signaux de la figure 6, le signal y1(t) est en avance de phase puisque le dphasage est positif par contre y2(t) est en retrad phase. y1(t) = y(t+ 1) avec 1> 0 y2(t) = y(t+ 2) avec 2 < 0 y(t) y1(t) y2(t) y(t) f1-f2 f1 f1+f2

alors,

f

-1

0 figure 11

2

t

4-4- produit scalaire Le produit scalaire de deux signaux continus nergies finies est dfini par : =

x(t).y*(t) dt-

Dans le cas discret, cette expression se ramne : =

x(n).y * (n)n =0


Pour les signaux priodiques, le produit scalaire a pour expression : = T1

x(t) y*(t) dt .0

T

Si ce produit scalaire est nul, alors les deux signaux sont orthogonaux.

ExempleLes deux signaux x(t) et y(t) suivants sont orthogonaux. x(t) = cos t et En effet, = T1T

y(t) = sin t avec T=2 .

cos t. sin t dt0

= 1

2T

sin 2t dt = 0 .0

T

4-5- Convolution On appelle produit de convolution de deux signaux nergie finie x(t) et y(t), la fonction dfinie par :( x * y )(t ) = x(t ) * y (t ) =

x( ) y(t - ) d .

D'aprs l'ingalit de Schwartz, ce produit est toujours dfinie puisque les nergies 2 et ||y||2 sont finies. ||x|| a- Proprits : Commutativit : [x * y](t) = [y * x](t) . On peut dmontrer cette proprit en utilisant la proprit suivante : posons u = t - Distributivit : Associativit : x(t ) * y (t ) =

x(t - u) y( u ) (-du ) .

[x * ( y + z)](t) = [(x * y) + (x * z](t) [x * ( y * z )](t) = [(x * y) * z](t) x(t) * (t) = x(t)

Elment neutre (t) : Drivation :

d ( x * y)(t ) dx(t ) dy (t ) = * y (t ) = x(t)* . dt dt dt

b- Exemples de convolution Convolution dun signal avec l'chelon de position (t) :

14 Cours et exercices de traitement du Signal CHERIF Adnene FST 2001 __________________________________________________________________________________ t

( x * )(t ) =

x( ) (t - ) d =

x( ) d .

A titre dexemple, calculons la convolution de lchelon de position avec lui mme. Dans ce cas, reprenons la dernire expression et remplaons x(t) par (t) :( * )(t ) =

t

( ) d .

si t < 0 , alors : si t 0 , alors :

( * )(t) = 0 ,( * )(t ) =

0

t

d = t .

(t)*(t)

0 Figure 12 Convolution dun signal avec la fonction fentre (t), > 0t+

t

( x * )(t ) =

t

2

2

x( ) d .

A titre dexemple, calculons la convolution de lchelon de position avec la fonction fentre de largeur . Dans ce cas, reprenons la dernire expression et remplaons x(t) par (t) :t+

( * )(t ) =

t

2

2

( ) d .

si t < -/2, alors :

( * )(t) = 0 ,t+

si -/2 t < /2 , alors :

( * )(t ) =

0

2

( ) d = t +

2

t+

si t /2 , alors :

( * )(t ) =

t

2

2

d = .


(t)* (t)

-/2

0 Figure 13

/2

t

4-6- Autocorrlation et Intercorrlation a- Intercorrlation de deux signaux Pour deux signaux nergie finie x(t) et y(t), on peut associer une fonction d'intercorrlation Rx,y qui dfinie la dpendance entre les vnements de chacun et la mesure de similarit entre eux. Elle est donne par lexpression suivante :R x , y ( ) =

x( t ) y * (t + ) dt .

Dans le cas des signaux priodiques nergie infinie, la fonction d'intercorrlation Rx,y est donne par lexpression suivante :R x , y ( ) = lim 1 T

T

0

T

x( t ) y * (t + ) dt .

Proprits

En effet :

Rx,y() = R*y,x(-) : symtrie hermitienne .R y , x ( ) =

posons u= t-R y , x ( ) =

y( t ) x * (t ) dt .

y( u + ) x * ( u ) du =

[ x(u) y * ( u + ) ] * du = R x, y * ( ) .

Rxy() Ryx() Rxy() = x() * y*(-) .On peut montrer cette proprit en utilisant la relation de la convolution :x(t) * y * (-t) = =

x( ) y * (-t ) d .

x( ) y * (t + ) d = R xy (t )


b- Autocorrlation Pour un signal nergie finie, on dfinie une fonction d'autocorrlation qui dfinie la similarit entre un signal et une version dcale de celui-ci. Elle a pour expression :R x , x ( ) =

x( t ) x * (t + ) dt .

Cette expression peut tre obtenue de Rxy() en prenant x(t) = y(t) . Dans le cas des signaux priodiques nergie infinie, la fonction d'intercorrlation Rx,x scrit :R x , x ( ) = limT

1 T

0

T

x( t ) x * (t + ) dt .

