บทท่ี12. แคลคููลััส · 3. ใชภาษา้พูด...

“ เอกสารชดน P 1 ไดจดทาขนเพอให นองๆสามารถเรยนร และ พฒนาตนเอง นาความรทางคณตศาสตรไปพฒนาชวต และ เปนเครองมอในการเรยนรคณตศาสตรตลอดจนศาสตรอนๆ ในระดบทสงขนไป ใน สวนของการนาไปจดการเรยนการสอนผสอนสามารถปรบลดหรอเพมเนอหาสาระ ตลอดจนความลกซงไดตามความเหมาะสมของนกเรยนแตละคน เพอสนองตอความตองการของนกเรยน ทมความสามารถทางคณตศาสตรทแตกตางกน ” ขอความสาเรจจงเปนของนองๆพทตงใจเรยน

P 1

หนงสอเรยนคอรสหนงสอเรยนคอรสเนอหาเนอหา ( ( แยกบท แยกบท ))

บทท บทท 1212. . แคลคลส แคลคลส << CCAALLCCUULLUUSS >>

เอกสารนใชสาหรบ การทดลองเรยนเทานน

Concept การสอนของพหนงเปนอยางไรบาง

1. ใหความสาคญกบนร.พนฐานออน – ปานกลาง เปนหลก ( นร.พนฐานดอาจรสกวาสอนชา ) 2. มระบบการบานทสอดคลองกบทกหวขอยอย ( เปนตวเตอรหวโบราณยงเนนการบาน ) 3. ใชภาษา พดทว ไๆปในการอธบายท ฤษฎตางๆ ( เนนความเขาใจ ไมใชภาษานกคณตศาสตร ) 4. ไมใชเทพ !! เปนตวเตอรธรรมดา

( จาไววาความสาเรจในการเรยนขนอยกบความตงใจเรยน มากกวาตวตวเตอร )

““ จดเดนการตวแบบจดเดนการตวแบบอนทาเนอนทาเนยสไตลยสไตล BByy PP’’11 ””

สอนละเอยด +++

ตรงตามหลกสตรกระทรวงฯ

เวอรชนลาสด ครบทกบท

และ ทกหวขอยอย

มทนทเดยว !! !

คลปเฉลยโจทยตงแตยคสมย Ent , A-NET , PAT 1 และ 7 วชาสามญ

มากกวา 3,000 ขอ จดเปนระบบทงแยกตามบทเรยน และ แยกตามป พ .ศ.

ขออภยเนนการบาน !!! วธสอนของพหนงอาจโบราณ ทยงเนนการบาน และ แบบฝกหด

อยางเปนระบบ นะครบ

มรายงานการเขาเรยน >_<<

ผปกครองหรอนร.สามารถตรวจสอบ เวลาเรยนในทกๆครง ซงจะมรายงาน แจงรายละเอยดอยางครบถวน

แบบวา... โปรงใส ตรวจสอบได

““ ตวเลขตวเลข ออนไลน ออนไลน

สไตล สไตล IInnttaanniiaa ”” *Intania < อนทาเนย > เปนชอเรยกของ นสตคณะวศวกรรมศาสตร จาก จฬาลงกรณมหาวทยาลย

ทมา : th.wikipedia.org

WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 1

บทท 12. แคลคลสเบองตน


วธการหาคา )x(flimax

1. ใหแทน x = a ลงใน f(x) ไดคาเทาไรตอบเทานน โดยท 0k

= , k

= 0 , k

= , k0

= 0

2. แตถาแทนแลวไดคาเปน 00

,

, –P , 0 , 1, 0 , 00 ( Indeterminate form ) หามสรป !! ใหรบทาตอ โดยการ

(2.1) ดงตวรวม (2.2) แยก factor (2.3) คณดวยคอนจเกต

(2.4) ใชกฎของโลปตาล ( L’Hopital’s Rule ) ใชไดเฉพาะ 00

,

)x(flimax

= สวนdiff

เศษdiff diff เศษสวน

Ex1. จงหา 3x2x1x2x

lim 2

2

2x

Ex2. จงหา 4 2

0x16xlim

Ex3. จงหา 3x2x1x2x

lim 2

2

1x

Ex4. จงหา

1x2x2xx

lim 2

2

1x

ลมตของฟงกชน

ทฤษฎบทเกยวกบลมต ให f และ g เปนฟงกชน โดยท y = f(x) และ g(x) ตามลาดบ ถา )x(flim

ax = A และ )x(glim

ax = B

(1) Climax

= C เมอ C เปนคาคงตว

(2) )]x(g)x(f[limax

= )x(flimax

)x(glimax

= A + B

(3) )]x(g)x(f[limax

= )x(flimax

)x(glimax

= AB

(4)

