ANNEXES

1

A Le formalisme lagrangien.A.1 Le formalisme lagrangien en mé anique lassique.La fon tion de Lagrange (le Lagrangien L) est un outil important en mé anique lassique. Si q(t) et .q(t) = dq/dt sont les oordonnées et les vitesses généraliséesde l'objet en question, on peut é rire dans un bon nombre de problèmes :

L = L(q(t),.q(t)) (A.1.1)L'a tion est dénie par (gure A.1.1) :

q

t

t

q1

2

x

y

Fig. A.1.1 Diérentes traje toires pour la dénition de l'a tion S.S ≡

t2∫

t1

dtL(q,.q) (A.1.2)Par le prin ipe de moindre a tion de Hamilton, on tire les équations du mou-vement :

δS = δ

t2∫

t1

dtL(q,.q) = 0 Hamilton (A.1.3)L'objet suit la traje toire qui minimise S. On demande don que l'a tion soitstationnaire. 2

Si L dépend seulement de q et de .q, le prin ipe de Hamilton est satisfaitlorsque :

∂L

∂q=

d

dt

(

∂L

∂.q

) Euler-Lagrange (A.1.4)Exemple : objet de position x et vitesse .x, L = 1/2 m

.x

2 − V (x), V (x) est unpotentiel. Euler-Lagrange implique : m ..x = −dV/dx, e qui est ohérent ave laloi de Newton si l'on a F = −dV/dx.A.2 Le formalisme lagrangien en théorie des hamps.Dans la théorie des hamps, on introduit une densité lagrangienne, £ :

£ = £(φ(x), ∂µφ(x)) (A.2.1)qui ontient le hamp φ(x) et son gradient 4-dimensionnel :∂µφ(x) =

∂

∂xµφ(x) (A.2.2)L'a tion est dénie par :

S ≡t2

∫

t1

dt

∫

V

d3x£(φ, ∂µφ) ≡∫

V t

d4x£ (A.2.3)Le prin ipe de moindre a tion s'exprime par δS = 0, e qui donne les équationsde Euler-Lagrange :∂£

∂φ(x)=

∂

∂xµ

(

∂£

∂(∂µφ)

) (A.2.4)Si £ est un s alaire de Lorentz la théorie basée sur B.2.1 est ovariante.Exemples :1) Champ massif φ(x) qui se transforme omme un s alaire ou un pseudos a-laire de Lorentz. On adopte la densité lagrangienne :£ =

1

2

[

∂φ

∂xµ

∂φ

∂xµ−m2φ2

]

=1

2

[

gµν ∂φ

∂xν

∂φ

∂xµ−m2φ2

] (A.2.5)L'appli ation de l'éq. d'Euler-Lagange donne :∂£

∂φ= −m2φ

∂

∂xµ

(

∂£

∂(∂µφ)

)

= gµν ∂

∂xµ

1

2

(

2∂

∂xνφ

)

= ∂µ∂µφ = 2φ (A.2.6)3

On obtient l'équation de Klein-Gordon pour un boson libre :(2 +m2)φ = 0 (A.2.7)2) Champ massif qui se transforme omme un spineur de Lorentz (parti ulede Dira ). A partir de la densité lagrangienne :

£ = [−i(∂µψ)γµ −mψ]ψ ave ψ ≡ ψ†γ0 (A.2.8)l'éq.d'Euler-Lagrange amène (exer i e) à l'équation de Dira pour un fermionlibre :(iγµ∂µ −m)ψ = 0 (A.2.9)A partir de la densité lagrangienne :

£ = ψ[iγµ∂µψ −mψ] (A.2.10)l'éq.d'Euler-Lagrange amène à l'équation de Dira pour un antifermion libre :i(∂µψ)γµ +mψ = 0 (A.2.11)3) Champ ve toriel (spin 1 ) sans masse, p.ex. le hamp éle tromagnètique. Ladensité lagrangienne peut être é rite :

£ = −1

4FµνF

µν − jµAµ, où : (A.2.12)Fµν = ∂µAν − ∂νAµ où :L'éq.d'Euler-Lagrange onduit (exer i e) aux équations de Maxwell sous leurforme ovariante :

∂µFµν = jν (A.2.13)

4

B Se tion e a e et taux de transition.B.1 La se tion e a e.Considérons une ible onstituée d'une matri e de petites sphères de se tiondroite S m2, ave D sphères/ m2 ( e qu'on appelle la densité super ielle).Un fais eau homogène de proje tiles de dimension négligeable est dirigé sur ette ible. Le fais eau ouvre une surfa e A sur laquelle on ompte T parti ules/se .Le ux vaut don F = T/A. Au total, on a N = DA entres diuseurs dans lasurfa e A, ouvrant une surfa e totale SN = SDA. Le taux de ollisions totalvaut : taux = T (SDA/A) = TSD = FASD = FNSLe taux par unité de ux du fais eau in ident (F = 1) et pour une sphère (N = 1)vaut S. La se tion droite de la sphère S représente la propriété intrinsèque dupro essus physique en question. Le ux F et la densité super ielle D dépendentde la situation expérimentale.Dans un ontexte plus général, S n'est pas la se tion géométrique de l'élé-ment ible,mais sa valeur dépend de l'a tion à distan e des hamps. C'est lase tion e a e σ du pro essus. L'expérien e destinée à la mesure de σ est du typede la gure B.1.1.Faisceau

