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  • ANNEXES

    1

  • A Le formalisme lagrangien.A.1 Le formalisme lagrangien en manique lassique.La fontion de Lagrange (le Lagrangien L) est un outil important en maniquelassique. Si q(t) et .q(t) = dq/dt sont les oordonnes et les vitesses gnralisesde l'objet en question, on peut rire dans un bon nombre de problmes :L = L(q(t),

    .q(t)) (A.1.1)L'ation est dnie par (gure A.1.1) :

    q

    t

    t

    q1

    2

    x

    y

    Fig. A.1.1 Direntes trajetoires pour la dnition de l'ation S.S

    t2

    t1

    dtL(q,.q) (A.1.2)Par le prinipe de moindre ation de Hamilton, on tire les quations du mou-vement :

    S =

    t2

    t1

    dtL(q,.q) = 0 Hamilton (A.1.3)L'objet suit la trajetoire qui minimise S. On demande don que l'ation soitstationnaire. 2

  • Si L dpend seulement de q et de .q, le prinipe de Hamilton est satisfaitlorsque :L

    q=

    d

    dt

    (

    L

    .q

    ) Euler-Lagrange (A.1.4)Exemple : objet de position x et vitesse .x, L = 1/2 m .x2 V (x), V (x) est unpotentiel. Euler-Lagrange implique : m ..x = dV/dx, e qui est ohrent ave laloi de Newton si l'on a F = dV/dx.A.2 Le formalisme lagrangien en thorie des hamps.Dans la thorie des hamps, on introduit une densit lagrangienne, : = ((x), (x)) (A.2.1)qui ontient le hamp (x) et son gradient 4-dimensionnel :(x) =

    x(x) (A.2.2)L'ation est dnie par :

    S t2

    t1

    dt

    V

    d3x(, )

    V t

    d4x (A.2.3)Le prinipe de moindre ation s'exprime par S = 0, e qui donne les quationsde Euler-Lagrange :

    (x)=

    x

    (

    ()

    ) (A.2.4)Si est un salaire de Lorentz la thorie base sur B.2.1 est ovariante.Exemples :1) Champ massif (x) qui se transforme omme un salaire ou un pseudosa-laire de Lorentz. On adopte la densit lagrangienne : =

    1

    2

    [

    x

    xm22

    ]

    =1

    2

    [

    g

    x

    xm22

    ] (A.2.5)L'appliation de l'q. d'Euler-Lagange donne :

    = m2

    x

    (

    ()

    )

    = g

    x1

    2

    (

    2

    x

    )

    = = 2 (A.2.6)3

  • On obtient l'quation de Klein-Gordon pour un boson libre :(2 +m2) = 0 (A.2.7)2) Champ massif qui se transforme omme un spineur de Lorentz (partiulede Dira). A partir de la densit lagrangienne :

    = [i() m] ave 0 (A.2.8)l'q.d'Euler-Lagrange amne (exerie) l'quation de Dira pour un fermionlibre :(i m) = 0 (A.2.9)A partir de la densit lagrangienne :

    = [i m] (A.2.10)l'q.d'Euler-Lagrange amne l'quation de Dira pour un antifermion libre :i()

    +m = 0 (A.2.11)3) Champ vetoriel (spin 1 ) sans masse, p.ex. le hamp letromagntique. Ladensit lagrangienne peut tre rite : = 1

    4FF

    jA, o : (A.2.12)F = A A o :L'q.d'Euler-Lagrange onduit (exerie) aux quations de Maxwell sous leurforme ovariante :

    F = j (A.2.13)

