ÅÅÅÅű

« qBËÒ

‰

‰uÞ ÈÅt³ÝU×

∫È—U²— ÈU¼Å·b¼∫b«u²Ð qB s¹« ÊU¹UÄ —œ b¹UÐ dOÖ«d

± v?K?K?L?«Ås?O?Ð r?²??OÝ —œ «— ʬ ·UF« Ë «eł« ¨‰uÞ ÈdOÖÅÁ“«b« bŠ«Ë ‡‡SI

Æb¼œ `Ouð

≤ÆbM5 q¹b³ð r¼ tÐ «— ‰uÞ bŠ«Ë ·UF« Ë «eł« ‡‡

≥ ¨X:œ ‡‡t?³?ÝU×< «— —«bI< s¹d²NÐ Ë sOOFð «— U¼ÅÈdOÖÅÁ“«b« —œ ÁU³²ý« Ë UDš

ÆbM5

¥ÆbM5 t³ÝU×< À—užU¦O ÈÅtDЫ— “« ÁœUH²Ý« UÐ «— U¼Å‰uÞ ‡‡

µÆœ—ˬ XÝœÅtÐ ¨U¼ÅqJý tÐUAð X³ “« ÁœUH²Ý« UÐ «— U¼Å‰uÞ ‡‡ÅÅ

∂ÆbM5 t³ÝU×< vðU¦K¦< ÈU¼ÅX³ “« ÁœUH²Ý« UÐ «— U¼Å‰uÞ ‡‡Å

∑t³ÝU×< «— V5d< Ë ÁœUÝ vÝbM¼ ÈU¼ÅqJý È«—«œ ÈU¼ÅsO<“ Ë ÂUł« jO×< ‡‡

ÆbM5

± r²OÝ —œ ‰uÞ ÈdOÖÅÁ“«b"« bŠ«Ë ‡‡SI

±‡‡±‰uÞ bŠ«Ë n¹dF𠇇

r²OÝ —œ ‰uÞ ÈdOÖÅÁ“«b« bŠ«Ë SIű

® d²< ¨m©Å≤

ÆXÝ«ÅÅ

≤‡‡±∫d² ·UF« Ë «eł« ‡‡ÈdðÅpÇu5 ÈU¼bŠ«Ë “« ÅpÇu5 ÈU¼Å‰uÞ ÈdOÖÅÁ“«b« È«dÐ

∫“« b«Å —U³Ž d²< È«eł« ÆbM¹uÖÅv< ‰uÞ bŠ«Ë È«eł« UN¬ tÐ t5 œuýÅv< ÁœUH²Ý«

® d²<ÅvÝœdm® d²<Åv²UÝ ¨©cm® d²<ÅvKO< Ë ©mm©

±‡‡ SI ÈÅtLK5 nHV< International SystemÆXÝ«

≤ ‡‡m ÈÅtLK5 nHV< MeterÆXÝ«

ÊU<“ —œ —u t5 XÝ« v² U< d²< p¹

1

299792458ÆbM5Åv< vÞ úš —œ tOUŁ

ÅÅÅ≤Å

·UF« UN¬ tÐ t5 œuýÅv< ÁœUH²Ý« Èdðů—eÐ ÈU¼bŠ«Ë “«ÅŨ¯—eÐ ÈU¼Å‰uÞ ÈdOÖÅÁ“«b« È«dÐ

∫“« b«Å —U³Ž d²< ·UF« ÆbM¹uÖÅv< ‰uÞ bŠ«Ë

® d²<U5œdam® d²<u²J¼ ¨©hm® d²<uKO5 Ë ©km©

‰Ëbł —œ±s¹« ÆXÝ« Ábý Áœ«œ ÊUA UN¬ vUF< Ë ‰uÞ bŠ«Ë ·UF« Ë «eł« œ—«bU²Ý« r¹öŽ

ÆœdOÖÅv< —«d: vK[« bŠ«Ë qÐUI< —œ v¹U¼buAOÄ —u[ÅtÐ r¹öŽ

‰uÞ bŠ«Ë È«eł«

‰uÞ bŠ«Ë ·UF«

‰U¦ÂuNHXöŽ‰U¦ÂuNHXöŽ

1dm = 0/1m = 0/1 vÝœ d = 1dam = 10m = 10 U5œda =

1cm = 0/01m = 0/01 Åv²UÝc = = 100u²J¼ h =

1mm = 0/001m = 0/001 vKO< m = = 1000ÅÅÅÅÅÅÅÅÅuKO5k =

ÅʼnËbł±‰uÞ bŠ«Ë ·UF«ÅÅÅË «eł« ‰Ëbł ‡‡

≤‰uÞ ÈU¼bŠ«Ë q¹b³ð ‡‡

¨fJŽdÐ Ë ©d²<® ‰uÞ vK[« bŠ«Ë tÐ ©d²< ·UF« Ë «eł«® ‰uÞ vŽd ÈU¼bŠ«Ë q¹b³ð È«dÐ

‰Ëbł® ·UF« Ë «eł« ‰Ëbł “« «— U¼buAOÄ “« «b5d¼ tÐ ◊uÐd< d¹œUI< XÝ« v U5±ÆbOM5 ‰ULŽ« ©