RoutR CibleinFig. B.1.1 S héma de l'expérien e type destinée à la mesure de la se tion e a etotale σ.Le ux in ident est ontrlé par le ompteur Rin qui inter epte une surfa eA du fais eau in ident. La ible est susamment large pour que tout le fais eauinteragisse ave elle. La ible est très min e, de façon à pouvoir négliger les inter-a tions multiples. Le ux sortant est mesuré par le ompteur Rout. Si l'on enlèvela ible, on doit avoir Rin = Rout (si ela n'est pas exa tement le as, on peutee tuer quelques orre tions, à posteriori...). Ave la ible en pla e, le taux dedisparition est Rin − Rout. La se tion e a e vaut :

σ =Rin − RoutδNF

, où5

δN est le nombre de diuseurs tou hés et F le ux in ident. δN se al ule à partirde l'épaisseur de la ible δx, du nombre de diuseurs par unité de volume ρ et dela surfa e tou hée A :δN = δxAρLe ux vaut :

F =RinA

, don :σ =

A(Rin − Rout)δxAρRin =

Rin −RoutRin 1

δxρSi l'épaisseur n'est pas petite par rapport au libre par ours moyen des parti ulesdu fais eau dans la ible, il faut pro éder par intégration, e qui donne :R(x) = Rine−σρxCette méthode s'applique à la détermination de la se tion e a e totale.

elementde detecteur

’ ’’

Rin Cible

Faisceauθ

δΩ

Fig. B.1.2 S héma de l'expérien e type destinée à la détermination de la se tione a e diérentielle angulaire.Le pro essus étudié peut amener à la disparition des parti ules du fais eau,ou peut donner lieu à la diusion élastique. Dans e dernier as, les parti ulesdu fais eau se retrouvent dans l'état nal ave une impulsion diérente de ellequ'elles avaient avant la ollision.On est parfois intéressé à onnaître la distribution angulaire d'une (ou plu-sieurs) espè e de parti ules dans l'état nal. La situation expérimentale est s hé-matisée dans la gure B.1.2.Un déte teur observe une position d'angle solide δΩ, située à un angle θ parrapport à la dire tion du fais eau. Le omptage se faisant sur l'élément d'angle6

solide, l'observation d'un pro essus donné p (par ex. : la présen e de neutronsd'énergie E ≥ 2.5 GeV ou elle de photons d'énergie E dans la fenêtre [1, 1.2GeV, et .) permet de déterminer la distribution angulaire δNp/δΩ (ou δNp/δ cos(θ)si ette distribution est indépendante de φ).Théoriquement on est don onduit à introduire une se tion e a e diéren-tielle pour le pro essus p : dσp(θ,φ)dΩ

. Une fois l'expérien e ee tuée, il faut omparerδNp/δΩ et dσp/dΩ onvenablement normalisés. L'intégration permet en prin ipede al uler la valeur totale σp tot. Remarquez que d'autres sortes de se tions ef- a es diérentielles sont utilisées, par ex. dσp/dE est le spe tre en énergie,on a aussi d2σp/dΩ dE., et . Parfois on réduit les di ultés de normalisation endonnant une distribution relative du type dσp(θ,φ)

dΩ/σp tot.B.2 Règle d'or de Fermi.On présente i i les outils théoriques utilisés pour la prédi tion des se tionse a es et des taux de transition. La règle d'or de Fermi est la base de tout al ulde e genre.On prépare le système dans un état ψ en général état propre de l'Hamiltonienlibre H0 (par ex. un fais eau de parti ules quasi-monoénergétiques).

ψ(t) = φi(x) exp(−iEit/~) (B.2.1)ave :H0φi = Eiφi (B.2.2)Au temps t on rée une petite perturbation V (t) :H = H0 + V (B.2.3)Le système évolue vers un état ψ(t) diérent de l'état libre. Cet état est dé rit omme une superposition des états propres de l'Hamiltonien libre :

ψ(t) =

∞∑

n=0

cn(t)φn exp(− i

~Ent) , où (B.2.4)

H0φn = Enφn (B.2.5)| cn(t) |2 est la probabilité de trouver le système dans l'état n, au temps t.On a :

i~∂tψ(t) = (H0 + V )ψ(t) (B.2.6)Si on introduit C.2.4 dans C.2.6 on obtient :i~

∞∑

n=0

∂tcntφn exp

(

− i

~Ent

)

=

∞∑

n=0

V cntφn exp

(

− i

~Ent

) (B.2.7)7

En multipliant par φ∗k exp

(

+ i~Ekt

) et en tenant ompte de l'orthogonalité desφn, on obtient l'équation d'évolution des ck :

i~dckdt

(t) =

∞∑

n=0

cn(t)(φk, V φn) exp

(

− i

~(En − Ek)t

) (B.2.8)=

∞∑

n=0

cn(t)Mkn exp

(

− i

~(En − Ek)t

)

, où :

Mkn(t) = (φk, V φn) =

(∫

d3xφ∗kV φn

) (B.2.9)On ne onsidère i i que le premier ordre de perturbation. Dans la -gure B.2.1 a, on néglige des bifur ations multiples, don le deuxième petit saut dela traje toire indiquée par un x. Le système évolue dire tement de l'état i à l'étatk.