)x(g)x(f

limax

= )x(glim

)x(flim

ax

ax

= BA

; B0

(5) )x(fClimax

= C )x(flim

ax = CA

(6) n

ax)x(flim

=

n

ax)x(flim

= An


Ex5. จงหา 2x

11xlim

2x


4x25lim

2

3x

Ex7. จงหา 3x27x

lim3

3x


1xlim

3

1x


Ex9. จงหา h

xhxlim

0h

เมอ x 0 Ex10. จงหา xcos1

xtan2lim 2

2

0x มคาเทาใด

Ex11. จงหา 5x82x

13xlim

2x

Ex12. จงหา 3x9

xlim

0x


Ex13. จงหา x1x

x3x

2x 22

622lim

Ex14. จงหา 3ix

ix3ix2lim

i3x


ความหมายของ

(1) )(lim xfax

f(x) มคาประมาณเทาไร ถา x มคาใกลๆ a จะหาคาไดกตอเมอ ( ลมตซาย = ลมตขวา )

(2) )(lim xfax

f(x) มคาประมาณเทาไร ถา x มคานอยกวา a อยนดๆ ( ลมตซาย )

(3) )(lim xfax

f(x) มคาประมาณเทาไร ถา x มคามากกวา a อยหนอยๆ ( ลมตขวา ) (4) )(af f(x) มคาเทากบเทาไร ถา x มคาเทากบ a

เวลาหาคา f(a) ใหแทน x = a ลงใน f(x) ทนท หามเปลยนแปลงรปแบบ f(x)

Ex1. จากกราฟของฟงกชนตอไปนจงหาคา

(1) )x(flim9x

= …………….

(2) )x(flim9x

= …………….

(3) )x(flim9x

= …………….

(4) f(–9) = ……………..

(5) )x(flim6x

= …………….

(6) )x(flim6x

= …………….

(7) )x(flim6x

= …………….

(8) f(–6) = …………….. (9) )x(flim

3x = ……………. (10) )x(flim

3x = …………….

(11) )x(flim3x

= ……………. (12) f(–3) = ……………..

(13) )x(flim2x

= ……………. (14) )x(flim2x

= …………….

(15) )x(flim2x

= ……………. (16) f(2) = ……………..

(17) )x(flim4x

= ……………. (18) )x(flim4x

= …………….

(19) )x(flim4x

= ……………. (20) f(4) = ……………..

(21) )x(flim7x

= ……………. (22) )x(flim7x

= …………….

(23) )x(flim7x

= ……………. (24) f(7) = ……………..

(25) )x(flim9x

= ……………. (26) )x(flim9x

= …………….

(27) )x(flim9x

= ……………. (28) f(9) = ……………..

–9 –6 –3 2 4 7 9

7 4

9

–2

–4 –6


แบบท 1. ความตอเนองบนชวง [ a,b ] ฟงกชนจะมความตอเนองบนชวง [ a,b ] กตอเมอ สามารถวาดกราฟของฟงกชนนนผานชวง [ a,b ] ไดโดยไมตองยกปากกา

แบบท 2. ความตอเนองทจดใดๆ ฟงกชนจะมความตอเนองทจด x = a กตอเมอ สามารถวาดกราฟของฟงกชนนนผานจด x = a ไดโดยไมตองยกปากกา

.

a b ( A )

a b ( B )

a b ( C )

ความตอเนองของฟงกชน

a

( A )

a

( B )

a

( C )

นยาม f จะตอเนองทจด x = a กตอเมอ (1) f(a) หาคาได (2) )x(flim

ax หาคาได ( ลมตซาย = ลมตขวา )

(3) (1) = (2)

ขอควรระวง วธการหาคา )x(flimax

กบ f(a) ไมเหมอนกน

เชน กาหนดให f(x) = 2x4x2

จงหาคาของ f(2) และ )x(flim2x


Ex1. กาหนดให f(x) =

2x1เมอx35

1xเมอ4

1x0เมอx2

จงหาคา )x(flim1x

Ex2. f(x) = 3x

9x 2

จงหาคา )x(flim

3x + )x(flim

3x

Ex3. f(x) =

4xเมอ;8x

4xเมอ;4x

3x25 2

จงตรวจสอบวา f ตอเนองทจด x = 4 หรอไม


Ex4. g(x) =

2xเมอ;1kx

2xเมอ;2x

6xx 2

ถา g ตอเนองท x = 2 แลวคา k มคาเทาใด


3xเมอbx3

3x1เมอax

1xเมอ4x 2

ถา f เปนฟงกชนตอเนองท x = – 1 และ x = 3

แลว a+b มคาเทาไร


1xเมอ8x

1x0เมอbax

0xเมอ1x3 2

ถา f เปนฟงกชนตอเนองทกๆคา x แลว a–b มคาเทาไร


Note.


