MATHEMATIQUES EN MATERNELLE ACTIVITES LOGIQUES

page 1 I) Connaissances pour le matre page 7 II) Quelques propositions dactivits pour la classe

D. Pernoux

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I Connaissances pour le matre 1) Suites algorithmiques

a) Quelques gnralits concernant les suites algorithmiques

(rappel : il ne sagit pas de proposer dans ce paragraphe des activits pour le cycle 1 mais de fournir quelques explication quil me semble bon de connatre)

On peut distinguer deux types de suites algorithmiques : les plus simples sont les suites algorithmiques rptitives comme par exemple

...(remarque : il sagit ici dune suite priode algorithmique rptitive ternaire)

les plus complexes sont les suites algorithmiques rcursives comme par exemple : ...... ou ou ou (remarque : la rcursivit, qui permet de dfinir successivement chacun des objets de la suite

partir des objets prcdents joue un rle important en mathmatiques et en informatique...) On peut signaler, par ailleurs, les deux notions suivantes :

suites isomorphes : les suites suivantes .....et tambour cloche cloche tambour cloche cloche tambour .... sont isomorphes (elles ont la mme structure). (la notion disomorphisme est trs importante en mathmatiques car elle permet daller vers plus dabstraction en dgageant des structures communes des objets priori de natures diffrentes...).

sous-suite extraite dune suite : on peut, par exemple, fabriquer une sous-suite en ne prenant quun objet sur deux ou en ne prenant que...

b) Pavages priodiques Un pavage priodique se compose en fait de plusieurs suites algorithmiques dans diffrentes directions. Exemple : (il y a ici des suites verticales, horizontales et obliques)

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2) Rangements, tris et classements Dans les IO pour la maternelle, parle de rangements, de tris et de classements mais sans donner la signification de ces termes. Pour tout le monde : Ranger (ou ordonner) cest organiser des objets selon une relation dordre (exemple : ranger des bandes de papier de la plus courte la plus longue). (attention, le mot rangement qui apparat dans les IO pour la maternelle a un sens diffrent qu lhabitude : dans le langage courant ce quon appelle ranger cest bien souvent raliser un classement ) Par contre, la distinction entre tri et classement varie dun auteur lautre : Premire possibilit

Trier cest raliser une partition en deux sous-ensembles dont lun est privilgi. Classer cest raliser une partition autre quun tri (donc soit en deux sous-ensembles dont aucun nest privilgi soit en plus de deux sous-ensembles). (cest la dfinition adopte dans ce polycopi)

Deuxime possibilit Trier cest raliser une partition selon un (ou des ) critres (s) explicit(s) au dpart Classer cest raliser une partition sans critre explicit au dpart (ce nest pas la dfinition adopte dans ce polycopi)

3) Quelques remarques gnrales concernant les activits de comparaison, de tri, de classement, de rangement et la notion de blocs logiques Remarque : il peut tre intressant de mener dabord des activits de comparaison (qui consiste trouver des ressemblances et des diffrences entre des objets donns) (on pourra par exemple utiliser un album - comme celui de Mitsumasa Anno intitul Jeux mathmatiques et paru chez Flammarion - dans lesquels les auteurs proposent de comparer certains objets ou certains animaux sans donner plus dindications, les objets ou les animaux tant choisis de faon ce quon puisse adopter diffrents points de vue ce qui permet des rponses diverses). Remarque concernant les tris Il peut tre intressant de donner le rsultat dun tri avec une erreur et de demander de trouver o est lerreur. Remarques concernant les classements Un cas particulier de classement est lappariement (les sous-ensembles se composent de deux objets) comme par exemple lactivit qui consiste donner un tas de chaussures et demander de mettre deux par deux les chaussures qui appartiennent la mme paire). (On trouvera par exemple des propositions dactivits dappariements gestuels,

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tactiles, auditifs, dominante visuelle, olfactifs, gustatifs, thermiques dans le livre Enseigner les mathmatiques la maternelle - voir bibliographie - ). On peut distinguer diffrents types dactivits concernant les classements :

DIFFERENTS TYPES DEXERCICES DE CLASSEMENT

on donne un critre(exemple : la couleur)

on donne deux (plusieurs) critres (exemple : la forme et la couleur)

lenfant peut travailler

par tris successifslenfant peut classer directement

ou

on ne donne pas de critres et on demande lenfant de faire plusieurs paquets en mettant en-semble ceux qui se ressem-blent

on utilise du matriel trs struc-tur (du type blocs logiques)

on utilise des objets va-ris...