100 N|c |k2

N|c |i2

Populationdes etats

,etat,

0

N

t

kx

t temps

k

i

00

a) b)

Fig. B.2.1 Au ours du temps l'état i se dépeuple ; si l'on avait N parti ules au départ,il en reste N | ci(t) |2, au temps t (gure B.2.1 b). Puisque la perturbation estpetite, ette variation est lente, | ci(t) |≈ te. L'état k se peuple ave un taux parunité de temps :W =

d

dt| ck(t) |2= 2 | ck(t) |

d

dt| ck(t) | (B.2.10)Or, ck(t) peut s'obtenir par intégration de C.2.8, si l'on admet V = te, à partirde t = 0 :

ck(t) =Mki

i~

∫ t

0

dt exp

(

− i

~(Ei −Ek)t

) (B.2.11)−→t→∞

Mki

i~~πδ(Ek − Ei)8

On a utilisé la relation :∫ −∞

+∞dt exp(− i

~Et) = 2π~δ(E) (B.2.12)En eet1, l'exponentielle os ille très vite, à moins que l'argument soit trèspro he de 0 (on peut s'imaginer qu'il s'agit là d'un exemple du prin ipe d'indéter-mination, qui permet de violer la onservation de l'énergie mais seulement dansles limites δEδt ≈ ~).En remplaçant dans C.2.10, on obtient le taux de transition par unité de temps,la onservation de l'énergie in luse :

Wi→k =2π

~| Mki |2 δ(Ek −Ei) (B.2.13)C'est une des présentations de la règle d'or de Fermi.En unités naturelles :

Wi→k = 2π | Mki |2 δ(Ek −Ei) (B.2.14)La version relativiste de ette relation est :Wi→k = (2π)4 | Mki |2 δ(pk − pi) (B.2.15)elle donne la probabilité de transition par unité d'espa e-temps.Puisque l'amplitude M ontient l'information physique, elle est un invariantde Lorentz. S'il s'agit d'un élément de matri e, on parle d'amplitude invarianteou de Feynman.Dans es relations les états initial et nal appartiennent à un spe tre ontinuou à un spe tre dis ret d'états. En pratique on a les situations suivantes :a) la ollision a+ b→ 1 + 2 + ...+ nb) la désintégration d'une parti ule i→ 1 + 2 + 3 + ... + nSi on a un état initial i et un ensemble ontinu d'états nal f , on dénit letaux de transitions par :

Wi→f =d

dt

(∫

| cf |2 ρ(Ef )dEf

)

, où (B.2.16)ρ ≡ dN

dEest la densité d'états par unité d'intervalle d'énergie.En utilisant C.2.10 et C.2.11, on obtient :

Wi→f =

∫

dEfρ(Ef ) | Mfi |22π

~δ(Ef − Ei)

=2π

~| Mfi |2 ρ(Ef ) (B.2.17)1Voir par exemple : Mé anique quantique Cl.Cohen-Tannoudji, B.Diu, F.Laloë, tome II,appendi e II, Ed. Hermann 9

ave la ontrainte Ef = Ei.C'est une présentation alternative et équivalente de la règle d'or de Fermi.Avant de traiter le al ul des termes inématiques, nous examinons ommentnormaliser les fon tions d'onde qui entrent dans le al ul de l'élément de matri e,C.2.9.B.3 Invarian e de Lorentz et normalisation.On onsidère une parti ule s alaire dé rite par la superposition d'ondes planes,solutions d'une équation omme C.2.5 :φ(x) = N exp(−ipx) (B.3.1)On voit que la phase est invariante sous la transformation de Lorentz, ar elleest le produit s alaire de deux 4-ve teurs x et p. Si ela n'était pas le as lesorbites de l'atome d'hydrogène de Bohr et de Broglie dé rites par un observateuren mouvement pourraient être hors de phase.Appelons J0 l'amplitude de probabilité de trouver une parti ule dans une ré-gion de volume unité au temps t. La probabilité de trouver la parti ule dansl'élément de volume dV est :dP =| J0dxdydz |2 (B.3.2)Si J0 est représenté par une densité ρ = φ∗φ = N∗N à la S hrödinger, on nesatisfait pas à l'invarian e de Lorentz ar ρ étant un s alaire : (ρdV )′ = ρ′dV ′ =

ρdV ′ = γρdV 6= ρdV .Pour que la parti ule ait une existen e indépendante de l'observateur, il fautque ρ soit du genre temps de façon à ompenser le terme espa e dV . Une formea eptable pour J0 est don ≈ EN∗N . Par exemple si on utilise 2.2.11 on a :J0 = 2E | N |2 (B.3.3)C'est une justi ation de la normalisation relativiste, soit 2E parti ules par unitéde volume. Il y a d'autres variantes, mais elle- i est simple.Le même raisonnement s'applique à l'amplitude de probabilité de transfert àtravers une surfa e orientée dS, que l'on é rit : JdSdt. I i J doit être proportionnelà la quantité de mouvement p de la parti ule, don :J = 2p | N |2 (B.3.4)Sous la forme 4-ve torielle :J = 2p | N |2 (B.3.5)C'est également e que l'on obtient en utilisant 2.2.11.10