∫‰U¦ ≥µ∑±øXÝ« d²< bMÇ ¨d²<ÅvKO<

d²< = 3 / 571 d²< = 3571×0/001 d²<ÅvKO< 3571

“« v¹U¼ÅÊ«uð —u[ÅtÐ ‰uÞ ÈU¼bŠ«Ë q¹b³ð V¹d ±∞ ‰Ëbł —œ ÆbýUÐÅv< ≤q¹b³ð V¹«d

ÆXÝ« Áb<¬ d~¹bJ¹ tÐ ‰uÞ ÈU¼bŠ«Ë

1hm = 100m

1km = 1000m

ÅÅÅÅÅ≥

s¹dLð

±Æb¹—ˬ XÝœÅtÐ d²< VŠdÐ «— d¹“ ÈU¼ÅÁ“«b« ‡‡

107 km Ë 45dam Ë 712mm Ë 1/ 6km Ë 45dm Ë 78mm Ë 115cm

≤∫b¹—ˬ XÝœÅtÐ d²<Åv²UÝ VŠdÐ «— d¹“ ÈU¼ÅÁ“«b« ‡‡

0/09dm Ë 8 / 9×106mm Ë 4 / 45dam Ë 85 / 41×10

−5 km

≥ Èdł¬ —«u¹œ p¹ ‰uÞ ‡‡ 175 / 70 ʬ ŸUHð—« Ë d²< 3 / 5ÆXÝ« d²<

U?FD: tÐ —«u¹œ ‰uÞ dÖ« ‡‡ n«≤ ÈÅt?F?D: bMÇ ¨œuý rOIð Èd²< ≤Ë b?¹¬Åv< XÝœÅtÐ Èd²<

øbU<Åv< v:UÐ d²<Åv²UÝ bMÇ

UFD: tÐ —«u¹œ ŸUHð—« t5 vð—u[ —œ ‡‡ » 0/ 6 ÈÅt?FD: bMÇ ¨œuý rOIð Èd²< 0/ 6Èd²<

øbU<Åv< v:UÐ d²<ÅvKO< bMÇ Ë b¹¬Åv< XÝœÅtÐ

¥ ‚U?ð« p¹ ‰uÞ ‡‡ 3 / 45p?O?z«“u?< “« ‚U?ð« s¹« Êœd5 ‘d È«dÐ rO¼«uVÐ dÖ« ∫XÝ« d²<

30× 30 —«b?I?< øœdOÖÅv< ÈUł ‚Uð« s¹« ‰uÞ —œ pOz«“u< bMÇ ¨rOM5 ÁœUH²Ý« d²<Åv²UÝ ¨Áb?U<Åv:UÐ

øXÝ« d²<ÅvKO< bMÇ Ë d²<Åv²UÝ bMÇ

≥U¼ÅÁ“«b"« —œ ÁU³²ý« Ë —«bI s¹d²NÐ ¨UDš ¨X=œ ‡‡

±‡‡≥X=œ ‡‡

dOÖÅÁ“«b« ÈÅtKOÝË p¹ ULOIð s¹dðÅpÇu5OÝË Ê¬ X:œ «— ÈÆbM<UÅv< tK

ÅʼnËbł≤‰uÞ ÅÅÈU¼bŠ«Ë q¹b³ð V¹«d ‰Ëbł ‡‡

d²uKO@d²u²J¼d²U@œd²d²ÅvÝœd²Åv²"UÝd²ÅvKO ·UF« Ë «eł«

k.mh.mda.mmdmcm mm‰uÞ bŠ«Ë

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

1 1mm ®©d²<ÅvKO< p¹

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

1 10 1cm ®©d²<Åv²UÝ p¹

10−4

10−3

10−2

10−1

1 10 102

1dm ®©d²<ÅvÝœ p¹

10−3

10−2

10−1

1 10 102

103

1m ®©d²<Åp¹

10−2

10−1

1 10 102

103

104

1da.m ®©d²<U5œ p¹

10−1

1 10 102

103

104

105

1h.m ®©d²<u²J¼ p¹

1 10 102

103

104

105

106

1k.m ®©d²<uKO5 p¹

ÅÅÅ¥Å

‰U¦±∫Á“«b« XÝ« d² ÅvKO ʬ ULOIð s¹dðÅpÇu t vAÅjš UÐ «— jš Á—UÄ p¹ ‰uÞ

ÆXÝ« d² ÅvKO bŠ —œ gÅjš s¹« X,œ VOðdð s¹« tÐ ªr¹dOÖÅv

‰U¦≤∫∫b«ÅÁœd X³Ł «— d¹“ œ«bŽ« Ë ÈdOÖÅÁ“«b« —UÐ —UNÇ «— vMO “ ‰uÞ

758 / 42m Ë 756 / 60m Ë 756 / 52m Ë 756 / 58m

d?²? Åv?²?UÝ bŠ —œ ÁœUH²Ý« œ—u ÈÅtKOÝË X,œ t rOÐU¹Åv —œ Ábý Áœ«œ ÈU¼ÅÁ“«b« tÐ tłuð UÐ

ÆXÝ« ÁœuÐ

≤‡‡≥UDš ‡‡

ÆbM UÅv ÈdOÖÅÁ“«b« ÈUDš ¨vF,«Ë —«bI UÐ «— Ábý t²AdÖ ÈÅÁ“«b« p¹ ·ö²š«

∫‰U¦ ‰uÞ p¹ ±∞∞∫r¹«ÅÁœd X³Ł «— d¹“ œ«bŽ« Ë ÈdOÖÅÁ“«b« —UÐËœ «— Èd²

100/04 Å ÅÂËœ —UÐ 99 / 92 Ë« —UÐÒ‰

« —UÐ —œ ÈdOÖÅÁ“«b« ÈUDšËÒ

Åʼn Å 100m −99 / 92m =0/08m = 8cm

ÂËœ —UÐ —œ ÈdOÖÅÁ“«b« ÈUDšÅÅ 100m −100/04m = −0/04m = −4cm

≥‡‡≥∫—«b?I s¹d²NÐ ‡‡Ê¬ Èd?O?ÖÅÁ“«b?« t?Ð ¨býU³ hIA XOL p¹ vF,«Ë —«bI v²,Ë

U¼ÅÈdOÖÅÁ“«b« sO~UO “« ¨XÝ« ‰uN− t vF,«Ë —«bI ÈUłÅtÐ qLŽ —œ VOðdð s¹« tÐ Ë r¹“«œdÄÅv