* Proprits

Rxx() = R*xx(-) : symtrie hermitienne . si x(t) est rel alors Rxx() est relle et paire et possde un maximum en Rxx(0)En effet, si x(t) est rel, alors :R x , x ( ) =

x( t ) x(t ) dt .

Posons u = t-, il vient :R x , x ( ) =

x( u + ) x( u ) du = R x,x ( ) .

ce qui montre que Rxx est paire. Dautre part, lingalit de Schwartz |Rx,y()|2 Rx,x(0).Ryy(0) , montre que le maximum de la fonction dautocorrlation est Rx,x(0) et ce, en posant simplement y(t)=x(t) , soit : |Rx,x()|2 R2x,x(0) car Rx,x(0) 0 . soit Rx,y() Rx,x(0).

Ingalit de Schwartz : |Rx,y()|2 Rx,x(0).Ryy(0) .Cette proprit se dmontre en utilisant la mme proprit de la norme et du produit scalaire.

Rxx(0) est lnergie du signal et Rxx() Rxx(0) .En effet,R x , x ( 0) =

x( t ) x * (t + 0) dt =

x(t) dt = E x .

2


Si x(t) est priodique de priode T , alors Rxx en est de mme ( priodique de priode T ) et possde un maximum lorigine Rxx(0) ..R x , x ( ) = lim 1 T+j

T

0

T

x( t ) x * (t + ) dt .2 n t T 2 n T

1 R x , x ( ) = lim T T

0

T

[

n =-

Cn e

2 n t T

n =- 2 n T

Cn 0 T

*

e

j

e

j

] dt .

soit :1 R x , x ( ) = lim T Tn =-

Cn

2

e

j

dt =

n =-

Cn

2

e

j

2 n T

.

Cette relation nest que la dcomposition en srie de Fourier de Rxx(). Elle montre que celle-ci est priodique de priode T et ayant pour spectre damplitude |Cn|2 . Cette proprit est trs importante en analyse corrlatoire puisquelle permet de dterminer la priodicit d'un signal ainsi que son spectre damplitude. Exemple 1 : Fonction dautocorrlation du signal fentre x(t) = (t), > 0R xx ( ) =

( t ) . (t + ) dt

si | | > , alors : (t) 1

Rxx() = 0 , (t+) 1

(t). (t+)

-/2

/2

/2

0

+/2

t

t-/2

t

t+/2

Figure 14 si | | , alors : (t) Rxx() = | | , puisque : (t+) 1

(t). (t+)

-/2

/2

0t

t-/2

t

t+/2


Figure 15R xx ( ) =

R xx ( ) =

2

( t ) . (t + ) dt

dt = - ,

si > 0

2

et :+

R xx ( ) =

2

2

dt = + , si < 0

En dfinitif, lexpression gnrale de la fonction dautocorrlation est : Rxx() = | | , . Rxx()

- 0 Figure 16

5- Les systmes 5-1- dfinition Un systme est un oprateur physique fonctionnel H ( fonction, application ) qui une entre e(t) lui associe une sortie s(t). e(t) Hfigure 17

s(t)= H[ e(t) ]

5-2- classification des systmes Il existe plusieurs types de systmes qui peuvent tre classs selon leur reprsentation, leurs rponses, et leurs comportements. Chaque classe de systme possde ses propres outils dtude, danalyse et de synthse. A titre dexemple, on peut citer: - les systmes linaires, non linaires - les systmes mono-variables, multi-variables - les systmes continus, chantillonns (ou discrets), - les systmes dterministes, stochastiques.


5-3- systmes linaires Un systme et dit linaire s'il obit au thorme de superposition. Ainsi, le systme de la figure 12 est linaire si : - pour des entres e1(t) et e2(t) correspondent les sorties s1= H(e1 ) et s2= H(e2 ) alors : - pour une entre A e1(t)+B e2(t) correspond une sortie S = A s1(t)+ B s2(t). Dautre part, un systme linaire est rgi soit : a) par une quation diffrentielle : d i e(t ) dti

i =0

m

b i.

=

j =0

n

aj

d j s (t ) dtj

b) par une fonction de transfert H(p) : C'est une reprsentation externe du sytme qui relie la sortie l'entre du sytme et qui est dfinit par :bi. pi S(p) H(p) = = i =0 E(p) 1 + n a j p j j =1

m

(m n et p est l'oprateur de Laplace)

D'ailleurs, celle-ci peut tre dduite de l'quation diffrentielle ci-dessus pour des conditions initiales nulles. 5-4- systmes linaires invariants Un systme est dit linaire invariant s'il vrifie les deux proprits : - la linarit - l'invariance temporelle qui est dfinit telle que : si s(t) est la sortie du systme pour une entre e(t) alors s(t-) est la sortie du mme systme pour l'entre e(t-) . Donc la variation temporelle de tel systme est indpendante de l'origine du temps. a) Exemple : Soit le systme H qui toute entre x(t) lui correspond une sortie y(t) = x( t) avec ||>R )