B.4 Espa e de phase et taux de transition.En mé anique quantique le nombre d'états disponibles dans l'élément V d3pest donné par :dN =

V d3p

~3

1

(2π)3(B.4.1)En unités naturelles (~ = 1) :

dN =V d3p

(2π)3= V | p |2 d | p | dΩ (B.4.2)Cette relation exprime le nombre d'états a eptés par un élément innitésimalde déte teur d'ouverture angulaire dΩ et de fenêtre énergétique d | p | (voirgure B.4.1).Dans le as d'une ollision a + b → 1 + 2 + ... + n on s'intéresse à la se tione a e dénie omme la probabilité de transition par unité de densité de ux desparti ules a sur la ible b :

dσ(i→ f) =W

IdNf où (B.4.3)

I = ρaρbv

=v

V 2si on a une parti ule a (b) dans V ,

v = vab est la vitesse relative de a et b ,dNf = dN1dN2 ... dNn =

(

V

(2π)3

)n n∏

j=1

d3pjRemarquons que d'autres degrés de libertés peuvent être à prendre en ompte.Par ex. si l'on a un fais eau non polarisé, il apparaît la moyenne sur les états despin possibles, don une somme 12s+1

∑

m. Si l'on ne mesure pas la polarisation desparti ules de l'état nal, on a en ore une somme sur les états de spin possibles de es dernières.L'expression de la se tion e a e s'é rit :dσ(i→ f) =

(2π)4

vV 2 | Mfi |2

(

V

(2π)3

)n n∏

j=1

d3pjδ(pf − pi) (B.4.4)11

x

y

z

φ

δΩ

pθ

Fig. B.4.1 Si on utilise la normalisation relativiste (voir C.3), on doit rempla er V par 1/2E,pour ha une des parti ules de l'état initial :dσ(i→ f) =

(2π)4

v

1

2Ea

1

2Eb

| Mfi |2(

1

2π

)3n n∏

j=1

d3pj

2Ej

δ(pf − pi) (B.4.5)La partie espa e de phase, où densité d'états est donnée par le produit invariantde Lorentz (LIPS : Lorentz invariant phase spa e) :dLips (pa + pb, pj) = (2π)4

(

1

2π

)3n n∏

j=1

d3pj

2Ejδ(pf − pi) (B.4.6) e qui permet de simplier l'é riture :

dσ(i→ f) =1

v

1

2Ea

1

2Eb| Mfi |2 dLips (pa + pb, pj) (B.4.7)Dans le as d'une désintégration i → 1 + 2 + ... + n, on obtient d'une façonsemblable le taux de transition par unité de temps :

dΓ(i→ f) =(2π)4

2Ei| Mfi |2

(

1

2π

)3n n∏

j=1

d3pj

2Ejδ(pf − pi) (B.4.8)

=| Mfi |2

2EidLips (pi, pj)

Mfi et dLips sont des s alaires invariants de Lorentz. Don Γ se transforme omme 1/Ei, e qui est ohérent ave la dénition du temps de vie moyen d'uneparti ule τ = 1/Γ (on a posé ~ = 1). Pour un observateur en mouvement relatif,τ devient τ ′ = τγ. 12

B.5 Les fa teurs inématiques.Reprenons le as d'un pro essus : a + b → 1 + 2 + ... + n. La vitesse relativede a et b vaut (Mφller 1945) :v =

∣

∣

∣

∣

pa

Ea− pb

Eb

∣

∣

∣

∣

=

√

(papb)2 − (mamb)2

EaEb(B.5.1)valable dans tout système de référen e. Alors C.4.7 prend la forme :

dσ(i→ f) =1

4√

(papb)2 − (mamb)2| Mfi |2 dLips (pa + pb, pj) (B.5.2) e qui est une expression lairement invariante de Lorentz.Q. : montrer que v peut s'é rire aussi : v =

[P 2−(ma+mb)2][P 2−(ma−mb)

2] 12

2EaEb, où

P = pa + pb.Q. : al uler v : 1) pour une parti ule ible b immobile ; 2) dans le système de .m. de a et b ; 3) pour mb = 0.B.6 Exemple de al ul de dLips.Le al ul des dLips dépend de la onguration parti ulière du pro essus et del'interfa e ave l'expérien e2.Si on onsidère un pro essus 1 + 2 → 3 + 4, le dLips se réduit à :dLips(p1 + p2, p3, p4) =

δ(p3 + p4 − p1 − p2)

(4π)2

d3p3

E3

d3p4

E4

(B.6.1)Supposons que l'on observe la parti ule 3 dans l'élément d'angle solide dΩ3 = dΩ,on intégrera sur la parti ule 4 de façon à onserver (E,p) :∫

d3p4

E4

δ(p3 + p4 − p1 − p2) =

∫

d3p4

E4δ(p3 + p4 − p1 − p2)δ(E3 + E4 − E1 − E2) =

1E4

δ(

E3 +√

| p4 |2 +(m4)2 −E1 − E2

) ave p4 = p1 + p2 − p3

(B.6.2)De plus on a :

d3p3 = dΩ | p3 |2 d | p3 |= dΩ3 | p3 | E3dE3 (B.6.3)2Pour un traitement plus omplet de e sujet, voir par ex. Relativisti kinemati s, R. Hage-dorn, Ed. Benjamin, In , hap. 7. Voir également la table PDG sous Kinemati s.13

ar (E3)2 =| p3 | +(m3)