Remarques concernant les blocs logiques (NOTION IMPORTANTE) : On peut appeler blocs logiques tout matriel structur partir dun ensemble de plusieurs critres. Dans Atout-Maths GS on trouve par exemple un ensemble dimages, reprsentant un enfant qui samuse, structur en utilisant quatre critres : le moyen de locomotion (trois possibilits : vlo, trottinette et skateboard), la direction dans laquelle va lenfant (deux possibilits : vers la droite et vers la gauche), les personnages figurant sur limage (deux possibilits : lenfant seul et lenfant accompagn de son chien ) et enfin la position de lenfant par rapport la route (deux possibilits : lenfant descend la pente et lenfant monte la pente). Il y a donc 3x2x2x2 soit 24 images diffrentes proposes (on peut se convaincre du nombre de possibilits en construisant un arbre...) Bien sr, on peut soi-mme raliser des blocs logiques (exemple : portraits avec trois sortes de chapeaux possibles, la prsence ou pas de lunettes et deux sortes de cravates possibles ; il y aura donc alors 3x2x2 soit 12 portraits diffrents). Certains jeux du commerce sont bass sur lutilisation de blocs logiques ( Math-oeufs par exemple) Ce matriel, fabriqu sans ou avec laide des enfants, peut tre utilis de trs nombreuses manires [on pourra consulter plusieurs propositions dans Atout-Maths GS) soit pour des activits de classement soit pour dautres activits comme des jeux ( jeu une diffrence par exemple o chaque enfant doit dposer tour de rle une image qui ne prsente quune seule diffrence avec la prcdente)].

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Cest un matriel qui se prte bien des activits de langage, lintroduction doutils comme le tableau double entre (quand il ny a que deux critres) ou larbre (quand il y a deux ou plusieurs critres). Remarques concernant les activits de rangement Les activits de rangement (cest--dire, je le rappelle, les activits ou on ordonne des objets, comme par exemple lactivit qui consiste ordonner des bandes des papier de la plus courte la plus longue) sont des activits complexes quil nest dailleurs pas facile de dcomposer en gestes plus lmentaires. Il suffit pour sen convaincre dessayer de ranger une grande quantit de nombres du plus petit au plus grand (mme avec un ordinateur, la tche est difficile car il faut trouver un algorithme utilisant de nombreuses fois la tache lmentaire que peut raliser lordinateur : comparer deux nombres entre eux...; cest dailleurs un exercice classique quand on commence vouloir faire de la programmation...). Les avis des psychologues semblent trs divers quant au fait de savoir partir de quel ge (en moyenne !) un enfant est capable dutiliser la notion de transitivit ( cest--dire est capable de conclure que si a

4) LE TABLEAU A DOUBLE ENTREE (Connaissances pour lenseignant)

Le tableau double entre est un outil souvent utilis en mathmatiques mais dans des situations trs diverses. On peut utiliser un tableau double entre : 1) comme outil pour aider effectuer une double classification des lments dun ensemble : 2) comme outil pour aider trouver tous les lments dun produit cartsien : 3) comme outil pour reprsenter une relation : ou mme : 4) comme outil pour reprsenter une loi de composition interne :

Puzzle Peinture Collage Alain

Paul

jaune rouge bleu vert violet

rouge orange rouge

Puzzle Coloriage Alain 1-5 2-6 Paul 2-5-6 4

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5) Quelques remarques propos des activits de reprsentation