Figure 18 : sortie d'un montage comparateur relais hystrisis: C'est un systme non linaire dont la caractristique est la suivante:

0

Figure 19: caractristique d'un relais amplificateur saturation : C'est un systme linaire dans un intervalle du temps mais il ne l'est pas dans le reste du temps.


y(t)+Vcc

y(t)=A e(t) si |t|

Figure 20 : caractristique d'un amplificateur saturation Certains capteurs en instrumentation possdent de telles caractristiques, tels que les capteurs de temprature, de dbit, de pression ou de position. Il convient pour cela de limiter le fonctionnement dans la zone linaire. 5-6-Les systmes discrets Ce sont des systmes linaires ou non linaires dont la sortie n'est dfinie qu' des instants bien dtermins dits instants dchantillonnage (figure 16) . y(k)

1

2

k

Figure 21 : sortie d'un systme discret Un systme linaire discret d'entre e(k) et de sortie y(k), peut tre rgi par une quation rcurrente de la forme :

i =0

m

b i. e(i)

=

j =0

n

a j y(j)

Ce systme peut tre aussi reprsent par une fonction de transfert discrte appele aussi transmittance chantillonne.

5-7-Analyse temporelle dun systme linaire Lanalyse temporelle dun systme revient tudier sa rponse temporelle une entre donne ( impulsion, chelon de position, rampe de vitesse,...) et ses performances statiques et dynamiques, tels que la prcision, la rapidit et la stabilit.


La rponse ou la sortie temporelle du systme peut tre dtermine partir de la rsolution de lquation diffrentielle de celui-ci ou en utilisant sa fonction de transfert.

! Analyse par la rsolution de lquation diffrentiellePrenons le cas du circuit passif de la figure 17 et dterminons lexpression de sa sortie s(t) pour une entre indicielle : e(t) = A (t) ( chelon de position A ) : R e(t) C s(t)

figure 22 La loi des mailles permet dcrire : RC s(t) + s(t) = e(t)= A. (t) ,

La solution de cette quation diffrentielle est la somme de la solution gnrale sans second membre et la solution particulire avec second membre : soit : s(t) = A . K e- t/RC + A. (t) avec K= -(t) si on prend s(0)=0 Il vient alors : s(t) = A (1 - e- t/RC ) (t) .

! Analyse par la fonction de transfertLe circuit prcdent peut tre considr comme un diviseur de tension, alors la fonction de transfert du circuit scrit :

H(j) =

S(j) 1 = E(j) 1+ RC j

o est la pulsation . En introduisant loprateur de Laplace de Laplace ( p=j ) et en remplaant lentre E(p)=A/p , il vient : S( p ) = soit : A p( 1 + RC p )

s(t) = A ( 1 - e- t/RC ) (t) .

Ce qui donne la reprsentation graphique suivante : s(t)A


figure 23

t

! Performances statiques et dynamiquesa) - prcision : Elle dfinit lcart entre lentre dsire et la sortie

(t) = e(t) - s(t)La prcision statique est la valeur de lerreur en rgime permanent soit :

= lim (t) = e - s .t

b) stabilt : un systme est mathmatiquement stable si toute entre borne lui correspond une sortie borne. Cela implique que tous les ples de la fonction de transfert sont parties relles ngatives. De point de vue physique, la stabilit dfinit laptitude dun systme revenir sa position dquilibre aprs une perturbation. c) rapidit : cest laptitude du systme ragir rapidement une entre quelconque et de vaincre son inertie. Elle est donne par la valeur de la constante de temps la plus lente du systme.

Exemple :Prenons le systme de la figure 17 :

! L'erreur statique est nulle car :

= e - s = A -A = 0.

! Le systme est stable car le ple est ngatif po = -1/RC . ! Le systme possde une constante de temps = RC et la rapidit dpend dans ce cas de la valeur de RC.5-8- Analyse frquentielle La rponse frquentielle a pour but de dterminer le comportement et la variation frquentielle de certains paramtres et performances du systme. Pour cela, il suffit dtudier la variation de la fonction de transfert H, gnralement complexe, en fonction de la frquence. Pour avoir une meilleure reprsentation et exploitation de H, celle-ci est souvent donne par le gain (module de H) et le dphasage (argument de H) appels diagrammes de Bode. a) calcul du gain et du dphasage ( diagrammes de Bode ) Prenons le cas gnral o :

H ( p) =

(p z ) (p p )j =1 j i =1 n i

m

(m < n)

o : z i : est le iime zro de H(p) p k est le kime ple de H(p).


Alors, on dfinit: le gain par : le dphasage par : 5-9- systmes lmentaires 5-9-1- systme du premier ordre

G() = 20 log10(| H( j)| )

() = Arg( H( j) ) .

.

On se donne la fonction de transfert H(p) d'un systme du premier ordre ayant un gain statique k et une constante de temps . k H ( p) = 1+ p Les expressions du gain et du dphasage sont donns par : - gain : - dphasage : * diagrammes de Bode La courbe du gain G() prsente deux asymptotes G1 et G2 respectivement en basses et hautes frquences donnes par : quand 0 : G1 = 20 log k quand : G2 = 20 log k -20 log . De mme la courbe de phase possde deux asymptotes 1 et 2 quand 0 quand : 1 = 0 : 2 = - /2 ..