2.On obtient :dLips(p1 + p2, p3, p4) =

δ(Ef −Ei)

(4π)2

p3dE3dΩ3

E4

(B.6.4)Considérons le as parti ulier d'une diusion élastique vue de son .m. On a :m1 = m3 ; m2 = m4état initial : p1 = (E1,p) , p2 = (E2,−p) , E1 + E2 = Eiétat nal : p3 = (E1,p

′) , p4 = (E2,−p′) , E3 + E4 = Efet p = |p| = |p′| , E23 = p2 +m2

1 , E24 = p2 +m2

2 e qui entraîne :E3dE3 = E4dE4 = pdp =⇒ dE3

dE4

= E4

E3

=⇒ dEf

dE3

=Ef

E4

=⇒ dE3

E4

=dEf

EfEn remplaçant dans C.6.4, on obtient :dLips(Ei, p3, p4) =

pdΩdEf

Efδ(Ef −Ei) (B.6.5)L'intégration sur Ef donne :

dLips(Ei, p3, p4) =1

(4π)2

p

EidΩ (B.6.6)B.7 Ordres de transition supérieurs.Les relations établies dans l'annexe C.2 représentent le premier ordre du al ulde perturbation : le système passe de l'état initial à l'état nal par une transitiondire te, sans état intermédiaire. C'est une bonne approximation si la perturbationest petite et la probabilité de passer par un état intermédiaire est faible. On peutétendre le raisonnement et é rire :

W (i→ f) =2π

~| Tfi |2 ρ(Ef ) (B.7.1)où lamatri e de transition T est formée d'une somme de termes orrespondantaux diérents ordres du al ul de perturbation :

Tfi = Tfi(1) + Tfi

(2) + Tfi(3) + ... (B.7.2)On sait déjà que :

Tfi(1) = −iMfi (B.7.3)14

Pour l'ordre 2 on trouve :Tfi

(2) = −i2π~δ(Ef −Ei)

∑

m6=i

Mfm1

Ei −EmMmi (B.7.4)La perturbation V est au arré ; on peut assimiler ela à un pro essus de diu-sion multiple dans la région d'intera tion, omme représenté à la gure B.7.1. La

t x," "

t x," "t x," "

espaceespace

temps tempsf f

m

i i

V V

a) b)

Fig. B.7.1 a) intera tion au premier ordre du al ul de perturbation ; b) inter-a tion au deuxième ordre.fon tion delta garantit la onservation de l'énergie entre les états initial et nal.L'état intermédiaire m peut violer la onservation de l'énergie : il s'agit d'un étatvirtuel. Le terme 1/(Ei − Em) est le propagateur de l'état m.Pour que le al ul de perturbation onverge, les eets de (V )n doivent dimi-nuer susamment rapidement ave n. L'intensité de l'intera tion est en général ara térisée par une onstante de ouplage g ; il faut don que ette onstante soitnumériquement inférieure à 1 de telle sorte que : gn −→n→∞

0.

15

C Le moment inétique, les rotations.C.1 Le moment inétique, éléments de théorie des groupes.On déduit la forme quantique de l'opérateur lassique L = r × p par substi-tution des opérateurs r et p :Lx = −i~(y∂z − z∂y) (C.1.1)(et permutations ir ulaires de x, y, z pour Ly et Lz).Le arré du moment inétique est donné par :L2 = L2

x + L2y + L2

z (C.1.2)Les trois omposantes ne ommutent pas :[Lx, Ly] = i~Lz (et permutations ir ulaires de x, y, z) (C.1.3)Dans le as d'un Hamiltonien :

H = −(~∇)2

2m+ V (| r |) (C.1.4)ave un potentiel radial, H ommute ave L et a fortiori ave L2 :

[H,L] = 0 [H,L2] = 0 (C.1.5)Les ve teurs propres de H sont aussi ve teurs propres de L2 et d'une des ompo-santes de L ; on hoisit usuellement Lz. Si l'état |ℓ,m〉 est simultanément ve teurpropre de L2 et Lz, on a :Lz|ℓ,m〉 = ~m|ℓ,m〉 L2|ℓ,m〉 = ~

2ℓ(ℓ+ 1)|ℓ,m〉 (C.1.6)Dans le as d'un moment inétique orbital, ℓ est un nombre entier. Les proje tionspossibles pour m sont ainsi les 2ℓ+ 1 nombres entiers −ℓ,−ℓ + 1, ..., ℓ− 1, ℓ. Ces onsidérations s'appliquent également au spin S. Dans e as, les valeurs propresde S2 et Sz peuvent être des valeurs entières (bosons) ou demi-entières (fermions).Dans un pro essus physique, le moment inétique total est onservé.J =

∑

i

Li +∑

i

Si (C.1.7)[H,J ] = 0 [H, J2] = 0 (C.1.8)On her he don des ve teurs propres de Jz et J2 :

Jz|j,m〉 = ~m|j,m〉 J2|j,m〉 = ~2j(j + 1)|j,m〉 (C.1.9)16

On introduit des opérateurs :J− = Jx − iJy J+ = Jx + iJy (C.1.10)tels que :