Ex1. จงหาอตราการเปลยนแปลงเฉลยของ y เทยบกบ x ของฟงกชนตอไปน 1. f(x) = 4x จาก x1 = 5 ถง x2 = 12

อนพนธของฟงกชน

WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 21 2. f(x) = x2 + 1 จาก x1 = a ถง x2 = a + h 3. f(x) = log x จาก x1 = x ถง x2 = x+1 Ex2. จงหาอตราการเปลยนแปลงเฉลยของพนทรปสเหลยมจตรส เมอเทยบกบ 1. ความยาวดาน เมอ ความยาวดาน เปลยนจาก 5 นว ไป เปน 8 นว 2. เสนทแยงมม เมอ เสนทะแยงมม เปลยนจาก 4 ฟต ไป เปน 6 ฟต 3. เสนรอบรป เมอ เสนรอบรป เปลยนจาก 2 เมตร ไป เปน 5 เมตร

WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 22 Ex3. กาหนดให f(x) = 4x2 + 3 จงหา

(1) อตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ขณะ x มคาใดๆ (2) อตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ขณะ x มคา = 0.5

Ex4. กาหนดให f(x) = 1x3 จงหา

(1) อตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ขณะ x มคาใดๆ (2) อตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ขณะ x มคา = 1


Ex5. กาหนดให f(x) = 1x2

1

จงหา

(1) อตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ขณะ x มคาใดๆ (2) อตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ขณะ x มคา = – 1

Ex6. กาหนดให f(x) = 3 x จงหา

(1) อตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ขณะ x มคาใดๆ (2) อตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ขณะ x มคา = –8


สตรท 3. ถา f(x) = cg(x) แลว f(x) = c[ g(x) ] เมอ c เปนคาคงท

……………………………………………………………………

สตรท 2. ถา f(x) = xn แลว f(x) = nxn–1 เมอ n R ……………………..…………………………….

ถา f(x) = x แลว f(x) = 1 …………………………………………………………………..

การหาอนพนธของฟงกชนพชคณตโดยใชสตร สตรท 1. ถา f(x) = c แลว f(x) = 0 เมอ c เปนคาคงท ……………………………………………


Ex1. กาหนด f(x) = 2x3+3x2+x+1 จงหาคา f(–3) เทากบเทาใด

Ex2. กาหนด y = 2/12/32/1 x2xx3 ดงนน dxdy

เทากบเทาใด

1. xx

12

x3x2

3

2. x2

x2x3

x23

3. x2

xx

x3x

3

4. xx

12x3

x3

Ex3. กาหนด y = x

2xx ดงนน

dxdy

เทากบขอใดตอไปน

1. 21

23

x2x

2. 3xx

3. 3x

1x

23

4. 3x3

1x

23

สตรท 4. ถา f(x) = g(x) + h(x) แลว f(x) = g(x) + h(x)

…………………………………………………………………………………………………………

WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 28 Ex4. ฟงกชนตอไปน ขอใดทมอนพนธท x = –1 แตกตางจากอนพนธของฟงกชนในขออนๆทจดเดยวกนนน 1. f(x) = ( x+1 )( x+2 ) 2. f(x) = x( x+1 )2

3. f(x) = 22

x1

x

4. f(x) = x1

x

Ex1. จงหา f(x) เมอ f(x) = ( 2x2–1 ) ( 4x+2 ) วธท 1. วธท 2.

สตรท 5. ถา f(x) = g(x)h(x) แลว f(x) = g(x) h(x) + h(x) g(x)

……………………………………………………………………………………………………


Ex2. กาหนด f เปนฟงกชนทหาอนพนธได โดย f( –1 ) = 2 และ f( –1 ) = – 5

ถา g(x) = ( x3–2x2 ) f(x) แลวคาของ dxdg

ทจด x = –1 มคาเทากบเทาไร ( ตอบ 29 )

Ex3. ให f(x) = ( 2x–3 )( x+1 ) และ g(x) = x2

4x2 ถา h(x) = f(x)g(x) แลว

dxdh

ทจด x = 1

มคาเทากบเทาใด ( ตอบ 21/2 )


Ex1. กาหนดให f(x) = 3x24x3

ดงนน f(x) เทากบเทาใด

Ex2. กาหนดให f(x) = 1x

x2

จงหา f(–1) เทากบเทาใด

Ex3. กาหนดให f(x) = 3x2+2 และ g(x) = x แลว ( fg )(1) +

gf

(1) มคาเทากบเทาใด ( ตอบ 12 )

สตรท 6. ถา f(x) = )x(h)x(g

แลว f(x) = 2)]x(h[)x(h)x(g)x(g)x(h

เมอ h(x) 0

………………………………………………………………………………………………


Ex4. สมมตวา g เปนฟงกชนทสามารถหาอนพนธได ถา g(3) = 2 , g(3) = 3

และ y = )x(gx3x 23

แลว dxdy

ท x = 3 มคาเทากบเทาใด ( ตอบ 4.5 )