G(w) = 20 log10(| H( j)| ) = 20 log k - 10 log(1+22)

() = - arctg ( )

A la pulsation de coupure ( c=1/ ), le gain et la phase sont gales : Gc = 20 log k - 20 log2

= 20 log k - 3

et

c = -/4 .

G()20 log k

()c=1/


c

Figure 24 -/2

Log w

5-9-2- systme du second ordre Supposons la fonction de transfert d'un systme du second ordre est la suivante : H ( p) = o : k : est le gain statique du systme, : est lamortissement, n : est la pulsation propre. Lquation caractristique du systme scrit : p2 + 2 n p + n 2 = 0 . Le dterminant de celle-ci est : = 4 ( 2 1) n 2 k n 2 p 2 + 2 n p + n 2

si = 0 ( =1), alors lquation caractristique possde une racine double po , telle que : po = - n si > 0 ( >1), lquation caractristique possde deux racines relles distinctes p1 et p2 : p1 = n + n 2 - 1 p 2 = n n 2 - 1 si 1 ), le rgime est dit hyper-amorti et la rponse scrit : s (t ) = k [( 1 1 2 -12

(p 2 e p1t p 1 e p2t )

]

si < 0 ( < 1 ), alors le rgime devient oscillant la rponse scrit : s (t ) = k [ 1 avec : 1 12

e nt sin( o t + )

]

0 = n 1 2 et = Arc cos .

1

Figure 25 : rponse indicielle selon les 3 rgimes dun systme du second ordre On remarque bien que le systme possde trois rgimes de fonctionnement qui dpendent de lamortissement. Cependant, lapparition du dpassement ne peut tre visible que pour la valeur =0.7. Cette valeur physique de lamortissement sera par la suite remplace par la valeur mathmatique =1, qui limite les trois rgimes hyper-amorti, amorti et oscillant. b) rponse impulsionnelle : S ( p ) = H(p) E(p) = k n 2 , p 2 + 2 n p + n 2

si = 0 ( = 1 ), le rgime est dit amorti ou amorti et la rponse scrit : s (t ) = k n t e pot si > 0 ( > 1 ), le rgime est dit apriodique ou amorti et la rponse scrit : s (t ) = k2

n

2

2 -12

(e

p1t

e

p 2t

)


si < 0 ( < 1 ), alors le rgime devient oscillant la rponse scrit : s (t ) = k avec :

n12

e nt sin( o t)

]

0 =n 1 2 . On remarque que, quelque soit le rgime de fonctionnement, la rponse impulsionnelle tend asymptotiquement vers zro, ce qui montre que le systme est stable. Dautre part, on sait que le systme est dautant plus rapide quil atteigne le plus vite le rgime permanent, ce qui correspond selon la figure un amortissement unitaire.

1

Figure 28 : courbe de phase selon les 3 rgimes dun systme du second ordre.

5-9-3- systme dordre suprieur deux Dans ce cas le systme peut se dcomposer en systmes lmentaires de premier et de second ordre. Le gain et le dphasage sont respectivement gaux la somme des gains et des dphasages des systmes lmentaires.

Exemple :


Prenons le systme suivant et dterminons sa rponse frquentielle . H ( p) = 4 ( p + 5) ( p + 2)(p 2 + p + 1)

Ce systme peut se dcomposer en trois systme lmentaires de la faon suivante : H ( p ) = ( p + 5) 4 1 2 p+ 2 p + p+1 1 1 . 2 1 + 0.5 p p + p + 1 1 1 2 1 + 0.5 p p + p + 1

H ( p) = 5(1 + 0.2 p ) . 2

soit encore :

H ( p ) = 10 (1 + 0.2 p )

Gain :

G(w) = G1(w) + G2(w)+ G3(w) ,

G(w) = 20 log10 + 20 log(1+0.042) - 20 log(1+0.252) - 20 log [(1 -2 )2 + 2] Dphasage :

() = arctg (0.2 ) - arctg (0.5 ) - arctg [ / (1 -2) ]

Le trac du lieu asymptotique du gain des 3 systmes est le suivant :

+20 dB/dec 20 log10

1

2

5

log w

-20dB/dec -40 dB/dec

figure 29. Le tableau suivant rsume les variations des courbes du gain et de dphasage : w - G1(w) en dB/dec G2(w) G3(w) 1 0 0 0 0 0 -40 2 0 -20 -40 5 +20 -20 -40 +


G(w)=G1+G2+G3

0

-40

-60

-40

dphasage - 1(w) en rad 2(w) 3(w) (w)= 1+2+3

1 0 0 0 0 0 0 - - Table 1

2 0 -/2 - -3/2

5 +/2 -/2 - -

+

Ainsi, le trac global devient: G(w)20

-40 dB/dec

1

2

5

log w

-60 dB/dec

-40dB/dec figure 30 De mme, on procde pour la courbe de dphasage :

(w)

1

2

5

log w

- -3/2 figure 31.