La place accorde aux activits de reprsentation en maternelle est extrmement importante. Il ne peut en tre autrement puisque lactivit de reprsentation est luvre dans toute conceptualisation. Certains didacticiens insistent dailleurs, de faon gnrale, sur limportance des activits de reprsentation dans des registres varis et des activits de passage dun registre lautre. Une des activits fondamentales est lactivit de dsignation; Cest lactivit qui consiste reprsenter un objet, une personne, une action, une suite dactions, etc. par un symbole ( exemple : une cuillre de farine sera reprsente par , un oeuf par ) ou un signe quelconque (exemple : une cuillre de farine sera reprsente par + et un oeuf par ) ou un codage - plusieurs signes ou symboles assembls selon un certain nombre de rgles (exemple : :::

pour la pte crpes !...) Ce quil faut souligner cest que la condition essentielle pour quil sagisse bien de dsignation cest quon nassocie pas le mme signe deux objets diffrents.

Il ne faut pas confondre cette activit avec lactivit de marquage. dsigne la firme Renault et tout ce qui sy rapporte mais le symbole appliqu sur un objet particulier ne dsigne pas cet objet ; il le marque. En maternelle si dsigne Frdric et tout ce qui sy rapporte, en apposant ce signe sur lun de ces dessins on marque ce dessin.

Les activits de reprsentation en maternelle sont trs nombreuses. Ce qui me parat important cest de faire en sorte que, le plus souvent possible, les enfants arrivent voir par eux-mmes lintrt quil peut y avoir faire une reprsentation et se donner des rgles de codage valables pour tous (on reprsente un parcours en salle de jeux pour pouvoir sen souvenir et le refaire le lendemain, on reprsente une situation pour pouvoir expliquer des correspondants ce quon a fait, etc.). On trouvera un exemple dactivit intressant, adaptable en GS, dans la revue N n 40 (pour se souvenir des objets qui sont dans une boite, des lves sont amens construire eux-mmes un code commun toute la classe).

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II Quelques propositions dactivits pour la classe

1) suites algorithmiques Quelques gnralits concernant deux exemples classiques : la construction de colliers et la ralisation dune frise en mosaque

Pour les colliers: on peut jouer soit sur la couleur, soit sur la forme, soit sur la taille (et ventuellement sur

plusieurs de ces critres en mme temps...) on peut laisser lenfant libre de raliser le collier quil veut et observer, voir sil se donne

lui-mme des rgles on peut donner un collier avec un intrus et demander o est celui-ci on peut donner la rgle de construction du collier soit en donnant un dbut de collier et en

demandant de continuer comme cest commenc (PS) soit par crit (dessin reprsentant le collier) soit oralement

on peut faire reprsenter le collier par collage de gommettes, de graines, par un dessin (il est peut-tre plus difficile de reprsenter un collier ferm quun collier ouvert). Pour les frises ralises avec des carreaux de mosaque : exemples : etc. (frise rptitive) etc. (frise rcursive) Si lenfant dispose dun modle et dautant de carreaux que ceux qui composent le modle,

il sagit essentiellement dune activit de reconnaissance de formes et de couleurs (plus ou moins difficile selon que les carreaux utiliss par lenfant ont ou non mme taille que ceux utiliss pour le modle).

Si le modle est incomplet , alors il sagit vraiment, en plus, dune activit de type algorithmique).

Autres exemples dactivits Il y en a de nombreux. Citons-en simplement quelques uns : Ralisation de guirlandes Activit avec des files en salle de jeux ( garon/fille...ou foulard rouge/foulard bleu...) Plantation de fleurs (type de fleur, couleur de la fleur...) Suites algorithmiques gestuelles (mains en lair / on frappe deux fois les mains / mains en lair...) Activits musicales (par exemple avec un xylophone deux ou trois lames...) Activits graphiques( ou 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0...) Activits avec des gommettes, des cubes...

