acetates a chap 5

7/25/2019 Acetates a Chap 5

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MAT 1200:Introduction lalgbre linaire

Robert Gunette et Sad EL MORCHID

Dpartement de Mathmatiques et de Statistique

Chapitre 5: Les Dterminants
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Rfrences

Dterminants dordre 1 et 2

Dfinitions

ExemplesDterminants dordre n

Dfinition

Consquences

Dterminant dun produit et matrices inversibles

Dterminant de la matrice transpose

Les dterminants et les matrices inversibles

Mineurs et Cofacteurs

Mineurs

Cofacteur

Le dterminant dune matrice n n

Matrice des cofacteurs. Matrice adjointe

La rgle de Cramer pour rsoudre un systme
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Rfrences:

Notes de cours chapitre 5 .

Livre: Chapitre 3 page 175
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Dterminants dordre 1 et 2

Dfinitions

1. Cas dune matrice 11:Soit A= (a11) une matrice de type 11, le dterminant de A est

det(A) =|a11 |=a11

2 Cas dune matrice 22:

Soit A=

a11 a12a21 a22

. Le dterminant de A est le nombre rel

det(A) =

a11 a12a21 a22

=a11a22 a12a21

Exemple

Calculer le dterminant de la matrice

A=

1 52 4

.
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Dterminants dordre n

Dfinition gnraleOn dfinit le dterminant par la formule

det A=

a11 . . . a1n...

......

an1

. . . ann

=

=(j1,...,jn)Pn

sign()a1,j1 a2,j2 a3,j3. . . an,jn

o Pn est lensemble des permutations de lensemble {1, 2, . . . , n} etsign() = (1)N() est la signature de . Le nombre N() est dfini comme lenombre dinversions parmi lensemble de tous les couples {(i, j)| i


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Consquences immdiates de la dfinitionPersonne ne songerait utiliser cette dfinition pour valuer un dterminantdordre plus lev car fait intervenir une somme de n! termes ce qui estimpraticable. Son intrt est purement thorique et permet de dgager

rapidement les proprits du dterminant. Linarit par rapport une ligne

det

L1...

Li+Ti...

Ln

=det

L1...

Li...

Ln

+det

L1...

Ti...

Ln

Multiplication dune ligne par un nombre rel c

det

L1...

c Li...

Ln

=c det

L1...

Li...

Ln
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Consquences immdiates (suite)

Si la matrice Best obtenue partir de la matrice A en permutant 2lignes, alors det B= det A.

Si A possde une ligne nulle, alors det A= 0. Si A contient deux lignes identiques, alors det A= 0.

Si A est une matrice triangulaire infrieure ou suprieure dordre n, alors

det A= a11 a22 a33. . . ann = le produit de la diagonale

Si la matrice Best obtenue partir de la matrice A en appliquantlopration lmentairec Li+LjLj, alors det B=det A.

Exemple

Evaluer le dterminant en appliquant des oprations lmentaires sur les lignes,i.e. par limination de Gauss

1 2 5 02 0 4 13 1 0 7

0 4 2 0
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Dterminant dun produit et matrices inversibles

Proposition:

Si Eest une matrice lmentaire, on a que

det EA=det Edet A

Par induction, on obtient le rsultat suivant.

Corollaire:

det(E1E2. . . EkA) =det E1det E2. . . det Ekdet A

Thorme:

Une matrice carre Best inversible si et seulement si detB=0.

Thorme:

Soit A et Bdeux matrices carres. On a que

det(AB) =det Adet B
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Dterminant de la matrice transpose

Thorme:Soit A une matrice carre. On a que

det At =det A

Consquence: oprations sur les colonnes

Soit A une matrice carre.

a) Si une matrice Best obtenue en ajoutant une colonne de la matrice Aun multiple dune autre de ses colonnes, alors detB=detA.

b) Si Best la matrice obtenue en permutant deux colonnes de A, alorsdetB=detA.

c) Si Best la matrice obtenue en multipliant une colonne de A park, alorsdetB=kdetA.