    4

  • B Setion eae et taux de transition.B.1 La setion eae.Considrons une ible onstitue d'une matrie de petites sphres de setiondroite S m2, ave D sphres/m2 (e qu'on appelle la densit superielle).Un faiseau homogne de projetiles de dimension ngligeable est dirig sur etteible. Le faiseau ouvre une surfae A sur laquelle on ompte T partiules/se.Le ux vaut don F = T/A. Au total, on a N = DA entres diuseurs dans lasurfae A, ouvrant une surfae totale SN = SDA. Le taux de ollisions totalvaut : taux = T (SDA/A) = TSD = FASD = FNSLe taux par unit de ux du faiseau inident (F = 1) et pour une sphre (N = 1)vaut S. La setion droite de la sphre S reprsente la proprit intrinsque duproessus physique en question. Le ux F et la densit superielle D dpendentde la situation exprimentale.Dans un ontexte plus gnral, S n'est pas la setion gomtrique de l'l-ment ible,mais sa valeur dpend de l'ation distane des hamps. C'est lasetion eae du proessus. L'expriene destine la mesure de est du typede la gure B.1.1.Faisceau

    RoutR CibleinFig. B.1.1 Shma de l'expriene type destine la mesure de la setion eaetotale .Le ux inident est ontrl par le ompteur Rin qui interepte une surfaeA du faiseau inident. La ible est susamment large pour que tout le faiseauinteragisse ave elle. La ible est trs mine, de faon pouvoir ngliger les inter-ations multiples. Le ux sortant est mesur par le ompteur Rout. Si l'on enlvela ible, on doit avoir Rin = Rout (si ela n'est pas exatement le as, on peuteetuer quelques orretions, posteriori...). Ave la ible en plae, le taux dedisparition est Rin Rout. La setion eae vaut :

    =Rin RoutNF

    , o5

  • N est le nombre de diuseurs touhs et F le ux inident. N se alule partirde l'paisseur de la ible x, du nombre de diuseurs par unit de volume et dela surfae touhe A :N = xALe ux vaut :

    F =RinA

    , don : =

    A(Rin Rout)xARin = Rin RoutRin 1xSi l'paisseur n'est pas petite par rapport au libre parours moyen des partiulesdu faiseau dans la ible, il faut proder par intgration, e qui donne :

    R(x) = RinexCette mthode s'applique la dtermination de la setion eae totale.element

    de detecteur

    Rin Cible

    Faisceau

    Fig. B.1.2 Shma de l'expriene type destine la dtermination de la setioneae direntielle angulaire.Le proessus tudi peut amener la disparition des partiules du faiseau,ou peut donner lieu la diusion lastique. Dans e dernier as, les partiulesdu faiseau se retrouvent dans l'tat nal ave une impulsion dirente de ellequ'elles avaient avant la ollision.On est parfois intress onnatre la distribution angulaire d'une (ou plu-sieurs) espe de partiules dans l'tat nal. La situation exprimentale est sh-matise dans la gure B.1.2.Un dteteur observe une position d'angle solide , situe un angle parrapport la diretion du faiseau. Le omptage se faisant sur l'lment d'angle6

  • solide, l'observation d'un proessus donn p (par ex. : la prsene de neutronsd'nergie E 2.5 GeV ou elle de photons d'nergie E dans la fentre [1, 1.2GeV, et.) permet de dterminer la distribution angulaire Np/ (ou Np/ cos()si ette distribution est indpendante de ).Thoriquement on est don onduit introduire une setion eae diren-tielle pour le proessus p : dp(,)d

    . Une fois l'expriene eetue, il faut omparerNp/ et dp/d onvenablement normaliss. L'intgration permet en prinipede aluler la valeur totale p tot. Remarquez que d'autres sortes de setions ef-aes direntielles sont utilises, par ex. dp/dE est le spetre en nergie,on a aussi d2p/d dE., et. Parfois on rduit les diults de normalisation endonnant une distribution relative du type dp(,)

    d/p tot.B.2 Rgle d'or de Fermi.On prsente ii les outils thoriques utiliss pour la prdition des setionseaes et des taux de transition. La rgle d'or de Fermi est la base de tout alulde e genre.On prpare le systme dans un tat en gnral tat propre de l'Hamiltonienlibre H0 (par ex. un faiseau de partiules quasi-mononergtiques).