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Activits concernant lisomorphisme (exemple : suite avec des gommettes suite musicale). 2) Activits de classement Ici encore, il nest pas possible de faire une liste des innombrables critres susceptibles dtre la base dune activit de classement en maternelle (nombre, forme, couleur, got, odeur, aspect au toucher, utilit, ge...). 3) Activits de rangement On pourra utiliser les jeux de type poupes russes . On pensera bien sr la longueur, la grosseur, la masse, la capacit mais on pourra aussi penser aux hauteurs des notes de musique, aux dgrads de couleurs, etc. 4) Mises en relation diverses Les activits possibles sont extrmement nombreuses et chacun fera preuve dimagination.(exemple : objet mis en relation avec sa couleur, animal mis en relation avec les aliments quil peut manger, ou avec la manire de se mouvoir, enfant mis en relation avec le nombre de ses frres et surs ou avec les jouets quil veut commander pour Nol,...). Pour ce qui est de la reprsentation de la relation, il semble important de ne pas se limiter au diagramme sagittal, ce qui a pu tre fait lpoque des maths modernes (dailleurs, au niveau de la maternelle il semble prfrable dutiliser des traits plutt que des flches pour ne pas induire de risque de confusion avec la notion de dplacement). On pensera bien sr au tableau double-entre ( comme, par exemple, le tableau des responsabilits, le tableau permettant de savoir quels jeux a dj jou chacun des enfants, etc.) mais ce quil faut bien remarquer cest que dcouper les images de ce qui peut tre mang dans un catalogue, entourer les images des animaux qui volent, colorier des fruits selon leur couleur, associer le nom dun enfant des gommettes en nombre gal celui de ses frres et surs, etc. cest aussi une manire de reprsenter une relation. 5) Quelques autres propositions d activits logiques ( titre dexemples) ________________ On donne les seize dominos suivants :

Faire trier les dominos pour lesquels les deux gommettes ont mme forme puis ont mme couleur puis ont mme forme et mme couleur.

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Exercices de manipulation dorganigrammes

Exemple : ________________ Histoires squentielles une diffrence

Exemple : ranger dans un ordre logique ________________ La bougie rouge a plus brl que la bougie bleue. Colorie les deux bougies. ________________ Complter :

________________ Si tu es un garon alors colorie le carr en rouge Si tu es une fille alors colorie le carr en vert ________________ Faire fabriquer un jeu de cartes des familles par la classe sur des papiers qui seront ensuite colls sur un vrai jeu de cartes. Il faudra se mettre daccord sur le type de familles (familles par couleurs ou par moyens de locomotions ou ...), sur un critre distinctif pour le pre, la mre, la fille et le fils et sur un code mettre dans le coin de chaque carte. ________________ Jeu de stratgie pour deux joueurs :

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Le premier joueur dispose de trois jetons blancs ; le deuxime joueur dispose de trois jetons noirs.

Premire variante : on tire au sort pour savoir qui jouera le premier. Chacun pose un

jeton tour de rle sur un emplacement non occup, le but du jeu tant dessayer daligner trois jetons.

Deuxime variante : premire phase identique la premire variante mais, si personne na russi gagner, le jeu continue, chacun ayant le droit tour de rle de dplacer un seul jeton vers un emplacement VOISIN non occup.

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Jeu de cartes pour apprendre respecter des rgles (huit amricain simplifi) On utilise un jeu de 32 cartes (ou moins...). On distribue les cartes en laissant une pioche et en retournant la premire carte de la pioche ct de celle-ci. Si cest un 9 de trfle, le premier joueur peut la recouvrir par un autre 9 ou un autre trfle. Sil ne peut jouer, il pioche. Et ainsi de suite...Le but du jeu est de ne plus avoir de cartes entre les mains. Remarque : peut-on aller plus loin et appliquer certaines des rgles du huit amricain ? (exemples : un 7 jou oblige le joueur suivant passer son tour ; un 10 jou fait changer le sens dans lequel les joueurs jouent ... etc.).