Exemple:

2 8 6 83 9 5 103 0 1 2

1 4 0 6
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Les dterminants et les matrices inversibles

Thorme:

Une matrice carre est inversible si et seulement si detA=0.

Si A est une matrice carre inversible, alors

detA1 = 1

detA.

Exemple:

Est ce que la matrice suivante est inversible? Si oui, calculer det A1.

A=

3 1 2 50 5 3 66 7 7 4

5 8 0 9

Thorme:

Soient u1, u2, , un, n vecteurs de Rn et A la matrice dont les colonnes ou

les lignes sont les vecteurs ui. Alors u1, u2, , un sont indpendants si et

seulement si le dterminant de A est non nul.
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Sous-matrices Aijet mineurs Mij

MineurSoit A= (aij) une matrice carre de type nn. Alors la matrice Aijde type(n1)(n1) dsigne la sous-matrice forme des lments de A qui restentaprs avoir supprim la ieme ligne et la jeme colonne.Le dterminant de la sous-matrice Aij est appel le mineur de aijet est notparMij.

Exemple

Soit la matrice

A=

1 2 5 02 0 4 1

3 1 0 70 4 2 0

Trouver les sous-matrices A32, A43 et calculer M32, M43.
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Cofacteur

Dfinition

Soit A= (aij) une matrice carre de type nn. On appelle cofacteur dellment aij le nombre

Cij = (1)i+j

Mij = (1)i+jdetAij.

Exemple

Soit la matrice

A=

1 2 52 0 4

3 1 0

Trouver les cofacteurs C21, C22 et C23.
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Exemple:


A= 1 5 02 4 1

0 2 0


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Le dterminant dune matrice n n

Dfinition

Le dterminant dune matrice A= (aij) de type nn est

detA = a11C11+ a12C12+ +a1nC1n

= a11detA11 a12detA12+ +(1)1+na1ndetA1n

On dit quon a dvelopp le dterminant par rapport la premire ligne.

Exemple:


A=

6 0 0 51 7 2 52 0 0 08 3 1 8


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Thorme:

Le dterminant dune matrice A= (aij) de type nn peut tre calcul par undveloppement selon nimporte quelle ligne ou selon nimporte quelle colonne. Le dveloppement selon la ieme ligne scrit:

detA= ai1Ci1+ ai2Ci2+ +ainCin

Le dveloppement selon la jeme colonne scrit:

detA= a1jC1j+a2jC2j+ +anjCnj
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Exemple:


A=

3 7 8 9 6

0 2 5 7 30 0 1 5 00 0 2 4 10 0 0 2 0
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Matrice des cofacteurs. Matrice adjointe

Dfinition:

Soit A une matrice carre de type nn. La matrice des cofacteurs de A,note Cof(A), est la matrice obtenue de A en remplaant chaque terme aij parson cofacteur. On a

Cof(A) =

C11 C12 C1nC21 C22 C2n

..

.

..

.

..

.

..

.Cn1 Cn2 Cnn

Dfinition:

La matrice adjointe de A, note adjA, est la transpose de la matrice des

cofacteurs de A. On a

adjA=

C11 C21 Cn1C12 C22 Cn2

......

......

C1n C2n Cnn
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Thorme: Une Formule de linverseSoit A une matrice inversible de type nn. Alors

A1 =

1

detA(adjA).

Exemple:Calculer linverse de la matrice

A=

2 1 31 1 11 4 2

L l d C d
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La rgle de Cramer pour rsoudre un systmeDans cette section, on considre A une matrice inversible de type nn, bun vecteur de Rn,

Ai(b) la matrice obtenue en remplaant dans A la i

eme

colonne par levecteur b. (S) le systme linaire Ax=b.

Thorme: La rgle de Cramer

Les composantes de lunique solution du systme (S) sont donnes par

xi = detAi(b)

detA , i=1, 2 , n

Exemple

Rsoudre par le rgle de Cramer les systmes

(S1)

3x2y = 65x+4y = 8

(S2

)

2x+y+3z = 2

xy+z = 1x+4y2z = 1
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