Ex1. จงหา f(x) จาก f(x) ตอไปน 1. f(x) = ( 2x–1 )3 2. f(x) = ( x2–3x–4 )6

สตรท 7. ถา f(x) = [g(x)]n แลว f(x) = n[g(x)]n – 1 [g(x)] เมอ n R

………………………………………………………………………………………………


3. f(x) = )x4(

3

4. f(x) = 2x9

5. f(x) = 3 2 1x

2

6. f(x) = 4

xx2x35 32

Ex2. กาหนด f(x) = 32 x1x ดงนน f(2) เทากบเทาใด ( ตอบ 20 )


Ex3. กาหนด y = ( x–1 ) 2x2x2 ดงนน dxdy

เทากบขอใดตอไปน

1. 2x2x

3x4x22

2

2.

2x2x2

3x4x22

2

3. 3x4x2

2x2x2

2

4.

2x2x

2x2x2

2


Ex1. กาหนดให f( 2x–1 ) = 4x2+3 จงหา f(5) วธท 1. วธท 2.

Ex2. กาหนดให f( x2–2x+1 ) = 2x1x4

จงหา f(1)

อนพนธของฟงกชนประกอบ

สตรท 8. ถา y = fog(x) ………………………… แลว y = …………………………………………

ถา y = gof(x) ………………………… แลว y = …………………………………………


Ex1. กาหนดให y = u2+3u+2 และ u = 5x จงหาคาของ dxdy

ท x เทากบ 51

( ตอบ 4 )

1. 10 2. 15 3. 20 4. 25

Ex2. ให y = t2+2 และ x = 3t+2 จงหาคาของ dxdy

( ตอบ 1 )

1. 9

4x2 2.

94x2

3. 9

4x2 4.

94x2

Ex3. วตถชนหนงเคลอนทในระนาบตามกฎ x = t2 + 2t และ y = 2t3 – 6t แลว dxdy

ขณะ t = 2

มคาเทากบขอใด ( ตอบ 1 ) 1. 3 2. 12 3. 36 4. 25

สตรท 9. ถา y = f(u) , u = f(t) และ t = f(x)

……..……………………………………………………………………………………………………

dxdy

= dudy

dtdu

dxdt

dxdy

=

dydx1


Note.


Ex1. ถา y = 2x3–3x2+12x+5 และ 13cxbxaxydxdy

dxyd 232

2 แลวคาของ a + b +c คอขอใด

1. 41 2. 40 3. 35 4. 23

Ex2. ถา y = x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1 จงหาคาของ 4

4

dxyd

ท x = 2 ( ตอบ 2 )

1. 23 2. 24 3. 25 4. 26

อนพนธอนดบสง กาหนดให f(x) = 1x2x3x4x5 234

“ อนพนธอนดบหนง ”

จะใชสญลกษณ f(x) = y = dxdy

= ……………………………………..…

“อนพนธอนดบสอง”

จะใชสญลกษณ f(x) = y = 2

2

dxyd

= ……………………………………….

“อนพนธอนดบสาม”

จะใชสญลกษณ f(x) = y = 3

3

dx

yd = …………………………………….

“อนพนธอนดบ n ”

จะใชสญลกษณ f(n)(x) = y(n) = n

n

dxyd

= ……………………………………..


Ex3. กาหนด y = 1x

x

ดงนน y เทากบเทาใด

1.

25

)1x(4

x1

2.

23

)1x(4

x2

3.

25

)1x(4

x4

4.

23

)1x(2

x4


ทบทวนเรองการหาสมการเสนตรงนดหนอยนะครบ (1) สมการทวไป (2) สมการมาตรฐาน

ความชนเสนโคง

WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 47 (3) ทฤษฎบทเกยวกบเสนตรงทควรร (4) หลกการหาสมการเสนตรง

WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 48 Ex1. กาหนดเสนโคง หนงมสมการเปน y = x2–5x+2 จงหา

1. ความชนเสนโคง ณ จด P( x,y ) ใดๆ 2. ความชนเสนโคง ณ จด ( 2,1 ) 3. สมการเสนสมผสเสนโคงทผานจด ( 2,1 )

Ex2. ถา P( x,y ) เปนจดบนเสนโคง y = x2 + 1 โดยทเสนสมผสเสนโคงนทผานจด P( x,y ) ขนานกบเสนตรง

y = 6x + 8 จงหาคา x + y Ex3. สมการเสนตรงซงขนานกบเสนสมผสเสนโคง y = x2–2x+3 ทจด ( –1,6 ) และผานจด ( –3,2 ) คอสมการใดตอไปน 1. x+4y – 10 2. x+ 4y +10 = 0 3. 4x + y –10 = 0 4. 4x + y +10 = 0

WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 49 Ex4. กาหนดให L เปนเสนตรงทมความชนเทากบ 2 และ เสนตรง L สมผสกบเสนโคง y = x2 + 2

ถา ( a,b ) เปนจดบนเสนตรง L ทอยใกลจดกาเนดมากทสดแลว จงหาคา a + b Ex5. ถา P เปนจดบนเสนโคง y = 2x2 + 1 และเสนสมผสทจด P ขนานกบเสนตรง y+4x = 0 แลว สมการเสน

ตรงทตงฉากกบเสนสมผสทจด P คอสมการใดตอไปน 1. 4y + x = 11 2. 4y – x = 13 3. y – 4x = 1 – 1 4. y + 4x = 7

Ex6. ให 5 32 xxx)x(f จงหาสมการของเสนตรงทตงฉากกบเสนสมผสเสนโคง ณ จด ( 1,2 )


A

ความเรว และ ความเรง (1) การกระจด ( Displacement ) และ ระยะทาง ( Distance )

JUM การกระจด = ระยะทาง เมอ ........................................................................................................

(2) ความเรว คอ อตราการเปลยนแปลงของการกระจดเทยบกบเวลา (3) ความเรง คอ อตราการเปลยนแปลงของความเรวเทยบกบเวลา

SA – RUP (1) s(t) v(t) a(t) (2) สมการการเคลอนท s(t) ทโจทยบอกเปนสมการการกระจดไมใชสมการระยะทาง


Ex1. ให S(t) = t3 – 6t2 + 9t + 4 เปนสมการการเคลอนทของวตถในแนวเสนตรง โดยท S ( เมตร ) และ t ( วนาท ) 1. จงหาความเรวโดยเฉลย ในชวง t = 1 ถง t = 3 3. จงหาความเรงโดยเฉลยในชวง t = 1 ถง t = 3 2. จงหาความเรวของวตถทเวลา t = 2 4. จงหาความเรงของวตถทเวลา t = 3 Ex2. กาหนดให S(t) = at2 + bt + 4 สมการการเคลอนทของวตถตามแนวเสนตรง เมอ S มหนวยเปนเมตร ( m ) และ

t มหนวยเปนวนาท (s) เปน ถาความเรวเฉลยในชวงเวลา t = 2 ถง t = 5 เปน 5 m/s และ ความเรวขณะเวลา t = 3 เปน 4 m/s แลว a + b จะมคาเทาใด ( ตอบ –1 )


ขอตกลงเรองเครองหมายของ s , v , t

Ex1. ลกบอลลกหนงถกโยนขนไปในอวกาศในลกษณะแนวดง โดยมสมการการเคลอนทของลกบอล คอ S (ฟต ) = 96t – 16t2 (วนาท) จงหา

1. ความเรวของลกบอล ณ เวลา t = 2 2. ความเรวของลกบอล ณ เวลา t = 4 3. ระยะทางทลกบอลจะขนไปไดสงสด Ex2. P’1 กลมใจเดกคอรส Ent จด จงขนไปยนอยบนยอดตกสง 112 ฟต เพอนๆ หามกไมฟงจะโดดทาเดยว

ถาสมการการเคลอนทของ P’1 คอ S( t ) = 96t – 16t2 เมอ t มหนวยเปนวนาท ( สมมต P’1 ไมมความสง ) จงหา 1. ตาแหนง, ความเรว และทศทางของ P’1 เมอ t = 2 2. ความเรวเมอ P’1 กระทบพน(นา)

WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 55 Ex3. ยงปนขนไปในแนวดงจากพนราบ ไดสมการของการเคลอนทของลกปน เปน S( t ) = 128t – 16t2 เมอ t 0

( S เมตร , t วนาท) ขอใดตอไปนถก ( ตอบ 2 ) 1. ลกปนอยสงจากพนราบเปนระยะ 156 เมตร เมอ t = 1.5 วนาท เพยงเวลาเดยวเทานน 2. ระยะทลกปนขนไปไดสงสด คอ 256 เมตร 3. เมอเวลาผานไป 4 วนาท ลกปนจะอยทพนราบ 4. เมอเวลาผานไป 6 วนาท ลกปนจะเดนทางไปไดเปนระยะทางทงหมด 192 เมตร


วธการหาคาสงสด และ ตาสดสมพทธ

ขนท 1. หาคาวกฤต ( Critical Value , c ) ใหไดเสยกอน โดยคาวกฤตม 2 ความหมาย กลาวคอ

1.1 คา x ททาให f(x) = 0 , f(c) = 0

1.2 คา x ททาให f(x) หาคาไมได , f(c) = หาคาไมได แลวเรยงคาวกฤตทไดจากนอยไปมาก เพอรอการพจารณาในขนตอนตอไป