EXERCICES CORRIGES DU CHAPITRE 1

Enonc de l'exercice 1


a) Calculer la valeur moyenne, la valeur efficace et la puissance moyenne dun signal sinusodal redress en simple alternance. b) Mme question pour un signal double alternance.

Corrig de l'exercice 11-a) Le signal simple alternance est exprim sur une priode [-To/2 , To/2] par : x(t) = Uo cos ( 2fo t) pour | t | < To/4 , x(t) = 0x (t )1

pour To/4 < | t | < To/2 .

.

0 .8

0 .6

0 .4

0 .2

0 0 200 400 600 800 1000 1200

t( m s )

figure 27 : signal redress en double alternance Sa valeur moyenne est donne par la relation : 1 Xmoy = T0 soit : 1 /x(t ) dt = T0 To 2To / 2

2 /U 0 cos(2Fo t ) dt = T0 To 4 Xmoy = Uo / .

To / 4

To / 4

U0

0

cos(2Fo t ) dt =

U0

La puissance moyenne est donne par : Pmoy = donc : 1 T0To / 2

To / 2

x(t ) dt =

2

2 T0

To / 4

0

U 0 cos 2 (2Fo t ) dt =

2

2U 0 T0

2 To / 4

0

1 [ 1 + cos(4Fo t ) ] dt = U 0 2 4

2

Pmoy = Uo2/ 4 .

La valeur efficace se dduit de la puissance ainsi :X eff = Pmoy = U0 U = 0 . 4 22

b) Le signal simple alternance est exprim par la relation :


x(t) = Uo cos ( 2fo t) t La valeur moyenne est gale : Xmoy = soit : 1 T0To / 2

To / 2

x(t ) dt =

4 T0

To / 4

0

U 0 cos(2Fo t ) dt =

2U 0

Xmoy = 2Uo / .

La puissance moyenne est donne par : 1 Pmoy = T0 donc : 2 / 2x(t ) dt = T0 To2 To / 2 To / 2

U0

2 0

4U 0 cos (2Fo t ) dt = T02

2 To / 4

0

1 [ 1 + cos(4Fo t ) ] dt = U 0 2 2

2

Pmoy = Uo2/ 2 .

La valeur efficace se dduit de la puissance ainsi :X eff = Pmoy = U0 U = 0 . 2 22

Enonc de l'exercice 2Le synoptique de la figure 28 reprsente le principe de ralisation dun modulateur damplitude utilis dans la transmission des signaux radiolectriques.

x1=A1 cos(2 f1 t) x2=A2 cos(2 f2 t)

x1(t).x2(t) y(t) figure 28

a) Donner lexpression du signal de sortie y(t) . On supposera f2 >> f1 b) En dduire la valeur de la puissance moyenne du signal.

Corrig de l'exercice 2x1(t) = A1 cos (2f1 t) x2(t) = A2 cos (2f2 t) y(t) = x1(t) x2(t) + x2(t) ,

alors :


y(t)= 0.5A1A2 cos [2 (f1+f2 )t ]+0.5A1A2 cos [2 (f2-f1 )t ]+A2 cos[2f2 t ]. Donc le signal y(t) est compos de trois signaux dont les composantes frquentielles sont donnes par : A2 0.5A1A2 f2-f1 f2 Figure 29. La puissance moyenne du signal y(t) est gale : Pmoy = (0.5 A1A2 )2 + A2 2 + (0.5 A1A2 )2 = A12 A2 2 + A2 2 = A2 2 ( 1+ A12) 0.5A1A2 f1+f2 f

Enonc de l'exercice 3Montrer que si les signaux x(t) et y(t) sont orthogonaux. x(t) 1 t T Figure 30. T/2 -1 T y(t) 1 t

Corrig de l'exercice 3 = T1

T/2

dt - T

1

0

T

dt .

T/2

= T/2 - T/2 = 0 . Comme le produit scalaire des signaux x(t) et y(t) est nul alors ils sont orthogonaux.

Enonc de l'exercice 4a) Calculer et reprsenter la rponse impulsionnelle dun systme dont la fonction de transfert est donne par lexpression :H ( p) = 1+ a p , 1+ b p

a et b .


b) Calculer et reprsenter les rponses frquentielles ( gain et dphasage ) du systme. On discutera selon les valeurs a et b. En dduire le type du systme.