ÆrOMÅv ÁœUH²Ý«

XÝU¼ÅÈdOÖÅÁ“«b« sO~UO ¨XOL p¹ vF,«Ë ÈÅÁ“«b« Êœ«œ ÊUA È«dÐ —«bI s¹d²NÐÆ

∫‰U¦∫r¹«ÅÁœd X³Ł «— d¹“ œ«bŽ« Ë ÈdOÖÅÁ“«b« —UÐ tÝ «— vMuÞ

1859 / 61mÅ Ë 1859 / 35mËÅ 1859 / 42m

∫“« XÝ« —U³Ž dEœ—u ‰uÞ È«dÐ —«bI s¹d²NÐ

1859 / 42 +1859 / 35 +1859 / 61

3=1859 / 46m

¥‡‡≥ÁU³²ý« ‡‡

bŠ “« gOÐ ÈdOÖÅÁ“«b« p¹ ÈUDš ÁUÖd¼ÒÆbM¹uÖÅv ÁU³²ý« ʬ tÐ býUÐ “U−

ôuLF Î œËbŠ —œ «— “U− ÈUDš ≤ Uð ≥ÅtKOÝË X,œ dЫdÐ —œ ÆbdOÖÅv dE—œ ÈdOÖÅÁ“«b« È

ÅÅÅÅŵ

‰Ëbł≥d²< v³¹dIð “U−< ÈUDš d²< Ë ÈdL5ÆbOM5Åv< Áb¼UA< «— bMKÐ

Œ— v¼U³²ý« t5 r¹uý s¾LD< Uð r¹dOÖÅv< Á“«b« —UÐËœ q:«bŠ «— ‰uÞ d¼ ¨ÅvuLF< ÈU¼—U5 —œ

XÝ« sJL< v²Š ªbÐU¹Åv< g¹«e « ‰uÞ p¹ ÈdOÖÅÁ“«b« UF œ œ«bFð oO:œ ÈU¼—U5 —œ ÆXÝ« Áœ«b

b¹UÐ U<« ÆbýUÐ dðÅp¹œe vF:«Ë —«bI< tÐ UN¬ sO~UO< Uð bMM5 ÈdOÖÅÁ“«b« dðÅgOÐ U¹ —UÐ Áœ «— ‰uÞ p¹

∫bOM5 tłuð d¹“ ÈÅt²J tÐ

Æœuý ·cŠ b¹UÐ ÁU³²ý« ÈÅÁ“«b« ¨U¼ÅÁ“«b« sO~UO< s² dÖ “« q³:

∫‰U¦Ær¹«ÅÁœd5 X³Ł d¹“ —u[ÅtÐ Ë ÈdOÖÅÁ“«b« —UÐÅtÝ «— vMO<“ tFD: ‰uÞ

58 / 90m Ë 58 /12mË 58 /06m

øXÝ« d²< bMÇ sO<“ tFD: s¹« ‰uÞ È«dÐ —«bI< s¹d²NÐ

œb?Ž 58 / 90v?M?ýË— t?Ð Ë œ—«œ v?«Ë«d? ·ö?²?š« d?~?¹œ œb?Ž Ëœ s?O?~?U?O< UÐ —UJý¬ —uÞÅtÐ

∫r¹—«œ fÄ ªœuý ·cŠ b¹UÐ Ë býUÐÅv< ÁU³²ý« ÈdOÖÅÁ“«b« s¹« t5 XÝ« hVA<

= 58 /06m + 58 /12m2

= 58 /09m uÞÅtFD: ‰sO<“

s¹dLð

±‡‡Æb?«ÅÁœd?5 Èd?O?ÖÅÁ“«b« «— ÈbMKÐ ‰uÞ Ë Ábý rOIð ÁËdÖ ZMÄ tÐ ”ö5 p¹ Ê«“u<¬Åg«œ

b< d¹“ œ—«u<Ò∫XÝ« dE

‡‡ n« —«bI< s¹d²NÐ ÈÅt³ÝU×< ‡‡ Û Ë ÈdOÖÅÁ“«b« ÈÅtKOÝË X:œ ‡‡ » ¨ÁU³²ý« ÈÅÁ“«b« sOOFð

588 / 28m Ë 588 / 36m Ë 568 / 25m Ë 588 /12m Ë 588 / 24m

≤¹ UÐ ‡‡<“¬ —œ oO:œ ÈË“«dð pd¹“ œ«bŽ« Ë ÈdOÖÅÁ“«b« —UÐÅtÝ «— tÝU< È—«bI< ÂdłÅŨÁU~A¹U

«—KOÝË X:œ Ær¹«ÅÁœd5 X³Ł ÆbOM5 sOOFð «— —«bI< s¹d²NÐ Ë ÈdOÖÅÁ“«b« ÈÅt

2 / 393kg Ë 2 / 392kg Ë 2 / 391kg

“U− ÈUDš ÈdOÖÅÁ“«b"« ÈÅtKOÝË ÂU"