J−|j,m〉 =√

j(j + 1) −m(m− 1|j,m− 1〉 (C.1.11)J+|j,m〉 =

√

j(j + 1) −m(m+ 1|j,m+ 1〉Il existe une onnexion entre l'opération de rotation du système et l'opérateurmoment inétique. Dans le langage de la théorie des groupes, la rotation d'unpoint de l'espa e eu lidien s'ee tue à l'aide de matri es 3×3, orthogonales et dedéterminant égal à 1 :Mx =

0 0 00 0 10 −1 0

, My =

0 0 10 0 0

−1 0 0

, Mz =

0 1 0−1 0 0

0 0 0

(C.1.12)Il s'agit du groupe SO(3) (O = orthogonal, S= spé ial (voir plus loin).Ces matri es obéissent à l'algèbre :[Mi,Mj ] = εijkMk (C.1.13)La non ommutativité signie que l'on ne peut pas intervertir des opérations derotation ; la rotation autour de l'axe z, suivie d'une rotation autour de x n'est paséquivalente à la rotation orrespondante autour de x suivie d'une rotation autourde z.Remarquez que 1 − δθMz orrespond bien à la matri e de 4.2.7.On a vu (4.2.11) que l'appli ation de l'opérateur de rotation innitésimale Rnsur un état quantique ψ(x) s'é rit :

Rnψ(x) = 1 − iδθnJ · n)ψ(x) (C.1.14)Elle met en jeu les opérateurs unitaires qui satisfont à l'algèbre des moments inétiques :[Jx, Jy] = iJz (et permutations ir ulaires) (C.1.15)On peut aussi é rire :

[Ji, Jj] = iεijkJk (C.1.16)où εijk est égal à 1(−1) pour toute permutation paire (impaire) de (1,2,3). Enthéorie des groupes, on dit que les Ji forment une algèbre de Lie.17

A partir des générateurs Ji on peut onstruire les opérateurs qui orrespondentà une rotation nie θ autour de l'axe x, y ou z de l'espa e, par ex. :Ux(θ) = exp(−iθJx) et . (C.1.17)On voit que la forme expli ite de U fait intervenir les omposantes de J . Ces omposantes sont des matri es, don il faut re ourir au développement en série :

exp(A) = 1 + A + A2/2 + ... (C.1.18)Les onséquen es de l'appli ation de U sur un état ψ dépendent de la valeur dumoment inétique total :• Pour un état J = 0 on obtient la représentation triviale d'SU(2) (Spe ialUnitary group, à 2 dimensions), elle qui orrespond à l'identité U = 1 (parex. une parti ule s alaire - un pion - est invariante par rotation).• Pour un état J = 1/2 on utilise omme générateurs les matri es de Pauliqui agissent sur les spineurs : (C.1.19)J1 =

1

2σ1 =

1

2

(

0 11 0

)

, J2 =1

2σ2 =

1

2

(

0 −ii 0

)

, J3 =1

2σ3 =

1

2

(

1 00 −1

)Un état de spin 1/2 peut s'exprimer à partir d'une base que l'on é rit onven-tionnellement :m = +

1

2: ↑ ou ∣

∣

12

+ 12

⟩ ou (

10

) (C.1.20)m = −1

2: ↓ ou ∣

∣

12,−1

2

⟩ ou (

01

)

• Dans le as J = 1 on utilise les générateurs : (C.1.21)J1 =

1√2

0 1 01 0 10 1 0

, J2 =1√2

0 −i 0i 0 −i0 i 0

, J3 =

1 0 00 0 00 0 −1

agissant sur les éléments de base :|1, 1〉 =

100

, |1, 0〉 =

010

, |1,−1〉 =

001

(C.1.22)18

Remarquez que la tra e des matri es Ji est nulle, e qui est ara téristique deséléments d'un groupe à det = 1 (groupe Spe ial). En eet, pour une matri e mhermitique de tra e nulle, Tr(m) = 0, on a :det[(expim] = expiT r(m) = 1 (C.1.23)Dans la terminologie de la théorie des groupes, on parle de représentations dedimension 1, 2, 3, ... qui orrespondent à la situation physique d'un spin J =

0, 1/2, 1.... Le nombre de représentations de SU(2) est don inni. D'autre parton peut réer de nouvelles représentations en ee tuant des ombinaisons entreelles ; par ex. on peut ajouter deux spins 1/2 pour réer des états de spin 0 et 1,rajouter 1/2 pour réer un état de spin 3/2, et . On voit que la représentation dedim=2 engendre toutes les autres ; 'est pourquoi on dit que la représentation dedim=2 est la représentation fondamentale.2 ⊗ 2 = 3 ⊕ 1 ; 2 ⊗ 3 = 4 ⊕ 2; (C.1.24)

(2 ⊗ 2) ⊗ 2 = (3 ⊕ 1) ⊗ 2 = (3 ⊗ 2) ⊕ (1 ⊗ 2) = 4 ⊕ 2 ⊕ 2)Le terme de gau he donne les représentations à ombiner, le terme de droiteles ombinaisons de représentations possibles (irrédu tibles). Dans le troisièmeexemple on indique que le mariage de trois doublets de spin 1/2 donne un quartet3/2 plus deux doublets 1/2.C.2 L'addition des moments inétiques.Supposons devoir ombiner deux moments angulaires ja et jb (par ex. le spinde la parti ule ave son moment inétique orbital, ou le spin de deux parti ulesave L = 0, et .) On peut dé rire le système omposé à partir de la base :|ja, jb, ma, mb〉 ≡ |ja, ma〉|jb, mb〉 (C.2.1)