ขนท 2. เลอกวาจะใชวธอนพนธอนดบหนง หรอ วธอนพนธอนดบสอง วธอนพนธอนดบหนง – ถาความชนของเสนสมผสเปลยนจาก + ไปเปน – จดวกฤตดงกลาว จดสงสดสมพทธ – ถาความชนของเสนสมผสเปลยนจาก – ไปเปน + จดวกฤตดงกลาว จดตาสดสมพทธ – ถาความชนของเสนสมผสไมมการเปลยนแปลง จดวกฤตดงกลาว ไมใชทงจดสงสดสมพทธ

และ จดตาสดสมพทธ วธอนพนธอนดบสอง

– ถา f(c) 0 แลว จดวกฤตดงกลาว จดตาสดสมพทธ

– ถา f(c) 0 แลว จดวกฤตดงกลาว จดสงสดสมพทธ

– ถา f(c) = 0 แลว ตองยอนกลบไปทาดวยวธอนพนธอนดบหนง วธลด ( ใชไดกบเฉพาะฟงกชนพหนาม , ฟงกชนตรรกยะ เทานน )

– ถาหนา f(x) เปน + ขวามอสดเปนจดตาสดแลวสลบไปเรอยๆ

– ถาหนา f(x) เปน – ขวามอสดเปนจดสงสดแลวสลบไปเรอยๆ – ในกรณทคาวกฤตซากบเปนจานวนค มกจะเปนจดเปลยนเวา – ในกรณทคาวกฤตซากบเปนจานวนค ใหพจารณาตามปกต

การประยกตของอนพนธ คาสงสดสมพทธ และ คาตาสดสมพทธ ( Relative Maximum & Relative Minimum )

WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 64 Ex1. ให f เปนฟงกชน ซง f(x) = x2–4x+5 จงหาคาสงสดสมพทธ หรอ ตาสดสมพทธ (ถาม) Ex2. จงหาคาสงสดสมพทธและคาตาสดสมพทธของฟงกชน f(x) = x3 – 9x2 + 24x – 7 Ex3. จงหาคาสงสดสมพทธและคาตาสดสมพทธของฟงกชน f(x) = –x3+2x2 – x + 1


Ex4. จงหาคาสงสดสมพทธและคาตาสดสมพทธของฟงกชน f(x) = 5x Ex5. กาหนดให f(x) = x3 + ax2 + bx + 13 ถา f(1) = – 3 และ f มคาสงสดสมพทธท x = – 2 แลว คาสงสดสมพทธของ f เทากบขอใดตอไปน ( Ent’48 ม.ค. เลข 2 ) ( ตอบ 2 ) 1. 32 2. 33 3. 36 4. 37 Ex6. กาหนดให f(x) = x3 – 12x + c โดยท c เปนจานวนจรง ถาคาตาสดสมพทธของ f เทากบ – 6 แลว คาสงสด

สมพทธของ f เทากบขอใดตอไปน ( Ent’46 ม.ค. เลข 2. ) ( ตอบ 4 ) 1. 0 2. 6 3. 10 4. 26


Ex7. กาหนดให f(x) = 2x + cx21

โดยท c 0 ถา f(x) มคาสงสดท x = –3/2 แลว c มคาเทากบขอใดตอไปน

( Ent’41 ต.ค. เลข 2 ) ( ตอบ 1 ) 1. 1/9 2. 1/3 3. 3 4. 9

WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 67 Ex1. ให f(x) = x3 + x2 – 8x – 1 เปนฟงกชนบนชวงปด [ –4,2 ] จงหาคาสงสดสมบรณ และ คาตาสดสมบรณของฟงกชน

คาสงสดสมบรณ และ คาตาสดสมบรณ ( Absulute Maximum & Absulute Minimum )

(1) คาสง สดสมบรณ คอ คาทสง ทสดในบรรดาคาสงสดสมพทธ กบ คา y ทตนชวง และ ปลายชวง

(2) คาตาสดสมบรณ คอ คาทตาทสดในบรรดาคาตาสดสมพทธ กบ คา y ทตนชวง และ ปลายชวง


Ex1. แผนกระดาษรป จตรสยาวดานละ 1 ฟต ตดทมมทง 4 ออกเปนรป จตรส เพอทจะทาเปนกลองเปดฝา อยาก ทราบวาจะตองตดมมออกยาวดานละเทาไร จงจะทาใหกลองนมปรมาตรมากทสด และมปรมาตรเทาไร