ÈdL5 d²<≤ Uð ≥d²<ÅvKO<

bMKÐ d²<≤ Uð ≥d²<Åv²UÝ

‰Ëbł ≥ÈdOÖÅÁ“«b"« q¹UÝË “U− ÈUDš ‡‡

ÅÅÅ∂Å

¥À—užU¦O ÈÅtDЫ— “« ÁœUH²Ý« UÐ ‰uÞ ÈÅt³ÝU× ‡‡

±‡‡¥À—užU¦O ÈÅtOC= ‡‡

d¼ —œe«ÅrzU: YK¦<d~¹œ lK Ëœ ÈU¼ÅlÐd< ŸuL−< UÐ XÝ« dЫdÐ dðË lÐd< ¨Åt¹Ë«

∫‰U¦ YK¦< —œ ABC qJý ± ÈÅt¹Ë«“ A = 90o

ÆXÝ«

∫r¹—«œ fÄ a2 = b2 + c2

≤‡‡¥À—užU¦O ÈÅtOC= œdЗU@ ‡‡

‰U¦±∫ qJý oÐUD< tULŠ —œ ≤ÈÅÁ“«b« løXÝ« —b:ÅtÇ

∫r¹—«œ À—užU¦O ÈÅtOC: o³Þ l2 = 12502 + 830

2

l2 = 1562500 + 688900 = 2251400

l = 2251400

l = 1500/ 47

qJý≤

qJý±

ÅÅÅÅÅ∑

‰U¦≤∫ ÈÅtDI Ëœ ÈÅtK[U rO¼«ušÅv< A Ë BÆrOM5 sOOF𠜗«œ œułË vFU< UN¬ sOÐ t5 «—

q?J?ý o?ÐU?D?< ¨—U5Ås¹« È«dÐ≥ Y?K?¦< ÈÅt?¹Ë«e?«ÅrzU:ABC Ÿö?« Ë Áœ«œ q?O?JAð «— AC Ë BC«—

ÈÅtK[U Ær¹«ÅÁœd5 ÈdOÖÅÁ“«b«ABøXÝ« d²< bMÇ

∫r¹—«œ À—užU¦O ÈÅtDЫ— o³Þ (BC)2 = (AC)2 + (AB)2

602 = 36

2 + (AB)2 ⇒ (AB)2 = 602 − 36

2

(AB)2 = 2304

AB = 2304 ⇒ AB = 48m

µvÝbM¼ ÈU¼ÅqJý tÐUAð X³" “« ÁœUH²Ý« UÐ ‰uÞ ÈÅt³ÝU× ‡‡ÅÅ

±ÅÅ҇µtÐUAð X³" n¹dF𠇇ÅÅÅ

Ë bM¹uÖÅv< tÐUAð X³ ʬ tÐ t5 XÝ« v²ÐUŁ œbŽ dþUM²< Ÿö« sOÐ X³ÅŨtÐUA²< qJý Ëœ —œ

ò ·dŠ UÐ «— ʬKÆbM¼œÅv< ÊUA å

ö¦<Î YK¦< Ëœ —œ ABC Ë ADE qJý® bM²¼ tÐUA²< t5 ¥∫r¹—«œ ©

ABAD

= ACAE

= BCDE

= K

qJý≥

qJý¥

ÅÅÅ∏Å

≤ÅÅ҇µtÐUAð X³" œdЗU@ ‡‡ÅÅÅ

‰U¦±∫ qJý —œ µ jš ÅBClK È“«u<

DE Y?K¦< Ëœ vMF¹ ªXÝ« ABC Ë ADEt?ÐUA²<

∫r¹—«œ Ë bM²¼

d????²???< AB = 9 d????²???< ¨ BD = 18d????²???< Ë

BC = 4 lK ‰uÞ ¨DEøXÝ« d²< bMÇ

Å∫ÅÅqŠ∫r¹—«œ tÐUAð X³ n¹dFð o³ÞÅÅ

ABAD

= BCDE

d²< 9

9 + 18= 4

DE ⇒ DE = 4× (9 + 18)9

⇒ DE = 12

‰U?¦≤∫ ÈÅt?D?I? ÈÅtK[U rO¼«ušÅv< A ÈÅt?DI “« «— Bœ—«œ —«d?: tUšœË— ·dÞ Ê¬ —œ t5

qJý®∂Ær¹—ˬ XÝœÅtÐ ¨©

qJýµ

qJý∂

ÈdOÖÅÁ“«b"« l"U

t"UšœË—

ÅÅÅÅÅπ

ÈÅtDIC Y?K¦< t5 rOM5Åv< »UV²« ÊUMÇ «— ABCŸU?Hð—« fáÝ ÆbýUÐ t¹Ë«e«ÅrzU: YK¦< p¹

CH ‰uÞ ¨ —u[Ås¹« —œ ÆrO¹ULÅv< ÈdOÖÅÁ“«b« «— q[«u Ë sOOFð «— ABÈ«dÐ ÆXÝ« t³ÝU×< qÐU:

d²< tQ< s¹« —œ ‰U¦< AH = 4 d²< Ë AC = 36 ÈÅtDI Ëœ ÈÅtK[U Ær¹«ÅÁœd5 ÈdOÖÅÁ“«b« «— AËÅÅÅÅ

BøXÝ« d²< bMÇ

∫qŠ YK¦< Ëœ ABC Ë ACHs¹«dÐUMÐ ª©bM²¼ ÈËU< YK¦< Ëœ s¹« ÈU¹«Ë“ ÊuÇ® b«ÅtÐUA²<

∫r¹—«œ Ë œuÐ bM¼«uš VÝUM²< ¨dþUM²< Ÿö«

ABAC

= ACAH

∫t−O² —œ

AB36

= 36

4

∫r¹—«œ Ë d²<

AB = 36 × 36

4⇒ AB = 324

s¹dLð

± ‰u?Þ t?Ð »u?Ç p?¹ “« ¨ÊU?L?²?šU?Ý p?¹ ŸU?Hð—« sOOFð È«dÐ ‡‡≥ d?²< (DF = 3m)o?ÐU?D<

ÅÅqJý∑ dЫdÐ sO<“ “« dþU rAÇ ÈÅtK[U t5Åvð—u[ —œ ÆXÝ« Ábý ÁœUH²Ý« (GH = 1/ 70m)1/ 70m

