activité pratique
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ENSET de Rabat 1ère Master GE
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Activité Pratique
Simulation d’un asservissement non linéaire par la méthode du premier harmonique et la méthode du plan de phase
Première Partie 0n se propose d’étudier par analyse mathématique et par simulation le régime autonome du système asservi non linéaire conforme au schéma fonctionnel de la figure 1:
Figure 1 : système asservi : k=1 ; T =0.5 L’élément non linéaire est un relais avec hystérésis dont la caractéristique est représentée par la figure 2 :
Figure 2 : caractéristique d’hystérésis : M = 0.5, o = 0.5
A- Le taux d’injection du retour tachymétrique (paramètre a) sera pris égal à zéro.
1. A partir du lieu critique de l’élément non linéaire et le lieu de transfert de la partie linéaire qu’on tracera dans le plan de Nyquist, justifier que le système bouclé sera le siège d’une auto-oscillation. Traduire par relation mathématique cette observation.
2. Réaliser la boucle étudiée sur Matlab Simulink et relever les paramètres d’oscillation : pulsation d’oscillation o* et l’amplitude o*. Vérifier que ces paramètres sont pratiquement la solution du problème exprimé en 1.
(t) c(t) + -
1(t) + -
u(t) NL
a p
s(t)
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B- Le taux d’injection du retour tachymétrique (paramètre a) sera pris différent de zéro
3. Pour différentes valeurs de a, observer son influence sur les paramètres d’oscillation et le comportement de la sortie.
4. Justifier que les auto-oscillations sont inévitables. Déterminer par simulation, la valeur de a de telle manière que la réponse permanente reste comprise entre 0.95 et 1.05 lorsque la consigne est unitaire.
Deuxième Partie
On considère à présent la figure 1 avec le taux d’injection du retour tachymétrique a = 0 et l’élément non linéaire est un limiteur défini par (saturation) :
u M
Mu
u M
On admet par la suite que 0 5M . .
1. Ecrire les équations différentielles du système en introduisant les variables d’état :
1 2x (t)= s(t), x (t)= ds(t) / dt,
2. Réaliser la boucle étudiée sur Matlab Simulink et simuler son comportement pour des conditions initiales x1 (0) = x10 et x2(0) = 0. Conserver la trajectoire d’état pour x1 (0) = 1 et x2(0) = 0
3. Donner les équations paramétriques et1 2x (t) x (t )des trajectoires de phase à partir des conditions
initiales x1 (0) = x10 et x2(0) = 0. En déduire les équations des trajectoires d’état. A cet effet, il convient de distinguer les trois cas définissant le limiteur selon la valeur et le signe de x10. Par ailleurs on peut aussi être aidé par l’établissement des points singuliers et de leur nature pout prévoir ces trajectoires.
4. Pour x1 (0) = 1 et x2(0) = 0, déterminer par simulation et ensuite par le calcul le temps qui sera mis pour x1 (t) et x2(t) atteignent l’état de repos x1 (0)= x2(0) = 0
5. Quel interprétation doon t-on à ce temps.
6. On prend une consigne unitaire et des conditions initiales x1 (0) = x2(0) = 0, simuler le comportement de la boucle et vérifier que le comportement transitoire et le temps de réponse sont inchangés