Ex2. ผลตผลดานการเกษตรชนดหนงเสยคาใชจายคดเปนเงนไรละ 0.2x + 4 +x

300 บาท ถาขายผลตผลคดเปนเงนไรละ

600 – 2x บาท และ เสยคาขนสงอกคดเปนเงนไรละ 24 บาท โดย x หมายถงจานวนไรทผลตตอเดอน ถาตองการใหไดกาไรมากทสดจะตองใชเนอทการผลตจานวนกไร ( ตอบ 2 )

1. 85 ไร 2. 130 ไร 3. 185 ไร 4. 572 ไร

การประยกตคาสงสดสมบรณ และ คาตาสดสมบรณ

หลกการทาโจทยปญหาเรองการประยกตคาสงสดสมบรณ และ คาตาสดสมบรณ มดงน

(1) สมมตใหไดเสยกอนวาจะให x แทนอะไร (2) สรางฟงกชนวตถประสงค ( Objective function ) โดยดจากสงทโจทยถาม (3) ในฟงกชนวตถประสงคมไดแคตวแปรเดยวเทานน ( ถามมากกวา 1 ตว ตองหาสมการชวย ) (4) ใชหลกการหาคาสงสดสมบรณ หรอ คาตาสดสมบรณ ตามทเรยนไปในหวขอทแลว

WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 69 Ex3. นายเคน มไมระแนงสาหรบทารวไดยาว 80 เมตร เขาตองการ

ลอมบรเวณสเหลยมผนผาพรอมทงกนเปน 4 ชองเทาๆกน ดงรป พนทมากทสดทเขาจะลอมไดเปนเทาไร

Ex4. ฟาใสทางานอยราน STICKER WORLD ฟาใสพบวาปกตแลว 1 วนจะมลกคาใชถาย STICKER เฉลย วนละ 100 ราย โดย อตราคาบรการคอ 120 บาท/ครง แตถาลดราคาลงมา 5 บาท จะมลกคาเพมขน 10 ราย นนคอ ถาคาบรการ 115 บาท/ครง จะมลกคาเฉลยวนละ 110 ราย ถาคาบรการ 110 บาท/ครง จะมลกคา 120 ราย อยากทราบวา ถา ฟาใสตองการรายไดมากทสดควร ตงราคาคาบรการการถายสตกเกอร/ครง เปนเทาไร และจะไดรายไดเทาไร


Ex5. รป มมฉากซงมจดยอด 2 จดอยบนกราฟพาราโบลา y2 = 12x และมดานๆหนงอยบนเสนตรง x = 4 รป มมฉากดง กลาวจะมพนทมากทสดเทาใด

Ex6. จะสรางกลองทไมมฝาและมพนทหนาตดเปนรป จตรส และใหกลองมปรมาตร 32 ลกบาศกนวไดอยางไร โดยใช วสดนอยทสด


Ex7. เสนตรงเสนหนงผานจด ( 1,2 ) และ ตดแกน x และ แกน y ทาใหเกดรป ในจตภาคท 1

จงหาพนท ทนอยทสดทจะเกดขน


ปฏยานพนธ และ ปรพนธไมจากดเขต ( การอนทเกรต , Integration )

นยาม (1) ฟงกชน F เปนปฏยานพนธหนงของ f ถา F(x) = f(x) สาหรบทกคาของ x Df

(2) ถา F(x) = f(x) แลวจะไดวา

)x(f dx = F(x) + c เมอ c เปนคาคงตว

เรยก )x(f dx วาเปน ปรพนธไมจากดเขตของ f [ f(x) เรยกวา ปรพทธ ] และ F(x) วาเปน ปฏยานพนธของ f นนเอง

SA – RUP

สตรการอนทกรลไมจากดเขต

(1) kdx = kx + c เมอ k , c เปนคาคงท

(2) dx)x(kf = dx)x(fk เมอ k เปนคาคงท


(3) dx)x(g)x(f = dx)x(gdx)x(f

(4) dxxn = 1n

x 1n

+ c เมอ n –1


Ex1.

3 2

2 x3x1

x2

dx =

Ex2. 22 xx dx =

Ex3. x

x2x4 2dx =

Ex4. กาหนด f(x) = 3x2 – 2x

42 และ f(2) = 8 จงหาคา c


Ex5. กาหนด f(x) = x2 – x และ f(1) = 32

ดงนน f(4) เทากบเทาใด

Ex6. กาหนด f(x) = 18x – 8 , f (1) = 3 และ f(1) = 7 ดงนน f(2) เทากบเทาใด

Ex7. กาหนดให f(x) = ( x–1 )2 และ g(x) = )x(f dx โดยท ( fg)(2) = 0

ถา ( fg )(0) = a และ ( f+g )(0) = b จงหาคา a + b



2x

1x2 dx และ g(x) = xf(x) ถา f(1) = –2 แลว g(3) เทากบขอใดตอไปน

( Ent’48 ม.ค.เลข 2. ) ( ตอบ 2 ) 1. 20 2. 25 3. 30 4. 37


Note.