Ë HF = 2m Ë FB = 18m ÊUL²šUÝ ŸUHð—« ¨býUÐ ABÆbOM5 sOOFð d²< VŠdÐ «—

qJý∑v"UL²šUÝ ÈUL" p¹ —œ rOÝdð ‰uP« ‡‡

ÅÅű∞Å

t"UšœË—

qJý∏

qJýπ

≤‡‡ ÈÅtDI Ëœ ÈÅtK[U sOOFð È«dÐB Ë AÈÅt¹Ë«e«ÅrzU: ÈU¼ÅYK¦< œ—«œ œułË UN¬ sOÐ vFU< t5

ACE Ë BCD ÈÅtDI Ëœ ÈÅtK[U Ær¹«ÅÁœd5 UMÐ «— B Ë AÆb¹—ˬ XÝœÅtÐ d²< ÅVŠdÐ «—

≥ ‡‡ ÈU¼Å‰uÞ ¨tUšœË— p¹ ÷dŽ sOOFð È«dÐDC Ë AC Ë AE÷dŽ Æb«ÅÁbý ÈdOÖÅÁ“«b«

øXÝ« d²< bMÇ tUšœË—

¥ ÈU¼uCŽ ‰uÞ ÈÅÁ“«b« ‡‡d¨e¨ f Ë g qJý oÐUD< tULŠ —œ «— ±∞Æb¹—ˬ XÝœÅtÐ

L

qJý±∞

ÅÅÅÅű±

µ ‡‡ÅÅ ÈÅt?D?I Ëœ ÈÅtK[U sOOFð È«dÐA Ë B

Á«uVœ YK¦< ¨œ—«œ œułË UN¬ sOÐ vFU< t5ABE

Ÿö??« ‰u??Þ Ë Áœd??5 U??M??Ð «—AE Ë BEÁ“«b??« «—

® r¹«Åt² dÖ AE = 35m Ë BE = 20m©¨v dÞ “« Æ

b?M?U?< Èd~¹œ YK¦<CED‰u?Þ Ë t?² dÖ dE —œ «—

® Ær¹«ÅÁœd5 ÈdOÖÅÁ“«b« «— ʬ Ÿö« CE = 3 / 5m

Ë ED = 2m Ë CD = 4m© ◊UI ÈÅtK[U ÆAË

BÆbOM5 sOOFð d²< VŠdÐ «—

∂ÈÅt?D?I? Ëœ ÈÅt?K?[U? Èd?OÖÅÁ“«b« È«dÐ ‡‡ÅÅ

A ËB ÈÅt?D?I?® B q?J?ý o?ÐU?D?< ±≤·d?Þ Ê¬ —œ

«— v?¹U?¼ÅY?K?¦?< ©býUÐÅv< ”d²Ýœ “« —Ëœ Ë tUšœË—

ÈU?????¼Å‰u?????Þ Ë Áœd?????5 r?????Ý— q?????J?????ý o?????ÐU?????D????<

AH = 14 / 35m Ë AC = 26 / 78m«—

‰uÞ ¨r¹«ÅÁœuL ÈdOÖÅÁ“«b«ABÆbOM5 t³ÝU×< «—

∂©vðU¦K¦ ÈU¼ÅX³"® vðU¦K¦ jЫ˗ “« ÁœUH²Ý« UÐ ‰uÞ ÈÅt³ÝU× ‡‡ÅÅ

±‡‡∂∫©vðU¦K¦ ÈU¼ÅX³"® vðU¦K¦ vKP« jЫ˗ n¹dF𠇇ÅÅjЫ˗ t¹Ë«e«ÅrzU: YK¦< d¼ —œ

‰Ëbł —u[ÅtÐ ©vðU¦K¦< ÈU¼ÅX³® vðU¦K¦< vK[«¥ ÆœuýÅv< n¹dFð

qÐUI<ÅlK qÐUI< lK

‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡X«óUð Ω Ω tg ‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡

Ω ”uMOÝΩ

sin—ËU−< lK dðË

—ËU−<ÅlK —ËU−<ÅlK

‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡Ω

X«óU²5 Ω cotg ‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡

Ω ”uMO5

Ω cos

qÐUI<ÅlK dðË

‰Ëbł¥

l"U

qJý±±

qJý±≤

t"UšœË—

ÅÅű≤Å

∫‰U?¦ t?¹Ë«e?«År?zU: YK¦< —œABC q?Jý ±≥ ÈÅt?¹Ë«“ È«d?Ð v?ðU?¦K¦< vK[« jЫ˗ ¨αs?OMÇ

∫œuýÅv< n¹dFð

sin α = ac cos α = b

c tgα = ab cot gα = b

a

UIO:œ åX«óUð Ë ”uMO5 Ë ”uMOÝò q¦< U¦K¦< UŠöD[«Îv¹U¼ÅÁ˛«Ë ÈÅtLłdð

‡‡ tł«uš åŸU²I«ÅnA5ò »U²5 ’uBšÅtÐ Ë v«d¹« ÊU«œÅvU¹— ÈU¼Åt²ýu —œ t5 XÝ«

U?O?U¹— “« È«ÅtMO<“ êO¼ —œ l:«Ë—œ ÆXÝ« t² — —U5ÅtÐ vÝuÞ s¹b«dOBÈ«Åt?³ÝU×<

ÊU«œÅvU¹— ÈÅtKOÝËÅtÐ t5 X U¹ «— È—u²Ýœ U¹ ÊuU: Ê«uðÅvL U¦K¦< Ë d³ł Ë »UŠ q¦<

ÆbýUÐ ÁbA nA5 v«d¹«

s¹dLð

ÈÅt¹Ë«e«ÅrzU: YK¦< —œABC qJý ±≥ ÈÅt¹Ë«“ È«dÐ «— vðU¦K¦< vK[« jЫ˗ βÆbO¹uMÐ ‰Ëbł —œ