    (t) = i(x) exp(iEit/~) (B.2.1)ave :H0i = Eii (B.2.2)Au temps t on re une petite perturbation V (t) :H = H0 + V (B.2.3)Le systme volue vers un tat (t) dirent de l'tat libre. Cet tat est dritomme une superposition des tats propres de l'Hamiltonien libre :

    (t) =

    n=0

    cn(t)n exp(i

    ~Ent) , o (B.2.4)

    H0n = Enn (B.2.5)| cn(t) |2 est la probabilit de trouver le systme dans l'tat n, au temps t.On a :

    i~t(t) = (H0 + V )(t) (B.2.6)Si on introduit C.2.4 dans C.2.6 on obtient :i~

    n=0

    tcntn exp

    (

    i~Ent

    )

    =

    n=0

    V cntn exp

    (

    i~Ent

    ) (B.2.7)7

  • En multipliant par k exp (+ i~Ekt) et en tenant ompte de l'orthogonalit desn, on obtient l'quation d'volution des ck :

    i~dckdt

    (t) =

    n=0

    cn(t)(k, V n) exp

    (

    i~(En Ek)t

    ) (B.2.8)=

    n=0

    cn(t)Mkn exp(

    i~(En Ek)t

    )

    , o :Mkn(t) = (k, V n) =

    (

    d3xkV n

    ) (B.2.9)On ne onsidre ii que le premier ordre de perturbation. Dans la -gure B.2.1 a, on nglige des bifurations multiples, don le deuxime petit saut dela trajetoire indique par un x. Le systme volue diretement de l'tat i l'tatk.

    100 N|c |k2

    N|c |i2

    Populationdes etats

    ,etat,

    0

    N

    t

    kx

    t temps

    k

    i

    00

    a) b)

    Fig. B.2.1 Au ours du temps l'tat i se dpeuple ; si l'on avait N partiules au dpart,il en reste N | ci(t) |2, au temps t (gure B.2.1 b). Puisque la perturbation estpetite, ette variation est lente, | ci(t) | te. L'tat k se peuple ave un taux parunit de temps :W =

    d

    dt| ck(t) |2= 2 | ck(t) |

    d

    dt| ck(t) | (B.2.10)Or, ck(t) peut s'obtenir par intgration de C.2.8, si l'on admet V = te, partirde t = 0 :

    ck(t) =Mkii~

    t

    0

    dt exp

    (

    i~

    (Ei Ek)t) (B.2.11)

    t

    Mkii~

    ~(Ek Ei)8

  • On a utilis la relation :

    +dt exp( i

    ~Et) = 2~(E) (B.2.12)En eet1, l'exponentielle osille trs vite, moins que l'argument soit trsprohe de 0 (on peut s'imaginer qu'il s'agit l d'un exemple du prinipe d'indter-mination, qui permet de violer la onservation de l'nergie mais seulement dansles limites Et ~).En remplaant dans C.2.10, on obtient le taux de transition par unit de temps,la onservation de l'nergie inluse :

    Wik =2

    ~| Mki |2 (Ek Ei) (B.2.13)C'est une des prsentations de la rgle d'or de Fermi.En units naturelles :

    Wik = 2 | Mki |2 (Ek Ei) (B.2.14)La version relativiste de ette relation est :Wik = (2)

    4 | Mki |2 (pk pi) (B.2.15)elle donne la probabilit de transition par unit d'espae-temps.Puisque l'amplitude M ontient l'information physique, elle est un invariantde Lorentz. S'il s'agit d'un lment de matrie, on parle d'amplitude invarianteou de Feynman.Dans es relations les tats initial et nal appartiennent un spetre ontinuou un spetre disret d'tats. En pratique on a les situations suivantes :a) la ollision a+ b 1 + 2 + ...+ nb) la dsintgration d'une partiule i 1 + 2 + 3 + ... + nSi on a un tat initial i e