J = ja + jb est un opérateur qui satisfait l'algèbre de Lie : les valeurs propresde J2 et J3, J(J+1) etM , sont les nombres quantiques ara téristiques du système.La troisième omposante du moment inétique est fa ile à obtenir par addition :M = ma +mb (C.2.2)Par ontre J dépend de l'orientation dans l'espa e des moments inétiques om-posants et peut être ompris entre :un maximum ja + jb quand ja jb sont parallèles,et un minimum | ja − jb | quand ja jb sont antiparallèles.Les valeurs intermédiaires par pas d'une unité (d'~) sont a essibles. On obtientdon un ertain nombre de représentations (don de valeurs de J) ha une ave 19

la multipli ité 2J + 1 et la base |ja, jb, J,M〉. Les éléments d'une telle base sontdes états propres de j2a , j

2b , J

2 et J3. On relie ette base à la pré édente par les oe ients de Clebs h - Gordan :|ja, jb, J,M〉 =

∑

ma,mb

CJ,ja,jb

M,ma,mb|ja, jb, ma, mb〉 (C.2.3)et ré iproquement :

|ja, jb, ma, mb〉 =

ja+jb∑

J=|ja−jb|CJ,ja,jb

M,ma,mb|ja, jb, J,M〉 (C.2.4)Ces oe ients C (plutt : ±C2 pour éliminer la ra ine arrée, le signe étant onservé) sont tabulés pour diérentes valeurs de ja, jb en fon tion de J,M,ma, mb(voir table PDG Clebs h - Gordan oe ients, spheri al harmoni s and d fun -tions).

J J ...NotationM M ....

ma mb

ma mb. . ± ( oe ients)2. .. .Par exemple pour 1 ⊗ 1/2, on a les valeurs possibles de J : 1/2 et 3/2. LesC sont donnés sur 4 tableaux qui orrespondent aux ongurations possibles dema, mb, ave M = ma + mb. Pour J = 3/2, M = 3/2 on n'a qu'une possibilité(ma, mb) = (+1,+1/2) ave le poids = 1. L'état omposé est :

∣

∣

32, 3

2

⟩

= 1 × |1, 1〉∣

∣

12, 1

2

⟩ (C.2.5)De façon analogue :∣

∣

32,−3

2

⟩

= 1 × |1,−1〉∣

∣

12,−1

2

⟩ (C.2.6)20

Ave (ma, mb = (1,−1/2) on onstitue un mélange J = 1/2 et 3/2(M = 1/2) ave des poids √

23et √

13.Ré iproquement, l'état ∣

∣

32, 1

2

⟩ est représenté par la ombinaison :∣

∣

32, 1

2

⟩

=

√

2

3|1, 0〉

∣

∣

12, 1

2

⟩

+

√

1

3|1, 1〉

∣

∣

12,−1

2

⟩ (C.2.7)C.3 Les matri es de rotation.On peut dé omposer toute rotation d'un orps rigide en trois étapes, paramé-trisées par trois angles. Considérons un repère artésien, Oxyz, entré sur le orpsrigide. Un hoix possible est ee tuer dans l'ordre :a) une rotation d'angle 0 ≤ α ≤ 2π autour de l'axe z, qui transforme Oxyzen O′x′y′z′ ;b) une rotation d'angle 0 ≤ β ≤ π autour de l'axe y′, e qui donne O′′x′′y′′z′′ ; ) une rotation d'angle 0 ≤ γ ≤ 2π autour de l'axe z′′, e qui donne le posi-tionnement nal.On dénote ette série d'opérations par R(α, β, γ). L'opérateur R(α, β, γ) :R(α, β, γ) = Rz′′(γ)Ry′(β)Rz(α) (C.3.1)

= exp(−iJ ′′z γ) exp(−iJ ′

yβ) exp(−iJzα)Les primes indiquent que les opérateurs sont ae tés par les rotations pré édentes.On peut a par ex. : J ′y = Rz(α)JyRz(α)†, e qui permet d'é rire que : exp(−iJ ′

yβ) =exp(−iJzα) exp(−iJyβ) exp(+iJzα). On arrive au résultat parti ulièrement simpleque :

R(α, β, γ) = exp(−iJzα) exp(−iJyβ) exp(−iJzγ) (C.3.2)où les primes ont disparus.Si l'on applique E.3.2 à un état propre |j,m〉, on obtient, à ause de la premièrerotation autour de l'axe z et puisque Jz|j,m〉 = m|j,m〉 :R(α, β, γ)|j,m〉 = exp(−iJzα) exp(−iJyβ) exp(−imγ)|j,m〉 (C.3.3)

|j,m〉 n'est pas diagonale par rapport à Jy ; toutefois la rotation doit onserver j,don l'état qui résulte de l'appli ation de exp(−iJyβ) doit être la superpositiondes états de même j :exp(−iJyβ)|j,m〉 =

j∑

m′=−j

djm′m(β)|j,m′〉 (C.3.4)21

Si l'on ombine E.3.3 et E.3.4 on obtient :R(α, β, γ)|j,m〉 =

j∑

m′=−j

D(j)m′m(α, β, γ)|j,m′〉 , où (C.3.5)les matri es D de Wigner sont dénies par :

D(j)m′m(α, β, γ) = exp(−im′α)dj

m′m(β) exp(−imγ) (C.3.6)Certaines fon tions djm′m sont tabulées dans la table PDG.Si l'on onsidère le as du spin 1/2 on a :

exp(iJyβ) = exp

−iβ2

(

0 −ii 0

)

= exp

β

2

(

0 −11 0

)

= 1 +β

2

(

0 −11 0

)

+1

2!