sin β = −−−−− cos β = −−−−− tgβ = −−−−− cot gβ = −−−−−

≤‡‡∂∫vðU¦K¦ ÈU¼ÅX³" ÈœbŽ d¹œUI ‡‡ÅÅÈÅt¹Ë«“ d¼ È«dÐ vðU¦K¦< ÈU¼ÅX³ d¹œUI< tAOL¼

‰Ëbł —œ ÆXÝ« v²ÐUŁ —«bI< ¨sOF<µ ÈU¹«Ë“ vðU¦K¦< ÈU¼ÅX³ ÈœbŽ —«bI< 0o

¨ 30o

¨ 45o

¨ 60o

Ë 90o

ÆbOM5Åv< tEŠö< «—

qJý±≥

‰Ëbłµ ÈU¹«Ë“ vðU¦K¦ ÈU¼ÅX³" ‡‡ÅÅÅ 0o

Ë 30o

Ë 45o

Ë 60o

Ë 90o

Å

ÈÅt¹Ë«“ α α 30

o 0

o

vðU¦K¦ X³"

±

3

2

2

2

1

2∞sin α

∞

1

2

2

2

3

2±cos α

ÁbA n¹dFð 3±

3

3∞ tgα

∞

3

3± 3ÁbA n¹dFðcotgα

90o 60

o 45

o

ÅÅÅÅű≥

∫tłuðôuLF< vM œ«d «Î ‰Ëbł œ«bŽ« µÈU¼Å‰Ëbł “« U¹«Ë“ d¹UÝ È«dÐ Ë b—UáÝÅv< dÞUšÅtÐ «—

UÐ »UŠ ÈU¼ÅsOýU< UÐ vðU¦K¦< ÈU¼ÅX³ “« ÁœUH²Ý« ÆbMM5Åv< ÁœUH²Ý« »UŠ ÈU¼ÅsOýU< U¹ vðU¦K¦<

vðËUH²< ÈU¼ÅaÝUÄ b«uðÅv< ¨dðœËb×< È—UAŽ« ÂU:—« UÐ vðU¦K¦< ÈU¼Å‰Ëbł Ë dðÅgOÐ È—UAŽ« ÂU:—«