Corrig de l'exercice 4Nous retenons dans ce qui suit les cas o b>0 qui correspondent un systme stable. Les rponses impulsionnelles et indicielles sont donnes par les figures ci-dessous:reponse impulsionnelle 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 0 2.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 reponse indicielle

Cas : 0 M-1

(k) = ao + a1 + ... + ak (k) = (M-1)

1

M

n

figure 4 : Rponse indicielle d'un RIF


3.5. Rponse harmonique : Un filtre RIF ne possde pas de ples puisque sa fonction de Transfert chantillonne est de la forme :M-1

H(z) = Donc, un filtre RIF est toujours stable. H(j) = |H()|. Exp[ j () ]

k=0

a(k) . z-k

To : priode d'chantillonnage w= 2..f

(w) = Arg( H(jw) ) = - (M-1).To .. f

Ainsi, le dphasage introduit par le filtre est proportionnel la frquence f . On dit qu'il s'agit d'un filtre phase linaire. 4- Synthse d'un filtre non rcursif Il s'agit de calculer les coefficients du filtre pour que sa rponse frquentielle HN(jw) concide avec une fonction Ha(jw) donne, et ce dans un domaine ( -fo/2 , fo/2 ) :(M-1)/2

HN(jf) =

To ha(nTo) . exp[(j2f n)To]

k= - (M-1)/2

Les mthodes de synthse sont les suivantes : 4.1. Technique de la Rponse Impulsionnelle : Si on connait l'expression analytique du support analogique quivalent HA(jw), alors on peut dterminer les coefficients (ai) du filtre par la transforme de Fourier inverse puis par un chantillonnage temporel. HA(jw) fo/2

hA(t)

h*A(t) ai hN(n) = h*A(t) = To . hA(nTo)

soit encore

hA(t) =

HA( j f). exp(j2 f ). df

- f o/2

D'aprs l'expression prcdente, la Rponse Impulsionnelle est infinie et non causale, ce qui est en contradiction avec la dfinition d'un filtre RIF. Pour cel, il faut effectuer une troncature de la RI chantillonne par une fentre FM(t) de largeur M.To telle que : hNM(t) = FM(t) . hN(t) = FM(t) .[ hA(t). To . To(t)

]

Cette opration se traduit dans le domaine frquentiel par le produit de convolution :


HNM(f) = FM(f) * HN(f) Cette convolution fait apparaitre des ondulations en bande passante et limite la frquence de coupure du filtre. Pour cela, on utilise des fentres speciales du type de Bartlett, Hamming, Hann, Blackman etc ... Pour rendre la Rponse impulsionnelle causale, il faut la retarder de To (M-1)/2 , soit une rotation frquentielle de To (M-1)f . En dfintif les coefficients (an) s'expriment de la manire suivante :

* pour 0 < n < M-1

an = FM(t) .To . hA( n _ M-1) .To) ) =2

sin(2.fc To( n_ M-1 ) ) --------------------------2------- ( n_ M-1 )2

4.2. Technique d'chantillonnage frquentiel : Lorsqu'on ne connait pas l'expression de HA(w), la mthode de la RI n'est plus applicable. On utilise alors la Transforme de Fourier Discrte TFD inverse. Soit une squence frquentielle HA(k) de M valeurs par priode ( valeurs retenues par mesures ou essais ) :TFD-1M-1

HA(k)

hA(i) =

k=0

HA(k) . exp( j2k i /M)

avec -(M-1)/2 < k < (M-1)/2dcalage

soit

hA(i)

ai = hA(i)/M = (1/M) ha [To (i _ M-1) ] 2

5. Les filtres rcursifs R.I.I Un filtre rcursif RII ou Rponse Impulsionnelle Infinie est dcrit par la relation de recurrence :

s(n) =

i=o

p

ai e(n-i) -

j=1

q

bj s(n-j)

soit une fonction de transfert de la forme : z-i H(z) = _______ _____________ 1 + ai z- j1 q

bi

p


L'quation caractristique de H(z) possde q ples ; le filtre est dit d'ordre q ; pour cela il faut s'assurer des conditions de stabilit du RII, c..d que les ples se trouvent l'intrieur du cercle unit.

structure canonique

Fig.5. Structure dun RII 6. Synthse des filtres R.I.I On dsire dterminer la F.T d'un filtre RII dont la rponse temporelle ou frquentielle est donne par un gabarit prcis. Comme d'habitude le filtre d'appui sera l'quivalent analogique. 6.1- Synthse par l'invariance impulsionnelle Le filtre RII doit avoir une rponse impulsionnelle donne. Le principe est le suivant :Ech

h(t)

T. Z

h*(t)

H(z)

Exemple : Soit un filtre passe bas du 1er ordre donn par sa FT

H(p) = 1/ 1 + . p

h(t)= 1/ exp(-t/)

h(n)=(1/) exp(-nTo/)

1- exp(-To/) H(z) = _______________ 1 - exp(-To/) . z-1

6.2. Synthse par l'invariance indicielle : Le filtre RII doit avoir une rponse indicielle (t) (t) (z)

(t)

donne : avec: U(z) = z / z-1

H(z)= (z)/U(z)


6.3. Synthse par la mthode d'Euler : On simule chaque bloc analogique ( derivateur ) par une Transforme en Z. Ainsi, par approximation du drivateur s(t) = d e(t) /dt ; on aura :

e(nTo) - e( (n-1)To) s(n) = _____________________ To

TZ

E(z) (1- z-1) S(z) = ____________ To

On retrouve la Fonction de Transfert H(z) du filtre recherch en posant p=(1-z-1) / To , dans la FT du filtre analogique . 6.4. Synthse par la mthode de trapze : On approche la fonction intgrateur par l'expression : s(n) = s(n-1) + To [ e(nTo) - e( (n-1)To) ] On 2 retrouve la FT du filtre recherch en posant p = 2 (1- z-1) / To(1+ z-1) , dans la fonction de Transfert du filtre .