[

β

2

(

0 −11 0

)]2

+1

3!

[

β

2

(

0 −11 0

)]3

+ ...

=

1 − x2

2!+ x4

4!+ ... −x+ x3

3!− x5

5!+ ...

x− x3

3!+ x5

5!+ ... 1 − x2

2!+ x4

4!+ ...

=

cos(

β2

)

− sin(

β2

)

sin(

β2

)

cos(

β2

)

En on lusion :m = +1/2 − 1/2

d1/2m′m(β) ≡

cos(

β2

)

− sin(

β2

)

sin(

β2

)

cos(

β2

)

m′ = +1/2

−1/2(C.3.7)De même, pour j = 1 :

d1m′m(β) ≡

1+cos β2

− sin β√2

1−cos β2

sin β√2

cosβ − sinβ√2

1−cos β2

sinβ√2

1+cos β2

(C.3.8)A titre d'appli ation onsidérons un état de spin 1/2 :ψ = a

(

10

)

+ b

(

01

)

= aφ+ + bφ− où | a |2 + | b |2= 1 (C.3.9)22

On her he les états φ′+ et φ′

− qui donnent les réponses +1/2 et −1/2 lors de lamesure de Sz le long d'un axe dénit par les angles polaires θ et ϕ. Une possibilitéest de prendre la rotation R(ϕ, θ, 0) :R(ϕ, θ, 0)φλ =

∑

µ=±1/2

D(1/2)µλ (ϕ, θ, 0)φµ

=∑

µ=±1/2

d(1/2)µλ (θ) exp(−iµϕ)φµLes états re her hés sont :

φ′+ =

cos(

θ2

)

exp(

−iϕ2

)

sin(

θ2

)

exp(

iϕ2

)

, φ′− =

−sin(

θ2

)

exp(

−iϕ2

)

cos(

θ2

)

exp(

iϕ2

)

(C.3.10)Finalement, onsidérons le as parti ulier d'une rotation de 360autour de l'axey ; si θ = 2π et ϕ = 0 dans E.3.10, on obtient le résultat surprenant :

φ′± = −φ± (C.3.11)C'est-à-dire qu'une rotation de 360ne ramène pas un système de spin 1/2 à sonétat d'origine ; il faut pour e faire une rotation de 720.C.4 Relations entre groupes de rotations et groupes linéaires.On a vu qu'il existe une relation (quasi-isomorphisme) entre le groupe derotation SO(3) et le groupe spé ial unimodulaire SU(2). Le premier agit dansl'espa e physique, le se ond sur l'état de la parti ule qui évolue dans l'espa e.On peut généraliser aux rotations dans l'espa e-temps, qui s'expriment par legroupe de Lorentz L (plus pré isément, il s'agit du groupe de Lorentz restreintque l'on indique par L↑

+, le + et le ↑ indiquent qu'on ex lut les inversions spatialeet temporelle). Le groupe de Lorentz est un groupe à 6 paramètres dénissantla rotation dans l'espa e et le boost de Lorentz. On a une relation entre L↑+ etle groupe linéaire omplexe à deux dimensions SL(2,C). La relation mentionnéeauparavant en est une appli ation parti ulière ar SO(3) est un sous-groupe de

L↑+ et SU(2) est un sous-groupe de SL(2,C).On peut faire agir les générateurs de SL(2,C) sur des fon tions omplexes àdeux dimensions, e qui fait pressentir l'appli ation aux spineurs3.3Consultez par exemple F. S he k, Leptons, Hadrons and Nu lei Ed. North-Holland 1983, hapitre III. 23

D L'os illation des neutrinos

24

.

25

Table des matièresA Le formalisme lagrangien. 2A.1 Le formalisme lagrangien en mé anique lassique. . . . . . 2A.2 Le formalisme lagrangien en théorie des hamps. . . . . . . 3B Se tion e a e et taux de transition. 5B.1 La se tion e a e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5B.2 Règle d'or de Fermi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7B.3 Invarian e de Lorentz et normalisation. . . . . . . . . . . . . 10B.4 Espa e de phase et taux de transition. . . . . . . . . . . . . 11B.5 Les fa teurs inématiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13B.6 Exemple de al ul de dLips. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13B.7 Ordres de transition supérieurs. . . . . . . . . . . . . . . . . 14C Le moment inétique, les rotations. 16C.1 Le moment inétique, éléments de théorie des groupes. . . 16C.2 L'addition des moments inétiques. . . . . . . . . . . . . . . 19C.3 Les matri es de rotation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21C.4 Relations entre groupes de rotations et groupes linéaires. 23D L'os illation des neutrinos 24

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