ÆbM5 q[UŠ «—

≥‡‡∂vðU¦K¦ ÈU¼ÅX³" œdЗU@ ‡‡ÅÅ

‰U¦±∫ qJý —œ ±¥ ŸUHð—« h∫rOM5Åv< t³ÝU×< «—

Æ©bO¼œ `Ouð «— ʬ qOœ® rO¹ULÅv< ÁœUH²Ý« ”uMOÝ ÈÅtDЫ— “« dEœ—u< qJý È«dÐ

sin α = h42

d²<

sin 30

o = h42 ⇒ 1

2= h

42 h = 42×1

2= 21

d²< d²<

‰U¦≤∫ —«œÅVOý ‰uÞ AB = 74 / 56mt5Åvð—u[ —œ Ær¹«ÅÁœd5 ÈdOÖÅÁ“«b« sO<“ ÈË— —œ «—

VOý ÈÅt¹Ë«“ α = 37o2 ′0 sOÐ vI « ÈÅtK[U ¨býUÐ A Ë BøXÝ« d²< bMÇ

∫qŠ qJý tÐ tłuð UÐ ±µ ∫r¹—«œ cos α = DL

∫r¹—«œ s¹«dÐUMÐ D = L.cos α

qJý±µ

qJý±¥

“« vI« ÈÅtKPU A Uð BΩ D

ÅÅű¥Å

∫r¹—«œ »U²5 ÈUN²« vðU¦K¦< ÈU¼Å‰Ëbł “« ÁœUH²Ý« UÐ

cos α = cos 37o2 ′0 = 0/ 7951

∫r¹—«œ ‰u<d —œ UN¬ È—«cÖÅÈUł UÐ

D = 74 / 56m ×0/ 7951 = 59 / 28m

A

B

C

c

b

a

U¼Å”uMOÝ tDЫ—

asinA

= bsinB

= csinC

YK¦< qŠ rN< ÈU¼Å‰u<d “« vJ¹

Áœd5 U³Ł« ÈœuF< ÊuU: »U²5 ÂuÝ tUI< “« r²A¼ qB —œ «—Åʬ vËdOÐ t5 býUÐÅv<

ÆXÝ«

qJý±∂

a

sin A=

b

sin B=

c

sin C

ÂU?~?M?¼ —œ v?ðU?¦?K?¦?< Ád¹«œ ŸUFý s² dÖ bŠ«Ë vËdOÐ «—UJ²Ð« s¹dðÅrN< “« vJ¹

‡?‡ v?ðU?¦?K?¦< ◊uDš® U¼ÅVOł t³ÝU×<sinÈU?¼ÅV?O?ł ‰Ëbł dÖ« t5 È—uÞÅtÐ býUÐÅv< ©

v¹U¼Å”uMOÝ ‰Ëbł XÝ—œ rOM5 q¹b³ð vU~¼œ —ULý ÁU~²ÝœÅtÐ «— ÈœuF< ÊuU: »U²5

ÆœuýÅv< q[UŠ r¹dÐÅv< —U5ÅtÐ Á“Ëd<« t5 «—

¥‡‡∂hYAdOž YK¦ —œ ‰uÞ ÈÅt³ÝU× ‡‡ÅÅ

∫U¼Å”uMOÝ ÈÅtDЫ—qJý bMU< hVA<dOž YK¦< d¼ —œ

±∂∫r¹—«œ

ÅÅÅÅűµ

‰U?¦±∫ Y?K?¦< —œ ABC q?Jý® ±∂¨© a = 45m‰uÞ Ë A∧

= 37o

Ë B∧

= 118o

ÆX?Ý«

‰uÞbøXÝ« d²< bMÇ

∫qŠ∫rO¹uÅv< «— U¼Å”uMOÝ ÈÅtDЫ—

a

sin A=

b

sin B⇒

45m

sin 37o

=b

sin118o

→ b =sin118

o

sin 37o

× 45m =0/ 8830

0/ 6018× 45m

b = 66 /02m

‰U¦≤∫ qJý —œ±∑lK Ëœ ‰uÞ ÆXÝ« ÂuKF< YK¦< lK p¹ ‰uÞ Ë t¹Ë«“ tÝ ÈÅÁ“«b«

øXÝ« —b:ÅtÇ d~¹œ

∫qŠ∫r¹dOÖÅv< dE—œ «— U¼Å”uMOÝ ÈÅtDЫ—

asin A

= bsin B

= csin C

ÈÅt³ÝU×< È«dÐa∫r¹—«œ

asin A

= csin C

a(sin C) = c(sin A)

a = sin A

sin C× c ⇒ a = sin117

o1 ′7

sin26o2 ′3

×6m

a = 0/ 88875

0/ 44437×6m → a = 12m

qJý±∑

ÅÅű∂Å

ÈÅt³ÝU×< È«dÐb∫r¹—«œÅÅ

bsin B

= asin A

U¹

bsin B

= csin C

∫rOM5Åv< ÁœUH²Ý« ‚u ÈÅtDЫ— Ëœ “« vJ¹ “«b = sin Bsin C

× c

b = sin 36

o2 ′0

sin26o2 ′3

×6m = 0/ 59248

0/ 44437×6 = 7 / 9997 → b ~8m

s¹dLð

±® vðU¦K¦< ÈU¼ÅX³ d¹œUI< ‡‡cotg Ë tg Ë cos Ë sin‰Ëbł “« ÁœUH²Ý« UÐ d¹“ ÈU¹«Ë“ È«dÐ «— ©

∫b¹—ˬ XÝœÅtÐ »U²5 ÈÅtLOL vðU¦K¦<

75o3 ′0Ë 88

o4 ′0Ë 38

o5 ′0Ë 48

o1 ′0Ë 15

o2 ′0

≤ ŸUHð—« tÐ vłdÐ “« ÊUÐÅÁb¹œ p¹ ‡‡µ± ÈÅt¹Ë«“ X×ð «— v²A5 p¹ Êbý p¹œe d²< 4o ,5 ′0

bŠ® «— ÃdÐ Uð v²A5 ÈÅtK[U ÆbM5Åv< Áb¼UA<ÒÅÅÅÅq[U aÆbOM5 »UŠ d²< tÐ ©

qJý±∏

v²A@

qJý±π

≥‡‡ qJý oÐUD< È«ÅtFD: —œ ±π d¹œUI< Æbý b¼«uš œU−¹« v¹U¼ÅŒ«—uÝ ¨ÅsOÄ —«dI²Ý« È«dÐ x Ë y

Æb¹—ˬ XÝœÅtÐ «—

ÅÅÅÅű∑

¥ qJý —œ ‡‡≤∞ —«bI< LÆb¹—ˬ XÝœÅtÐ «—

qJý≤∞

qJý≤±

L

a

µò ‰uÞ ÈÅt³ÝU×< È«dÐ È«ÅtDЫ— ‡‡ÅÅl å tFD: ÈÅt¹Ë«“ Ë Ád¹«œ ŸUFý VŠdÐ ¨Ád¹«œαbO¹uMÐ

qJý®≤±Æ©

∂ qJý oÐUD< vuJ< ÊUL²šUÝ p¹ @MO5—UÄ n5 ‡‡ÅÅ≤≤ 1/ 80ÊUÐUOš n5 “« dðÅsO¹UÄ d²<

VOý t5Åvð—u[ —œ ÆXÝ« Ó

©Á«— v?uÞ VOý® é<— -15øb?ýUÐ d²< bMÇ b¹UÐ é<— vI « ‰uÞ ¨býUÐ

®Ó

ÕuDÝ t5 XÝ« È—«œÅVOý `DÝ ¨é<—©ÆbM5Åv< q[Ë d~¹bJ¹ tÐ «— ŸUHð—« ·ö²š« UÐ

VOý Ó∫é—vI « ‰uÞ tÐ «— ŸUHð—« ·ö²š« X³ Ó

ÆbM¹uÖÅv< åé<— VOýò ¨é<—

ÅÅű∏Å

∑ ‡‡ ‰uÞ ÈÅÁ“«b«h qJý oÐUD< —«œÅVOý nIÝ —œ «— ≤≥Æb¹—ˬ XÝœÅtÐ

qJý≤≤

@MO@—UÄ n@

ÊUÐUOš n@

qJý≤≥

qJý≤¥

∑jO× ÈÅt³ÝU× ‡‡

±‡‡∑U?Ð X?Ý« d?Ыd?Ð ©ìË v?FKÅZMÄ ¨vFK—UNÇ ¨vFK tÝ® U¼ÅvFK bMÇ jO× ‡‡

UN"¬ Ÿö« ŸuL−

‰U?¦±∫ q?J?ý o?ÐUD< vMO<“ œUFЫ ≤¥Êœd?5 —u?B?×?< È«dÐ rO¼«uVÐ t5 vð—u[ —œ ÆXÝ«

ÅÅÅÅűπ

r¼ “« —«œ—Uš rOÝ vÐuÇ ÈU¼Å„dOð ÈÅtK[U Ë rOM5 ÁœUH²Ý« —«œ—Uš rOÝ “« ¨sO<“≥bMÇ ¨býUÐ d²<