7- Les Filtres dcimation

* Structure canonique

* sortie du filtre

Fig.6. Filtre dcimation


7-2- Filtre lvateur de frquence

Fig.7. Filtre lvateur de frquence

7-3- Filtre lvateur-dcimateur de frquence

Fig.8. Filtre lvateur-dcimateu.


EXERCICES SUR LE CHAPITRE 6

Exercice 1 On dsire dterminer la rponse d'un filtre rcursif RII du second ordre dont la fonction de transfert est donne par : H(z) = 1 + z-1 + z-2 1 -0.5 z-1 + 0.5 z-2

La frquence d'chantillonnage est fo = 1000 Hz. a) Observer les Rponses impulsionnelle et harmonique du RII2 - conclure sur sa stabilit et son type ( P.Bas , P.Haut , P.Bande ou C.Bande ) . b) Dterminer la ou les frquences de coupure du filtre RII . c) Comparer le filtre numrique prcdent avec son quivalent analogique. Exercice 2 On dsire approcher la rponse frquencielle d'un filtre analogique pass-bas de frquence de coupure fc et de gain unit celle d'un filtre numrique non rcursif RIF d'ordre No, dans le domaine [0 , Fo/2] ; Fo tant la frquence d'chantillonnage. on donne : - Ordre No= 5 - Frquence d'chantillonnage Fe= 1000 Hz. - Frquence de coupure relative Fc/Fe = 0.2 a) Observer la rponse impulsionnelle du RIF. En dduire ses coefficients. b) Vrifier ce rsultat par la rponse indicielle du RIF5 . c) Comparer la rponse harmonique du RIF choisi avec celle de son quivalent analogique


Exercice 3 a) Concevoir un filtre numrique numrique d'ordre 3 et chantillonn fo = 1 kHz, de type pass-bas de frquence de coupure fc = 100 Hz, ayant une attnuation < 35 dB f = 40 Hz . b) Observer les rponses impulsionnelles et harmonique du RII c) Comparer le RII trouv avec son quivalent du support . d) mme question pour la conception d'un filtre de Butterworth d'ordre 3 . On rappelle que le filtre de Butterworth possde une fonction de transfert H(f)=1 / [1+ (f/fo)2n].


CORRIGE DES EXERCICES DU CHAPITRE 6Corrig de lexercice 1 : Rponse impulsionnelle1.5

r p o n s e im p u ls io n n e lle

1

0.5

0

-0 . 5

-1 0 5 10 15 20 25 tem ps 30 35 40 45 50

Rponse frquencielle du filtre :102

10 gain 10 10

0

-2

-4

10 1 0 -1 -2

-3

10

-2

10

-1

10

0

10

1

d phas age

-3 -3 10

10

-2

10 puls ation

-1

10

0

10

1


Le filtre est du type passe-bas de frquence de coupure Fc= wc/2 = 1/ ( car wc=2) Les poles du filtre sont : Z1 = 0.2500 + 0.6614 i Z2 = 0.2500 - 0.6614 i dont les modules sont gaux 0,707. Donc le filtre est stable.



Chapitre IV

TECHNIQUES DE TRANSMISSION DU SIGNAL

1-Constitution d'un systme de transmission En gnral, un systme de transmission a pour but de transmettre et/ou recevoir de l'information du type texte, image ou parole. Il est constitu d'un metteur, un rcepteur, un support de transmission ( figure 1).

gnrateur d'information ( texte,image,son)

codage

modulation ligne

dmodulation

dcodage

rcepteur d'information

Figure 1: synoptique d'un systme de transmission

Dans le cas d'un systme de transmission purement analogique ( emission radio, Hertzien TV ) , l'information transmise ( parole ou/et image ) est analogique sera module sans codage. Alors que dans les systmes numriques ( rseau tlinformatique, TV satellitaire), l'information est tout d'abord numrise, traite puis cod et module . 2- Techniques de transmission analogiques Dans un systme de transmission analogique, l'lment essentiel est la partie modulation et dmodulation. L'metteur gnre l'information ( image tourne par camra analogique par exemple ) , l'amplifie travers une tage FI intermdiaire puis lui associe la parole et enfin la module en HF que ce soit en amplitude ou en frquence. Nous allons examiner dans la suite les diffrentes mthodes de modulation. 3-Modulation d'amplitude L'objectif d'une mission est de transmettre un message ou une information. Celle-ci, rarement transmise sous sa forme initiale, est "imprime" dans un paramtre ( amplitude, frquence ou phase ) d'un signal de haute frquence, appel porteuse. L'information de basse frquence est appele modulatrice ou rfrence. La porteuse transporte donc l'information et


on dit alors qu'on module la porteuse. A la rception, on procde par une opration inverse, en supprimant la porteuse pour restituer l'information initiale. 3-1- Principe de la modulation d'amplitude AM L'information transmettre est contenue dans les variations de l'amplitude de la porteuse ( fig 2 ).1 0 .8 0 .6

s ig n a l m o d u l e n A M

0 .4 0 .2 0 -0 . 2 -0 . 4 -0 . 6 -0 . 8 -1 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