โจทยปญหาทเกยวของกบอนทเกรต

Ex1. ถา h

)x(f)hx(flim

0h

= 3x – 2 ทก x R และ f(0) = 21

แลว จดในขอใดตอไปนอยบนกราฟของ f

1. ( 1,–1 ) 2. ( –1,0 ) 3. ( 1,2 ) 4. ( 2,1 )

WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 85 Ex2. ความชนของเสนโคง ณ จด ( x,y ) ใดๆ เทากบ x–3 ถาเสนโคงผานจด ( 2,9 ) แลว เสนโคงนมสมการคอขอใดตอไปน

1. y = 2

x 2–3x + 13 2. y =

2x 2

–3x –13 3. y = 2x2 –3x + 13 4. y = 2x2–3x –13

Ex3. ถาอตราการเปลยนแปลงของความชนของเสนโคง y = f(x) ณ จดใดๆมคาเปน 6x – 6 และ เสนโคงนมความชน

เทากบ 2 ณ จด ( 1,3 ) แลว สมการของเสนโคงจะตรงกบขอใด 1. y = x3 – 3x2 – 5x 2. y = x3 – 3x2 + 5x 3. y = x3 + 3x2 + 5x 4. y = x3 + 3x2 – 5x

WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 86 Ex4. ถาเสนโคง y = f(x) มอตราการเปลยนแปลงของความชนทจด ( x,y ) ใดๆบนเสนโคงเปน 2x – 1 และ เสนสมผสเสน

โคงทจด ( 1,2 ) ตงฉากกบเสนตรง x + 3y – 1 = 0 จงหาสมการเสนโคงดงกลาว Ex5. สมการเสนโคง y = f(x) มความชนทจด ( x,y ) ใดๆเทากบ 3x2 –12 ถาคาตาสดสมพทธของ f เทากบ –17

แลว คาสงสดสมพทธของ f เทากบขอใดตอไปน ( Ent’46 ต.ค. เลข 2. ) ( ตอบ 1 ) 1. 15 2. 19 3. 26 4. 31

WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 87 Ex6. กาหนดใหความชนของเสนสมผสเสนโคง y = f(x) ทจด ( x,y ) ใดๆเทากบ x2 + 2x – 3 ถาคาสงสดสมพทธของ f

เทากบสามเทาของคาตาสดสมพทธของ f แลว f(0) เทากบขอใดตอไปน ( Ent’47 ม.ค. เลข 2. ) ( ตอบ 4 ) 1. –7 2. –2 3. 2 4. 7


Ex1. จงหาคาของ 3

0

2 dx)xx23(


1

dx)x2

1x6(


0

2 dx)x1(x

ปรพนธจากดเขต ( Definite intergral ) ............................................................................................... ทฤษฎบทหลกมลของแคลคลส กาหนด f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a,b] ถา F เปนปฏยานพนธของฟงกชน f แลว

)a(F)b(F)]x(F[dx)x(fba

b

a


Note.


พนททปดลอมดวยเสนโคง

แบบท 1. มเสนโคง 1 เสน

หมายเหต ในหวขอนจะเจอสมการพาราโบลาบอยมาก พยายามเนนการจดรปแบบ ม.3 y = ax2+bx+ c

จะดกวา การจดรปแบบ ม.4 ( x–h )2 = 4c( y – k ) เพราะจะเนนทจดตดแกน x มากกวาจดยอด

WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 97 Ex1. จงหาพนททปดลอมดวยเสนโคง y = x2 จาก x = 1 ถง x =3 Ex2. จงหาพนททปดลอมดวยเสนโคง y = x2 – 2x กบแกน x ตงแต x = 1 ถง x = 2 Ex3. จงหาพนททปดลอมดวยเสนโคง y = 4 – x2 กบแกน x ตงแต x = 1 ถง x = 4 ( ตอบ 37/3 )

WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 98 Ex4. จงหาพนททปดลอมดวยเสนโคง y = x3 – 6x2 + 8x กบแกน x เปนเทาใด ( ตอบ 3 ) 1. 5 2. 7 3. 8 4. 9

Ex5. จงหาคาของ

2

2

2 dxx4


Ex6. จงหาคาของ

2

1

dx1x

WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 100 Ex1. จงหาพนททถกปดลอมรอบดวยกราฟ y = 5–x2 และ y = 2 – 2x ( ตอบ 32/3 )

แบบท 2. มเสนโคง 2 เสน

WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 101 Ex2. จงหาพนททถกปดลอมรอบดวยกราฟ y = x2 – 4 และ y = 8 –2x2 ( ตอบ 32 )

บทท่ี12. แคลคููลััส · 3. ใชภาษา้พูด...

Documents