‰uÞ ¨ÅÅœuý ÁœUH²Ý« —«œ—Uš rOÝ n¹œ— —UNÇ “« tâUMÇ øXÝ« “ô —U5 s¹« È«dÐ vÐuÇ „dOð œbŽ

øXÝ« d²< bMÇ v dB< —«œ—Uš rOÝ

‡‡ ne« ∫qŠ

±∫rOM5Åv< »UŠ «— vFK —UNÇ jO×< ‰uÞ ‡‡

L = 180 + 45 + 180 + 45 = 450m

≤∫rOM5Åv< „dOð Ëœ ÈÅtK[U dÐ rOIð «— jO×< ‰uÞ ‡‡

©jO×<® q5 ‰uÞ“ô „dOðœ«bFð n =

(m) (m)

=450

3= 150

ÅÅÅÅÅÅÅÅ

r¼ “« „dOð Ëœ ÈÅtK[U

ÅÅ҇ »

≥ ‡‡¨b?šd?ÇÅv< sO<“ —Ëœ tÐ t³ðd< —UNÇ t5Ås¹« tÐ tłuð UÐ ¨—«œ—Uš rOÝ ‰uÞ ÈÅt³ÝU×< È«dÐ

∫rOM5Åv< qLŽ d¹“ ‘Ë—ÅtÐ

“ô —«œ—Uš rOÝ ‰uÞ 450× 4 = 1800m

≤‡‡∑ ŸUFý tÐ Ád¹«œ jO× ‡‡r∫UÐ XÝ« dЫdÐ

u = 2π r

∫‰U¦ ŸUFý tÐ Ád¹«œ jO×< 5cm∫UÐ XÝ« dЫdÐ 2× 3 /14× 5cm = 31/ 4cm

≥‡‡∑ ÈÅt¹Ë«“ tÐ qÐUI ÈÅÁd¹«œ ”u= ‰uÞ ‡‡α∫UÐ XÝ« dЫdÐ

L = 2π r × α

360o

‰U¦±∫ qJý —œ ≤µ ”u: ‰uÞ L∫rOM5Åv< t³ÝU×< «—

L = 2π r × α

360o = 2× 3 /14×10m × 36

o

360o

L = 6 / 28m

qJý≤µ

ÅÅÅ≤∞Å

‰U?¦≤∫ q?J?ý o?ÐU?D?< È«ÅtFD: ¨“UÖ UÐ ‘dÐ ‘Ë— “« ÁœUH²Ý« UÐ≤∂Áb?¹dÐ Èœôu ‚—Ë “«

©ÆXÝ« d²<ÅvKO< VŠdÐ U¼ÅÁ“«b«® øXÝ« d²< bMÇ ‘dÐ dO< ‰uÞ ªbý b¼«uš

∫qŠ¨tFD: jO×< Êœ—ˬ XÝœÅtÐ È«dÐ ÆXÝ« tFD: jO×< ÊUL¼ ¨‘dÐ dO< ‰uÞ “« —uEM<

ÈU¼Å‰uÞ tÐ «— ʬ jO×< «b²Ð« l1 ¨

l2 ¨

l3

¨ l4 Ë

l5 ªrOM5Åv< pOJHð UN¬ “« p¹d¼ ‰uÞ fáÝ

ÆrO¹ULÅv< lLł r¼ UÐ «— UN¬ Ë Áœd5 t³ÝU×< «—

U = l1 + l2 + l

3+ l4 + l5

l1 = 200mm

l2 = d2 × π2

= 400mm × 3 /14

2= 628mm

l3

= 200mm − 80mm = 120mm

l4 = d4 × π4

= 160mm × 3 /14

4= 125 / 6mm

l5 = 400mm − 80mm = 320mm

ÅÅÅÅ U = 200mm + 628mm + 120mm + 125 / 6mm + 320mm = 1413 / 6mmÅÅ

U = 1/ 414m

¥‡?‡∑∫v?C?O?Ð j?O?×? ‡‡Ë ÁœU?Ý ‰u?<d

Æœ—«b œułË vCOÐ jO×< ÈÅt³ÝU×< È«dÐ vIO:œ

p?¹ “« t5 XÝ« È«ÅÁd¹«œ vCOÐ t5Ås¹« ÷d UÐ U<«

ŸUFý Ëœ È«—«œ Ë Ábý ÁbOA5 XNła Ë bbýUÐÅv<

q?Jý®≤∑j?O?×?< ÈÅt?³?ÝU×< v³¹dIð ÈU¼Å‰u<d ©

qJý≤∂

Ω —eÐ dD= nB"a

Ω pÇu@ dD= nB"b

qJý≤∑

ÅÅÅÅÅ≤±

R

r

R

qJý≤∏

qJý≥∞

qJý≤π

qJý≥±

∫“« b«Å —U³Ž vCOÐ

dðÅgOÐ X:œ UÐ u = π 2(a2 + b2) Ë dðÅr5 X:œ UÐu = π (a + b)

s¹dLð

± ÈU?¼Åq?J?ý v?ł—U?š Ë v?Kš«œ jO×< ‡‡≤∏ ¨Å≤π Ë ≥∞Áb?ý Áœ«œ ÈU?¼ÅÁ“«b?« tÐ tłuð UÐ «—

©ÆbýUÐÅv< d²< tÐ U¼ÅÁ“«b«® ÆbOM5 t³ÝU×<

≤ qJý ©ÊuOÝ«bu ® È“UÝd¹“ jO×< ‡‡≥±Æb¹—ˬ XÝœÅtÐ d²< tÐ «—