Fig 2 : Reprsntation temporelle d'un signal modul en AM

Dans ce cas l'amplitude de la porteuse e(t) est module par l'information f(t) autour de sa valeur moyenne Eo . Sachant que e(t) = Eo cos o t f(t) = Fo cos t : porteuse : information

alors le signal modul est donn par : S(t) = [ Eo + f(t) ] . cos ( o.t ) Soit encore avec S(t) = Eo ( 1 + m cos t ) . cos ot m : le taux ou indice de modulation = Fo/ Eo a) Discussion suivant m :

si m > 1 : alors cela conduit une surmodulation , et par consquent une distorsion du message f(t) lors de sa restitution . si m < 1 : bonne modulation ( cas utiliser ).


3-2- Analyse spectrale : L'expression du signal modul S(t) en AM, peut se mettre sous la forme : S(t) = Eo cos ot + 0.5 m Eo cos (o + o)t + 0.5 m Eo cos (o - )t Ce qui donne un spectre d'amplitude de la forme de la figure 3. Ce spectre en frquence de S(t) est reprsent par la porteuse et deux bandes latrales centres autour de D'autre part, le message transmettre est contenu dans les 02 bandes latrales uniquement .S(f) Eo mEo/2 mEo/2

Fo-fm

Fo

Fo+fm

f

Fig 3: Spectre d'amplitude d'un signal modul en AM

Ainsi, la modulation AM possde l'avantage d'tre facilement ralisable et restituable. Cependant, elle demande une quantit importante d'energie lors de la propagasion de la porteuse , alors que celle-ci ne contient pas l'information Ainsi, la transmission du signal avec ces 3 raies conduit un gaspillage de la puissance mise. En pratique, on ne transmet que les deux bandes latrales ( DSB ) et mme bande latrale unique ( SSB ). En tlphonie par exemple, on transmet par bande latrale unique (BLU) alors qu'en radio ou en TV on met la porteuse et l'une de ses bandes latrales. 3-3 Modulation Bande Latrale Unique BLU ( ou SSB ) Pour gagner au niveau de la puissance d'emission, il est suffisant de conserver l'une des bandes latrales puisque celles-ci refltent le contenu informatif du message f(t) . Cependant, la difficult rside du ct de l'extraction de la bande considre et sa restitution . Pratiquement, on module tout d'abord sans porteuse puis on selectionne la bande latrale par des filtres ou de fenetres frquentielles . 3-4- Demodulation AM Elle consiste restituer partir du signal s(t) modul, l'information recevoir f(t) . Une fois reu par l'antenne, le signal s(t) est amplifi puis redress par diode HF ( AA 119 ), le signal HF sera ensuite limin par un filtre dtecteur de crte.

D S(t) R C S2(t)

Fig 4 : principe du dtecteur de crte


Le signal S2 (t) peut se mettre de la faon suivante :S2 (t) = A . Fo cos ( t + ) soit encore : S2(t) = Eo2comp.continue

+

Eo2 sin t + Eo2 sin 2 t comp.alternative BF

, et sont des constantes. - Pour qu'il n'y a pas de distorsion de la tension dtecte il faut que le taux de modulation : m < ____1_____ 1+2 4- Modulation de frquence 4-1- Principe de la modulation FM : Elle consiste imprimer le signal information BF dans la variation de la frquence de la porteuse HF. Contrairement la modulation AM, l'amplitude est constante ainsi que la puissance, par contre la largeur du canal doit tre largie.1 0 .8 0 .6 0 .4 0 .2 0 -0 . 2 -0 . 4 -0 . 6 -0 . 8 -1 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

s ig n a l m o d u l

en FM

Figure 5: signal modul en FM

m(t) = Uo cos t p(t) = Vo cos wo t Le signal modul est donn par : Soient S(t) = Uo cos t ] * posons w = 2 k Uo et

: information : porteuse

Vo. cos [ wo t

+

2 k m(t) ]

= Vo. cos [ wo t + 2 k

= w/ : indice de modulation


S(t) = Vo . cos ( wo t + w cos t ) = Vo cos [ w(t) ] Comme w(t) = d (t) / dt (t) = wo t + (w/) sin t S(t) = Vo . cos ( wo t + sin t )

S(t) = Vo . [cos wo t . cos ( sin t ) - sin wo t . sin ( sin t ) ] a) cas d'une faible modulation NBFM ( Narrow Band FM ) *

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