achille tartaruga spiegazione
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Achille e la tartaruga-Spiegazione
L. Pandolfi
Il pie veloce Achille corre con velocita vA mentre una tartaruga si muovelentamente, con velocita vT < vA. Achille al tempo t = 0 si trova nelloriginedelle coordinate e la tartaruga in posizione I0, ad un metro verso destra.Al tempo t = 0 ambedue cominciano a correre verso destra, con velocitacostanti, rispettivamente vA e vT .
Paradosso di Achille e la tartaruga
Achille non puo superare la tartaruga, perche:
in un tempo t1 giungera alla posizione I0 ma:
nello stesso tempo t1 la tartaruga sara arrivata ad una posizioneI1 e quindi Achille non supera la tartaruga al tempo t1.
Achille impiega un tempo t2 a passare dalla posizione I0 alla posizioneI1. Dunque, allistante t1 + t2 Achille e in posizione I1, ma:
allo stesso istante t1 + t2 la tartaruga e giunta alla posizione I2 equindi Achille non supera la tartaruga al tempo t2.
Largomento si puo ripetere e quindi il pie veloce Achille mai superera latartaruga.
La conclusione e ovviamente assurda. Come si spiega?
La spiegazione
Sia L0 = 1 ed Ln la distanza superata dalla tartaruga nellintervallo di tempo(tn1, tn). Notare che Ln e la distanza che Achille superera nellintervallo ditempo successivo. Inoltre nel primo intervallo di tempo Achille supera ladistanza 1, che e il vantaggio della tartaruga.
Il fatto che allistante t1 Achille ha superato una distanza di 1 con la suavelocita costante vA permette di calcolare t1 e quindi anche L1:
t1 =1
vA 1 , L1 = vT t1 =
vTvA
.
Allistante t2 Achille ha percorso una lunghezza L1, con la sua velocitacostante vA e cio permette di calcolare t2 e quindi anche L2:
t2 =vTvA
1
vA=
vTv2A
, L2 = vT t2 =v2Tv2A
.
1
-
Cos proseguendo,
tn =vn1Tvn1A
1
vA=
vn1TvnA
, Ln = vT tn =vnTvnA
.
Gli intervalli di tempo specificati coprono in tutto in tempo
limn+
[t1 + t2 + tn]
= limn+
1
vA
{1 +
(vTvA
)+
(vTvA
)2+ +
(vTvA
)n1}
=1
vAlim
n+
1 (vT /vA)n
1 vT /vA=
1
vA vTperche
q =vTvA
(0, 1) e quindi limn+
qn = 0 .
In questo tempo, Achille ha percorso la distanza
limn+
(1 +
vTvA
+
(vnTvnA
)2+ +
(vTvA
)n)
limn+
=1 qn+1
1 q=
vAvA vT
.
Nello stesso tempo, la tartaruga ha percorso un tratto di lunghezza
limn+
{L1 + Ln + + Ln} = limn+
{(vTvA
)+
(vTvA
)2+ +
(vTvA
)n}=
vAvA vT
1
Sommando 1, il vantaggio iniziale della tartaruga, si vede che sia Achille chela tartaruga occupano la medesima posizione allistante
1
vA vT.
Dopo tale istante Achille sara avanti alla tartaruga.
Lerrore di Zenone consiste in questo: egli assumeva chesommando un numero infinito di tempi non si potesseavere un processo che si esaurisce in un tempo finito,ossia assumeva che dovesse essere
limn+
[t1 + t2 + tn] = + .
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La grandezza di Parmenide e di Zenone e provata dal fatto che ci vorrannoquasi 2000 anni per risolvere questo paradosso e che lanalisi di Parmenide,Zenone ecc. e importantissima non per lo studio della fisica, ma per losviluppo della logica e dellanalisi linguistica del connettivo non e quindidel principio di non contraddizione. Nello stesso periodo di tempo (VII-VIsecolo A.C.) in Cina e il periodo delle primavere e degli autunni. In taleperiodo Mozi ed i suoi allievi oltre ad elaborare unetica che non ha pochiconfronti in altre civilta (tutti sono uguali davanti al cielo, cerca di faredel bene al tuo nemico) elaborano unanalisi della logica che ha molti puntidi contatto con quella di Parmenide.
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